Post on 27-Jun-2022
DETERMINANTES
Ya estamos en el segundo tema. Recuerda esto que lees: si el tema de Matrices no ha quedado claro, mejor no empieces con los Determinantes.
El determinante es una operaciΓ³n que se hace con una matriz cuadrada, es decir, tiene que tener el mismo numero de filas que de columnas para que se pueda hacer el determinante.
DETERMINANTE DE ORDEN 2
Imagina que tienes una matriz cuadrada de orden 2, es decir, que tiene dos filas y dos columnas.
Es importante que la matriz sea cuadrada, es decir, que tenga el mismo numero de filas y de columnas por que sino, no se podrΓa calcular el determinante.
π΄ = #π ππ π(
Se denomina determinante de la matriz A, a la siguiente expresiΓ³n:
|π΄| = *π ππ π* = π β π β π β π
El valor que obtengamos de esta operaciΓ³n se denota tambiΓ©n por πππ‘(π΄).
Venga, es momento de que pruebes lo que has aprendido:
Calcula el determinante de las siguientes matrices
β’ π΄ = # 8 3β5 β2(
β’ π΅ = # 9 β3β12 4 (
β’ πΆ = #β2 50 β3(
β’ π· = =!"
!#
$%
#&
>
DETERMINANTE DE ORDEN 3
Imagina que tenemos una matriz de orden tres como la siguiente:
π΄ = ?π π ππ₯ π¦ π§π’ π£ π‘
E
Para calcular el determinante de la matriz π΄, que se denotara por πππ‘(π΄)π|π΄|, tenemos que hacer la siguiente operaciΓ³n:
|π΄| = π β π¦ β π‘ + π β π§ β π’ + π₯ β π£ β π β π β π¦ β π’ β π§ β π£ β π β π β π₯ β π‘
Este procedimiento que acabo de desarrollar se llama la regla de Sarrus.
Te voy a enseΓ±ar un procedimiento algo mas sencillo para que no te lΓes con tantas operaciones, pero mejor si lo hago con un ejemplo para que lo veas claro:
π΄ =I1 2 30 1 12 4 0
J
1 2 30 1 1
= 0 + 0 + 2 β 6 β 4 β 0 = β8
Atento y atenta, tienes que colocar por debajo del determinante las dos primeras filas y ahora las operaciones son mas sencillas si sigues los colores.
Vamos a practicar:
β’ L0 β3 20 6 β45 1
2M 8L =
β’ N1 3 β4β2 2 51 β1 2
N =
β’ N10 47 590 10 910 0 10
N =
Ahora te voy a complicar un poco la situaciΓ³n y quiero que pruebes a resolver los siguientes determinantes:
β’ *π₯ β 10 22 + π₯ 2 + π₯* = 0
β’ N1 β π₯ 2 32 1 β π₯ 33 3 6 β π₯
N = 0
β’ N1 2π₯ β42 π₯ 3β1 β2 1
N = 0
β’ Nπ₯ 2π₯ 3π₯4 β5 6β1 2 β3
N = 48
MATRIZ REGULAR E IRREGULAR
Es importante diferenciar entre lo que es una matriz regular y una matriz irregular. Es decir, una matriz es regular cuando su determinante es distinto de cero;
πππ‘πππ§ππππ’πππ β |π΄| β 0 β ππππππππ£πππ π
Por el contrario, una matriz se dice que es irregular cuando su determinante es igual a cero;
πππ‘πππ§ππππππ’πππ β |π΄| = 0 β πππ‘πππππππ£πππ π.
Halla el valor de π para que sea regular la matriz π΄ = ?1 0 β1π 2 12 1 1
E
MENOR COMPLEMENTARIO Y ADJUNTO
Tenemos que diferenciar entre el calculo del menor complementario y el calculo del adjunto.
Para poder diferenciarlos vamos a realizar un pequeΓ±o ejercicio.
Imagina que tenemos la siguiente matriz:
π΄ = ?1 2 0β1 0 32 1 4
E β πΏππ πππππππ‘ππ π΄ = ?π΄!! π΄!" π΄!#π΄"! π΄"" π΄"#π΄#! π΄#" π΄##
E
Vamos a calcular primero el menor complementario del elemento π"# = *1 22 1* = 1 β 4 = β3
Lo que hemos hecho en el menor complementario del ejercicio anterior es lo siguiente:
Como tenemos una matriz cuadrada, se llama menor complementario del elemento, en este caso, π"# al determinante que queda de suprimir la fila y la columna que ocupa el elemento. En este caso al suprimir la fila 2 y la columna 3.
Ahora vamos a determinar el adjunto del mismo elemento del que hemos calculado su menor complementario.
El adjunto del elemento π΄"# = (β) *1 22 1* = (β)(β3) = 3. Se pone el signo negativo porque la
posiciΓ³n que ocupa el elemento es impar, es decir, 2 + 3 = 5.
El adjunto del elemento π΄## = (+) * 1 2β1 0* = (+)(2) = 2. Se pone el signo positivo porque la posiciΓ³n
que ocupa el elemento es par, es decir, 3 + 3 = 6
A ver si las cosas te han quedado claras:
Calcula de la siguiente matriz: π!#; π"#; π΄!!; π΄"#,π΄#"
π΅ = ?1 7 β56 β2 β35 β9 2
E
PROPIEDADES DE LOS DETEMRIANANTES
β’ El determinante de una matriz es igual al determinante de su traspuesta. πππ‘(π΄) = πππ‘(π΄()
β’ Si se intercambian entre si dos filas o dos columnas, el determinante cambia de signo: πππ‘(πΆ!, πΆ", πΆ#) = βπππ‘(πΆ", πΆ!, πΆ#)
β’ Si se multiplican una fila o columna por un numero, el determinante queda multiplicado por dicho nΓΊmero:
πππ‘(ππΆ!, πΆ", πΆ#) = ππππ‘(πΆ!, πΆ", πΆ#)
β’ Si un determinante tiene dos filas o dos columnas proporcionales, su valor es cero.
β’ Si una fila o columna puede descomponerse en suma de otras dos, por ejemplo:
πππ‘(πΊ + π», πΉ", πΉ#) = πππ‘(πΊ, πΉ", πΉ#) + πππ‘(π», πΉ", πΉ#)
β’ Si a una fila o columna le sumamos otra multiplicada por un numero la determinante no varia:
πππ‘(πΉ!, πΉ", πΉ#) = πππ‘(πΉ!, πΉ" + πΌπΉ!, πΉ#)
CALCULO DE DETERMINANTES
Para calcular los determinantes tenemos tres procedimientos bien diferenciados:
β’ Aplicando directamente la definiciΓ³n, es decir, los cΓ‘lculos que has aprendido hacer al principio del tema.
β’ Se puede calcular el determinante desarrollΓ‘ndolo por los elementos de un fila o columna. Para facilitar el proceso, lo desarrollaremos por la fila o columna que mas ceros tenga.
|π΄| = L1 0 1 β11 1 1 1β10
21
12
β11
L
β’ TambiΓ©n podemos usar el mΓ©todo de Gauss y transformarlo en un determinante de una matriz triangular, con lo que su valor es el producto de los elementos de la diagonal principal.
|π΄| = Lβ2 0 5 510 β1 0 644
β22
3β1
06
L
β’ Por ΓΊltimo, tambiΓ©n podemos emplear el mΓ©todo del pivote o pivotal.
|π΄| = Lβ1 1 1 32 0 1 β114
2β1
00
β22
L
Ahora te voy a complicar un poco la situaciΓ³n y quiero que pruebes a resolver los siguientes determinantes: utiliza los tres mΓ©todos para realizar el calculo y comprobar que obtienes el mismo resultado.
β’ |π΅| = L4 β1 0 2β1 1 1 321
02
1 β10 2
L
β’ |πΆ| = Lβ2 2 1 1β1 1 β1 002
0β1
21
β13
L
β’ |π·| = e10 6 0 β1β1 β3 0 00β5
113
512
β50
e
RANGO DE UNA MATRIZ
Para hallar el rango de una matriz puedes seguir dos procedimientos:
β’ Puedes utilizar el mΓ©todo de Gauss, de forma que el rango de la matriz sea el numero de filas no nulas de la matriz triangular obtenida despuΓ©s de la aplicaciΓ³n del mΓ©todo y sus transformaciones.
β’ Gracias al calculo de los determinantes y a lo que has aprendido hasta ahora, puedes hacer el calculo del rango de una forma mas sencilla, cuando se trate de matrices como mucho de dimensiΓ³n 3π₯3;
|π΄#)#| β 0 β π πππ(π΄) = 3
|π΄#)#| = 0 β π πππ(π΄) < 3
En este caso tendrΓamos que buscar otro determinante 3π₯3o uno de 2π₯2para demostrar que el ππππ(π΄) = 2
Es decir, si el determinante es distinto de cero, el rango es mΓ‘ximo, dependiendo de la dimensiΓ³n.
Halla el rango de las siguientes matrices para ver si has entendido realmente el procedimiento:
β’ π΄ = ?β2 3 β14 β6 2β6 9 β3
E
β’ π΅ = ?β3 52 β41 0
E
β’ πΆ = =5 0 β3 41 β1 0 2β23
01
3β2
30
>
β’ π· = # 3 β7 4β2 8 β1(
INVERSA DE UNA MATRIZ
Para el calculo de la inversa de una matriz recuerda varias cosas:
1. Solo puedes calcular la matriz inversa de matrices que sean cuadradas, es decir, mismo numero de filas que de columnas.
2. Para que exista la inversa de una matriz, la matriz tiene que ser πππ‘πππ§ππππ’πππ β |π΄| β 0 3. Si los dos pasos anteriores se cumplen:
π΄*! =1|π΄| hπ΄+,-i
(
Recuerda que π΄+,- β πΈπ πππππ‘πππ§ππππππ’ππ‘ππ hπ΄+,-i( β πΈπ πππππ‘πππ§ππππππ’ππ‘ππ π‘πππ ππ’ππ π‘π.
Venga, es hora de trabajar, intenta calcular la matriz inversa de las siguientes matrices, recuerda que primero tienes que comprobar si estas trabajando con una matriz regular o irregular para saber si tiene o no inversa y de esta forma ahorrarte algunos cΓ‘lculos.
β’ π΄ = ?1 0 03 β1 21 5 β4
E
β’ π΅ = =
!"
1 30 2 10 2 3
>