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Cálculo IILicenciatura em Bioquímica
António J. G. Bentobento@ubi.pt
Departamento de MatemáticaUniversidade da Beira Interior
2015/2016
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 1 / 427
Bibliografia
– Apostol, T.M., Cálculo, Vol. 1 e 2, Reverté, 1993
– Dias Agudo, F.R., Análise Real, Vol. I e II, Escolar Editora, 1989
– Demidovitch, B., Problemas e exercícios de Análise Matemática, McGrawHill,1977
– Lima, E. L., Curso de Análise, Vol. 2, Projecto Euclides, IMPA, 1989
– Lima, E. L., Análise Real, Vol. 2, Colecção Matemática Universitária, IMPA, 2004
– Mann, W. R., Taylor, A. E., Advanced Calculus, John Wiley and Sons, 1983
– Sarrico, C., Cálculo Diferencial e Integral, Esfera do Caos, 2009
– Stewart, J., Calculus (International Metric Edition), Brooks/Cole PublishingCompany, 2008
– Swokowski, E. W., Cálculo com Geometria Analítica, Vol. 2, McGrawHill, 1983
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Critérios de Avaliação
• A avaliação ao longo das actividades lectivas será periódica, sendo efectuados doistestes.
• Os testes serão nos dias 19 de Abril de 2016 e 20 de Maio de 2016.• Os dois testes serão cotados, cada um deles, para 10 valores.• Designando por T1 a nota do primeiro teste e por T2 a nota do segundo teste, a
classificação final será calculada da seguinte forma:
− se T1 + T2 for inferior a 17,5 valores, a classificação final será oarredondamento às unidades de T1 + T2;
– se T1 + T2 for superior ou igual a 17,5 valores, terá de ser feita uma prova oral;nessa prova oral será atribuída uma nota, que designaremos por PO, entre 0 e20 valores; a classificação final será o arredondamento às unidades de
max{
17,T1 + T2 + PO
2
}
.
• São aprovados os alunos com classificação final igual ou superior a 10 valores.• Todos os alunos são admitidos a exame.• Os alunos que no exame tiverem uma nota superior ou igual a 17,5 valores terão
de realizar uma prova oral. Na prova oral será atribuída uma nota PO, entre 0 e20 valores. Designando por EX a nota do exame, a nota final será oarredondamento às unidades de
max{
17,EX + PO
2
}
.
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Atendimento
O horário de atendimento será às segundas-feiras, das 17 horas às 19 horas, nogabinete 4.25 do Departamento de Matemática.
Caso este horário não seja conveniente, pode ser combinado outro horário como docente da cadeira através dos email
bento@ubi.pt
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Índice
1 Equações diferenciais ordinárias
2 Funções de Rn em Rm: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em Rn
4 Cálculo integral em Rn
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Índice
1 Equações diferenciais ordináriasDefinição, exemplos e aplicaçõesCampo de direcções e método de EulerEquações de primeira ordem de variáveis separáveisEquações lineares de primeira ordem
2 Funções de Rn em Rm: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em Rn
4 Cálculo integral em Rn
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Índice
1 Equações diferenciais ordináriasDefinição, exemplos e aplicaçõesCampo de direcções e método de EulerEquações de primeira ordem de variáveis separáveisEquações lineares de primeira ordem
2 Funções de Rn em Rm: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em Rn
4 Cálculo integral em Rn
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§1.1 Definição, exemplos e aplicações
Exemplo 1 – Reacção química de ordem zero
Uma reacção química do tipo
A → Produtosdiz-se de ordem zero se
a velocidade a que diminui a concentração do reagente A é
constante.
Assim, se CA(t) for a concentração do reagente A no instante t temos
C ′A(t) = −k
para algum k > 0. Esta última equação é uma equação diferencialordinária (EDO). Obviamente temos
CA(t) = −kt+ c ,
pelo que se CA0 for a concentração no instante t = 0, ou seja,CA(0) = CA0 resulta que c = CA0 e, portanto,
CA(t) = CA0 − kt.
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§1.1 Definição, exemplos e aplicações
Exemplo 1 – Reacção química de ordem zero (continuação)
Os gráficos das soluções são da seguinte forma.
t
CA
Uma vez que neste problema a concentração e o tempo não tomam valoresnegativos, temos a azul as soluções que tem significado físico para o problemaposto. No entanto, em termos matemáticos, podemos pensar na EDO semessas restrições, o que permite prolongar as soluções obtidas para t < 0 e paravalores de C0 negativos, que na figura estão representados a vermelho.
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§1.1 Definição, exemplos e aplicações
Exemplo 2 – Reacção química de ordem um
Uma reacção química do tipo
A → Produtos
diz-se de ordem um sea velocidade a que diminui a concentração do reagente A é
directamente proporcional à concentração de A.
Assim, temosC ′A(t) = −kCA(t) ,
onde CA(t) é a concentração do reagente A no instante t e k é umaconstante positiva. Esta última equação é também um exemplo de umaequação diferencial ordinária (EDO).
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§1.1 Definição, exemplos e aplicações
Exemplo 2 – Reacção química de ordem um (continuação)
Vejamos como resolver a equação (tendo em conta que tendo ematenção que CA(t) > 0):
C ′A(t) = −kCA(t) ⇔ C ′
A(t)CA(t)
= −k
⇔∫C ′A(t)
CA(t)dt = −
∫
k dt
⇔ ln |CA(t)| = −kt+ c
⇔ |CA(t)| = e−kt+c
⇔ CA(t) = e−kt+c
⇔ CA(t) = ec e−kt,
pelo que se CA0 for a concentração do reagente A no instante inicialt = 0, temos
CA(t) = CA0 e−kt .
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§1.1 Definição, exemplos e aplicações
Exemplo 2 – Reacção química de ordem um (continuação)
O gráfico das soluções desta EDO são da seguinte forma:
t
CA
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§1.1 Definição, exemplos e aplicações
Exemplo 3 – Reacção química de ordem dois
Uma reacção química do tipo
A → Produtos
diz-se de ordem dois sea velocidade a que diminui a concentração do reagente A é
directamente proporcional ao quadrado da concentração de A.
Assim, temosC ′A(t) = −k (CA(t))2 ,
onde CA(t) é a concentração do reagente A no instante t e k é umaconstante positiva. Esta última equação é também um exemplo de umaequação diferencial ordinária (EDO).
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§1.1 Definição, exemplos e aplicações
Exemplo 3 – Reacção química de ordem dois (continuação)
Assim, tendo em atenção que CA(t) > 0, resulta que
C′A(t) = −kC2
A(t) ⇔ C′A(t)
C2A(t)
= −k
⇔∫C′
A(t)C2
A(t)dt = −
∫
k dt
⇔ − 1CA(t)
= −kt+ c
⇔ 1CA(t)
= kt− c
⇔ CA(t) =1
kt− c,
pelo que se CA0 for a concentração inicial do reagente A temos de terc = −1/CA0 e, por conseguinte, tem-se
CA(t) =1
kt+ 1/CA0
=CA0
kCA0t+ 1.
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§1.1 Definição, exemplos e aplicações
Exemplo 3 – Reacção química de ordem dois (continuação)
O gráfico das soluções desta EDO são da seguinte forma:
t
CA
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§1.1 Definição, exemplos e aplicações
Exemplo 4 – Crescimento populacional exponencial
O modelo de crescimento populacional mais simples baseia-se em que
“a taxa de variação do número de indivíduos de uma
população é proporcional ao número de indivíduos da mesma”
o que nos leva à equação diferencial ordinária
P ′(t) = kP (t)
onde P (t) é o número de indivíduos da população no instante t e k é aconstante de proporcionalidade (que depende das taxas de natalidade ede mortalidade).
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§1.1 Definição, exemplos e aplicações
Exemplo 4 – Crescimento populacional exponencial (continuação)
Assim,
P ′(t) = kP (t) ⇔ P ′(t)P (t)
= k
⇔∫P ′(t)P (t)
dt =∫
k dt
⇔ ln |P (t)| = kt+ c
⇔ |P (t)| = ekt+c
⇔ P (t) = ec ekt
pelo que se a população inicial for P0, ou seja, P (0) = P0 resulta
P (t) = P0 ekt .
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§1.1 Definição, exemplos e aplicações
Exemplo 4 – Crescimento populacional exponencial (continuação)
P ′(t) = kP (t), k > 0
t
P
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§1.1 Definição, exemplos e aplicações
Exemplo 4 – Crescimento populacional exponencial (continuação)
P ′(t) = kP (t), k < 0
t
P
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§1.1 Definição, exemplos e aplicações
Exemplo 4 – Crescimento populacional exponencial (continuação)
P ′(t) = kP (t), k = 0
t
P
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 20 / 427
§1.1 Definição, exemplos e aplicações
Exemplo 5 – Crescimento populacional logístico
O modelo anterior não tem em linha de conta que o meio ambiente temrecursos limitados, o que faz com que a população só possa aumentaraté um certo valor L. Um modelo que incorpora esta questão foiproposto por Verhulst em 1838:
P ′(t) = kP (t)(
1 − P (t)L
)
que também pode ser escrito da seguinte forma
P ′(t) =k
LP (t) (L− P (t)) .
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§1.1 Definição, exemplos e aplicações
Exemplo 5 – Crescimento populacional logístico (continuação)
Então
P ′(t) =k
LP (t) (L− P (t)) ⇔ P ′(t)
P (t) (L− P (t))=k
L
⇔∫
P ′(t)P (t) (L− P (t))
dt =∫k
Ldt
⇔∫
P ′(t)P (t) (L− P (t))
dt =k
Lt+ c.
Para calcularmos ∫P ′(t)
P (t) (L− P (t))dt
fazemos a mudança de variável x = P (t), donde dx = P ′(t) dt, eportanto
∫P ′(t)
P (t) (L− P (t))dt =
∫1
x(L− x)dx.
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§1.1 Definição, exemplos e aplicações
Exemplo 5 – Crescimento populacional logístico (continuação)
Deste modo, temos de calcular A e B tais que
1x(L− x)
=A
x+
B
L− x,
ou seja, temos de terA(L− x) +Bx = 1.
Fazendo x = 0 vem A = 1/L e fazendo x = L vem B = 1/L. Logo
∫P ′(t)
P (t) (L− P (t))dt =
∫1
x(L− x)dx =
∫1/Lx
+1/LL− x
dx
=1L
∫1x
− −1L− x
dx =1L
(ln |x| − ln |L− x|) + C
=1L
ln∣∣∣∣
x
L− x
∣∣∣∣+ C =
1L
ln∣∣∣∣
P (t)L− P (t)
∣∣∣∣+ C.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 23 / 427
§1.1 Definição, exemplos e aplicações
Exemplo 5 – Crescimento populacional logístico (continuação)
Portanto∫
P ′(t)P (t) (L− P (t))
dt =k
Lt+ c ⇔ 1
Lln∣∣∣∣
P (t)L− P (t)
∣∣∣∣ =
k
Lt+ c
⇔∣∣∣∣
P (t)L− P (t)
∣∣∣∣ = ekt+cL
⇔ P (t)L− P (t)
= ecL ekt
⇔ P (t) = ecL ekt (L− P (t))
⇔ P (t)(
1 + ecL ekt)
= L ecL ekt
⇔ P (t) =L ecL ekt
ecL ekt +1
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 24 / 427
§1.1 Definição, exemplos e aplicações
Exemplo 5 – Crescimento populacional logístico (continuação)
Se P (0) = P0, fazendo t = 0 em
P (t) =L ecL ekt
ecL ekt +1,
temos
P0 =L ecL
ecL +1⇔ P0 ecL +P0 = L ecL
⇔ (L− P0) ecL = P0
⇔ ecL =P0
L− P0,
o que implica
P (t) =L
P0
L− P0ekt
P0
L− P0ekt +1
=LP0 ekt
P0 ekt +L− P0=
LP0
P0 + (L− P0) e−kt .
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 25 / 427
§1.1 Definição, exemplos e aplicações
Exemplo 5 – Crescimento populacional logístico (continuação)
Neste exemplo temos os seguintes gráficos.
t
P
L
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 26 / 427
§1.1 Definição, exemplos e aplicações
Exemplo 6 – Oscilador harmónico simples
Consideremos uma mola de comprimento ℓ (em equilíbrio), fixa de umdos lados e com uma massa m na outra extremidade.
bm
ℓ
Suponhamos que a mola é alongada y0 unidades e depois é largada.
bm
ℓ y0
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 27 / 427
§1.1 Definição, exemplos e aplicações
Exemplo 6 – Oscilador harmónico simples (continuação)
Segundo a lei de Hooke a tensão na mola é proporcional aodeslocamento, ou seja, existe k > 0 (a constante de elasticidade damola) tal que
T = −ky.Supondo que não há mais nenhuma força a actuar (gravidade, atrito,resistência do ar), aplicando a segunda lei de Newton temos
T = my′′,
donde resulta a EDO que se segue
my′′ = −ky ⇔ y′′ = − k
my.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 28 / 427
§1.1 Definição, exemplos e aplicações
Uma equação diferencial ordinária de ordem n é uma igualdadeque envolve uma função, a sua variável e as suas derivadas até à ordemn. É portanto uma equação do tipo
F(
x, y, y′, y′′, . . . , y(n))
= 0,
onde y é função da variável x e y′, y′′, . . . , y(n) são as derivadas de yaté à ordem n. Aqui F é uma função definida em algum subconjuntode Rn+2 e com valores em R.
Iremos usar a sigla EDO para abreviar “equação diferencial ordinária”.
Uma EDO de ordem n diz-se na forma normal se puder ser escrita daseguinte forma
y(n) = f(
x, y, y′, y′′, . . . , y(n−1))
.
Aqui f é uma função definida em algum subconjunto de Rn+1 e comvalores em R.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 29 / 427
§1.1 Definição, exemplos e aplicações
Exemplos
a) As equações
C′A(t) = −k, C′
A(t) = −kCA(t) e C′A(t) = −k (CA(t))2
,
que podem ser escritas de forma mais abreviada como
C′A = −k, C′
A = −kCA e C′A = −kC2
A,
são EDOs de ordem 1.
b) São também exemplo de EDOs de ordem 1
P ′(t) = kP (t) e P ′(t) = kP (t)(
1 − P (t)L
)
,
a quais podem ser escritas de forma abreviada por
P ′ = kP e P ′ = kP
(
1 − P
L
)
c) A equação
y′′ = − k
my
é uma EDO de ordem 2.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 30 / 427
§1.1 Definição, exemplos e aplicações
Dada uma EDOF(
x, y, y′, y′′, . . . , y(n))
= 0 ,
dizemos que uma funçãoϕ : I → R ,
definida num intervalo de R, é solução da EDO em I, se ϕ fordiferenciável até à ordem n e
F(
x, ϕ(x), ϕ′(x), ϕ′′(x), . . . , ϕ(n)(x))
= 0
para qualquer x ∈ I.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 31 / 427
§1.1 Definição, exemplos e aplicações
Soluções de EDOs
a) Consideremos a EDOy′ = y.
É fácil verificar que as funções
y(x) = c ex
com c ∈ R, são soluções desta equação. De facto
y′(x) = (c ex)′ = c ex = y(x).
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 32 / 427
§1.1 Definição, exemplos e aplicações
Soluções de EDOs (continuação)
b) As funções da forma
y(x) = c1 cos x+ c2 senx,
com c1, c2 ∈ R, são soluções da EDO
y′′ + y = 0,
pois
y′′(x) = −c1 cos x− c2 sen x = − (c1 cos x+ c2 sen x) = −y(x),
ou seja,y′′(x) + y(x) = 0.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 33 / 427
§1.1 Definição, exemplos e aplicações
Soluções de EDOs (continuação)
c) As funçõesy(x) = c ex −x− 1,
com c ∈ R, são soluções da EDO
y′ = x+ y,
poisy′(x) = c ex −1
e substituindo na EDO
y′ = x+ y ⇔ c ex −1 = x+ c ex −x− 1
⇔ c ex −1 = c ex −1
obtemos uma igualdade para todo x ∈ R.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 34 / 427
§1.1 Definição, exemplos e aplicações
Por vezes, as EDOsF(
x, y, y′, y′′, . . . , y(n))
= 0 ,
são sujeita a condições iniciais. Normalmente, as condições iniciais exigemque a solução e, eventualmente, algumas das suas derivadas têm de ter umdeterminado valor em algum ponto pertencente ao domínio da solução.A forma de escrevermos uma EDO com condições iniciais é a seguinte
F(x, y, y′, y′′, . . . , y(n)
)= 0,
y(x0) = y0,
y′(x0) = y1,
. . .
y(n−1)(x0) = yn−1,
e, neste caso, procuramos soluções da EDO tais que x0 pertença ao domínio everifique
y(x0) = y0, y′(x0) = y1, . . . , y
(n−1)(x0) = yn−1,
onde x0, y0, . . . , yn−1 ∈ R.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 35 / 427
§1.1 Definição, exemplos e aplicações
Neste curso iremos essencialmente considerar EDOs na forma normal,de primeira ordem e, eventualmente, com apenas uma condição inicial.
Assim, uma funçãoϕ : I → R,
onde I é um intervalo não vazio de R, é solução do problema
{
y′ = F (x, y),
y(x0) = y0,
se ϕ for diferenciável,ϕ′(x) = F (x, ϕ(x))
para todo o x ∈ I, x0 ∈ I e
ϕ(x0) = y0.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 36 / 427
§1.1 Definição, exemplos e aplicações
Exemplos – EDOs com condições iniciais
a) A funçãoy(x) = 2 ex
é solução do problema{
y′ = y,
y(0) = 2,
porquey′(x) = (2 ex)′ = 2 (ex)′ = 2 ex = y(x)
ey(0) = 2 e0 = 2 · 1 = 2.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 37 / 427
§1.1 Definição, exemplos e aplicações
Exemplos – EDOs com condições iniciais (continuação)
b) O problema{
y′ = x+ y,
y(0) = 1,
admite como solução a função
y(x) = 2 ex −x− 1,
pois
y′(x) = (2 ex −x− 1)′ = 2 ex −1 = x+ 2 ex −x− 1 = x+ y(x)
ey(0) = 2 e0 −0 − 1 = 2 · 1 − 1 = 2 − 1 = 1.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 38 / 427
§1.1 Definição, exemplos e aplicações
Exemplos – EDOs com condições iniciais (continuação)
c) A funçãoy(x) = cos x+ sen x
é solução do problema
y′′ = −y,y(0) = 1,
y′(0) = 1
porquey′(x) = (cos x+ sen x)′ = − senx+ cos x,
y′′(x) = (− sen x+ cos x)′ = − cosx− senx
= − (cos x+ sen x) = −y(x)e
y(0) = cos 0 + sen 0 = 1 + 0 = 1,
y′(0) = − sen 0 + cos 0 = −0 + 1 = 1.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 39 / 427
Índice
1 Equações diferenciais ordináriasDefinição, exemplos e aplicaçõesCampo de direcções e método de Euler
Campo de direcçõesMétodo de Euler
Equações de primeira ordem de variáveis separáveisEquações lineares de primeira ordem
2 Funções de Rn em Rm: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em Rn
4 Cálculo integral em Rn
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 40 / 427
Índice
1 Equações diferenciais ordináriasDefinição, exemplos e aplicaçõesCampo de direcções e método de Euler
Campo de direcçõesMétodo de Euler
Equações de primeira ordem de variáveis separáveisEquações lineares de primeira ordem
2 Funções de Rn em Rm: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em Rn
4 Cálculo integral em Rn
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 41 / 427
§1.2.1 Campo de direcções
Consideremos uma EDO de ordem 1 na forma normal
y′ = F (x, y).
Atendendo a que a derivada de uma função é o declive da rectatangente, a função F dá-nos o declive das rectas tangentes das soluções.
Por exemplo se considerarmos a equação
y′ = x+ y,
ou seja, F (x, y) = x+ y, se existir uma solução tal que y(0) = 0, odeclive da recta tangente ao gráfico dessa solução no ponto (0, 0) é 0porque F (0, 0) = 0.
Do mesmo modo, se existir uma solução tal que y(1) = 2, então odeclive da recta tangente ao gráfico dessa solução em (1, 2) é 3 porqueF (1, 2) = 3.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 42 / 427
§1.2.1 Campo de direcções
1
2
3
−1
−2
−3
1 2 3−1−2−3
bb
Continuando a considerar o problema
{
y′ = x+ y,
y′(0) = 1,
podemos desenhar um segmentode recta tangente no ponto (0, 1)ao gráfico da solução que passa noponto (0, 1). Como F (0, 1) = 0 + 1 = 1,o declive desse segmento é 1. Fazendoo mesmo para o ponto (1, 1), porqueF (1, 1) = 2, o declive é 2. No ponto (0, 0) o declive é 0. No ponto (1, 0)o declive é 1. E assim sucessivamente. Fazendo o mesmo para todos ospontos com coordenadas inteiras ou coordenadas com parte decimaligual a 0.5, obtemos um campo de direcções que nos permite esboçar ográfico da solução que verifica y(0) = 1. Aliás podemos esboçar outrassoluções com condições iniciais diferentes.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 43 / 427
§1.2.1 Campo de direcções
y′ = x+ y
1
2
3
4
5
−1
−2
−3
−4
−5
1 2 3 4 5−1−2−3−4−5
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 44 / 427
§1.2.1 Campo de direcções
y′ = x− y
1
2
3
4
5
−1
−2
−3
−4
−5
1 2 3 4 5−1−2−3−4−5
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 45 / 427
§1.2.1 Campo de direcções
y′ = −y/2
1
2
3
4
5
−1
−2
−3
−4
−5
1 2 3 4 5−1−2−3−4−5
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 46 / 427
Índice
1 Equações diferenciais ordináriasDefinição, exemplos e aplicaçõesCampo de direcções e método de Euler
Campo de direcçõesMétodo de Euler
Equações de primeira ordem de variáveis separáveisEquações lineares de primeira ordem
2 Funções de Rn em Rm: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em Rn
4 Cálculo integral em Rn
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 47 / 427
§1.2.2 Método de Euler
x
z
x0
y0 b
z = y(x)
bb
z = y0 + F (x0, y0)(x − x0)
x1
y(x1) b
b
by1
Consideremos o problema{
y′ = F (x, y),
y(x0) = y0.
A equação da recta tangenteao gráfico da solução desteproblema no ponto (x0, y0) é
z = y(x0) + y′(x0) (x− x0)
⇔ z = y0 + F (x0, y0) (x− x0) .
Dado x1 tal que x1 = x0 + h para algum h 6= 0, podemos usar a rectatangente para calcular um valor aproximado de y(x1) e, assim, obtemos
y(x1) ≈ y0 + F (x0, y0) (x1 − x0) = y0 + F (x0, y0)h.
Designando por y1 = y0 + hF (x0, y0), temos o seguinte{
x1 = x0 + h,
y1 = y0 + hF (x0, y0).
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 48 / 427
§1.2.2 Método de Euler
x
z
x0
y0 b
z = y(x)
bb
z = y0 + F (x0, y0)(x − x0)
x1
y(x1) b
b
by1
x2
b
z = y1 + F (x1, y1)(x − x1)
by2
by(x2)
Repetindo o processo agora com(x1, y1) em vez de (x0, y0) temos
{
x2 = x1 + h,
y2 = y1 + hF (x1, y1),
e, por conseguinte,y2 é uma aproximação de y(x2).Continuando este processo tem-se
{
xn+1 = xn + h,
yn+1 = yn + hF (xn, yn).
Este método designa-se por método de Euler e h chamamos passodo método.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 49 / 427
§1.2.2 Método de Euler
Consideremos o problema de valor inicial{
y′ = x+ y,
y(0) = 1,
e apliquemos o método de Euler com h = 0, 2.
{xn+1 = xn + h,yn+1 = yn + hF (xn, yn).
n xn yn F (xn, yn) hF (xn, yn) yn + hF (xn, yn)
0 0 1 1 0,2 1,2
1 0,2 1,2 1,4 0,28 1,48
2 0,4 1,48 1,88 0,376 1,856
3 0,6 1,856 2,456 0,4912 2,3472
4 0,8 2,3472 3,1472 0,62944 2,97664
5 1 2,97664 3,97664 0,795328 3,771968
6 1,2 3,771968 4,971968 0,9943936 4,7663616
7 1,4 4,7663616 6,1663616 1,23327232 5,99963392
8 1,6 5,99963392 7,59963392 1,519926784 7,519560704
9 1,8 7,519560704 9,319560704 1,8639121408 9,3834728448
10 2 9,3834728448 11,3834728448 2,276694569 11,6601674138
O método de Euler (com passo 0, 2) deu a aproximação y(2) ≈ 9, 3834728448.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 50 / 427
§1.2.2 Método de Euler
Para o problema{
y′ = x+ y
y(0) = 1
comparemos os valores aproximados de y(2) para diferentes passos.
passo h valor aproximado de y(2)
0,5 7,125
0,2 9,3834728448
0,1 10,4549998987
0,05 11,0799774242
0,01 11,6320357037
0,001 11,7633513071
É de referir que o valor exacto é
y(2) = 2 e2 −3 ≈ 11, 77811219.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 51 / 427
§1.2.2 Método de Euler
O método de Euler também nos permite aproximar o gráfico dasolução. Para isso basta marcarmos os pontos obtidos e uni-los comsegmentos de recta.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
0 1 2
{
y′ = x+ y
y(0) = 1
bb
b
b
b h = 0, 5
b bb
bb
b
b
b
b
b
b h = 0, 2
b b b b b bb
bb
bb
bb
b
b
b
b
b
b
b
b h = 0, 1
b b b b b b b b b b b b b b b b b b b bbbbbbbbbbbbbbbbb
b
b
b
b
b h = 0, 05
solução
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 52 / 427
Índice
1 Equações diferenciais ordináriasDefinição, exemplos e aplicaçõesCampo de direcções e método de EulerEquações de primeira ordem de variáveis separáveisEquações lineares de primeira ordem
2 Funções de Rn em Rm: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em Rn
4 Cálculo integral em Rn
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 53 / 427
§1.3 Equações de primeira ordem de variáveis separáveis
Uma EDO de primeira ordem diz-se de variáveis separáveis se puder serescrita na forma
y′ = f(x)g(y),
onde f e g são funções reais de variável real definidas em intervalos. Seg(y) 6= 0, reescrevendo a equação na forma
y′
g(y)= f(x) ⇔ y′(x)
g(y(x))= f(x)
e integrando temos∫
y′(x)g(y(x))
dx =∫
f(x) dx.
Fazendo a mudança de variável y = y(x) e atendendo a que
dy = y′(x) dx,
temos∫
1g(y)
dy =∫
f(x) dx.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 54 / 427
§1.3 Equações de primeira ordem de variáveis separáveis
Como a derivada y′ também se representa pordy
dx, a EDO
y′ = f(x)g(y)
também pode ser escrita na forma
dy
dx= f(x)g(y).
Apesar dedy
dxnão ser uma fracção, se formalmente tratarmos
dy
dxcomo
tal, temosdy
dx= f(x)g(y) ⇔ 1
g(y)dy = f(x) dx
e integrando resulta a fórmula que obtivemos no slide anterior:
∫1
g(y)dy =
∫
f(x) dx.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 55 / 427
§1.3 Equações de primeira ordem de variáveis separáveis
Exemplos – EDOs de de primeira ordem de variáveis separáveis
a) Consideremos a equação
y′ =x+ ex
ey.
Esta equação é de variáveis separáveis pois pode ser escrita como
y′ = (x+ ex)︸ ︷︷ ︸
f(x)
1ey︸︷︷︸
g(y)
.
Assim, temos
y′ =x+ ex
ey⇔ ey y′ = x+ ex
⇔ y′(x) ey(x) = x+ ex
⇔∫
y′(x) ey(x) dx =∫
x+ ex dx
⇔ ey(x) =x2
2+ ex +c
⇔ y(x) = ln(x2
2+ ex +c
)
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 56 / 427
§1.3 Equações de primeira ordem de variáveis separáveis
Exemplos – EDOs de de primeira ordem de variáveis separáveis (continuação)
a) (continuação) Também podíamos ter resolvido esta equação daseguinte forma
dy
dx=x+ ex
ey⇔ ey dy = (x+ ex) dx
⇔∫
ey dy =∫
x+ ex dx
⇔ ey =x2
2+ ex +c
⇔ y = ln
(
x2
2+ ex +c
)
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 57 / 427
§1.3 Equações de primeira ordem de variáveis separáveis
Exemplos – EDOs de de primeira ordem de variáveis separáveis (continuação)
b) Consideremos a equaçãoy′ = (1 + y) cosx.
Esta equação é de variáveis separáveis e, portanto,
y′(x) = (1 + y(x)) cosx ⇔ y′(x)1 + y(x)
= cosx
⇔∫
y′(x)1 + y(x)
dx =∫
cosxdx
⇔ ln |1 + y(x)| = senx+ c
⇔ |1 + y(x)| = esen x+c
⇔ |1 + y(x)| = ec esen x
⇔ 1 + y(x) = ± ec esen x
⇔ y(x) = −1 ± ec esen x
Na resolução apresentada atrás foi suposto y(x) 6= −1. Como y(x) = −1também solução da equação, as soluções da equação são as funções
y(x) = −1 + k esen x, k ∈ R.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 58 / 427
§1.3 Equações de primeira ordem de variáveis separáveis
Exemplos – EDOs de de primeira ordem de variáveis separáveis (continuação)
b) (continuação) A equação também podia ser resolvida da seguinte forma
y′ = (1 + y) cosx ⇔ dy
dx= (1 + y) cosx
⇔ 11 + y
dy = cosxdx
⇔∫
11 + y
dy =∫
cosxdx
⇔ ln |1 + y| = senx+ c
⇔ |1 + y| = esen x+c
⇔ |1 + y| = ec esen x
⇔ 1 + y = ± ec esen x
⇔ y = −1 ± ec esen x
e tendo em conta que y(x) = −1 também é solução, temos
y = −1 + k esen x, k ∈ R.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 59 / 427
§1.3 Equações de primeira ordem de variáveis separáveis
Exemplos – EDOs de de primeira ordem de variáveis separáveis (continuação)
c) Consideremos a equação xy′ = y. Supondo y 6= 0 e x 6= 0 temos
xy′ = y ⇔ y′
y=
1x
⇔ y′(x)y(x)
=1x
⇔∫y′(x)y(x)
dx =∫
1xdx
⇔ ln |y(x)| = ln |x| + c
⇔ |y(x)| = eln|x|+c
⇔ |y(x)| = ec |x|⇔ y(x) = ± ec |x|
Como a solução tem de ser diferenciável e atendendo a que a y(x) = 0também é solução, as soluções da equação são todas as funções da forma
y(x) = kx, k ∈ R.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 60 / 427
§1.3 Equações de primeira ordem de variáveis separáveis
Se tivermos um problema com valores iniciais em que a EDO é devariáveis separáveis, ou seja,
{
y′ = f(x)g(y),
y(x0) = y0,
podemos resolver este problema através de
∫ x
x0
y′(s)g(y(s))
ds =∫ x
x0
f(s) ds
ou, equivalentemente,
∫ y
y0
1g(s)
ds =∫ x
x0
f(s) ds.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 61 / 427
§1.3 Equações de primeira ordem de variáveis separáveis
Exemplos – EDOs de variáveis separáveis com condições iniciais
a) Já vimos anteriormente que a EDO
y′ =x+ ex
ey,
tem como solução as funções da forma
y(x) = ln(x2/2 + ex +c
), c ∈ R.
Assim, a solução do problema de valor inicial
y′ =x+ ex
ey,
y(0) = 1,
tendo em conta que
y(0) = 1 ⇔ ln(02/2 + e0 +c
)= 1 ⇔ ln (1 + c) = 1 ⇔ 1+c = e ⇔ c = e −1,
é a funçãoy(x) = ln
(x2/2 + ex + e −1
).
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 62 / 427
§1.3 Equações de primeira ordem de variáveis separáveis
Exemplos – EDOs de variáveis separáveis com condições iniciais (continuação)
a) (continuação) Podíamos também resolver o problema de valor inicial daseguinte forma
y′(x) =x+ ex
ey(x)⇔ ey(x) y′(x) = x+ ex
⇔∫ x
0
ey(s) y′(s) ds =∫ x
0
s+ es ds
⇔[
ey(s)]x
0=[
s2
2+ es
]x
0
⇔ ey(x) − ey(0) =x2
2+ ex −02
2− e0
⇔ ey(x) − e1 =x2
2+ ex −1
⇔ ey(x) =x2
2+ ex + e −1
⇔ y(x) = ln(x2
2+ ex + e −1
)
.
y′ =x+ ex
ey,
y(0) = 1,
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 63 / 427
§1.3 Equações de primeira ordem de variáveis separáveis
Exemplos – EDOs de variáveis separáveis com condições iniciais (continuação)
a) (continuação) Também podíamos ter feito
dy
dx=x+ ex
ey⇔ ey dy = (x+ ex) dx
⇔∫ y
1
es ds =∫ x
0
s+ es ds
⇔[
es]y
1=[
s2
2+ es
]x
0
⇔ ey − e1 =x2
2+ ex −02
2− e0
⇔ ey − e =x2
2+ ex −0 − 1
⇔ ey =x2
2+ ex + e −1
⇔ y = ln(x2
2+ ex + e −1
)
.
y′ =x+ ex
ey,
y(0) = 1,
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 64 / 427
§1.3 Equações de primeira ordem de variáveis separáveis
Exemplos – EDOs de variáveis separáveis com condições iniciais (continuação)
b) Consideremos o problema de valor inicial
{
3y′y2 = cos x
y(0) = 1.
Então
3y′(x)y2(x) = cos x ⇔∫ x
03y′(s)y2(s) ds =
∫ x
0cos s ds
⇔[
y(s)3]x
0=[
sen s]x
0
⇔ y(x)3 − y(0)3 = senx− sen 0
⇔ y(x)3 − 1 = senx
⇔ y(x)3 = 1 + senx
⇔ y(x) = 3√
1 + sen x.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 65 / 427
§1.3 Equações de primeira ordem de variáveis separáveis
Exemplos – EDOs de variáveis separáveis com condições iniciais (continuação)
c) Para o problema de valor inicial{
y′ = y(2x+ 1)y(0) = 1
temos
y′(x) = y(x)(2x+ 1) ⇔ y′(x)y(x)
= 2x+ 1
⇔∫ x
0
y′(s)y(s)
ds =∫ x
0
2s+ 1 ds
⇔[
ln(y(s))]x
0=[s2 + s
]x
0
⇔ ln(y(x)) − ln(y(0)) = x2 + x− (02 + 0)
⇔ ln(y(x)) − ln 1 = x2 + x
⇔ ln(y(x)) = x2 + x
⇔ y(x) = ex2+x .
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 66 / 427
Índice
1 Equações diferenciais ordináriasDefinição, exemplos e aplicaçõesCampo de direcções e método de EulerEquações de primeira ordem de variáveis separáveisEquações lineares de primeira ordem
2 Funções de Rn em Rm: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em Rn
4 Cálculo integral em Rn
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 67 / 427
§1.4 Equações lineares de primeira ordem
Uma EDO linear de primeira ordem é uma equação da forma
y′ + p(x)y = q(x)
onde p e q são funções reais de variável real definidas em algumintervalo não vazio de R.
Por exemplo,y′ + xy = ex
é uma EDO linear de primeira ordem com
p(x) = x e q(x) = ex .
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 68 / 427
§1.4 Equações lineares de primeira ordem
Dada uma EDO linear de primeira ordem
y′ + p(x)y = q(x)
começamos por resolver a equação homogénea associada, que é a equação
y′ + p(x)y = 0.
Esta última EDO é de variáveis separáveis e, portanto,
y′+ p(x)y = 0 ⇔ y′
y= −p(x) ⇔ y′(x)
y(x)= −p(x)
⇔∫y′(x)y(x)
dx = −∫
p(x) dx + c ⇔ ln |y(x)| = −∫
p(x) dx + c
⇔ |y(x)| = e−
∫
p(x) dx + c⇔ y(x) = ± ec e
−
∫
p(x) dx
e como y(x) = 0 também é solução, as soluções da equação homogénea são asfunções da forma
y(x) = C e−
∫
p(x) dx, com C ∈ R.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 69 / 427
§1.4 Equações lineares de primeira ordem
Após calcularmos as soluções da equação homogénas, as soluções daequação y′ + p(x)y = q(x) são da forma
y(x) = k(x) e−∫p(x) dx, (∗)
onde k(x) é uma função que temos de descobrir. Derivando temos
y′(x) = k(x)(
e−∫p(x) dx
)′+ k′(x) e−
∫p(x) dx
= k(x)(
−∫
p(x) dx)′
e−∫p(x) dx +k′(x) e−
∫p(x) dx
= k(x) (−p(x)) e−∫p(x) dx +k′(x) e−
∫p(x)dx
= −p(x)y(x) + k′(x) e−∫p(x) dx
e, portanto, temos de ter
k′(x) e−∫p(x) dx = q(x) ⇔ k′(x) = q(x) e
∫p(x) dx
pelo que primitivando esta última igualdade descobrimos k(x).Substituindo k(x) em (∗) obtemos as soluções da equação.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 70 / 427
§1.4 Equações lineares de primeira ordem
Exemplos – EDOs lineares de primeira ordem
a) Consideremos a equação
y′ = x+ y ⇔ y′ − y = x.
Esta EDO é linear de primeira ordem com p(x) = −1 e q(x) = x.Comecemos por resolver a equação homogénea:
y′ − y = 0 ⇔ y′ = y ⇔ y′
y= 1
⇔ y′(x)y(x)
= 1 ⇔∫y′(x)y(x)
dx =∫
1 dx
⇔ ln |y(x)| = x+ c ⇔ |y(x)| = ex+c
⇔ y(x) = ± ec ex
e atendendo a que y(x) = 0 também é solução da equaçãohomogéna, as soluções de y′ − y = 0 são as funções da forma
y(x) = C ex, com C ∈ R.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 71 / 427
§1.4 Equações lineares de primeira ordem
Exemplos – EDOs lineares de primeira ordem (continuação)
a) (continuação) Como
y′ − y = 0 ⇔ y(x) = C ex, com C ∈ R,
as soluções da equação
y′ − y = x
são funções da forma
y(x) = k(x) ex
onde k é uma função que temos de descobrir. Derivando temos
y′(x) = k(x) (ex)′ + k′(x) ex
= k(x) ex +k′(x) ex
= y(x) + k′(x) ex
e, portanto, para a equação ser satisfeita temos de ter
k′(x) ex = x ⇔ k′(x) = e−x x,
pelo que primitivando por partes obtemos k(x).
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 72 / 427
§1.4 Equações lineares de primeira ordem
Exemplos – EDOs lineares de primeira ordem (continuação)
a) (continuação) Portanto, primitivando por partes temos
k(x) =∫
e−x xdx
= − e−x x−∫
− e−x x′ dx
= −x e−x x+∫
e−x · 1 dx
= −x e−x x− e−x +c.Assim, para obtermos as soluções da equação
y′ − y = x
temos de substituir k(x) em
y(x) = k(x) ex
o que dá
y(x) =(−x e−x x− e−x +c
)ex ⇔ y(x) = −x− 1 + c ex
⇔ y(x) = c ex −x− 1.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 73 / 427
§1.4 Equações lineares de primeira ordem
Exemplos – EDOs lineares de primeira ordem (continuação)
b) Consideremos a EDO
y′ − (cos x) y = − cosx.
Vamos começar por resolver a equação homogénea
y′ − (cos x) y = 0 ⇔ y′ = (cosx) y ⇔ y′
y= cos x
⇔ y′(x)y(x)
= cos x ⇔∫y′(x)y(x)
dx =∫
cos x dx
⇔ ln |y(x)| = senx+ c ⇔ |y(x)| = esenx+c
⇔ y(x) = ± ec esenx
e como y(x) = 0 também é solução da equação homogénea, assoluções da equação homogénea são as funções da forma
y(x) = C esen x, com C ∈ R.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 74 / 427
§1.4 Equações lineares de primeira ordem
Exemplos – EDOs lineares de primeira ordem (continuação)
b) (continuação) Assim, as soluções da equaçãoy′ − (cosx) y = − cosx
vão ser da formay(x) = k(x) esen x,
onde k é uma função que temos de descobrir. Derivando temos
y′(x) = k(x) (esen x)′ + k′(x) esen x
= k(x) (senx)′ esen x +k′(x) esen x
= k(x) cos x esen x +k′(x) esen x
= (cosx) y(x) + k′(x) esen x
pelo que
k′(x) esen x = − cosx ⇔ k′(x) = − cosx e− sen x ⇔ k(x) = e− sen x +c.
Portanto, as soluções da EDOy′ − (cosx) y = − cosx
são as funções da formay(x) =
(e− sen x +c
)esen x = 1 + c esen x = c esen x +1.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 75 / 427
§1.4 Equações lineares de primeira ordem
Exemplos – EDOs lineares de primeira ordem (continuação)
c) Um tanque contém 100 L de água. Uma solução com uma concentração de
sal de 0, 4 kg/L é adicionada a uma taxa de 5 L/min. A solução é mantida
misturada e é retirada do tanque a uma taxa de 3 L/min. Qual a
concentração ao fim de 20 minutos?
Seja y(t) a quantidade de sal (em quilogramas) ao fim de t minutos. Aderivada y′(t) é igual à diferença entre a taxa a que o sal entra no tanquee a taxa a que o sal sai do tanque e, portanto,
y′(t) = 0, 4 × 5 − y(t)100 + 2t
× 3
⇔ y′(t) = 2 − 3100 + 2t
y(t)
⇔ y′(t) +3
100 + 2ty(t) = 2,
ou seja, obtemos uma EDO linear de primeira ordem.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 76 / 427
§1.4 Equações lineares de primeira ordem
Exemplos – EDOs lineares de primeira ordem (continuação)
c) (continuação) Resolvendo a equação homogénea temos
y′(t) +3
100 + 2ty(t) = 0 ⇔ y′(t) = − 3
100 + 2ty(t)
⇔ y′(t)y(t)
= − 3100 + 2t
⇔∫y′(t)y(t)
dt = −32
∫2
100 + 2tdt
⇔ ln |y(t)| = −32
ln |100 + 2t| + c
⇔ ln (y(t)) = ln[
(100 + 2t)−3/2]
+ c
⇔ y(t) = ec eln[(100+2t)−3/2]
⇔ y(t) = ec (100 + 2t)−3/2
e como y(t) = 0 também é solução, as soluções da equação homogénea sãoas funções da forma
y(t) = C (100 + 2t)−3/2 , C ∈ R.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 77 / 427
§1.4 Equações lineares de primeira ordem
Exemplos – EDOs lineares de primeira ordem (continuação)
c) (continuação) Assim, as soluções de
y′(t) +3
100 + 2ty(t) = 2
são funções da forma
y(t) = k(t) (100 + 2t)−3/2,
para alguma função k que temos de determinar. Derivando temos
y′(t) = k(t)[
(100 + 2t)−3/2]′
+ k′(t) (100 + 2t)−3/2
= k(t)(
−32
)
· 2 · (100 + 2t)−5/2 + k′(t) (100 + 2t)−3/2
= − 3100 + 2t
k(t) (100 + 2t)−3/2 + k′(t) (100 + 2t)−3/2
= − 3100 + 2t
y(t) + k′(t) (100 + 2t)−3/2,
pelo quek′(t) (100 + 2t)−3/2 = 2 ⇔ k′(t) = 2 (100 + 2t)3/2
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 78 / 427
§1.4 Equações lineares de primeira ordem
Exemplos – EDOs lineares de primeira ordem (continuação)
c) (continuação) Ora sek′(t) = 2 (100 + 2t)3/2
,
então
k(t) =∫
2 (100 + 2t)3/2 dt =(100 + 2t)5/2
5/2+ c =
25
(100 + 2t)5/2 + c
e, portanto,
y(t) = k(t) (100 + 2t)−3/2
=(
25
(100 + 2t)5/2 + c
)
(100 + 2t)−3/2
=25
(100 + 2t) + c (100 + 2t)−3/2 .
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 79 / 427
§1.4 Equações lineares de primeira ordem
Exemplos – EDOs lineares de primeira ordem (continuação)
c) (continuação) Atendendo que y(0) = 0 resulta
y(0) = 0 ⇔ 25
(100 + 2 · 0) + c (100 + 2 · 0)−3/2 = 0
⇔ 25
· 100 + c100−3/2 = 0
⇔ 40 + c(102)−3/2 = 0
⇔ 10−3c = −40
⇔ c = −40 · 103
⇔ c = −40000,
pelo que a quantidade de sal na água no instante t é dada por
y(t) =25
(100 + 2t) − 40000 (100 + 2t)−3/2.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 80 / 427
§1.4 Equações lineares de primeira ordem
Exemplos – EDOs lineares de primeira ordem (continuação)
c) (continuação) Assim, a concentração de sal ao fim de 20 minutos é
y(20)100 + 2 · 20
=
25
(100 + 2 · 20) − 40000 (100 + 2 · 20)−3/2
140
=
25
· 140 − 40000 · 140−3/2
140
=25
− 40000 · 140−5/2
≈ 0, 2275195398 kg/L.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 81 / 427
Índice
1 Equações diferenciais ordinárias
2 Funções de Rn em Rm: limites e continuidadeBreves noções de topologia em Rn
Funções de Rn em Rm
LimitesContinuidade
3 Cálculo diferencial em Rn
4 Cálculo integral em Rn
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 82 / 427
Índice
1 Equações diferenciais ordinárias
2 Funções de Rn em Rm: limites e continuidade
Breves noções de topologia em Rn
Os espaços Rn
Distância, norma e produto internoBolas e conjuntos limitadosInterior, exterior, fronteira, aderência e derivado de um conjuntoConjuntos abertos e conjuntos fechados
Funções de Rn em Rm
LimitesContinuidade
3 Cálculo diferencial em Rn
4 Cálculo integral em Rn
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 83 / 427
Índice
1 Equações diferenciais ordinárias
2 Funções de Rn em Rm: limites e continuidade
Breves noções de topologia em Rn
Os espaços Rn
Distância, norma e produto internoBolas e conjuntos limitadosInterior, exterior, fronteira, aderência e derivado de um conjuntoConjuntos abertos e conjuntos fechados
Funções de Rn em Rm
LimitesContinuidade
3 Cálculo diferencial em Rn
4 Cálculo integral em Rn
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 84 / 427
§2.1.1 Os espaços Rn
Recordemos que se identifica o conjunto R dos números reais com arecta
0 a
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 85 / 427
§2.1.1 Os espaços Rn
Os elementos do conjunto
R2 = {(x1, x2) : x1, x2 ∈ R}
podem ser representados no plano da seguinte forma
x1
x2
b P (a, b)
a
b
Representação geométrica de um ponto de R2
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 86 / 427
§2.1.1 Os espaços Rn
Os elementos do conjunto
R3 = {(x1, x2, x3) : x1, x2, x3 ∈ R}
podem ser representados no espaço da seguinte forma
x2
x1
x3
bP (a, b, c)
a
b
c
Representação geométrica de um ponto de R3
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 87 / 427
§2.1.1 Os espaços Rn
Podemos generalizar este género de conjuntos para qualquer númeronatural n. Assim, definimos o conjunto Rn utilizando o produtocartesiano, ou seja,
Rn = R × R × · · · × R︸ ︷︷ ︸
n vezes
é o conjunto formado por todos os elementos da forma
x = (x1, . . . , xn)
onde xi é um número real para i = 1, . . . , n. A cada elemento xichamamos i-ésima coordenada de x.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 88 / 427
§2.1.1 Os espaços Rn
Em Rn vamos considerar duas operações, a adição (entre elementos deRn) e a multiplicação de um número real por um elemento de Rn,definidas, para cada
x = (x1, . . . , xn) e y = (y1, . . . , yn)
em Rn e para cada λ ∈ R, da seguinte forma:
x+ y = (x1, . . . , xn) + (y1, . . . , yn) = (x1 + y1, . . . , xn + yn)
eλx = λ (x1, . . . , xn) = (λx1, . . . , λxn) .
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 89 / 427
§2.1.1 Os espaços Rn
A adição e a multiplicação verificam, para cada
x = (x1, . . . , xn) , y = (y1, . . . , yn) e z = (z1, . . . , zn)
em Rn e para cada λ, µ em R, as seguintes propriedades:
a) x+ y = y + x;
b) x+ (y + z) = (x+ y) + z;
c) (0, . . . , 0) ∈ Rn é o elemento neutro da adição;
d) −x = (−x1, . . . ,−xn) é o simétrico de x = (x1, . . . , xn), já quex+ (−x) = (0, . . . , 0);
e) λ (µx) = (λµ)x;
f) λ (x+ y) = λx+ λy;
g) (λ+ µ) x = λx+ µx;
h) 1x = x.
Por se verificarem estas propriedades, é costume dizer que Rn é umespaço vectorial.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 90 / 427
§2.1.1 Os espaços Rn
Associada a estas operações está uma outra operação, a subtracção,que é definida, para cada
x = (x1, . . . , xn) e y = (y1, . . . , yn)
em Rn, por
x− y = (x1, . . . , xn) − (y1, . . . , yn) = (x1 − y1, . . . , xn − yn).
Sempre que não haja perigo de confusão, representaremos um elementogenérico de R2 por (x, y) em vez de (x1, x2). Da mesma forma, umelemento genérico de R3 será por vezes representado por (x, y, z) emvez de (x1, x2, x3).
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 91 / 427
Índice
1 Equações diferenciais ordinárias
2 Funções de Rn em Rm: limites e continuidade
Breves noções de topologia em Rn
Os espaços Rn
Distância, norma e produto internoBolas e conjuntos limitadosInterior, exterior, fronteira, aderência e derivado de um conjuntoConjuntos abertos e conjuntos fechados
Funções de Rn em Rm
LimitesContinuidade
3 Cálculo diferencial em Rn
4 Cálculo integral em Rn
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 92 / 427
§2.1.2 Distância, norma e produto interno
Em R, observando a figura que se segue
x y
|x− y|
Distância entre dois números reais x e y
verificamos que a distância entre dois números reais x e y é dada por
d(x, y) = |x− y| .
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 93 / 427
§2.1.2 Distância, norma e produto interno
Vejamos como calcular a distância entre dois elementos de R2. Paraisso consideremos dois pontos x = (x1, x2) e y = (y1, y2) e façamos asua representação geométrica.
x1
x2 b
y1
y2 bb
b
d(x,y)
b
b
x1 − y1
b
b
b
b
x2 − y2
b
b
Distância entre dois pontos de R2
Pelo teorema de Pitágoras concluímos que a distância entre x e y édada por
d(x, y) =√
(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 94 / 427
§2.1.2 Distância, norma e produto interno
Do mesmo modo, a distância entre dois pontos x = (x1, x2, x3) ey = (y1, y2, y3) é dada por
d(x, y) =√
(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 + (x3 − y3)2.
b x = (x1, x2, x3)
by = (y1, y2, y3)
b
b
b
b
b
b
Distância entre dois pontos de R3
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 95 / 427
§2.1.2 Distância, norma e produto interno
De um modo geral, dados x = (x1, . . . , xn) e y = (y1, . . . , yn) em Rn, adistância entre x e y calcula-se usando a seguinte fórmula:
d(x, y) =√
(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 + · · · + (xn − yn)2.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 96 / 427
§2.1.2 Distância, norma e produto interno
Associado à definição de distância temos o conceito de norma. Dadox = (x1, . . . , xn) ∈ Rn, a norma de x é dada por
‖x‖ =√
x21 + x2
2 + · · · + x2n.
Repare-se que se representarmos por 0 o vector nulo (0, . . . , 0) temos
‖x‖ = ‖x− 0‖ = d(x, 0)
pelo que a norma de x = (x1, . . . , xn) é apenas o comprimento do vector x, talcomo ilustra a figura seguinte no caso particular de R2:
x1
x2x = (x1, x2)
Além disso, dados x = (x1, . . . , xn) e y = (y1, . . . , yn) em Rn, temos
d(x, y) = ‖x− y‖.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 97 / 427
§2.1.2 Distância, norma e produto interno
Para quaisquer x, y ∈ Rn e para qualquer λ ∈ R, as seguintespropriedades são verdadeiras:
a) ‖x‖ > 0
b) ‖x‖ = 0 se e só se x = 0;
c) ‖λx‖ = |λ| ‖x‖;
d) ‖x+ y‖ 6 ‖x‖ + ‖y‖. (desigualdade triangular)
As três primeiras propriedades apresentadas anteriormente são fáceisde verificar. Já a última propriedade é mais difícil de provar.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 98 / 427
§2.1.2 Distância, norma e produto interno
Outro conceito importante nos espaços Rn é o de produto interno.Dados
x = (x1, . . . , xn) , y = (y1, . . . , yn) ∈ Rn,
define-se o produto interno da seguinte forma:
〈x, y〉 =n∑
i=1
xiyi
= x1y1 + x2y2 + · · · + xnyn.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 99 / 427
§2.1.2 Distância, norma e produto interno
Propriedades do produto interno
Para quaisquer x, y, z ∈ Rn e para qualquer λ ∈ R tem-se
a) 〈x+ y, z〉 = 〈x, z〉 + 〈y, z〉;b) 〈x, y + z〉 = 〈x, y〉 + 〈x, z〉;c) 〈λx, y〉 = λ 〈x, y〉;d) 〈x, λy〉 = λ 〈x, y〉;e) 〈x, y〉 = 〈y, x〉;f) 〈x, x〉 > 0;
g) 〈x, x〉 = 0 se e só se x = 0.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 100 / 427
§2.1.2 Distância, norma e produto interno
Para cada x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn temos√
〈x, x〉 =√x1x1 + x2x2 + · · · + xnxn
=√
x21 + x2
2 + · · · + x2n
= ‖x‖ ,
ou seja, a norma pode ser definida à custa do produto interno.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 101 / 427
§2.1.2 Distância, norma e produto interno
É de referir que para quaisquer x, y ∈ Rn se tem
|〈x, y〉| 6√
〈x, x〉√
〈y, y〉
ou seja,∣∣∣∣∣
n∑
i=1
xiyi
∣∣∣∣∣6
√√√√
n∑
i=1
x2i .
√√√√
n∑
i=1
y2i ,
ou ainda,|〈x, y〉| 6 ‖x‖ ‖y‖ .
Esta desigualdade designa-se por desigualdade de Cauchy-Schwarz.
Além disso, a igualdade só se verifica quando x e y são linearmentedependentes, ou seja, se
x = λy
para algum λ ∈ R.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 102 / 427
§2.1.2 Distância, norma e produto interno
Em R2 ou em R3 tem-se
〈x, y〉 = ‖x‖ ‖y‖ cos θ,
onde θ é o ângulo formado pelos vectores não nulos x e y.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 103 / 427
Índice
1 Equações diferenciais ordinárias
2 Funções de Rn em Rm: limites e continuidade
Breves noções de topologia em Rn
Os espaços Rn
Distância, norma e produto internoBolas e conjuntos limitadosInterior, exterior, fronteira, aderência e derivado de um conjuntoConjuntos abertos e conjuntos fechados
Funções de Rn em Rm
LimitesContinuidade
3 Cálculo diferencial em Rn
4 Cálculo integral em Rn
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 104 / 427
§2.1.3 Bolas e conjuntos limitados
Seja a = (a1, . . . , an) um ponto de Rn. Chama-se bola aberta decentro a e raio r > 0 ao conjunto
Br(a) = {x ∈ Rn : d(x, a) < r}= {x ∈ Rn : ‖x− a‖ < r}
={
x ∈ Rn :√
(x1 − a1)2 + (x2 − a2)2 + · · · + (xn − an)2 < r
}
={
x ∈ Rn : (x1 − a1)2 + (x2 − a2)2 + · · · + (xn − an)2 < r2}
e bola fechada de centro a e raio r > 0 ao conjunto
Br[a] = {x ∈ Rn : d(x, a) 6 r}= {x ∈ Rn : ‖x− a‖ 6 r}
={
x ∈ Rn :√
(x1 − a1)2 + (x2 − a2)2 + · · · + (xn − an)2 6 r
}
={
x ∈ Rn : (x1 − a1)2 + (x2 − a2)2 + · · · + (xn − an)26 r2
}
.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 105 / 427
§2.1.3 Bolas e conjuntos limitados
O conjunto
Sr(a) = {x ∈ Rn : d(x, a) = r}= {x ∈ Rn : ‖x− a‖ = r}
={
x ∈ Rn :√
(x1 − a1)2 + (x2 − a2)2 + · · · + (xn − an)2 = r
}
={
x ∈ Rn : (x1 − a1)2 + (x2 − a2)2 + · · · + (xn − an)2 = r2}
designa-se por esfera de centro a e raio r > 0.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 106 / 427
§2.1.3 Bolas e conjuntos limitados
Em R a distância entre dois elementos é dada pelo módulo da diferençae, por conseguinte, as bolas são intervalos e as esferas conjuntos comdois pontos:
aa− r a+ r aa− r a+ r aa− r a+ r
Bola aberta, bola fechada e esfera de centro a ∈ R e raio r
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 107 / 427
§2.1.3 Bolas e conjuntos limitados
A figura seguinte ilustra, em R2, os três conjuntos definidosanteriormente:
b
a1
a2 b
rb
rb
a1
a2
rbb
rb
a1
a2
rb
Bola aberta, bola fechada e esfera de centro (a1, a2) e raio r
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 108 / 427
§2.1.3 Bolas e conjuntos limitados
Em R3 a bola de centro a = (a1, a2, a3) e raio r pode ser representadapor
ba rba rb
Representação geométrica em R3 da bola de centro a = (a1, a2, a3) e raio r
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 109 / 427
§2.1.3 Bolas e conjuntos limitados
Um subconjunto A de Rn diz-se limitado se estiver contido emalguma bola centrada na origem, isto é,
A ⊆ Br[0] para algum r > 0,
ou seja, se existir r > 0 tal que
‖x‖ 6 r para cada x ∈ A.
Os subconjuntos de Rn que não são limitados dizem-se ilimitados
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 110 / 427
Índice
1 Equações diferenciais ordinárias
2 Funções de Rn em Rm: limites e continuidade
Breves noções de topologia em Rn
Os espaços Rn
Distância, norma e produto internoBolas e conjuntos limitadosInterior, exterior, fronteira, aderência e derivado de um conjuntoConjuntos abertos e conjuntos fechados
Funções de Rn em Rm
LimitesContinuidade
3 Cálculo diferencial em Rn
4 Cálculo integral em Rn
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 111 / 427
§2.1.4 Interior, exterior, fronteira, aderência e derivado de um conjunto
Seja A um subconjunto não vazio de Rn. Um ponto a ∈ Rn diz-seinterior a A
se existir ε > 0 tal que Bε(a) ⊆ A.
O ponto a diz-se exterior a A
se existir ε > 0 tal que Bε(a) ⊆ Rn \ A.
Um ponto a ∈ Rn diz-se fronteiro a A
se para cada ε > 0, Bε(a) ∩A 6= ∅ e Bε(a) ∩ (Rn \ A) 6= ∅.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 112 / 427
§2.1.4 Interior, exterior, fronteira, aderência e derivado de um conjunto
A figura que se segue ilustra estes três conceitos.
aa
bb
cc
Pontos interiores, pontos exteriores e pontos fronteiros
O ponto a é um ponto interior ao conjunto, o ponto b é um pontoexterior ao conjunto e o ponto c é um ponto fronteiro ao conjunto.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 113 / 427
§2.1.4 Interior, exterior, fronteira, aderência e derivado de um conjunto
O conjunto dos pontos interiores a A designa-se por interior de A erepresenta-se por intA ou A◦.
O conjunto dos pontos exteriores a A chama-se exterior de A erepresenta-se por extA.
O conjunto dos pontos fronteiros de A diz-se a fronteira de A erepresenta-se por frA.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 114 / 427
§2.1.4 Interior, exterior, fronteira, aderência e derivado de um conjunto
Observações
a) Da definição resulta imediatamente que intA, extA e frA sãoconjuntos disjuntos dois a dois e que
Rn = intA ∪ extA ∪ frA.
b) Outra consequência imediata da definição é a seguinte
intA = ext (Rn \ A) e frA = fr (Rn \ A) .
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 115 / 427
§2.1.4 Interior, exterior, fronteira, aderência e derivado de um conjunto
Exemplos
a) Consideremos os conjuntos
A ={
(x, y) ∈ R2 : 1 < x < 2 ∧ 1 < y < 2}
B ={
(x, y) ∈ R2 : 3 6 x 6 4 ∧ 1 6 y 6 2}
C ={
(x, y) ∈ R2 : 5 6 x 6 6 ∧ 1 < y < 2}
Estes conjuntos estão representados na figura seguinte
1
2
1 2 3 4 5 6x
y
A B C
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 116 / 427
§2.1.4 Interior, exterior, fronteira, aderência e derivado de um conjunto
Exemplos
a) (continuação) Então o interior destes três conjuntos é dado por
intA ={
(x, y) ∈ R2 : 1 < x < 2 ∧ 1 < y < 2}
intB ={
(x, y) ∈ R2 : 3 < x < 4 ∧ 1 < y < 2}
intC ={
(x, y) ∈ R2 : 5 < x < 6 ∧ 1 < y < 2},
o exterior é dado por
extA ={
(x, y) ∈ R2 : x < 1 ∨ x > 2 ∨ y < 1 ∨ y > 2}
extB ={
(x, y) ∈ R2 : x < 3 ∨ x > 4 ∨ y < 1 ∨ y > 2}
extC ={
(x, y) ∈ R2 : x < 5 ∨ x > 6 ∨ y < 1 ∨ y > 2},
e a fronteira é dada por
frA ={
(x, y) ∈ R2 : ((y = 1 ∨ y = 2) ∧ 1 6 x 6 2) ∨ ((x = 1 ∨ x = 2) ∧ 1 6 y 6 2)}
frB ={
(x, y) ∈ R2 : ((y = 1 ∨ y = 2) ∧ 3 6 x 6 4) ∨ ((x = 3 ∨ x = 4) ∧ 1 6 y 6 2)}
frC ={
(x, y) ∈ R2 : ((y = 1 ∨ y = 2) ∧ 5 6 x 6 6) ∨ ((x = 5 ∨ x = 6) ∧ 1 6 y 6 2)}.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 117 / 427
§2.1.4 Interior, exterior, fronteira, aderência e derivado de um conjunto
Exemplos
b) Dada a bola aberta Br(a) de centro a e raio r > 0 tem-se
int (Br(a)) = Br(a)
ext (Br(a)) = Rn \Br[a]
fr (Br(a)) = Sr(a).
O interior, o exterior e a fronteira da bola fechada Br[a] de centro ae raio r > 0 coincidem, respectivamente, com o interior, o exterior ea fronteira de Br(a).
c) É óbvio que intRn = Rn, extRn = ∅ e frRn = ∅.
d) Também temos int∅ = ∅, ext∅ = Rn e fr∅ = ∅.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 118 / 427
§2.1.4 Interior, exterior, fronteira, aderência e derivado de um conjunto
Um ponto a ∈ Rn diz-se aderente a um subconjunto A ⊆ Rn
se para cada ε > 0, Bε(a) ∩A 6= ∅.
O conjunto dos pontos aderentes de um conjunto A designa-se poraderência ou fecho de A e representa-se por A.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 119 / 427
§2.1.4 Interior, exterior, fronteira, aderência e derivado de um conjunto
Exemplos
a) Considerando novamente os conjuntos
A ={
(x, y) ∈ R2 : 1 < x < 2 ∧ 1 < y < 2}
B ={
(x, y) ∈ R2 : 3 6 x 6 4 ∧ 1 6 y 6 2}
C ={
(x, y) ∈ R2 : 5 6 x 6 6 ∧ 1 < y < 2}
temos
A ={
(x, y) ∈ R2 : 1 6 x 6 2 ∧ 1 6 y 6 2}
B ={
(x, y) ∈ R2 : 3 6 x 6 4 ∧ 1 6 y 6 2}
C ={
(x, y) ∈ R2 : 5 6 x 6 6 ∧ 1 6 y 6 2}
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 120 / 427
§2.1.4 Interior, exterior, fronteira, aderência e derivado de um conjunto
Exemplos (continuação)
b) Seja Br(a) a bola aberta de centro a e raio r > 0. Então
Br(a) = Br[a].
c) Também se tem Rn = Rn e ∅ = ∅.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 121 / 427
§2.1.4 Interior, exterior, fronteira, aderência e derivado de um conjunto
É evidente que para qualquer subconjunto A de Rn se tem
A = intA ∪ frA
eintA ⊆ A ⊆ A.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 122 / 427
§2.1.4 Interior, exterior, fronteira, aderência e derivado de um conjunto
Sejam A um subconjunto de Rn e a ∈ Rn. Diz-se que a é um pontode acumulação de A
se para cada ε > 0, Bε(a) ∩ (A \ {a}) 6= ∅.
O conjunto dos pontos de acumulação de um conjunto A representa-sepor A′ e designa-se por derivado.
Os pontos de A que não são pontos de acumulação de A designam-sepor pontos isolados.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 123 / 427
§2.1.4 Interior, exterior, fronteira, aderência e derivado de um conjunto
Exemplos
a) Seja
A ={
(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 < 1}
∪ {(2, 2) , (−2, 2)} .
O conjunto A tem a seguinte representação geométrica
x
y
2
2
-2 1
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 124 / 427
§2.1.4 Interior, exterior, fronteira, aderência e derivado de um conjunto
Exemplos (continuação)
a) (continuação) Então se
A ={
(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 < 1}
∪ {(2, 2) , (−2, 2)}tem-se
intA ={
(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 < 1},
extA ={
(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 > 1}
\ {(2, 2) , (−2, 2)} ,frA =
{(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1
}∪ {(2, 2) , (−2, 2)} ,
A ={
(x, y) ∈ R2 : x2 + y26 1}
∪ {(2, 2) , (−2, 2)} ,A′ =
{(x, y) ∈ R2 : x2 + y2
6 1}.
Os pontos (2, 2) e (−2, 2) são pontos isolados de A. Além disso o conjuntoA é limitado porque
A ⊆ B3[0].
b) É óbvio que (Rn)′ = Rn e que (∅)′ = ∅.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 125 / 427
Índice
1 Equações diferenciais ordinárias
2 Funções de Rn em Rm: limites e continuidade
Breves noções de topologia em Rn
Os espaços Rn
Distância, norma e produto internoBolas e conjuntos limitadosInterior, exterior, fronteira, aderência e derivado de um conjuntoConjuntos abertos e conjuntos fechados
Funções de Rn em Rm
LimitesContinuidade
3 Cálculo diferencial em Rn
4 Cálculo integral em Rn
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 126 / 427
§2.1.5 Conjuntos abertos e conjuntos fechados
Um subconjunto A de Rn diz-se aberto se A = intA e diz-se fechadose A = A.
aa
conjunto aberto
bb
conjunto fechado
Conjuntos abertos e conjuntos fechados
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 127 / 427
Índice
1 Equações diferenciais ordinárias
2 Funções de Rn em Rm: limites e continuidadeBreves noções de topologia em Rn
Funções de Rn em Rm
Definição e exemplosGráfico, curvas de nível e superfícies de nível
LimitesContinuidade
3 Cálculo diferencial em Rn
4 Cálculo integral em Rn
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 128 / 427
Índice
1 Equações diferenciais ordinárias
2 Funções de Rn em Rm: limites e continuidadeBreves noções de topologia em Rn
Funções de Rn em Rm
Definição e exemplosGráfico, curvas de nível e superfícies de nível
LimitesContinuidade
3 Cálculo diferencial em Rn
4 Cálculo integral em Rn
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 129 / 427
§2.2.1 Definição e exemplos
Seja D um subconjunto não vazio de Rn. Uma função
f : D ⊆ Rn → Rm
associa a cada elemento x = (x1, . . . , xn) de D um e um só elemento deRm que representaremos por f(x). Como f(x) ∈ Rm, tem-se
f(x) = (f1(x), f2(x), . . . , fm(x))
onde
f1 : D ⊆ Rn → R
f2 : D ⊆ Rn → R
...
fm : D ⊆ Rn → R.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 130 / 427
§2.2.1 Definição e exemplos
Assim, cada função f : D ⊆ Rn → Rm pode ser definida por m funções
f1 : D ⊆ Rn → R
f2 : D ⊆ Rn → R
...
fm : D ⊆ Rn → R,
funções essas que se designam por funções coordenadas de f . Nestascondições escreve-se
f = (f1, f2, . . . , fm) .
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 131 / 427
§2.2.1 Definição e exemplos
As funçõesf : D ⊆ Rn → R
designam-se por funções escalares e as funções
f : D ⊆ Rn → Rm, m > 1,
designam-se por funções vectoriais.
O conjunto D no qual está definida a função designa-se por domíniode f e o conjunto de todas as imagens de uma função designa-se porcontradomínio de f , ou seja, o contradomínio de uma função
f : D ⊆ Rn → Rm
é o conjuntof(D) = {f(x) ∈ Rm : x ∈ D} .
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 132 / 427
§2.2.1 Definição e exemplos
Exemplos de funções f : D ⊆ Rn → R
m
a) Seja f a função dada por
f(x, y) = (f1(x, y), f2(x, y), f3(x, y))
= (ln(y − x), sen x, 1) .
O domínio de f é o conjunto
D ={
(x, y) ∈ R2 : y − x > 0}
={
(x, y) ∈ R2 : y > x}
Obviamente, f : D ⊆ R2 → R3 e o seu contradomínio é o conjunto
f(D) ={
(a, b, c) ∈ R3 : − 1 6 b 6 1, c = 1}
.
Esta função é uma função vectorial pois o seu contradomínio é umsubconjunto de R3.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 133 / 427
§2.2.1 Definição e exemplos
Exemplos de funções f : D ⊆ Rn → R
m (continuação)
a) (continuação) Façamos a representação geométrica do domínio
D ={
(x, y) ∈ R2 : y > x}
da função f :
x
y
1
1
y = x
D
1
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 134 / 427
§2.2.1 Definição e exemplos
Exemplos de funções f : D ⊆ Rn → R
m (continuação)
b) Consideremos a função escalar dada por
f(x, y) = x ln(
y2 − x)
.
O domínio de f é o conjunto
D ={
(x, y) ∈ R2 : y2 − x > 0}
={
(x, y) ∈ R2 : y2 > x}
Assim, f : D ⊆ R2 → R e o contradomínio de f é R.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 135 / 427
§2.2.1 Definição e exemplos
Exemplos de funções f : D ⊆ Rn → R
m (continuação)
b) (continuação) Façamos a representação geométrica do domínio
D ={
(x, y) ∈ R2 : y2 > x}
da função f :
x
y
1 2
1
√2
x = y2D
1
√2
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 136 / 427
Índice
1 Equações diferenciais ordinárias
2 Funções de Rn em Rm: limites e continuidadeBreves noções de topologia em Rn
Funções de Rn em Rm
Definição e exemplosGráfico, curvas de nível e superfícies de nível
LimitesContinuidade
3 Cálculo diferencial em Rn
4 Cálculo integral em Rn
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 137 / 427
§2.2.2 Gráfico, curvas de nível e superfícies de nível
Dada uma função f : D ⊆ Rn → Rm designa-se por gráfico de f oconjunto
G (f) = {(a, f(a)) : a ∈ D} .
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 138 / 427
§2.2.2 Gráfico, curvas de nível e superfícies de nível
Gráfico da função dada por f(x, y) = x2 + y2
Seja f a função dada porf(x, y) = x2 + y2.
O domínio desta função é R2 e o seu contradomínio é [0,+∞[. O gráfico destafunção é o conjunto
G (f) ={
((x, y), f(x, y)) : (x, y) ∈ R2}
={(
(x, y), x2 + y2)
: (x, y) ∈ R2}
Costuma identificar-se o ponto((x, y), x2 + y2
)de R2 × R com o ponto
(x, y, x2 + y2
)de R3. Assim,
G (f) ={(x, y, x2 + y2
)∈ R3 : (x, y) ∈ R2
}
={
(x, y, z) ∈ R3 : (x, y) ∈ R2 ∧ z = x2 + y2}.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 139 / 427
§2.2.2 Gráfico, curvas de nível e superfícies de nível
Gráfico da função dada por f(x, y) = x2 + y2 (continuação)
Façamos a representação geométrica do gráfico de f .
x
y
zz = f(x, y)
⇔ z = x2 + y2corte pelo plano x = 0
y
z z = y2
corte pelo plano y = 0
x
z z = x2
corte pelo plano z = 1
x2 + y2 = 1
corte pelo plano z = 2
x2 + y2 = 2
Os cortes por planos z = k ou são circunferências, ou um ponto ou o vazio
1
2
b
f(1, 2) = 5
5
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 140 / 427
§2.2.2 Gráfico, curvas de nível e superfícies de nível
Gráfico da função dada por f(x, y) =√
x2 + y2
Seja f a função dada por
f(x, y) =√
x2 + y2.
O domínio desta função é R2 e o seu contradomínio é [0,+∞[. Ográfico desta função é o conjunto
G (f) ={
((x, y), f(x, y)) : (x, y) ∈ R2}
={(
x, y,√
x2 + y2
)
∈ R3 : (x, y) ∈ R2}
={
(x, y, z) ∈ R3 : (x, y) ∈ R2 ∧ z =√
x2 + y2
}
.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 141 / 427
§2.2.2 Gráfico, curvas de nível e superfícies de nível
Gráfico da função dada por f(x.y) =√
x2 + y2 (continuação)
x
y
z
z = f(x, y)
⇔ z =√x2 + y2
corte pelo plano x = 0
z = |y|
corte pelo plano y = 0
z = |x|
corte pelo plano z = 1
x2 + y2 = 1
corte pelo plano z = 2
x2 + y2 = 4
Os cortes por planos z = k ou são circunferências, ou um ponto ou o vazio
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 142 / 427
§2.2.2 Gráfico, curvas de nível e superfícies de nível
Sejam f : D ⊆ Rn → R uma função e k ∈ R. O conjunto
Ck = {x ∈ D : f(x) = k}
designa-se por conjunto de nível k. Em R2 os conjuntos de níveldesignam-se por curvas de nível e em R3 designam-se porsuperfícies de nível.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 143 / 427
§2.2.2 Gráfico, curvas de nível e superfícies de nível
Curvas de nível da função dada por f(x, y) = x2 + y2
Consideremos novamente a função f : R2 → R dada por
f(x, y) = x2 + y2.
As curvas de nível desta função são
Ck ={
(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = k}
.
Assim, se k < 0 temos Ck = ∅. Se k = 0 temos C0 = {(0, 0)}.Finalmente, para k > 0 a curva de nível é uma circunferência centradaem (0, 0) e de raio
√k.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 144 / 427
§2.2.2 Gráfico, curvas de nível e superfícies de nível
Curvas de nível da função dada por f(x, y) = x2 + y2 (continuação)
As curvas de nível 1, 2 e 3 estão representadas na figura seguinte
x
y
1√
2√
3
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 145 / 427
§2.2.2 Gráfico, curvas de nível e superfícies de nível
Curvas de nível da função dada por f(x, y) = x2 + y2 (continuação)
As curvas de nível podem ajudar a representar geometricamente ográfico da função:
x
y
z z = f(x, y) = x2 + y2
1
2
3
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 146 / 427
§2.2.2 Gráfico, curvas de nível e superfícies de nível
Curvas de nível da função dada por f(x, y) =√
x2 + y2
Para a função f : R2 → R dada por
f(x, y) = x2 + y2,
as curvas de nível são dadas por
Ck ={
(x, y) ∈ R2 :√
x2 + y2 = k
}
.
Assim, se k < 0 temos Ck = ∅. Para k = 0 resulta C0 = {(0, 0)}.Finalmente, para k > 0 a curva de nível é uma circunferência centradaem (0, 0) e de raio k.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 147 / 427
§2.2.2 Gráfico, curvas de nível e superfícies de nível
Curvas de nível da função dada por f(x, y) =√
x2 + y2 (continuação)
As curvas de nível 1, 2 e 3 estão representadas na figura seguinte
x
y
1 2 3
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 148 / 427
§2.2.2 Gráfico, curvas de nível e superfícies de nível
Curvas de nível da função dada por f(x, y) =√
x2 + y2 (continuação)
As curvas de nível podem ajudar a representar geometricamente ográfico da função:
x
y
z z = f(x, y) =√
x2 + y2
1
2
3
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 149 / 427
Índice
1 Equações diferenciais ordinárias
2 Funções de Rn em Rm: limites e continuidadeBreves noções de topologia em Rn
Funções de Rn em Rm
LimitesDefinição, propriedades e exemplosLimites relativos e limites direccionais
Continuidade
3 Cálculo diferencial em Rn
4 Cálculo integral em Rn
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 150 / 427
Índice
1 Equações diferenciais ordinárias
2 Funções de Rn em Rm: limites e continuidadeBreves noções de topologia em Rn
Funções de Rn em Rm
LimitesDefinição, propriedades e exemplosLimites relativos e limites direccionais
Continuidade
3 Cálculo diferencial em Rn
4 Cálculo integral em Rn
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 151 / 427
§2.3.1 Definição, propriedades e exemplos
Comecemos por recordar a definição de limite para funções
f : D ⊆ R → R,
ou seja, quando n = m = 1.
Sejam D um subconjunto de R, f : D → R uma função, a um ponto deacumulação de D e b ∈ R. Diz-se que b é o limite (de f) quando xtende para a, e escreve-se
limx→a
f(x) = b,
se para cada ε > 0, existe δ > 0 tal que
|f(x) − b| < ε para qualquer x ∈ D tal que 0 < |x− a| < δ.
Simbolicamente, tem-se o seguinte
limx→a
f(x) = b ⇔ ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ D (0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x) − b| < ε)
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 152 / 427
§2.3.1 Definição, propriedades e exemplos
A figura seguinte ilustra o conceito de limite de funções
f : D ⊆ R → R.
x
y
bb
a
b
f(a)
b−ε
b+ε
b
b
a−δ a+δ
b
a−δ a a+δ
b
a−δ a a+δ
b
xa
b−ε
b+ε
b
b
a−δ a a+δ
b
a−δ a a+δ
b
a−δaa+δ
b
a−δ a a+δ
b−ε
b
b+ε
b
Interpretação geométrica do conceito de limite de uma função real de variável real
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 153 / 427
§2.3.1 Definição, propriedades e exemplos
Para generalizarmos o conceito de limite para funções
f : D ⊆ Rn → Rm
temos de utilizar normas em vez de módulos.
Deste modo, sejam D um subconjunto de Rn,
f : D ⊆ Rn → Rm
uma função, a um ponto de acumulação de D e b ∈ Rm. Dizemos que bé o limite de f quando x tende para a, e escreve-se
limx→a
f(x) = b,
se para cada ε > 0, existe δ > 0 tal que
‖f(x) − b‖ < ε para qualquer x ∈ D tal que 0 < ‖x− a‖ < δ.
Simbolicamente, tem-se o seguinte:
limx→a
f(x) = b ⇔ ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ D (0 < ‖x− a‖ < δ ⇒ ‖f(x) − b‖ < ε) .
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 154 / 427
§2.3.1 Definição, propriedades e exemplos
Para interpretar geometricamente a definição de limite basta observar que
‖f(x) − b‖ < ε é equivalente a f(x) ∈ Bε(b)
e que0 < ‖x− a‖ < δ é equivalente a x ∈ Bδ(a) \ {a} .
Rn
DRm
f(D)
f
a
f(a)
bbε
δ a
x f(x)
Interpretação geométrica do limite em a de uma função f : D ⊆ Rn → Rm
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 155 / 427
§2.3.1 Definição, propriedades e exemplos
Se a for um ponto isolado do domínio D, então a definição dada atrásnão se pode aplicar porque, quando a é um ponto isolado de D, épossível escolher δ > 0 tal que
0 < ‖x− a‖ < δ
é falso para qualquer x ∈ D.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 156 / 427
§2.3.1 Definição, propriedades e exemplos
Propriedades
a) O limite de uma função (quando existe) é único.
b) Sejam D um subconjunto de Rn,
a = (a1, . . . , an) ∈ Rn
um ponto de acumulação de D e
b = (b1, . . . , bm) ∈ Rm.
Sef : D ⊆ Rn → Rm
uma função tal que
f = (f1, . . . , fm) ,
entãolimx→a
f(x) = b se e só se limx→a
fi(x) = bi, i = 1, . . . ,m.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 157 / 427
§2.3.1 Definição, propriedades e exemplos
Propriedades (continuação)
c) Sejam D ⊆ Rn, f, g : D → Rm, α : D → R e a um ponto de acumulaçãode D. Suponhamos que existem
limx→a
f(x), limx→a
g(x) e limx→a
α(x).
Então
i) existe limx→a
[f(x) + g(x)] e
limx→a
[f(x) + g(x)] = limx→a
f(x) + limx→a
g(x);
ii) existe limx→a
[α(x)f(x)] e
limx→a
[α(x)f(x)] =[
limx→a
α(x)]
·[
limx→a
f(x)]
;
iii) se limx→a
α(x) 6= 0, existe limx→a
1α(x)
e
limx→a
1α(x)
=1
limx→a
α(x).
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 158 / 427
§2.3.1 Definição, propriedades e exemplos
Propriedades (continuação)
d) Sejam D um subconjunto de Rn, a um ponto de acumulação de D e
f, g : D ⊆ Rn → R.
Suponhamos quelimx→a
f(x) = 0
e g é uma função limitada numa bola centrada em a. Então
limx→a
[f(x) · g(x)] = 0.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 159 / 427
§2.3.1 Definição, propriedades e exemplos
Propriedades (continuação)
e) Sejamf : Df ⊆ Rn → Rm
eg : Dg ⊆ Rm → Rk
duas funções tais quef(Df ) ⊆ Dg.
Suponhamos que a ∈ Rn é um ponto de acumulação de Df e queb ∈ Dg é um ponto de acumulação de Dg. Se
limx→a
f(x) = b e limx→b
g(x) = g(b),
entãolimx→a
(g ◦ f)(x) = limx→a
g(f(x)) = g(b).
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 160 / 427
§2.3.1 Definição, propriedades e exemplos
Rn Rm
Df
f
f(Df
)
a b = f(a)b b
Rk
bb = f(a)
f(Df
) Dg
g
g (Dg)
g ◦ f
bg(b) = g(f(a))
Composição de funções
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 161 / 427
§2.3.1 Definição, propriedades e exemplos
Exemplos
a) Seja f : R2 → R3 a função definida por
f(x, y) = (x+ y, sen(x+ 2y), cosx) .
Entãof = (f1, f2, f3)
ondef1, f2, f3 : R2 → R
são as funções definidas por
f1(x, y) = x+ y, f2(x, y) = sen(x+ 2y) e f3(x, y) = cos x.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 162 / 427
§2.3.1 Definição, propriedades e exemplos
Exemplos (continuação)
a) (continuação) Como
lim(x,y)→(π/2,0)
f1(x, y) = lim(x,y)→(π/2,0)
x+ y = π/2 + 0 = π/2
lim(x,y)→(π/2,0)
f2(x, y) = lim(x,y)→(π/2,0)
sen(x+ 2y)
= sen(π/2 + 2.0) = sen(π/2) = 1
lim(x,y)→(π/2,0)
f3(x, y) = lim(x,y)→(π/2,0)
cosx = cos(π/2) = 0,
temos
lim(x,y)→(π/2,0)
f(x, y)
=(
lim(x,y)→(π/2,0)
f1(x, y), lim(x,y)→(π/2,0)
f2(x, y), lim(x,y)→(π/2,0)
f3(x, y))
= (π/2, 1, 0) .
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 163 / 427
§2.3.1 Definição, propriedades e exemplos
Exemplos (continuação)
b) Seja f : R2 → R a função dada por
f(x, y) =
xy2
x2 + y2se (x, y) 6= (0, 0),
0 se (x, y) = (0, 0).
Esta função pode ser escrita, quando (x, y) 6= (0, 0), da seguinteforma
xy2
x2 + y2.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 164 / 427
§2.3.1 Definição, propriedades e exemplos
Exemplos (continuação)
b) (continuação) Como lim(x,y)→(0,0)
x = 0 ey2
x2 + y2é limitada, pois
0 6y2
x2 + y26 1 para cada (x, y) ∈ R2 \ {(0, 0)} ,
podemos concluir que
lim(x,y)→(0,0)
xy2
x2 + y2= 0.
e, consequentemente,
lim(x,y)→(0,0)
f(x, y) = 0.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 165 / 427
Índice
1 Equações diferenciais ordinárias
2 Funções de Rn em Rm: limites e continuidadeBreves noções de topologia em Rn
Funções de Rn em Rm
LimitesDefinição, propriedades e exemplosLimites relativos e limites direccionais
Continuidade
3 Cálculo diferencial em Rn
4 Cálculo integral em Rn
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 166 / 427
§2.3.2 Limites relativos e limites direccionais
Seja A um subconjunto de D ⊆ Rn e a um ponto de acumulação de A.Chama-se limite relativo a A da função
f : D ⊆ Rn → Rm
no ponto a (ou limite quando x tende para a no conjunto A) aolimite em a (quando exista) da restrição de f a A e usa-se a notação
limx→ax∈A
f(x).
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 167 / 427
§2.3.2 Limites relativos e limites direccionais
É evidente para qualquer função
f : D ⊆ Rn → R
se existelimx→a
f(x),
então também existelimx→ax∈A
f(x)
para qualquer subconjunto A de D tal que a é ponto de acumulação deA e
limx→ax∈A
f(x) = limx→a
f(x).
Assim, se existirem dois limites relativos distintos, o limite não existe.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 168 / 427
§2.3.2 Limites relativos e limites direccionais
Além disso, dada uma função
f : D ⊆ Rn → Rm,
se A1 e A2 são dois subconjuntos de Rn tais que a é ponto deacumulação de A1 e de A2,
D \ {a} ⊆ A1 ∪A2
e existem e são iguais os limites
limx→ax∈A1
f(x) e limx→ax∈A2
f(x),
então também existelimx→a
f(x)
elimx→a
f(x) = limx→ax∈A1
f(x) = limx→ax∈A2
f(x).
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 169 / 427
§2.3.2 Limites relativos e limites direccionais
Exemplo
Seja f : R2 \ {(0, 0)} → R a função definida por
f(x, y) =x2 − y2
x2 + y2.
Considerando os conjuntos
A ={
(x, 0) ∈ R2 : x ∈ R \ {0}}
e B ={
(0, y) ∈ R2 : y ∈ R \ {0}}
temos
lim(x,y)→(0,0)
(x,y)∈A
f(x, y) = limx→0
f(x, 0) = limx→0
x2
x2= lim
x→01 = 1
e
lim(x,y)→(0,0)
(x,y)∈B
f(x, y) = limy→0
f(0, y) = limy→0
−y2
y2= lim
y→0−1 = −1.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 170 / 427
§2.3.2 Limites relativos e limites direccionais
Exemplo (continuação)
Comolim
(x,y)→(0,0)(x,y)∈A
f(x, y) 6= lim(x,y)→(0,0)
(x,y)∈B
f(x, y),
não existelim
(x,y)→(0,0)f(x, y).
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 171 / 427
§2.3.2 Limites relativos e limites direccionais
Para funções reais de variável real, f : D ⊆ R → R, considerando osconjuntos
D+a = {x ∈ D : x > a} = D∩ ]a,+∞[
eD−a = {x ∈ D : x < a} = D∩ ] − ∞, a[,
obtemos os limites laterais à direita e à esquerda da seguinteforma
limx→a+
f(x) = limx→ax∈D+
a
f(x)
elimx→a−
f(x) = limx→ax∈D−
a
f(x),
desde que a seja ponto de acumulação de D+a e de D−
a , respectivamente.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 172 / 427
§2.3.2 Limites relativos e limites direccionais
A generalização natural dos limites laterais a funções
f : D ⊆ Rn → Rm
é dada pelos limites direccionais. Se a e v são elementos de Rn, com v 6= 0,então
{x ∈ Rn : x = a+ tv, t ∈ R+
}
é a semi-recta de origem a e com a direcção e o sentido de v. Dada uma função
f : D ⊆ Rn → Rm,
fazendoA =
{x ∈ D : x = a+ tv, t ∈ R+
},
e supondo que a é ponto de acumulação de A, chama-se a
limx→ax∈A
f(x)
limite (direccional) de f no ponto a segundo v. Este limite obtém-secalculando
limt→0+
f(a+ tv).
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 173 / 427
§2.3.2 Limites relativos e limites direccionais
Observações
a) Sejam D um subconjunto de Rn,
f : D ⊆ Rn → R
uma função e a, v ∈ Rn. Se existe
limt→0+
f(a+ tv),
então, fazendo u = λv, λ ∈ R+, também existe
limt→0+
f(a+ tu)
e
limt→0+
f(a+ tv) = limt→0+
f(a+ tu).
b) Tendo em conta a observação anterior, para calcular os limitesdireccionais basta considerar vectores de norma um. Assim, para funções
f : D ⊆ R2 → R,
basta considerar vectoresv = (cosα, senα) , α ∈ [0, 2π[.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 174 / 427
§2.3.2 Limites relativos e limites direccionais
Exemplo
Consideremos novamente a função f : R2 \ {(0, 0)} → R definida por
f(x, y) =x2 − y2
x2 + y2.
Fazendov = (cosα, sen α) ,
com α ∈ [0, 2π[, temos
limt→0+
f(0 + t cosα, 0 + t senα) = limt→0+
t2 cos2 α− t2 sen2 α
t2 cos2 α+ t2 sen2 α
= cos2 α− sen2 α
e, como os limites direccionais dependem do vector v, podemos concluirque não existe
lim(x,y)→(0,0)
f(x, y).
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 175 / 427
§2.3.2 Limites relativos e limites direccionais
Para funções f : D ⊆ R → R é fácil provar que se existem
limx→a+
f(x) e limx→a−
f(x)
elimx→a+
f(x) = limx→a−
f(x),
então também existelimx→a
f(x)
elimx→a
f(x) = limx→a+
f(x) = limx→a−
f(x).
No entanto, para funções
f : D ⊆ Rn → Rm, n > 1,
é possível existirem e serem iguais todos os limites direccionais, sem queo limite da função exista. Vejamos um exemplo em que isso acontece.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 176 / 427
§2.3.2 Limites relativos e limites direccionais
Exemplo – f(x, y) = x2y/(x4 + y2)
No ponto (0, 0) todos os limites direccionais da função
f : R2 \ {(0, 0)} → R
definida por
f(x, y) =x2y
x4 + y2
são iguais a zero. De facto, fazendo
v = (cosα, sen α) ,
com α ∈ [0, 2π[, temos, para α ∈ ]0, π[ ∪ ]π, 2π[,
limt→0+
f((0, 0) + tv) = limt→0+
f(t cosα, t sen α) = limt→0+
t3 cos2 α senαt4 cos4 α+ t2 sen2 α
= limt→0+
t cos2 α senαt2 cos4 α+ sen2 α
=0
0 + sen2 α= 0.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 177 / 427
§2.3.2 Limites relativos e limites direccionais
Exemplo (continuação) – f(x, y) = x2y/(x4 + y2)
Se α = 0 vem
limt→0+
f(t, 0) = limt→0+
t20t4 + 02
= limt→0+
0 = 0
e se α = π temos
limt→0+
f(−t, 0) = limt→0+
(−t)20(−t)4 + 02
= limt→0+
0 = 0.
Assim, todos os limites direccionais são iguais a zero.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 178 / 427
§2.3.2 Limites relativos e limites direccionais
Exemplo (continuação) – f(x, y) = x2y/(x4 + y2)
No entanto, considerando o conjunto
A ={
(x, y) ∈ R2 \ {(0, 0)} : y = x2}
temos
lim(x,y)→(0,0)
x∈A
f(x, y) = limx→0
f(x, x2) = limx→0
x2 · x2
x4 + (x2)2
= limx→0
x4
2x4= lim
x→0
12
=12
que é diferente dos limites direccionais. Logo não existe
lim(x,y)→(0,0)
x2y
x4 + y2.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 179 / 427
Índice
1 Equações diferenciais ordinárias
2 Funções de Rn em Rm: limites e continuidadeBreves noções de topologia em Rn
Funções de Rn em Rm
LimitesContinuidade
Definição, propriedades e exemplosTeorema de Weierstrass
3 Cálculo diferencial em Rn
4 Cálculo integral em Rn
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 180 / 427
Índice
1 Equações diferenciais ordinárias
2 Funções de Rn em Rm: limites e continuidadeBreves noções de topologia em Rn
Funções de Rn em Rm
LimitesContinuidade
Definição, propriedades e exemplosTeorema de Weierstrass
3 Cálculo diferencial em Rn
4 Cálculo integral em Rn
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 181 / 427
§2.4.1 Definição, propriedades e exemplos
Sejam D um subconjunto de Rn,
f : D ⊆ Rn → Rm
uma função e a ∈ D. Diz-se que f é contínua no ponto a se paracada ε > 0, existir δ > 0 tal que
‖f(x) − f(a)‖ < ε para qualquer x ∈ D tal que ‖x− a‖ < δ.
Simbolicamente,
f é contínua em a
⇔ ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ D (‖x− a‖ < δ ⇒ ‖f(x) − f(a)‖ < ε) .
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 182 / 427
§2.4.1 Definição, propriedades e exemplos
Assim temos a seguinte interpretação geométrica de continuidade numponto.
Rn
DRm
f(D)
f
a
f(a)f(a)ε
δ a
x f(x)
Função de Rn em Rm contínua no ponto a
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 183 / 427
§2.4.1 Definição, propriedades e exemplos
Dizemos que a ∈ D é um ponto de descontinuidade de
f : D ⊆ Rn → Rm
se f não é contínua em a.
Uma funçãof : D ⊆ Rn → Rm
é contínua se for contínua em todos os pontos de D.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 184 / 427
§2.4.1 Definição, propriedades e exemplos
Observações
a) Ao contrário do que acontece na definição de limite, só faz sentidoconsiderar pontos do domínio D quando estamos a investigar acontinuidade de uma função.
b) Se a é um ponto isolado de D, então a função f : D → Rm é contínua ema. De facto, dado ε > 0, basta escolher δ > 0 tal que
Bδ(a) ∩D = {a} .Assim, a condição
x ∈ D ∧ ‖x− a‖ < δ é equivalente a x = a
e, por conseguinte,
‖f(x) − f(a)‖ = 0 < ε.
Em particular, se D só tem pontos isolados, então qualquer funçãof : D → Rm é contínua.
c) Se a ∈ D é um ponto de acumulação de D, então f : D → Rm é contínuaem a se e só se
limx→a
f(x) = f(a).
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 185 / 427
§2.4.1 Definição, propriedades e exemplos
Exemplos
a) Num exemplo anterior estudamos a função
f : R2 → R3
dada porf(x, y) = (x+ y, sen(x+ 2y), cos x)
e vimos quelim
(x,y)→(π/2,0)f(x, y) = (π/2, 1, 0) .
Comof(π/2, 0) = (π/2, 1, 0) ,
a função é contínua no ponto (π/2, 0).
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 186 / 427
§2.4.1 Definição, propriedades e exemplos
Exemplos (continuação)
b) Seja f : R2 → R a função é definida por
f(x, y) =
x2 − y2
x2 + y2se (x, y) 6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0).Fazendo
A ={
(x, y) ∈ R2 : x = 0}
e B ={
(x, y) ∈ R2 : y = 0},
temos
lim(x,y)→(0,0)
x∈A
f(x, y) = limy→0
f(0, y) = limy→0
02 − y2
02 + y2= lim
y→0
−y2
y2= lim
y→0−1 = −1
e
lim(x,y)→(0,0)
x∈B
f(x, y) = limx→0
f(x, 0) = limx→0
x2 − 02
x2 + 02= lim
x→0
x2
x2= lim
x→01 = 1.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 187 / 427
§2.4.1 Definição, propriedades e exemplos
Exemplos (continuação)
b) (continuação) Como
lim(x,y)→(0,0)
x∈A
f(x, y) 6= lim(x,y)→(0,0)
x∈B
f(x, y),
não existe
lim(x,y)→(0,0)
x2 − y2
x2 + y2.
Logo a função não é contínua em (0, 0).
No entanto, em qualquer ponto (a, b) 6= (0, 0) esta função é contínuaporque
lim(x,y)→(a,b)
f(x, y) = lim(x,y)→(a,b)
x2 − y2
x2 + y2=a2 − b2
a2 + b2= f(a, b).
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 188 / 427
§2.4.1 Definição, propriedades e exemplos
Propriedades
a) Sejamf : D ⊆ Rn → Rm
uma função tal quef = (f1, . . . , fm)
e a um elemento de D. Então
f é contínua em a
se e só se todas as suas funções coordenadas
fi são contínuas em a.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 189 / 427
§2.4.1 Definição, propriedades e exemplos
Propriedades (continuação)
b) Sejamf, g : D ⊆ Rn → Rm
duas funções contínuas em a ∈ D e
α : D → R
uma função contínua em a. Então
f + g e αf são contínuas em a
e, se α(a) 6= 0, então
1α
é contínua em a.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 190 / 427
§2.4.1 Definição, propriedades e exemplos
Propriedades (continuação)
c) Sejamf : Df ⊆ Rn → Rm
eg : Dg ⊆ Rm → Rk
duas funções tais que f(Df ) ⊆ Dg. Se
f é contínua em a ∈ Df
eg é contínua em f(a),
entãog ◦ f é contínua em a.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 191 / 427
§2.4.1 Definição, propriedades e exemplos
Exemplo
Seja f : R2 → R a função dada por
f(x, y) =
x2y
x4 + y2se (x, y) 6= (0, 0),
0 se (x, y) = (0, 0).
Já vimos num exemplo anterior que fazendo
A ={
(x, y) ∈ R2 : y = 0}
e B ={
(x, y) ∈ R2 : y = x2},
temoslim
(x,y)→(0,0)x∈A
f(x, y) = limx→0
f(x, 0) = limx→0
x2 0x4 + 02
= limx→0
0x4
= limx→0
0 = 0
e
lim(x,y)→(0,0)
x∈B
f(x, y) = limx→0
f(x, x2) = limx→0
x2 x2
x4 + (x2)2= lim
x→0
x4
2x4= lim
x→0
12
=12.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 192 / 427
§2.4.1 Definição, propriedades e exemplos
Exemplo (continuação)
Comolim
(x,y)→(0,0)x∈A
f(x, y) 6= lim(x,y)→(0,0)
x∈B
f(x, y),
não existe
lim(x,y)→(0,0)
x2y
x4 + y2
e, portanto, a função não é contínua em (0, 0).
No entanto, em qualquer ponto (a, b) 6= (0, 0) esta função é contínuaporque pode ser escrita como a composição de funções contínuas.
Outra forma de provarmos que f é contínua em qualquer pontos(a, b) 6= (0, 0) é observarmos que
lim(x,y)→(a,b)
f(x, y) = lim(x,y)→(a,b)
x2y
x4 + y2=
a2b
a4 + b2= f(a, b).
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 193 / 427
Índice
1 Equações diferenciais ordinárias
2 Funções de Rn em Rm: limites e continuidadeBreves noções de topologia em Rn
Funções de Rn em Rm
LimitesContinuidade
Definição, propriedades e exemplosTeorema de Weierstrass
3 Cálculo diferencial em Rn
4 Cálculo integral em Rn
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 194 / 427
§2.4.2 Teorema de Weierstrass
Sejaf : D ⊆ Rn → R
uma função escalar e A um subconjunto não vazio de D.
Dizemos que f tem um máximo (absoluto) no ponto a ∈ A ou quef(a) é um máximo (absoluto) de f em A se
f(x) 6 f(a) para todo o x ∈ A.
Quandof(x) > f(a) para todo o x ∈ A,
dizemos que f tem um mínimo (absoluto) no ponto a ∈ A ou quef(a) é um mínimo (absoluto) de f em A.
Os máximos e mínimos (absolutos) de f em a dizem-se extremosabsolutos de f em A.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 195 / 427
§2.4.2 Teorema de Weierstrass
Teorema de Weierstrass
Sejaf : D ⊆ Rn → R
uma função contínua num subconjunto não vazio, fechado e limitadoA ⊆ D. Então f tem máximo e mínimo em A.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 196 / 427
§2.4.2 Teorema de Weierstrass
Exemplo
SejamA =
{
(x, y) ∈ R2 : |x| 6 1, |y| 6 1}
e f a função dada por
f(x, y) = x+ y sen x.
A função f é contínua em R2 e, portanto, é contínua em A. Como A éfechado e limitado, f tem máximo e mínimo no conjunto A.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 197 / 427
Índice
1 Equações diferenciais ordinárias
2 Funções de Rn em Rm: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em Rn
Derivadas parciais e derivadas direccionaisDiferenciabilidade de funções de Rn em Rm
Aplicações
4 Cálculo integral em Rn
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 198 / 427
Índice
1 Equações diferenciais ordinárias
2 Funções de Rn em Rm: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em Rn
Derivadas parciais e derivadas direccionaisDerivadas parciaisDerivadas parciais de ordem superiorGradiente, laplaciano, matriz jacobiana, divergência e rotacionalDerivadas direccionais
Diferenciabilidade de funções de Rn em Rm
Aplicações
4 Cálculo integral em Rn
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 199 / 427
Índice
1 Equações diferenciais ordinárias
2 Funções de Rn em Rm: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em Rn
Derivadas parciais e derivadas direccionaisDerivadas parciaisDerivadas parciais de ordem superiorGradiente, laplaciano, matriz jacobiana, divergência e rotacionalDerivadas direccionais
Diferenciabilidade de funções de Rn em Rm
Aplicações
4 Cálculo integral em Rn
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 200 / 427
§3.1.1 Derivadas parciais
Comecemos por recordar como se define derivada de funções reais devariável real. Sejam D um subconjunto não vazio de R,
f : D → R
e a ∈ D um ponto de acumulação de D. Diz-se que f é derivável oudiferenciável em a se existe (e é finito) o limite:
limx→a
f(x) − f(a)x− a
.
Tal limite (quando existe) diz-se a derivada de f no ponto a e
representa-se por f ′(a), Df(a) ou ainda pordf
dx(a).
Fazendo a mudança de variável x = a+ h, temos
f ′(a) = limh→0
f(a+ h) − f(a)h
.
Aqui têm apenas de se considerar os valores de h tais que a+ h ∈ D.António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 201 / 427
§3.1.1 Derivadas parciais
Diz-se que a funçãof : D ⊆ R → R
é derivável ou diferenciável em D se for derivável em todo o pontode D e à nova função
f ′ : D ⊆ R → R,
que a cada ponto x ∈ D faz corresponder f ′(x), chama-se derivada def e representa-se também por
Df oudf
dx.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 202 / 427
§3.1.1 Derivadas parciais
O quocientef(a+ h) − f(a)
h
representa o declive da recta que passa pelos pontos
(a, f(a)) e (a+ h, f(a+ h)) .
Fazendo h tender para zero, a recta que passa nos pontos
(a, f(a)) e (a+ h, f(a+ h)) ,
vai tender para a recta tangente ao gráfico de f e que passa no pontos(a, f(a)). Assim, geometricamente, a derivada de uma função numponto do domínio é o declive da recta tangente ao gráfico da função noponto considerado. Portanto, a recta tangente ao gráfico de umafunção f no ponto (a, f(a)) é a recta de equação
y = f(a) + f ′(a)(x − a).
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 203 / 427
§3.1.1 Derivadas parciais
b
a
f(a)
b
a+ h
f(a + h)
b
b
a
f(a)
b
b
bb
a+ h
f(a + h)
b
b
a
f(a) b
bb
b
a+ h
f(a + h)
b
b
a
f(a) b
bb
b
b
a+ h
f(a + h)
b
b
b
y = f(a) + f ′(a)(x − a)
α
f ′(a) = tgα
Interpretação geométrica do conceito de derivada
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 204 / 427
§3.1.1 Derivadas parciais
Pretendemos generalizar o conceito de derivada a funções
f : D ⊆ Rn → Rm.
Por uma questão de economia de escrita, consideraremos, inicialmente,funções
f : D ⊆ R2 → R.
Como habitualmente, escreveremos (x, y) em vez de (x1, x2) pararepresentar os elementos de R2.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 205 / 427
§3.1.1 Derivadas parciais
Sejam D um subconjunto não vazio de R2 e
f : D ⊆ R2 → R
uma função. A derivada parcial de f em relação a x (ou em ordem a
x) é a função∂f
∂xque se obtém derivando (caso a derivada exista) f em
relação a x, tratando y como se fosse uma constante. Por exemplo, sef : R2 → R é a função definida por
f(x, y) = 2x3y − 4x sen(πy),
temos∂f
∂x(x, y) = 6x2y − 4 sen(πy).
De igual modo, a derivada parcial de f em relação a y (ou em ordem a
y) é a função∂f
∂yque se obtém derivando (caso a derivada exista) f em relação
a y, tratando x como se fosse uma constante. Assim, no exemplo dado temos
∂f
∂y(x, y) = 2x3 − 4πx cos(πy).
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 206 / 427
§3.1.1 Derivadas parciais
Vejamos como definir de modo mais formal as derivadas parciais.Sejam D um subconjunto de R2,
f : D ⊆ R2 → R
uma função e (a, b) ∈ D. Suponhamos que (a, b) é um ponto deacumulação de
{(x, y) ∈ D : y = b} .Representa-se por
∂f
∂x(a, b), f ′
x(a, b) ou Dxf(a, b),
a derivada parcial de f em relação a x (ou em ordem a x) noponto (a, b) e define-se da seguinte forma
∂f
∂x(a, b) = lim
h→0
f(a+ h, b) − f(a, b)h
quando este limite exista e seja finito.António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 207 / 427
§3.1.1 Derivadas parciais
Analogamente, se (a, b) ∈ D é ponto de acumulação de
{(x, y) ∈ D : x = a} ,
representa-se por
∂f
∂y(a, b), f ′
y(a, b) ou Dyf(a, b),
a derivada parcial de f em ordem a y no ponto (a, b) e define-seda seguinte forma
∂f
∂y(a, b) = lim
k→0
f(a, b+ k) − f(a, b)k
,
quando este limite existe e é finito.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 208 / 427
§3.1.1 Derivadas parciais
x
y
z
b
a
b
f(a, b)
bb
α
∂f
∂x(a, b) = tgα
b
β
∂f
∂y(a, b) = tg β
Interpretação geométrica das derivadas parciais
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 209 / 427
§3.1.1 Derivadas parciais
Sejaf : D ⊆ R2 → R
uma função. A função que a cada (x, y) associa∂f
∂x(x, y) designa-se por
(função) derivada parcial de f em ordem a x e representa-se por
∂f
∂x, f ′
x ou Dxf.
Obviamente, o seu domínio é o conjunto{
(x, y) ∈ D : existe∂f
∂x(x, y)
}
.
Do mesmo modo, define-se (função) derivada parcial de f emordem a y que se representa por
∂f
∂y, f ′
y ou Dyf.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 210 / 427
§3.1.1 Derivadas parciais
Exemplos de derivadas parciais
a) Considerando a funçãof : R2 → R
definida porf(x, y) = x2 + y2 + sen(xy)
temos∂f
∂x(x, y) = 2x+ y cos(xy)
e∂f
∂y(x, y) = 2y + x cos(xy).
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 211 / 427
§3.1.1 Derivadas parciais
Exemplos de derivadas parciais (continuação)
b) A funçãof : R2 → R
definida por
f(x, y) = sen(
x2 + y3)
+ ex−cos(xy)
tem as seguintes derivadas parciais
∂f
∂x(x, y) = 2x cos
(
x2 + y3)
+ (1 + y sen (xy)) ex−cos(xy)
e∂f
∂y(x, y) = 3y2 cos
(
x2 + y3)
+ x sen (xy) ex−cos(xy) .
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 212 / 427
§3.1.1 Derivadas parciais
Exemplos de derivadas parciais (continuação)
c) Seja f : R2 → R a função definida por
f(x, y) =
(x− 1)y2
(x− 1)2 + y2se (x, y) 6= (1, 0),
0 se (x, y) = (1, 0).
Então
∂f
∂x(1, 0) = lim
h→0
f(1 + h, 0) − f(1, 0)h
= limh→0
(1+h−1)02
(1+h−1)2+02 − 0
h
= limh→0
0h2
h= lim
h→0
0h
= limh→0
0 = 0
e
∂f
∂y(1, 0) = lim
k→0
f(1, 0 + k) − f(1, 0)k
= limk→0
(1−1)k2
(1−1)2+k2 − 0
k
= limk→0
0k2
k= lim
k→0
0k
= limk→0
0 = 0.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 213 / 427
§3.1.1 Derivadas parciais
Exemplos de derivadas parciais (continuação)
d) Seja f : R2 → R a função dada por
f(x, y) =
x2
x2 + y2se (x, y) 6= (0, 0),
0 se (x, y) = (0, 0).
Então
∂f
∂x(0, 0) = lim
h→0
f(0 + h, 0) − f(0, 0)h
= limh→0
h2
h2+02 − 0
h= lim
h→0
h2
h2
h= lim
h→0
1h
e este limite não existe. Logo f não tem derivada parcial em ordem a x noponto (0, 0). Por outro lado,
∂f
∂y(0, 0) = lim
k→0
f(0, 0 + k) − f(0, 0)k
= limk→0
02
02+k2 − 0
k
= limk→0
0k2
k= lim
k→0
0k
= limk→0
0 = 0.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 214 / 427
§3.1.1 Derivadas parciais
No caso geral em que temos uma função
f : D ⊆ Rn → Rm
definimos, para a = (a1, . . . , an), as seguintes derivadas parciais:
∂f
∂x1(a) =
∂f
∂x1(a1, . . . , an) = lim
h→0
f(a1 + h, a2, . . . , an) − f(a1, . . . , an)h
∂f
∂x2(a) =
∂f
∂x2(a1, . . . , an) = lim
h→0
f(a1, a2 + h, a3, . . . , an) − f(a1, . . . , an)h
...
∂f
∂xn(a) =
∂f
∂xn(a1, . . . , an) = lim
h→0
f(a1, . . . , an−1, an + h) − f(a1, . . . , an)h
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 215 / 427
§3.1.1 Derivadas parciais
A função que a cada x = (x1, . . . , xn) associa∂f
∂x1(x) designa-se por
(função) derivada parcial de f em ordem a x1 e representa-se por
∂f
∂x1, f ′
x1ou Dx1f.
Obviamente, o seu domínio é o conjunto{
x ∈ D : existe∂f
∂x1(x)}
.
Do mesmo modo, define-se (função) derivada parcial de f emordem a xi, i = 2, . . . , n, que se representa por
∂f
∂xi, f ′
xiou Dxi
f.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 216 / 427
§3.1.1 Derivadas parciais
Das propriedades dos limites resulta imediatamente que se
f : D ⊆ Rn → Rm e f = (f1, . . . , fm) , m > 1
temos
∂f
∂x1(a) =
(∂f1
∂x1(a),
∂f2
∂x1(a), . . . ,
∂fm∂x1
(a))
∂f
∂x2(a) =
(∂f1
∂x2(a),
∂f2
∂x2(a), . . . ,
∂fm∂x2
(a))
...
∂f
∂xn(a) =
(∂f1
∂xn(a),
∂f2
∂xn(a), . . . ,
∂fm∂xn
(a))
.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 217 / 427
Índice
1 Equações diferenciais ordinárias
2 Funções de Rn em Rm: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em Rn
Derivadas parciais e derivadas direccionaisDerivadas parciaisDerivadas parciais de ordem superiorGradiente, laplaciano, matriz jacobiana, divergência e rotacionalDerivadas direccionais
Diferenciabilidade de funções de Rn em Rm
Aplicações
4 Cálculo integral em Rn
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 218 / 427
§3.1.2 Derivadas parciais de ordem superior
Sejam D um subconjunto de R2 e
f : D ⊆ R2 → R
uma função. Suponhamos existe a derivada parcial (de primeira ordem)de f em relação a x. Designaremos por
f ′′x2, f ′′
xx,∂2f
∂x2, D2
x2f ou D2xxf
a derivada(f ′x
)′x =
∂
∂x
(∂f
∂x
)
,
caso exista, e chamar-lhe-emos derivada parcial de segunda ordemda função f duas vezes em ordem a x.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 219 / 427
§3.1.2 Derivadas parciais de ordem superior
Do mesmo modo se definem a derivada de segunda ordem de fduas vezes em relação a y:
f ′′y2 ≡ f ′′
yy ≡ ∂2f
∂y2≡ D2
y2f ≡ D2yyf =
(
f ′y
)′
y=
∂
∂y
(∂f
∂y
)
;
a derivada de segunda ordem de f em relação a x e depois emrelação a y:
f ′′xy ≡ ∂2f
∂y∂x≡ D2
xyf =(f ′x
)′y =
∂
∂y
(∂f
∂x
)
;
a derivada de segunda ordem de f em relação a y e depois emrelação a x:
f ′′yx ≡ ∂2f
∂x∂y≡ D2
yxf =(
f ′y
)′
x=
∂
∂x
(∂f
∂y
)
.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 220 / 427
§3.1.2 Derivadas parciais de ordem superior
A partir das derivadas de segunda ordem podemos definir as derivadas deterceira ordem, e assim sucessivamente como é ilustrado no esquema seguinte.
f
f ′x ≡
∂f
∂x
f ′y ≡
∂f
∂y
f ′′x2 ≡
∂2f
∂x2
f ′′xy ≡
∂2f
∂y∂x
f ′′yx ≡
∂2f
∂x∂y
f ′′y2 ≡
∂2f
∂y2
f ′′′x3 ≡
∂3f
∂x3
f ′′′x2y ≡
∂3f
∂y∂x2
f ′′′xyx ≡
∂3f
∂x∂y∂x
f ′′′xy2 ≡
∂3f
∂y2∂x
f ′′′yx2 ≡
∂3f
∂x2∂y
f ′′′yxy ≡
∂3f
∂y∂x∂y
f ′′′y2x ≡
∂3f
∂x∂y2
f ′′′y3 ≡
∂3f
∂y3
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 221 / 427
§3.1.2 Derivadas parciais de ordem superior
Sejam D um subconjunto de Rn, n > 1, e
f : D ⊆ Rn → Rm
uma função. Dados dois inteiros positivos i e j inferiores ou iguais a n,
supondo que existe∂f
∂xi, representaremos por
∂2f
∂xj∂xiou f ′′
xixj
a derivada parcial de∂f
∂xiem ordem a xj, caso exista, e
chamar-lhe-emos derivada parcial de segunda ordem de fprimeiro em relação a xi e depois em relação a xj .
De forma semelhante podemos definir as derivadas de ordem três, deordem quatro, etc.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 222 / 427
§3.1.2 Derivadas parciais de ordem superior
Exemplos – derivadas parciais de segunda ordem
a) Seja f : R2 → R a função dada por
f(x, y) = x4 + 3xy2 + 4y3.
Então∂f
∂x(x, y) = 4x3 + 3y2 e
∂f
∂y(x, y) = 6xy + 12y2.
Assim,∂2f
∂x2(x, y) = 12x2 e
∂2f
∂y∂x(x, y) = 6y,
enquanto que
∂2f
∂x∂y(x, y) = 6y e
∂2f
∂y2(x, y) = 6x+ 24y.
Este exemplo parece sugerir que as derivadas cruzadas (ou mistas)∂2f
∂y∂xe∂2f
∂x∂ysão iguais.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 223 / 427
§3.1.2 Derivadas parciais de ordem superior
Exemplos – derivadas parciais de segunda ordem (continuação)
b) Seja f : R2 → R a função definida por
f(x, y) =
x3y
x2 + y2se (x, y) 6= (0, 0),
0 se (x, y) = (0, 0).
Vamos calcular f ′′xy(0, 0) e f ′′
yx(0, 0). Como
f ′′xy(0, 0) = lim
k→0
f ′x(0, k) − f ′
x(0, 0)k
e
f ′′yx(0, 0) = lim
h→0
f ′y(h, 0) − f ′
y(0, 0)
h,
temos de calcular f ′x(0, y) e f ′
y(x, 0).
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 224 / 427
§3.1.2 Derivadas parciais de ordem superior
Exemplos – derivadas parciais de segunda ordem (continuação)
b) (continuação) Atendendo a que, para y 6= 0,
f ′x(0, y) = lim
h→0
f(h, y)−f(0, y)h
= limh→0
h3y
h2+y2−0
h= lim
h→0
h2y
h2+y2=
0y2
= 0
e
f ′x(0, 0) = lim
h→0
f(h, 0) − f(0, 0)h
= limh→0
h3.0h2 + 02
− 0
h= lim
h→0
0h
= limh→0
0 = 0
temosf ′x(0, y) = 0.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 225 / 427
§3.1.2 Derivadas parciais de ordem superior
Exemplos – derivadas parciais de segunda ordem (continuação)
b) (continuação) Por outro lado, para x 6= 0, tem-se
f ′y(x, 0) = lim
k→0
f(x, k)−f(x, 0)k
= limk→0
x3k
x2+k2−0
k= lim
k→0
x3
x2+k2=x3
x2= x
e
f ′y(0, 0) = lim
k→0
f(0, k) − f(0, 0)k
= limk→0
03.k
02 + k2− 0
k= lim
k→0
0k
= limk→0
0 = 0
temosf ′y(x, 0) = x.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 226 / 427
§3.1.2 Derivadas parciais de ordem superior
Exemplos – derivadas parciais de segunda ordem (continuação)
b) (continuação) Usando o facto de
f ′x(0, y) = 0 e f ′
y(x, 0) = x,
tem-se
f ′′xy(0, 0) = lim
k→0
f ′x(0, k) − f ′
x(0, 0)k
= limk→0
0 − 0k
= limk→0
0k
= limk→0
0 = 0
e
f ′′yx(0, 0) = lim
h→0
f ′y(h, 0) − f ′
y(0, 0)
h= lim
h→0
h− 0h
= limh→0
h
h= lim
h→01 = 1,
o que prova que as derivadas mistas (ou cruzadas) f ′′xy e f ′′
yx podemser diferentes!
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 227 / 427
§3.1.2 Derivadas parciais de ordem superior
Exemplos – derivadas parciais de segunda ordem (continuação)
b) (continuação) Para esta função f : R2 → R, que, recorde-se, é dadapor
f(x, y) =
x3y
x2 + y2se (x, y) 6= (0, 0),
0 se (x, y) = (0, 0),
tem-se
f ′x(x, y) =
x4y + 3x2y3
(x2 + y2)2 se (x, y) 6= (0, 0),
0 se (x, y) = (0, 0),
e
f ′y(x, y) =
x5 − x3y2
(x2 + y2)2 se (x, y) 6= (0, 0),
0 se (x, y) = (0, 0).
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 228 / 427
§3.1.2 Derivadas parciais de ordem superior
Exemplos – derivadas parciais de segunda ordem (continuação)
b) (continuação) Além disso,
f ′′xx(x, y) =
6xy5 − 2x3y3
(x2 + y2)3se (x, y) 6= (0, 0),
0 se (x, y) = (0, 0),
f ′′xy(x, y) =
x6 + 6x4y2 − 3x2y4
(x2 + y2)3se (x, y) 6= (0, 0),
0 se (x, y) = (0, 0),
f ′′yx(x, y) =
x6 + 6x4y2 − 3x2y4
(x2 + y2)3se (x, y) 6= (0, 0),
1 se (x, y) = (0, 0),
f ′′yy(x, y) =
2x3y3 − 6x5y
(x2 + y2)3se (x, y) 6= (0, 0),
0 se (x, y) = (0, 0).
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 229 / 427
Índice
1 Equações diferenciais ordinárias
2 Funções de Rn em Rm: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em Rn
Derivadas parciais e derivadas direccionaisDerivadas parciaisDerivadas parciais de ordem superiorGradiente, laplaciano, matriz jacobiana, divergência e rotacionalDerivadas direccionais
Diferenciabilidade de funções de Rn em Rm
Aplicações
4 Cálculo integral em Rn
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 230 / 427
§3.1.3 Gradiente, laplaciano, matriz jacobiana, divergência e rotacional
Sejamf : D ⊆ Rn → R
uma função e a ∈ D. Chama-se gradiente de f no ponto a, erepresenta-se por
(∇f) (a) ou (grad f) (a),
ao vector
(∇f) (a) =(∂f
∂x1(a), . . . ,
∂f
∂xn(a))
e designa-se por laplaciano de f no ponto a, e representa-se por
(∆f) (a) ou(
∇2f)
(a),
a expressão
(∆f) (a) =∂2f
∂x21
(a) + · · · +∂2f
∂x2n
(a)
desde que existam as derivadas parciais envolvidas nas definições.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 231 / 427
§3.1.3 Gradiente, laplaciano, matriz jacobiana, divergência e rotacional
Exemplos – gradiente e laplaciano
Seja
f : R3 → R
a função definida por
f(x, y, z) = sen(xy2z3).Então
∇f =(∂f
∂x,∂f
∂y,∂f
∂z
)
=(y2z3 cos(xy2z3), 2xyz3 cos(xy2z3), 3xy2z2 cos(xy2z3)
)
e
∆f =∂2f
∂x2+∂2f
∂y2+∂2f
∂z2
= −y4z6 sen(xy2z3) +(2xz3 cos(xy2z3) − 4x2y2z6 sen(xy2z3)
)
+(6xy2z cos(xy2z3) − 9x2y4z4 sen(xy2z3)
)
= −(y4z6 + 4x2y2z6 + 9x2y4z4
)sen(xy2z3) +
(2xz3 + 6xy2z
)cos(xy2z3).
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 232 / 427
§3.1.3 Gradiente, laplaciano, matriz jacobiana, divergência e rotacional
Dada uma funçãof : D ⊆ Rn → Rm
e a ∈ D, à matriz
Ja(f) =
∂f1
∂x1(a) · · · ∂f1
∂xn(a)
.... . .
...∂fm∂x1
(a) · · · ∂fm∂xn
(a)
chamamos matriz jacobiana de f no ponto a, desde que as derivadasenvolvidas na definição existam.
Quando n = m, o determinante de J diz-se o jacobiano da função f erepresenta-se por
∂ (f1, . . . , fn)∂ (x1, . . . , xn)
.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 233 / 427
§3.1.3 Gradiente, laplaciano, matriz jacobiana, divergência e rotacional
Exemplo – matriz jacobiana
Sejaf : R3 → R2
a função definida por
f(x, y, z) =(
xy + z2, exy + senx)
.
Então a matriz jacobiana de f é dada por
J(x,y,z)(f) =
∂f1
∂x(x, y, z)
∂f1
∂y(x, y, z)
∂f1
∂z(x, y, z)
∂f2
∂x(x, y, z)
∂f2
∂y(x, y, z)
∂f2
∂z(x, y, z)
=
y x 2z
y exy + cos x x exy 0
.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 234 / 427
§3.1.3 Gradiente, laplaciano, matriz jacobiana, divergência e rotacional
Dada uma funçãof : D ⊆ Rn → Rn
e a ∈ D, a divergência de f no ponto a representa-se por
(div f) (a),
e é definida por
(div f) (a) =∂f1
∂x1(a) +
∂f2
∂x2(a) + · · · +
∂fn∂xn
(a),
desde que as derivadas envolvidas na definição existam. Das definiçõesresulta imediatamente que o laplaciano é a divergência do gradiente.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 235 / 427
§3.1.3 Gradiente, laplaciano, matriz jacobiana, divergência e rotacional
Exemplo – divergência
Sejaf : R3 → R3
a função definida por
f(x, y, z) =(
x2 + xyz2, exz + sen y, x− 3y + z4)
.
Então a divergência de f é dada por
(div f) (x, y, z) =∂f1
∂x(x, y, z) +
∂f2
∂y(x, y, z) +
∂f3
∂z(x, y, z)
= 2x+ yz2 + cos y + 4z3.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 236 / 427
§3.1.3 Gradiente, laplaciano, matriz jacobiana, divergência e rotacional
Dada uma funçãof : D ⊆ R3 → R3
e a ∈ D, designa-se por rotacional de f no ponto a, e representa-se por
(rot f) (a),
o vector
(rot f) (a)
=
(∂f3
∂y(a) −
∂f2
∂z(a),
∂f1
∂z(a) −
∂f3
∂x(a),
∂f2
∂x(a) −
∂f1
∂y(a)
)
=
(∂f3
∂y(a) −
∂f2
∂z(a)
)
e1 +(∂f1
∂z(a) −
∂f3
∂x(a))
e2 +
(∂f2
∂x(a) −
∂f1
∂y(a)
)
e3,
desde que as derivadas parciais envolvidas na definição existam e onde
e1 = (1, 0, 0) , e2 = (0, 1, 0) e e3 = (0, 0, 1) .
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 237 / 427
§3.1.3 Gradiente, laplaciano, matriz jacobiana, divergência e rotacional
A fórmula do rotacional pode ser dada pelo desenvolvimento segundo aprimeira linha do determinante formal
rot f =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
e1 e2 e3
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂zf1 f2 f3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
que é precisamente igual a(∂f3
∂y− ∂f2
∂z
)
e1 +(∂f1
∂z− ∂f3
∂x
)
e2 +(∂f2
∂x− ∂f1
∂y
)
e3.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 238 / 427
§3.1.3 Gradiente, laplaciano, matriz jacobiana, divergência e rotacional
Exemplo – rotacional
Sejaf : R3 → R3
a função definida por
f(x, y, z) =(
x2 + xyz2, exz + sen y, x− 3y + z4)
.
Então o rotacional de f é dado por
(rot f) (x, y, z)
=(∂f3
∂y− ∂f2
∂z
)
e1 +(∂f1
∂z− ∂f3
∂x
)
e2 +(∂f2
∂x− ∂f1
∂y
)
e3
= (−3 − x exz) e1 + (2xyz − 1) e2 +(
z exz − xz2)
e3
=(
−3 − x exz, 2xyz − 1, z exz −xz2)
.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 239 / 427
Índice
1 Equações diferenciais ordinárias
2 Funções de Rn em Rm: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em Rn
Derivadas parciais e derivadas direccionaisDerivadas parciaisDerivadas parciais de ordem superiorGradiente, laplaciano, matriz jacobiana, divergência e rotacionalDerivadas direccionais
Diferenciabilidade de funções de Rn em Rm
Aplicações
4 Cálculo integral em Rn
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 240 / 427
§3.1.4 Derivadas direccionais
Nas definições de derivadas parciais, dadas atrás, consideramosacréscimos da função quando o ponto do domínio percorre segmentosparalelos aos eixos. Este facto sugere que generalizemos a definição dederivadas parcial segundo qualquer direcção.
Dados um subconjunto D de R2, uma função
f : D ⊆ R2 → R,
a = (a1, a2) ∈ D e u = (u1, u2) um vector de R2, chama-se derivadade f no ponto a segundo o vector u ao limite, quando existe,
limt→0
f(a+ tu) − f(a)t
= limt→0
f(a1 + tu1, a2 + tu2) − f(a1, a2)t
e representa-se porf ′u(a) ou Duf(a).
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 241 / 427
§3.1.4 Derivadas direccionais
Quando‖u‖ = 1
as derivadas segundo vectores costumam designar-se por derivadasdireccionais, se bem que será mais correcto falar em derivada dirigidaou derivada radial segundo u pois a derivada, para além de dependerda direcção, também depende do sentido de u.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 242 / 427
§3.1.4 Derivadas direccionais
x
y
z
b
a
b
f(a, b)
b
uu
b
α
f ′u(a, b) = tgα
Interpretação geométrica da derivada segundo um vector u com ‖u‖ = 1.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 243 / 427
§3.1.4 Derivadas direccionais
Exemplo – derivadas direccionais
Consideremos a função f : R2 → R definida por
f(x, y) =
xy2
x2 + y2se (x, y) 6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
Fazendo u = (cosα, senα), α ∈ [0, 2π[, temos
f ′u(0, 0) = lim
t→0
f(0 + t cosα, 0 + t senα) − f(0, 0)t
= limt→0
t cosα t2 sen2 α
t2 cos2 α+ t2 sen2 αt
= limt→0
t3 cosα sen2 α
t3 (cos2 α+ sen2 α)
= sen2 α cosα.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 244 / 427
§3.1.4 Derivadas direccionais
Dada uma função f : D ⊆ R2 → R e considerando os vectorese1 = (1, 0) e e2 = (0, 1), temos
f ′e1
(a) = limt→0
f(a+ te1) − f(a)t
= limt→0
f(a1 + t, a2) − f(a1, a2)t
=∂f
∂x(a)
e
f ′e2
(a) = limt→0
f(a+ te2) − f(a)t
= limt→0
f(a1, a2 + t) − f(a1, a2)t
=∂f
∂y(a).
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 245 / 427
§3.1.4 Derivadas direccionais
Também podemos definir derivadas segundo vectores para funções
f : D ⊆ Rn → Rm.
Assim, sef : D ⊆ Rn → Rm
e a = (a1, . . . , an) ∈ D chama-se derivada de f no ponto a segundoo vector u = (u1, . . . , un) ∈ Rn ao limite, caso este exista,
limt→0
f(a+ tu) − f(a)
t= lim
t→0
f(a1 + tu1, a2 + tu2, . . . , an + tun) − f(a1, a2, . . . , an)
t
e representa-se porf ′u(a) ou Duf(a).
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 246 / 427
§3.1.4 Derivadas direccionais
Quando‖u‖ = 1,
as derivadasf ′u(a)
designam-se por derivadas direccionais, se bem que o mais correctoseria falar em derivada dirigida ou derivada radial segundo u, pois estaderivada para além de depender da direcção também depende dosentido de u.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 247 / 427
§3.1.4 Derivadas direccionais
Se considerarmos em Rn os vectores
e1 = (1, 0, 0, . . . , 0)
e2 = (0, 1, 0, . . . , 0)...
en = (0, 0, . . . , 0, 1)
temos
f ′e1
(a) =∂f
∂x1(a)
f ′e2
(a) =∂f
∂x2(a)
...
f ′en
(a) =∂f
∂xn(a).
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 248 / 427
Índice
1 Equações diferenciais ordinárias
2 Funções de Rn em Rm: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em Rn
Derivadas parciais e derivadas direccionaisDiferenciabilidade de funções de Rn em R
m
Definição e exemplosPropriedades elementaresHiperplano tangente e aproximação linearDerivada da função compostaTeorema de SchwarzTeorema da função implícita
Aplicações
4 Cálculo integral em Rn
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 249 / 427
Índice
1 Equações diferenciais ordinárias
2 Funções de Rn em Rm: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em Rn
Derivadas parciais e derivadas direccionaisDiferenciabilidade de funções de Rn em R
m
Definição e exemplosPropriedades elementaresHiperplano tangente e aproximação linearDerivada da função compostaTeorema de SchwarzTeorema da função implícita
Aplicações
4 Cálculo integral em Rn
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 250 / 427
§3.2.1 Definição e exemplos
Uma das primeiras propriedades do cálculo diferencial de funções reaisde variável real diz que se uma função tem derivada num ponto, entãoa função é contínua nesse ponto. Para funções com mais do que umavariável isso não acontece. É possível existirem todas as derivadasdireccionais, sem que a função seja contínua nesse ponto. Vejamos umexemplo em que isso acontece.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 251 / 427
§3.2.1 Definição e exemplos
Exemplo
Consideremos a função f : R2 → R definida por
f(x, y) =
x2y
x4 + y2se (x, y) 6= (0, 0),
0 se (x, y) = (0, 0).
Comecemos por calcular as derivadas parciais
∂f
∂x(0, 0) = lim
h→0
f(h, 0) − f(0, 0)h
= limh→0
0 − 0h
= limh→0
0h
= limh→0
0 = 0
e
∂f
∂y(0, 0) = lim
k→0
f(0, k) − f(0, 0)k
= limk→0
0 − 0k
= limk→0
0k
= limk→0
0 = 0.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 252 / 427
§3.2.1 Definição e exemplos
Exemplo (continuação)
Por outro lado, fazendou = (cosα, senα) , α ∈ [0, 2π[,
temos
f ′u(0, 0) = lim
t→0
f(0 + t cosα, 0 + t senα) − f(0, 0)t
= limt→0
t2 cos2 α t senαt4 cos4 α+ t2 sen2 α
t
= limt→0
cos2 α senαt2 cos4 α+ sen2 α
=
cos2 α
senαse α ∈ [0, 2π[\ {0, π},
0 se α ∈ {0, π}.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 253 / 427
§3.2.1 Definição e exemplos
Exemplo (continuação)
Vejamos que a função f não é contínua em (0, 0). Fazendo
A ={
(x, y) ∈ R2 : y = 0}
e B ={
(x, y) ∈ R2 : y = x2}
,
temos
lim(x,y)→(0,0)
x∈A
f(x, y) = limx→0
f(x, 0) = limx→0
x2 0x4 + 02
= limx→0
0x4
= limx→0
0 = 0
e
lim(x,y)→(0,0)
x∈B
f(x, y) = limx→0
f(x, x2) = limx→0
x2 x2
x4 + (x2)2= lim
x→0
x4
2x4= lim
x→0
12
=12,
o que mostra que não existe limite no ponto (0, 0) e, portanto, a funçãonão é contínua nesse ponto.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 254 / 427
§3.2.1 Definição e exemplos
Este exemplo mostra que uma função ter derivadas parciais ouderivadas direccionais não é uma condição suficiente para que umafunção seja contínua num ponto. É, portanto, necessário um conceitomais forte.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 255 / 427
§3.2.1 Definição e exemplos
Pode-se provar que
Uma função f : D ⊆ R → R tem derivada no ponto a ∈ D de
acumulação de D se e só se existem um número real c e uma
função r : D∗ → R tais que
f(a+ h) = f(a) + ch+ r(h) para cada h ∈ D∗
e
limh→0
r(h)h
= 0,
onde
D∗ = {h ∈ R : a+ h ∈ D} .Além disso, nas condições anteriores tem-se c = f ′(a).
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 256 / 427
§3.2.1 Definição e exemplos
Assim, dados uma função
f : D ⊆ R2 → R
e um ponto (a, b) interior a D, dizemos que f é diferenciável em (a, b)se existirem as derivadas parciais de f no ponto (a, b) e existir umafunção
r : D∗ → R,
ondeD∗ =
{
(h, k) ∈ R2 : (a+ h, b+ k) ∈ D}
,
tal que
lim(h,k)→(0,0)
r(h, k)‖(h, k)‖ = 0
e
f(a+ h, b+ k) = f(a, b) +∂f
∂x(a, b)h+
∂f
∂y(a, b)k + r(h, k)
para quaisquer (h, k) ∈ D∗.António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 257 / 427
§3.2.1 Definição e exemplos
Fazendo (h, k) → (0, 0) em
f(a+ h, b+ k) = f(a, b) +∂f
∂x(a, b)h+
∂f
∂y(a, b)k + r(h, k)
temos
lim(h,k)→(0,0)
f(a+ h, b+ k)
= lim(h,k)→(0,0)
[
f(a, b) +∂f
∂x(a, b)h +
∂f
∂y(a, b)k + r(h, k)
]
= f(a, b)
o que mostra que uma função é contínua nos pontos onde édiferenciável!
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 258 / 427
§3.2.1 Definição e exemplos
Exemplos
a) Seja f : R2 → R a função definida por
f(x, y) =
x2y2
x2 + y2se (x, y) 6= (0, 0),
0 se (x, y) = (0, 0),
e estudemos a diferenciabilidade de f no ponto (0, 0). Para f serdiferenciável em (0, 0) tem de existir r : R2 → R tal que
lim(h,k)→(0,0)
r(h, k)√h2 + k2
= 0
e
f(h, k) = f(0, 0) +∂f
∂x(0, 0)h +
∂f
∂y(0, 0) k + r(h, k)
para qualquer (h, k) ∈ R2.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 259 / 427
§3.2.1 Definição e exemplos
Exemplos (continuação)
a) (continuação) Assim, calculemos as derivadas parciais de f noponto (0, 0):
∂f
∂x(0, 0) = lim
h→0
f(h, 0) − f(0, 0)h
= limh→0
h2.02
h2 + 02− 0
h= lim
h→0
0h
= limh→0
0 = 0,
∂f
∂y(0, 0) = lim
k→0
f(0, k) − f(0, 0)k
= limk→0
02.k2
02 + k2− 0
k= lim
k→0
0k
= limk→0
0 = 0.
De
f(h, k) = f(0, 0) +∂f
∂x(0, 0)h +
∂f
∂y(0, 0) k + r(h, k)
resulta queh2k2
h2 + k2= r(h, k).
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 260 / 427
§3.2.1 Definição e exemplos
Exemplos (continuação)
a) (continuação) Como
lim(h,k)→(0,0)
r(h, k)√h2 + k2
= lim(h,k)→(0,0)
h2k2
h2+k2√h2 + k2
= lim(h,k)→(0,0)
h2k2
(h2 + k2)√h2 + k2
= lim(h,k)→(0,0)
kh2
h2 + k2
k√h2 + k2
= 0
pois as funçõesh2
h2 + k2e
k√h2 + k2
são limitadas, podemos
concluir que a função é diferenciável em (0, 0).
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 261 / 427
§3.2.1 Definição e exemplos
Exemplos (continuação)
b) Estudemos no ponto (0, 0) a diferenciabilidade da funçãof : R2 → R dada por
f(x, y) =
x2y
x2 + y2se (x, y) 6= (0, 0),
0 se (x, y) = (0, 0).
Comecemos por calcular as derivadas parciais de f no ponto (0, 0):
∂f
∂x(0, 0) = lim
h→0
f(h, 0) − f(0, 0)h
= limh→0
h2.0h2 + 02
− 0
h= lim
h→0
0h
= limh→0
0 = 0
e
∂f
∂y(0, 0) = lim
k→0
f(0, k) − f(0, 0)k
= limk→0
02.k
02 + k2− 0
k= lim
k→0
0k
= limk→0
0 = 0.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 262 / 427
§3.2.1 Definição e exemplos
Exemplos (continuação)
b) (continuação) Para f ser diferenciável no ponto (0, 0) tem de existir
r : R2 → R tal que lim(h,k)→(0,0)
r(h, k)√h2 + k2
= 0 e
f(h, k) = f(0, 0) +∂f
∂x(0, 0)h +
∂f
∂y(0, 0) k + r(h, k).
Desta última igualdade vem
r(h, k) =h2k
h2 + k2.
Vejamos que não existe
lim(h,k)→(0,0)
r(h, k)√h2 + k2
= lim(h,k)→(0,0)
h2k
(h2 + k2)√h2 + k2
.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 263 / 427
§3.2.1 Definição e exemplos
Exemplos (continuação)
b) (continuação) Fazendo A ={
(h, k) ∈ R2 : h = k}
temos
lim(h,k)→(0,0)
(h,k)∈A
r(h, k)√h2 + k2
= limh→0
r(h, h)√h2 + h2
= limh→0
h3
2h2√
2h2= lim
h→0
h
2√
2|h|
e este último limite não existe porque
limh→0+
h
2√
2|h|=
1
2√
2e lim
h→0−
h
2√
2|h|= − 1
2√
2.
Logo não existe
lim(h,k)→(0,0)
r(h, k)√h2 + k2
e, portanto, f não é diferenciável em (0, 0).
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 264 / 427
§3.2.1 Definição e exemplos
Uma função f : D ⊆ Rn → R diz-se diferenciável num ponto interiora = (a1, . . . , an) de D se existirem todas as derivadas parciais de f noponto a e uma função r : D∗ → R, onde
D∗ = {h = (h1, . . . , hn) ∈ Rn : a+ h ∈ D} ,tal que
lim‖h‖→0
r(h)‖h‖ = 0
e
f(a+ h) = f(a) +∂f
∂x1(a)h1 + · · · +
∂f
∂xn(a)hn + r(h),
isto é,f(a1 + h1, . . . , an + hn)
= f(a1, . . . , an) +∂f
∂x1(a1, . . . , an)h1 + · · · +
∂f
∂xn
(a1, . . . , an)hn + r(h1, . . . , hn),
para cada vector h = (h1, . . . , hn) ∈ D∗.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 265 / 427
§3.2.1 Definição e exemplos
Tal como acontecia para funções de R2 para R, se f é diferenciável ema ∈ D, então f é contínua em a.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 266 / 427
§3.2.1 Definição e exemplos
Uma função f : D ⊆ Rn → Rm, com f = (f1, . . . , fm), diz-sediferenciável num ponto a = (a1, . . . , an) interior a D se todas asfunções f1, . . . , fm são diferenciáveis em a.Assim, f é diferenciável em a se as funções f1, . . . , fm admitem, noponto a, derivadas parciais em relação a todas as variáveis e existemfunções r1, . . . , rm : D∗ → R tais que
f1(a+ h) = f1(a) +∂f1
∂x1(a)h1 + · · · +
∂f1
∂xn(a)hn + r1(h)
...
fm(a+ h) = fm(a) +∂fm∂x1
(a)h1 + · · · +∂fm∂xn
(a)hn + rm(h)
para cada h = (h1, . . . , hn) ∈ D∗ = {h = (h1, . . . , hn) ∈ Rn : a+ h ∈ D}e
lim‖h‖→0
r1(h)‖h‖ = · · · = lim
‖h‖→0
rm(h)‖h‖ = 0.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 267 / 427
§3.2.1 Definição e exemplos
Usando matrizes temos que f é diferenciável em a = (a1, . . . , an) se e sóse as funções f1, . . . , fm admitem, no ponto a, derivadas parciais emrelação a todas as variáveis e existem funções
r1, . . . , rm : D∗ → R
tais que
f1(a+ h)
...
fm(a+ h)
=
f1(a)
...
fm(a)
+
∂f1
∂x1(a) · · · ∂f1
∂xn(a)
.... . .
...∂fm
∂x1(a) · · · ∂fm
∂xn(a)
.
h1
...
hn
+
r1(h)
...
rm(h)
para cada h ∈ D∗ e
lim‖h‖→0
r1(h)‖h‖ = · · · = lim
‖h‖→0
rm(h)‖h‖ = 0.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 268 / 427
§3.2.1 Definição e exemplos
Já vimos que a matriz
Ja(f) =
∂f1
∂x1(a) · · · ∂f1
∂xn(a)
.... . .
...∂fm∂x1
(a) · · · ∂fm∂xn
(a)
se designa por matriz jacobiana de f no ponto a.
Quando f é diferenciável em a a matriz jacobiana de f em a designa-sepor derivada de f no ponto a e representa-se por
f ′(a) ou Df(a).
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 269 / 427
Índice
1 Equações diferenciais ordinárias
2 Funções de Rn em Rm: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em Rn
Derivadas parciais e derivadas direccionaisDiferenciabilidade de funções de Rn em R
m
Definição e exemplosPropriedades elementaresHiperplano tangente e aproximação linearDerivada da função compostaTeorema de SchwarzTeorema da função implícita
Aplicações
4 Cálculo integral em Rn
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 270 / 427
§3.2.2 Propriedades elementares
Propriedades
a) Se f, g : D ⊆ Rn → Rm são diferenciáveis num ponto a interior a D,entãoi) f + g é diferenciável em a e
(f + g)′(a) = f ′(a) + g′(a);
ii) para qualquer λ ∈ R, λf é diferenciável em a e
(λf)′(a) = λf ′(a).
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 271 / 427
§3.2.2 Propriedades elementares
Propriedades
b) Se f, g : D ⊆ Rn → R são diferenciáveis num ponto a interior a D,entãoi) fg é diferenciável em a e
(fg)′(a) = f ′(a)g(a) + f(a)g′(a);
ii) se g(a) 6= 0,f
gé diferenciável em a e
(f
g
)′(a) =
f ′(a)g(a) − f(a)g′(a)
[g(a)]2.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 272 / 427
§3.2.2 Propriedades elementares
Propriedades
c) Se f : D ⊆ Rn → Rm é diferenciável em a e u = (u1, . . . , un) ∈ Rn,então existe f ′
u(a) e
f ′u(a) =
[f ′(a)
].u =
∂f1
∂x1(a) · · · ∂f1
∂xn(a)
.... . .
...∂fm∂x1
(a) · · · ∂fm∂xn
(a)
.
u1
...
un
d) Sejam D um subconjunto de Rn e f : D ⊆ Rn → R uma funçãopara a qual existem todas as derivadas parciais. Então f édiferenciável em todos os pontos em que n− 1 dessas derivadasparciais são contínuas. Em particular, se todas as derivadas parciaissão contínuas num ponto, a função é diferenciável nesse ponto.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 273 / 427
§3.2.2 Propriedades elementares
É de notar que se f : D ⊆ Rn → R é uma função diferenciável numponto a interior a D, a propriedade c) que vimos anteriormente fica
f ′u(a) =
[∂f
∂x1(a) · · · ∂f
∂xn(a)]
·
u1
...
un
=∂f
∂x1(a)u1 + · · · +
∂f
∂xn(a)un.
Recordando que dados b = (b1, . . . , bn) e c = (c1, . . . , cn) em Rn, oproduto escalar ou interno entre b e c é dado por
〈b, c〉 = b1c1 + b2c2 + · · · + bncn,
tem-se
f ′u(a) =
∂f
∂x1(a)u1 + · · · +
∂f
∂xn(a)un = 〈(∇f)(a), u〉 .
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 274 / 427
§3.2.2 Propriedades elementares
Assim, sef : D ⊆ Rn → R
é uma função diferenciável num ponto a interior a D, pela desigualdadede Cauchy-Schwarz, temos
∣∣f ′u(a)
∣∣ = |〈(∇f)(a), u〉| 6 ‖(∇f)(a)‖ ‖u‖,
verificando-se igualdade apenas se os vectores (∇f)(a) e u sãolinearmente dependentes.
Daqui podemos concluir que, se o gradiente num dado ponto é não nuloe a função é diferenciável nesse ponto, de entre todas as derivadasdireccionais nesse ponto, é na direcção e no sentido do gradiente que aderivada direccional é maior e é na direcção e no sentido contrário aodo gradiente que a derivada direccional é menor.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 275 / 427
Índice
1 Equações diferenciais ordinárias
2 Funções de Rn em Rm: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em Rn
Derivadas parciais e derivadas direccionaisDiferenciabilidade de funções de Rn em R
m
Definição e exemplosPropriedades elementaresHiperplano tangente e aproximação linearDerivada da função compostaTeorema de SchwarzTeorema da função implícita
Aplicações
4 Cálculo integral em Rn
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 276 / 427
§3.2.3 Hiperplano tangente e aproximação linear
Dada uma funçãof : D ⊆ Rn → R
diferenciável num ponto a = (a1, . . . , an) interior a D, chama-sehiperplano tangente ao gráfico de f no ponto (a1, . . . , an, f(a)) aoconjunto dos pontos de Rn+1 definido pela equação
xn+1 = f(a) +∂f
∂x1(a)(x1 − a1) + · · · +
∂f
∂xn(a)(xn − an).
Quando n = 2 o hiperplano tangente designa-se simplesmente porplano tangente, ou seja, dada uma função
f : D ⊆ R2 → R
diferenciável num ponto (a, b) interior a D, chama-se plano tangenteao gráfico de f no ponto (a, b, f(a, b)) ao plano definido pela equação
z = f(a, b) +∂f
∂x(a, b)(x− a) +
∂f
∂y(a, b)(y − b).
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 277 / 427
§3.2.3 Hiperplano tangente e aproximação linear
Exemplo
Para a funçãof : R2 → R
definida por
f(x, y) =
x2y2
x2 + y2se (x, y) 6= (0, 0),
0 se (x, y) = (0, 0),
que já vimos ser diferenciável em (0, 0), o plano tangente ao gráfico def no ponto (0, 0, f(0, 0)) é dado pela equação
z = 0,
pois
f(0, 0) =∂f
∂x(0, 0) =
∂f
∂y(0, 0) = 0.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 278 / 427
§3.2.3 Hiperplano tangente e aproximação linear
Sejaf : D ⊆ Rn → R
diferenciável num ponto a = (a1, . . . , an) interior a D. A
L(x) = f(a) +∂f
∂x1(a)(x1 − a1) + · · · +
∂f
∂xn(a)(xn − an)
chamamos aproximação linear ou linearização de f no ponto a ecostuma escrever-se
f(x) ≈ f(a) +∂f
∂x1(a)(x1 − a1) + · · · +
∂f
∂xn(a)(xn − an).
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 279 / 427
§3.2.3 Hiperplano tangente e aproximação linear
Exemplo
Seja f : R2 → R a função dada por f(x, y) = x ey + sen y. Esta função édiferenciável no ponto (0, 0). Como
∂f
∂x(x, y) = ey e
∂f
∂y(x, y) = x ey + cos y
temos∂f
∂x(0, 0) = 1 e
∂f
∂y(0, 0) = 1.
Tendo em conta que f(0, 0) = 0, uma equação do plano tangente aográfico de f no ponto (0, 0, f(0, 0)) = (0, 0, 0) é
z = f(0, 0) +∂f
∂x(0, 0)(x − 0) +
∂f
∂y(0, 0)(y − 0)
= x+ y.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 280 / 427
§3.2.3 Hiperplano tangente e aproximação linear
Exemplo (continuação)
A aproximação linear de f no ponto (0, 0) é dada por
f(x, y) ≈ f(0, 0) +∂f
∂x(0, 0)(x − 0) +
∂f
∂y(0, 0)(y − 0)
≈ x+ y.
Usando a aproximação linear temos
f(0.1, 0.2) ≈ 0.1 + 0.2 = 0.3 e f(1, 1) ≈ 1 + 1 = 2.
De facto,
f(0.1, 0.2) = 0.3208096066... e f(1, 1) = 3.559752813...
ou seja, a primeira aproximação é bastante melhor do que a segunda.Tal deve-se ao facto de a distância de (0.1, 0.2) a (0, 0) ser menor doque a distância de (1, 1) a (0, 0).
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 281 / 427
Índice
1 Equações diferenciais ordinárias
2 Funções de Rn em Rm: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em Rn
Derivadas parciais e derivadas direccionaisDiferenciabilidade de funções de Rn em R
m
Definição e exemplosPropriedades elementaresHiperplano tangente e aproximação linearDerivada da função compostaTeorema de SchwarzTeorema da função implícita
Aplicações
4 Cálculo integral em Rn
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 282 / 427
§3.2.4 Derivada da função composta
Derivada da função composta
Sejamf : Df ⊆ Rn → Rm e g : Dg ⊆ Rm → Rk
funções tais que f(Df ) ⊆ Dg. Suponhamos que a é um ponto interiorde Df . Se
f é diferenciável em a e g é diferenciável em f(a),
entãog ◦ f é diferenciável em a
e(g ◦ f)′ (a) = g′ (f(a)) · f ′(a).
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 283 / 427
§3.2.4 Derivada da função composta
Fazendo
x = (x1, . . . , xn) , f(x) = y = (y1, . . . , ym) e g(y) = z = (z1, . . . , zk)
resulta que a matriz jacobiana de f no ponto a é
Ja(f) =
∂f1
∂x1(a) · · · ∂f1
∂xn(a)
.... . .
...∂fm∂x1
(a) · · · ∂fm∂xn
(a)
e a matriz jacobiana de g no ponto b = f(a) é a matriz
Jb(g) =
∂g1
∂y1(b) · · · ∂g1
∂ym(b)
.... . .
...∂gk∂y1
(b) · · · ∂gk∂ym
(b)
.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 284 / 427
§3.2.4 Derivada da função composta
Pondo h = g ◦ f , como
h′(a) = (g ◦ f)′ (a) = g′ (f(a)) · f ′(a) = g′(b) · f ′(a),
tem-seJa(h) = Jb(g) · Ja(f).
Assim,
∂h1
∂x1(a) · · · ∂h1
∂xn(a)
.... . .
...∂hk
∂x1(a) · · · ∂hk
∂xn(a)
=
∂g1
∂y1(b) · · · ∂g1
∂ym(b)
.... . .
...∂gk
∂y1(b) · · · ∂gk
∂ym(b)
.
∂f1
∂x1(a) · · · ∂f1
∂xn(a)
.... . .
...∂fm
∂x1(a) · · · ∂fm
∂xn(a)
e, portanto,
∂hi
∂xj(a) =
∂gi
∂y1(b)
∂f1
∂xj(a) +
∂gi
∂y2(b)
∂f2
∂xj(a) + · · · +
∂gi
∂ym(b)
∂fm
∂xj(a).
para i = 1, . . . , k e j = 1, . . . , n.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 285 / 427
§3.2.4 Derivada da função composta
Omitindo os pontos onde estamos a calcular as derivadas parciais esubstituindo as notações
∂hi∂xj
,∂gi∂yℓ
e∂fℓ∂xj
por∂zi∂xj
,∂zi∂yℓ
e∂yℓ∂xj
,
respectivamente, a última igualdade do slide anterior fica
∂zi∂xj
=∂zi∂y1
∂y1
∂xj+∂zi∂y2
∂y2
∂xj+ · · · +
∂zi∂ym
∂ym∂xj
.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 286 / 427
§3.2.4 Derivada da função composta
Exemplo
Sejam f : R2 → R3 e g : R3 → R2 as funções dadas por
f(x, y) =(
x2, 3xy, sen(x+ y))
e g(u, v,w) = (u+ v − w, 2uv) .
Estas duas funções são diferenciáveis em todo o seu domínio. Então∂f1
∂x(x, y) = 2x,
∂f1
∂y(x, y) = 0,
∂f2
∂x(x, y) = 3y,
∂f2
∂y(x, y) = 3x,
∂f3
∂x(x, y) = cos(x+ y),
∂f3
∂y(x, y) = cos(x+ y),
pelo que
J(x,y)(f) =
2x 03y 3x
cos(x+ y) cos(x+ y)
.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 287 / 427
§3.2.4 Derivada da função composta
Exemplo (continuação)
Quanto à função g, atendendo que g(u, v,w) = (u+ v − w, 2uv), temos
∂g1
∂u(u, v,w) = 1,
∂g1
∂v(u, v,w) = 1,
∂g1
∂w(u, v,w) = −1,
e∂g2
∂u(u, v,w) = 2v,
∂g2
∂v(u, v,w) = 2u,
∂g2
∂w(u, v,w) = 0
e, consequentemente,
J(u,v,w)(g) =
[
1 1 − 12v 2u 0
]
.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 288 / 427
§3.2.4 Derivada da função composta
Exemplo (continuação)
Fazendo h = g ◦ f , temos
J(x,y)(h) = Jf(x,y)(g) · J(x,y)(f)
e, portanto, vem
J(x,y)(h) =
[
1 1 −16xy 2x2 0
]
.
2x 03y 3x
cos(x+ y) cos(x+ y)
=
[
2x+ 3y − cos(x+ y) 3x− cos(x+ y)18x2y 6x3
]
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 289 / 427
§3.2.4 Derivada da função composta
Exemplo (continuação)
Este resultado pode ser confirmado directamente pois, mantendoh = g ◦ f , temos
h(x, y) = (g ◦ f)(x, y)
= g(f(x, y))
= g(x2, 3xy, sen(x+ y))
= (x2 + 3xy − sen(x+ y), 6x3y)
pelo que
J(x,y)(h) =
[
2x+ 3y − cos(x+ y) 3x− cos(x+ y)18x2y 6x3
]
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 290 / 427
Índice
1 Equações diferenciais ordinárias
2 Funções de Rn em Rm: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em Rn
Derivadas parciais e derivadas direccionaisDiferenciabilidade de funções de Rn em R
m
Definição e exemplosPropriedades elementaresHiperplano tangente e aproximação linearDerivada da função compostaTeorema de SchwarzTeorema da função implícita
Aplicações
4 Cálculo integral em Rn
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 291 / 427
§3.2.5 Teorema de Schwarz
Já vimos que as derivadas mistas podem não ser iguais. No entanto, hácasos em que é possível garantir à partida que as derivadas mistas sãoiguais. O próximo teorema, conhecido como teorema de Schwarz ou deClairaut, dá-nos condições em que tal facto acontece.
Teorema de Schwarz
Sejam D um subconjunto aberto de Rn, n > 1, e
f : D ⊆ Rn → R
uma função. As derivadas
f ′′xixj
e f ′′xjxi
são iguais em todos os pontos em que f ′xi
e f ′xj
sejam diferenciáveis.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 292 / 427
§3.2.5 Teorema de Schwarz
Seja D um subconjunto aberto de Rn. Uma função
f : D ⊆ Rn → R
diz-se de classe Ck, k ∈ N, se existem todas as derivadas parciais de faté à ordem k e todas essas derivadas são contínuas.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 293 / 427
§3.2.5 Teorema de Schwarz
Corolário do Teorema de Schwarz
Seja D um subconjunto aberto de Rn. Se
f : D ⊆ Rn → R
é uma função de classe C2, então
f ′′xixj
(x) = f ′′xjxi
(x)
para qualquer x ∈ D.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 294 / 427
§3.2.5 Teorema de Schwarz
Corolário do Teorema de Schwarz
Sejam D um subconjunto aberto de Rn e
f : D ⊆ Rn → R
uma função de classe Ck. Então é indiferente a ordem de derivação atéà ordem k.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 295 / 427
Índice
1 Equações diferenciais ordinárias
2 Funções de Rn em Rm: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em Rn
Derivadas parciais e derivadas direccionaisDiferenciabilidade de funções de Rn em R
m
Definição e exemplosPropriedades elementaresHiperplano tangente e aproximação linearDerivada da função compostaTeorema de SchwarzTeorema da função implícita
Aplicações
4 Cálculo integral em Rn
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 296 / 427
§3.2.6 Teorema da função implícita
Existem funções que não são definidas explicitamente, são apenasdefinidas implicitamente. Por exemplo, a equação
(1 + x2)y + sen x = 0
define implicitamente y como função de x, aliás podemos inclusivedefinir explicitamente y como função de x pois a equação dada éequivalente a
y = − senx1 + x2
.
Será que a equação(1 + x2)y + sen(xy) = 0
também define y como função de x? Neste segundo caso nãoconseguimos resolver a equação em ordem a y e, por conseguinte, nãopodemos fazer o que fizemos no caso anterior.
O teorema da função implícita permite-nos responder a este tipo dequestões. Além disso, permite-nos também calcular a derivada dafunção.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 297 / 427
§3.2.6 Teorema da função implícita
Teorema da função implícita (n = 2)
Sejam D um subconjunto aberto de R2 e
F : D ⊆ R2 → R
uma função com derivadas parciais de primeira ordem contínuas.Suponhamos que existe (a, b) ∈ D tal que
F (a, b) = 0 e∂F
∂y(a, b) 6= 0.
Então existem um aberto O ⊆ R que contém a e uma e uma só função
f : O ⊆ R → R
com derivada contínua tal que
f(a) = b
e
F (x, f(x)) = 0 para qualquer x ∈ O.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 298 / 427
§3.2.6 Teorema da função implícita
Nas condições do teorema anterior diz-se que
F (x, y) = 0
define implicitamente y como função de x e usa-se a notação
y(x),dy
dxou y′
em vez de
f(x),df
dxou f ′,
respectivamente.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 299 / 427
§3.2.6 Teorema da função implícita
Além disso, comoF (x, y(x)) = 0
temos pela derivada da função composta
∂F
∂x(x, y) +
∂F
∂y(x, y)
dy
dx(x) = 0
pelo que
dy
dx(x) = −
∂F
∂x(x, y(x))
∂F
∂y(x, y(x))
.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 300 / 427
§3.2.6 Teorema da função implícita
Exemplo
Consideremos a função F : R2 → R definida por
F (x, y) = x3 + 2xy + y4 − 4.
As derivadas parciais de F são
∂F
∂x(x, y) = 3x2 + 2y e
∂F
∂y(x, y) = 2x+ 4y3.
Como as derivadas parciais de F são funções contínuas,
F (1, 1) = 0 e∂F
∂y(1, 1) = 2 · 1 + 4 · 13 = 6 6= 0,
pelo teorema da função implícita, F (x, y) = 0 define implicitamente y comofunção de x num aberto O ⊆ R ao qual 1 pertence e y(1) = 1. Além disso,
dy
dx(1) = −
∂F
∂x(1, y(1))
∂F
∂y(1, y(1))
= −∂F
∂x(1, 1)
∂F
∂y(1, 1)
= −56.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 301 / 427
§3.2.6 Teorema da função implícita
Vamos agora generalizar o teorema da função implícita para funções
F : D ⊆ Rn+1 → R, n > 1.
Por uma questão de simplicidade de escrita vamos escrever
F (a1, . . . , an, b) e F (x1, . . . , xn, y)
em vez de
F (a1, . . . , an, an+1) e F (x1, . . . , xn, xn+1),
respectivamente.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 302 / 427
§3.2.6 Teorema da função implícita
Teorema da função implícita
Sejam D um subconjunto aberto de Rn+1 e
F : D ⊆ Rn+1 → R
uma função com derivadas parciais de primeira ordem contínuas.Suponhamos que existe (a1, . . . , an, b) ∈ D tal que
F (a1, . . . , an, b) = 0 e∂F
∂y(a1, . . . , an, b) 6= 0.
Então existem um aberto O ⊆ Rn que contém (a1, . . . , an) e uma euma só função
f : O ⊆ Rn → R
com derivadas parciais contínuas tal que
f(a1, . . . , an) = b
e
F (x1, . . . , xn, f(x1, . . . , xn)) = 0 para qualquer (x1, . . . , xn) ∈ O.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 303 / 427
§3.2.6 Teorema da função implícita
Tal como no caso n+ 1 = 2 dizemos que
F (x1, . . . , xn, y) = 0
define implicitamente y como função de (x1, . . . , xn) e usamos a notação
y(x1, . . . , xn) e∂y
∂xi,
em vez de
f(x1, . . . , xn) e∂f
∂xi,
respectivamente.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 304 / 427
§3.2.6 Teorema da função implícita
Da equaçãoF (x1, . . . , xn, y(x1, . . . , xn)) = 0,
pela derivada da função composta tem-se
∂F
∂xi
(x1, . . . , xn, y(x1, . . . , xn)) +∂F
∂y(x1, . . . , xn, y(x1, . . . , xn))
∂y
∂xi
(x1, . . . , xn) = 0
e, portanto,
∂y
∂xi(x1, . . . , xn) = −
∂F
∂xi(x1, . . . , xn, y(x1, . . . , xn))
∂F
∂y(x1, . . . , xn, y(x1, . . . , xn))
.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 305 / 427
§3.2.6 Teorema da função implícita
Exemplo
Vejamos que a equação
xyz sen(x+ 2y − z) = π
define implicitamente z como função de x e de y numa vizinhança do ponto(π/2, 1, 2). Para isso consideremos a função
F (x, y, z) = xyz sen(x+ 2y − z) − π.
Calculemos as derivadas parciais de F :
∂F
∂x(x, y, z) = yz sen(x+ 2y − z) + xyz cos(x+ 2y − z),
∂F
∂y(x, y, z) = xz sen(x+ 2y − z) + 2xyz cos(x+ 2y − z),
∂F
∂z(x, y, z) = xy sen(x+ 2y − z) − xyz cos(x+ 2y − z).
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 306 / 427
§3.2.6 Teorema da função implícita
Exemplo (continuação)
Como as derivadas parciais de F são contínuas,
F(π
2, 1, 2
)
= π sen(π
2+ 2 · 1 − 2
)
− π = π − π = 0
e∂F
∂z
(π
2, 1, 2
)
= π/2 sen(π
2+ 2 · 1 − 2
)
− π cos(π
2+ 2 · 1 − 2
)
= π/2,
pelo teorema da função implícita, a equação F (x, y, z) = 0 defineimplicitamente z como função de x e de y. Além disso,
∂z
∂x
(π
2, 1)
= −∂F
∂x
(π
2, 1, 2
)
∂F
∂z
(π
2, 1, 2
) = − 2π/2
= − 4π
e
∂z
∂y
(π
2, 1)
= −
∂F
∂y
(π
2, 1, 2
)
∂F
∂z
(π
2, 1, 2
) = − π
π/2= −2.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 307 / 427
Índice
1 Equações diferenciais ordinárias
2 Funções de Rn em Rm: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em Rn
Derivadas parciais e derivadas direccionaisDiferenciabilidade de funções de Rn em Rm
AplicaçõesExtremos locais e extremos absolutosExtremos condicionados: método dos multiplicadores de Lagrange
4 Cálculo integral em Rn
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 308 / 427
Índice
1 Equações diferenciais ordinárias
2 Funções de Rn em Rm: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em Rn
Derivadas parciais e derivadas direccionaisDiferenciabilidade de funções de Rn em Rm
AplicaçõesExtremos locais e extremos absolutosExtremos condicionados: método dos multiplicadores de Lagrange
4 Cálculo integral em Rn
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 309 / 427
§3.3.1 Extremos locais e extremos absolutos
Recordemos os conceitos de máximo e de mínimo absoluto.
Sejaf : D ⊆ Rn → R
uma função escalar e A um subconjunto não vazio de D. Dizemos quef tem um máximo (absoluto) no ponto a ∈ A ou que f(a) é ummáximo (absoluto) de f em A se
f(x) 6 f(a) para todo o x ∈ A.
Quandof(x) > f(a) para todo o x ∈ A,
dizemos que f tem um mínimo (absoluto) no ponto a ∈ A ou quef(a) é um mínimo (absoluto) de f em A.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 310 / 427
§3.3.1 Extremos locais e extremos absolutos
Recordemos também o Teorema de Weierstrass.
Teorema de Weierstrass
Sejaf : D ⊆ Rn → R
uma função contínua num subconjunto não vazio, fechado e limitadoA ⊆ D. Então f tem extremos absolutos em A.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 311 / 427
§3.3.1 Extremos locais e extremos absolutos
Sejam D um subconjunto não vazio de Rn e
f : D ⊆ Rn → R
uma função escalar. Dizemos que f tem um máximo local no pontoa ∈ D se existir ε > 0 tal que
f(x) 6 f(a) para qualquer x ∈ D ∩Bε(a)
e que f tem um mínimo local no ponto a ∈ D se existir ε > 0 tal que
f(x) > f(a) para qualquer x ∈ D ∩Bε(a).
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 312 / 427
§3.3.1 Extremos locais e extremos absolutos
Um ponto do domínio de uma função em que é atingido um valor demáximo designa-se por ponto de máximo ou ponto maximizante.
Do mesmo modo, um ponto do domínio de uma função em que éatingido o valor de mínimo designa-se por ponto de mínimo ouponto minimizante.
Os máximos e os mínimos de uma função dizem-se extremos dafunção e os pontos onde a função atinge os extremos designam-se porpontos de extremo ou extremantes.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 313 / 427
§3.3.1 Extremos locais e extremos absolutos
Teorema de Fermat
Sejaf : D ⊆ Rn → R
uma função diferenciável num ponto a interior a D. Se f(a) é umextremo local de f , então
∂f
∂x1(a) =
∂f
∂x2(a) = · · · =
∂f
∂xn(a) = 0.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 314 / 427
§3.3.1 Extremos locais e extremos absolutos
Os pontos a ∈ D tais que
∂f
∂x1(a) =
∂f
∂x2(a) = · · · =
∂f
∂xn(a) = 0
designam-se por pontos de estacionaridade ou por pontos críticos.
Os pontos de estacionaridade que não são extremantes designam-se porpontos de sela.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 315 / 427
§3.3.1 Extremos locais e extremos absolutos
Assim, a primeira coisa que temos de fazer para determinar osextremos locais de uma função
f : D ⊆ Rn → R
diferenciável é resolver o sistema
∂f
∂x1(a) = 0,
∂f
∂x2(a) = 0,
...
∂f
∂xn(a) = 0.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 316 / 427
§3.3.1 Extremos locais e extremos absolutos
Exemplo
Seja f : R2 → R a função definida por
f(x, y) = x3 + 3x2 − y2.
Esta função é diferenciável em todo o seu domínio. Atendendo a que
∂f
∂x(x, y) = 3x2 + 6x e
∂f
∂y(x, y) = −2y,
calculemos os seus pontos de estacionaridade:
∂f
∂x= 0
∂f
∂y= 0
⇔
3x2 + 6x = 0
−2y = 0⇔
3x(x + 2) = 0
y = 0⇔
x = 0
y = 0∨
x = −2
y = 0
Assim, os pontos de estacionaridade de f são (0, 0) e (−2, 0). Será quealgum deles é extremante?
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 317 / 427
§3.3.1 Extremos locais e extremos absolutos
Exemplo (continuação)
Fazendo y =√
3x em
f(x, y) = x3 + 3x2 − y2.
temosf(x,
√3x) = x3 + 3x2 − 3x2 = x3
e, comof(x,
√3x) > 0 se x > 0
ef(x,
√3x) < 0 se x < 0,
tendo em conta que f(0, 0) = 0, concluímos que (0, 0) não é extremante,ou seja, é um ponto de sela.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 318 / 427
§3.3.1 Extremos locais e extremos absolutos
Exemplo (continuação)
Por outro lado,
f(x, y) − f(−2, 0) = x3 + 3x2 − y2 − 4
= x3 + 2x2 + x2 − 4 − y2
= x2(x+ 2) + (x− 2)(x+ 2) − y2
= (x2 + x− 2)(x+ 2) − y2
= (x− 1)(x+ 2)(x + 2) − y2
= (x− 1)(x+ 2)2 − y2
e, como
(x− 1)(x+ 2)2 − y26 0 para qualquer x ∈ B1((−2, 0)),
o ponto (−2, 0) é um ponto de máximo.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 319 / 427
§3.3.1 Extremos locais e extremos absolutos
A forma como no exemplo anterior verificámos que (0, 0) não eraextremante e que (−2, 0) era um maximizante não é muito prática.
Vejamos uma forma mais prática de o fazer. Para isso precisamos damatriz hessiana. Dada uma função f : D ⊆ Rn → R de classe C2
chama-se matriz hessiana de f num ponto a ∈ D à matriz
Hf (a) =
∂2f
∂x1∂x1(a)
∂2f
∂x2∂x1(a) · · · ∂2f
∂xn∂x1(a)
∂2f
∂x1∂x2(a)
∂2f
∂x2∂x2(a) · · · ∂2f
∂xn∂x2(a)
......
. . ....
∂2f
∂x1∂xn(a)
∂2f
∂x2∂xn(a) · · · ∂2f
∂xn∂xn(a)
.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 320 / 427
§3.3.1 Extremos locais e extremos absolutos
Suponhamos que a é um ponto de estacionaridade de f e por facilidadede escrita representemos a matriz hessiana de f no ponto a por
Hf (a) =
a1,1 a1,2 · · · a1,n
a2,1 a2,2 · · · a2,n
......
. . ....
an,1 an,2 · · · an,n
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 321 / 427
§3.3.1 Extremos locais e extremos absolutos
Façamos
∆0 = 1
∆1 = a1,1
∆2 = det[a1,1 a1,2
a2,1 a2,2
]
=∣∣∣∣
a1,1 a1,2
a2,1 a2,2
∣∣∣∣
∆3 = det
a1,1 a1,2 a1,3
a2,1 a2,2 a2,3
a3,1 a3,2 a3,3
=
∣∣∣∣∣∣
a1,1 a1,2 a1,3
a2,1 a2,2 a2,3
a3,1 a3,2 a3,3
∣∣∣∣∣∣
...
∆n = det
a1,1 a1,2 · · · a1,n
a2,1 a2,2 · · · a2,n
......
. . ....
an,1 an,2 · · · an,n
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a1,1 a1,2 · · · a1,n
a2,1 a2,2 · · · a2,n
......
. . ....
an,1 an,2 · · · an,n
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= detHf (a).
Os ∆i, i = 1, . . . , n, chamam-se menores principais da matriz Hf (a).
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 322 / 427
§3.3.1 Extremos locais e extremos absolutos
Então
a) se em∆0 = 1, ∆1, ∆2, . . . , ∆n
só houver permanências de sinal, ou seja, todos os ∆i, i = 1, . . . , n,são positivos, então f(a) é um mínimo local de f ;
b) se em∆0 = 1, ∆1, ∆2, . . . , ∆n
só houver variações de sinal, ou seja, (−1)i∆i > 0, i = 1, . . . , n,então f(a) é um máximo local de f ;
c) se em∆0 = 1, ∆1, ∆2, . . . , ∆n
houver permanências de sinal e variações de sinal, então a é umponto de sela.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 323 / 427
§3.3.1 Extremos locais e extremos absolutos
Exemplos
a) Voltando ao exemplo inicial da função definida por
f(x, y) = x3 + 3x2 − y2
já vimos que∂f
∂x(x, y) = 3x2 + 6x e
∂f
∂y(x, y) = −2y
e que os pontos de estacionaridade são (0, 0) e (−2, 0) pois
∂f
∂x= 0
∂f
∂y= 0
⇔
3x2 + 6x = 0
−2y = 0⇔
3x(x+ 2) = 0
y = 0⇔
x = 0
y = 0∨
x = −2
y = 0.
Além disso, a matriz hessiana de f é
Hf (x, y) =
[6x+ 6 0
0 −2
]
.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 324 / 427
§3.3.1 Extremos locais e extremos absolutos
Exemplos (continuação)
a) (continuação) Assim,
Hf (0, 0) =
[
6 0
0 −2
]
e, como
∆0 = 1, ∆1 = 6 e ∆2 =
∣∣∣∣∣
6 0
0 −2
∣∣∣∣∣
= −12,
o ponto (0, 0) é um ponto de sela. Por outro lado
Hf (−2, 0) =
[
−6 0
0 −2
]
e atendendo a que
∆0 = 1, ∆1 = −6 e ∆2 =
∣∣∣∣∣
−6 0
0 −2
∣∣∣∣∣
= 12
o ponto (−2, 0) é um ponto de máximo local.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 325 / 427
§3.3.1 Extremos locais e extremos absolutos
Exemplos (continuação)
b) Seja f : R3 → R a função dada por
f(x, y, z) = x2 + y2 + 3z2 + yz + 2xz − xy.
Os pontos de estacionaridade de f são dados por
∂f
∂x= 0
∂f
∂y= 0
∂f
∂z= 0
⇔
2x+ 2z − y = 0
2y + z − x = 0
6z + y + 2x = 0
⇔
2x− y + 2z = 0
−x+ 2y + z = 0
2x+ y + 6z = 0
⇔
x = 0
y = 0
z = 0
e a matriz hessiana é
Hf (x, y, z) =
2 −1 2− 1 2 12 1 6
.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 326 / 427
§3.3.1 Extremos locais e extremos absolutos
Exemplos (continuação)
b) (continuação) Para esta matriz hessiana
Hf (0, 0, 0) =
2 −1 2−1 2 12 1 6
,
temos
∆0 = 1, ∆1 = 2, ∆2 =∣∣∣∣
2 −1−1 2
∣∣∣∣
= 3, ∆3 =
∣∣∣∣∣∣
2 −1 2−1 2 12 1 6
∣∣∣∣∣∣
= 4,
pelo que f tem um mínimo local no ponto (0, 0, 0).
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 327 / 427
§3.3.1 Extremos locais e extremos absolutos
Observações
a) Se f(a) é um mínimo local de f , então
∆1 > 0, ∆2 > 0, . . . , ∆n > 0.
b) Se f(a) é um máximo local de f , então
∆1 6 0, ∆2 > 0, . . . , (−1)n∆n > 0.
c) O recíproco das duas alíneas anteriores é falso.
d) Outro processo de determinar se um ponto de estacionaridade éextremante utiliza os valores próprios da matriz hessiana.
i) Se os valores próprios da matriz hessiana são todos positivos, entãotemos um ponto de mínimo.
ii) Se os valores próprios da matriz hessiana são todos negativos, entãotemos um ponto de máximo.
iii) Se a matriz hessiana tiver valores próprios positivos e valores própriosnegativos, então temos um ponto de sela.
iv) Se a matriz hessiana tiver valores próprios nulos, e os valores própriosnão nulos tiverem todos o mesmo sinal nada se pode concluir.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 328 / 427
§3.3.1 Extremos locais e extremos absolutos
Exemplo
Calculemos os pontos de estacionaridade da função dada por
f(x, y) = x2y − y.
Para isso temos de resolver o sistema
∂f
∂x= 0
∂f
∂y= 0
⇔
2xy = 0
x2 − 1 = 0⇔
y = 0
x = 1∨
y = 0
x = −1.
Assim, os pontos de estacionaridade de f são (1, 0) e (−1, 0). A matrizhessiana de f é
Hf (x, y) =[
2y 2x2x 0
]
.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 329 / 427
§3.3.1 Extremos locais e extremos absolutos
Exemplo (continuação)
Assim,
Hf (1, 0) =[
0 22 0
]
e, portanto,∆0 = 1, ∆1 = 0 e ∆2 = −4.
Pelas alíneas a) e b) das observações concluímos que (1, 0) é um ponto de sela.Por outro lado,
Hf (−1, 0) =[
0 −2−2 0
]
e para este caso também temos
∆0 = 1, ∆1 = 0 e ∆2 = −4
o que permite concluir do mesmo modo que (−1, 0) é um ponto de sela.Podíamos ter chegado à mesma conclusão verificando que os valores própriosde ambas as matrizes são −2 e 2.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 330 / 427
Índice
1 Equações diferenciais ordinárias
2 Funções de Rn em Rm: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em Rn
Derivadas parciais e derivadas direccionaisDiferenciabilidade de funções de Rn em Rm
AplicaçõesExtremos locais e extremos absolutosExtremos condicionados: método dos multiplicadores de Lagrange
4 Cálculo integral em Rn
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 331 / 427
§3.3.2 Extremos condicionados: método dos multiplicadores de Lagrange
Suponhamos que pretendemos determinar quais as dimensões dorectângulo de perímetro igual a 2 que tem a área máxima. Designemosos comprimentos dos lados do rectângulo por x e y,
x
y
O que pretendemos é determinar o valor máximo da função
A(x, y) = xy
no conjunto dos pontos (x, y) (ambos não negativos) que verificam
2x+ 2y = 2,
ou sejax+ y = 1.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 332 / 427
§3.3.2 Extremos condicionados: método dos multiplicadores de Lagrange
Como x+ y = 1 é equivalente a y = 1 − x, obtemos para os pontos queverificam esta condição A(x, y) = A(x, 1 − x) = x(1 − x). Bastaportanto determinar o valor de x ∈ [0, 1] que maximiza a funçãoA(x, 1 − x). Como
A′(x, 1 − x) = 0 ⇔ [x(1 − x)]′ = 0 ⇔ 1 − 2x = 0 ⇔ x =12,
podemos construir o seguinte quadro
0 1/2 2A′(x, 1 − x) + + 0 − −A(x, 1 − x) ր max ց
Concluímos que x = 1/2 corresponde a um ponto de máximo da funçãocuja segunda coordenada é y = 1 − 1/2 = 1/2. O tal rectângulo é umquadrado de lado 1/2.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 333 / 427
§3.3.2 Extremos condicionados: método dos multiplicadores de Lagrange
Na resolução anterior foi fundamental conseguirmos resolver a equação
x+ y = 1
em ordem a y. Como fazer se tal não for possível? A resposta é dadapelo método dos multiplicadores de Lagrange. Vejamos umexemplo.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 334 / 427
§3.3.2 Extremos condicionados: método dos multiplicadores de Lagrange
Exemplo
Pretendemos determinar os extremos absolutos da função
f(x, y) = x2 + ysujeita à condição
x2 + y2 = 1.
Para isso consideramos uma nova função
F (x, y, λ) = x2 + y + λ(x2 + y2 − 1),
e calculamos os seus pontos de estacionaridade:
∂F∂x (x, y, λ) = 0∂F∂y (x, y, λ) = 0∂F∂λ (x, y, λ) = 0
⇔
2x+ 2xλ = 01 + 2yλ = 0x2 + y2 − 1 = 0
⇔
2x(1 + λ) = 0——–——–
⇔
x = 0——–y2 = 1
∨
λ = −1y = 1/2x2 = 3/4
⇔
x = 0λ = −1/2y = 1
∨
x = 0λ = 1/2y = −1
∨
λ = −1y = 1/2x = ±
√3/2
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 335 / 427
§3.3.2 Extremos condicionados: método dos multiplicadores de Lagrange
Exemplo (continuação)
Os candidatos a extremo absoluto são
(0, 1), (0,−1), (√
3/2, 1/2) e (−√
3/2, 1/2).
Como sabemos que o conjunto
C ={
(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}
é fechado e limitado e a função
f(x, y) = x2 + y
é contínua, o Teorema de Weierstrass garante-nos que temos um máximo eum mínimo absoluto de f em C. Como
f(0, 1) = 1, f(0,−1) = −1 e f(−√
3/2, 1/2) = f(√
3/2, 1/2) = 5/4,
concluímos que o máximo absoluto é 5/4 e o mínimo absoluto é −1.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 336 / 427
§3.3.2 Extremos condicionados: método dos multiplicadores de Lagrange
Vamos agora descrever um método geral para determinar os pontoscandidatos a extremo. Dada uma função de classe C1,
f : D ⊆ Rn → R,
para determinar os extremos desta função sujeita às m 6 n condições
ϕ1(x1, . . . , xn) = 0, . . . , ϕm(x1, . . . , xn) = 0,
com ϕ1, . . . , ϕm funções de classe C1, consideramos a função
F (x1, . . . , xn, λ1, . . . , λm)
= f(x1, . . . , xn) + λ1ϕ1(x1, . . . , xn) + · · · + λmϕm(x1, . . . , xn).
Determinamos os pontos de estacionaridade desta nova função. Entreestes pontos encontram-se pontos tais que as primeiras n coordenadascorrespondem às coordenadas dos pontos de extremo da função f , casoestes existam.Os λi que surgem na função F designam-se por multiplicadores deLagrange.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 337 / 427
§3.3.2 Extremos condicionados: método dos multiplicadores de Lagrange
Exemplos
a) Pretendemos determinar, utilizando os multiplicadores de Lagrange,os extremos absolutos da função
f(x, y, z) = x+ 2ysujeita às restrições
x+ y + z = 1 e y2 + z2 = 4.Como o conjunto
A ={
(x, y, z) ∈ R3 : x+ y + z = 1 ∧ y2 + z2 = 4}
é um conjunto limitado e fechado e a função f é contínua, peloTeorema de Weierstrass, f tem máximo e mínimo absolutos nesteconjunto.Vamos determiná-los usando o método dos multiplicadores deLagrange. Escrevemos a nova função
F (x, y, z, λ, µ) = x+ 2y + λ(x+ y + z − 1) + µ(y2 + z2 − 4).
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 338 / 427
§3.3.2 Extremos condicionados: método dos multiplicadores de Lagrange
Exemplos (continuação)
a) (continuação) Temos
∂F∂x (x, y, z, λ, µ) = 0∂F∂y (x, y, z, λ, µ) = 0∂F∂z (x, y, z, λ, µ) = 0∂F∂λ (x, y, z, λ, µ) = 0∂F∂µ (x, y, z, λ, µ) = 0
⇔
1 + λ = 0
2 + λ+ 2µy = 0
λ+ 2µz = 0
x+ y + z = 1
y2 + z2 = 4
⇔
λ = −1
2µy = −1
2µz = 1
⇔
λ = −1
——
z = −yx = 1
2y2 = 4
⇔
λ = −1
µ = −√
2/4
z = −√
2
x = 1
y =√
2
∨
λ = −1
µ =√
2/4
z =√
2
x = 1
y = −√
2
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 339 / 427
§3.3.2 Extremos condicionados: método dos multiplicadores de Lagrange
Exemplos (continuação)
a) (continuação) Obtivemos dois candidatos a ponto de extremo:
(1,√
2,−√
2) e (1,−√
2,√
2).
Uma vez quef(1,
√2,−
√2) = 1 + 2
√2
ef(1,−
√2,
√2) = 1 − 2
√2,
concluímos que 1 + 2√
2 é máximo absoluto e que 1 − 2√
2 é mínimoabsoluto.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 340 / 427
§3.3.2 Extremos condicionados: método dos multiplicadores de Lagrange
Exemplos (continuação)
b) Pretendemos determinar os extremos absolutos da função
f(x, y) = x2 + 2xy − 4x+ 8yno conjunto
C = {(x, y) : 0 6 x 6 1 ∧ 0 6 y 6 2} .Como o conjunto C é um conjunto limitado e fechado e a função f écontínua, pelo Teorema de Weierstrass f tem máximo e mínimo absolutosneste conjunto. Os extremos absolutos podem estar no interior ou nafronteira de C.Começamos por determinar todos os extremos locais de f no interior doconjunto C. Para tal começamos por determinar os pontos deestacionaridade de f que estão em C:
{∂f∂x (x, y) = 0∂f∂y (x, y) = 0
⇔{
2x+ 2y − 4 = 02x+ 8 = 0
⇔{
y = 6x = −4
.
Como o ponto (−4, 6) não está no interior de C concluímos que não háextremos no interior de C.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 341 / 427
§3.3.2 Extremos condicionados: método dos multiplicadores de Lagrange
Exemplos (continuação)
b) (continuação) Vamos agora determinar os pontos de estacionaridade nafronteira recorrendo ao método dos multiplicadores de Lagrange.
Para o segmento de recta
S1 = {(x, y) : y = 0 ∧ 0 6 x 6 1}escrevemos a função
F1(x, y, λ) = x2 + 2xy − 4x+ 8y + λy.
Temos
∂F1
∂x (x, y, λ) = 0∂F1
∂y (x, y, λ) = 0∂F1
∂λ (x, y, λ) = 0
⇔
2x+ 2y − 4 = 02x+ 8 + λ = 0y = 0
⇔
x = 2λ = −12y = 0
.
Obtivemos o ponto (2, 0) no entanto (2, 0) /∈ S1 pelo que não o devemosconsiderar.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 342 / 427
§3.3.2 Extremos condicionados: método dos multiplicadores de Lagrange
Exemplos (continuação)
b) (continuação) Para o segmento de recta
S2 = {(x, y) : y = 2 ∧ 0 6 x 6 1}
escrevemos a função
F2(x, y, λ) = x2 + 2xy − 4x+ 8y + λ(y − 2).
Temos
∂F2∂x (x, y, λ) = 0∂F2∂y (x, y, λ) = 0∂F2∂λ (x, y, λ) = 0
⇔
2x+ 2y − 4 = 0
2x+ 8 + λ = 0
y − 2 = 0
⇔
x = 0
λ = −8
y = 2
.
Obtivemos o ponto (0, 2) e, como (0, 2) ∈ S2, este ponto é umcandidato a extremo global.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 343 / 427
§3.3.2 Extremos condicionados: método dos multiplicadores de Lagrange
Exemplos (continuação)
b) (continuação) Para o segmento de recta
S3 = {(x, y) : x = 0 ∧ 0 6 y 6 2}
escrevemos a função
F3(x, y, λ) = x2 + 2xy − 4x+ 8y + λx.
Temos
∂F3∂x (x, y, λ) = 0∂F3∂y (x, y, λ) = 0∂F3∂λ (x, y, λ) = 0
⇔
2x+ 2y − 4 + λ = 0
2x+ 8 = 0
x = 0
⇔
——
x = −4
x = 0
.
O sistema é impossível pelo que não obtemos candidatos a extremoneste caso.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 344 / 427
§3.3.2 Extremos condicionados: método dos multiplicadores de Lagrange
Exemplos (continuação)
b) (continuação) Para o segmento de recta
S4 = {(x, y) : x = 1 ∧ 0 6 y 6 2}
escrevemos a função
F4(x, y, λ) = x2 + 2xy − 4x+ 8y + λ(x− 1).
Temos
∂F4∂x (x, y, λ) = 0∂F4∂y (x, y, λ) = 0∂F4∂λ (x, y, λ) = 0
⇔
2x+ 2y − 4 + λ = 0
2x+ 8 = 0
x− 1 = 0
⇔
——
x = −4
x = 1
.
O sistema é impossível pelo que não obtemos candidatos a extremoneste caso.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 345 / 427
§3.3.2 Extremos condicionados: método dos multiplicadores de Lagrange
Exemplos (continuação)
b) (continuação) Assim, temos apenas como candidatos a extremos ospontos de intersecção de cada par de segmentos, isto é os vérticesdo rectângulo C:
(0, 2), (0, 0), (1, 0) e (1, 2).
Como referimos, de acordo com o Teorema de Weierstrass, entre asimagens destes quatro pontos estão os extremos absolutos de f emC.Atendendo a que
f(0, 2) = 16, f(0, 0) = 0, f(1, 0) = −3 e f(1, 2) = 17,
concluímos que o máximo absoluto é 17 e o mínimo absoluto é −3.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 346 / 427
Índice
1 Equações diferenciais ordinárias
2 Funções de Rn em Rm: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em Rn
4 Cálculo integral em Rn
Integrais em Rn: definição, exemplos e propriedadesTeorema de FubiniIntegrais em conjuntos mais geraisMudança de coordenadasAplicações ao cálculo de áreas e de volumes
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 347 / 427
Índice
1 Equações diferenciais ordinárias
2 Funções de Rn em Rm: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em Rn
4 Cálculo integral em Rn
Integrais em Rn: definição, exemplos e propriedadesTeorema de FubiniIntegrais em conjuntos mais geraisMudança de coordenadasAplicações ao cálculo de áreas e de volumes
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 348 / 427
§4.1 Integrais em Rn: definição, exemplos e propriedades
Para definirmos o conceito de integral é necessário explorar primeiro oconceito de partição de um intervalo fechado e limitado de Rn.
Dados a = (a1, . . . , an), b = (b1, . . . , bn) ∈ Rn, com ai < bi, i = 1, . . . , n,designamos os conjuntos da forma
[a, b] = {(x1, . . . , xn) ∈ Rn : ai 6 xi 6 bi, i = 1, . . . , n}= [a1, b1] × · · · × [an, bn]
por intervalo fechado e limitado de Rn.
É fácil de verificar que quando n = 1, os intervalos fechados e limitadoscoincidem com os habituais intervalos fechados e limitados de R;quando n = 2 os intervalos fechados e limitados são rectângulos equando n = 3 os intervalos fechados e limitados são paralelepípedosrectângulos.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 349 / 427
§4.1 Integrais em Rn: definição, exemplos e propriedades
Dado um intervalo (fechado e limitado) I = [a, b] de Rn, coma = (a1, . . . , an) e b = (b1, . . . , bn), definimos o volume elementar deI, que denotamos por vol(I), por
vol(I) =n∏
i=1
(bi − ai).
Verifica-se imediatamente que quando n = 1 o volume elementar é ocomprimento do intervalo, para n = 2 o volume elementar é a área dorectângulo e que quando n = 3 o volume elementar é o volume usual doparalelepípedo.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 350 / 427
§4.1 Integrais em Rn: definição, exemplos e propriedades
Dado um intervalo fechado e limitado I de Rn, designa-se porpartição ou subdivisão de I qualquer colecção
P = {I1, . . . , Ik} ,
onde os Ij são intervalos fechados e limitados de Rn não sobrepostos(i.e. sem pontos interiores comuns) e cuja reunião é I, ou seja,
int Ii ∩ int Ij = ∅ para i, j = 1, . . . , n e i 6= j
e
I =k⋃
i=1
Ii.
É evidente que nestas condições se tem
vol(I) =k∑
i=1
vol(Ii).
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 351 / 427
§4.1 Integrais em Rn: definição, exemplos e propriedades
Exemplo
O conjuntoP = {I1, I2, I3, I4, I5}
onde I1 =[
0, 14
]
×[
0, 13
]
, I2 =[
0, 14
]
×[
13 ,
23
]
, I3 =[
0, 14
]
×[
23 , 1]
,
I4 =[
14 , 1]
×[
0, 13
]
e I5 =[
14 , 1]
×[
13 , 1]
constitui uma partição dointervalo [0, 1] × [0, 1].
I1
I2
I3
I4
I5
0 1
1
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 352 / 427
§4.1 Integrais em Rn: definição, exemplos e propriedades
Sejam I um intervalo (fechado e limitado) de Rn, P = {I1, . . . , Ik} umapartição de I e f : I ⊆ Rn → R uma função limitada. Chama-se somasuperior de Darboux de f relativa à partição P ao número real
S(f, P ) =k∑
i=1
M(f, Ii) vol(Ii),
ondeM(f, Ii) = sup {f(x) : x ∈ Ii} = sup
x∈Ii
f(x).
Analogamente, chama-se soma inferior de Darboux de f relativa àpartição P ao número real
s(f, P ) =k∑
i=1
m(f, Ii) vol(Ii),
ondem(f, Ii) = inf {f(x) : x ∈ Ii} = inf
x∈Ii
f(x).
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 353 / 427
§4.1 Integrais em Rn: definição, exemplos e propriedades
x
y
a b
b
b
qx0
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7qx8
m1
m2=m4=m8
m3
m5
m6
m7
b
b
Interpretação geométrica das somas inferiores de Darboux para funçõesf : I ⊆ R → R
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 354 / 427
§4.1 Integrais em Rn: definição, exemplos e propriedades
x
y
a b
b
b
qx0
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7qx8
b
b
Interpretação geométrica das somas superiores de Darboux parafunções f : I ⊆ R → R
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 355 / 427
§4.1 Integrais em Rn: definição, exemplos e propriedades
M(f, B)
m(f, B)
B
M(f, B)
m(f, B)
B
Interpretação geométrica das somas inferiores e das somas superioresde Darboux para funções f : I ⊆ R2 → R
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 356 / 427
§4.1 Integrais em Rn: definição, exemplos e propriedades
Exemplos de somas superiores e de somas inferiores
a) Seja I um intervalo de Rn e consideremos a função
f : I ⊆ Rn → R
definida por
f(x) = c.
Dada uma partição P = {I1, . . . , Ik} de I temos
m(f, Ii) = c e M(f, Ii) = c
e, consequentemente,
s(f, P ) =k∑
i=1
m(f, Ii) vol(Ii) =k∑
i=1
c vol(Ii) = ck∑
i=1
vol(Ii) = c vol(I)
e
S(f, P ) =k∑
i=1
M(f, Ii) vol(Ii) =k∑
i=1
c vol(Ii) = c
k∑
i=1
vol(Ii) = c vol(I).
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 357 / 427
§4.1 Integrais em Rn: definição, exemplos e propriedades
Exemplos de somas superiores e de somas inferiores (continuação)
b) Sejam I um intervalo de Rn ef : I ⊆ Rn → R
a função definida por
f(x) =
{
0 se x ∈ I ∩ Qn,
1 se x 6∈ I ∩ Qn.
Para qualquer partição P = {I1, . . . Ik} de I temos
m(f, Ii) = 0 e M(f, Ii) = 1,
pelo que
s(f, P ) =k∑
i=1
m(f, Ii) vol(Ii) =k∑
i=1
0 vol(Ii) = 0
e
S(f, P ) =k∑
i=1
M(f, Ii) vol(Ii) =k∑
i=1
1 vol(Ii) = vol(I).
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 358 / 427
§4.1 Integrais em Rn: definição, exemplos e propriedades
Seja I um intervalo fechado e limitado de Rn. Uma função
f : I ⊆ Rn → R
limitada diz-se integrável à Riemann em I se existir um e um sónúmero A tal que
s(f, P ) 6 A 6 S(f, P ) para qualquer partição P de I.
O único número A que verifica a desigualdade anterior designa-se porintegral de Riemann de f em I e representa-se por
∫
If(x) dx.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 359 / 427
§4.1 Integrais em Rn: definição, exemplos e propriedades
Exemplos do integral de Riemann
a) Consideremos novamente a função f : I ⊆ Rn → R definida por
f(x) = c.
Já vimos que para qualquer partição P de I se tem
s(f, P ) = c vol(I) = S(f, P ).
Assim,s(f, P ) 6 c vol(I) 6 S(f, P ) para qualquer partição P de I
ec vol(I)
é o único número real que verifica estas desigualdades. Logo f éintegrável à Riemann em I e
∫
If(x) dx = c vol(I).
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 360 / 427
§4.1 Integrais em Rn: definição, exemplos e propriedades
Exemplos do integral de Riemann (continuação)
b) Já vimos que para a função
f : I ⊆ Rn → R,
definida por
f(x) =
{
0 se x ∈ I ∩ Qn,
1 se x 6∈ I ∩ Qn,
se tems(f, P ) = 0 e S(f, P ) = vol(I)
qualquer que seja a partição P de I. Portanto, se A ∈ [0, vol(I)]tem-se
0 = s(f, P ) 6 A 6 S(f, P ) = vol(I)
para qualquer partição P de I, o que mostra que f não é integrávelà Riemann em I.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 361 / 427
§4.1 Integrais em Rn: definição, exemplos e propriedades
É também comum escrever∫
If(x1, . . . , xn) dx1 · · · dxn
para designar o integral de Riemann de f no intervalo fechado I. Éainda usual escrever
∫ bn
an
· · ·∫ b1
a1
f(x1, . . . , xn) dx1 · · · dxn
para designar∫
[a1,b1]×···×[an,bn]f(x1, . . . , xn) dx1 · · · dxn.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 362 / 427
§4.1 Integrais em Rn: definição, exemplos e propriedades
Em dimensão dois é habitual escrever f(x, y) em vez de f(x1, x2) edenota-se assim o integral de Riemann em I por
∫∫
If(x, y) dx dy.
Analogamente em dimensão três usa-se frequentemente a notação∫∫∫
If(x, y, z) dx dy dz.
Facilmente se verifica que, no caso n = 1, o conceito de integral aquiapresentado coincide com o conceito de integral de Riemann definidoem Cálculo I.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 363 / 427
§4.1 Integrais em Rn: definição, exemplos e propriedades
Propriedades dos integrais
Seja I um intervalo fechado e limitado de Rn.
a) Sef, g : I ⊆ Rn → R
são funções integráveis em I, então f + g é integrável em I e∫
I[f(x) + g(x)] dx =
∫
If(x) dx+
∫
Ig(x) dx.
b) Se λ é um número real e
f : I ⊆ Rn → R
é uma função integrável em I, então λ f é integrável em I e∫
Iλ f(x) dx = λ
∫
If(x) dx.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 364 / 427
§4.1 Integrais em Rn: definição, exemplos e propriedades
Propriedades dos integrais (continuação)
c) Sejam I1 e I2 dois intervalos (fechados e limitados) de Rn nãosobrepostos e tais que
I = I1 ∪ I2
e sejaf : I ⊆ Rn → R.
Entãof é integrável em I
se e só seé integrável em I1 e em I2.
Além disso, nas condições anteriores, temos∫
If(x) dx =
∫
I1
f(x) dx+∫
I2
f(x) dx.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 365 / 427
§4.1 Integrais em Rn: definição, exemplos e propriedades
Propriedades dos integrais (continuação)
d) Sef, g : I ⊆ Rn → R
são duas funções integráveis em I tais que
f(x) 6 g(x) para cada x ∈ I,
então ∫
If(x) dx 6
∫
Ig(x) dx.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 366 / 427
§4.1 Integrais em Rn: definição, exemplos e propriedades
Propriedades dos integrais (continuação)
e) Sejaf : I ⊆ Rn → R
uma função integrável. Então |f | é integrável em I e∣∣∣∣
∫
If(x) dx
∣∣∣∣ 6
∫
I|f(x)| dx.
f) Sef : I ⊆ Rn → R
é uma função contínua, excepto num número finito de pontos, entãof é integrável. Em particular, as funções contínuas são integráveis.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 367 / 427
Índice
1 Equações diferenciais ordinárias
2 Funções de Rn em Rm: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em Rn
4 Cálculo integral em Rn
Integrais em Rn: definição, exemplos e propriedadesTeorema de FubiniIntegrais em conjuntos mais geraisMudança de coordenadasAplicações ao cálculo de áreas e de volumes
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 368 / 427
§4.2 Teorema de Fubini
Teorema de Fubini
Sejam I um intervalo fechado e limitado de Rn, J um intervalo fechadoe limitado de Rm e
f : I × J ⊆ Rn × Rm → R
uma função limitada e integrável. Se f é integrável (como função de x)em I para qualquer y ∈ J , então
∫
I×Jf(x, y) dx dy =
∫
J
[∫
If(x, y) dx
]
dy.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 369 / 427
§4.2 Teorema de Fubini
Teorema de Fubini para funções contínuas
Sejam I um intervalo fechado e limitado de Rn, J um intervalo fechadoe limitado de Rm e
f : I × J ⊆ Rn × Rm → R
uma função contínua e, consequentemente, integrável à Riemann emI × J . Então
a) f é integrável (como função de x) em I para qualquer y ∈ J ;
b) a função
g(y) =∫
If(x, y) dx
é integrável em I e∫
I×Jf(x, y) dx dy =
∫
J
[∫
If(x, y) dx
]
dy.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 370 / 427
§4.2 Teorema de Fubini
Exemplos
a) Calculemos o integral∫
[0,1]×[2,3]xy2 dx dy. Então
∫
[0,1]×[2,3]xy2 dx dy =
∫ 3
2
∫ 1
0xy2 dx dy
=∫ 3
2
[
x2y2
2
]x=1
x=0
dy
=∫ 3
2
y2
2− 0 dy
=
[
y3
6
]y=3
y=2
=276
− 86
=196.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 371 / 427
§4.2 Teorema de Fubini
Exemplos (continuação)
a) (continuação) Este integral também pode ser calculado da seguinteforma:
∫
[0,1]×[2,3]
xy2 dx dy =∫ 1
0
∫ 3
2
xy2 dy dx
=∫ 1
0
[xy3
3
]y=3
y=2
dx
=∫ 1
0
27x3
− 8x3dx
=∫ 1
0
19x3
dx
=[
19x2
6
]x=1
x=0
=196
− 0 =196.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 372 / 427
§4.2 Teorema de Fubini
Exemplos (continuação)
b) Calculemos∫
[0,1]×[0,2]×[1,3]xy2z dx dy dz:
∫
[0,1]×[0,2]×[1,3]xy2z dx dy dz =
∫ 3
1
∫ 2
0
∫ 1
0xy2z dx dy dz
=∫ 3
1
∫ 2
0
[
x2y2z
2
]x=1
x=0
dy dz
=∫ 3
1
∫ 2
0
y2z
2dy dz =
∫ 3
1
[
y3z
6
]y=2
y=0
dz
=∫ 3
1
8z6dz =
[
8z2
12
]z=3
z=1
=7212
− 812
=163
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 373 / 427
§4.2 Teorema de Fubini
Exemplos (continuação)
b) (continuação) Outro processo seria
∫
[0,1]×[0,2]×[1,3]xy2z dx dy dz =
∫ 3
1
∫ 2
0
∫ 1
0xy2z dx dy dz
=∫ 3
1z dz
∫ 2
0y2 dy
∫ 1
0x dx
=
[
z2
2
]z=3
z=1
[
y3
3
]y=2
y=0
[
x2
2
]x=1
x=0
=(
92
− 12
)83
12
=163
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 374 / 427
Índice
1 Equações diferenciais ordinárias
2 Funções de Rn em Rm: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em Rn
4 Cálculo integral em Rn
Integrais em Rn: definição, exemplos e propriedadesTeorema de FubiniIntegrais em conjuntos mais geraisMudança de coordenadasAplicações ao cálculo de áreas e de volumes
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 375 / 427
§4.3 Integrais em conjuntos mais gerais
Sejaf : D ⊆ Rn → R
uma função limitada definida num subconjunto limitado D ⊆ Rn.Sejam I um intervalo de Rn fechado e limitado tal que D está contidono interior de I e
f̃ : I ⊆ Rn → R
a função dada por
f̃(x) =
{
f(x) se x ∈ D
0 se x ∈ I \D
Dizemos que f é integrável em D se f̃ for integrável em I e definimos ointegral de f em D por
∫
Df(x) dx =
∫
If̃(x) dx.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 376 / 427
§4.3 Integrais em conjuntos mais gerais
Verifica-se facilmente que a escolha do intervalo I não influencia adefinição anterior, nem o valor
∫
Df(x) dx.
As propriedades que vimos para integrais de funções definidas emintervalos também se verificam para este tipo de integrais. Veremos emseguida essas propriedades.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 377 / 427
§4.3 Integrais em conjuntos mais gerais
Propriedades dos integrais
Seja D um subconjunto limitado de Rn.
a) Sef, g : D ⊆ Rn → R
são funções integráveis em D, então f + g é integrável em D e∫
D[f(x) + g(x)] dx =
∫
Df(x) dx+
∫
Dg(x) dx.
b) Se λ é um número real e
f : D ⊆ Rn → R
é uma função integrável em D, então λ f é integrável em D e∫
Dλ f(x) dx = λ
∫
Df(x) dx.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 378 / 427
§4.3 Integrais em conjuntos mais gerais
Propriedades dos integrais (continuação)
c) Sejam D1 e D2 dois subconjuntos limitados de Rn tais que
int (D1 ∩D2) = ∅ e D = D1 ∪D2
e sejaf : D ⊆ Rn → R.
Sef é integrável em D1, em D2 e em D,
então ∫
Df(x) dx =
∫
D1
f(x) dx+∫
D2
f(x) dx.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 379 / 427
§4.3 Integrais em conjuntos mais gerais
Propriedades dos integrais (continuação)
d) Sef, g : D ⊆ Rn → R
são duas funções integráveis em D tais que
f(x) 6 g(x) para cada x ∈ D,
então ∫
Df(x) dx 6
∫
Dg(x) dx.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 380 / 427
§4.3 Integrais em conjuntos mais gerais
Propriedades dos integrais (continuação)
e) Sejaf : D ⊆ Rn → R
uma função integrável. Então
|f | é integrável em D
e ∣∣∣∣
∫
Df(x) dx
∣∣∣∣ 6
∫
D|f(x)| dx.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 381 / 427
§4.3 Integrais em conjuntos mais gerais
Seja D um subconjunto limitado de R2 da forma
D ={
(x, y) ∈ R2 : a 6 x 6 b ∧ ϕ1(x) 6 y 6 ϕ2(x)},
ondeϕ1, ϕ2 : [a, b] ⊆ R → R
são funções limitadas em [a, b].
x
y
a b
y = ϕ2(x)
y = ϕ1(x)
D
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 382 / 427
§4.3 Integrais em conjuntos mais gerais
Sef : D ⊆ R2 → R
é uma função limitada e integrável em
D ={
(x, y) ∈ R2 : a 6 x 6 b ∧ ϕ1(x) 6 y 6 ϕ2(x)}
,
recorrendo ao teorema de Fubini, temos
∫∫
Df(x, y) dx dy =
∫ b
a
(∫ ϕ2(x)
ϕ1(x)f(x, y) dy
)
dx,
desde que a função f(x, y) seja (como função de y) integrável em[ϕ1(x), ϕ2(x)] para qualquer x ∈ [a, b]. Este integral também secostuma representar por
∫∫
Df(x, y) dA.
É de referir que se as funções ϕ1, ϕ2 e f são contínuas, excepto numnúmero finito de pontos, então f é integrável em D.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 383 / 427
§4.3 Integrais em conjuntos mais gerais
Analogamente, se D é um subconjunto limitado de Rn da forma
D ={
(x, y) ∈ R2 : ψ1(y) 6 x 6 ψ2(y) ∧ c 6 y 6 d}
,
ondeψ1, ψ2 : [c, d] ⊆ R → R,
tem-se∫∫
Df(x, y) dx dy =
∫ d
c
(∫ ψ2(y)
ψ1(y)f(x, y) dx
)
dy.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 384 / 427
§4.3 Integrais em conjuntos mais gerais
Exemplos
a) Seja D ⊆ R2 o conjunto dos pontos de [0, 1] × [0, 1] que estão entre aparábola de equação y = x2 e a recta de equação y = x.
x
y
b
1
1 by = x
b
y = x2
b
Então
D ={
(x, y) ∈ R2 : 0 6 x 6 1 ∧ x26 y 6 x
}
={
(x, y) ∈ R2 : 0 6 y 6 1 ∧ y 6 x 6√y}
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 385 / 427
§4.3 Integrais em conjuntos mais gerais
Exemplos (continuação)
a) (continuação) Calculemos∫∫
D
xy2 dA.
ComoD =
{(x, y) ∈ R2 : 0 6 x 6 1 ∧ x2
6 y 6 x},
tem-se∫∫
D
xy2 dA =∫ 1
0
∫ x
x2
xy2 dy dx =∫ 1
0
[
xy3
3
]y=x
y=x2
dx
=∫ 1
0
x · x3
3− x(x2)3
3dx =
∫ 1
0
x4
3− x7
3dx
=[
x5
15− x8
24
]x=1
x=0
=115
− 124
− (0 − 0)
=24 − 1515 · 24
=9
15 · 24=
15 · 8
=140.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 386 / 427
§4.3 Integrais em conjuntos mais gerais
Exemplos (continuação)
a) (continuação) Atendendo a que
D ={
(x, y) ∈ R2 : 0 6 y 6 1 ∧ y 6 x 6√y},
o integral também podia ter sido calculado da seguinte forma:
∫∫
D
xy2 dA =∫ 1
0
∫ √y
y
xy2 dx dy =∫ 1
0
[
x2y2
2
]x=√
y
x=y
dy
=∫ 1
0
(√y)2y2
2− y2y2
2dy =
∫ 1
0
y3
2− y4
2dy
=[
y4
8− y5
10
]y=1
y=0
=18
− 110
− (0 − 0)
=540
− 440
=140.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 387 / 427
§4.3 Integrais em conjuntos mais gerais
Exemplos (continuação)
b) Seja f : D ⊆ R2 → R a função dada por f(x, y) = xy3, onde
D ={
(x, y) ∈ R2 : x > 0 ∧ y > 0 ∧ x 6 −4y2 + 3}.
x
y
x = −4y2 + 3
3
√3/2
−√
3/2
O conjunto D também pode ser também definido por
D ={
(x, y) ∈ R2 : 0 6 y 6√
3/2 ∧ 0 6 x 6 −4y2 + 3}
.
e como f é continua, f é integrável em D.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 388 / 427
§4.3 Integrais em conjuntos mais gerais
Exemplos (continuação)
b) (continuação) Assim,∫∫
Df(x, y) dx dy =
∫√
32
0
∫ 3−4y2
0xy3 dx dy
=∫
√3
2
0
[12x2y3
]x=3−4y2
x=0dy
=∫
√3
2
0
(92
− 12y2 + 8y4)
y3 dy
=∫
√3
2
0
92y3 − 12y5 + 8y7 dy
=[
98y4 − 2y6 + y8
]√
32
0
=27256
.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 389 / 427
§4.3 Integrais em conjuntos mais gerais
Exemplos (continuação)
b) (continuação) Também podíamos ter definido D da seguinte forma
D =
{
(x, y) ∈ R2 : 0 6 x 6 3 ∧ 0 6 y 6
√
3 − x
4
}
e, portanto,
∫∫
Df(x, y) dy dx =
∫ 3
0
∫√
3−x4
0xy3 dy dx =
∫ 3
0
[
xy4
4
]y=√
3−x4
y=0
dx
=∫ 3
0
x
4
(3 − x
4
)2
dx =∫ 3
0
9x64
− 3x2
32+x3
64dx
=
[
9x2
128− x3
32+
x4
256
]x=3
x=0
=27256
.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 390 / 427
§4.3 Integrais em conjuntos mais gerais
Situações semelhantes às anteriores ocorrem noutras dimensões. Emparticular, em R3, por exemplo numa região da forma
D ={
(x, y, z) ∈ R3 : a 6 x 6 b ∧ ϕ1(x) 6 y 6 ϕ2(x) ∧ ψ1(x, y) 6 z 6 ψ2(x, y)},
ondeϕ1, ϕ2 : [a, b] → R
eψ1, ψ2 : {(x, y) ∈ R2 : a 6 x 6 b ∧ ϕ1(x) 6 y 6 ϕ2(x)} → R
são funções limitadas. Temos nesse caso
∫∫∫
Df(x, y, z) dx dy dz =
∫ b
a
(∫ ϕ2(x)
ϕ1(x)
(∫ ψ2(x,y)
ψ1(x,y)f(x, y, z) dz
)
dy
)
dx
desde que os integrais interiores existam.
Podemos estabelecer resultados semelhantes para regiões como a acimaonde os papeis das variáveis “estejam trocados”.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 391 / 427
§4.3 Integrais em conjuntos mais gerais
Exemplo
A função f : R3 → R dada por f(x, y, z) = xy é contínua em R3 e, portanto, éintegrável na região
D ={
(x, y, z) ∈ R3 : 0 6 y 6 1 ∧ 0 6 x 6 y ∧ 0 6 z 6 x+ 2y}.
Além disso,
∫∫∫
D
f(x, y, z) dx dy dz =∫ 1
0
∫ y
0
∫ x+2y
0
xy dz dx dy
=∫ 1
0
∫ y
0
[xyz
]z=x+2y
z=0dx dy =
∫ 1
0
∫ y
0
xy(x+ 2y) dx dy
=∫ 1
0
∫ y
0
x2y + 2xy2 dx dy =∫ 1
0
[
x3y
3+ x2y2
]x=y
x=0
dy
=∫ 1
0
y4
3+ y4 dy =
[
y5
15+y5
5
]y=1
y=0
=415
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 392 / 427
§4.3 Integrais em conjuntos mais gerais
Situações semelhantes podem ser resolvidas de forma correspondenteem Rn, n > 4.
Muitas vezes queremos calcular integrais em regiões que se podemdecompor-se em regiões mais simples. Naturalmente, se em cada umadestas regiões mais simples conseguirmos calcular o integral, apelandoà linearidade do integral relativamente à região de integração, podemoscalcular integral original. O próximo exemplo ilustra esta forma deproceder.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 393 / 427
§4.3 Integrais em conjuntos mais gerais
Exemplo
A função f : R2 → R dada por
f(x, y) = 2x2y
é contínua em R2 e, portanto, é integrável no conjunto
D ={
(x, y) ∈ R2 : |x| 6 y 6 2 − x2}
pois as funções|x| e 2 − x2
são contínuas.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 394 / 427
§4.3 Integrais em conjuntos mais gerais
Exemplo (continuação)
A representação geométrica do conjunto é
x
y
y = |x|
y = 2 − x2
1−1
11
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 395 / 427
§4.3 Integrais em conjuntos mais gerais
Exemplo (continuação)
Para calcularmos o integral de f em D vamos dividir D em duasregiões:
D1 ={
(x, y) ∈ R2 : 0 6 x 6 1 ∧ x 6 y 6 2 − x2}
eD2 =
{
(x, y) ∈ R2 : − 1 6 x 6 0 ∧ −x 6 y 6 2 − x2}
ComoD = D1 ∪D2
eint (D1 ∩D2) = ∅,
podemos calcular o integral de f em D à custa dos integrais de f emD1 e D2.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 396 / 427
§4.3 Integrais em conjuntos mais gerais
Exemplo (continuação)
Assim, porque∫∫
D1
f(x, y) dx dy =∫ 1
0
∫ 2−x2
x
2x2y dy dx =∫ 1
0
[x2y2
]y=2−x2
y=xdx
=∫ 1
0
4x2 − 5x4 + x6 dx =[
4x3
3− x5 +
x7
7
]x=1
x=0
=1021
e∫∫
D2
f(x, y) dx dy =∫ 0
−1
∫ 2−x2
−x
2x2y dy dx =∫ 0
−1
[x2y2
]y=2−x2
y=−xdx
=∫ 1
0
4x2 − 5x4 + x6 dx =[
4x3
3− x5 +
x7
7
]x=0
x=−1
=1021
concluímos que∫∫
D
f(x, y) dx dy =∫∫
D1
f(x, y) dx dy +∫∫
D2
f(x, y) dx dy =2021.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 397 / 427
Índice
1 Equações diferenciais ordinárias
2 Funções de Rn em Rm: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em Rn
4 Cálculo integral em Rn
Integrais em Rn: definição, exemplos e propriedadesTeorema de FubiniIntegrais em conjuntos mais geraisMudança de coordenadas
Teorema de Mudança de CoordenadasCoordenadas PolaresCoordenadas CilíndricasCoordenadas Esféricas
Aplicações ao cálculo de áreas e de volumes
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 398 / 427
Índice
1 Equações diferenciais ordinárias
2 Funções de Rn em Rm: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em Rn
4 Cálculo integral em Rn
Integrais em Rn: definição, exemplos e propriedadesTeorema de FubiniIntegrais em conjuntos mais geraisMudança de coordenadas
Teorema de Mudança de CoordenadasCoordenadas PolaresCoordenadas CilíndricasCoordenadas Esféricas
Aplicações ao cálculo de áreas e de volumes
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 399 / 427
§4.4.1 Teorema de Mudança de Coordenadas
Muitas vezes, é necessário recorrer a outros sistemas de coordenadaspara calcular determinados integrais, pois a geometria da região deintegração, ou determinadas simetrias da função que queremos integrar,tornam o cálculo consideravelmente mais fácil numas coordenadas, enão noutras.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 400 / 427
§4.4.1 Teorema de Mudança de Coordenadas
Seja U ⊆ Rn um conjunto aberto. Dizemos que uma função
g : U ⊆ Rn → Rn
é uma mudança de coordenadas em U se verificar as seguintescondições:
a) g é de classe C1;
b) g é injectiva;
c) det g′(x) 6= 0 para todo o x ∈ U .
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 401 / 427
§4.4.1 Teorema de Mudança de Coordenadas
Teorema de mudança de coordenadas
Sejam U ⊆ Rn um conjunto aberto,
f : D ⊆ Rn → R
uma função integrável em D e
g : U ⊆ Rn → Rn
uma mudança de coordenadas tal que
g(U) = D.
Então
f ◦ g : U ⊆ Rn → R
é integrável em U e∫
Df(y) dy =
∫
Uf(g(x))
∣∣det g′(x)
∣∣ dx.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 402 / 427
§4.4.1 Teorema de Mudança de Coordenadas
No caso particular n = 1 recuperamos a fórmula de integração porsubstituição, que vimos no Cálculo I. De facto, sejam
f : [a, b] → R
uma função integrável em [a, b] (com a < b) e
g : [c, d] → R
uma mudança de coordenadas com
g([c, d]) = [a, b], g(c) = a e g(d) = b.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 403 / 427
§4.4.1 Teorema de Mudança de Coordenadas
Como g é uma mudança de coordenadas, temos que
det g′(x) = g′(x) 6= 0 para todo x ∈ D.
Porque g′ é continua (uma vez que g é de classe C1 em U) concluímosque g não muda de sinal em [c, d].
Atendendo a queg(c) = a < b = g(d)
temos g′(x) > 0 para todo o x ∈ [c, d]. Assim,
|g′(x)| = g′(x)
e portanto
∫ b
af(x) dx =
∫ d
cf(g(t))|g′(t)| dt =
∫ d
cf(g(t))g′(t) dt.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 404 / 427
Índice
1 Equações diferenciais ordinárias
2 Funções de Rn em Rm: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em Rn
4 Cálculo integral em Rn
Integrais em Rn: definição, exemplos e propriedadesTeorema de FubiniIntegrais em conjuntos mais geraisMudança de coordenadas
Teorema de Mudança de CoordenadasCoordenadas PolaresCoordenadas CilíndricasCoordenadas Esféricas
Aplicações ao cálculo de áreas e de volumes
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 405 / 427
§4.4.2 Coordenadas Polares
bb
x
y
r
θ
As coordenadas polares sãocoordenadas em R2 definidas por
{
x = r cos θ
y = r sen θ
com
r ∈ ]0,+∞[ e θ ∈ ]0, 2π[.
As variáveis r e θ correspondem, respectivamente, à distância à origeme ao ângulo formado pelo vector (x, y) e o semi-eixo positivo dos xx.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 406 / 427
§4.4.2 Coordenadas Polares
SejaU =
{
(r, θ) ∈ R2 : r > 0 e θ ∈ ]0, 2π[}
eg : U ⊆ R2 → R2
dada porg(r, θ) = (r cos θ, r sen θ) = (x, y).
Em U podemos concluir que g é injectiva notando que para cada r0 > 0fixo, a função
h(θ) = (r0 cos θ, r0 sen θ)
é injectiva (descreve a circunferência de raio r0 com excepção do ponto(x, y) = (r0, 0)). Note-se que quando r = 0 perdemos a injectividade.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 407 / 427
§4.4.2 Coordenadas Polares
Temos ainda
det g′(r, θ) = det
[
cos θ −r sen θsen θ r cos θ
]
= r(cos2 θ + sen2 θ) = r
pelo que podemos concluir que g é de classe C1 em U e que
det g′(r, θ) 6= 0 para todo o (r, θ) ∈ U.
Obtemos o seguinte caso particular do teorema de mudança decoordenadas para o caso das coordenadas polares
∫∫
Df(x, y) dx dy =
∫∫
D1
f(r cos θ, r sen θ)r dr dθ
com D1 tal queg(D1) = D.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 408 / 427
§4.4.2 Coordenadas Polares
Exemplo de mudança para coordenadas polares
Consideremos a região
D ={
(x, y) ∈ R2 : x2 + y26 4 e x > y e y > 0
}
,
cuja representação geométrica é
x
y
x2 + y2 = 4
2
2 y = x
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 409 / 427
§4.4.2 Coordenadas Polares
Exemplo de mudança para coordenadas polares (continuação)
Temos que
∫∫
Dex
2+y2dx dy =
∫ π/4
0
∫ 2
0er
2r dr dθ =
∫ π/4
01 dθ
∫ 2
0r er
2dr
=[
θ]θ=π/4
θ=0
[
er2
2
]r=2
r=0
=(π
4− 0
) (
e4
2− e0
2
)
=π
8(e4 −1).
É de notar que a mudança de coordenadas que fizemos não está nascondições do Teorema de mudança de coordenadas. No entanto, paraestarmos nas condições do Teorema de mudança de coordenadasbastaria considerar um conjunto “ligeiramente” mais pequeno e, porisso, o valor do integral não se altera.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 410 / 427
Índice
1 Equações diferenciais ordinárias
2 Funções de Rn em Rm: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em Rn
4 Cálculo integral em Rn
Integrais em Rn: definição, exemplos e propriedadesTeorema de FubiniIntegrais em conjuntos mais geraisMudança de coordenadas
Teorema de Mudança de CoordenadasCoordenadas PolaresCoordenadas CilíndricasCoordenadas Esféricas
Aplicações ao cálculo de áreas e de volumes
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 411 / 427
§4.4.3 Coordenadas Cilíndricas
b
x
y
z
b
rθ
As coordenadas cilíndricassão coordenadas em R3 definidas por
x = r cos θ
y = r sen θ
z = z
com
z ∈ R, r ∈ ]0,+∞[ e θ ∈ ]0, 2π[
e que correspondem de alguma forma aconsiderar coordenadas polares em cada plano z = z0. As variáveis r, θcorrespondem, respectivamente, à distância do ponto (x, y, 0) à origeme ao ângulo que vector (x, y, 0) faz com o semi-eixo positivo dos xx. Avariável z continua a corresponder à coordenada cartesiana z.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 412 / 427
§4.4.3 Coordenadas Cilíndricas
SejaU =
{
(r, θ, z) ∈ R3 : r > 0 ∧ θ ∈ ]0, 2π[ ∧ z ∈ R}
eg : U ⊆ R3 → R3
dada porg(r, θ, z) = (r cos θ, r sen θ, z) = (x, y, z).
Em U podemos concluir que g é injectiva notando que para cada r0 > 0e z0 fixos, a função
h(θ) = (r0 cos θ, r0 sen θ, z0)
é injectiva (descreve no plano z = z0 a circunferência de raio r0
centrada em (0, 0, z0) com excepção do ponto = (r0, 0, z0)). Note-se quese r = 0 perdemos a injectividade. Além disso, que não poderíamos porexemplo considerar θ ∈ [0, 2π[ uma vez que deixaríamos de ter umconjunto aberto.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 413 / 427
§4.4.3 Coordenadas Cilíndricas
Atendendo a que
det g′(r, θ, z) = det
cos θ −r sen θ 0sen θ r cos θ 0
0 0 1
= r(cos2 θ + sen2 θ) = r
concluímos que g é de classe C1 em U e que
det g′(r, θ, z) 6= 0 para todo o (r, θ, z) ∈ U.
Obtemos assim o seguinte caso particular do teorema de mudança decoordenadas para coordenadas cilíndricas:
∫∫∫
Df(x, y, z) dx dy dz =
∫∫∫
D1
f(r cos θ, r sen θ, z)r dz dr dθ
onde D1 é tal queg(D1) = D.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 414 / 427
§4.4.3 Coordenadas Cilíndricas
Exemplo de mudança para coordenadas cilíndricas
Consideremos a região
D ={
(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y26 4 ∧ 1 6 z 6 2
}.
x
y
z
1
2
2−2
Temos que a função f : R3 → R dada por
f(x, y, z) = cos(x2 + y2 + z)
é integrável em D.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 415 / 427
§4.4.3 Coordenadas Cilíndricas
Exemplo de mudança para coordenadas cilíndricas (continuação)
Assim, tendo em conta que a projecção de D no plano z = 0 é um círculocentrado em (0, 0) e de raio 2, usando coordenadas cilíndricas temos
∫∫∫
D
cos(x2 + y2 + z) dx dy dz =
∫ 2π
0
∫ 2
0
∫ 2
1
cos(r2 + z)r dz dr dθ
=
∫ 2π
0
∫ 2
0
r
∫ 2
1
cos(r2 + z) dz dr dθ =
∫ 2π
0
∫ 2
0
r[
sen(r2 + z)]z=2
z=1dr dθ
=
∫ 2π
0
∫ 2
0
r(sen(r2 + 2) − sen(r2 + 1)
)dr dθ
=
∫ 2π
0
1 dθ
∫ 2
0
r sen(r2 + 2) − r sen(r2 + 1) dr
=[θ]θ=2π
θ=0
[
−cos(r2 + 2)
2+
cos(r2 + 1)
2
]r=2
r=0
= (2π − 0)(
−cos 6
2+
cos 5
2−(
−cos 2
2+
cos 1
2
))
= π (cos 5 + cos 1 − cos 6 − cos 1) .
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 416 / 427
§4.4.3 Coordenadas Cilíndricas
Tal como aconteceu com o exemplo da mudança para coordenadaspolares, é de notar que a mudança de coordenadas que fizemos noexemplo anterior não está nas condições do Teorema de mudança decoordenadas. No entanto, para estarmos nas condições do Teorema demudança de coordenadas bastaria considerar um conjunto“ligeiramente” mais pequeno e, por isso, o valor do integral não sealtera.
António J. G. Bento (UBI) Cálculo II 2015/2016 417 / 427
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1 Equações diferenciais ordinárias
2 Funções de Rn em Rm: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em Rn
4 Cálculo integral em Rn
Integrais em Rn: definição, exemplos e propriedadesTeorema de FubiniIntegrais em conjuntos mais geraisMudança de coordenadas
Teorema de Mudança de CoordenadasCoordenadas PolaresCoordenadas CilíndricasCoordenadas Esféricas
Aplicações ao cálculo de áreas e de volumes
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§4.4.4 Coordenadas Esféricas
x
y
z
b
r
θ
ϕ
As coordenadas esféricas sãocoordenadas em R3 definidas por
x = r cos θ senϕ
y = r sen θ senϕ
z = r cosϕ
com
r ∈ ]0,+∞[,
θ ∈ ]0, 2π[,
ϕ ∈ ]0, π[.
As variáveis r, θ e ϕ correspondem, respectivamente, à distância doponto (x, y, z) à origem, ao ângulo que o vector (x, y, 0) faz comsemi-eixo positivo dos xx e ao ângulo que o vector (x, y, z) faz com osemi-eixo positivo dos zz.
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§4.4.4 Coordenadas Esféricas
SejaU =
{
(r, θ, ϕ) ∈ R3 : r > 0 ∧ θ ∈ ]0, 2π[ ∧ ϕ ∈ ]0, π[}
eg : U ⊆ R3 → R3
dada por
g(r, θ, ϕ) = (r cos θ senϕ, r sen θ senϕ, r cosϕ) = (x, y, z).
Em U a aplicação g é injectiva. De facto, para cada r0 > 0 fixo, asvariáveis θ ∈ ]0, 2π[ e ϕ ∈ ]0, π[ geram uma esfera de raio r0 comexcepção do meridiano que passa pelo ponto (x, y, z) = (r0, 0, 0).
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§4.4.4 Coordenadas Esféricas
Atendendo a que
det g′(r, θ, ϕ) = det
cos θ senϕ −r sen θ senϕ r cos θ cosϕsen θ senϕ r cos θ senϕ r sen θ cosϕ
cosϕ 0 −r senϕ
= −r2 senϕ
concluímos que g é de classe C1 em U e que
det g′(r, θ, ϕ) 6= 0 para todo o (r, θ, ϕ) ∈ U.
Obtemos portanto o seguinte caso particular do teorema de mudançade coordenadas para o caso das coordenadas esféricas:
∫∫∫
Df(x, y, z) dx dy dz
=∫∫∫
D1
f(r cos θ senϕ, r sen θ senϕ, r cosϕ) r2 senϕdr dϕdθ
com D1 tal queg(D1) = D.
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§4.4.4 Coordenadas Esféricas
Exemplo de mudança para coordenadas esféricas
Se D ={(x, y, z) ∈ R3 : 1 6 x2 + y2 + z2 6 4
}, então usando
coordenadas esféricas temos∫∫∫
D
(x2 + y2 + z2)2 dx dy dz =∫ 2π
0
∫ π
0
∫ 2
1
r4r2 senϕdr dϕdθ
=∫ 2π
0
1 dθ∫ π
0
senϕdϕ∫ 2
1
r6 dr =[θ]θ=2π
θ=0
[− cosϕ
]ϕ=π
ϕ=0
[
r7
7
]r=2
r=1
= (2π − 0)[
− cosπ − (− cos 0)](
1287
− 17
)
= 2π · 2 · 1277
=5087π.
Também neste exemplo se verifica algo de semelhante ao que aconteceunos exemplos de coordenadas polares e de coordenadas cilíndricas, ouseja, não estamos nas condições do Teorema de mudança decoordenadas, mas isso não causa problemas pelas mesmas razões quetambém não causava nas duas outras mudanças de coordenadas.
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Índice
1 Equações diferenciais ordinárias
2 Funções de Rn em Rm: limites e continuidade
3 Cálculo diferencial em Rn
4 Cálculo integral em Rn
Integrais em Rn: definição, exemplos e propriedadesTeorema de FubiniIntegrais em conjuntos mais geraisMudança de coordenadasAplicações ao cálculo de áreas e de volumes
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§4.5 Aplicações ao cálculo de áreas e de volumes
Como se deduz da construção feita na primeira secção deste capítulo, ointegral de uma função f não negativa com n variáveis, x1, . . . , xn,integrável numa dada região limitada R é numericamente igual aovolume ((n + 1)-dimensional) da região (n+ 1)-dimensionalcompreendida entre o seu gráfico e o plano n-dimensional de equação
xn+1 = 0.
Assim concluímos que o volume VR de uma região R ⊆ Rn limitada édado por
VR =∫
R1 dx1 · · · dxn,
caso o integral exista.
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§4.5 Aplicações ao cálculo de áreas e de volumes
Em particular, se C ⊆ R2 é uma região limitada, a sua área AC é dadapor
AC =∫∫
C1 dx dy
e se D ⊆ R3 é um sólido limitado, o seu volume VD é dado por
VD =∫∫∫
D1 dx dy dz,
desde que os integrais considerados existam.
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§4.5 Aplicações ao cálculo de áreas e de volumes
Exemplos
a) SejaC =
{
(x, y) ∈ R2 : x2 + y26 1 e y > |x|
}
.
A área da região C é dada por
AC =∫∫
C1 dx dy =
∫ 3π/4
π/4
∫ 1
0r dr dθ
=∫ 3π/4
π/41 dθ
∫ 1
0r dr =
[
θ]θ=3π/4
θ=π/4
[
r2
2
]r=1
r=0
=(
3π4
− π
4
)(12
− 0)
=π
2· 1
2
=π
4.
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§4.5 Aplicações ao cálculo de áreas e de volumes
Exemplos (continuação)
b) Seja D a região compreendida entre as esferas de raio 1 e de raio 2.O volume da região D é dado por
VD =∫∫∫
D1 dx dy dz =
∫ 2π
0
∫ π
0
∫ 2
1r2 senϕdr dϕdθ
=∫ 2π
01 dθ
∫ π
0senϕdϕ
∫ 2
1r2 dr
=[
θ]θ=2π
θ=0
[
− cosϕ]ϕ=π
ϕ=0
[
r3
3
]r=2
r=1
= (2π − 0) (− cos π − (− cos 0))(
83
− 13
)
= 2π · 2 · 73
=28π3.
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