Post on 28-Feb-2021
1. Calcular el montante que obtendremos al capitalizar 5.000 euros al 5% durante 90 días
(año civil y comercial). Solución: 5.061,64 euros (civil); 5.062,50 euros (comercial).
Co n i C90 C'90
5000 90 0,05 5061,64384 5062,5
2. Calcular el interés que obtendremos al invertir 6.000 euros al 4% simple durante 2 años.
Solución: 480 euros
Co n i I0-2 C2
6000 2 0,04 480 6480
3. Calcular el tanto de interés anual al que se invirtieron 10.000 euros durante 6 meses
obteniendo 10.400 euros. Solución: 8%
Co C6 n i
10000 10400 6 0,08
4. Calcular el tiempo durante el que se capitalizaron 2.700 euros al 1% mensual simple
obteniendo 2.882,25 euros. Solución: 6 meses y 22 días.
90 0
5.000 Cn
2 0
6.000 C2
6 0
10.000 10.400
n 0
2.700 2.882,25
5,062.5)05,0360
901(000.5'
64,061.5)05,0365
901(000.5
90
90
C
C
480000.6480.6
480.6)04,021(000.6)21(
48004,02000.62
0220
02
020
CCI
iCC
iCI
08,0)12
61(000.10400.10)1(0 iiinCC n
Co i(12) Cn n
2700 0,01 2.882,25 6,75 (meses)
5. ¿Cuál es el descuento cobrado por un banco al descontar 10.300 euros al 6% de interés
durante 6 meses. Solución: 300 euros
N n i Dr E Dr = N - E
10300 6 0,06 300 10000 300
6. Calcular el tanto de interés aplicado al descontar una letra de nominal 3.704 euros con
vencimiento a 90 días si el efectivo obtenido fue de 3.650 euros. Solución: 5,92%
E N n i
3650 3704 60 0,05917808
7. ¿Qué cantidad obtendríamos al descontar racionalmente al 6% un pagaré de nominal
10.300 euros si éste vence dentro de 6 meses y nos cobran una comisión del 0,5%?.
¿Cuál sería el tanto de interés efectivamente aplicado?.
Solución: 9.948,50 euros; 7,07%
N n i Comisión E ie
10.300 6 0,06 0,005 9948,5 0,07066386 9948,50029
6 0
E 10.300
90 0
3.650 3.704
6 0
E 10.300 i = 0,06 Comisión: 0,005
mesesnn 75,6)01,01(700.225,882.2
300000.10300.10000.10
06,012
61
300.10
1
300
06,012
61
06,012
6300.10
1
ENDin
NE
in
inCD
r
n
r
059178,0
360
901
704.3650.3
1i
iin
NE
8. Vendemos una letra de 12.000 euros al 5% de descuento. Calcular la cantidad obtenida
si ésta vence dentro de 4 meses. ¿Cuál es el descuento cobrado? . ¿Y la rentabilidad que
obtendría el comprador si espera al vencimiento?.
Solución: 11.800 euros; 200 euros; 5,08%
Co C4 d n Dc = C4 - Co r
11800 12000 0,05 4 200 0,05084746 12000
9. Para pagar un artículo valorado en 1.150 euros hacemos una entrega inicial de 250 euros
y tres pagos iguales con vencimientos a 30, 60 y 90 días. Para los que nos ofrecen recargar
el precio del artículo en un 6% o cobrarnos por los pagos aplazados un 12% de descuento
y una comisión del 0,1%. ¿Qué decisión debemos adoptar?.
Solución: P1=323 euros; P2=306,44 euros; 2ª
PVC 1,06 PVC Entrega N d N'
1150 1219 250 323 0,12 306,435138 1150
n1 n2 n3 Comisión
30 60 90 0,001
Interesa la 2ª opción porque se paga menos ( 306,44 < 323 ).
10. Calcular la cantidad que obtendremos al invertir 11.800 euros al 5% de interés
4 0
E 12.000
90 0 30 60
1.150- 250
N' N' N'
d = 0,12
07066,0
12
61
300.105,948.9
5,948.9300.10005,0
06,012
61
300.10
e
e
i
i
E
0508,0000.12)12
41(800.11
200800.11)05,012
41(000.12 040
rr
CCDC c
44,306''3001,0)12,0360
901()12,0
360
601()12,0
360
301('250150.1
3233
2501219219.106,1150.1
NNN
NPVCPVC
anticipado durante 4 meses. ¿Cuál es el interés obtenido?.¿Y el tanto de interés vencido
equivalente?. Solución: 12.000 euros; 200 euros; 5,08%
C0 - C0 n i* n i* C0 I*0-4 i
11800 4 0,05 12000 200 0,05084746
11. Se sustituyen tres letras de 600 euros, 550 euros y 750 euros con vencimientos
respectivos 3, 6 y 9 meses por otra, calcular su vencimiento si:
(a) Su nominal es de 1.880 euros y nos aplican un tanto de interés del 4%.
(b) Si su nominal es de 1.880 euros y nos aplican un tanto de descuento del 4%.
(c) Si su nominal es de 1.900 euros y nos aplican un tanto de descuento.
Solución: a) 3 meses; b) 3 meses y 3 días; c) 6 meses y 7 días
C C1 C2 C3 i n E
1880 600 550 750 0,04 2,99273566 1861,43043
E n1 n2 n3 n' E' E'
1861,43077 3 6 9 3,11170213 1860,5 1860,5
n''
6,23684211
4 0
C0 - C0 n i* = 11.800 C0
9 0 3 6
600 550 750
i = 0,04
n , n' , n'' 0
1.880 d
d
05084746,0
05,012
41
05,0
200800.11000.12*000.12
05,012
41
800.11800.11)05,0
12
41( 4000
i
ICC
mesesnn
99,2
04,012
1
1880
04,012
91
750
04,012
61
550
04,012
31
600
n'' representa el vencimiento medio con la Ley de Descuento Simple Comercial,
ya que C = C1 + C2 + C3 (n'' no depende del tanto de descuento d utilizado)
12. Queremos sustituir tres letras de 400 euros, 500 euros y 700 euros con vencimientos
respectivos 3, 6 y 9 meses por otra con vencimiento dentro de 2 meses. Calcular su
nominal si se utiliza el descuento comercial al 6% y nos cobran una comisión del 0,1% por
cada letra sustituida. Solución: 1.564,75 euros
N1 N2 N3 n1 n2 n3
400 500 700 3 6 9
N n d Comisión E E
1564,74747 2 0,06 0,001 1549,1 1549,1
13. Una entidad vende a crédito concediendo 10 plazos mensuales e incrementando el
importe de la factura con un recargo del 10%. Descuenta al d = 6% y comisión 0,3% en un
banco los nueve efectos suscritos por el comprador. Determinar el beneficio inmediato
que produce a la entidad esta operación si el precio de venta es de 5.000 euros.
Solución: 361,40 euros
9 0 3 6
400 500 700
d = 0,06 Comisión: 0,001
2 0
N
d = 0,06 Comisión: 0,001
1 0 2
N
9
...
mesesnn
11,3')04,012
'1(880.1)04,0
12
91(750)04,0
12
61(550)04,0
12
31(600
mesesC
CnCnCnn 24,6
900.1
750955066003'' 332211
75,564.1)06,012
21(
)700500400(001,0)06,012
91(700)06,0
12
61(500)06,0
12
31(400
NN
PVC 1,1 PVC N d Comisión E Beneficio
5000 5500 550 0,06 0,003 5361,4 361,4
14. El señor X, tiene ahorrada una determinada cantidad de dinero y decide comprar un
efecto comercial cuyo valor nominal es de 7.816,50 euros y vence dentro de un año
rindiendo un 8%. Sin embargo con este dinero que tiene ahorrado podría comprar tres
letras de igual nominal y vencimientos respectivos de 2, 5 y 11 meses cobrando un 7% de
descuento comercial. Estas tres letras son propiedad del señor Y obtenidas al vender un
aparato de aire acondicionado valorado en 7.062,50 euros que le abonaron mediante
dichas letras con vencimiento a los 3, 6 y 12 meses de la venta aplicando a las mismas un
determinado tanto de descuento.
(a) ¿Cuál fue el coste del efecto comercial para el señor X?.
(b) ¿Cuál es el nominal de las tres letras que el señor X podría haber comprado?.
(c) ¿Qué tanto de descuento aplicó el señor Y a las letras en la venta del aparato de aire
acondicionado?. Solución: a) 7.237,50 euros; b) 2.500 euros; c) 10%
N i PC d N'
7816,5 0,08 7237,5 0,07 2500 7237,5
PVC d' E'
7062,5 0,1 7062,5
1 0
PC 7.816,5
12 0 1 6
7.062,5 N' N' N'
d = 0,07
7.237,5
d
4,361000.54,361.55509003,0
)06,012
91()06,0
12
31()06,0
12
21()06,0
12
11(550550
55010
500.5500.51,1000.5
EBeneficio
E
NPVCPVC
1,0')'12
121()'
12
61()'
12
31(500.25,062.7
500.2')07,012
111()07,0
12
51()07,0
12
21('5,237.7
5,237.708,1
5,816.7
dddd
NN
PC
15. El Sr. Alvarez posee una tienda de artículos de deporte y vende al Sr. Sánchez un velero
que ofrecería a su hijo como regalo de fín de carrera. El Sr. Sánchez entrega en ese
momento 1.125 euros y conviene en pagar el resto mediante dos letras de igual nominal
con vencimiento dentro de 6 y 12 meses. Cuando han transcurrido 3 meses el Sr. Alvarez
presenta al descuento dichas letras obteniendo 5.285, 95 euros líquidas (el tanto que le
aplican es del d = 15 % simple, y una comisión del 5,47 % sobre el descuento). Se pide:
(a) Nominal de las letras que firma el Sr. Sánchez.
(b) Precio de venta al contado del velero, sabiendo que el Sr. Alvarez cuando vende a
plazos recarga el precio del artículo en un 25%, deja a elección del cliente la entrega
inicial y el resto lo divide en los plazos acordados.
(c) Plantear la ecuación que nos lleva a calcular el interés efectivo del comprador.
Solución: a) 2.870 euros; b) 5.492 euros; c) 43,09%
E d Comisión N
5285,95 0,15 0,0547 2869,9991 5285,95 2870
1125 PVC ie
6865 1,25 5492
Entrega N E d Comisión E
1125 2869,9991 5285,95 0,15 0,0547 5285,95
1,25 PVC PVC ie
6864,99821 5491,99857 0,43089773 5492,00005
16. Unos amigos que quieren montar un despacho necesitan comprar un ordenador pero
no disponen de suficiente efectivo de forma que acuerdan hacer un pago en efectivo y
firmar tres letras de doble nominal que dicho pago. El vendedor les aplica un tanto del
12% de descuento y les exige que las letras sean a 30,60 y 90 días respectivamente.
Calcular el nominal de dichas letras si el precio de venta al contado es de 3.500 euros.
A los 45 días y no disponiendo de efectivo deciden cambiar las restantes por una única que
venza en 45 días. El vendedor acepta aplicando el mismo tanto pero cobrando una
comisión del 0,1% sobre el nominal de dicha letra. Calcular el nominal y plantear la
ecuación que nos da el tanto de interés simple efectivo de la operación finalmente
realizada. Solución: 1.017,44 euros; 2.047,29 euros; 12,66%
N 2 N d n1 n2 n3 PVC
508,72093 1017,44186 0,12 30 60 90 3500
N' d Comisión E' ie
2047,29154 0,12 0,001 2014,53488 2014,53488 0,12664014 3500,00087
12 0
1.125 N
4309,0
12
121
870.2
12
61
870.2125.1492.5
549225,1
99821,864.699821,864.6870.22125.125,1
870.215,0)12
9
12
3(0547,0)15,0
12
91()15,0
12
31(95,285.5
e
ee
i
ii
PVCPVC
NNN
17. El señor X ha perdido su cosecha debido al desbordamiento de un río colindante a su
finca y tendrá que volver a sembrar, aunque en estos momentos carece de fondos para
comprar la semilla. Posee dos letras de igual nominal y vencimientos a los 9 y 15 meses
respectivamente, que obtuvo al vender una máquina cosechadora. Si el señor X acudiese
a un banco A que descuenta aplicando un tanto d = 8% simple y una comisión de 1%,
obtendría 1.820 euros. Por otra parte le ofrecen acudir a un banco B que descuenta
aplicando un tanto de interés del 7% simple y una comisión del 2%. Se pide:
(a) Nominal de las letras que posee el señor X.
(b) Cantidad que obtendrá el señor X si descontara sus letras en el banco B.
(c) ¿Qué tanto de descuento deberá aplicar el banco A para que al señor X le resultase
indiferente ambas propuestas?. (Se mantienen las comisiones).
Solución: a) 1.000 euros; b) 1.829,66 euros; c) 7,52%
N n1 n2 d Comisión E
1000 9 15 0,08 0,01 1820
i Comisión E' d'
0,07 0,02 1829,65899 0,07517051 1829,65899
90 0 30 60
3.500 - N 2 N 2 N 2 N
d = 0,12 Comisión: 0,001
15 0
E E' N
i = 0,07 Comisión: 0,02 d = 0,08 Comisión: 0,01
1266,0
360
901
29,047.2
360
301
44,017.172,508500.3
29,047.2')12,0360
451(''001,0)12,0
360
451()12,0
360
151(44,017.1
44,017.1272,508
)12,0360
901()12,0
360
601()12,0
360
301(2500.3
e
ee
i
ii
NNN
NN
NN
0752,0'66,829.1000.1201,0)'12
151()'
12
91(000.1
66,829.1000.1202,0
07,012
151
000.1
07,012
91
000.1'
000.1201,0)08,012
151()08,0
12
91(820.1
ddd
E
NNN
18. Calcular el montante de 10.000 de euros invertido al 6% anual durante 8 años y 5 meses
por los convenios exponencial y lineal.
Solución: 16.330,18 euros (exponencial) ;16.336,94 euros (lineal)
Co n i Conv.Expo. Conv.Lineal
10000 8,41666667 0,06 16330,1823 16336,9428
19. Calcular el montante producido por un capital de 500 euros invertido al 8% durante 8
años. Calcular asímismo los intereses obtenidos.
Solución: 925,47 euros; 425,47 euros
Co n i C8 I0-8
500 8 0,08 925,465105 425,465105
20. Determinar el montante de un capital de 7.500 euros invertido al 6% anual
capitalizable por trimestres, siendo 10 años el tiempo que estuvo invertido. ¿Cuál es el
tanto anual equivalente?. Solución: 13.605,14 euros; 6,14%
Co n j(4) i(4) C10 i
7500 10 0,06 0,015 13605,1381 0,06136355
21. Determinar el tanto anual de interés compuesto que se necesita usar para obtener un
montante de 300.000 euros al invertir 200.000 euros durante 5 años. ¿Qué tanto efectivo
se utilizará si sabemos que se capitaliza por cuatrimestres?. Solución: 8,45%; 2,74%
8,42 0
10.000 Cn
8 0
500 C8
10 0
7. 500 C10
94,336.16)06,042,01(06,1000.10
)))((1()1('
18,330.1606,1000.10)1(
8
)(
042,8
42,8
042,8
inEnteroniCC
iCC
nEntero
n
47,42547,925)08,01(500 0880
8
8 CCIC
0614,01015,11))4(1(
14,605.13))4(1(500.7
015,04
06,0
4
)4()4(06,0)4(
44
40
10
ii
iC
jij
Co n i C5 i(3)
200000 5 0,08447177 300000 0,02739966
22. ¿Durante cuánto tiempo debe invertirse un capital de 10.000 de euros al 6 % de interés
compuesto anual, para que llegue a obtenerse un montante de 17.000 euros?
Solución: 9 años 1 mes y 8 días.
Co n i Cn
10000 9,10654186 0,06 17000
23. Un banco abona a sus depositantes el 9% de interés capitalizable semestralmente, una
segunda entidad abona el mismo 9% capitalizable trimestralmente y una tercera lo hace
mensualmente. Determinar el tanto efectivo anual y el montante que se tendrá
transcurridos 3 años y medio si se colocan 5.000 euros.
Solución: 9,20%; 6.804,31 euros(A); 9.31%; 6.827,42 euros (B); 9.38%; 6.843,25 euros (C)
Co n j(2) i(2) i C3,5
5000 3,5 0,09 0,045 0,092025 6804,30915
j'(4) i'(4) i' C'3,5
0,09 0,0225 0,09308332 6827,41714
j''(12) i''(12) i'' C''3,5
0,09 0,0075 0,0938069 6843,24843
5 0
200.000 300.000 i
n 0
10.000 17.000 i = 0,06
3,5 0
5.000 C3,5 j''(12) = 0,09 j'(4) = 0,09
0274,010845,11)1()3(0845,01000.200
000.3001 3
1
3
15
11
0
iiC
Ci
nn
añosLn
LnLn
iLn
CLnCLnn n 1065,9
06,1
000.10000.17
)1(
0
25,843.60938069,1000.5''0938069,01))12(''1(''0075,012
)12('')12(''09,0)12(''
42,827.609308,1000.5'09308,01))4('1('0225,04
)4(')4('09,0)4('
31,804.6092025,1000.5092025,01))2(1(045,02
)2()2(09,0)2(
5,3
5,3
12
5,3
5,3
4
5,3
5,3
2
Ciij
ij
Ciij
ij
Ciij
ij
24. Hace 14 años una entidad bancaria nos proporcionó dos formas de inversión, ambas a
plazo fijo y a un tanto nominal del 15%, invertido un capital en ambas proposiciones
observamos una diferencia de 1.301,10 euros. Calcular el capital invertido sabiendo que
en la primera forma de inversión el tanto nominal tenía una frecuencia semestral y en la
segunda bienal. ¿Cuánto deberíamos haber invertido en la segunda para que ambos
capitales hubieran producido igual montante?. Solución: 1.000 euros; 1.207,35 euros
Co j(2) i(2) C14 j'(1/2) i'(1/2) C'14
1000,00266 0,15 0,075 7575,96837 0,15 0,3 6274,86837
C14 - C'14 C'o
1301,1 1207,35433 7575,96937
25. ¿Qué cantidad obtendríamos al descontar racionalmente al 8% un pagaré de nominal
20.000 euros si éste vence dentro de 2 años y nos cobran una comisión del 0.5%.
¿Cuál será el tanto de interés efectivamente aplicado?. Solución: 17.046,78 euros; 8,32%
N n i Comisión E ie
20000 2 0,08 0,005 17046,7764 0,08316311 17046,7767
26. Vendemos una letra de 12.000 euros al 5% de descuento. Calcular la cantidad obtenida
si ésta vence dentro de 4 años y la rentabilidad que obtendrá el comprador si espera al
vencimiento. Solución: 9.774,08 euros; 5,26%
14 0
C0
C14
C'14
j(1/2) = 0,15
2 0
E 20.000 i = 0,08 Comisión: 0,005
4 0
E 12.000 d = 0,05
35,207.1'96837,575.73,1'
000.1)3,1075,1('1,301.1
3,1'3,015,022/1
)2/1(')2/1('15,0)2/1('
075,1))2(1(075,02
)2()2(15,0)2(
0
7
0
0
728
01414
7
014
28
0
28
014
CC
CCCC
CCj
ij
CiCCj
ij
0832,0)1(
000.2078,046.17
78,046.17000.20005,008,1000.20005,0)1(
2
22
e
e
ii
NiNE
N n d E r
12000 4 0,05 9774,075 0,05263158 12000
27. Calcular la cantidad que obtendremos al invertir 11.800 euros al 5% de interés
anticipado durante 2 años y 4 meses. ¿Cuál es el interés obtenido?. ¿Y el tanto de interés
vencido equivalente?. Solución: 13.300,26 euros; 1.500,26 euros; 5,26 %
Cn (1 - i*)n
n i* Cn I0-2,333 i
11800 2,33333333 0,05 13300,264 1500,26401 0,05263158
28. Por tres préstamos contraídos con una entidad bancaria tenemos las siguientes
obligaciones:
(a) Pago de 2.000 euros dentro de 5 años.
(b) Pago de 3.000 euros dentro de 10 años.
(c) Pago de 5.000 euros dentro de 15 años.
Queremos efectuar una entrega única de 10.000 euros valorando al 5% de interés. ¿Dentro
de cuántos años debemos efectuar la entrega?. ¿Cuál deberá ser la cantidad a entregar a
los 12 años para saldar las tres deudas?.
Solución: 11 años, 1 mes y 12 días; 10.440,89 euros
N1 N2 N3 n1 n2 n3 i
2000 3000 5000 5 10 15 0,05
N n E N' n'
10000 11,1157106 5813,87758 5813,87758 10440,8888 12 5813,87758
2,33 0
11.800 = C0 = Cn (1 - i*)n Cn i* = 0,05
15 0 5 10
E 2.000 3.000 5.000
i = 0,05
12 0
E 10.000
0526,0000.12)1(075,774.9
075,774.9)05,01()1(000.12
4
4
rr
dE n
0526,01800.11
300.13300.13)1(800.11
26,500.1800.1126,300.1326,300.13)05,01(
800.11
*)1(
33,2
1
33,2
33,2033,2
0
ii
ICCi
CC nnnn
89,440.10'05,1'05,1000.505,1000.305,1000.2
1157,1105,1000.1005,1000.505,1000.305,1000.2
1215105
15105
NN
añosnn