Post on 04-Jan-2016
Deflexión de una viga Una buena cantidad de estructuras se construyen a base de vigas, vigas que se flexionan o
distorsionan por su propio peso o la influencia de alguna fuerza externa. Según veremos a
continuación, esta flexión ( )xy está determinada por una ecuación diferencial lineal de
cuarto orden, relativamente sencilla.
Para empezar, supongamos que una viga de longitud L es homogénea y tiene sección
transversal uniforme en toda su longitud. Cuando no recibe carga alguna, incluyendo su
propio peso, la curva que une los centroides de sus secciones transversales es una recta que
se llama eje de simetría (Ver figura).
Si a la viga se le aplica una carga en un plano vertical que contenga al eje de simetría como
se ve en la figura,
sufre una distorsión y la curva que une los centroides de las secciones transversales se
llama curva de flexión o curva elástica o simplemente elástica. La curva de flexión
describe la forma de la viga. Supongamos que el eje x coincide con el eje de simetría y que
la flexión ( o flecha) ( )xy m medida desde este eje, es positiva si es hacia abajo. En teoría
de la elasticidad se demuestra que el momento flexionante ( )xM en un punto x a lo largo
de la viga, se relaciona con la carga por unidad de longitud ( )xw mediante la ecuación
( )xwdx
Md=
2
2
(1)
Además, el momento flexionante ( )xM es proporcional a la curvatura, κ , de la curva
elástica
( ) κIExM = (2)
donde E e I son constantes, E es el módulo de Young de elasticidad del material de la viga
e I es el momento de inercia de la sección transversal de ésta , respecto de un eje llamado
eje neutro. El producto EI se denomina rigidez a la flexión.
Según el cálculo diferencial, la curvatura es
( )[ ]23
21 y
y
′+
′′=κ . Cuando la flexión ( )xy es
pequeña, la pendiente 0=′y , de modo que ( )[ ] 11 2
32
≈′+ y . Si y ′′=κ , la ecuación (2) se
transforma en yEIM ′′= . La segunda derivada de esta ecuación es
4
4
2
2
2
2
dx
ydEIy
dx
ydEI
dx
Md=′′= (3)
Aplicamos el resultado de la ecuación (1) para reemplazar 2
2
dx
Md en la (3) y vemos que la
flexión ( )xy satisface la ecuación diferencial de cuarto orden
( )xwdx
ydEI =
4
4
(4)
Las condiciones en la frontera asociada a esta ecuación dependen de la forma en que están
sostenidos los extremos de la viga. Una viga en voladizo (en cantilíver) está empotrada en
un extremo y libre en el otro. Un trampolín, un brazo extendido, el ala de un avión y una
marquesina son ejemplos comunes de este caso, pero hasta los árboles, las astas de
banderas, los rascacielos y los monumentos pueden trabajar como vigas en voladizo, ya que
están empotrados en su base y sufren la fuerza del viento, que los tiende a flexionar. Para
una viga en voladizo, la flexión ( )xy debe satisfacer las dos condiciones siguientes en el
extremo empotrado en 0=x :
� ( ) 00 =y porque no hay flexión en ese lugar
� ( ) 00 =′y porque la curva de deflexión es tangente al eje x (en otras palabras, la
pendiente de la curva de flexión es cero en ese punto).
Cuando Lx = las condiciones del extremo libre son:
� ( ) 0=′′ Ly porque el momento flexionante es cero
� ( ) 0=′′′ Ly porque la fuerza cortante es cero.
La función ( )3
3
dx
ydEI
dx
dMxF == se llama fuerza cortante. Si un extremo de una viga está
simplemente apoyado (a esto también se le llama embisagrado, articulado o empernado),
se debe cumplir que 0=y y 0=′′y en ese extremo. La siguiente tabla es un resumen de
las condiciones en la frontera asociada con la ecuación (4).
Extremos de la viga Condiciones en la frontera
Empotrado 0=y , 0=′y
Libre 0=′′y , 0=′′′y
Simplemente apoyado 0=y , 0=′′y
Ejemplo: Viga empotrada Una viga de longitud L está empotrada en ambos extremos. Determina la flexión de esa
viga si sostiene una carga constante., 0w , uniformemente distribuida en su longitud; esto
es, ( ) Lxwxw <<= 0,0 .
Solución Según lo que acabamos de plantear, la flexión ( )xy satisface a
04
4
wdx
ydEI =
Puesto que la viga está empotrada en su extremo izquierdo ( )0=x y en su extremo derecho
( )Lx = no hay flexión vertical y la curva elástica es horizontal en esos puntos. Así, las
condiciones en la frontera son
( ) ( ) ( ) 0,00,00 ==′= Lyyy y ( ) 0=′ Ly
Podemos resolver la ecuación diferencial no homogénea en la forma acostumbrada
(determinar cy teniendo en cuenta que 0=m es una raíz de multiplicidad cuatro de la
ecuación auxiliar 04 =m , para después hallar una solución particular py por el método de
coeficientes indeterminados) o simplemente integramos la ecuación EI
w
dx
ydEI 0
4
4
= cuatro
veces sucesivas. De cualquier manera, llegamos a que la solución general de la ecuación es
( ) 403
4
2
32124
xEI
wxCxCxCCxy ++++=
A su vez, las condiciones ( ) 00 =y y ( ) 0=′ Ly , aplicadas a
( ) 403
4
2
324
xEI
wxCxCxy ++= originan las ecuaciones
06
32
024
302
43
403
4
2
3
=++
=++
LEI
wLCLC
xEI
wLCLC
Al resolver este sistema se obtiene EI
LwC
24
2
0
3 = y EI
LwC
12
0
4 −= entonces la flexión es
( ) ( )22040302
2
0
24241224Lxx
EI
wx
EI
wx
EI
Lwx
EI
Lwxy −=+−=
Si EIw 240 = y 1=L , se obtiene la gráfica de la curva elástica de la
figura.
Bibliografía: Ecuaciones diferenciales con problemas de valores de la frontera – Dennos G.
Zill – Michel R. Cullen. Editorial Thomson