Cuantificadores Numéricos

Lógica 2

Mtro. Cristian A. Gutiérrez

Nuestros cuantificadores

� En nuestro lenguaje tenemos dos

cuantificadores: el universal, ∀, y el

exitencial, ∃.

� El cuantificador universal nos dice que

todos los objetos de nuestro dominio de

discurso cumplen con tal o cual cosa.

� El cuantificar existencial nos dice que por lo

menos uno de los objetos del dominio de

discurso cumple con tal o cual cosa.

Otros Cuantificadores

� Como ya sabemos hay otros cuantificadores

por ejemplo: la mayoría, muchos, pocos,

exactamente uno, por los menos 5, etc.

� Algunos de ellos no pueden ser

recuperados en el lenguaje de la lógica de

primer orden (por ejemplo, porque nuestro

lenguaje es todavía muy pobre o bien

porque son vagos).

Cuantificadores Numéricos

� Los cuantificadores que hablan de una

cantidad bien definida de objetos

(finitos) si pueden ser recuperados en

lenguaje de la lógica de primer orden.

� Para lograr recuperarlos los

definiremos en función de los dos

cuantificadores básicos del lenguaje.

Ejemplos de oraciones con

cuantificadores numéricos

� Hay por lo menos 10 alumnos de este

grupo que serán grandes filósofos.

� A lo más 5 de ustedes se dedicarán a

la lógica.

� Exactamente 3 de ustedes tienen 22

años.

� El rey de Francia es calvo.

Hay por lo menos uno

� El cuantificador existencial sólo nos garantiza la existencia de un objeto que cumple tal o cual cosa, aunque es compatible con la existencia de más de un objeto que cumple lo dicho.

� Por ejemplo la fórmula ∃xP(x)

dice que existe un objeto (o más) que tiene la propiedad P, es decir, que nos dice que hay por lo menos uno que tiene la propiedad P.

Hay por lo menos 2

� En ocasiones queremos garantizar la

existencia de dos objetos, por ejemplo

en la oración: Juan tiene por lo menos

dos hermanos.

� En esta ocasión queremos decir que

Juan tiene dos hermanos, tal vez en

más.

Hay por lo menos 2 (2)

� Juan tiene por lo menos dos hermanos.

� Dominio de discurso: los seres humanos.

� Diccionario:

a: Juan R2xy: x es hermano de y.

� Formalización:

� ∃x∃x’ ((R2(x,a) ∧ R2(x’,a) ∧ ~(x=x’))

Por lo menos 2 (3)

� ¿Por qué no es correcta la siguiente formalización?

∃x∃x’ (R2(x,a) ∧ R2(x’,a))

� Porque es compatible con que Juan sólo tenga un hermano, dice lo mismo que:

∃xR2(x,a)

� Es importante mencionar que los objetos invocados por los cuantificadores existenciales son diferentes.

Hay por lo menos 2 (4)

� Juan sacará 10 en por lo menos dos materias.

� D.D. Los seres humanas + las materias de la carrera.

� Diccionario:

a: Juan Px: x es una materia.

R2xy: x sacará 10 en y

� Formalización:

� ∃x∃x’ (((P(x) ∧ R2(a,x)) ∧ (P(x’) ∧ R2(a,x’))) ∧~(x=x’))

Hay por lo menos 3

� El proceso de formalización es muy similar.

Hay que decir que hay tres cosas que son

diferentes entre ellas y todas cumplen tal o

cual cosa.

� Eso quiere decir que hay que mencionar

que la primera no es igual a la segunda, la

segunda no es igual a la tercera y la

primera no es igual a la tercera.

Hay por lo menos 3 (2)

� Hay por lo menos tres hombre en la clase.

� Dominio de discurso: los alumnos de la

clase.

� Diccionario:

Px: x es hombre.

� Formalización:

∃x∃x’∃x’’ (((P(x) ∧ P(x’)) ∧ P(x’’)) ∧ ((~(x=x’)

∧ ~(x’=x’’) ∧ ~(x=x’’))

Hay por lo menos n

� Para cualquier número natural

podemos usar el mismo

procedimiento, tenemos que decir que

hay n objetos y todos ellos son

diferentes entre sí.

Hay por lo menos n (2)

� Podemos abreviar de la siguiente

forma: ∃nx P(x)

� Por ejemplo:

∃x∃x’∃x’’ (((P(x) ∧ P(x’)) ∧ P(x’’)) ∧

((~(x=x’) ∧ ~(x’=x’’) ∧ ~(x=x’’)) es lo

mismo que

∃3x P(x)

Ejemplo:

� Hay por lo menos cuatro alumnos en este

grupo que tienen 19 años.

� Dominio de discurso: Los seres humanos

� Diccionario:

Px: x es un alumno de este grupo.

P’x: x tiene 19 años.

� Formalización:

∃4x (P(x) ∧ P’(x))

Ejercicio:

Formalicen las siguientes oraciones:

� Juan ha leído por lo menos 5 libros este semestre.

� Hay por lo menos 2 candidatos presidenciales que son realmente tontos.

� Hay por lo menos mil políticos corruptos.

� Hay por lo menos 2 personas aquí que se aman entre sí.

� Hay por lo menos 15 libros que todo estudiante de filosofía ha leído.

� Sofía ha faltado por lo menos a 10 clases de este curso.

Hay exactamente uno

� En algunas ocasiones queremos decir

que hay uno y sólo un objeto del

dominio de discurso que cumple con

tal y cual cosa.

� Por ejemplos:

� Sólo un alumno tiene 17 años.

� Sólo hay un presidente de México.

Hay exactamente uno (2)

� Para lograr la idea de unicidad requerimos

una oración que cumpla con dos requisitos:

1) Existencia: que garantice la existencia de un

objeto que cumpla tal y cual cosa.

2) Unicidad: que nos garantice que no haya

más que un objeto que cumpla con tal y

cual cosa.

Hay exactamente uno (3)

� Sólo un alumno tiene 17 años.

� Dominio de discurso: Los alumnos de este grupo.

� Diccionario:

Px: x tiene 17 años.

� Formalización:

∃x (P(x) ∧ ∀x’(P(x’) ⊃ (x=x’)))

� La primera parte es la que garantiza la existencia y la segunda la unicidad.

Hay exactamente uno (4)

Análisis:

∃x (P(x) ∧ ∀x’(P(x’) ⊃ (x=x’)))

� La parte marcada en rojo nos garantiza que hay un objeto que cumple con tener 17 años.

� La parte azul nos indica que si cualquier objeto del dominio de discurso tiene 17 años es igual al objeto del que estáhablando la parte en rojo.

Hay exactamente uno (5)

� Sólo hay un presidente de México.

� Dominio de discurso: Los seres humanos y

los países.

� Diccionario:

a: México

R2xy: x es presidente de y.

� Formalización:

∃x (R2(x,a) ∧ ∀x’(R2(x’,a) ⊃ (x=x’)))

Hay exactamente uno (6)

� Sólo hay un presidente de México y es conservador.

� Dominio de discurso: Los seres humanos y los países.

� Diccionario:

a: México Px: x es conservador

R2xy: x es presidente de y.

� Formalización:

∃x ((R2(x,a) ∧ ∀x’(R2(x’,a) ⊃ (x=x’))) ∧ P(x))

Hay exactamente uno (7)

� El presidente de México es conservador.

� Dominio de discurso: Los seres humanos y

los países.

� Diccionario:

a: México Px: x es conservador

R2xy: x es presidente de y.

� Formalización:

∃x ((R2(x,a) ∧ ∀x’(R2(x’,a) ⊃ (x=x’))) ∧ P(x))

Hay exactamente uno (8)

� El rey de Francia es calvo.

� Dominio de discurso: Los seres humanos y los países.

� Diccionario:

a’: Francia P’x: x es calvo

R’2xy: x es rey de y.

� Formalización:

∃x ((R’2(x,a’) ∧ ∀x’(R’2(x’,a’) ⊃ (x=x’))) ∧P’(x))

¿Qué pasa con las funciones?

� Para este punto algunos de ustedes

ya deben haber notado que las dos

oraciones anteriores (por lo menos en

apariencia) pueden formalizarse

usando funciones en lugar de

relaciones.

� ¿Qué pasa?

¿Qué pasa con las funciones? (2)

� Lo primero que debemos hacer es recordar

que es lo que hacen las funicones.

� Una función nos ayudan a referirnos a un

objeto mediante otro.

� Un primer problema con la s funciones es

que para cada objeto del dominio de

discurso la función nos tiene que poder

seleccionar a otro objeto del dominio de

discurso.

¿Qué pasa con las funciones? (2)

� Para que algo sea efectivamente un función

dada cualquier objeto del dominio de

discurso la función debe selección a uno y a

sólo un objeto del dominio de discurso.

� Eso quiere decir que si un candidato a

función no selecciona a ningún objeto o

selecciona a más de uno, no podrá ser una

función.

¿Qué pasa con las funciones? (3)

Ejemplo de fallo al no seleccionar a

nadie.

D.D: Los alumnos de este salón.

� El padre de x, no es una función

porque ningún sujeto del dominio de

discurso tiene como padre a ningún

sujeto del dominio de discurso.

¿Qué pasa con las funciones? (4)

� Para poder formalizar una frase como una función debemos poder garantizar

(1) Que para todo objeto del dominio de discurso, la frase selección por lo menos un objeto.

(2) Que para todo objeto del dominio de discurso, la frase no seleccione a más de un objeto.

En resumen, que para cada objeto del dominio de discurso la frase seleccione a un y sólo un objeto del dominio de discurso.

¿Qué pasa con las funciones? (4)

Ejemplo de fallo al seleccionar a más de una persona.

D.D: Los seres humanos.

� El abuelo de x, no es una función porque cada sujeto del dominio de discurso tiene dos abuelos, así que esta frase selecciona a más de un objeto del dominio de discurso.

¿Qué pasa con las funciones? (5)

Veamos qué pasa son la siguiente oración.

� El rey de Francia es calvo.

� Dominio de discurso: Los seres humanos y los países.

� Diccionario:

a’: Francia P’x: x es calvo f1x: El rey de x.

� Formalización: P’(f1(a’))

� El problema es que PROBLEMA es que de hecho no hay rey en Francia y por lo tanto la frase no cumple el criterios (1) expuesta antes. Por lo que esta es una mala formalización de la oración.

¿Qué pasa con las funciones? (5)

� Recomendación:

Dejemos de usar funciones, a menos

que estemos completamente seguros

que la frase que estamos formalizando

cumple con todos los requisitos para

ser una función.

Hay exactamente dos

� Para continuar con los cuantificadores numéricos, veamos como garantizar que una fórmula nos compromete con la existencia de exactamente dos objetos que cumplen tal y tal cosa.

� Se tienen que cumplir dos cosas:

(1) Existencia: que existan dos objetos que cumplan tal y tal cosa.

(2) Unicidad: que estos sean los dos únicos objetos que cumplen con tal y tal cosa.

Hay exactamente dos (2)

� Ya sabemos como garantizar la existencia de por los menos 2 objetos que cumplan con Px.

∃x∃x’((P(x) ∧ P(x’)) ∧ ~(x=x’))

� Ahora falta que digamos que son únicos, la técnica es muy similar a la usada para decir que hay exactamente uno.

∃x∃x’(((P(x) ∧ P(x’)) ∧ ~(x=x’)) ∧

∀x’’(P(x’’) ⊃ ((x’’=x) ∨ (x’’=x’))))

Hay exactamente dos (3)

� Juan tiene sólo dos hijas.

� Dominio de discurso: Los seres humanos.

� Diccionario:

a: Juan R2xy: x es hija de y.

� Formalización:

∃x∃x’(((R2(x,a) ∧ R2(x’,a)) ∧ ~(x=x’)) ∧

∀x’’(R2(x’’,a) ⊃ ((x’’=x) ∨ (x’’=x’))))

Hay exactamente dos (4)

� Las dos hijas de Juan son muy listas

� Dominio de discurso: Los seres humanos.

� Diccionario:

a: Juan Px: x es muy listo

R2xy: x es hija de y.

� Formalización:

∃x∃x’((((R2(x,a) ∧ R2(x’,a)) ∧ ~(x=x’)) ∧

∀x’’(R2(x’’,a) ⊃ ((x’’=x) ∨ (x’’=x’)))) ∧

(P(x) ∧ P(x’)))

Hay exactamente 3

� De nuevo lo que tenemos que hacer es

garantizar que hay 3 que cumplen, que son

todos diferentes y que son los únicos que

cumplen con Px (o cualquier otra cosa).

� Una formalización adecuada sería:

∃x∃x’ ∃x’’((((R2(x,a) ∧ R2(x’,a)) ∧ R2(x’,a)) ∧

((~(x=x’) ∧ ~(x=x’’)) ∧ ~(x’=x’’))) ∧

∀x’’’(R2(x’’’,a) ⊃ (((x’’’=x) ∨ (x’’’=x’)) ∨ (x’’’=x’’)))

Hay exactamente n

� La técnica es la misma, decir que hay

n objetos, que todos son diferentes

entre sí y que son los únicos.

� Para abreviar todo esto podemos

escribir:

∃n!x P(x)

Ejemplo:

� Hay exactamente 3 alumnos que tienen 21 años

� Dominio de discurso: los alumnos del grupo.

� Diccionario:

Px: x tiene 21 años.

� Formalización:

∃3!xP(x)

Ejemplo 2 (hay que ser

cuidadosos):

� Hay exactamente 3 alumnos que tienen 21 años y todos ellos son muy listos.

� Dominio de discurso: los alumnos del grupo.

� Diccionario:

Px: x tiene 21 años P’x: x es muy listo

� Formalización:

∃3!xP(x) ∧ ∀x (P(x) ⊃ P’(x))

� La formalización no es:

∃3!x(P(x) ∧ P’(x))

� Pues esta fórmula dice que: Hay exactamente 3 alumnos que tienen 21 años y son muy listos. Lo que deja abierta la posibilidad que haya más alumnos de 21 años que nos son muy listos.

Ejercicio:

Formalicen las siguientes oraciones:

� Juan tiene 4 hijos.

� Arturo está cursando 2 carreras.

� Jamal tiene 5 hermanos y 4 hermanas.

� Pablo está cursando 9 materias.

� La hija de Javier es filósofa.

� Juan tiene dos primos, uno es abogado y otro actuario.

� Juan tiene 4 hijos y por lo menos 2 son mujeres.

� Pablo está cursando 9 materias y las pasará todas con 10.

Hay a lo más uno

� Supongamos tengo razones para creer que tal vez un alumno estáhaciendo trampa en los exámenes, pero no tengo la certeza. En este caso existen dos opciones: 1) hay un alumno que está haciendo trampa y 2) Nadie está haciendo trampa. Otra forma de decir esto es: A lo más hay un alumno que hace trampa.

Hay a lo más uno (2)

� A lo más hay un alumno que hace trampa.

� Dominio de discurso: los alumnos del grupo.

� Diccionario:

Px: x está haciendo trampa en los

exámenes.

� Formalización:

∃1!xP(x) ∨ ~ ∃xP(x)

Hay a lo más 2

� Cuando queremos decir que hay a lo

más dos objetos que cumplen con

algo, lo que queremos decir es que

hay dos que cumple o hay uno que

cumple o no hay ninguno.

� Por ejemplo: Hay a lo más dos

alumnos que son menores de edad.

Hay a lo más dos (2)

Hay a lo más dos alumnos que son menores de edad.

� Dominio de discurso: los alumnos del grupo.

� Diccionario:

Px: x es menor de edad.

� Formalización:

(∃2!xP(x) ∨ ∃1!xP(x)) ∨ ~∃xP(x)

� Otra formalización:

∃x∃x’((P(x) ∧ P(x’)) ∧

∀x’’(P(x’’) ⊃ ((x’’=x) ∨ (x’’=x’)))) ∨ ~∃xP(x)

Hay a lo más 3

� Cuando queremos decir que hay a lo

más tres objetos que cumplen con

algo, lo que queremos decir es que

hay tres que cumplen o hay dos que

cumplen o hay uno que cumple o no

hay ninguno.

� Por ejemplo: Hay a lo más tres

alumnos que se dedicarán a la lógica.

Hay a lo más 3 (2)

Hay a lo más tres alumnos que se dedicarán a la lógica.

� Dominio de discurso: los alumnos del grupo.

� Diccionario:

Px: x se dedicarán a la lógica.

� Formalización:

(∃3!xP(x) ∨ ∃2!xP(x)) ∨ (∃1!xP(x) ∨ ~∃xP(x))

� Otra formalización:

∃x∃x’∃x’’(((P(x) ∧ P(x’)) ∧ P(x’’)) ∧

∀x’’(P(x’’) ⊃ (((x’’=x) ∨ (x’’=x’)) ∨ (x’’=x’’)))) ∨~∃xP(x)

Hay a lo más n

� La técnica es la misma que antes.

� Decir o bien hay n o bien hay n-1 o

bien hay n-2 o … o bien hay 2 o bien

hay uno o bien no hay.

� Podemos abreviar de la siguiente

forma:

� ∃≤3x P(x)

Ejercicio:

Formalicen las siguen oraciones:

� A lo más 5 alumnos sacarán 10.

� A lo más un candidato a la presidencia es honesto.

� Hay 42 alumnos en este grupo y a lo más 15 lo abandonarán.

� Hay 4 candidatos a presidente y a lo más uno ganará.

Ejercicio:

Formalicen las siguen oraciones:

� Hay 55 investigadores en el IIFs y 90

profesores en la facultad, de todos ellos

sólo 10 se dedican a la lógica y a lo más 5

de estos últimos trabajan en el IIFs.

� Todos los filósofos conocen el significado

de la honestidad, pero menos de 100 son

honestos.

Ejercicio:

Formalicen las siguen oraciones:

� Entre 5 y 15 de ustedes se dedicarán a la estética.

� Hay por lo menos un tramposo en el grupo y a lo más 5.

� O todos son culpables o sólo hay un culpable.

� Si hay un solo asesino, entonces hay por lo menos 3 personas que tienen muy mala suerte.

� Si todos aprueban el último examen, entonces por lo menos 35 alumnos aprobarán y por lo menos 15 sacarán 10, pero sólo uno sacará 11.

Gracias