ESTUDIOS PROFESIONALES PARA EJECUTIVOSESTUDIOS PROFESIONALES PARA EJECUTIVOS

CÁLCULO 2 (CE14)CÁLCULO 2 (CE14)

INTEGRALES DOBLES

2

Habilidades• Define el concepto de integral doble sobre una

región general.• Interpreta geométricamente el concepto de

integral doble.• Calcula integrales dobles mediante integrales

iteradas.• Calcula el volumen de un sólido usando

integrales dobles.

Cálculo 2

Problema 1Calcular el volumen del sólido E, limitado por la región 20;20;2160/;; 22 yxyxzzyxE

D

dAyxf );(

m

i

n

jjiijijnm

yxyxfV1 1

**

,);(lim

m

i

n

jjiijijnm

yxyxfV1 1

**

,);(lim

f(x*;y*)

xiyj

m

i

n

jjiijij

yxyxfV1 1

** );(

3

Definición. La integral doble de una función f se denota por

R

dAyxf );( y se define como

R

m

i

n

j

jiijijnmyxyxfdAyxf

1 1

**

,);(lím);(

si el límite existe.

Integral doble sobre un rectángulo

1. Evalúe la integral doble R

dAyx )3( 2

donde R es el rectángulo 21202 y;x/Rx;yR

Ejemplos

4

Ejemplos2. Evalúe las integrales iteradas:

3

0

2

1

2 dxdyyx(a) 2

1

3

0

2 dydxyx(b)

Teorema de FubiniSi f es continua en el rectángulo [a; b][c; d ], entonces

b

a

d

cR

dxdyyxfdAyxf );();(

d

c

b

a

dydxyxf );(

5

Considere una función f de dos variables definida en un rectángulo cerrado

dAyxfVR ;

dycbxaRyxdcbaR ,/;;; 2

Se supone que . La gráfica de f es una superficie con ecuación . Sea S el sólido que yace arriba de R y debajo de la gráfica de f, entonces

yxfz ;

0; yxf

1. Volumen de un sólido.Aplicaciones de la integral doble

6

7

Halle el volumen del sólido S que está limitado por el paraboloide elíptico , los planos en el primer octante.

Cálculo 2

Ejemplos

162 22 zyx2;2 yx

Cálculo de integrales de dobles (regiones generales)

Región del tipo I

Consideraremos regiones del tipo I a aquellas regiones del plano cuya descripción es:

D

y = f(x)

y = g(x)

x

y

ba

xfyxb, gx/aRIyx 2;D

b

a

xf

xgD

dydxyxfyxf)(

)(

);(dA ; b

a

xf

xgD

dydxyxfyxf)(

)(

);(dA ;

8

yhxyd, ky/cRIyxD 2;

Región del tipo II

Consideraremos regiones del tipo II a aquellas regiones del plano cuya descripción es

Cálculo de integrales de dobles (regiones generales)

9

d

c

yh

ykD

dxdyyxfyxf

)(

)(

);(dA ; d

c

yh

ykD

dxdyyxfyxf

)(

)(

);(dA ;

yhxyd, ky/cRIyxD 2;

Región del tipo II

Consideraremos regiones del tipo II a aquellas regiones del plano cuya descripción es

Calculo de integrales de dobles

10

11

2. Halle el volumen del sólido que se encuentra debajo del paraboloide , encima de la región D limitada por la recta y=2x y la parábola

22 yxz

2xy

Cálculo 2

Ejemplos

donde D es la región limitada por 1. Calcule ,)2( D

dAyx

Las parábolas 22xy 21 xy y

);();();)(( 1.D DD dAyxgdAyxfdAyxgf

DD

);();( 2. dAyxfcdAyxcf

Propiedades de la integral doble

21

21

);();();(.3

DDD

dAyxfdAyxfdAyxfDDD

DMAdAyxfDmA

Myxfm

D

);(

entonces;;.4

12