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Tema 1: vectores, combinaciones lineales y producto punto
Tema 1: vectores, combinaciones lineales yproducto punto
Matematica II
2012–2013
Tema 1: vectores, combinaciones lineales y producto punto
Indice
1 Vectores y combinaciones linealesVectores en R2 y producto por un escalarCombinaciones lineales de vectoresVectores en R3
2 Longitud y producto puntoProducto puntoLongitud y vectores unitariosAngulo entre dos vectores
Tema 1: vectores, combinaciones lineales y producto punto
Vectores y combinaciones lineales
Vectores en R2 y producto por un escalar
Indice
1 Vectores y combinaciones linealesVectores en R2 y producto por un escalarCombinaciones lineales de vectoresVectores en R3
2 Longitud y producto puntoProducto puntoLongitud y vectores unitariosAngulo entre dos vectores
Tema 1: vectores, combinaciones lineales y producto punto
Vectores y combinaciones lineales
Vectores en R2 y producto por un escalar
¿Que es un vector?
Tenemos dos numeros separados v1 y v2.Este par produce un vector de dos dimensiones v.
Vector columna
v =
(v1v2
)v1 = primera componentev2 = segunda componente
Escribimos v como una columna, no como una fila.Decimos que v ∈ R2 (tiene dos numeros reales).Lo importante es que necesitamos una sola letra v paraindicar este par de numeros v1 y v2.
Tema 1: vectores, combinaciones lineales y producto punto
Vectores y combinaciones lineales
Vectores en R2 y producto por un escalar
¿Que es un vector?
Tenemos dos numeros separados v1 y v2.Este par produce un vector de dos dimensiones v.
Vector columna
v =
(v1v2
)v1 = primera componentev2 = segunda componente
Escribimos v como una columna, no como una fila.Decimos que v ∈ R2 (tiene dos numeros reales).Lo importante es que necesitamos una sola letra v paraindicar este par de numeros v1 y v2.
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Vectores y combinaciones lineales
Vectores en R2 y producto por un escalar
¿Que es un vector?
Tenemos dos numeros separados v1 y v2.Este par produce un vector de dos dimensiones v.
Vector columna
v =
(v1v2
)v1 = primera componentev2 = segunda componente
Escribimos v como una columna, no como una fila.Decimos que v ∈ R2 (tiene dos numeros reales).Lo importante es que necesitamos una sola letra v paraindicar este par de numeros v1 y v2.
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Vectores y combinaciones lineales
Vectores en R2 y producto por un escalar
¿Que es un vector?
Tenemos dos numeros separados v1 y v2.Este par produce un vector de dos dimensiones v.
Vector columna
v =
(v1v2
)v1 = primera componentev2 = segunda componente
Escribimos v como una columna, no como una fila.Decimos que v ∈ R2 (tiene dos numeros reales).Lo importante es que necesitamos una sola letra v paraindicar este par de numeros v1 y v2.
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Vectores y combinaciones lineales
Vectores en R2 y producto por un escalar
¿Que es un vector?
Tenemos dos numeros separados v1 y v2.Este par produce un vector de dos dimensiones v.
Vector columna
v =
(v1v2
)v1 = primera componentev2 = segunda componente
Escribimos v como una columna, no como una fila.Decimos que v ∈ R2 (tiene dos numeros reales).Lo importante es que necesitamos una sola letra v paraindicar este par de numeros v1 y v2.
Tema 1: vectores, combinaciones lineales y producto punto
Vectores y combinaciones lineales
Vectores en R2 y producto por un escalar
Suma de vectores
Podemos sumar dos vectores v y w.La primeras componentes de v y w no se mezclan nuncacon las segundas componentes.
Suma de vectores
v =
(v1v2
)y w =
(w1w2
)suman v + w =
(v1 + w1v2 + w2
)
La resta de vectores sigue la misma idea, lascomponentes de v−w son v1 − w1 y v2 − w2.
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Vectores y combinaciones lineales
Vectores en R2 y producto por un escalar
Suma de vectores
Podemos sumar dos vectores v y w.La primeras componentes de v y w no se mezclan nuncacon las segundas componentes.
Suma de vectores
v =
(v1v2
)y w =
(w1w2
)suman v + w =
(v1 + w1v2 + w2
)
La resta de vectores sigue la misma idea, lascomponentes de v−w son v1 − w1 y v2 − w2.
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Vectores y combinaciones lineales
Vectores en R2 y producto por un escalar
Suma de vectores
Podemos sumar dos vectores v y w.La primeras componentes de v y w no se mezclan nuncacon las segundas componentes.
Suma de vectores
v =
(v1v2
)y w =
(w1w2
)suman v + w =
(v1 + w1v2 + w2
)
La resta de vectores sigue la misma idea, lascomponentes de v−w son v1 − w1 y v2 − w2.
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Vectores y combinaciones lineales
Vectores en R2 y producto por un escalar
Multiplicacion por un escalar
La otra operacion basica es la multiplicacion escalar.Los vectores pueden ser multiplicados por 2, por −1, o porcualquier otro numero c ∈ R.Hay dos maneras de duplicar un vector: sumar v + v o(mas facil) multiplicar cada componete por 2.
Multiplicacion escalar
2v =
(2v12v2
)y − v =
(−v1−v2
)
Las componentes de cv son cv1 y cv2.El numero c es llamado escalar.
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Vectores y combinaciones lineales
Vectores en R2 y producto por un escalar
Multiplicacion por un escalar
La otra operacion basica es la multiplicacion escalar.Los vectores pueden ser multiplicados por 2, por −1, o porcualquier otro numero c ∈ R.Hay dos maneras de duplicar un vector: sumar v + v o(mas facil) multiplicar cada componete por 2.
Multiplicacion escalar
2v =
(2v12v2
)y − v =
(−v1−v2
)
Las componentes de cv son cv1 y cv2.El numero c es llamado escalar.
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Vectores y combinaciones lineales
Vectores en R2 y producto por un escalar
Multiplicacion por un escalar
La otra operacion basica es la multiplicacion escalar.Los vectores pueden ser multiplicados por 2, por −1, o porcualquier otro numero c ∈ R.Hay dos maneras de duplicar un vector: sumar v + v o(mas facil) multiplicar cada componete por 2.
Multiplicacion escalar
2v =
(2v12v2
)y − v =
(−v1−v2
)
Las componentes de cv son cv1 y cv2.El numero c es llamado escalar.
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Vectores y combinaciones lineales
Vectores en R2 y producto por un escalar
Multiplicacion por un escalar
La otra operacion basica es la multiplicacion escalar.Los vectores pueden ser multiplicados por 2, por −1, o porcualquier otro numero c ∈ R.Hay dos maneras de duplicar un vector: sumar v + v o(mas facil) multiplicar cada componete por 2.
Multiplicacion escalar
2v =
(2v12v2
)y − v =
(−v1−v2
)
Las componentes de cv son cv1 y cv2.El numero c es llamado escalar.
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Vectores y combinaciones lineales
Vectores en R2 y producto por un escalar
Multiplicacion por un escalar
La otra operacion basica es la multiplicacion escalar.Los vectores pueden ser multiplicados por 2, por −1, o porcualquier otro numero c ∈ R.Hay dos maneras de duplicar un vector: sumar v + v o(mas facil) multiplicar cada componete por 2.
Multiplicacion escalar
2v =
(2v12v2
)y − v =
(−v1−v2
)
Las componentes de cv son cv1 y cv2.El numero c es llamado escalar.
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Vectores y combinaciones lineales
Vectores en R2 y producto por un escalar
Comentarios sobre la suma y la multiplicacion escalar
Hay que notar que la suma de −v y v es el vector cero.
¡Esto es el vector 0 =
(00
), que es distinto del numero 0!
Todas las ideas del algebra lineal se basan en operacionesv + w y cv (suma de vectores y multiplicacion porescalares).El orden de la suma no altera el resultado: v + w es igual aw + v.
v + w =
(15
)+
(33
)=
(48
)w + v =
(33
)+
(15
)=
(48
)
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Vectores y combinaciones lineales
Vectores en R2 y producto por un escalar
Comentarios sobre la suma y la multiplicacion escalar
Hay que notar que la suma de −v y v es el vector cero.
¡Esto es el vector 0 =
(00
), que es distinto del numero 0!
Todas las ideas del algebra lineal se basan en operacionesv + w y cv (suma de vectores y multiplicacion porescalares).El orden de la suma no altera el resultado: v + w es igual aw + v.
v + w =
(15
)+
(33
)=
(48
)w + v =
(33
)+
(15
)=
(48
)
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Vectores y combinaciones lineales
Vectores en R2 y producto por un escalar
Comentarios sobre la suma y la multiplicacion escalar
Hay que notar que la suma de −v y v es el vector cero.
¡Esto es el vector 0 =
(00
), que es distinto del numero 0!
Todas las ideas del algebra lineal se basan en operacionesv + w y cv (suma de vectores y multiplicacion porescalares).El orden de la suma no altera el resultado: v + w es igual aw + v.
v + w =
(15
)+
(33
)=
(48
)w + v =
(33
)+
(15
)=
(48
)
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Vectores y combinaciones lineales
Vectores en R2 y producto por un escalar
Comentarios sobre la suma y la multiplicacion escalar
Hay que notar que la suma de −v y v es el vector cero.
¡Esto es el vector 0 =
(00
), que es distinto del numero 0!
Todas las ideas del algebra lineal se basan en operacionesv + w y cv (suma de vectores y multiplicacion porescalares).El orden de la suma no altera el resultado: v + w es igual aw + v.
v + w =
(15
)+
(33
)=
(48
)w + v =
(33
)+
(15
)=
(48
)
Tema 1: vectores, combinaciones lineales y producto punto
Vectores y combinaciones lineales
Combinaciones lineales de vectores
Indice
1 Vectores y combinaciones linealesVectores en R2 y producto por un escalarCombinaciones lineales de vectoresVectores en R3
2 Longitud y producto puntoProducto puntoLongitud y vectores unitariosAngulo entre dos vectores
Tema 1: vectores, combinaciones lineales y producto punto
Vectores y combinaciones lineales
Combinaciones lineales de vectores
¿Que es una combinacion lineal?
Combinando la suma vectorial y la multiplicacion por unescalar se forman combinaciones lineales de v y w.Esto se hace multiplicando v por c, multiplicando w por d ,y luego sumando cv + dw.
Definicion 1
La operacion cv + dw es una combinacion lineal de v y w.
Hay cuatro combinaciones lineales especiales:suma, resta, cero y multiplo escalar.
1v + 1w = suma de vectores1v− 1w = resta de vectores0v + 0w = vector cerocv + 0w = vector cv multiplo de v
Tema 1: vectores, combinaciones lineales y producto punto
Vectores y combinaciones lineales
Combinaciones lineales de vectores
¿Que es una combinacion lineal?
Combinando la suma vectorial y la multiplicacion por unescalar se forman combinaciones lineales de v y w.Esto se hace multiplicando v por c, multiplicando w por d ,y luego sumando cv + dw.
Definicion 1
La operacion cv + dw es una combinacion lineal de v y w.
Hay cuatro combinaciones lineales especiales:suma, resta, cero y multiplo escalar.
1v + 1w = suma de vectores1v− 1w = resta de vectores0v + 0w = vector cerocv + 0w = vector cv multiplo de v
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Vectores y combinaciones lineales
Combinaciones lineales de vectores
¿Que es una combinacion lineal?
Combinando la suma vectorial y la multiplicacion por unescalar se forman combinaciones lineales de v y w.Esto se hace multiplicando v por c, multiplicando w por d ,y luego sumando cv + dw.
Definicion 1
La operacion cv + dw es una combinacion lineal de v y w.
Hay cuatro combinaciones lineales especiales:suma, resta, cero y multiplo escalar.
1v + 1w = suma de vectores1v− 1w = resta de vectores0v + 0w = vector cerocv + 0w = vector cv multiplo de v
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Vectores y combinaciones lineales
Combinaciones lineales de vectores
Comentarios sobre las combinaciones lineales
El vector 0 (cero) siempre es un resultado posible de unacombinacion lineal de vectores.Siempre que hablemos de un espacio (lleno) de vectores,el vector cero estara incluido.El algebra lineal consiste en trabajar sobre todas lasposibles combinaciones lineales de v y w.
Tema 1: vectores, combinaciones lineales y producto punto
Vectores y combinaciones lineales
Combinaciones lineales de vectores
Comentarios sobre las combinaciones lineales
El vector 0 (cero) siempre es un resultado posible de unacombinacion lineal de vectores.Siempre que hablemos de un espacio (lleno) de vectores,el vector cero estara incluido.El algebra lineal consiste en trabajar sobre todas lasposibles combinaciones lineales de v y w.
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Vectores y combinaciones lineales
Combinaciones lineales de vectores
Comentarios sobre las combinaciones lineales
El vector 0 (cero) siempre es un resultado posible de unacombinacion lineal de vectores.Siempre que hablemos de un espacio (lleno) de vectores,el vector cero estara incluido.El algebra lineal consiste en trabajar sobre todas lasposibles combinaciones lineales de v y w.
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Vectores y combinaciones lineales
Combinaciones lineales de vectores
Representacion de vectores en R2
−1
1
2
3
4
y
−1 1 2 3 4
xv
3v
w
2wu=3v+2w
v =
(−1
323
)w =
(21
)
3v + 2w = 3
(−1
323
)+ 2
(21
)
=
(3 ·(−1
3
)+ 2 · 2
3 · 23 + 2 · 1
)
=
(34
)= u
Tema 1: vectores, combinaciones lineales y producto punto
Vectores y combinaciones lineales
Vectores en R3
Indice
1 Vectores y combinaciones linealesVectores en R2 y producto por un escalarCombinaciones lineales de vectoresVectores en R3
2 Longitud y producto puntoProducto puntoLongitud y vectores unitariosAngulo entre dos vectores
Tema 1: vectores, combinaciones lineales y producto punto
Vectores y combinaciones lineales
Vectores en R3
Extension de la idea de vector a mas dimensiones
Podemos pensar tambien en vectores que tengan trescomponentes v1, v2, y v3.El plano xy es reemplazado por el espacio xyz.Una combinacion lineal de dos vectores en R3 es
2
103
+ 4
121
=
2 · 1 + 4 · 12 · 0 + 4 · 22 · 3 + 4 · 1
=
6810
v = (4,2) o w = (1,2,1) son vectores columna, de R2 yR3, representados como numeros separados por comapara simplificar la escritura. ¡No son vectores fila!
Tema 1: vectores, combinaciones lineales y producto punto
Vectores y combinaciones lineales
Vectores en R3
Extension de la idea de vector a mas dimensiones
Podemos pensar tambien en vectores que tengan trescomponentes v1, v2, y v3.El plano xy es reemplazado por el espacio xyz.Una combinacion lineal de dos vectores en R3 es
2
103
+ 4
121
=
2 · 1 + 4 · 12 · 0 + 4 · 22 · 3 + 4 · 1
=
6810
v = (4,2) o w = (1,2,1) son vectores columna, de R2 yR3, representados como numeros separados por comapara simplificar la escritura. ¡No son vectores fila!
Tema 1: vectores, combinaciones lineales y producto punto
Vectores y combinaciones lineales
Vectores en R3
Extension de la idea de vector a mas dimensiones
Podemos pensar tambien en vectores que tengan trescomponentes v1, v2, y v3.El plano xy es reemplazado por el espacio xyz.Una combinacion lineal de dos vectores en R3 es
2
103
+ 4
121
=
2 · 1 + 4 · 12 · 0 + 4 · 22 · 3 + 4 · 1
=
6810
v = (4,2) o w = (1,2,1) son vectores columna, de R2 yR3, representados como numeros separados por comapara simplificar la escritura. ¡No son vectores fila!
Tema 1: vectores, combinaciones lineales y producto punto
Vectores y combinaciones lineales
Vectores en R3
Extension de la idea de vector a mas dimensiones
Podemos pensar tambien en vectores que tengan trescomponentes v1, v2, y v3.El plano xy es reemplazado por el espacio xyz.Una combinacion lineal de dos vectores en R3 es
2
103
+ 4
121
=
2 · 1 + 4 · 12 · 0 + 4 · 22 · 3 + 4 · 1
=
6810
v = (4,2) o w = (1,2,1) son vectores columna, de R2 yR3, representados como numeros separados por comapara simplificar la escritura. ¡No son vectores fila!
Tema 1: vectores, combinaciones lineales y producto punto
Vectores y combinaciones lineales
Vectores en R3
Representacion de vectores en R3
v =
1121
w =
1321
2v +12
w = 2
1121
+
12
1321
=
2 · 1 + 12 · 1
3
2 · 12 + 1
2 · 22 · 1 + 1
2 · 1
=
136
252
= u
Tema 1: vectores, combinaciones lineales y producto punto
Vectores y combinaciones lineales
Vectores en R3
Repaso de ideas clave
1 Un vector v en el espacio de vectores R2 tiene doscomponentes v1 y v2.
2 v + w =
(v1 + w1v2 + w2
)y cv =
(cv1cv2
)
3 Un vector v en el espacio de vectores R3 tiene trescomponentes v1, v2 y v3.
4 v + w =
v1 + w1v2 + w2v3 + w3
y cv =
cv1cv2cv3
5 Una combinacion lineal de tres vectores u, v y w, encualquier espacio de vectores, es cu + dv + ew.
Tema 1: vectores, combinaciones lineales y producto punto
Vectores y combinaciones lineales
Vectores en R3
Repaso de ideas clave
1 Un vector v en el espacio de vectores R2 tiene doscomponentes v1 y v2.
2 v + w =
(v1 + w1v2 + w2
)y cv =
(cv1cv2
)
3 Un vector v en el espacio de vectores R3 tiene trescomponentes v1, v2 y v3.
4 v + w =
v1 + w1v2 + w2v3 + w3
y cv =
cv1cv2cv3
5 Una combinacion lineal de tres vectores u, v y w, encualquier espacio de vectores, es cu + dv + ew.
Tema 1: vectores, combinaciones lineales y producto punto
Vectores y combinaciones lineales
Vectores en R3
Repaso de ideas clave
1 Un vector v en el espacio de vectores R2 tiene doscomponentes v1 y v2.
2 v + w =
(v1 + w1v2 + w2
)y cv =
(cv1cv2
)
3 Un vector v en el espacio de vectores R3 tiene trescomponentes v1, v2 y v3.
4 v + w =
v1 + w1v2 + w2v3 + w3
y cv =
cv1cv2cv3
5 Una combinacion lineal de tres vectores u, v y w, encualquier espacio de vectores, es cu + dv + ew.
Tema 1: vectores, combinaciones lineales y producto punto
Vectores y combinaciones lineales
Vectores en R3
Ejemplo 1
Las combinaciones lineales de estos vectores de R3
v =
110
y w =
011
llenan un plano. Describir este plano. Encontrar un vector queno sea una combinacion lineal de v y w.
Tema 1: vectores, combinaciones lineales y producto punto
Vectores y combinaciones lineales
Vectores en R3
Ejemplo 1
Las combinaciones lineales de estos vectores de R3
v =
110
y w =
011
llenan un plano. Describir este plano. Encontrar un vector queno sea una combinacion lineal de v y w.
Los vectores en el plano corresponden a todas lascombinaciones lineales posibles de la forma
cv + dw = c
110
+ d
011
=
cc + d
d
para numeros cualesquiera c y d pertenecientes a R.
Tema 1: vectores, combinaciones lineales y producto punto
Vectores y combinaciones lineales
Vectores en R3
Ejemplo 1
Las combinaciones lineales de estos vectores de R3
v =
110
y w =
011
llenan un plano. Describir este plano. Encontrar un vector queno sea una combinacion lineal de v y w.
Los vectores del plano son entonces u = (c, c + d ,d).Cuatro vectores particulares de este plano son(0,0,0), (1,2,1), (−2,−1,1) y (−1,0,1).La segunda componente c + d es siempre la suma de laprimera y la tercera.El vector (2,0,1) no es una combinacion lineal de v y w,debido a que 0 6= 2 + 1.
Tema 1: vectores, combinaciones lineales y producto punto
Vectores y combinaciones lineales
Vectores en R3
Ejemplo 1
Las combinaciones lineales de estos vectores de R3
v =
110
y w =
011
llenan un plano. Describir este plano. Encontrar un vector queno sea una combinacion lineal de v y w.
Los vectores del plano son entonces u = (c, c + d ,d).Cuatro vectores particulares de este plano son(0,0,0), (1,2,1), (−2,−1,1) y (−1,0,1).La segunda componente c + d es siempre la suma de laprimera y la tercera.El vector (2,0,1) no es una combinacion lineal de v y w,debido a que 0 6= 2 + 1.
Tema 1: vectores, combinaciones lineales y producto punto
Vectores y combinaciones lineales
Vectores en R3
Ejemplo 1
Las combinaciones lineales de estos vectores de R3
v =
110
y w =
011
llenan un plano. Describir este plano. Encontrar un vector queno sea una combinacion lineal de v y w.
Los vectores del plano son entonces u = (c, c + d ,d).Cuatro vectores particulares de este plano son(0,0,0), (1,2,1), (−2,−1,1) y (−1,0,1).La segunda componente c + d es siempre la suma de laprimera y la tercera.El vector (2,0,1) no es una combinacion lineal de v y w,debido a que 0 6= 2 + 1.
Tema 1: vectores, combinaciones lineales y producto punto
Vectores y combinaciones lineales
Vectores en R3
Ejemplo 1
Las combinaciones lineales de estos vectores de R3
v =
110
y w =
011
llenan un plano. Describir este plano. Encontrar un vector queno sea una combinacion lineal de v y w.
Los vectores del plano son entonces u = (c, c + d ,d).Cuatro vectores particulares de este plano son(0,0,0), (1,2,1), (−2,−1,1) y (−1,0,1).La segunda componente c + d es siempre la suma de laprimera y la tercera.El vector (2,0,1) no es una combinacion lineal de v y w,debido a que 0 6= 2 + 1.
Tema 1: vectores, combinaciones lineales y producto punto
Vectores y combinaciones lineales
Vectores en R3
Tema 1: vectores, combinaciones lineales y producto punto
Vectores y combinaciones lineales
Vectores en R3
Ejemplo 2
Encontrar dos ecuaciones para las incognitas c y d tales que lacombinacion lineal cv + dw sea igual al vector b
v =
(2−1
)w =
(−1
2
)b =
(10
)
La ecuacion vectorial del problema es
c(
2−1
)+ d
(−1
2
)=
(10
)
El sistema de ecuaciones lineales para c y d es
2c − d = −3−c + 2d = 0
Tema 1: vectores, combinaciones lineales y producto punto
Vectores y combinaciones lineales
Vectores en R3
Ejemplo 2
Encontrar dos ecuaciones para las incognitas c y d tales que lacombinacion lineal cv + dw sea igual al vector b
v =
(2−1
)w =
(−1
2
)b =
(10
)
La ecuacion vectorial del problema es
c(
2−1
)+ d
(−1
2
)=
(10
)
El sistema de ecuaciones lineales para c y d es
2c − d = −3−c + 2d = 0
Tema 1: vectores, combinaciones lineales y producto punto
Vectores y combinaciones lineales
Vectores en R3
Ejemplo 2
Encontrar dos ecuaciones para las incognitas c y d tales que lacombinacion lineal cv + dw sea igual al vector b
v =
(2−1
)w =
(−1
2
)b =
(10
)
La ecuacion vectorial del problema es
c(
2−1
)+ d
(−1
2
)=
(10
)
El sistema de ecuaciones lineales para c y d es
2c − d = −3−c + 2d = 0
Tema 1: vectores, combinaciones lineales y producto punto
Longitud y producto punto
Producto punto
Indice
1 Vectores y combinaciones linealesVectores en R2 y producto por un escalarCombinaciones lineales de vectoresVectores en R3
2 Longitud y producto puntoProducto puntoLongitud y vectores unitariosAngulo entre dos vectores
Tema 1: vectores, combinaciones lineales y producto punto
Longitud y producto punto
Producto punto
Una nueva operacion con vectores
En la seccion anterior no hablamos de multiplicacion entrevectores.Ahora definiremos un producto punto entre v y w.Esta multiplicacion implica calcular los productos v1w1 yv2w2, pero no solo eso.Estos dos numeros deben sumarse para obtener un uniconumero v ·w.El producto punto nos brinda informacion geometrica(longitud y angulo entre vectores).
Tema 1: vectores, combinaciones lineales y producto punto
Longitud y producto punto
Producto punto
Una nueva operacion con vectores
En la seccion anterior no hablamos de multiplicacion entrevectores.Ahora definiremos un producto punto entre v y w.Esta multiplicacion implica calcular los productos v1w1 yv2w2, pero no solo eso.Estos dos numeros deben sumarse para obtener un uniconumero v ·w.El producto punto nos brinda informacion geometrica(longitud y angulo entre vectores).
Tema 1: vectores, combinaciones lineales y producto punto
Longitud y producto punto
Producto punto
Una nueva operacion con vectores
En la seccion anterior no hablamos de multiplicacion entrevectores.Ahora definiremos un producto punto entre v y w.Esta multiplicacion implica calcular los productos v1w1 yv2w2, pero no solo eso.Estos dos numeros deben sumarse para obtener un uniconumero v ·w.El producto punto nos brinda informacion geometrica(longitud y angulo entre vectores).
Tema 1: vectores, combinaciones lineales y producto punto
Longitud y producto punto
Producto punto
Una nueva operacion con vectores
En la seccion anterior no hablamos de multiplicacion entrevectores.Ahora definiremos un producto punto entre v y w.Esta multiplicacion implica calcular los productos v1w1 yv2w2, pero no solo eso.Estos dos numeros deben sumarse para obtener un uniconumero v ·w.El producto punto nos brinda informacion geometrica(longitud y angulo entre vectores).
Tema 1: vectores, combinaciones lineales y producto punto
Longitud y producto punto
Producto punto
Una nueva operacion con vectores
En la seccion anterior no hablamos de multiplicacion entrevectores.Ahora definiremos un producto punto entre v y w.Esta multiplicacion implica calcular los productos v1w1 yv2w2, pero no solo eso.Estos dos numeros deben sumarse para obtener un uniconumero v ·w.El producto punto nos brinda informacion geometrica(longitud y angulo entre vectores).
Tema 1: vectores, combinaciones lineales y producto punto
Longitud y producto punto
Producto punto
Definicion del producto punto
Definicion 2
El producto punto de dos vectores columna de R2
v =
(v1v2
)y w =
(w1w2
)
es el numero v ·w
v ·w = v1w1 + v2w2
Tema 1: vectores, combinaciones lineales y producto punto
Longitud y producto punto
Producto punto
Ejemplo 3
Los vectores v = (−1,2) y w = (4,2) tienen producto puntocero
v ·w =
(−1
2
)·(
42
)= (−1) · 4 + 2 · 2 = −4 + 4 = 0
Tema 1: vectores, combinaciones lineales y producto punto
Longitud y producto punto
Producto punto
Ejemplo 3
Los vectores v = (−1,2) y w = (4,2) tienen producto puntocero
v ·w =
(−1
2
)·(
42
)= (−1) · 4 + 2 · 2 = −4 + 4 = 0
En matematicas, el numero cero suele tener un significadoespecial.Con el producto punto, significa que estos dos vectoresson perpendiculares (simbolizado con ⊥).Osea que el angulo entre ellos es de π
2 radianes (= 90◦).
Tema 1: vectores, combinaciones lineales y producto punto
Longitud y producto punto
Producto punto
Ejemplo 3
Los vectores v = (−1,2) y w = (4,2) tienen producto puntocero
v ·w =
(−1
2
)·(
42
)= (−1) · 4 + 2 · 2 = −4 + 4 = 0
En matematicas, el numero cero suele tener un significadoespecial.Con el producto punto, significa que estos dos vectoresson perpendiculares (simbolizado con ⊥).Osea que el angulo entre ellos es de π
2 radianes (= 90◦).
Tema 1: vectores, combinaciones lineales y producto punto
Longitud y producto punto
Producto punto
Ejemplo 3
Los vectores v = (−1,2) y w = (4,2) tienen producto puntocero
v ·w =
(−1
2
)·(
42
)= (−1) · 4 + 2 · 2 = −4 + 4 = 0
En matematicas, el numero cero suele tener un significadoespecial.Con el producto punto, significa que estos dos vectoresson perpendiculares (simbolizado con ⊥).Osea que el angulo entre ellos es de π
2 radianes (= 90◦).
Tema 1: vectores, combinaciones lineales y producto punto
Longitud y producto punto
Producto punto
Ejemplo 3
Los vectores v = (−1,2) y w = (4,2) tienen producto puntocero
v ·w =
(−1
2
)·(
42
)= (−1) · 4 + 2 · 2 = −4 + 4 = 0
1
2
3
4
y
−1 1 2 3 4
x
vw
Tema 1: vectores, combinaciones lineales y producto punto
Longitud y producto punto
Producto punto
Comentarios acerca del producto punto
El ejemplo mas evidente de vectores ⊥ es i = (1,0), a lolargo del eje x , y j = (0,1), a lo largo del eje y
1
y
1
x
i
j
El producto i · j = 1 · 0 + 0 · 1 = 0. Estos vectores formanevidentemente un angulo recto.
Tema 1: vectores, combinaciones lineales y producto punto
Longitud y producto punto
Producto punto
Comentarios acerca del producto punto
El ejemplo mas evidente de vectores ⊥ es i = (1,0), a lolargo del eje x , y j = (0,1), a lo largo del eje y
1
y
1
x
i
j
El producto i · j = 1 · 0 + 0 · 1 = 0. Estos vectores formanevidentemente un angulo recto.
Tema 1: vectores, combinaciones lineales y producto punto
Longitud y producto punto
Longitud y vectores unitarios
Indice
1 Vectores y combinaciones linealesVectores en R2 y producto por un escalarCombinaciones lineales de vectoresVectores en R3
2 Longitud y producto puntoProducto puntoLongitud y vectores unitariosAngulo entre dos vectores
Tema 1: vectores, combinaciones lineales y producto punto
Longitud y producto punto
Longitud y vectores unitarios
Producto punto de un vector con sı mismo
Un caso importante es el producto punto de un vector consı mismo. En este caso v y w son iguales.Si tenemos v = (1,3,2), el producto con sı mismo esv · v = |v|2 = 14.
Longitud al cuadrado
|v|2 =
132
·
132
= 1 · 1 + 3 · 3 + 2 · 2 = 1 + 9 + 4 = 14
En vez de 90◦, entre los vectores tenemos 0◦. El productopunto es 14 6= 0, porque v no es ⊥ a sı mismo.El producto punto v · v es la longitud al cuadrado de v.
Tema 1: vectores, combinaciones lineales y producto punto
Longitud y producto punto
Longitud y vectores unitarios
Producto punto de un vector con sı mismo
Un caso importante es el producto punto de un vector consı mismo. En este caso v y w son iguales.Si tenemos v = (1,3,2), el producto con sı mismo esv · v = |v|2 = 14.
Longitud al cuadrado
|v|2 =
132
·
132
= 1 · 1 + 3 · 3 + 2 · 2 = 1 + 9 + 4 = 14
En vez de 90◦, entre los vectores tenemos 0◦. El productopunto es 14 6= 0, porque v no es ⊥ a sı mismo.El producto punto v · v es la longitud al cuadrado de v.
Tema 1: vectores, combinaciones lineales y producto punto
Longitud y producto punto
Longitud y vectores unitarios
Producto punto de un vector con sı mismo
Un caso importante es el producto punto de un vector consı mismo. En este caso v y w son iguales.Si tenemos v = (1,3,2), el producto con sı mismo esv · v = |v|2 = 14.
Longitud al cuadrado
|v|2 =
132
·
132
= 1 · 1 + 3 · 3 + 2 · 2 = 1 + 9 + 4 = 14
En vez de 90◦, entre los vectores tenemos 0◦. El productopunto es 14 6= 0, porque v no es ⊥ a sı mismo.El producto punto v · v es la longitud al cuadrado de v.
Tema 1: vectores, combinaciones lineales y producto punto
Longitud y producto punto
Longitud y vectores unitarios
Producto punto de un vector con sı mismo
Un caso importante es el producto punto de un vector consı mismo. En este caso v y w son iguales.Si tenemos v = (1,3,2), el producto con sı mismo esv · v = |v|2 = 14.
Longitud al cuadrado
|v|2 =
132
·
132
= 1 · 1 + 3 · 3 + 2 · 2 = 1 + 9 + 4 = 14
En vez de 90◦, entre los vectores tenemos 0◦. El productopunto es 14 6= 0, porque v no es ⊥ a sı mismo.El producto punto v · v es la longitud al cuadrado de v.
Tema 1: vectores, combinaciones lineales y producto punto
Longitud y producto punto
Longitud y vectores unitarios
Longitud de un vector
Definicion 3
La longitud (o norma) |v| de un vector v es la raız cuadradade v · v
longitud de v = |v| =√
v · v
En dos dimensiones la longitud es√
v21 + v2
2 .
En tres dimensiones es√
v21 + v2
2 + v23 .
En el ejemplo la longitud de v = (1,3,2) es |v| =√
14.La |v| = √v · v es simplemente la longitud de la flecha querepresenta al vector.
Tema 1: vectores, combinaciones lineales y producto punto
Longitud y producto punto
Longitud y vectores unitarios
Longitud de un vector
Definicion 3
La longitud (o norma) |v| de un vector v es la raız cuadradade v · v
longitud de v = |v| =√
v · v
En dos dimensiones la longitud es√
v21 + v2
2 .
En tres dimensiones es√
v21 + v2
2 + v23 .
En el ejemplo la longitud de v = (1,3,2) es |v| =√
14.La |v| = √v · v es simplemente la longitud de la flecha querepresenta al vector.
Tema 1: vectores, combinaciones lineales y producto punto
Longitud y producto punto
Longitud y vectores unitarios
Longitud de un vector
Definicion 3
La longitud (o norma) |v| de un vector v es la raız cuadradade v · v
longitud de v = |v| =√
v · v
En dos dimensiones la longitud es√
v21 + v2
2 .
En tres dimensiones es√
v21 + v2
2 + v23 .
En el ejemplo la longitud de v = (1,3,2) es |v| =√
14.La |v| = √v · v es simplemente la longitud de la flecha querepresenta al vector.
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Longitud y producto punto
Longitud y vectores unitarios
Longitud de un vector
Definicion 3
La longitud (o norma) |v| de un vector v es la raız cuadradade v · v
longitud de v = |v| =√
v · v
En dos dimensiones la longitud es√
v21 + v2
2 .
En tres dimensiones es√
v21 + v2
2 + v23 .
En el ejemplo la longitud de v = (1,3,2) es |v| =√
14.La |v| = √v · v es simplemente la longitud de la flecha querepresenta al vector.
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Longitud y producto punto
Longitud y vectores unitarios
Longitud de un vector
Definicion 3
La longitud (o norma) |v| de un vector v es la raız cuadradade v · v
longitud de v = |v| =√
v · v
En dos dimensiones la longitud es√
v21 + v2
2 .
En tres dimensiones es√
v21 + v2
2 + v23 .
En el ejemplo la longitud de v = (1,3,2) es |v| =√
14.La |v| = √v · v es simplemente la longitud de la flecha querepresenta al vector.
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Longitud y producto punto
Longitud y vectores unitarios
Los vectores unitarios
Definicion 4
Un vector unitario u es un vector cuya longitud es igual a 1.Entonces u · u = 1.
Un ejemplo en R4 es u =(1
2 ,12 ,
12 ,
12
).
Tenemos que |u| = √u · u =√
14 + 1
4 + 14 + 1
4 =√
1 = 1.Para obtener u podrıamos haber dividido el vectorv = (1,1,1,1) por su longitud
|v| =√
12 + 12 + 12 + 12 =√
4 = 2
u =v|v| =
v2
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Longitud y producto punto
Longitud y vectores unitarios
Los vectores unitarios
Definicion 4
Un vector unitario u es un vector cuya longitud es igual a 1.Entonces u · u = 1.
Un ejemplo en R4 es u =(1
2 ,12 ,
12 ,
12
).
Tenemos que |u| = √u · u =√
14 + 1
4 + 14 + 1
4 =√
1 = 1.Para obtener u podrıamos haber dividido el vectorv = (1,1,1,1) por su longitud
|v| =√
12 + 12 + 12 + 12 =√
4 = 2
u =v|v| =
v2
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Longitud y producto punto
Longitud y vectores unitarios
Los vectores unitarios
Definicion 4
Un vector unitario u es un vector cuya longitud es igual a 1.Entonces u · u = 1.
Un ejemplo en R4 es u =(1
2 ,12 ,
12 ,
12
).
Tenemos que |u| = √u · u =√
14 + 1
4 + 14 + 1
4 =√
1 = 1.Para obtener u podrıamos haber dividido el vectorv = (1,1,1,1) por su longitud
|v| =√
12 + 12 + 12 + 12 =√
4 = 2
u =v|v| =
v2
Tema 1: vectores, combinaciones lineales y producto punto
Longitud y producto punto
Longitud y vectores unitarios
Los vectores unitarios
Definicion 4
Un vector unitario u es un vector cuya longitud es igual a 1.Entonces u · u = 1.
Un ejemplo en R4 es u =(1
2 ,12 ,
12 ,
12
).
Tenemos que |u| = √u · u =√
14 + 1
4 + 14 + 1
4 =√
1 = 1.Para obtener u podrıamos haber dividido el vectorv = (1,1,1,1) por su longitud
|v| =√
12 + 12 + 12 + 12 =√
4 = 2
u =v|v| =
v2
Tema 1: vectores, combinaciones lineales y producto punto
Longitud y producto punto
Longitud y vectores unitarios
Vectores unitarios en el plano R2
Ejemplo 4
Los vectores unitarios a lo largo de los ejes x e y se escriben iy j. En el plano xy , aquel vector unitario u que forme un anguloθ con el eje x es u = (cos θ, sin θ).
i =(
10
)j =
(01
)u =
(cos θsin θ
)
Si θ = 0 el vector horizontal u es i.Si θ = π
2 radianes (= 90◦), el vector vertical u es j.A cualquier angulo, las componentes cos θ y sin θ hacenque u · u = 1, porque sin2 θ + cos2 θ = 1.Los puntos que representan estos vectores unitariosforman un cırculo de radio unidad.
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Longitud y producto punto
Longitud y vectores unitarios
Vectores unitarios en el plano R2
Ejemplo 4
Los vectores unitarios a lo largo de los ejes x e y se escriben iy j. En el plano xy , aquel vector unitario u que forme un anguloθ con el eje x es u = (cos θ, sin θ).
i =(
10
)j =
(01
)u =
(cos θsin θ
)
Si θ = 0 el vector horizontal u es i.Si θ = π
2 radianes (= 90◦), el vector vertical u es j.A cualquier angulo, las componentes cos θ y sin θ hacenque u · u = 1, porque sin2 θ + cos2 θ = 1.Los puntos que representan estos vectores unitariosforman un cırculo de radio unidad.
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Longitud y producto punto
Longitud y vectores unitarios
Vectores unitarios en el plano R2
Ejemplo 4
Los vectores unitarios a lo largo de los ejes x e y se escriben iy j. En el plano xy , aquel vector unitario u que forme un anguloθ con el eje x es u = (cos θ, sin θ).
i =(
10
)j =
(01
)u =
(cos θsin θ
)
Si θ = 0 el vector horizontal u es i.Si θ = π
2 radianes (= 90◦), el vector vertical u es j.A cualquier angulo, las componentes cos θ y sin θ hacenque u · u = 1, porque sin2 θ + cos2 θ = 1.Los puntos que representan estos vectores unitariosforman un cırculo de radio unidad.
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Longitud y producto punto
Longitud y vectores unitarios
Vectores unitarios en el plano R2
Ejemplo 4
Los vectores unitarios a lo largo de los ejes x e y se escriben iy j. En el plano xy , aquel vector unitario u que forme un anguloθ con el eje x es u = (cos θ, sin θ).
i =(
10
)j =
(01
)u =
(cos θsin θ
)
Si θ = 0 el vector horizontal u es i.Si θ = π
2 radianes (= 90◦), el vector vertical u es j.A cualquier angulo, las componentes cos θ y sin θ hacenque u · u = 1, porque sin2 θ + cos2 θ = 1.Los puntos que representan estos vectores unitariosforman un cırculo de radio unidad.
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Longitud y producto punto
Longitud y vectores unitarios
Vectores unitarios en el plano R2
Ejemplo 4
Los vectores unitarios a lo largo de los ejes x e y se escriben iy j. En el plano xy , aquel vector unitario u que forme un anguloθ con el eje x es u = (cos θ, sin θ).
i =(
10
)j =
(01
)u =
(cos θsin θ
)
Si θ = 0 el vector horizontal u es i.Si θ = π
2 radianes (= 90◦), el vector vertical u es j.A cualquier angulo, las componentes cos θ y sin θ hacenque u · u = 1, porque sin2 θ + cos2 θ = 1.Los puntos que representan estos vectores unitariosforman un cırculo de radio unidad.
Tema 1: vectores, combinaciones lineales y producto punto
Longitud y producto punto
Longitud y vectores unitarios
Vectores unitarios en el plano R2
−1
1
y
−1 1
x
cos θ
sinθ
θ
i
j
u|u|=1
−1
1
y
−1 1
x
u =v√2
u =
(1√21√2
)v =
(11
)
|u|=1
|v|=
√ 2
Vector unitario
u = v|v| es un vector unitario en la misma direccion que v.
Tema 1: vectores, combinaciones lineales y producto punto
Longitud y producto punto
Longitud y vectores unitarios
Vectores unitarios en el plano R2
−1
1
y
−1 1
x
cos θ
sinθ
θ
i
j
u|u|=1
−1
1
y
−1 1
x
u =v√2
u =
(1√21√2
)v =
(11
)
|u|=1
|v|=
√ 2
Vector unitario
u = v|v| es un vector unitario en la misma direccion que v.
Tema 1: vectores, combinaciones lineales y producto punto
Longitud y producto punto
Longitud y vectores unitarios
Vectores unitarios en el plano R2
−1
1
y
−1 1
x
cos θ
sinθ
θ
i
j
u|u|=1
−1
1
y
−1 1
x
u =v√2
u =
(1√21√2
)v =
(11
)
|u|=1
|v|=
√ 2
Vector unitario
u = v|v| es un vector unitario en la misma direccion que v.
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Longitud y producto punto
Angulo entre dos vectores
Indice
1 Vectores y combinaciones linealesVectores en R2 y producto por un escalarCombinaciones lineales de vectoresVectores en R3
2 Longitud y producto puntoProducto puntoLongitud y vectores unitariosAngulo entre dos vectores
Tema 1: vectores, combinaciones lineales y producto punto
Longitud y producto punto
Angulo entre dos vectores
Teorema 1
El producto punto v ·w = 0 cuando v es perpendicular a w.
wv
Tema 1: vectores, combinaciones lineales y producto punto
Longitud y producto punto
Angulo entre dos vectores
Teorema 2
Si v y w son vectores unitarios, entonces
v ·w = cos θ
w
vr=1
θ
Tema 1: vectores, combinaciones lineales y producto punto
Longitud y producto punto
Angulo entre dos vectores
Teorema 3
Si v y w son un par de vectores no nulos cualesquiera,entonces
v ·w = |v||w| cos θ
w
v
r=1
θ
Tema 1: vectores, combinaciones lineales y producto punto
Longitud y producto punto
Angulo entre dos vectores
Repaso de ideas clave
1 El producto punto v ·w multiplica cada vi por wi y luegosuma todos los viwi .
2 La longitud |v| de un vector es la raız cuadrada de v · v.3 u = v
|v| es un vector unitario. Su longitud es 1.
4 El producto punto v ·w = 0 cuando los vectores v y w sonperpendiculares.
5 El coseno de θ (el angulo entre dos vectores v y w nonulos) puede calcularse a partir de
v ·w = |v||w| cos θ
Tema 1: vectores, combinaciones lineales y producto punto
Longitud y producto punto
Angulo entre dos vectores
Repaso de ideas clave
1 El producto punto v ·w multiplica cada vi por wi y luegosuma todos los viwi .
2 La longitud |v| de un vector es la raız cuadrada de v · v.3 u = v
|v| es un vector unitario. Su longitud es 1.
4 El producto punto v ·w = 0 cuando los vectores v y w sonperpendiculares.
5 El coseno de θ (el angulo entre dos vectores v y w nonulos) puede calcularse a partir de
v ·w = |v||w| cos θ
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Longitud y producto punto
Angulo entre dos vectores
Repaso de ideas clave
1 El producto punto v ·w multiplica cada vi por wi y luegosuma todos los viwi .
2 La longitud |v| de un vector es la raız cuadrada de v · v.3 u = v
|v| es un vector unitario. Su longitud es 1.
4 El producto punto v ·w = 0 cuando los vectores v y w sonperpendiculares.
5 El coseno de θ (el angulo entre dos vectores v y w nonulos) puede calcularse a partir de
v ·w = |v||w| cos θ
Tema 1: vectores, combinaciones lineales y producto punto
Longitud y producto punto
Angulo entre dos vectores
Repaso de ideas clave
1 El producto punto v ·w multiplica cada vi por wi y luegosuma todos los viwi .
2 La longitud |v| de un vector es la raız cuadrada de v · v.3 u = v
|v| es un vector unitario. Su longitud es 1.
4 El producto punto v ·w = 0 cuando los vectores v y w sonperpendiculares.
5 El coseno de θ (el angulo entre dos vectores v y w nonulos) puede calcularse a partir de
v ·w = |v||w| cos θ
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Longitud y producto punto
Angulo entre dos vectores
Repaso de ideas clave
1 El producto punto v ·w multiplica cada vi por wi y luegosuma todos los viwi .
2 La longitud |v| de un vector es la raız cuadrada de v · v.3 u = v
|v| es un vector unitario. Su longitud es 1.
4 El producto punto v ·w = 0 cuando los vectores v y w sonperpendiculares.
5 El coseno de θ (el angulo entre dos vectores v y w nonulos) puede calcularse a partir de
v ·w = |v||w| cos θ
Tema 1: vectores, combinaciones lineales y producto punto
Longitud y producto punto
Angulo entre dos vectores
Utilizacion de la formula del coseno
Ejemplo 5
Encontrar cos θ para v = (2,1) y w = (1,2).
El producto punto es v ·w = 4.Tanto v como w tienen longitud
√5.
El coseno es 45
cos θ =v ·w|v||w| =
4√5√
5=
45
Entonces el angulo sera
θ = arc cos(
45
)≈ 36◦8698 . . .
Tema 1: vectores, combinaciones lineales y producto punto
Longitud y producto punto
Angulo entre dos vectores
Utilizacion de la formula del coseno
Ejemplo 5
Encontrar cos θ para v = (2,1) y w = (1,2).
El producto punto es v ·w = 4.Tanto v como w tienen longitud
√5.
El coseno es 45
cos θ =v ·w|v||w| =
4√5√
5=
45
Entonces el angulo sera
θ = arc cos(
45
)≈ 36◦8698 . . .
Tema 1: vectores, combinaciones lineales y producto punto
Longitud y producto punto
Angulo entre dos vectores
Utilizacion de la formula del coseno
Ejemplo 5
Encontrar cos θ para v = (2,1) y w = (1,2).
El producto punto es v ·w = 4.Tanto v como w tienen longitud
√5.
El coseno es 45
cos θ =v ·w|v||w| =
4√5√
5=
45
Entonces el angulo sera
θ = arc cos(
45
)≈ 36◦8698 . . .
Tema 1: vectores, combinaciones lineales y producto punto
Longitud y producto punto
Angulo entre dos vectores
Utilizacion de la formula del coseno
Ejemplo 5
Encontrar cos θ para v = (2,1) y w = (1,2).
El producto punto es v ·w = 4.Tanto v como w tienen longitud
√5.
El coseno es 45
cos θ =v ·w|v||w| =
4√5√
5=
45
Entonces el angulo sera
θ = arc cos(
45
)≈ 36◦8698 . . .
Tema 1: vectores, combinaciones lineales y producto punto
Longitud y producto punto
Angulo entre dos vectores
Utilizacion de la formula del coseno
Ejemplo 5
Encontrar cos θ para v = (2,1) y w = (1,2).
El producto punto es v ·w = 4.Tanto v como w tienen longitud
√5.
El coseno es 45
cos θ =v ·w|v||w| =
4√5√
5=
45
Entonces el angulo sera
θ = arc cos(
45
)≈ 36◦8698 . . .
Tema 1: vectores, combinaciones lineales y producto punto
Ejemplos con SAGE
Operacion con vectores de Rn
Indice
3 Ejemplos con SAGEOperacion con vectores de Rn
Tema 1: vectores, combinaciones lineales y producto punto
Ejemplos con SAGE
Operacion con vectores de Rn
Crear y operar con vectores
# crear el vector u ∈ R3
u = vector((1,1,0))# crear el vector v ∈ R3
v = vector((0,1,1))# producto por un escalar: a =
√2u
a = sqrt(2)*u# suma: b = u + vb = u+v# resta: c = v− uc = v-u# combinacion lineal: d = 2u + 3vd = 2*u+3*v# mostrar los resultadosprint a;b;c;d
Tema 1: vectores, combinaciones lineales y producto punto
Ejemplos con SAGE
Operacion con vectores de Rn
Producto punto y longitud
# crear el vector u ∈ R5
u = vector((1,1,1,-1,3))# la longitud es |u| =
√13
print u.norm()# crear dos vectores v y w de R2
v = vector((4,2))w = vector((2,-4))# la longitud es |v| = 2
√5
print v.norm()# el producto es v ·w = 0print v.dot_product(w)