Álgebra SuperiorMatrices

Sesión II

Definición de Matriz Si m y n son enteros positivos, entonces

una matriz m x n, es un arreglo rectangular en el cual cada elemento aij de la matriz es un número. Una matriz m x n tiene m renglones y n columnas.

A =

Usos de las matrices Se utilizan para representar sistemas

de ecuaciones lineales (S.E.L.) con varias incógnitas.

Sistema de Ecuaciones Linealesx – 4y + 3z = 5-x +3y –z = -3

2x - 4z = 6

Matriz aumentada: Es la matriz obtenida de los coeficientes y los términos constantes de un S. E. L.

Matriz de coeficientes: Es la que contiene solo los coeficientes del S.E.L.

Operaciones en los Renglones Intercambiar dos ecuaciones de lugar.Matriz Original:

Intercambiando el 1er y 2º renglón:

Multiplicación de un renglón por una constante diferente de cero.

Matriz original:

Multiplicando por ½ (ó 0.5) el primer renglón:

Suma de un múltiplo de un renglón a otro renglón.

Matriz original:

1er renglón por -2, y el resultado se suma al tercero:

Solución de un S.E.L. con álgebra

Solución de un S.E.L. con matrices (eliminación Gaussiana)

Y al final reescribimos el S.E.L. x -2y +3z =9 y +3z =5 z =2Y lo resolvemos con el método de

sustitución.

Tarea

a)

b)

Solución de un S.E.L. con matrices (eliminación Gauss - Jordan)

x – 2y +3z = 9-x +3y = -42x - 5y +5z = 17

Matriz: 1 -2 3 9-1 3 0 -42 -5 5 17

Aplicando la eliminación gaussiana se obtiene la siguiente forma escalonada por renglones:

1 -2 3 90 1 3 50 0 1 2

Aplicando nuevamente operaciones elementales se obtiene el valor directo de cada incógnita:

x = 1 y = -1 z = 2

Operaciones con Matrices Dos matrices A y B, son iguales si

tienen el mismo orden (m x n) y aij = bij La suma de dos matrices (del mismo

orden) se lleva a cabo sumando sus elementos correspondientes:

2 4 1 -5 3 -1-3 -1 + -2 -6 = -5 -75 0 5 7 10 7

Ejemplos:

Multiplicación de un escalar (número) por una matriz y resta de matrices:

Multiplicación de matrices: Si A es una matriz m x n, y B una matriz n x p, entonces el producto AB es una matriz m x p, donde sus términos (cij) serán la suma de los productos de la fila i de A por la columna j de B:

Propiedades de la suma de matrices y la multiplicación por un escalar:A, B, C: matrices m x n. Y c, d: escalares

1. A + 0 = A (Neutro aditivo)2. A + (-A) = 0 (Inverso aditivo)3. A+B = B +A (Conmutatividad)4. A+ (B+C)= (A+B) + C (Asociatividad)5. (cd)A = c (dA)6. 1A = A 7. Si cA = 0 entonces c = 0 ó A = 08. c(A + B)= cA + cB (Distributiva)9. (c + d)A = cA + dA (Distributiva)

Propiedades de la multiplicación de matrices:

A, B, C: matrices m x n. Y c un escalar.

1. A(BC) = (AB)C (Asociatividad)2. A(B + C) = AB + AC (Distributiva)3. (A + B)C = AC + BC (Distributiva)4. c (AB) = (cA)B = A(cB)

La multiplicación de matrices NO es conmutativa, es decir AB ≠ BA.

La transpuesta de una matriz se forma al escribir sus columnas como renglones. Si A es m x n, entonces su matriz transpuesta At será n x m.

Matriz Identidad:

1 0 0 0 …I = 0 1 0 0

0 0 1 00 0 0 1

... 1

Inversa de una matriz: Una matriz A n x n es invertible (o no

singular) si hay una matriz B n x n tal que:

AB = BA = I

Donde I es la matriz identidad de orden n x n. La matriz B se le llama inversa (multiplicativa) de la matriz A.

Una matriz que no tiene inversa se denomina no invertible ( o singular).

Inversa de una matriz con la Eliminación Gauss - Jordan