Post on 12-Feb-2018
1 Profesor: Aquilino Miranda
Actividad previa: Responde la siguiente interrogante. ¿Qué es para ti una
desigualdad?__________________________________________________________________
Ahora podemos iniciar con el desarrollo del tema, adelante…
1. Concepto de desigualdad: Una desigualdad es una relación que establece una
comparación entre dos cantidades que no son iguales. Un ejemplo claro de
desigualdad sería 5 , 2
1.1 Concepto de inecuación: En matemática, una inecuación es una desigualdad
algebraica en la que aparecen una o más incógnitas en los miembros de la
desigualdad.
Si la desigualdad es del tipo se denomina inecuación en sentido
estricto y si es del tipo
se denomina inecuación en sentido amplio. Ejemplos
de inecuaciones: 3 5 2 1x x 2
2 4 15
x x x
1.2 Simbología: Para las desigualdades utilizaremos la siguiente simbología.
(Menor que), (Menor o igual que), (Mayor que), (Mayor o igual que)
1.3 Regla para trabajar con desigualdades e inecuaciones: si una desigualdad se
multiplica o divide por un número negativo, la dirección de la desigualdad cambia,
es decir, si es mayor, cambia a menor y viceversa.
I TRIMESTRE - UNIDAD DE APRENDIZAJE #1 (DESIGUALDADES)
PROFESOR: AQUILINO MIRANDA (COLEGIO DANIEL O. CRESPO)
Resuelve desigualdades lineales enteras y
fraccionarias. Resuelve desigualdades cuadráticas.
Resuelve desigualdades racionales, Resuelve
desigualdades con valor absoluto.
La suma de tres números naturales consecutivos es 168 ¿Cuáles son los números?
+ + = 168
2 Profesor: Aquilino Miranda
1.4 Solución de las inecuaciones mediante intervalos: para dar el conjunto
solución de una desigualdad utilizaremos los siguientes intervalos, para los
símbolos mayor y menor que se utilizan los intervalos abiertos , cuando
interviene el símbolo (infinito), con el se utilizan los intervalos abiertos o
semi-abiertos: , (,] [,) Para los símbolos menor o igual que y mayor o igual que
se utiliza el intervalo cerrado: , siempre y cuando no intervenga el infinito. Para
dar la solución de una desigualdad debemos tener presente la recta real.
1.5 Resolución de desigualdades o inecuaciones: consiste en encontrar su
conjunto solución.
1.6 Desigualdades lineales: son aquellas en las cuales el exponente de las variables
que intervienen es 1.
Resolver
2 5 3 20x x
2 5 3 20
2 3 20 5
5 15
15
5
3
x x
x x
x
x
x
La solución son todos
aquellos valores
estrictamente menores
que 3, de donde el
intervalo solución es:
,3
Resolver
5 2 19x x
5 2 19
5 2 19 2
3 17
17
3
x x
x x
x
x
La solución son todos
aquellos valores mayores
o iguales que 17
3
de
donde el intervalo
solución es:
17[ , )
3
Resolver
4 15 2 18x x
4 15 2 18
4 2 18 15
2 3
3
2
x x
x x
x
x
Nota: el sentido de la
desigualdad cambió pues se
dividió entre un número
negativo. La solución son
todos aquellos valores
estrictamente mayores que
3
2 de donde el intervalo
solución es: 3
,2
3 Profesor: Aquilino Miranda
Resolver 3 1 2 7 5 9x x x x
3 1 2 7 5 9
3 2 5
8 3
3 35 ,
5 5
x x x x
x x x x
x x
x x S
Resolver
9 1 7 6 8 2
2 4 5 8 5 6x x x
9 1 7 6 8 2
2 4 5 8 5 6
9 7 6 8 2 1
2 5 8 5 6 4
180 56 30 96 20 15
40 60
210 56 96 35
40 60
154 61
40 60
6161 4060
154 60 154
40
61 61,
231 231
x x x
x x x
x x x
x x
x
x x
x S
Resolver
10 2 3 5 1 3
3 5 4 6 8 6x x x
10 2 3 5 3
3 5 4 6 6
10 5 1 3 2 3
3 6 8 6 5 4
80 20 3 30 24 45
24 60
83 20 75 24
24 60
63 51
24 60
5151 2460
63 60 63
24
34 34,
105 105
x x
x x x
x x x
x x
x
x x
x S
1.7 Desigualdades Cuadráticas: Una desigualdad en la variable “x” es cuadrática
cuando es posible escribirla en alguna de las formas que se presentan a
continuación: 2 2 2 2, , ,ax bx c ax bx c ax bx c ax bx c
4 Profesor: Aquilino Miranda
Nota: para resolver desigualdades cuadráticas debemos recordar algunos casos de
factorización: Factorización de la forma x m x n , Este caso se aplica a
polinomios de la forma
2x bx c Para Factorizar estos polinomios se deben
buscar dos números que son únicos, cuya multiplicación sea igual a c, es decir el
término libre y cuya suma o resta sea igual a b, es decir al coeficiente numérico de
x. Para este caso de factorización se deben recordar las leyes de los signos para la
suma y la multiplicación. Factorizar:
2 5 6x x , Se observa claramente que
2 3 6 y que 2 3 5 Luego, 2 5 6 2 3x x x x Factorización
para
2ax bx c Factorizar
28 12 8x x , 26 14 4x x ,
22 11 5x x
2
2
8 8 12 8
8
8 12 8 64
8
8 16 8 4
8
8 2 8 4
8
2 8 4
x x
x x
x x
x x
x x
2
2
6 6 14 4
6
6 14 6 24
6
6 12 6 2
6
6 2 6 2
6
2 6 2
x x
x x
x x
x x
x x
2
2
2 2 11 5
2
2 11 2 10
2
2 10 2 1
2
2 5 2 1
2
5 2 1
x x
x x
x x
x x
x x
Factorización mediante la fórmula general
2 4
2
b b acx
a
,este caso
aplicar a polinomios de la forma 2 , 0ax bx c a
Ejemplo: Factorizar: 23 2 8x x De donde:
3, 2, 8a b c
Aplicando la fórmula general obtenemos:
Luego del valor obtenido de la raíz, se toma uno
positivo y uno negativo y se obtienen los dos valores
de x.
2
2 2 4 3 8
2 3
2 4 96
6
2 100
6
2 10
6
x
x
x
x
5 Profesor: Aquilino Miranda
2 10
6
8
6
4
3
x
x
x
,
2 10
6
12
6
2
x
x
x
Luego, 23 2 8 3 4 2x x x x
1.8 Método por intervalos: este método se usa para resolver desigualdades que
involucran polinomios de magro mayor o igual que dos, o desigualdades que
contienen cocientes con denominadores variables. El método se basa en el siguiente
principio: un polinomio cambia de signo solamente en sus ceros (son aquellos
valores en donde el polinomio se anula), entre dos ceros consecutivos un polinomio
es siempre positivo o negativo, por lo tanto si ordenamos los ceros reales de un
polinomio en la recta real, dicha recta se divide en intervalos; de cada intervalo se
elige un valor de prueba para determinar el signo del intervalo. Todos estos datos
se tabulan y dependiendo de la desigualdad y de los signos resultantes se
determina la respuesta del problema.
Observación: si los factores del polinomio no se repiten, los signos van
intercalados.
Ejemplo: determine el intervalo solución para
2 2 15x x
Solución: 2 22 15 2 15 0 5 3 0x x x x x x
Ahora igualamos cada factor a acero para determinar los ceros del polinomio,
5 0, 3 0
5 , 3
x x
x x
Posteriormente localizamos estos alores en la recta real para determinar los
intervalos,
La recta real se divide en los siguientes intervalos: , 3 , 3,5 , 5,
6 Profesor: Aquilino Miranda
Intervalos Valor de
prueba
Signo de
3x
Signo de
5x
Signo de
5 3x x
Solución
, 3 -4 - - +
3,5S 3,5 1 + - -
5,
7 + + +
Ejemplo: determine el intervalo solución para
23 10x x
Solución: Debemos factorizar el polinomio.
2
2
3 3 13 10
3
3 13 3 30
3
3 15 3 2
3
3 5 3 2
3
5 3 2
x x
x x
x x
x x
x x
Luego, 2 23 10 3 10 0 5 3 2 0x x x x x x
Ahora igualamos cada factor a acero para determinar los ceros del polinomio,
5 0, 3 2 0
25 ,
3
x x
x x
Posteriormente localizamos estos alores en la recta real para determinar los
intervalos,
7 Profesor: Aquilino Miranda
La recta real se divide en los siguientes intervalos: 2 2
, 5 , 5, , ,3 3
Intervalos Valor de
prueba
Signo de
5x
Signo de
3 2x
Signo de
5 3 2x x Solución
, 5 -6 - - +
25,
3S
25,
3
0 + - -
2,
3
2 + + +
Ejemplo: determine el intervalo solución para
24 5x x
Solución: Debemos factorizar el polinomio.
2
2
4 4 8 5
4
4 8 4 20
4
4 10 4 2
4
4 10 4 2
2 2
2 5 2 1
x x
x x
x x
x x
x x
Luego, 2 24 5 4 5 0 2 5 2 1 0x x x x x x
Ahora igualamos cada factor a acero para determinar los ceros del polinomio,
8 Profesor: Aquilino Miranda
2 5 0, 2 1 0
5 1,
2 2
x x
x x
Posteriormente localizamos estos alores en la recta real para determinar los
intervalos,
La recta real se divide en los siguientes intervalos:
5 5 1 1, , , , ,
2 2 2 2
Intervalos
Valor
de
prueb
a
Signo de
2 5x
Signo de
2 1x
Signo de
2 5 2 1x x
Solución
5,
2
-5 - - +
5 1, ,
2 2S
5 1,
2 2
1 + - -
1,
2
3 + + +
CONSIGNA DE APRENDIZAJE GRUPAL (4 INTEGRANTES)
Determinar el conjunto solución de las siguientes desigualdades:
1 4 8 1 1 1
7 2 5 3 3 2x x x
, 5 3 2 2 7 3 2 6 8 4 1x x x x
2 23 11 4, 8 2 3x x x x
1.9 Desigualdades racionales: Son inecuaciones racionales, aquellas en las que
tanto el numerador como el denominador son inecuaciones polinómicas
9 Profesor: Aquilino Miranda
cuadráticas o polinómicas de grado mayor o igual que dos, aunque pueden
intervenir polinomios de primer grado. En esta sección utilizaremos el método
por intervalos. En los intervalos del denominador siempre se deben quitar los
valores que lo convierten en cero, es decir que en el denominador siempre
tendremos intervalos abiertos o semiabiertos y el numerador depende de la
desigualdad. Ejemplo: determine el intervalo solución para
2 10
5
x
x
Solución: Ahora igualamos cada factor a acero para determinar los ceros del
polinomio,
2 1 0, 5 0
1, 5
2
x x
x x
Posteriormente localizamos estos alores en la recta real para determinar los
intervalos,
La recta real se divide en los siguientes intervalos: 1 1
, , ,5 , 5,2 2
Intervalos Valor de
prueba
Signo de
2 1x
Signo de
5x
Signo de
2 1
5
x
x
Solución
1,2
0 - - +
1
, 5,2
S
1
,52
2 + - -
5,
6 + + +
10 Profesor: Aquilino Miranda
Ejemplo: determine el intervalo solución para
5 12
4
x
x
Solución:
5 1 2 45 1 5 1 5 1 2 8 3 92 0 0 0
4 4 4 4 4
x xx x x x x
x x x x x
Ahora igualamos cada factor a acero para determinar los ceros del polinomio,
3 9 0, 4 0
93 , 4
3
x x
x x
Posteriormente localizamos estos alores en la recta real para determinar los
intervalos,
La recta real se divide en los siguientes intervalos: , 4 , 4,3 , 3,
Intervalos Valor de
prueba
Signo de
3 9x
Signo de
4x
Signo de
3 9
4
x
x
Solución
, 4 -5 - - +
4,3S 4,3 1 - + -
3, 4 + + +
Ejemplo: determine el intervalo solución para 2
10
3 5 2
x
x x
Solución: Debemos factorizar el polinomio.
11 Profesor: Aquilino Miranda
2
2
3 3 5 2
3
3 5 3 6
3
3 6 3 1
3
3 2 3 2
3
2 3 1
x x
x x
x x
x x
x x
Luego, 2
1 10 0
3 5 2 3 1 2
x x
x x x x
Ahora igualamos cada factor a acero para determinar los ceros del polinomio,
3 1 0, 2 0
1, 2
3
x x
x x
Posteriormente localizamos estos alores en la recta real para determinar los
intervalos,
La recta real se divide en los siguientes
intervalos:
1 1, 2 , 2, 1 , 1, , ,
3 3
Intervalos
Valor
de
prueba
Signo
de
1x
Signo
de
3 1x
Signo
de
2x
Signo de
3 1 2x x
Signo de
1
3 1 2
x
x x
, 2 -3 - - - + -
12 Profesor: Aquilino Miranda
2, 1 1/2 + - + - -
11,
3
0 + - + - -
1,
3
1 + + + + +
Luego, la solución es
1,
3S
1.10 Valor absoluto: En matemática, el valor absoluto o módulo de un número real
es su valor numérico sin tener en cuenta su signo, sea este positivo o negativo. El
valor absoluto está relacionado con las nociones de magnitud, distancia y norma en
diferentes contextos matemáticos y físicos. Sea x R el valor absoluto de “x” que
de denota como x se define de la siguiente forma:
si x 0
si x 0
xx
x
es decir
2x x
1.11 Propiedades del valor absoluto:
1 0x
2 x a a x a 3 , con 0x a x a x a a
4 xy x y
5 x a x a x a 6 x y x y x y
7 x x x
8 , 0xx
yy y
9 , n, entero positivo
nnx x
10 , Desigualdad Triangularx y x y
Observación: las propiedades 2, y 5 también son válidas para los signos (Menor
que), (Mayor que).
Ejemplo: Resolver 6 3 3x Solución: Aplicando la propiedad (5) obtenemos,
6 3 3 6 3 3x x luego,
13 Profesor: Aquilino Miranda
3 3 6, 3 3 6
3 3 , 3 9
3 9,
3 3
1 , 3
,1 3,
x x
x x
x x
x x
S
Ejemplo: Resolver 2 1 4x Solución: Aplicando la propiedad (2) obtenemos,
4 1x luego,
3 5 3 54 1 3 ,
2 2 2 2x x x S
Ejemplo: Resolver
2 31
5
x
2 3 2 32 31 1 1 2 3 5
5 5 5
x xxx
Aplicando la propiedad (2) obtenemos, 5 5x luego,
2 8
5 3 5 3 2 1 1,42 2
x x x x S
CONSIGNA DE APRENDIZAJE GRUPAL (4 INTEGRANTES)
Determinar el conjunto solución de las siguientes desigualdades:
2
2
2 3 4 10 8 22, 0, 0
4 4 3 1 2 6
x x x x
x x x x
7 4 5 22, 4
3 2
x x
14 Profesor: Aquilino Miranda
APLICACIONES DE LAS DESIGUALDADES
Problema 1 (Producción de artículos): Una
compañía desea ensamblar 1000 artefactos
electrónicos en una semana, gastando no más
de 6000 dólares por concepto de mano de obra.
Por ensamblar una unidad durante las horas
diurnas es de 5 dólares y 7 dólares el de las
nocturnas ¿Cuál es el número mínimo de
artefactos que deben ser ensamblados en las
horas diurnas?
Luego formamos la desigualdad basándonos en el enunciado del problema:
5 7 1000 6000 , La suma de los gastos menor o igual que 6000
5 7000 7 6000 , producto
2 6000 7000 , reducción de términos semejantes
2 1000 , reducción d
x x
x x
x
x
e términos semejantes
1000 el sentido de la desigualdad cambió por la regla
2
500 , división
x
x
Respuesta: se debe ensamblar mínimo 500 aparatos en las horas diurnas para que el
gasto de mano de obra no supere los 6000 dólares.
Solución: Sea x: el número de aparatos ensamblados en las horas
diurnas. Entonces, 1000-x: es el número de aparatos ensamblados en
las horas nocturnas.
El costo por mano de obra de los artículos ensamblados en las horas
diurnas será de 5x, es decir cinco dólares por la cantidad desconocida
de artículos ensamblados.
El costo por mano de obra de los artículos ensamblados en las horas
nocturnas será de 7(1000-x), es decir siete dólares por la cantidad
desconocida de artículos ensamblados en la noche.
El gasto por mano de obra no debe superar los 6000 dólares por lo
tanto debe ser menor o igual que 6000 dólares.
15 Profesor: Aquilino Miranda
Problema 2 (Toma de decisiones): El costo de hacer
transacciones en dos Bancos de Kansas City es el
siguiente: en el Banco A, por mantener una cuenta
corriente es de 12 dólares por cada mes y 0.1 fracción
de dólar por cada cheque girado, mientras que en el
Banco B, se cobran 10 dólares por mantener una
cuenta corriente al mes y 0.14 fracción de dólar por
cada cheque girado. ¿A qué tipo de clientes es
conviene afiliarse al Banco A?
Luego formamos la desigualdad basándonos en el enunciado del problema:
12 0.1 10 0.14
0.1 0.14 10 12
0.04 2
2
0.04
x x
x x
x
x
x
Problema 3 (Longitudes): Los valores numéricos de los tres lados de
un triángulo escaleno son dados por tres números enteros pares
consecutivos. Si el perímetro del triángulo (la suma de sus tres
lados), es mayor que 24 centímetros ¿Cuál es el valor mínimo que
debe medir el lado más corto?
Solución: sea x: el número de cheques emitidos en el mes. El costo
por los cheques girados en el Banco A es de 0.1x, y en el Banco B es
de 0.14x
Sea CA: el costo de la cuenta corriente más el costo de los cheques
girados en el Banco A. Sea CB: el costo de la cuenta corriente más el
costo de los cheques girados en el Banco B. Se entiende claramente
que los costos por mantener la cuenta son constantes no varía en
ambos Bancos, lo que si varía es la cantidad de dinero por los
cheques girados, lo cual representa nuestra variable.
Para que a un cliente le convenga el Banco A, el valor de los gastos
debe ser menor que los gastos en el Banco B, es decir: CA CB
Respuesta: El Banco A le conviene a
los clientes que emiten más de 50
dólares al mes, de lo contrario
entonces les conviene el Banco B.
16 Profesor: Aquilino Miranda
Solución: sea x: la longitud del lado menor (número entero
y par)
Entonces el lado mediano debe medir x+2, pues es el
número entero y par que le sigue a x y por último
x+2+2=x+4 es la longitud del lado más largo, pues es el
número entero y par que le sigue a x+2.
Luego, formamos la siguiente desigualdad, recordando
que la suma de los tres lados debe ser mayor que 24 según
el enunciado del problema.
2 4 24
3 6 24
3 24 6
3
3
x x x
x
x
x
x
x
Problema 4: Para una compañía que fabrica webcam, el
costo entre mano de obra y materiales es de 21 dólares
por cada unidad producida y sus costos fijos son de
70000 dólares, si el precio de venta de cada webcam es
de 35 dólares ¿Cuántas unidades debe vender como
mínimo para que la compañía genere utilidades?
Observación: en economía el ingreso total por la venta de un artículo es
igual al precio por unidad multiplicado por el número de unidades
vendidas.
El costo total es igual al costo variable (costo de las unidades, gastos de
la producción directa), más el costo fijo (gastos de forma indirecta, renta
o seguro).
La utilidad o ganancia es igual al ingreso total menos el costo total y
esta debe ser mayor que cero, de lo contrario solo se obtendría pérdidas.
Solución: sea x: el número de unidades y vendidas. Sea I: el ingreso total, el cual
corresponde al producto de los 35 dólares que es el precio de la venta por las
unidades “x” vendidas, es decir 35x.
Respuesta: el lado más corto
debe ser un número entero y par
mayor que 6, por ejemplo el 8.
17 Profesor: Aquilino Miranda
Sea C: igual al costo total por lo tanto debemos sumar el ingreso total (el gasto de
producción de cada unidad por la totalidad “x” de unidades producidas, es decir
21x), más el gasto fijo que es de 70000, de donde concluimos que el gasto total es
de 21x + 70000
La utilidad o ganancia “U” es igual al ingreso total menos el costo total y esta debe
ser mayor que cero, de lo contrario solo se obtendría pérdidas. Es decir
35 21 70000 0U x x
Ahora procedemos a resolver la desigualdad,
35 21 70000 0
35 21 70000 0
35 21 70000
14 70000
70000
14
x x
x x
x x
x
x
x
EVALUACIÓN FORMATIVA
Resuelve los siguientes problemas, aplicando las desigualdades.
Una compañía de publicidad determina que el
costo por publicación de cada ejemplar de una
revista es de 1.50 dólares, el ingreso recibido de
los distribuidores es de 1.40 por cada revista,
además el ingreso por publicidad es el 10% de
los ingresos recibidos de los distribuidores por
todos los ejemplares vendidos, siempre y
cuando superen los 10000, de lo contrario no
habrá ingresos por publicidad. ¿Cuál es el
mínimo de revistas que deben venderse de
modo que la compañía obtenga ganancias?
Respuesta: para general
utilidades se tienen que vender
más de 5000 webcam.
18 Profesor: Aquilino Miranda
Un arquitecto desea delimitar un terreno rectangular
y tienen 450 metros de cerca disponibles. Determine
las dimensiones del terreno (largo y ancho), si el área
delimitada debe ser al menos de 3150 metros
cuadrados.
EVALUACIÓN SUMATIVA
Resolver los siguientes problemas aplicando las desigualdades.
Una compañía de textiles fabrica un producto que tiene
un precio unitario de venta de 25 dólares y un costo
unitario de producción de 20 dólares, el costo fijo es de
30000 dólares, determine el número de unidades que la
compañía debe fabricar y vender para obtener ganancias.
Se desea determinar la diferencia (toma de decisiones),
entre los costos de comprar y rentar un yate. Si se
puede rentar un yate por 350 dólares mensuales, con
una base anual (por 12 meses), bajo este plan el costo
por kilómetro en combustible es de 0.20 dólares. Si se
compra el yate, el gasto fijo anual sería de 2500 dólares
más 0.28 por kilómetro ¿Cuál es el máximo de
kilómetros que deberá recorrer al año el yate para que
la compra sea más barata que el alquiler?
Las ventas mensuales “x”, de cierto artículo
cuando su precio es de ”p” dólares están dados
por la siguiente igualdad, p=225-5x, el costo de
producir “x” unidades al mes del artículo es de
C=2000+5x dólares ¿Cuántas unidades de dicho
artículo deben venderse y producirse de modo
que la utilidad mensual sea por lo menos de
1500 dólares?
“EL ÉXITO CONSISTE EN OBTENER LO QUE SE DESEA, LA FELICIDAD CONSISTE EN
DISFRUTAR LO POCO O LO MUCHO QUE SE TENGA”