1 座標平面内の 2つの曲線

C1 : y = log(2x); C2 : y = 2 logx

の共通接線を `とする．このとき以下の問いに答えよ．

(1) 直線 `の方程式を求めよ．

(2) C1，C2および `で囲まれる領域の面積を求めよ．

2 駒が単位時間ごとに座標平面上を移動するものとする．nは 0以

上の整数とし，時刻 nに点 (x; y)にある駒は，時刻 n+1には14ずつの確率で，4点 (x+1; y)，(x¡ 1; y)，(x; y+1)，

(x; y ¡ 1)のいずれかに移動するものとする．時刻 0に点

(0; 0)にある駒について，次の問いに答えよ．

(1) 時刻 2に，駒が点 (0; 0)，点 (1; 0)，点 (1; 1)，点 (2; 0)

にある確率を，それぞれ求めよ．

(2) 時刻 4に，駒が点 (0; 0)にある確率を求めよ．

(3) 時刻 nに駒が点 (x; y)にあるとき，nと x+ yの差は 2の

倍数であることを示せ．

3 四面体 OABC において，j¡!OAj = j

¡!OBj = j

¡!OCj = 1，

ÎAOB =¼6，ÎBOC = ¼

4，ÎCOA = ¼

3であるとす

る．次の問に答えよ．

(1) 頂点 Cから三角形OABを含む平面に下ろした垂線を CDと

するとき，¡!ODを

¡!OAと

¡!OBを用いて表せ．

(2) 四面体OABCの体積を求めよ．

4 数列 fang; fbngを以下で定める．

a1 = 2; b1 = 1W an+1 = 2an + 3bnbn+1 = an + 2bn

(n = 1; 2; 3; Ý)

(1) n = 1; 2; 3; Ýについて，

an +p3bn = (2 +

p3)n

an ¡p3bn = (2¡

p3)n

が成り立つことを示せ．

(2)bnanを nを用いて表せ．

(3) 数列 fengを

en =

p3 bnan

¡ 1 (n = 1; 2; 3; Ý)

で定めるとき，n = 3ならば

en < 0:001

であることを示せ．ただし，0:071 < 2¡p3

2 +p3< 0:072を用い

てもよい．

5 不等式

x2 + y2 ¡ 2x¡ 2y+ 1 5 0

の表す領域を Aとし，不等式

log10(y¡ 1)¡ 2 log10 x¡ 1 = 0

で表される領域を Bとする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1) Aを図示せよ．

(2) Bを図示せよ．

(3) 点 (x; y)が AとBの共通部分A\Bを動くとき，x+yの

最大値および最小値を求めよ．