Post on 12-Jul-2015
ANGULOSTEORIA
PROLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS
CARLOS ARBOLEDA BRUNO
ARBOLEDA_BRUNO@HOTMAL
β αO
A
B
ANGULO.-Es la abertura formado por dos rayos divergentes que tienen un extremo común que se denomina vértice.
ELEMENTOS DE UN ANGULO:
α 0º < α < 180º 0º < α < 180º
0º < β < 90º0º < β < 90ºβ
CLASIFICACIÓN SEGÚN SU MEDIDA
a) ÁNGULO CONVEXO
a.1) ÁNGULO AGUDO
θ = 90º θ = 90º
α 90º < α < 180º 90º < α < 180º
θ
a.2) ÁNGULO RECTO
a.3) ÁNGULO OBTUSO
α + β = 90ºα + β = 90º
θ + δ = 180º θ + δ = 180º
δθ
αβ
CLASIFICACIÓN SEGÚN SU SUMA
a) ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
b) ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS
OTRAS FORMAS DE EXPRESIÓN
•Cα : Complemento de ; Cα = 90 – α
•Sα : Complemento de α ;Sα = 180 –
α .
α β δ εφ
α α
CLASIFICACIÓN SEGÚN SU POSICIÓN
a) ÁNGULOS ADYACENTES b) ÁNGULOS CONSECUTIVOS
ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE
Son congruentes
Puede formar más ángulosUn lado común
01. Ángulos alternos internos: m ∠3 = m ∠5; m ∠4 = m ∠6
02. Ángulos alternos externos: m ∠1 = m ∠7; m ∠2 = m ∠803. Ángulos conjugados internos: m ∠3+m ∠6=m ∠4+m ∠5=180°
04. Ángulos conjugados externos: m ∠1+m ∠8=m ∠2+m ∠7=180°
05. Ángulos correspondientes: m ∠1 = m ∠5; m ∠4 = m ∠8 m ∠2 = m ∠6; m ∠3 = m ∠7
ÁNGULOS ENTRE DOS RECTAS PARALELAS Y UNA RECTA SECANTE
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PROPIEDADES DE ÁNGULOS
Propiedad
Si: // Entonces:
. x = α + β .
α + β + θ = x + yα + β + θ = x + y
α
β
θ
x
y
02.-Ángulos que se forman por una línea poligonal entre dos rectas paralelas.
PROPIEDADES DE LOS ANGULOS
α
β
θ
δ
ε
α + β + θ + δ + ε = 180°α + β + θ + δ + ε = 180°
03.- ÁNGULOS ENTRE DOS RECTAS PARALELAS
α + β = 180°α + β = 180°
α β
04.- ÁNGULOS DE LADOS PERPENDICULARES
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. ¿Cuánto es la diferencia de las medidas de los ángulos A0B y C0D, si m∢BOD = 100º?
Rpta.
2. Si: // //. Calcular x
Rpta.
3. Del gráfico, calcular α−β
Rpta.
4.-En la figura // // . Calcular xº
Rpta.
5.-Según el gráfico: // . Calcular x
6.-El complemento de α, más el suplemento de 2α, es igual al suplemento del complemento de 3α. Hallar α.
• 7.-Dos ángulos adyacentes suplementarios difieren en 40º. Hallar la medida del mayor ángulo.
• 8.-¿Cuánto mide un ángulo si la diferencia entre su suplemento y su complemento es seis veces el ángulo?
• 9.-Dos ángulos complementarios están en la relación de 3 a 2.Hallar la medida de cada uno de estos ángulos.
10.-Hallar el suplemento del complemento de 20
11.-Hallar el complemento de un ángulo que mide el doble de 16º.
12.-Halar el suplemento de la mitad de un ángulo que mide 66º.
13.-Se tiene los ángulos consecutivos , y , m∢A0C = 60º ym∢BOD = 40º, m∢ = 80º. Hallar m∢ .
14.-Se tienen los ángulos consecutivos , y .m∢A0C = 50º, m∢B0D = 30º. Y m∢A0D = 70º Hallar m∢B0C
El complemento de la diferencia entre el suplemento y el complemento de un ángulo “X” es igual al duplo del complemento del ángulo “X”. Calcule la medida del ángulo “X”.
90 - { ( ) - ( ) } = ( )180° - X 90° - X 90° - X2
90° - { 180° - X - 90° + X } = 180° - 2X
90° - 90° = 180° - 2X
2X = 180° X = 90°X = 90°
RESOLUCIÓN
Problema Nº 01
La estructura según el enunciado:
Desarrollando se obtiene:
Luego se reduce a:
La suma de las medidas de dos ángulos es 80° y el complemento del primer ángulo es el doble de la medida del segundo ángulo. Calcule la diferencia de las medidas de dichos ángulos.
Sean los ángulos: α y βα + β = 80° Dato: β = 80° - α ( 1 )
( 90° - α ) = 2β ( 2 )
Reemplazando (1) en (2):
( 90° - α ) = 2 ( 80° - α )
90° - α = 160° -2α
β = 10°
α = 70°
α - β = 70°-10°
= 60°
Problema Nº 02
RESOLUCIÓN
Dato:
Diferencia de las medidas
Resolviendo
La suma de sus complementos de dos ángulos es 130° y la diferencia de sus suplementos de los mismos ángulos es 10°.Calcule la medida dichos ángulos.
Sean los ángulos: α y β
( 90° - α ) ( 90° - β ) = 130°+β + α = 50° ( 1 )
( 180° - α ) ( 180° - β ) = 10°-β - α = 10° ( 2 )
Resolviendo: (1) y (2)
β + α = 50° β - α = 10°
(+)
2β = 60°
β = 30°
α = 20°
Problema Nº 03
RESOLUCIÓN
Del enunciado:
Del enunciado:
Se tienen ángulos adyacentes AOB y BOC (AOB<BOC), se traza la bisectriz OM del ángulo AOC; si los ángulos BOC y BOM miden 60° y 20° respectivamente. Calcule la medida del ángulo AOB.
A B
O C
M
αα
60°
20°X
De la figura:
α = 60° - 20°
Luego:
X = 40° - 20°
α = 40°
X = 20°X = 20°
Problema Nº 04
RESOLUCIÓN
La diferencia de las medidas de dos ángulos adyacentes AOB y BOC es 30°. Calcule la medida del ángulo formado por la bisectriz del ángulo AOC con el lado OB.
A
O
B
C
θ
θX
(θ- X)
( θ + X) (θ - X) = 30º
2X=30º
X = 15°X = 15°
Problema Nº 05
RESOLUCIÓN
M
Construcción de la gráfica según el enunciado
Del enunciado:
AOB - OBC = 30°
-
Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD tal que la m∠AOC = m∠BOD = 90°. Calcule la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos AOB y COD.
A
C
B
D
M
N
αα
ββ
θX
De la figura:
2α + θ = 90°θ + 2β = 90°
( + )
2α + 2θ + 2β = 180°α + θ + β = 90°
X = α + θ + βX = α + θ + β
X = 90°X = 90°
Problema Nº 06
RESOLUCIÓNConstrucción de la gráfica según el enunciado
Si m // n . Calcule la medida del ángulo “X”
80°
30°
αα
θθ
X
m
n
Problema Nº 07
2α + 2θ = 80° + 30°
Por la propiedad
Propiedad del cuadrilátero cóncavo
α + θ = 55° (1)
80° = α + θ + X (2)
Reemplazando (1) en (2)
80° = 55° + X
X = 25°X = 25°
80°
30°
αα
θθ
X
m
n
RESOLUCIÓN
Si m // n . Calcular la medida del ángulo “X”
5α
4α 65°
X
m
n
Problema Nº 08
5α
4α 65°
X
m
n
Por la propiedad:
4α + 5α = 90°
α = 10°α = 10°
Ángulo exterior del triángulo
40° 65°
X = 40° + 65°
X = 105°X = 105°
RESOLUCIÓN
Si m // n . Calcule la medida del ángulo ”X”
α
2α
x
m
n
θ
2θ
Problema Nº 01
3α + 3θ = 180°
α + θ = 60°α + θ = 60°
Ángulos entre líneas poligonales
X = α + θ X = 60° X = 60°
RESOLUCIÓN
α
2α
x
m
n
θ
2θ
x
Ángulos conjugados internos
PROBLEMA 01.- Si L1 // L2 . Calcule la m ∠ x
A) 10° B) 20° C) 30° D) 40° E) 50°
x
αα
ββ
4x
3x L1
L2
m
n
30°
X
PROBLEMA 02.- Si m // n . Calcule la m ∠ x
A) 18° B) 20° C) 30° D) 36° E) 48°
PROBLEMA 03.- Si m // n . Calcule la m ∠ α
A) 15° B) 22° C) 27° D) 38° E) 45°
3α
3α3α
α
m
n
PROBLEMA 04.- Si m // n . Calcule el valor de “x”
A) 10° B) 15° C) 20° D) 25° E) 30°
40°
95°
αα
2x
m
n
PROBLEMA 05.- Calcule la m ∠ x
A) 99° B) 100° C) 105° D) 110° E) 120°
3α
6α
x
α4θ
4αθ
Xm
n
PROBLEMA 06.- Si m // n . Calcule la m ∠ x
A) 22° B) 28° C) 30° D) 36° E) 60°
A) 24° B) 25° C) 32° D) 35° E) 45°
PROBLEMA 07.- Si. Calcule la m ∠ x
88°
24°
x
αα
θθ
m
n
PROBLEMA 08.- Si m // n . Calcule la m ∠ x
20°
30°
X
m
n
A) 50° B) 60° C) 70° D) 80° E) 30°
PROBLEMA 09.-Si m//n y θ- α = 80°. Calcule la m∠x
A) 60° B) 65° C) 70° D) 75° E) 80°
θθ
x
αα
m
n
PROBLEMA 10.- Si m // n . Calcule la m ∠ x
A) 20° B) 30° C) 40° D) 50° E) 60°
x
x
x
m
n
PROBLEMA 11.- Si m // n . Calcule la m ∠ α
A) 46° B) 48° C) 50° D) 55° E) 60°
180°-2α
α
2αm
n
PROBLEMA 12.- Si m // n . Calcule la m ∠ x
A) 30° B) 36° C) 40° D) 45° E) 50°
αα
θθ
x
80°
m
n
PROBLEMA 13.- Si m // n . Calcule la m ∠ x
A) 30° B) 40° C) 50° D) 60° E) 70°
80°
αα
β β
m
n
x
REPUESTAS DE LOS PROBLEMAS PROPUESTOS
1. 20º 8. 50º
2. 30º 9. 80º
3. 45º 10. 30º
4. 10º 11. 60º
5. 120º 12. 40º
6. 36º 13. 50º
7. 32º