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Grupo tutor-el por el desarrollo integral de el Ingeniero 114/04/2023
Mecánica 1: Estática
Capítulo 2: Estática de Partículas
Vectores, Partículas y Cuerpos
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• Vector: parámetro que tiene magnitud y dirección. Se suman según la Ley del Paralelogramo.
• Vectores iguales tienen la misma magnitud y dirección
• Vector negativo de un vector dado es aquel que tiene misma magnitud pero dirección opuesta.
• Escalar: parámetro con magnitud, pero no dirección.
• Partícula: se usa este modelo cuando todas las fuerzas convergen al mismo punto.
• Cuerpo: se usa este modelo cuando no todas las fuerzas convergen al mismo punto.
Suma de vectores
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• Ley del paralelogramo
• Ley del triángulo
B
B
C
C
• Ley de senos:
sin sin sinA B C
a b c
• La suma de vectores en conmutativa PQQP
• Resta de vectores: usar el vector negativo
2 2 2 2 cosb a c a c B
• Ley de cosenos:
Suma de vectores
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• La suma de 3 o más vectores se logra aplicando en forma repetida la Ley del Triángulo.
• Ley del polígono: otra forma de efectuar la suma de 3 o más vectores.
• La suma de vectores es asociativa:
SQPSQPSQP
• Multiplicación de un vector por un escalar: afecta directamente la magnitud, y si el escalar es negativo, cambia la dirección
Resultante de Fuerzas Concurrentes
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• Fuerzas concurrentes: grupo de fuerzas que pasan a un mismo punto.Al aplicarse a una partícula, también se pueden sustituir por una fuerza resultante, correspondiente al vector suma de las fuerzas aplicadas.
• Componentes del vector Fuerza: se refiere a 2 o más vectores fuerza que al actuar juntos, tienen el mismo efecto que un vector fuerza.
Problema resuelto 2.1
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Dos fuerzas actúan en el perno A. Determine su resultante.
SOLUCION:
• Solución gráfica – construir a escala un paralelogramo con lados en las mismas direcciones de P y Q. Gráficamente evaluar la resultante equivalente, la cual es equivalente en dirección y proporcional en magnitud, a la diagonal.
• Solución trigonométrica – Usar la regla del triángulo para sumar vectores, en conjunto con la Ley de Cosenos y Ley de Senos para encontrar la resultante.
Problema resuelto 2.1
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• Solución Trigonométrica – Aplicar la Ley del
Triángulo. De la Ley de Cosenos:
155cosN60N402N60N40
cos222
222 BPQQPR
N73.97R
AA
R
QBA
R
B
Q
A
2004.15
N73.97
N60155sin
sinsin
sinsin
De la Ley de Senos,
04.35
Es usual que al resolver problemas de 2 fuerzas y su resultante, se usen LEY DE
SENOS y LEY DE COSENOS. Eso sí, es indispensable un
adecuado planteamiento geométrico.
8
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Ejercicios
1. Calcular la magnitud de la fuerza resultante FR , así como su dirección, medida en sentido contrario al de las manecillas del reloj, desde el eje x positivo.
9
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Ejercicios
2. El poste será extraído del terreno por medio de las cuerdas A y B. Si en A se aplica la fuerza de 600 lb indicada en un ángulo de 60° con la horizontal, calcule la fuerza T en la cuerda B y el correspondiente ángulo . Considere que la fuerza resultante que actuará sobre el poste va será de 1200 lb vertical hacia arriba.
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Ejercicios 3. El camión es jalado usando dos cuerdas. Calcule la magnitud de las fuerzas en ambas, de forma que la resultante de 950 N esté dirigida a lo largo del eje x positivo. Tome en cuanto que = 50°.
Componentes rectangulares de una Fuerza: Vectores unitarios
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• Los componentes vectoriales pueden expresarse como el producto de los vectores unitarios por las magnitudes escalares de dichas componentes:
Fx y Fy son los componentes escalares de
jFiFF yx
F
• Un vector fuerza se puede descomponer en sus componentes perpendiculares, tal que el paralelogramo resultante sea un rectángulo. son conocidos como componentes rectangulares del vector.
yx FFF
yx FF
y
• Los vectores unitarios tienen la dirección de los ejes x y y, y tienen magnitud 1.
ji
y
Suma de Fuerzas por Suma de Componentes.
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SQPR
• Para encontrar la resultante de 3 o más fuerzas
concurrentes:
jSQPiSQP
jSiSjQiQjPiPjRiR
yyyxxx
yxyxyxyx
• Descomponer cada fuerza en componentes rectangulares
• Las componentes escalares de la resultante son iguales a la suma de las correspondientes componentes escalares de las fuerzas dadas.
x
xxxxF
SQPR
y
yyyy
F
SQPR
x
yyx R
RRRR 122 tan
• Para encontrar la magnitud y dirección
Problema resuelto 2.3
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Cuatro fuerzas actúan en el perno A. Calcule la resultante de la fuerza ejercida en dicho perno.
SOLUCION:
• Descomponer cada fuerza en sus componentes rectangulares.
• Calcular la magnitud y dirección de la resultante.
• Calcular las componentes de la resultante, sumando las componentes de las fuerzas.
Problema resuelto 2.3
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SOLUCION:• Descomponer fuerzas en componentes rectang.
9.256.96100
0.1100110
2.754.2780
0.759.129150
4
3
2
1
F
F
F
F
compycompxmagfuerza
22 3.141.199 R N6.199R
• Calcular la magnitud y dirección.
N1.199
N3.14tan 1.4
• Calcular los componentes de la resultante sumando las componentes de las fuerzas.
1.199xR 3.14yR
Equilibrio de una Partícula
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• Cuando la resultante de las fuerzas que actúan en una partícula es CERO, se dice que la partícula están en equilibro.
• Partícula afectada por 2 fuerzas:- Igual magnitud- Misma línea de acción- Sentido opuesto
• Partícula afectada por 3 o más fuerzas:- La solución gráfica crea polígono cerrado- La solución algebraica
00
0
yx FF
FR
• Primera Ley de Newton: Si la resultante de fuerzas en una partícula es CERO, ella permanecerá en reposo, o a velocidad constante en línea recta.
Diagramas de cuerpo libre
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Diagrama Espacial: dibujo o croquis mostrando las condiciones físicas del problema.
Diagrama de cuerpo libre (DCL): es un esquema mostrando únicamente las fuerzas actuando en una partícula de nuestro interés.
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Diagramas de cuerpo libre:una pequeña muestra
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Diagramas de Cuerpo Libre(DCL)una pequeña muestra
RECUERDE
En POLEAS SIN FRICCION, la magnitud de la fuerza de tensión es igual a ambos lados de la cuerda y la dirección de estas fuerzas, es igual a la dirección que lleva la cuerda.
Problema resuelto 2.6
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Se quiere calcular la fuerza de arrastre, a una velocidad. dada, en el prototipo del casco de un velero. Un modelo se coloca en el canal de prueba y 3 cables alinean la proa en la línea central del canal. Para cierta velocidad, la tensión en el cable AB es 40 lb y en el cable AE es 60 lb.
Calcule la fuerza de arrastre ejercida en la proa y la tensión en el cable AC.
SOLUCION:
• Escogiendo la proa como cuerpo libre, dibuje el DCL respectivo.
• Exprese la condición de equilibrio para la proa, indicando que la suma de todas las fuerzas debe ser cero.
• Descomponga la ecuación del vector equilibrio en 2 ecuaciones de componentes. Resuelva para las 2 tensiones desconocidas de los cables.
Problema resuelto 2.6
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SOLUCION:
• Se dibuja el DCL para la proa.
25.60
75.1ft 4
ft 7tan
56.20
375.0ft 4
ft 1.5tan
• Expresando la condición de equilibrio para la proa, se plantea la suma de todas las fuerzas igual a cero.
0 DAEACAB FTTTR
Problema resuelto 2.6
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• Al descomponer la ecuación de equilibrio en componentes, se resuelve para las 2 tensiones desconocidas.
jT
iFT
R
iFF
jT
jTiT
jTiTT
ji
jiT
AC
DAC
DD
AE
ACAC
ACACAC
AB
609363.084.19
3512.073.34
0
lb 06
9363.03512.0
56.20cos56.20sin
lb 84.19lb 73.34
26.60coslb 4026.60sinlb 40
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Problema resuelto 2.6
22
jT
iFT
R
AC
DAC
609363.084.19
3512.073.34
0
Esta ecuación se satisface sólo si cada componente de la resultante es igual a cero.
609363.084.1900
3512.073.3400
ACy
DACx
TF
FTF
lb 66.19
lb 9.42
D
AC
F
T
Equilibrio de una Partícula
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Note la conveniencia de trabajar según la cantidad de fuerzas involucradas:.
NOTE QUE:
Cuando hay 3 fuerzas en equilibrio, suele ser más útil utilizar• LEY DE SENOS• LEY DE COSENOS
NOTE QUE:
Cuando hay 4 o más fuerzas en equilibrio, únicamente se puede utilizar:• COMPONENTES
RECTANG.• ANÁLISIS VECTORIAL• Triángulo de fuerzas NO!
24
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Ejercicios4. Determine las componentes x y y de cada fuerza que actúa sobre
la placa de nudo de la armadura de puente. Muestre que la fuerza resultante es cero.
25
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Ejercicios5. Determine la magnitud de la fuerza resultante así como su
dirección, medida en sentido contrario al de las manecillas del reloj desde el eje x positivo.
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Ejercicios
6. El tubo de 30 kg está soportado en A por un sistema de cinco cuerdas. Determine la fuerza necesaria en cada cuerda para obtener el equilibrio.
Fuerzas en el Espacio: componentes rectangulares
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• El vector está contenido en el plano OBAC.
F
• Dividir en sus componentes vertical y horizontal.
yh FF sin
F
yy FF cos
hF• Dividir en sus componentes rectang.
sinsin
sin
cossin
cos
y
hz
y
hx
F
FF
F
FF
Componentes Rectangulares en el Espacio
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• Con los ángulos entre y los ejes,F
kji
FkjiF
kFjFiFF
FFFFFF
zyx
zyx
zyx
zzyyxx
coscoscos
coscoscos
coscoscos
• es un vector unitario a lo largo de la línea de acción de y son los cosenos directores para
F
F
zyx cosy ,cos,cos
Componentes rectangulares en el Espacio
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La dirección de la fuerza está definida por la localización de 2 puntos,
222111 ,,y ,, zyxNzyxM
dFd
Fd
FdF
dFd
F
kdjdidd
FF
zzdyydxxd
kdjdid
NMd
zz
yy
xx
zyx
zyx
zyx
1
y une que vector
121212
/
MN N M
N M N M
r r r
r r r
NOTE QUE:
Problema resuelto 2.7
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La tensión en el cable de anclaje es de 2500 N. Determine:
a) componentes Fx, Fy, Fz de la fuerza que actúa en el perno A,
b) Los ángulos qx, qy, qz q que definen la dirección de la fuerza
SOLUCION:
• Partiendo de la ubicación relativa de los puntos A y B, determine el vector unitario partiendo de A hacia B.
• Usando el vector unitario, se calculan los componentes de la fuerza resultante en el perno A.
• Como las componentes del vector unitario equivalen al valor de los cosenos directores del vector fuerza, calcule los ángulos en cuestión.
Problema resuelto 2.7
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SOLUCION:• Calcular el vector unitario que
va desde A hacia B.
m 3.94
m30m80m40
m30m80m40
222
AB
kjiAB
• Determine los componentes de la fuerza.
kji
kji
FF
N 795N 2120N1060
318.0848.0424.0N 2500
kji
kji
318.0848.0424.0
3.94
30
3.94
80
3.94
40
Problema resuelto 2.7
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• Como los componentes del vector unitario equivalen al valor de los cosenos directores para el vector fuerza, se pueden entonces calcular estos ángulos, tal que:
kji
kji zyx
318.0848.0424.0
coscoscos
5.71
0.32
1.115
z
y
x
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Ejercicios
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7. El poste está sometido a la fuerza F que tiene componentes Fx = 1.5 kN y Fz = 1.25 kN. Si = 75°, determine las magnitudes de F y Fy
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Ejercicios
34
8. Calcule las componentes rectangulares de la fuerza de 350 N. También calcule los ángulos directores (es decir, ángulos entre el vector fuerza y los ejes rectangulares).
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Ejercicios
35
8. Las retenidas de cable de acero se usan para dar soporte al poste telefónico. Represente la fuerza en cada alambre en forma vectorial cartesiana.
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Ejercicios
36
9. Tres cables sostienen un anillo de 900 libras de peso. Calcule la tensión en cada cable para mantener la posición de equilibrio.