TIPOS Y ESTUDIO DE LOS

PRINCIPALES MOVIMIENTOS

(CINEMÁTICA)

Semana 3

2

Contenidos (1)

1.- Definición de Cinemática.

2.- Clasificación de los movimientos:

3.- Movimiento rectilíneo uniforme.

4.- Movimiento rectilíneo uniformemente

acelerado. Caída libre.

5.- Composición de movimientos:

5.1. Dos movimientos MRU perpendiculares.

5.2. Tiro horizontal.

5.3. Tiro oblicuo.

3

Contenidos (2)

6.- Movimiento circular uniforme.

7.- Movimiento circular uniformemente

acelerado.

4

Definición de Cinemática

Es la ciencia que estudia el movimiento

sin preocuparse de las causas que lo

producen, es decir, de las fuerzas.

Las únicas magnitudes que se usan

son, pues, la posición y el tiempo y las

derivadas de ambas, es decir, la

velocidad y la aceleración.

Para medir el espacio definiremos un

sistema de referencia y el vector

posición r (r).

5

Tipos de movimientos

Según sean ―‖at ―y ―an‖ los movimientos

se clasifican en:

Variación en ―at‖

– at = 0; v = 0, es decir, la rapidez es

constante Mov. Uniforme.

– at = k; es decir, la rapidez varía

proporcionalmente al tiempo

Mov. Uniformemente acelerado.

– at k; es decir, la rapidez no es

directamente proporcional al tiempo

Mov. Variado.

6

Tipos de movimientos (cont.)

Variación en ―an‖

– an = 0 (porque R= ); no hay variación en

la trayectoria Mov. Rectilíneo.

– an 0 y R = k; la trayectoria es circular

Mov. Circular.

– an 0 y R k ; la trayectoria cambia

continuamente de radio

Mov. Curvilíneo.

Movimiento Rectilíneo Uniforme

M.R.U.

Se cumple que a = 0

at = 0

an = 0

8

Ecuación del movimiento. Si a = dv/dt = 0, significa que v es constante y

no depende del tiempo (no cambia ni el módulo

ni la dirección), ya que sólo la derivada de una

constante da 0.

dv = a · dt. Integrando: v = ∫ dv = ∫ a · dt = k

Ejemplo: Sea v = 3 i m/s a = 0

Para obtener la posición se vuelve a integrar:

r = ∫ dr = ∫ v ·dt = v · t + r0 Ecuación

(r0 = constante) vectorial

Ejemplo: Sea r = ∫ (3 i) m/s · dt =

= (3 t + k) · i m

9 Ejercicio: Sea un movimiento cuya ecuación de velocidad

es: v = (3 i + 4 j –6 k) m/s. Determinar la ecuación

vectorial de la posición suponiendo que para t = 0 su

posición es r0 = (2 i + k) m, ¿cuál será su posición en el

instante t = 2 s?

r = ∫dr = ∫ v · dt = v · t + r0 =

= [(3 i + 4 j –6 k) · t + (2 i + k)] m

r = [(3 t + 2) i + 4 t j + (–6 t + 1) k] m

r (t = 2 s) = [(3 · 2 + 2) i + 4 ·2 j + (–6 ·2 + 1) k] m

= (8 i + 8 j– 11 k) m

r (t = 2 s) = (8 i + 8 j – 11 k) m

10

Ecuación escalar del movimiento.

Como el movimiento es rectilíneo, lo más sencillo

es situarlo en el eje de las ―x‖ con lo que:

v = vx · i = k · i r = x · i = (x0 + vx · t) · i

Eliminando i de ambas miembros de las

ecuaciones nos queda:

vx = k ; x = x0 + vx· t

que se les denomina ecuaciones escalares.

11

Ecuaciones escalares del MRU en

tres dimensiones.

Si no está situado en el eje ―x‖

v = vx · i + vy · j + vz · k en donde vx, vy, vz son

tres constantes.

Entonces r = x · i + y · j + z · k =

= (x0 + vx · t) · i + (y0 + vy · t) · j + (z0 + vz · t) · k

Y las ecuaciones escalares quedarían:

vx = k1 ; x = x0 + vx· t

vy = k2 ; y = y0 + vy· t

vz = k3 ; z = z0 + vz· t

12

Ejercicio: Escribir las ecuaciones escalares del

movimiento anterior cuya ecuación de velocidad era:

v = (3 i + 4 j –6 k) m/s, y su posición inicial venía

determinada por r0 = (2 i + k) m.

Ecuaciones escalares

de velocidad de posición

vx = 3 m/s ; x = (2 + 3 t) m

vy = 4 m/s ; y = 4 t m

Vz = –6 m/s ; z = (1 – 6 t) m

13

Representación gráfica x/t.

Al representar ―x‖

frente a ―t‖ se

obtiene una recta

cuya pendiente es

―v‖ (v = tg ) y la

ordenada en el

origen es x0.

x(m)

t(s)

t

x

x0

14

Representación gráfica v/t

Al representar ―v‖

frente a ―t‖ se

obtiene una recta

horizontal ya ―v‖ es

constante y no varía

con ―t‖.

v(m/s)

t(s)

vx = k

Movimiento Rectilíneo

Uniformemente acelerado

M.R.U.A

Se cumple que a = k · ut

at = k = a

an = 0

Como la dirección no varía ut puede coincidir

con cualquier vector unitario i, j o k.

16

Ecuaciones del movimiento. MRUA a = dv/dt = ax · i significa que la v varía con el

tiempo siempre al mismo ritmo.

dv = a dt. Integrando:

v = ∫dv = ∫a · dt = a · t + v0 (v0 = constante)

v = a · t + v0

Para obtener la posición se vuelve a integrar:

r = ∫dr = ∫v · dt = ∫(a · t + v0) · dt

r = ½ a · t2 + v0 · t + r0 (r0 = constante)

Si el movimiento transcurre a lo largo del eje

―x‖ la ecuación vectorial se expresará como:

r = x i = (½ ax · t2 + v0x· t + x0) i

17

Ejemplo: Sea un el movimiento definido por las

siguientes constantes a = (5 i) m/s2 y v0 = 3 i m/s

r0 = 4 i m. Determina las ecuaciones vectoriales de la

velocidad y de la posición.

v =∫ a · dt = ∫ (5 i) m/s2 dt

v = (5 m/s2 · t + 3 m/s) i

r = ∫ v · dt = ∫ (5 m/s2 · t + 3 m/s) i · dt

r = (5/2 m/s2 · t2 + 3 m/s · t + 4 m) i

18 Ejercicio: Sea un movimiento cuya ecuación de velocidad

es: v = (4· t +2 ) j m/s. Determinar la ecuación vectorial de

la aceleración y de la posición. Suponiendo que para t = 0

su posición es r0 = 3 j m, ¿cuál será su posición en el

instante t = 2 s?

a = dv/dt = 4 j m/s2

r = ∫ dr = ∫ v · dt = ∫(4· t + 2 ) j dt =

= (½ ·4 t2 + 2 t + 3) j m

r = (2 t2 + 2 t + 3) j m

r (t = 2 s) = [2 (2)2 + 2 ·2 + 3] j m =

= (8 + 4 + 3) j m r (t = 2 s) = 15 j m

19

Ecuaciones escalar del movimiento.

Como el movimiento es rectilíneo, lo situaremos

en uno de los ejes, por ejemplo el ―x‖ con lo que:

v = vx · i = a t + v0 = (ax · t + v0x) · i

r = x · i = (x0 + v0x · t + ½ · ax · t2 ) · i

Eliminando el vector unitario i quedan las

ecuaciones escalares:

vx = ax · t + v0x ; x = x0 + v0x · t + ½ ax · t2

Si el movimiento sucede en el eje ―y‖ vertical

(caída libre) y tomando g = 9’8 m/s2, ay = –g

(sentido hacia abajo) y las ecuaciones serán:

vy = v0y– g · t ; y = y0 + v0y · t – ½ g · t2

20

Ecuación vx = f(x).

Despejando ―t en la ecuación vx = ax · t + v0x :

vx –vox t = ———— ax

y sustituyendo en x = x0 + v0x · t + ½ ax · t2

vx –vox 1 (vx –vox)2

x = x0 + v0x · ——— + — ax · ———— ax 2 ax

2

2 ax( x – x0) = 2 vx·vox – 2 vox2

+ vx2 + vox

2 – 2 vx·vox

Despejando vx:

vx2 = vox

2 + 2 ax( x – x0)

21

Ejercicio: Sea el movimiento anterior cuya ecuaciones

del movimiento eran: a = 4 j m/s2; v = (4· t +2 ) j m/s;

r = (2 t2 + 2 t + 3) j m. Determinar sus ecuaciones

escalares.

vy = ay · t + v0y ; y = y0 + v0y · t + ½ ay · t2

Comparando con la ecuación general

observamos que las constantes del

movimiento son:

ay = 4 m/s2 ; v0y = 2 m/s; y0 = 3 m

Y las ecuaciones escalares:

ay = 4 m/s2

vy = (4 t + 2) m/s

y = (3 + 2 · t + 2 t2) m

22

Representación gráfica a/t

Al representar ―a‖

frente a ―t‖ se

obtiene una recta

horizontal ya ―a‖ es

constante y no varía

con ―t‖.

aX (m/s2)

ax = k

t(s)

23

Representación gráfica v/t

Al representar ―v‖

frente a ―t‖ se

obtiene una recta

cuya pendiente es

―ax‖ (ax = tg ) y la

ordenada en el

origen es v0x.

t(s)

v0x

Vx (m/s)

t

vx

24

Representación gráfica x/t

Al representar ―x‖

frente a ―t‖ se

obtiene una

parábola cuya

pendiente ―v‖ varía

con el tiempo y que

vale 0 cuando el

movimiento cambia

de sentido (v = tg )

y la ordenada en el

origen es x0.

t(s)

x(m)

t

x

Vx= 0

x0

25

Ejercicio: Representar las gráficas ay/t, vy/t, y/t del

movimiento anterior cuyas ecuaciones eran: a = 4 j m/s2;

v = (4· t +2 ) j m/s; r = (½ ·4 t2 + 2 t + 3) j m .

ay (m/s2)

t(s)

5

t(s)

5

t(s) vy (m/s)

0 1 2 3 4

2 6

10 14 18

t(s)

Vy (m/s)

3 s

12 m/s

10

2 4

tg = (12m/s)/3 s = 4 m/s2

(Continúa en la diapositiva siguiente)

26

Ejercicio: Representar las gráficas a/t, v/t, y/t del

movimiento anterior cuyas ecuaciones eran: a = 4 j m/s2;

v = (4· t +2 ) j m/s; r = (2 t2 + 2 t + 3) j m .

t(s) y (m)

0 1 2 3 4

3 7 15

27 43

t(s)

y (m)

20

2 4

30

10

40

(Viene de la diapositiva anterior)

27

Composición de movimientos Se basan en dos principios:

P. de Independencia: Cuando un móvil tiene

dos movimientos simultáneos, su cambio de

posición es independiente de considerarlos

simultáneos o sucesivos.

P. de superposición: La posición, velocidad

y aceleración vienen dados por la sumas

vectorial de los movimientos parciales.

Si los movimientos transcurren en ejes

distintos, se pueden considerar

independientes. El tiempo es la única

magnitud común para ambos.

28

Composición de dos movimientos

uniformes perpendiculares. La ecuación de velocidad será:

v = vx · i + vy · j , siendo vx y vy constantes.

La ecuación de la posición será:

r = x · i + y · j = (x0 + vx· t) · i + (y0 + vy· t) · j

En la práctica se tienen dos ecuaciones

independientes con el ―tiempo‖ común:

vx = k ; vy = k’ ; x = x0 + vx· t ; y = y0 + vy· t

Despejando ―t‖ en una ecuación y sustituyendo en

la otra se obtiene la ecuación de la trayectoria:

vy y = y0 + —– · (x – x0) Ec. de una recta vx

29 Ejemplo: Se desea cruzar un río de 50 m de ancho con una

barca llevando un velocidad de 5 m/s. ¿Que dirección

deberá tomar para cruzar justo enfrente si la velocidad del

agua es de 3 m/s y qué tiempo tardará en conseguirlo?

Vrío = –3 m/s i

Vbarca = (5 ·cos i + 5 ·sen j) m/s 50 m

Ecuaciones escalares de velocidad: Vx= 5 m/s · cos – 3 m/s ; Vy= 5 m/s · sen

(Continúa en la diapositiva siguiente)

30 Ejemplo: Se desea cruzar un río de 50 m de ancho con una

barca llevando un velocidad de 5 m/s. ¿Que dirección

deberá tomar para cruzar justo enfrente si la velocidad del

agua es de 3 m/s y qué tiempo tardará en conseguirlo?

Ecuaciones escalares de posición:

x = (5 m/s · cos – 3 m/s) · t

Para cruzar justo enfrente x = 0

0 = 5 m/s · cos – 3 m/s cos = 3/5

=arc cos 3/5 = 53’13 º

y = 5 m/s · sen · t = 5 m/s · 0,8 · t

Para y = 50 m; 50 m = 4 m/s · t

t = 12,5 s

(Viene de la diapositiva anterior)

31

Tiro parabólico

Es una composición de dos movimientos: un

MRU en el eje horizontal (de las ―x‖) y un MRUA

(caída libre) en el eje vertical (de las ―y‖).

Ecuaciones del movimiento:

a = – g · j ; v = v0x · i + (v0y – g · t) · j

r = (x0 + v0x · t) · i + (y0 + v0y · t – ½ g · t2) · j

v0x = v0 · cos ; v0y = v0 · sen

Normalmente tomaremos x0 = 0 e y0 = h con lo

que:

v = v0 · cos · i + (v0 · sen – g · t) · j

r = v0·cos · t · i + (h + v0·sen · t – ½ g · t2)· j

32

Tiro parabólico (continuación).

Ecuaciones escalares (paramétricas):

vx = v0 · cos ; vy = v0 · sen – g · t

x = v0 · cos · t; y = h + v0 · sen · t – ½ g · t2

Ecuación de la trayectoria (se obtiene eliminando ―t‖ en las ecuaciones de posición):

x x g x2 t = ———– y = h + v0 sen ———— – ————— v0 cos v0 cos 2 (v0 cos )2

g y = h + tg · x – —————— · x2

(parábola) 2 (v0 cos )2

33

Tiro horizontal (se cumple que:

= 0 vx = v0 ; v 0y = 0 vy = – g · t)

Se suele llamar ―h‖ a la altura inicial (y0)

Ecuaciones escalares (paramétricas):

vx = v0 ; vy = – g · t

x = v0 · t ; y = h – ½ g · t2

Ecuación de la trayectoria:

g y = h – –—— · x2

2 v02

Tiempo de impacto con el suelo (y = 0):

–—— 0 = h – ½ g · t2 t = 2 h/g

34

Tiro horizontal (continuación).

Alcance (―x‖ para y = 0):

–—— x = v0 · 2 h/g

Velocidad de impacto con el suelo:

——– ——– vx = v0 ; vy = – g · 2 h/g = – 2 g h

–——–— v = vx

2 + vy2 ;

–——–——— v = v0

2 + 2 g h

35 Ejemplo: Una persona lanza piedras horizontalmente

desde lo alto de un acantilado de 25 m de altura. Si

pretende que caigan a 30 m de la base del acantilado,

calcula: a) la velocidad con que debe lanzar las piedras;

b) el tiempo que tardan en caer éstas.

a) De la ecuación del alcance [x = v0 · (2 h/g)½]

despejamos ―v0‖:

x 30 m v0 = ———— = ————————— = 13,28 m/s (2 h/g)½ (2 ·25 m/9,8 m/s2)½

b) De la ecuación [ x = v0 · t] despejamos ―t‖:

x 30 m t = —— = ————— = 2,26 s v0 13,28 m/s

36

Tiro oblicuo (para simplificar, vamos a

suponer que se lanza desde el suelo: y0 = h = 0).

Ecuaciones escalares (paramétricas):

vx = v0 · cos ; vy = v0 · sen – g · t

x = v0 · cos · t; y = v0 · sen · t – ½ g · t2

Ecuación de la trayectoria (se obtiene

eliminando ―t‖ en las ecuaciones de posición):

x x g x2 t = ———– y = v0 sen ———— – —————– v0 cos v0 cos 2 (v0 cos )2

g y = tg · x – —————— x2 2 (v0 cos )2

37

Tiro oblicuo Tiempo de impacto con el suelo (y = 0):

0 = v0 · sen · t – ½ g · t2

Sacando factor común ―t‖:

0 = (v0 · sen – ½ g · t) · t

Cuyas soluciones son: t = 0 2 v0 · sen t = ——————— g

38

Tiro oblicuo.

Alcance (x para y = 0):

Sacando factor común ―x‖ de la ecuación de la

trayectoria e igualando a 0:

0 = [tg – ½ g / (v0 cos )2 · x] · x

Cuyas soluciones son: x = 0

x = 2 v02 · cos2 · tg /g = 2 v0

2 sen · cos /g

v02 · sen 2

x = —————— g

A igualdad de velocidad de lanzamiento el valor

máximo se obtendrá cuando = 45º

39 Tiro oblicuo.

Velocidad de impacto con el suelo vx = v0 · cos ; vy = v0 · sen – g · t

Sustituyendo ―t‖ por ‖2 v0 · sen / g‖ en vy que es la que varía se tendrá:

vy = v0 · sen – g · ( 2 v0 sen / g)

vy = – v0 · sen ; vx = v0 · cos

———— ————————————— v = vx

2 + vy2 = (v0 · cos )2 + (– v0 · sen )2

————————— —— v = v0

2(cos2 + sen2 ) = v02 = v0

Es decir, siempre que se lance desde el suelo, la velocidad de caída es igual a la de lanzamiento.

40 Tiro oblicuo.

Altura máxima (y para vy = 0).

0 = v0 · sen – g · t

De donde t = v0 · sen / g (observa que es

justo la mitad que el tiempo de impacto con el

suelo)

Sustituyendo ―t‖ por ―v0 · sen / g‖ en la

ecuación de posición ―y‖

y = v0·sen ·(v0·sen /g) – ½ g·(v0·sen / g)2=

= v02· sen2 / g – ½ (v0

2· sen2 / g)

v02 · sen2

y = 2 g

41 Ejemplo: Un futbolista chuta hacia puerta con una

velocidad de 15 m/s. Calcula: a) el alcance para un ángulo

de tiro de 30º, 45º y 60 º; b) el tiempo que el balón

permanece en el aire en cada tiro; c) la altura máxima en

cada caso. a) v0

2 · sen 2 (15 m/s)2 · sen 60º

x(= 30º) = —————— = ————————— = 19,9 m g 9,8 m/s2

v02 · sen 2 (15 m/s)2 · sen 90º

x(= 45º) = —————— = ————————— = 23,0 m g 9,8 m/s2

v02 · sen 2 (15 m/s)2 · sen 120º

x(= 60º) = —————— = ————————— = 19,9 m g 9,8 m/s2

b) 2 v0 · sen 2 · 15 m/s · sen 30º t (= 30º) = ————— = ————————— = 1,53 s g 9,8 m/s2

Análogamente t (= 45º) = 2,16 s; t (= 60º) = 2,65 s

42 Ejemplo: Un futbolista chuta hacia puerta con una

velocidad de 15 m/s. Calcula: a) el alcance para un ángulo

de tiro de 30º, 45º y 60 º; b) el tiempo que el balón

permanece en el aire en cada tiro; c) la altura máxima en

cada caso.

c) v02 · sen2 (15 m/s)2 · sen 2 30º

y (= 30º) = —————— = ————————— = 2,87 m 2 g 2 · 9,8 m/s2

v02 · sen2 (15 m/s)2 · sen 2 45º

y (= 45º) = —————— = ————————— = 5,74 m 2 g 2 · 9,8 m/s2

v02 · sen2 (15 m/s)2 · sen 2 60º

y (= 60º) = —————— = ————————— = 8,61 m 2 g 2 · 9,8 m/s2

(Viene de la diapositiva anterior)

MOVIMIENTOS

CIRCULARES

44

Movimientos circulares

El vector posición r va cambiando

continuamente de dirección y sentido

pero no así su módulo: r= R (radio)

Periodo (T): Es el tiempo que tarda en

dar una vuelta completa. Se mide en

segundos.

Frecuencia (): Es el número de

vueltas que da por unidad de tiempo.

Se mide en herzios = s–1.

T = 1/

45

Movimientos circulares (cont.).

Ángulo (): Se mide en rad. Es un vector

perpendicular al plano del ángulo y sentido el

del avance del tornillo.

Como 1 vuelta = 360º = 2 rad

La distancia recorrida (e) escalar toma el

valor:

e = · R = · R

Existen otras dos magnitudes vectoriales que

son la velocidad angular () y la aceleración

angular () con definiciones similares a sus

correspondientes lineales.

46

Movimientos circulares (cont.).

Velocidad angular ():

= d / d t

Tiene la misma dirección y sentido que

y se mide en rad/s.

Aceleración angular ():

= d / d t

Tiene la misma dirección que y su

mismo sentido si ésta aumenta y

sentido contrario si disminuye. Se mide

en rad/s2.

Movimiento Circular Uniforme

M.C.U.

Se cumple que a 0

at = 0 (v = cte)

an = k (como v = cte R = cte)

48

Mov. Circular uniforme (MCU).

Como at = at= v / t = 0 v= k

La velocidad angular es constante: = · k

= = 2 rad / T (s) = 2 rad ·

Integrando: = ∫ d = ∫ · d t = · t + 0

En la práctica utilizaremos la ecuación escalar

que es similar:

= · t + 0

La celeridad ―v‖ depende lógicamente del

radio: e · R

v = —— = ——— = · R t t

49 Ejemplo: Las aspas de un molino giran con velocidad

angular constante. Si dan 90 vueltas por minuto, calcula:

a) la velocidad angular en radianes por segundo; b) la

velocidad lineal de un punto de las aspas que se encuentra

a 0,75 m del centro; c) el ángulo girado en 10 s.

a) 90 vueltas min 2 rad = ————— · ——— · ———— = 3 rad/s min 60 s vuelta

b) 3 rad v = · R = ———— · 0,75 m = 7,1 m/s s

c) 3 rad = · t = ———— · 10 s = 30 rad = 15 vueltas s

Movimiento Circular

Uniformemente acelerado

M.C.U.A

Se cumple que a 0

at = k

an k’

51

Movimiento circular uniformemente

acelerado (MCUA).

dv d v d (·R) d at=at= —— = —— = ——— = —— ·R = · R d t d t d t d t

Integrando d = · d t se obtiene la ecuación de la velocidad angular en función del tiempo:

= · t + 0

Volviendo a integrar se obtiene la ecuación del ángulo en función del tiempo:

= ½ · t2 + 0 · t + 0

52

Relación entre ecuaciones

lineales y angulares.

MRU

v = k (constante)

Ecuación e = f(t):

e = e0 + v · t

MCU

= k (constante)

Ecuación = f(t):

= 0 + · t

e = · R

v = · R

53

Relación entre ecuaciones

lineales y angulares (cont.).

MRUA

a = k (constante)

Ecuación v = f(t):

v = v0 + a · t

Ecuación e = f(t):

e = e0 + v0 t + ½ a ·t2

MCUA

= k (constante)

Ecuación = f(t):

= 0 + · t

Ecuación = f(t):

= 0 + 0 t + ½ ·t2

e = · R

v = · R

at = · R

54 Ejemplo: Un disco de 15 cm de radio, inicialmente en

reposo, acelera uniformemente hasta alcanzar una veloci-

dad angular de 5 rad/s en 1 min. Calcula: a) la aceleración

angular del disco; b) la velocidad lineal de un punto de la

periferia a los 25 s de iniciarse el movimiento; c) las

componentes intrínsecas de la aceleración en un punto del

borde del disco; d) el nº de vueltas que da en 1 minuto.

a) 5 rad/s – 0 = —— = —————— = 0,083 rad/s2 t 60 s

b) (t = 25 s) = 0 + · t = 0,083 rad/s2 · 25 s = 2,1 rad/s

v (t = 25 s) = · R = 2,1 rad/s · 0,15 m = 0,31 m/s

(Continúa en la diapositiva siguiente)

55 Ejemplo: Un disco de 15 cm de radio, inicialmente en

reposo, acelera uniformemente hasta alcanzar una veloci-

dad angular de 5 rad/s en 1 min. Calcula: a) la aceleración

angular del disco; b) la velocidad lineal de un punto de la

periferia a los 25 s de iniciarse el movimiento; c) las

componentes intrínsecas de la aceleración en un punto del

borde del disco; d) el nº de vueltas que da en 1 minuto.

c) at = · R = 0,083 rad/s2 · 0,15 m = 0,012 m/s2

an= v2 /R = 2 · R = 2 · t2 · R = (0,083 rad/s2 )2 · 0,15 m· t2

an = 1,03 · 10–3 · t2 m/s2 (an depende de ―t‖)

d) (t = 1 min) = 0·t + ½ · t2 =

½ · 0,083 rad/s2 · (60 s)2 = 150 rad = 23,9 vueltas

(Viene de la diapositiva anterior)

56 Ejercicio: Un tiovivo se pone en marcha y tarda 5 s, durante

los cuales acelera uniformemente, en adquirir los caballitos

situados a 5 m del centro la velocidad de 5 m/s con la cual

permanece durante todo el tiempo que dura la atracción.

Calcula las componentes intrínsecas de la aceleración a los

2 y a los 8 segundos de iniciado el movimiento, así como

los valores de sus módulos.

v 5 m/s (t = 5 s) = — = ——— = 1 rad/s R 5 m

– 0 1 rad/s – 0 = ——— = ————— = 0,2 rad/s2 t 5 s

(t = 2 s) = 0 + ·t = 0,2 rad/s2· · 2 s = 0,4 rad/s

v (t = 2 s) = · R = 0,4 rad/s · 5 m = 2 m/s

57

v2 (2 m/s)2

an (t = 2 s) = — = ———— = 0,8 m/s2 R 5 m

at (t = 2 s) = ·R = 0,2 rad/s2 · 5 m = 1 m/s2

a (t = 2 s) = [(0,8 m/s2)2 + (1 m/s2)2]½ = 1,28 m/s2

v2 (5 m/s)2

an (t = 8 s) = — = ———— = 5 m/s2 R 5 m

at (t = 8 s) = ·R = 0 rad/s2 · 5 m = 0 m/s2

a (t = 8 s) = [(5 m/s2)2 + (0 m/s2)2]½ = 5 m/s2