CÁLCULO NUMÉRICO TEMAS

Teoría de errores.

Solución numérica de ecuaciones no lineales.

Solución de ecuaciones lineales.

Interpolación.

Derivación e Integración numérica.

Solución numérica de ecuaciones diferenciales.

CÁLCULO NUMÉRICO CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS

Límite de una función.

Función continua.

Límite de una sucesión.

Continuidad de una función y convergencia de una sucesión.

Continuidad de una función y convergencia de una sucesión.

Derivada de una función.

Diferenciabilidad y continuidad.

CÁLCULO NUMÉRICO CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS

Teorema de Rolle.

Teorema del valor medio.

Teorema del valor extremo.

Integral del Rieman.

Teorema del valor medio ponderado.

Teorema del valor intermedio.

Teorema de Taylor

CÁLCULO NUMÉRICO CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS

Límite de una función f en x0.

x0

L

ε

δ δ

ε

L+ε

L-ε

L es límite de f en x0 porque por muy pequeño que sea ε, siempre hay δ>0 tal que para todo x en (x0- δ, x0+δ) se tendrá que f(x0) estará en (L- ε, L+ ε).

f

CÁLCULO NUMÉRICO CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS

Límite de una función f en x0.

x0

Lε

δ δ

ε

L+ε

L-ε

L es límite de f en x0 porque por muy pequeño que sea ε, siempre hay δ tal que para todo x en (x0- δ, x0+δ) se tendrá que f(x0) estará en (L- ε, L+ ε).

f

CÁLCULO NUMÉRICO CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS

Límite de una función.

x0

L ε

δ δ

ε

L no es límite de f en x0 porque hay un ε para el cual no habrá δ>0 tal f(x) esté en (L- ε, L+ ε) para todo x de (x0- δ, x0+ δ).

δ

CÁLCULO NUMÉRICO CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS

Límite de una función.

x0

L ε

δ

ε

L no es límite de f en x0 porque hay un ε para el cual no habrá δ>0 tal f(x) esté en (L- ε, L+ ε) para todo x de (x0- δ, x0+ δ).

δ

CÁLCULO NUMÉRICO CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS

Límite de una función.

x0

Lε

δ

ε

L no es límite de f en x0 porque hay un ε para el cual no habrá δ>0 tal f(x) esté en (L- ε, L+ ε) para todo x de (x0- δ, x0+ δ).

CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS

Función continua en z.

CÁLCULO NUMÉRICO

z

Lε

δ δ

ε

L+ε

L-ε

f

.

).()(lim

:

XxtodoencontinuaessiXencontinuaesffunciónLa

zfxfsiXzencontinuaesffunciónLa

RXfSea

zx

∈

=∈→

→

CÁLCULO NUMÉRICO CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS

Límite de una sucesión.

La sucesión infinita de números reales { an } converge a un número L, llamado el límite de la sucesión, si para todo ε>0 existe un entero N0 tal que para todo n > N0 se cumple |an-L|< ε. El límite se denota por { an } → L.

.1001

10,10

0}1{lim

,....1

....,,4

1,3

1,2

1,1}

1{

:

550

5 −−

∞→

=<−=>=

=

=

εεn

quetieneseNntodoparaDado

n

nn

Ejemplo

n

CÁLCULO NUMÉRICO CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS

Continuidad de una función y convergencia de sucesiones.

La función f : X → R es continua en z ∈ X si y sólo si para toda sucesión infinita { xn } que converge a z se cumple que

{ f(xn ) } → f(z0).

x1 x2x3

xny1 y2 y3 yn

z

…

…

f(z)

f(x1)f(x2)

…

…

f(x3)f(xn)

f(y1) f(y2)f(y3) f(yn)

CÁLCULO NUMÉRICO CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS

Derivada de una función.

x x+h

f(x)

f(x+h) h

xfhxflimxf

0h

)()()('

−+=→

La derivada de f en x es el límite de la razón de variación de la función con respecto a la variación de la variable alrededor de x; el límite estomado cuando la variación tiendea 0.Geométricamente, la derivada es lapendiente de la tangente a la curva en x.

CÁLCULO NUMÉRICO CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS

Diferenciabilidad y continuidad.

Si la función f es diferenciable en x, entonces f es continua en x.

CÁLCULO NUMÉRICO CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS

Teorema de Rolle.

Sea f la función definida sobre el intervalo cerrado [a, b] y diferenciable sobre el intervalo abierto (a,b); Si f(a)=f(b), entonces existe en (a, b) el valor c tal que f '(c)=0.

a bc2c1

f(a)=f(b)

CÁLCULO NUMÉRICO CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS

Teorema del valor medio.

Sea f la función definida sobre el intervalo cerrado [a, b] y diferen-ciable en el intervalo abierto (a, b); entonces existe en (a, b) el valor c tal que

a bc

.)()(

)('ab

afbfcf

−−=

CÁLCULO NUMÉRICO CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS

Teorema del valor extremo.

Si f es una función continua definida en [a, b], existen dos valores de xmin, xmax de [a,b] tales que f(xmin)≤ f(x) ≤ f(xmax) para todo x de [a,b]. Si f es además diferenciable en [a, b], xmin y xmax coinciden con a, o b, o los puntos donde f ' es 0.

a bxmin xmax a bxmax

xmin

CÁLCULO NUMÉRICO CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS

Integral de Rieman.

x0 x1 x2 x3 xna b

)(lim)(1

∑∫=∞→

−=n

ii

b

a nxf

n

abdxxf

n

abiaxi

−+=

CÁLCULO NUMÉRICO CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS

Integral de Rieman.

x0 x1 x2 x3 xna b

)(lim)(1

∑∫=∞→

−=n

ii

b

a nxf

n

abdxxf

n

abiaxi

−+=

CÁLCULO NUMÉRICO CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS

Teorema del valor medio ponderado.

Sea f una función continua definida en [a, b]. Existe un valor xp en [a, b] tal que

)()()( p

b

axfabdxxf −=∫

a bxp

f(xp)

CÁLCULO NUMÉRICO CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS

Teorema del valor intermedio.

Si f es una función continua definida en [a, b] y si h es un valor tal que f(a)<h< f(b), entonces existe en (a, b) un valor xh tal que f(xh)= h.

a b

f(a)

f(b)h

xh

CÁLCULO NUMÉRICO CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS

Teorema de Taylor

Sea f una función continúa derivable n veces en [x, x+h]

y f (n+1) existe en (x, x+h), entonces

.,)!1(

)()(

),(!

)(......

!3

)(

!2

)(

!1

)()()(

1)(

)(3)3(2)2()1(

hxyxentrevaloralgúnparan

hfRsiendo

Rn

hxfhxfhxfhxfxfhxf

nn

nn

++

=

++++++=+

+

εεε

ε

CÁLCULO NUMÉRICO TEORÍA DE ERRORES

ErrorEl error al usar un valor aproximado x en vez un de valor ideal ó exacto X es la diferencia entre X y x.

Se dice que el error de x es ∆x=X-x.

Error por defecto y error por exceso.Si x<X se dice que x es una aproximación por defecto;

si x>X se dice que x es una aproximación por exceso.Error absoluto

El error absoluto de la aproximación x con respecto al valor exacto X es ∆= |X-x|.

TEORÍA DE ERRORES

Cota del error absolutoEn la práctica no se conoce el valor exacto X; por lo tanto, tampoco se conoce el error absoluto del valor aproximado x. Sólo es posible estimar un límite superior para el error absoluto de x; este límite recibe el nombre de cota del error absoluto de x y es representado por ∆ x :

∆= |X-x| ≤ ∆ x .Si X>x , resulta X-x ≤ ∆ x y X ≤ x+∆x ;si X<x , resulta x-X ≤ ∆ x y x- ∆x ≤ X ,de donde x- ∆x ≤ X ≤ x+∆x , que es denotado por

X= x ± ∆ x

.

CÁLCULO NUMÉRICO

CÁLCULO NUMÉRICO TEORÍA DE ERRORES

Error relativoEl error relativo de un valor aproximado x con respecto a un valor exacto X es

de donde se deduce

|| X

∆=δ

|| Xδ=∆

|| X

∆=δ

CÁLCULO NUMÉRICO TEORÍA DE ERRORES

Cota del error relativo

Una cota del error relativo de un valor aproximado x, con respecto a un valor exacto X es un valor δ x tal que

Normalmente X es desconocido, y x es muy cercano a X ; entonces se puede escribir ∆ x = |x| δ x.

La última igualdad implica x(1 - δ x )≤ X ≤ x(1 + δ x ),

relación que se representa por X = x(1± δ x ).

xXδδ ≤∆=

|| xx

XXδ=∆≤∆

||||de donde resulta que

CÁLCULO NUMÉRICOTEORÍA DE ERRORES

Fuentes de errores Error de método Los modelos son aproximaciones, y por tanto introducen errores.

Error residualCuando el valor es calculado con una parte de un proceso infinito.

Error de redondeoCuando el valor requiere más dígitos de los que se puede usar.

Error de operaciónCuando los operandos de una operación son valores aproximados.