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2º DE BACHILLERATO CUESTIONES DE SELECTIVIDAD Geometría-1-
1. Halla un vector en la dirección de la bisectriz de los vectores 14,1 u
y 1,1,0 v
.
La dirección de la bisectriz viene marcada por el vector
suma, siempre que los módulos de los dos vectores su-
mandos sean iguales. Bastará entonces encontrar dos
vectores en la dirección de los dados, pero con el mismo
módulo, por ejemplo ambos unitarios, y hacer su suma.
2
2,
2
2,02
6
2,
3
22,
6
22318
v
vbv
u
uau
3
22,
6
27,
6
2bac
2. Sean u
y v
dos vectores tales que 9u
y 17 vuvu
. Calcula el módulo del
vector v
.
Se resuelve fácilmente aplicando las propiedades del producto escalar:
17vuvu
1722
vu
17812
v
81781 v
3. Un vector de módulo 10 se descompone en suma de otros dos de módulos iguales y que for-
man un ángulo 45º. Halla el módulo de cada uno de los vectores sumandos.
El problema se resuelve sencillamente por trigonometría.
Basta aplicar el teorema del coseno al triángulo de la figura.
135cos210222 vuvu
2222100222
uuu
2
22100
22
1002u
2
2210
vu
4. Sabiendo que vu
2 y que º60, vu
, determina el ángulo formado por a
y b
, siendo
vua
2 y vub
2
Aplicando las propiedades del producto escalar: 2224422 vvuuvuvua
.
Como: º60cosvuvu 2
2
12 vvv
, resulta:
a
b
c
u
uv
10
45º
-2- Geometría SOLUCIONES 2º DE BACHILLERATO
22222
12442 vvvva
va
32 .
vuvub
222
22
44 vvuu
2
13v
vb
13
Por otra parte: vuvuba
2222
232 vvuu
2
9 v
vv
v
ba
ba
1332
9cos
2
392
9arccos
5. En un vértice de un cubo se aplican tres fuerzas dirigidas según las diagonales de las tres
caras que pasan por dicho vértice. Los módulos de estas fuerzas son 1, 2 y 3. Hallar el módulo
de la fuerza resultante de aquellas tres.
Tomando un sistema de coordenadas adecuado,
las fuerzas aplicadas están en la dirección de
los vectores: 1,1,0a
, 1,0,1b
y
0,1,1c
. Pero no son éstos exactamente,
porque sus módulos no coinciden con los pedi-
dos: 2 cba
. Ajustando los módulos
a los indicados:
2
2,
2
2,01
a
aF
2,0,2
22
b
bF
y
0,
2
23,
2
2333
c
cF
, la resultante será:
52
23,22,
2
25
FFF i
6. Dados los vectores cba
y , tales que 3a
, 1b
, 4c
y 0
cba , calcular la su-
ma de los siguientes productos escalares: cbcaba
SUMANDO
c
b
a
cbcaccbcacba
cbbacbbbacba
cabacabaacba
1600
100
900
2
2
2
262 cbcaba
13 cbcaba
x
y
z
a
b
c
2º DE BACHILLERATO CUESTIONES DE SELECTIVIDAD Geometría-3-
7. Sea ABC un triángulo isósceles, cuyo ángulo desigual es A. Hallar el coseno del ángulo A
sabiendo que las medianas trazadas desde los vértices B y C son recíprocamente perpendicu-
lares.
Tomemos un sistema de referencia tal que los puntos A,B y C
sean los indicados en la figura.
Lo primero que tenemos que hacer es determinar cuál a cuáles
son los triángulos isósceles que satisfacen la condición de per-
pendicularidad impuesta en el enunciado. Si suponemos que el
vértice A se mueve a lo largo del eje y, su posición quedará
determinada en cada caso por el valor del parámetro .
Para una posición determinada de A, los puntos medios de los
lados iguales son:
2,
2
11
M y
2,
2
12
M .
La dirección de las medianas a las que se refiere el enunciado vienen marcadas por los vectores:
,3
2,
2
3 //1
BM y
,32
,2
3 //2
CM , con lo que:
21 CMBM 0,3,3 09 2 3
Hay dos triángulos en las condiciones descritas en el problema, uno por encima del eje x y otro
por debajo, pero los dos simétricos respecto de él.
Una vez que sabemos la posición del tercer vértice: 3,0A , el problema se reduce a encontrar
el ángulo formado por los vectores; 3,1AB y 3,1AC .
5
4
10
8cos
ACAB
ACAB
8. Encuentra los vectores unitarios de 3 que son perpendiculares a 1,0,1v
y forman un
ángulo de 60º con
2
1,
2
2,
2
1w
.
Como el vector pedido es de 3 , tendrá tres coordenadas zyxx ,,
que debemos determinar.
Para ello traduciremos las condiciones impuestas a ecuaciones:
00 zxvxvx
(I)
)0,1(B )0,1(C
),0( A
2,211 M 2,212 M
-4- Geometría SOLUCIONES 2º DE BACHILLERATO
22
2
22
1
14
1
2
1
4
1
1
º60cosº60
zyx
w
x
wx
wx
12 zyx (II)
11 222 zyxx
(III)
Las coordenadas x, y y z se determinan resolviendo el sistema:
1
12
0
222 zyx
zyx
zx
12 xyx
xz
2
2y
2
121
2
1 222 xxx2
1x
El problema tiene dos soluciones:
2
1,
2
2,
2
1y
2
1,
2
2,
2
121 xx
9. Determina t para que los puntos 1,1,1A , 2,0,3B , 2,2,5 C y
tD ,1,2 sean coplanarios. Para dicho valor de t, obtén el área
del polígono A,B,C,D.
A
B
C
D1T 2T
Los puntos serán coplanarios si 2,, ADACABr
0
101
134
112
t
024 t 2t
Como no sabemos nada sobre la regularidad del polígono, para encontrar su área recurrimos a su
triangulación:
ADACACABSSS TT 2
1
2
121
)3,3,3(
101
134
)2,2,2(
134
112
kji
ADAC
kji
ACAB
27122
1S
2u 2
35S
2º DE BACHILLERATO CUESTIONES DE SELECTIVIDAD Geometría-5-
10. Un triángulo tiene dos de sus vértices en los puntos )0,0,0(A y )1,1,1(B . El tercero, C, lo
tiene sobre la recta
1
2:
z
yxr . Encuentra las coordenadas del tercer vértice, sabiendo que
el área del triángulo es 2
2 .
Se trata de determinar un punto rC con la condición de que 2
2
2
1 ACAB .
La forma más cómoda de obtenerlos es utilizar la ecuación paramétrica
1
2
:
z
y
x
r
,
1,,21,,2 ACCrC ,21,1
111
12
kji
ACAB
.
2
2
2
1ACAB 2211 222
066 2
1
0
Luego el problema tiene dos soluciones: )1,1,2(y)1,0,0( 21 CC
11. En 3V se consideran los vectores: 1,3,1a
, 1,2,1b
, 0,1,2c
y 10,4,2 d
.
a) Demostrar que los vectores a
, b
y c
son coplanarios
b) Demostrar que b
, c
y d
son perpendiculares dos a dos y encontrar el volumen del pa-
ralelepípedo que determinan.
a) Como en el espacio tridimensional, tres vectores son coplanarios si y solo si son linealmente
dependientes, bastará probar que:
0
012
121
131
b) cb
pues 00,1,21,2,1 cb
; db
pues 010,4,21,2,1 db
y dc
pues 010,4,20,1,2 dc
.
El volumen del paralelepípedo se determina con el producto mixtos:
3u 60
1042
012
121
,,
dcbVp
12. Determina un punto de la recta: 22
:z
yx
r que forme con los puntos )0,0,0(A ;
)0,0,1(B y )1,1,0( C un tetraedro de volumen 1.
-6- Geometría SOLUCIONES 2º DE BACHILLERATO
El problema es muy parecido al anterior, pues se trata de determinar un punto de r pero ahora
con la condición de que 1,,6
1. ADACABVteta .
2
2
:
z
y
x
r
3
22
110
001
,, ADACAB 12
1,,6
1 ADACAB
2
2
Existen dos puntos que cumplen las condiciones impuestas: )4,2,4(y)4,2,4( 21 DD
13. Un cubo, cuyo volumen es 3u 8 , tiene dos de sus caras sobre los planos :
01243:1 azyx y 0362486:2 zyx
Halla los posibles valores de “a”.
Como estos dos planos son paralelos, su distancia coincidirá con la longitud de la arista del cubo,
es decir, 28, 321 d
Por otra parte, la distancia entre dos planos paralelos es igual a la distancia de un punto de uno
de ellos al otro. Tomamos entonces un punto 2P e imponemos que 28, 31 Pd .
Tomando como punto de 2 )0,0,6(P , resulta: 13
18
1243
63,
2221
aaPd
2, 1Pd
2618
26182
13
18
a
aa
8
44
a
a
14. Dadas las rectas:
tz
ty
tx
r
1
62
21
: 14
6
2
8
13:
zyxs
a) Estudiar su posición relativa y encontrar el ángulo que forman.
b) Si dos de las aristas de un cubo se encuentran sobre estas rectas, halla su volumen.
a) Para el estudio de la posición relativa de las rectas necesitamos sus respectivas determinacio-
nes lineales:
)1,6,2(
)1,2,1(
rv
Ar y
)14,2,13(
)6,8,0(
sv
Bs .
Como 2, sr vvr
las rectas se cortan o se cruzan.
0246
7101
14213
162
3,, ABvvr sr
las rectas se cruzan.
2º DE BACHILLERATO CUESTIONES DE SELECTIVIDAD Geometría-7-
Para determinar el ángulo formados por dos rectas basta encontrar el ángulo formado por sus
vectores dirección:
0,cossr
srsr
vv
vvvv
sr . Las rectas se cruzan perpendicularmente
b) Por el apartado anterior deducimos que las
rectas contienen a dos aristas que se cruzan,
luego las distancias entre ellas coincide con la
longitud de la arista del cubo. Basta entonces
determinar “d” y tendremos que el volumen es 33 u d .
Como sólo necesitamos “d”, no los puntos de
la perpendicular común, la forma más rápida
de obtenerla es por la expresión:
sr
sr
vv
ABvv
d
,,
. Además este producto
mixto es el determinante calculado anterior-
mente en el estudio de la posición relativa.
)82,41,82(
14213
162
kji
vv sr
)2,1,2(41 2,1,241sr vv
123 .
Luego: 2123
246d
3u 8V
15. Dadas las rectas: zyxr : y 22
2
1
1:
zyxs
, se pide:
a) Estudiar su posición relativa
b) Hallar la recta que corta a las dos anteriores y además es paralela a la recta de ecuación
1,2,13,2,1,,: zyxt
a) Tomamos como determinación lineal de las rectas:
)1,1,1(
)0,0,0(
rv
Ar y
)2,2,1(
)0,2,1(
sv
Bs
es inmediato comprobar que se cruzan.
b) Para resolver este apartado basta encontrar rP y sQ )1,2,1( PQ .
)2,22,1(
),,(
QsQ
PrP
)1,2,1(2,22,1
PQPQ
1
2
2
22
1
1
1
2
1
1
2
22
1
1
3
1
0
d
s
r
-8- Geometría SOLUCIONES 2º DE BACHILLERATO
Los puntos buscados son : ),0,0,0(P y
3
2,
3
4,
3
2Q y la recta la determinada por
tv
Pt
s )1,2,1(
)0,0,0(
121:
zyxt
16. En el espacio (y en ejes OXYZ; el eje OZ es vertical ascendente) se consideran las rectas:
4
1:
z
yxr
032
23:
zy
zyxs
Una conducción de agua ocupa la posición de r. En un punto P de esta conducción se pro-
duce un fuga de agua; el correspondiente goteo cae sobre un punto Q de s. Hallar P y Q.
Admitiendo que el goteo caerá verticalmente, es decir, en la dirección de )1,0,0(k
, se trata de
determinar rP y sQ )1,0,0(QP .
Empecemos por encontrar las ecuaciones paramétricas de ambas rectas:
x
z
yxr
4
1:
4
1:
z
y
x
r
y
zy
zyxs
032
23:
23
57
:
z
y
x
s
23,,57
4,1,
QsQ
PrP
)1,0,0(27,1,57
QPQP
1
27
0
1
0
57
01
057
2
3
Por lo que los puntos buscados son: )1,2,3(y )4,2,3( QP
17. En el espacio (y en ejes OXYZ; el eje OZ es vertical ascendente, el plano OXY es horizontal)
se considera la varilla vertical de extremos )9,2,1(A y )0,2,1(A . En dos momentos de-
terminado de un día, las sombras que proyecta A sobre el plano OXY son los puntos
)0,3,4(1 S y )0,6,1(2S . Se pide:
a) La recta que describe la sombra de A a lo largo del día.
b) La sombra 0S de A en el momento en el que la sobra de la varilla es más corta.
c) La sombra 3S de A en el momento del día en el que la sombra de AA tiene la misma
longitud que la sombra AS 1
2º DE BACHILLERATO CUESTIONES DE SELECTIVIDAD Geometría-9-
a) Admitiendo que la sombra del extremo superior de la varilla describe una recta contenida en
el plano del suelo )0( z , esta será la que pasa por los puntos 1S y 2S , por lo que una determi-
nación lineal es:
)0,3,1()0,9,3(
)0,6,1(
21
2
SS
Ss
0
36
1
:
z
y
x
s
en forma paramétrica.
b) La longitud de la sombra de la varilla es en ca-
da instante i la distancia entre punto sSi y el pie
de la varilla A , por lo que 0S es la proyección or-
togonal de A sobre s.
Buscamos sS 0 )0,3,1(0 SA :
.
)0,2,1(
)0,36,1(00
A
SsS
)0,3,1(
00)0,34,2(
SASA
00,3,10,34,2 1
)0,3,2(0 S
c) Si las longitudes de las sombras tienen que ser iguales, es decir 13 ,, SAdSAd , el punto
3S debe ser el simétrico de 1S respecto de 0S . Imponiendo que 310 , de medio pto. SSS , resul-
ta: )0,9,0(3 S
18. Dos varilla fijas AA y BB , de espesor despreciable,
están entrelazada por una goma elástica como indica la
figura.
La goma, que está tensa, puede deslizarse libremente
por las varillas sin rozamiento. Se sabe que las varillas
ocupan las posiciones:
2
5
2
4
1
2:
zyxAA
4
3:
z
yxBB
a) ¿Qué posición relativas tienen estas recta?
b) Hallar la longitud total de la goma en su posición de
equilibrio
AA’
BB’
a) Obtenido una determinación lineal de cada recta:
)2,2,1(
)5,4,2(
1v
PAA y
)0,1,1(
)4,0,3(
2v
QBB , es
fácil comprobar que las dos rectas se cruzan.
b) Una goma elástica que se desliza libremente, tenderá a ocupar la posición que la permita estar
lo menos tensa posible, es decir, a ocupar su posición de mínima longitud. Esta mínima longi-
s
0,6,12S
0S
20,1A
3S
1l
13 ll
0l
Plano del suelo
0z
0,3,41 S
iSil
-10- Geometría SOLUCIONES 2º DE BACHILLERATO
tud coincide necesariamente con la distancia mínima entre las dos rectas. Bastará entonces en-
contrar la distancia entre estas rectas y multiplicarla por dos.
21
21 ,,
2vv
PQvv
l
9
92 u 6l
19. Hallar la ecuación de la recta que se obtiene al proyectar ortogonalmente sobre el plano
2 2 0x y z la recta 1
1
21
2:
zyxr .
La forma más cómoda de obtener la pro-
yección de una recta sobre un plano es
como intersección de dos plano: uno el
plano y el otro el , plano que con-
tiene a r y es perpendicular a .
)1,2,1(
y
)1,0,2(
rv
A
r
. Por otra
parte, )1,1,2(w
, con lo
que ya tenemos una determinación lineal
del plano buscado:
)1,1,2(
)1,2,1(
)1,0,2(
w
v
A
r
0
112
121
12
:
zyx
01: zyx
La proyección, en forma implícita, es la recta:
01
022:
zyx
zyxr
20. Un foco luminoso se encuentra en el punto )1,3,3(P y una varilla ocupa la posición de la re-
cta
01
02:
zy
zxr . La varilla arroja una sombra sobre el plano 32: zyx . Hallar
el punto de esta sombra que está en el plano 0z .
En este caso también se trata de proyectar una recta sobre un plano, pero no ortogonalmente, si
no según los rayos luminosos que, partiendo de P, cortan a la recta r. La sombra será entonces
la recta intersección del plano dado con el plano determinado por P y r.
Av
w
r
r
2º DE BACHILLERATO CUESTIONES DE SELECTIVIDAD Geometría-11-
planos de Haz
01
02:
zy
zxr 012: zyzx 0112: zyx
P 0111233 1 01: zyx
La sombra es la recta
01
032:
zyx
zyxr y el punto de intersección de ésta con el
suelo ( 0z ):
0
01
032
:
z
zyx
zyx
Q )0,1,2(Q
21. Dados la recta xzxy 21,1 y los puntos )1,0,1(B y )0,0,0(C , se pide:
a) Hallar un punto A de la recta que diste del punto B el doble que de C y esté por debajo del
plano XY.
b) Hallar la proyección ortogonal de C sobre la recta BP, donde P es el punto de intersec-
ción de la recta del apartado anterior con el plano YZ.
a) Como la ecuación paramétrica de la recta dada es:
21
1:
z
y
x
r , se trata de determinar
)21,1,( A ),(2),( ACdABd
222222
2112211 0143 2
3
1
1
.
Hay dos puntos que cumplen la condición: 1,0,1 y
3
1,
3
2,
3
1 , pero como además se
pide que esté por debajo del eje plano XY 0z , el punto pedido es )1,0,1( A
b) Para encontrar la proyección, lo primero que necesitamos es la ecuación de la recta sobre la
que debemos proyectar. De ella ya conocemos un punto el )01,1(B y nos dicen que otro el la
intersección de r con el plano 0: x . La forma más sencilla de encontrar la intersección de
recta y plano, es llevar las ecuaciones paramétricas de la recta a la implícita del plano, en este
caso:
0: x 0 )1,1,0(P , con lo que la recta
)0,1,1(
)1,0,1(
BP
Bs
1
1
:
z
y
x
s
.
La proyección de C sobre s es sC 00,1,11,,1 svCC
2
1
1,
2
1,
2
1C
-12- Geometría SOLUCIONES 2º DE BACHILLERATO
22. Se consideran los planos de ecuación:
0:1 azyax y 013:2 aza
yxa
a) Estudiar su posición relativa en función de a.
b) Si para 2a los planos contienen caras de un cubo, calcular el volumen de éste.
a) La posición relativa viene determinada por la de sus respectivos vectores asociados. Vea-
mos cuando éstos son paralelos y cuando no lo son.
13:
0:
2
1
za
yxa
azyax
aazyxaa
azyax
3:
0:
2
2
1
2121 ww
a
a
aa
a
1
1
32 aaa 32 2a (pues 0a ha sido ex-
cluido).
2a 21 ww
los planos se cortan.
2a 21 ww
los planos son paralelos o coincidentes.
222:
022:
2
1
zyx
zyx
2
0
2
2
1
1
2
2los planos son paralelos.
b) Como para 2a los planos son paralelos, las caras del cubo que están contenidas en ellos
también lo son y la longitud de la arista será la distancia entre estos dos planos.
La distancia entre dos planos paralelos es la distancia de un punto de uno de ellos al otro plano.
1)0,0,0( P 3
2
9
2, 21 dl
3
Cubo u 27
8V
23. Determinar, en función de los distintos valores de , la posición relativa de los planos.
1:1 zyx 12:2 yx 1:3 zyx
11
02
11
A 23 1223 A 0A
1
2
-2y 1 Sistema compatible determinado, los planos se cortan en un punto.
1
2º DE BACHILLERATO CUESTIONES DE SELECTIVIDAD Geometría-13-
1111
1012
1111
2)(
2)(
Mr
Ar
como soluciones tantas
ado,indetermin compatible Sistema
Los planos se cortan en una recta, si los estudiamos dos a dos, vemos que 31 y 2 los
corta.
2
1112
1022
1211
3)(
2)(
Mr
Ar
leincompatib Sistema
Los tres planos no tienen ningún punto en común, pero si los analizamos dos a dos, vemos que
no hay planos paralelos, por lo que: los planos se cortan dos a dos determinando tres rectas
paralelas.
24. Hallar “a” para que el plano 07: zyax y la recta
12
032:
zyx
zyxr sean parale-
los
Sea rv
el vector dirección de r y w
el vector característico de , wvr r
)1,3,5(
211
132
)7,1,(
kji
v
aw
r
01,3,57,1,awvr
2a
25. Dadas las rectas 1
1
2
11:
zy
a
xr y
1:
zy
byxs , determinar a y b para que se cor-
ten perpendicularmente.
Necesitamos una determinación de cada una de las rectas.
y
zy
byxs
1:
1
:
z
y
bx
s
)1,1,1(
)1,0,(
sv
bBs y
)1,2,(
)1,1,1(:
av
Ar
r
sr 0)1,2,()1,1,1( a 3a
Las rectas se cortan si
0
111
123
111
2,,
b
vvABr sr
03b 3b
-14- Geometría SOLUCIONES 2º DE BACHILLERATO
26. Sean A, B y C los puntos de la recta 3
6
2
612
zyx que están en los planos coorde-
nados: 0x , 0y y 0z . Se pide:
a) Determinar razonadamente cuál de los tres puntos se encutra entre los otros dos.
b) Siendo D un punto exterior a la recta, indicar razonadamente cuál de los triángulos DAB,
DAC o DBC tiene mayor área.
Para trabajar con mayor comodidad ponemos
la recta en forma paramétrica:
3,2,1
6,6,12
rv
Pr
36
26
12
z
y
x
.
Los puntos de corte con los planos coordena-
dos son:
0x
yzrA 012 12 30,30,0 A
0y
xzrB 026 3 15,0,15B
0z
xyrC 036 2 0,10,10 C
La posición de los puntos A, B y C respecto a P viene dada por el valor correspondiente del
parámetro . A y C están a un lado, supongamos a la izquierda, por ser 0 , y además A
más alejado que C. Por una razón análoga, B está a la derecha de P, por lo que la posición rela-
tiva es la indicada en la figura, es decir, C está entre A y B.
Para contestar al segundo apartado, basta tener en cuenta que los tres triángulos tienen la misma
altura: rDdh , , por lo que tendrá mayor área aquél que tenga mayor base. Por el apartado
anterior, éste es el triángulo DAB.
27. Sea ABC un triángulo tal que la mediana AM, correspondiente al lado BC, divide al ángulo
A en dos ángulo que miden 60º y 30º. Hallar razonadamente los tres ángulos del triángulo.
Hallar en función de la longitud AMm , de la mediana, el área del triángulo.
Como A queda dividido en dos ángulos de 60º y 30º, es evidente
que º90ˆ A , podemos fijar un sistema de coordenadas con origen
en A y ejes las rectas que contienen a los catetos del triángulo dado.
Sean 0,0A 0,bB y cC ,0 las coordenadas de los vértices del
triángulo respecto al sistema de coordenadas establecido. Por ser
mm yxM , el punto medio del segmento BC , será 2bxm , por lo
que podemos afirmar que el triángulo AMB es isósceles, y en con-
secuencia º60ˆ B . Por una razón parecida a ésta, o sencillamente
porque la suma de los lados de un triángulo debe ser 180º,
º30ˆ C .
P
A
C
B
h
rv
D
)0,(bB
),0( cC
),( mm yxM
mx
my
A
º60
2º DE BACHILLERATO CUESTIONES DE SELECTIVIDAD Geometría-15-
En el triángulo rectángulo podemos tomar como base mxb 2 º60cos2m m y por altura
myc 2 º60sen2m 3m , por lo que el área es: 2
2
u 2
3mS
28. Dados los vectores aaau 2,1,
, aav ,1,
y 1,,1 aw
, se pide:
a) Determinar los valores de a para los que los vectores ,u
v
y w
son linealmente depen-
cientes
b) Estudiar si el vector )0,3,3(c
depende linealmente de los vectores ,u
v
y w
para el
caso 2a . Justifica la respuesta.
c) Justificar razonadamente si para 0a se cumple la igualdad 0 wvu
, siendo el
producto vectorial.
a) La dependencia lineal de los vectores ,u
v
y w
depende del determinante:
011
11
1
21
aaa
a
aa
aaa
1
1
0
a
a
a
. Si a toma alguno de estos valores,
los vectores son linealmente dependientes, en otro caso son independientes.
b) Para 2a , ,u
v
y w
son tres vectores linealmente independientes en el espacio vectorial
tridimensional, y en consecuencia una base, por lo que )0,3,3(c
, y cualquier otro, pude poner-
se como combinación lineal de ellos.
c) Para 0a wvu
, y como wv
es perpendicular a todos los vectores del plano determi-
nado por v
y w
también lo es a u
en ese caso, por lo que 0 wvu
. O sencillamente,
como por definición wvuwvu
,, es el producto mixto de estos tres vectores, que coin-
cide con el valor del determinante , éste es nulo para 0a
29. Dados los puntos del espacio: 3,1,1P , 1,2,1Q y 1,0,1 R , se pide:
a) Encontrar la distancia la distancia del punto P a la recta que pasa por Q y R.
b) Hallar el área del triángulo cuyos vértices son los puntos dados.
c) Encontrar todos los puntos S del plano determinado por P, Q y R de forma que el cua-
drilátero de de vértices P, Q R y S sea un paralelogramo.
Los dos primeros apartados se encuentran fácilmente, aplicando las expresiones dadas en teoría,
por lo que sólo se desarrolla la última.
En realidad, la condición de que los puntos S buscados están en el plano determinado por P, Q y
R no es necesaria, pues el hecho de formar un paralelogramo con éstos, es una condición que
implica el ser coplanarios. Bastará entonces imponer únicamente la condición que deben cum-
plir los puntos para que determinen un paralelogramo, que no es otra que los vectores que resulta
al unirlos dos a dos, sean equipolentes:
Si designamos por zyxS ,, los casos que se pueden presentar son los siguientes:
-16- Geometría SOLUCIONES 2º DE BACHILLERATO
SRPQ zyx 1,,12,3,0 1,3,1S
SRQP zyx 1,,12,3,0 3,3,1 S
SQPR zyx 1,2,14,1,0 5,1,1S
Se puede comprobar que las otras tres combinaciones posibles, son equivalentes a éstas:
SRPQSPRQ ; SRQPQSPR ; SQPRSPRQ
30. Resuelve la siguiente ecuación vectorial: 5,3,11,1,2 x
, sabiendo que 6x
, don-
de el símbolo significa “producto vectorial”.
Si ),,( zyxx
, la primera condición nos conduce a:
5,3,11,1,2 x
)5,3,1(
112
zyx
kji
)5,3,1(2,2, yxzxzy
52
32
1
yx
zx
zy
que podemos comprobar es un sistema compatible indeterminado, que resolviendo en función de
y, resulta:
1
52
z
y
x
.
Teniendo en cuenta estos resultados: 6x
6)1(52 222
3
5
2
Lo que nos indica que hay dos vectores que verifican las dos condiciones impuestas:
3
2,
3
5,
3
5y)1,2,1( 21 xx
31. Sea la superficie esférica de ecuación 09866222 zyxzyx . Se pide:
a) Determinar su centro y su radio.
b) Hallar la ecuación de la recta que contiene al diámetro paralelo al eje OY.
c) Obtener el centro y el radio de la circunferencia que resulta al cortar dicha esfera
con el plano 0z
d) Hallar la ecuación del plano tangente a la esfera en su punto del eje OX.
a) La esfera de centro ccc zyxC ,, y radio r tiene por ecuación:
2222rzzyyxx ccc 0222 2222222 rzyxzzyyxxzyx ccxccc
Igualando con los coeficientes de la ecuación dada:
9
82
62
62
2222rzyx
z
y
x
ccc
c
c
c
5
)4,3,3(
r
C
2º DE BACHILLERATO CUESTIONES DE SELECTIVIDAD Geometría-17-
b) Por contener a un diámetro, la recta debe pasar por el centro; por ser paralelo al eje OY,
estará en la dirección del vector: )0,1,0(i
:
ri
rCr
//)0,1,0(
)4,3,3(:
0
4
1
3
0
3:
zyxr
c) Por tratarse de la intersección de dos superficies, se ecuación se puede expresar como el
sistema formado por dos ecuaciones:
0
09866222
z
zyxzyx096622 yxyx , que efectivamente es una cir-
cunferencia, cuyo elementos, como en el primer apartado, se pueden obtener identificando coefi-
cientes:
9
02
62
62
222ryx
z
y
x
cc
c
c
c
63
)0,3,3(
r
C
d) El punto de intersección pedido es:
0
0
09866
:
222
z
y
zyxzyx
P )0,0,3(P . El plano pedido viene determinado por:
)4,3,0(
)0,0,3(:
PC
P
0)0,0,3(
43:)4,3,0(
DP
DzyPC
043: zy
32. Siendo los puntos )0,,1( A ; )2,1,1( B y ),1,1( C , se pide:
a) Comprobar que no están alineados, cualquiera que sea el valor del parámetro
b) Hallar el área del triángulo que determinan los tres puntos
a) Para comprobar que los puntos no están
alineados, bastará probar que los vectores AB y
AC son siempre linealmente independientes, o lo
que es lo mismo, que 2, ACABr .
)2,1,0(
)2,1,0(
AC
AB
ACABr ,
10
210r
El rango de esta matriz sólo depende del menor:
)0,,1( A
)2,1,1( B
),1,1( C
-18- Geometría SOLUCIONES 2º DE BACHILLERATO
2
1
21
por lo que evidentemente: 2, ACABr .
b) Como ACABS t 2
1 , siendo el producto vectorial, basta comprobar que
)0,0,2( ACAB , con lo que 2u1tS
33. Dados la recta 2
1
4
1:
zy
m
xr y el plano 02: kzyx , se pide:
a) Calcula m y k para que la recta sea perpendicular al plano.
b) Calcula m y k para que la recta este contenida en el plano.
a) Como rmv )2,4,(
y ),1,2( kw
, wvr
k
m 2
1
4
2 21
8
k
m
b) Para que r en primer lugar tiene que ser wv
0),1,2()2,4,( km
0422 km (*).
Con la condición anterior se garantiza que r , para que r basta imponer además que un
punto de la recta, por ejemplo )1,0,1(A , pertenezca al plano.
02)1,0,1( k 2k . Llevando este resultado a la ecuación (*) obtenemos:
2y 4 km
34. Los vértices de un triángulo son )1,2( A , )5,7(B y ),( yxC
a) Calcula el área del triángulo en función de x e y.
b) Encontrar el lugar geométrico de los puntos yx, tales que el área anterior es 36
a) En primer lugar, y para poder utilizar el producto vectorial en el cálculo del área del triángulo,
planteamos el problema en el espacio tridimensional. Consideramos que los puntos dados,
que son puntos de un plano, están sobre el plano del suelo 0z , con lo que sus coordena-
das pasan a ser: )0,1,2( A , )0,5,7(B y )0,,( yxC . Con esto el área del triángulo es:
ACABST 21
012
069
yx
kji
ACAB
396,0,0 yx 39621, yxyxS T
b) El lugar geométrico pedido es el conjunto de puntos tales que 3639621 yx , es decir:
72396 yx
72396
72396
yx
yx
03732
03532
yx
yx
2º DE BACHILLERATO CUESTIONES DE SELECTIVIDAD Geometría-19-
Se trata de dos rectas paralelas, y además paralelas al vector AB , lo que tiene una sencilla inter-
pretación.
Se puede considerar que todos los triángulos pe-
didos tienen por base 133AB , por lo que su
altura debe ser 13
1324
133
236
h , es decir, el
punto C debe ser tal que su distancia a la recta
que une A y B sea precisamente h. Esos son,
obviamente, los puntos de un par de rectas para-
lelas al lado c.
35. Siendo 1,1A y 1,1B dos puntos del plano, se pide:
a) Determinar las ecuaciones de todas las circunferencia que pasan por A y B, razo-
nando dónde están situados sus centros
b) De entre las circunferencias del apartado anterior, hallar centro y radio de la que
es tangente a la recta xy
Hay infinidad de circunferencia que pasan por dos
puntos dados, pero el centro siempre estará en el
lugar geométrico de los puntos que equidistan de A
y B, es decir, en su mediatriz. En este caso con-
creto la mediatriz es el eje OY, es decir, la recta
0x , por lo que el centro será necesariamente un
punto de la forma cyC ,0 , y la ecuación de las
circunferencias del tipo: 222 ryyx c
Por otra parte, debe ser CAdr , , por lo que:
22 11 cyr cc yy 222 . Si llevamos este
resultado a la ecuación anterior y simplificamos,
obtendremos:
ccc yyyyyx 22222
que es la familia de circunferencias que cumple las
condiciones impuestas.
Para resolver el segundo apartado tendremos en
cuenta que como la circunferencia es tangente a la
recta xyb : y bA , el centro debe estar en la
recta n, perpendicular a b por A. Es fácil obtener
la ecuación de esta recta, 2: xyn .
El centro de la circunferencia será la intersección
de n y el eje OY, es decir: )2,0(C y el radio
A
B
cC
h
h
r
AB
cyC ,0
b
n
C
A
-20- Geometría SOLUCIONES 2º DE BACHILLERATO
2),( CAdr , por lo que en este caso, la ecuación es:
2222 yx 2422 yyx qué lógicamente coincide con el resultado que ob-
tendríamos si en la familia de circunferencias anterior hacemos 2cy
Dada las rectas:
0
162:
yx
zyxr y z
a
yxs
1
2:
a) Determinar la posición relativa de r y s según los parámetros de a.
b) Calcular la distancia entre las rectas r y s cuando 2a
Entre las distintas formas de trabajar, lo hacemos a partir de su determinación lineal:
z
yx
zyxr
0
162:
z
y
x
231
231
1,2,2
0,31,31
rv
Pr
za
yxs
1
2:
1,,2
0,1,1
av
Qs
s
2a sr vv
rr
sr
o Para saber en cuál de los dos casos nos encontramos, tenemos que
considerar el vector 0,34,34 PQ 0,1,1 , que no es paralelo a los vectores dirección de
las rectas, por lo se trata de dos rectas paralelas.
2a los vectores no son paralelos, por lo que las rectas se cortan o se cruzan, lo que depende
del rango de:
011
12
122
a , que para 2a es 3, pues el determinante es a 2 . En consecuencia, en
este caso se trata de dos rectas que se cruzan.