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* 2º PARCIAL ANALISIS MATEMATICO A. 22 de junio 2010 APELLIDO Y NOMBRE: DNI.: GRUPO NÚMERO:
1 2 3 4 5 NOTA
1) a) Defina máximo relativo y mínimo relativo de una función y = f(x)
b) Sea f: R → R / su derivada es 2' ( ) ( 2)xf x e senx x−= − . Determine los intervalos de
crecimiento y decrecimiento de y = f(x). Determine, si existen, sus extremos relativos.
2) En cada inciso seleccione y justifique analíticamente la respuesta correcta.
a) Sea f: R → R, derivable y L = ( ) ( )
limx a
f senx f sena
x a→
−−
entonces:
• L puede no existir
• L = f ‘ (sen a)
• L = f ‘ (sena) cos a
• L = + ∞
b) Dadas las series 1
n
n
a∞
=∑ =
1
1
!n n
∞
=∑ y
1
n
n
b∞
=∑ =
1
2n
nn n
∞
=∑ entonces:
Ninguna converge
Sólo 1
n
n
a∞
=∑ converge
Sólo 1
n
n
b∞
=∑ converge
Ambas convergen
3) a) Dada la serie 1
0
( 0)n
n
a q a∞
−
=
≠∑ deduzca su comportamiento cuando 1q ≠
b) Calcule, analíticamente, el valor de q para que la serie 0
2n n
n
q∞
=∑ tenga suma 5/4
4) a) Sólo complete:
• El polinomio de Taylor de orden 2 de f(x) en a = 1 es
P(x) = 3 – 2(x-1) + 5(x-1)2 Si g(x) = f(x2 ) entonces g ‘’ (1) es igual a :::::
• El / los puntos en que la gráfica de 4 2 2y x y− = − tiene recta tangente horizontal es /
son::: b) Complete y justifique con el desarrollo:
• Se quiere construir una caja de cartón de base cuadrada, abierta (sin
tapa) de 32 3dm de volumen. Las dimensiones para que dicha caja tenga
superficie mínima son..................
5) a) Deduzca que si ( ) ( )f x dx F x C= +∫ entonces ( )'
( ) ( )f x dx f x=∫
b) Resuelva por el método más conveniente ( sin utilizar tabla)
b1) 21 cos
sen xdxx−∫
b2) ∫ +
+dx
x
x
1
)1ln(
2º PARCIAL ANALISIS MATEMATICO A. 22 de junio 2010 APELLIDO Y NOMBRE: DNI.: GRUPO NÚMERO:
1 2 3 4 5 NOTA
1) a) Defina máximo relativo y mínimo relativo de una función y = f(x)
b) Sea f: R → R / su derivada es xexxxf −−= ).3.(cos)(' 2. Determine los intervalos de
crecimiento y decrecimiento de yxf =)( . Determine, si existen, sus extremos relativos.
2) En cada inciso seleccione y justifique analíticamente la respuesta correcta.
a) Sea f: R → R, derivable y L = ( ) ( )
limx a
f senx f sena
x a→
−−
entonces:
• L puede no existir
• L = f ‘ (sen a)
• L = f ‘ (sena) cos a
• L = + ∞
b) Dadas las series 1
n
n
a∞
=∑ = ∑
∞
=1
3
nn
n
n y
1
n
n
b∞
=∑ =
1
1
!n n
∞
=∑ entonces:
Ambas convergen
Sólo 1
n
n
a∞
=∑ converge
Sólo 1
n
n
b∞
=∑ converge
Ninguna converge
3) a) Dada la serie 1
0
( 0)n
n
a q a∞
−
=
≠∑ deduzca su comportamiento cuando 1q ≠
b) Calcule, analíticamente, el valor de q para que la serie 0
2n n
n
q∞
=∑ tenga suma 5/4
4) a) Sólo complete:
• El polinomio de Taylor de orden 2 de f(x) en a = 1 es P(x) = 3 – 2(x-1) + 5(x-1)2 . Si g(x) = f(x2 ) entonces g ‘’ (1) es igual a :::::
• El / los puntos en que la gráfica de 422 yxy −=− tiene recta tangente horizontal
es / son::: b) Complete y justifique con el desarrollo: Se quiere construir una caja de cartón de base cuadrada, abierta (sin
tapa) de 32 3dm de volumen. Las dimensiones para que dicha caja tenga
superficie mínima son..................
5) a) Deduzca que si ( ) ( )f x dx F x C= +∫ entonces ( )'
( ) ( )f x dx f x=∫
b) Resuelva por el método más conveniente( sin utilizar tabla)
b1) dxxsen
x∫ − 21
cos b2) ∫ +
+dx
x
x
3
)3ln(