Post on 02-Jul-2015
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Respuesta transitoria
ITIS - SAC Tema1: Señales y Sistemas - Resp.Transitoria
Introducción
• La respuesta de un sistema ante una señal de entrada se divide en dos partes:
)()()( tytyty rpt +=
– Respuesta transitoria: comportamiento inicial de la salida y evolución en los primeros instantes.
– Respuesta en régimen permanente: comportamiento final de la salida (t->∞).
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• Señales de test.– Se emplean señales de entrada normalizadas para facilitar
el estudio de la respuesta.• Escalón. r(t)
t• Rampa. r(t)
t
• Parábola. r(t)
t
r(t)=u(t)
R(s)=1/s
r(t)=t
R(s)=1/s^2
r(t)=t^2
R(s)=1/s^3
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Parámetros de la respuesta
r
• Respuesta ante escalón.
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• Parámetros de la respuesta transitoria.
– Sobreoscilación máxima (Mp).• Valor del mayor pico de sobreoscilación (en % sobre el valor
final).
– Tiempo de pico (tp).• Tiempo que tarda el sistema en alcanzar el sobreimpulso máximo.
– Tiempo de retardo (td).• Tiempo que tarda el sistema en alcanzar el 50% del valor final.
– Tiempo de subida (tr).• Tiempo que tarda el sistema en pasar del 10% al 90% del valor
final.
– Tiempo de establecimimento (ts).• Tiempo que tarda el sistema en entrar dentro de la franja de +-5%
del valor final.
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r
Sobreoscilación
Tiempo de
pico
• Sobreoscilación.
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r
0.5*r
0.9*r
0.1*r
Tiempo de subida
Tiempo de
retardo
• Retardo y subida.
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r
0.95*rTiempo de
establecimiento
• Establecimiento.
1.05*r
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Error en régimen
permanente
Valor
final
• Régimen permanente.
r
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• Otros parámetros.– Amortiguamiento.– Frecuencia/periodo de oscilación.
r
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Sistemas de primer orden
• Un sistema de primer orden posee un único polo.
– Su función de transferencia es de la forma
1
1)(
+=
TssF
– La respuesta ante un escalón de entrada (R(s)=1/s) es
+= −
1
11)( 1
TssLty
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– Descomponiendo en fracciones simples
TteTs
T
sLty /1 1
1
1)( −− −=
+−+=
• Respuesta para T=10.
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– El valor de T (constante de tiempo) determina la velocidad de la respuesta.
• Respuesta para T=1.
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• Respuesta para T=100.
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Sistemas de segundo orden
• Un sistema de segundo orden posee dos polos.
– Su función de transferencia normalizada es de la forma
22
2
2)(
nn
n
wsws
wsF
++=
ζ
– Los dos polos están situados en
d
nn
jw
jwwss
±==−±−=
σζζ 2
21 1,
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– Parámetros:∀ σ (factor de amortiguamiento): Inversa de la cte. de tiempo.∀ ζ (coeficiente de amortiguamiento): Oscilación de la respuesta.
• wn (frecuencia natural no amortiguada): Frecuencia de oscilación de la respuesta si no existiera amortiguamiento.
• wd (frecuencia amortiguada): Frecuencia de oscilación con amortiguamiento.
wnwd=wn(1-ζ^2)^(1/2)
σ= ζ wn
θ
σ
jw
ζ=cos θ
PLANO S
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• Lugares en el plano s.
σ
jw
S
Frecuencia natural constante.
σ
jw
S
Coeficiente de amortig. constante.
σ
jw
SFrecuencia amortig. constante.
σ
jw
SFactor de amortig. constante.
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• Tipos de respuesta.� ζ>1: Respuesta sobreamortiguada (el sistema tiene dos
polos reales).
• Respuesta para un sistema con polos en -1 y -2.
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– 0<ζ<1: Respuesta subamortiguada (el sistema tiene un par de polos complejos conjugados).
• Respuesta para un sistema con polos en -1±10j.
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� ζ=1: Respuesta críticamente amortiguada (el sistema tiene un polo real doble).
• Respuesta para un sistema con polo doble en -1.
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– Otros ejemplos:• Coeficiente de amortiguamiento constante.
• Factor de amortiguamiento constante.
• Frecuencia natural constante.
• Frecuencia amortiguada constante.
Simulación
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• Fórmulas de cálculo de los parámetros de la respuesta transitoria.
d
d
r w
wtant
−=
−
σπ 1
dp w
tπ=
100xeM dwp
πσ
−
=
σπ=st
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Sistemas de orden superior
• Los polos y ceros adicionales afectan a la respuesta del sistema de diverso modo.– El efecto es mayor cuanto más cercanos estén los
polos/ceros añadidos a los existentes.– Un polo tiende a incrementar el tiempo de subida y
reducir la sobreoscilación.
– Un cero reduce el tiempo de subida e incrementa la sobreoscilación.
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• Polos dominantes.– Los polos que más afectan a la respuesta de un sistema
son los que se encuentran más próximos al origen del plano s.
• Aproximación de sistemas de orden superior.– Un sistema de orden elevado puede ser reducido a otro de
orden inferior para simplificar su estudio.– Para ello hay que descartar los polos/ceros que afecten en
menor medida a la respuesta del sistema.• Raíces alejadas del origen.
• Pares polo/cero cercanos entre sí.
– Siempre se estará cometiendo un error.
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Parámetros de la respuesta
r
Sobreoscilación
0.5*r
0.9*r
0.1*r
Tiempo de subida
Error en régimen
permanente
Tiempo de
establecimiento
Valor
final
Tiempo de
retardo
Tiempo de
pico