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5. SÍNTESIS DE DIPOLOS LC SÍNTESIS DE FILTROS
SÍNTESIS DE FILTROS
Autor: PEDRO QUINTANA MORALESDto. Señales y Comunicaciones
Universidad de Las Palmas de Gran canaria
2005
5. SÍNTESIS DE DIPOLOS LC SÍNTESIS DE FILTROS
5. SÍNTESIS DE DIPOLOS LC
• Análisis – Síntesis de Dipolos
• Inmitancias RLC
• Inmitancias LC
• Implementación LC Canónica
• Implementación LC No Canónica
5. SÍNTESIS DE DIPOLOS LC SÍNTESIS DE FILTROS
ANÁLISIS – SÍNTESIS DE DIPOLOS
• Análisis
32
1
11
1
3
1 2
6 4( )
6 1
s sZ s
s
2
2 3
2 1( )
sZ s
s s
5. SÍNTESIS DE DIPOLOS LC SÍNTESIS DE FILTROS
ANÁLISIS – SÍNTESIS DE DIPOLOS
• Síntesis
3
3 2
2( )
1
s sZ s
s
11
1
3
4 2
3( )
4
s sZ s
s
5 2
1( )
1Z s
s
5. SÍNTESIS DE DIPOLOS LC SÍNTESIS DE FILTROS
INMITANCIAS RLC
• Red de 1 puerta compuesta de R, L y C
• Propiedades de Inmitancias de Dipolos RLC
• Red Pasiva (Racional y Real)
• Polos en semiplano izquierdo o en eje jw (simples)
• Fase Mínima 1
( )( )
Z sY s
RLC
5. SÍNTESIS DE DIPOLOS LC SÍNTESIS DE FILTROS
INMITANCIAS RLC
• Potencia Media Absorbida
• i(t) = I sen(wt) ; Z(jw) = |Z| ej ; P = e(t)i(t)
• Pm = |I|2|Z|cos() / 2 = |I|2Re[Z(jw)] / 2 0
• => Re[Z(jw)] 0 , salvo en polos en jw
• => Re[Z(s)] 0 para Re(s) 0 , salvo polos en
jw
5. SÍNTESIS DE DIPOLOS LC SÍNTESIS DE FILTROS
INMITANCIAS RLC
• Polos en el eje jw
•
• k = |k| ej ; (s-jwo) = ejd
•
• => = 0 ; Residuo, k, Real y Positivo
•=> Re[Z(jw)]=Re[Z1(jw)] ; polos en jw no contribuyen
1( ) ( )o
kZ s Z s
s jw
Re ( ) cos( ) 0 ;2
kZ s
wo
s
5. SÍNTESIS DE DIPOLOS LC SÍNTESIS DE FILTROS
INMITANCIAS RLC
• Función Positiva
• Re[Z(s)] 0 para Re(s) 0 ó
• Re[Z(jw)] 0 , w
5. SÍNTESIS DE DIPOLOS LC SÍNTESIS DE FILTROS
INMITANCIAS RLC
• Teorema de Brune
• Una Función F(s) es realizable como Inmitancia
de un dipolo RLC F(s) es una Función
Racional, Real y Positiva
5. SÍNTESIS DE DIPOLOS LC SÍNTESIS DE FILTROS
INMITANCIAS RLC
• Función Racional, Real y Positiva
• Función Racional y Real de s,
• Coeficientes Reales y Positivos
• Polos y Ceros en semiplano izquierdo
• Polos y Ceros en jw, simples
5. SÍNTESIS DE DIPOLOS LC SÍNTESIS DE FILTROS
INMITANCIAS RLC
•|G[N(s)] – G[D(s)]| 1
• Residuos de polos en jw Reales,Positivos
• Re[Z(jw)] = PAR[Z(s)]|s=jw 0 , w
• m1(s)m2(s) – n1(s)n2(s) |s=jw 0 , w
5. SÍNTESIS DE DIPOLOS LC SÍNTESIS DE FILTROS
INMITANCIAS LC
• Red de 1 puerta compuesta de L y C ideales
• Propiedades de Inmitancias de Dipolos LC
• Racional, Real y Positiva
• Potencia Media Absorbida
• Pm = |I|2 Re[Z(jw)] / 2 = 0 => Re[Z(jw)] = PAR[Z(s)]|s=jw = 0
• => Función Impar
LC
5. SÍNTESIS DE DIPOLOS LC SÍNTESIS DE FILTROS
INMITANCIAS LC
• Función Imaginaria Pura en jw
• Reactancia, Z(s)|s=jw = Z(jw) = jX(w)
• Susceptancia, Y(s)|s=jw = Y(jw) = jS(w)
5. SÍNTESIS DE DIPOLOS LC SÍNTESIS DE FILTROS
INMITANCIAS LC
• Propiedades de Función RR Positiva e Impar
• Racional e Impar
• Re[F(jw)] = m1(s)m2(s)-n1(s)n2(s)|s=jw = 0
•
• Comportamiento Asintótico (polos en jw simples)
• En ó en 0 se comporta como un L ó C
( ) ( )( )
( ) ( )
m s n sF s o
n s m s
5. SÍNTESIS DE DIPOLOS LC SÍNTESIS DE FILTROS
INMITANCIAS LC
• Polos y Ceros
• m(si) = m(-si) ; n(si) = - n(-si)
• => Todos sobre el eje jw
• Simples y Residuos Reales y Positivos
• 0 2 2
( ) i i
i i i
k k kF s k s
s s jw s jw
5. SÍNTESIS DE DIPOLOS LC SÍNTESIS DE FILTROS
INMITANCIAS LC
• Pendiente
•
• => Polos y Ceros Alternado
•
• 0<w1<w2<w3<w4<w5< ... <
( ) ( )0
s jw
dF w dF s
dw ds
2 2 2 2 2 2 2 22 4 2 4
2 2 2 2 2 2 2 21 3 3 5
( )( )... ( )( )...( )
( )( )... ( )( )...
s s w s w s w s wF s k o k
s w s w s s w s w
F(w)
w
5. SÍNTESIS DE DIPOLOS LC SÍNTESIS DE FILTROS
INMITANCIAS LC
• Teorema de Foster
• Una Función F(s) es realizable como Inmitancia
de un dipolo LC F(s) es una Función Racional,
Real y Positiva y tiene los polos y ceros en el eje
jw, simples y alternados
5. SÍNTESIS DE DIPOLOS LC SÍNTESIS DE FILTROS
FORMAS CANÓNICAS LC
• Número Mínimo de Elementos
• Foster => Realización como Asociación de Polos
• 1ª de Foster = Combinación Serie de Impedancias
•
•
02 2
( ) i
i i
k k sZ s k s
s s w
2 2
2 2
0 0
( )( ) ; ; ( )
i
iis
s s w
s wZ sk sZ s k k Z s
s s
5. SÍNTESIS DE DIPOLOS LC SÍNTESIS DE FILTROS
FORMAS CANÓNICAS LC
• 2ª de Foster = Combinación Paralelo de Admitancias
•
•
02 2
( ) i
i i
k k sY s k s
s s w
2 2
2 2
0 0
( )( ) ; ; ( )
i
iis
s s w
s wY sk sY s k k Y s
s s
5. SÍNTESIS DE DIPOLOS LC SÍNTESIS DE FILTROS
FORMAS CANÓNICAS LC
• Cauer => Realización en Escalera
• 1ª de Cauer = Extrae Polos en el Infinito
• 1
2
3
1( )
111
...n
F s ss
s
s
5. SÍNTESIS DE DIPOLOS LC SÍNTESIS DE FILTROS
FORMAS CANÓNICAS LC
• Cauer => Realización en Escalera
• 2ª de Cauer = Extrae Polos en el Origen
• 1
2
3
1( )
111
...n
F ss
ss
s
5. SÍNTESIS DE DIPOLOS LC SÍNTESIS DE FILTROS
FORMA NO CANÓNICA LC
• Número de Componentes No Mínimo
• Extracción Parcial de Polos
•
• F1(s) tiene los mismos polos que F(s)
• Control de los Ceros de F1(s), k y w0
• F1(jw0) = 0 =>
12 2( ) ( ) , i
i
ksF s F s k k
s w
2 20
2 2
( ) i
s w
s wk F s
s
5. SÍNTESIS DE DIPOLOS LC SÍNTESIS DE FILTROS
FORMA NO CANÓNICA LC
• Movimiento de los Ceros
• F1(w) = F(w) - Fp(w )
•
• Ceros se mueven hacia el polo extraido
• Ceros en 0 y en no se ven afectados
2 2( ) , ,p
i
k kwF w kw o o
w w w
F(w)
w
Fp(w)
Fp(wo)
Fp(wi)