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3º laboratorio de cálculo por elementos finitos
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍAFACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA
3º laboratorio de cálculo por elementos finitos
TEMA: ARMADURAS PLANAS
CURSO: Cálculo por elementos finitos.
SECCIÓN: “G”
FECHA DE ENTREGA: 07/10/2015
ALUMNO: Rafael Maynasa, Anthony Williams.
CÓDIGO: 20130217D
2015-II
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3º laboratorio de cálculo por elementos finitos
ÍNDICE.
1. INTRODUCCIÓN. …………………………………………………………………………… 1
2. OBJETIVOS. …………………………………………………………………………………… 2
3. ENUNCIADO DEL PROBLEMA. ……………………………………………………… 3
4. SOLUCIÓN 1:
4.1. Modelado del cuerpo real. …………………………………………………… 4
4.2. Grados de libertad nodales. ………………………………………………… 6
4.3. Vector carga. ……………………………………………………………………… 7
4.4. Matriz de rigidez. …………………………………………………………………8
4.5. Ecuaciones de rigidez y ecuaciones de contorno. ………………… 10
4.6. Esfuerzos. …………………………………………………………………………… 11
4.7. Resultados. ………………………………………………………………………… 12
5. SOLUCIÓN 2.
Diagrama de flujo. …………………………………………………………………… 13
Programación en MATLAB. ……………………………………………………… 15
6. CONCLUSIONES. …………………………………………………………………………… 19
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1. Enunciado del problema
Considere la armadura tipo balcón como se muestra en la Figura 1. Todos los elementos están hechos de madera. Determinar la distribución de esfuerzos de una armadura plana, la cual es sometida a cargas en ciertos nodos, despreciándose los efectos de temperatura y de peso de cada viga de la armadura plana. Se tiene que el Módulo de Elasticidad del material de cada viga es 1.9×106 lb / pulg2, y una sección transversal de 8 pulg2.
Ilustración 1
Datos del problema:
Diámetro de la sección constante de cada viga: 3.1915 pulg
Carga P1=500 lb
Carga P2=500 lb
Modulo de elasticidad de cada viga: 1.9×106 lb / pulg2
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2. Solución (cálculos previos)I. El análisis por el método de los elementos finitos
Ilustración 2
3. Grados de libertad y coordenadas
Como observamos en la ilustración 2, hacemos uso de las coordenadas X-Y en la posición mostrada, para así poder tener las posiciones de los 5 nodos de la armadura plana y así poder cuantificar dichos nodos. Para esto procedemos hacer el siguiente cuadro:
Nodo X(mm) Y(mm)1 0 02 3 03 6 04 3 35 0 3
II. Luego hacemos nuestra tabla de conectividad
Elemento Nodos(1) (2)
GDL1 2 3 4
Le en (mm) Ae en (mm2) Ee en (N/mm2)
1 1 2 1 2 3 4 3 8 1.9×106
2 2 3 3 4 5 6 4.2426 8 1.9×106
3 3 4 5 6 7 8 3 8 1.9×106
4 4 2 7 8 3 4 3 8 1.9×106
5 4 1 7 8 1 2 4.2426 8 1.9×106
6 4 5 7 8 9 10 3 8 1.9×106
7 1 5 1 2 9 10 3 8 1.9×106
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Elemento # de Nodo X (pulg) Y (pulg) (Xi-Xj) (Yi-Yj)le
(pulg)Cosenos Directores
l m
11 0 0
-3 0 3 -1 02 3 0
22 3 0
-3 -3 4.2426 -0.7071 -0.70713 6 3
33 6 3
3 0 3 1 04 3 3
44 3 3
0 3 3 0 12 3 0
54 3 3
3 3 4.2426 0.7071 0.70711 0 0
64 3 3
3 0 3 1 05 0 3
71 0 0
0 -3 3 0 -15 0 3
4. Matriz de rigidez de los elementos (local)
Respecto a X ' : K tw' =( EAle )
e [ 1 −1−1 1 ] (tracción simple)
Respecto a (X, Y): K sr=Lrt(K tw' )Lws donde Lws=Lrt
Resulta: K rse =(EAle )
e [ l2 lmlm m2
−l2 −ml−lm −m2
−l2 −lm−lm −m2
l2 lmlm m2 ]
k 1=( (1.9×106 ) .83 )[ 1 0 −1 0
0 0 0 0−1 0 1 00 0 0 0
]=106×[ 5.0667 0 −5.0667 00 0 0 0
−5.0667 0 5.0667 00 0 0 0
]k 2=( (1.9×106 ) .8
4.2426 )[ 0.5 0.5 −0.5 −0.50.5 0.5 −0.5 −0.5
−0.5 −0.5 0.5 0.5−0.5 −0.5 0.5 0.5
]=106×[ 1.7914 1.7914 −1.7914 −1.79141.7914 1.7914 −1.7914 −1.7914
−1.7914 −1.7914 1.7914 1.7914−1.7914 −1.7914 1.7914 1.7914
]Armaduras Planas Página 5
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k 3=( (1.9×106 ).83 )[ 1 0 −1 0
0 0 0 0−1 0 1 00 0 0 0
]=106×[ 5.0667 0 −5.0667 00 0 0 0
−5.0667 0 5.0667 00 0 0 0
]k 4=( (1.9×106 ) .8
3 )[0 0 0 00 1 0 −10 0 0 00 −1 0 1
]=106×[0 0 0 00 5.0667 0 −5.06670 0 0 00 −5.0667 0 5.0667
]k 5=( (1.9×106 ).8
4.2426 )[ 0.5 0.5 −0.5 −0.50.5 0.5 −0.5 −0.5
−0.5 −0.5 0.5 0.5−0.5 −0.5 0.5 0.5
]=106×[ 1.7914 1.7914 −1.7914 −1.79141.7914 1.7914 −1.7914 −1.7914
−1.7914 −1.7914 1.7914 1.7914−1.7914 −1.7914 1.7914 1.7914
]k 6=( (1.9×106 ).8
3 )[ 1 0 −1 00 0 0 0
−1 0 1 00 0 0 0
]=106×[ 5.0667 0 −5.0667 00 0 0 0
−5.0667 0 5.0667 00 0 0 0
]k 7=( (1.9×106 ).8
3 )[0 0 0 00 1 0 −10 0 0 00 −1 0 1
]=106×[0 0 0 00 5.0667 0 −5.06670 0 0 00 −5.0667 0 5.0667
]5. Matriz de rigidez estructural (global)
K iJ=∑e=1
ϵ
ksre | s→i
r→J
(conectividadde modelo)
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[k ]=106 . [6.8581 1.7914 −5.0667 0 0 0 −1.7914 −1.7914 0 01.7914 6.8581 0 0 0 0 −1.7914 −1.7914 0 −5.0667
−5.0667 0 6.8581 1.7914 −1.7914 −1.7914 0 0 0 00 0 1.7914 6.8581 −1.7914 −1.7914 0 −5.0667 0 00 0 −1.7914 −1.7914 6.8581 1.7914 −5.0667 0 0 00 0 −1.7914 −1.7914 1.7914 1.7914 0 0 0 0
−1.7914 −1.7914 0 0 −5.0667 0 11.9248 1.7914 −5.0667 0−1.7914 −1.7914 0 −5.0667 0 0 1.7914 6.8581 0 0
0 0 0 0 0 0 −5.0667 0 5.0667 00 −5.0667 0 0 0 0 0 0 0 5.0667
]6. Cargas nodales
En coordenadas X’ se sabe que:
F 'we=[F ' 1e F ' 2
e ] '
En coordenadas X-Y se tiene:
F se=[F1e F2
e F3e F4
e ] '
7. Ecuación de rigidez
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[F1F2F3F4F5F6F7F8F9F10
]=[6.8581 1.7914 −5.0667 0 0 0 −1.7914 −1.7914 0 01.7914 6.8581 0 0 0 0 −1.7914 −1.7914 0 −5.0667
−5.0667 0 6.8581 1.7914 −1.7914 −1.7914 0 0 0 00 0 1.7914 6.8581 −1.7914 −1.7914 0 −5.0667 0 00 0 −1.7914 −1.7914 6.8581 1.7914 −5.0667 0 0 00 0 −1.7914 −1.7914 1.7914 1.7914 0 0 0 0
−1.7914 −1.7914 0 0 −5.0667 0 11.9248 1.7914 −5.0667 0−1.7914 −1.7914 0 −5.0667 0 0 1.7914 6.8581 0 0
0 0 0 0 0 0 −5.0667 0 5.0667 00 −5.0667 0 0 0 0 0 0 0 5.0667
][Q1
Q 2
Q3
Q4
Q5
Q6
Q7
Q8
Q 9
Q10
]Haciendo uso de la eliminación de Gauss:
[6.8581 1.7914 −5.0667 0 0 0 −1.7914 −1.7914 0 01.7914 6.8581 0 0 0 0 −1.7914 −1.7914 0 −5.0667
−5.0667 0 6.8581 1.7914 −1.7914 −1.7914 0 0 0 00 0 1.7914 6.8581 −1.7914 −1.7914 0 −5.0667 0 00 0 −1.7914 −1.7914 6.8581 1.7914 −5.0667 0 0 00 0 −1.7914 −1.7914 1.7914 1.7914 0 0 0 0
−1.7914 −1.7914 0 0 −5.0667 0 11.9248 1.7914 −5.0667 0−1.7914 −1.7914 0 −5.0667 0 0 1.7914 6.8581 0 0
0 0 0 0 0 0 −5.0667 0 5.0667 00 −5.0667 0 0 0 0 0 0 0 5.0667
]Remplazando los datos de las matrices k y F obtenemos Q.
[0500050000
]=106[6.8581 1.7914 −1.7914 −1.7914 0 01.7914 6.8581 −1.7914 −1.7914 0 −5.0667
−1.7914 −1.7914 6.8581 1.7914 −5.0667 0−1.7914 −1.7914 1.7914 1.7914 0 0
0 0 −5.0667 0 11.9248 1.79140 −5.0667 0 0 1.7914 6.8581
]×[Q3
Q 4
Q5
Q6
Q7
Q8
][Q3
Q4
Q5
Q6
Q7
Q8
]=10−3×[0.09871.0516
−0.39471.8242
−0.29610.8543
] pulgPor tanto el vector carga total será:
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[Q1
Q2
Q3
Q4
Q5
Q6
Q7
Q8
Q9
Q10
]=[00
0.09871.0516
−0.39471.8242
−0.29610.854300
]8. Distribución de esfuerzos
En coordenadas X’ se sabe que el esfuerzo de cada elemento se halla asi:
σ e=EBt qt' (Tracción simple)
Pero en coordenadas X-Y se puede escribir del siguiente modo:
σ e=EBt Ltr qr
Resultando
σ e=( Ele )e
[−l −m l m ][ q1q2q3q4
] (Es el esfuerzo para cada elemento finito)
[σ 1σ 2σ 3σ 4σ 5σ 6σ7
]=[62.501562.5015
−88.3905−62.5015176.7809
−187.50450
]
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INICIO
Leer datos de entrada.
Para i=1 hasta Nº de nodos
Ingresar coordenadas de los nodos.
Calcular área, Nº de filas de cond_contorno(CC1)
Para i=1 hasta 2veces Nº de nodos
Cont=0
Para j=1 hasta Nº de filas de cond_contorno(CC1)
1 23
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9. Diagrama de flujo
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1 2
Si i=CC(i,1)
Cont=1, C2=CC1(i,2)C1=CC1(i,1)
SI
Si cont=1
CC(i,1)=C1;CC(i,2)=C2
3
SI NO
CC(i,1)=0;CC(i,2)=0
Para i=1 hasta Nº elementos
Calcula Le, l, m, las posiciones de la matriz de rigidez global y su valor.
4
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4
Para i=1 hasta 2veces Nº elementos.
Si i=CC(i,1)
Q(i,1)=CC(i,2) Acumulamos fuerzas
(FC=[FC;F(i)])
SI NO
Para j=1;2*Nºnodos
Si jCC(j,1)
acuh=[acuh,Kij(i,j)]acumula filas
SI
acuv=[acuv;acuh];acumula columnas
Calcula los desplazamientos generales
Q1=acuv\FC;
5
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5
Para i=1;2Nº nodos
Si i==CC(i,1)
Calcula las reaccionesr=Kij(i,1:2*nd)*Q-F(i,1);
R=[R;r i];
Para i=1 hasta Nº de elementos
Calcula esfuerzos
Imprime Desplazamientos, reacciones y esfuerzos
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10. Digitación del programa en Matlab
%ARMADURAS PLANASformat longnd=input('INGRESE EL NUMERO DE NODOS=');ne=input('INGRESE EL NUEMRO DE ELEMENTOS=');D=input('INGRESE EL DIÁMETRO DE LAS SECCIONES(pulg)=');E=input('INGRESE EL MODULO DE ELASTICIDAD(lb/pulg^2=');tc=input('INGRESE TABLA DE CONECTIVIDAD(solo nodos)=');
%EJEMPLO [1 2;2 3;3 4;4 2;4 1;4 5;5 1]ni=[];for i=1:nddisp('INGRESE LAS CORDENADAS DEL NODO ');disp(i);n(i,1)=input('N(X)= ');n(i,2)=input('N(Y)= ');endF=input('INGRESE EL VECTOR COLUMNA DE FUERZAS=');CC1=input('INGRESE CONDICIONES DE CONTORNO [posición valor]=');lm=[];A=pi/4*D^2;krs=zeros(2*nd);Kij=zeros(2*nd);acuh=[];acuv=[];FC=[];le=[];Q=[];R=[];l=[];m=[];CC=[];[fc,cc]=size(CC1);for i=1:2*ndcont=0;for j=1:fcif i==CC1(j,1)cont=1;c1=CC1(j,1);c2=CC1(j,2);endendif cont==1CC(i,1)=c1;CC(i,2)=c2;elseCC(i,1)=0;CC(i,2)=0;endendfor i=1:nele(i)=sqrt((n(tc(i,2),1)-n(tc(i,1),1))^2+(n(tc(i,2),2)-n(tc(i,1),2))^2);l(i)=(n(tc(i,2),1)-n(tc(i,1),1))/le(i);m(i)=(n(tc(i,2),2)-n(tc(i,1),2))/le(i);ps1=tc(i,1)*2-1;ps2=tc(i,1)*2;ps3=tc(i,2)*2-1;ps4=tc(i,2)*2;krs(ps1,ps1)=l(i)^2;krs(ps1,ps2)=l(i)*m(i);krs(ps1,ps3)=-l(i)^2;krs(ps1,ps4)=-l(i)*m(i);krs(ps2,ps1)=l(i)*m(i);krs(ps2,ps2)=m(i)^2;krs(ps2,ps3)=-l(i)*m(i);krs(ps2,ps4)=-m(i)^2;krs(ps3,ps1)=-l(i)^2;krs(ps3,ps2)=-l(i)*m(i);krs(ps3,ps3)=l(i)^2;krs(ps3,ps4)=l(i)*m(i);krs(ps4,ps1)=-l(i)*m(i);krs(ps4,ps2)=-m(i)^2;krs(ps4,ps3)=l(i)*m(i);krs(ps4,ps4)=m(i)^2; Kij=Kij+E*A/le(i)*krs;krs=zeros(2*nd);end
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for i=1:2*ndif i==CC(i,1)Q(i,1)=CC(i,2);elseFC=[FC;F(i)];for j=1:2*ndif j~=CC(j,1) acuh=[acuh,Kij(i,j)];endendendacuv=[acuv;acuh];acuh=[];endQ1=acuv\FC;for i=1:2*ndif i~=CC(i,1)Q(i,1)=Q1(1,1);[f,c]=size(Q1);if f>=2Q1=Q1(2:f,1);endendendfor i=1:2*ndif i==CC(i,1)r=Kij(i,1:2*nd)*Q-F(i,1);R=[R;r i];endendESF=[];for i=1:neps1=tc(i,1)*2-1;ps2=tc(i,1)*2;ps3=tc(i,2)*2-1;ps4=tc(i,2)*2;ESF(i)=E/le(i)*[-l(i) -m(i) l(i) m(i)]*[Q(ps1,1);Q(ps2,1);Q(ps3,1);Q(ps4,1)];endformat shortdisp('=============');disp('RESULTADOS');disp('=============');disp('LOS DESPLAZAMIENTOS');disp(Q);disp('LAS REACIONES');disp('REACCIÓN POSICIÓN');disp(R);disp('LOS ESFUERZOS');disp(ESF');
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11. Ejecucion del programa
Ingrese numero de codos =5 Ingrese numero de elementos =7 Ingrese el diámetro de las secciones(pulg) = 3.1915
Ingrese el modulo de elasticidad(N/pulg2) = 1.9x106
Ingrese tabla de conectividad (solo los nodos) =[1 2;2 3;3 4;4 2;4 1;4 5;1 5]
Ingrese las coordenadas del nodo (1)
N(X)=0
N(Y)=0
Ingrese las coordenadas del nodo (2)
N(X)=3
N(Y)=0
Ingrese las coordenadas del nodo (3)
N(X)=6
N(Y)=0
Ingrese las coordenadas del nodo (4)
N(X)=3
N(Y)=3
Ingrese las coordenadas del nodo (5)
N(X)=0
N(Y)=3
Ingrese el vector columna de fuerzas= [0 0 0 500 0 500 0 0 0 0]’
Ingrese condición de contorno [posición valor]= [1 0;2 0;9 0;10 0]
Resultado:
a) Los desplazamientos son:
0 0 0.0001 0.0010 0.0002 0.0016 -0.0003 0.0009 0 0
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Las reacciones son:
REACCIÓN POSICIÓN1.0e+03 *
-1.5000 0.0010
-1.0000 0.0020
1.5000 0.0090
0 0.0100
Los esfuerzos (psi)
62.5015 62.5015 -88.3905 -62.5015 176.7809 -187.5045 0
12. Conclusiones
Para hacer el cálculo con todo lo concerniente a armaduras planas con el método de elementos finitos, solo pude notar el error de redondeo trabajando analíticamente comparado con el Matlab, pero es despreciable dicho error.
También es bueno aclarar que al hacer la tabla de conectividad; este aumenta si la estructura en el plano tiene muchos elementos, para dicho caso es mejor usar el software Matlab.
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