Post on 19-Oct-2015
Sistema de partculas (S de P): Primera Ecuacin Cardinal
Fuerzas internas y externas
Fuerzas externas (Fe): Las que actan sobre las partculas del sistema y son debidas a otras partculas o cuerpos no pertenecientes al sistema
Fuerzas internas (f): Las que actan sobre las partculas del sistema y son debidas a otras partculas o cuerpos pertenecientes al sistema
S
MA Iext
m1 m2
m3
Iint
Iint Iint
mi
fji
x
y
z
mj
Fie
ri
fij
rj
Fje
S = m1, m2 y resorte (mR=0)
FR1
FR2
m1
m2
P1
P2
m1
m1
k
Ejemplo: lanzo dos pelotas unidas por un resorte, el DCL en un instante cualquiera en el aire:
S= compuesto por n partculas
mi
S= compuesto por n partculas
fji
x
y
z
mj
Fie
ri
fij
rj
Fje
Aplicando la 2 Ley de Newton a cada una de las partculas:
F1 = F1e + f21 + f31 + .. + fn1 = m1 a1
F2 = F2e + f12 + f32 + .. + fn2 = m2 a2
F3 = F3e + f13 + f23 + .. + fn3 = m3 a3
Fn = Fne + f1n + f2n + .. + f(n-1)n = mn an
Fie : resultante de las fuerzas exteriores que actan sobre la partcula i
fij : fuerza que la partcula i ejerce sobre la partcula j
F1e + f21 + f31 + .. + fn1 = m1 a1
F2e + f12 + f32 + .. + fn2 = m2 a2
F3e + f13 + f23 + .. + fn3 = m3 a3
Fne + f1n + f2n + .. + f(n-1)n = mn an
Sumando miembro a miembro:
= m1 dv1/dt =m1 d2r1/dt
2 = m2 dv2/dt =m2 d2r2/dt2 = m3 dv3/dt =m3 d
2r3/dt2
= mn dvn/dt =m1 d2rn/dt
2
+
Fe + 0 = mi ai
Fe = M/M d2 ( miri)/dt2 = M d2 ( miri/ mi)/dt
2
En el primer miembro se verifica que: fij + fji = 0 ya que son pares de accin y reaccin
Multiplicando y dividiendo por la masa total del sistema: M= mi
mi ai = mi d2ri/dt
2= d2(miri)/dt2= d2 ( miri)/dt
2
Operando en el segundo miembro:
Fe = M d2 rCM/ dt2
rCM= ( miri/ mi)
d2 rCM/ dt2 = aCM F
e = M aCM PRIMERA ECUACION CARDINAL
=rCM Vector posicin del CM
Fe = M aCM Fx
e = M aCMx Fy
e = M aCMy Fz
e = M aCMz
La Primera Ecuacin Cardinal permite describir el movimiento del centro de masa de cualquier sistema de partculas, sin importar lo amplio que el sistema pueda ser y lo complicado de su movimiento conjunto
CM
F aCM= F/M
CM
F
aCM= F/M
CM F aCM= F/M
Cuando la fuerza resultante pasa por el CM, el cuerpo adquiere un movimiento de traslacin pura con aceleracin = F/M
Cuando la fuerza resultante no pasa por el CM, el cuerpo adquiere un movimiento de
traslacin con aceleracin = F/M junto a una rotacin alrededor del CM.
FR1
FR2
m1
m2
P1
P2
m1
m2 k
P1 + FR1 = m1 a1
P2 + FR2 = m2 a2 + P1 + P2 + FR1+ FR2 = (m1 + m2 ) aCM
F R2
F R1
FR1 = FR1 Por A y R
FR1 = FR2 Por mresorte=0
FR2 = FR2 Por A y R
FR1 = FR2
Igualdad de mdulos sentidos opuestos
x
aCM = (m1 g+ m2 g) (-k) / (m1 + m2) aCM = (m1 + m2 )g (-k) / (m1 + m2)
aCM = g (-k)
La aceleracin del centro de masa es igual a la aceleracin de la gravedad si se lanza con una velocidad v0 que forma un ngulo con la horizontal, la trayectoria del CM ser parablica
y
z
Cantidad de movimiento o momento lineal
Fe = mi ai
Operando en el segundo miembro:
Fe = mi ai = mi dvi/dt= d(mi vi)/dt
Donde (mi vi) = pi
Vector cantidad de movimiento de la partcula i
reemplazando en el segundo miembro:
Fe = d P/dt
Donde pi = P
Vector cantidad de movimiento total del S de P
Fe = M aCM PRIMERA ECUACION CARDINAL
Fe = dpi/dt= d (pi) /dt= d P/dt
Solo las fuerzas externas que actan sobre el S de P pueden hacer variar la cantidad de movimiento total P de un sistema de partculas
Fe = d P/dt Fex= d Px/dt
Fey= d Py/dt
Fez= d Pz/dt
P = pi
rCM= ( miri/ mi) Segn hemos definido:
vCM = drCM/dt= d( miri/ mi)/dt = (mi dri/dt ) / mi = ( mi vi) /M = P/M
P = M vCM
La cantidad de movimiento total de un sistema de partculas puede expresarse como: la suma de las cantidades de movimiento de cada una de las partculas
del sistema de partculas el producto de la masa total del sistema por la velocidad del CM del
sistema
=vi
Fe = d P/dt = d(M vCM) /dt = M d( vCM) /dt = M aCM
Fe = d P/dt
Fe = M aCM
Conservacin de la cantidad de movimiento total
Si Fe = 0 d P/dt = 0 P= cte.
Cuando la resultante de las fuerzas externas es nula, entonces la cantidad de movimiento total se mantiene constante.
Las nicas fuerzas que pueden hacer variar la cantidad de movimiento total de un sistema de partculas son las fuerzas externas
Localizacin del centro de masa (CM)
m1
x
y
z
mi rCM ri
m2 m3
m4
mn
CM
zCM xCM
yCM
xCM = ( mixi/ mi)
rCM= ( miri/ mi)
yCM = ( miyi/ mi)
zCM = ( mizi/ mi)
Supongamos el sistema de N partculas y masa total M subdividido en dos subsistemas, tal como indica la figura:
(N)
x
y
z
CM rCM rCM
mn
CM
M
CM
rCM
(N)
M
N = N + N
M = M + M
rCM= ( miri)/M
rCM= ( miri)/M
rCM= ( miri)/M = ( miri + miri)/M = (M ri + M ri)/M
generalizando:
rCM= ( miri)/M = ( Mi rCMi)/M
vh
Un hombre esta en reposo sobre un tabln que flota sobre un lago y comienza a caminar con velocidad vh respecto a Tierra
qu pasa con el tabln ? con qu velocidad se mover el tabln ?
S= {hombre + tabln}
P
N
fr
fr
N
fr es una fuerza interna no cambia el Pxtotal = pxh + pxT
Pxantes = Pxdespues
Pxantes = Pxdespues
phxantes + pTxantes = Pxdespues
mh vxhantes + MT vxTantes= mh vxhdespues + MT vxTdespues
= 0 = 0
0 = mh vxhdespues + MT vxTdespues MT vxTdespues = - mh vxhdespues
vxTdespues = - (mh /MT) vxhdespues
CMh
x x
CMT
x
CM
pxhantes + pxTantes = Pxdespues
0= (mh + MT ) vxCM vxCM = 0 xCM = cte.
CM
x
CMh
CMT
CMh
CM
x
CMh
CMT
x
xCM
xCM
xCM
Cuando el hombre llega al otro extremo del tabln, Cunto se movi el tabln ?
x
xCMdespues
= (mh xCMh + MT xCMT) / (mh + MT)
xCMdespues
=[mh d+ MT (L/2 + d)] / (mh + MT)
x x
xCM
xCMantes = [mh L+ MT (L/2) ]/ (mh + MT)
x x
CMh
x
xCM
xCMantes
= xCMdespues
mh L+ MT (L/2) ]/ (mh + MT) =[mh d+ MT (L/2 + d)] / (mh + MT) mh L+ MT (L/2) =mh d+ MT (L/2 + d)
mh L=mh d+ MT d
mh L =d (mh + MT )
d = mh L /(mh + MT )
d
CMT
CM
CM
CMh
CMT