adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades

Adjunta de una representación linealEjemplos. Propiedades

Jana Rodriguez HertzGAL2

IMERL

12 de octubre de 2010

adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades

definición

definición: adjunta

definición (clase pasada)V ,W e.v. sobre K con producto interno

T : V →W transformación linealcualquier función T ∗ : W → V se llama adjunta de T si

〈T (v),w〉 = 〈v ,T ∗(w)〉 ∀v ∈ V w ∈W

adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades

definición

definición: adjunta

definición (clase pasada)V ,W e.v. sobre K con producto internoT : V →W transformación lineal

cualquier función T ∗ : W → V se llama adjunta de T si

〈T (v),w〉 = 〈v ,T ∗(w)〉 ∀v ∈ V w ∈W

adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades

definición

definición: adjunta

definición (clase pasada)V ,W e.v. sobre K con producto internoT : V →W transformación linealcualquier función T ∗ : W → V se llama adjunta de T si

〈T (v),w〉 = 〈v ,T ∗(w)〉 ∀v ∈ V w ∈W

adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades

definición

definición: adjunta

definición (clase pasada)V ,W e.v. sobre K con producto internoT : V →W transformación linealcualquier función T ∗ : W → V se llama adjunta de T si

〈T (v),w〉 = 〈v ,T ∗(w)〉 ∀v ∈ V w ∈W

adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades

existencia y unicidad de la adjunta

teorema de existencia y unicidad

teorema: ∃! adjunta (clase pasada)V ,W e.v. sobre K de dimensión finita

toda T : V →W tranformación linealtiene una única T ∗ : W → V transformación lineal adjunta

adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades

existencia y unicidad de la adjunta

teorema de existencia y unicidad

teorema: ∃! adjunta (clase pasada)V ,W e.v. sobre K de dimensión finitatoda T : V →W tranformación lineal

tiene una única T ∗ : W → V transformación lineal adjunta

adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades

existencia y unicidad de la adjunta

teorema de existencia y unicidad

teorema: ∃! adjunta (clase pasada)V ,W e.v. sobre K de dimensión finitatoda T : V →W tranformación linealtiene una única T ∗ : W → V transformación lineal adjunta

adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades

ejemplo 1

ejemplo 1

ejemplo 1

en R3 con el producto interno habitual, consideramos

T (x , y , z) = (x − y + 2z,4x − 3z, x + 5y + z)

calculemos T ∗ : R3 → R3,

alcanza con base canónica

⇒ T ∗(1,0,0) = (1,−1,2)

⇒ T ∗(0,1,0) = (4,0,−3)

⇒ T ∗(0,0,1) = (1,5,1)

∴ T ∗(x , y , z) = x(1,−1,2) + y(4,0,−3) + z(1,5,1)

=(x + 4y + z,−x + 5z,2x − 3y + z)

adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades

ejemplo 1

ejemplo 1

ejemplo 1

en R3 con el producto interno habitual, consideramosT (x , y , z) = (x − y + 2z,4x − 3z, x + 5y + z)

calculemos T ∗ : R3 → R3,

alcanza con base canónica

⇒ T ∗(1,0,0) = (1,−1,2)

⇒ T ∗(0,1,0) = (4,0,−3)

⇒ T ∗(0,0,1) = (1,5,1)

∴ T ∗(x , y , z) = x(1,−1,2) + y(4,0,−3) + z(1,5,1)

=(x + 4y + z,−x + 5z,2x − 3y + z)

adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades

ejemplo 1

ejemplo 1

ejemplo 1

en R3 con el producto interno habitual, consideramosT (x , y , z) = (x − y + 2z,4x − 3z, x + 5y + z)

calculemos T ∗ : R3 → R3,

alcanza con base canónica⇒ T ∗(1,0,0) = (1,−1,2)

⇒ T ∗(0,1,0) = (4,0,−3)

⇒ T ∗(0,0,1) = (1,5,1)

∴ T ∗(x , y , z) = x(1,−1,2) + y(4,0,−3) + z(1,5,1)

=(x + 4y + z,−x + 5z,2x − 3y + z)

adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades

ejemplo 1

ejemplo 1

ejemplo 1

en R3 con el producto interno habitual, consideramosT (x , y , z) = (x − y + 2z,4x − 3z, x + 5y + z)

calculemos T ∗ : R3 → R3, alcanza con base canónica

⇒ T ∗(1,0,0) = (1,−1,2)

⇒ T ∗(0,1,0) = (4,0,−3)

⇒ T ∗(0,0,1) = (1,5,1)

∴ T ∗(x , y , z) = x(1,−1,2) + y(4,0,−3) + z(1,5,1)

=(x + 4y + z,−x + 5z,2x − 3y + z)

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ejemplo 1

ejemplo 1

ejemplo 1

en R3 con el producto interno habitual, consideramosT (x , y , z) = (x − y + 2z,4x − 3z, x + 5y + z)

calculemos T ∗ : R3 → R3, alcanza con base canónica〈(x , y , z),T ∗(1,0,0)〉 =

〈T (x , y , z), (1,0,0)〉 =x − y + 2z = 〈(x , y , z), (1,−1,2)〉 ∀(x , y , z)

⇒ T ∗(1,0,0) = (1,−1,2)

⇒ T ∗(0,1,0) = (4,0,−3)

⇒ T ∗(0,0,1) = (1,5,1)

∴ T ∗(x , y , z) = x(1,−1,2) + y(4,0,−3) + z(1,5,1)

=(x + 4y + z,−x + 5z,2x − 3y + z)

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ejemplo 1

ejemplo 1

ejemplo 1

en R3 con el producto interno habitual, consideramosT (x , y , z) = (x − y + 2z,4x − 3z, x + 5y + z)

calculemos T ∗ : R3 → R3, alcanza con base canónica〈(x , y , z),T ∗(1,0,0)〉 = 〈T (x , y , z), (1,0,0)〉

=x − y + 2z = 〈(x , y , z), (1,−1,2)〉 ∀(x , y , z)

⇒ T ∗(1,0,0) = (1,−1,2)

⇒ T ∗(0,1,0) = (4,0,−3)

⇒ T ∗(0,0,1) = (1,5,1)

∴ T ∗(x , y , z) = x(1,−1,2) + y(4,0,−3) + z(1,5,1)

=(x + 4y + z,−x + 5z,2x − 3y + z)

adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades

ejemplo 1

ejemplo 1

ejemplo 1

en R3 con el producto interno habitual, consideramosT (x , y , z) = (x − y + 2z,4x − 3z, x + 5y + z)

calculemos T ∗ : R3 → R3, alcanza con base canónica〈(x , y , z),T ∗(1,0,0)〉 = 〈T (x , y , z), (1,0,0)〉 =x − y + 2z

= 〈(x , y , z), (1,−1,2)〉 ∀(x , y , z)

⇒ T ∗(1,0,0) = (1,−1,2)

⇒ T ∗(0,1,0) = (4,0,−3)

⇒ T ∗(0,0,1) = (1,5,1)

∴ T ∗(x , y , z) = x(1,−1,2) + y(4,0,−3) + z(1,5,1)

=(x + 4y + z,−x + 5z,2x − 3y + z)

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ejemplo 1

ejemplo 1

ejemplo 1

en R3 con el producto interno habitual, consideramosT (x , y , z) = (x − y + 2z,4x − 3z, x + 5y + z)

calculemos T ∗ : R3 → R3, alcanza con base canónica〈(x , y , z),T ∗(1,0,0)〉 = 〈T (x , y , z), (1,0,0)〉 =x − y + 2z = 〈(x , y , z), (1,−1,2)〉 ∀(x , y , z)

⇒ T ∗(1,0,0) = (1,−1,2)

⇒ T ∗(0,1,0) = (4,0,−3)

⇒ T ∗(0,0,1) = (1,5,1)

∴ T ∗(x , y , z) = x(1,−1,2) + y(4,0,−3) + z(1,5,1)

=(x + 4y + z,−x + 5z,2x − 3y + z)

adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades

ejemplo 1

ejemplo 1

ejemplo 1

en R3 con el producto interno habitual, consideramosT (x , y , z) = (x − y + 2z,4x − 3z, x + 5y + z)

calculemos T ∗ : R3 → R3, alcanza con base canónica〈(x , y , z),T ∗(1,0,0)〉 = 〈T (x , y , z), (1,0,0)〉 =x − y + 2z = 〈(x , y , z), (1,−1,2)〉 ∀(x , y , z)

⇒ T ∗(1,0,0) = (1,−1,2)

⇒ T ∗(0,1,0) = (4,0,−3)

⇒ T ∗(0,0,1) = (1,5,1)

∴ T ∗(x , y , z) = x(1,−1,2) + y(4,0,−3) + z(1,5,1)

=(x + 4y + z,−x + 5z,2x − 3y + z)

adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades

ejemplo 1

ejemplo 1

ejemplo 1

en R3 con el producto interno habitual, consideramosT (x , y , z) = (x − y + 2z,4x − 3z, x + 5y + z)

calculemos T ∗ : R3 → R3, alcanza con base canónica⇒ T ∗(1,0,0) = (1,−1,2)

〈(x , y , z),T ∗(0,1,0)〉 =

〈T (x , y , z), (0,1,0)〉 = 4x − 3z =〈(x , y , z), (4,0,−3)〉 ∀(x , y , z)

⇒ T ∗(0,1,0) = (4,0,−3)

⇒ T ∗(0,0,1) = (1,5,1)

∴ T ∗(x , y , z) = x(1,−1,2) + y(4,0,−3) + z(1,5,1)

=(x + 4y + z,−x + 5z,2x − 3y + z)

adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades

ejemplo 1

ejemplo 1

ejemplo 1

en R3 con el producto interno habitual, consideramosT (x , y , z) = (x − y + 2z,4x − 3z, x + 5y + z)

calculemos T ∗ : R3 → R3, alcanza con base canónica⇒ T ∗(1,0,0) = (1,−1,2)

〈(x , y , z),T ∗(0,1,0)〉 = 〈T (x , y , z), (0,1,0)〉

= 4x − 3z =〈(x , y , z), (4,0,−3)〉 ∀(x , y , z)

⇒ T ∗(0,1,0) = (4,0,−3)

⇒ T ∗(0,0,1) = (1,5,1)

∴ T ∗(x , y , z) = x(1,−1,2) + y(4,0,−3) + z(1,5,1)

=(x + 4y + z,−x + 5z,2x − 3y + z)

adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades

ejemplo 1

ejemplo 1

ejemplo 1

en R3 con el producto interno habitual, consideramosT (x , y , z) = (x − y + 2z,4x − 3z, x + 5y + z)

calculemos T ∗ : R3 → R3, alcanza con base canónica⇒ T ∗(1,0,0) = (1,−1,2)

〈(x , y , z),T ∗(0,1,0)〉 = 〈T (x , y , z), (0,1,0)〉 = 4x − 3z

=〈(x , y , z), (4,0,−3)〉 ∀(x , y , z)

⇒ T ∗(0,1,0) = (4,0,−3)

⇒ T ∗(0,0,1) = (1,5,1)

∴ T ∗(x , y , z) = x(1,−1,2) + y(4,0,−3) + z(1,5,1)

=(x + 4y + z,−x + 5z,2x − 3y + z)

adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades

ejemplo 1

ejemplo 1

ejemplo 1

en R3 con el producto interno habitual, consideramosT (x , y , z) = (x − y + 2z,4x − 3z, x + 5y + z)

calculemos T ∗ : R3 → R3, alcanza con base canónica⇒ T ∗(1,0,0) = (1,−1,2)

〈(x , y , z),T ∗(0,1,0)〉 = 〈T (x , y , z), (0,1,0)〉 = 4x − 3z =〈(x , y , z), (4,0,−3)〉 ∀(x , y , z)

⇒ T ∗(0,1,0) = (4,0,−3)

⇒ T ∗(0,0,1) = (1,5,1)

∴ T ∗(x , y , z) = x(1,−1,2) + y(4,0,−3) + z(1,5,1)

=(x + 4y + z,−x + 5z,2x − 3y + z)

adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades

ejemplo 1

ejemplo 1

ejemplo 1

en R3 con el producto interno habitual, consideramosT (x , y , z) = (x − y + 2z,4x − 3z, x + 5y + z)

calculemos T ∗ : R3 → R3, alcanza con base canónica⇒ T ∗(1,0,0) = (1,−1,2)

〈(x , y , z),T ∗(0,1,0)〉 = 〈T (x , y , z), (0,1,0)〉 = 4x − 3z =〈(x , y , z), (4,0,−3)〉 ∀(x , y , z)

⇒ T ∗(0,1,0) = (4,0,−3)

⇒ T ∗(0,0,1) = (1,5,1)

∴ T ∗(x , y , z) = x(1,−1,2) + y(4,0,−3) + z(1,5,1)

=(x + 4y + z,−x + 5z,2x − 3y + z)

adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades

ejemplo 1

ejemplo 1

ejemplo 1

en R3 con el producto interno habitual, consideramosT (x , y , z) = (x − y + 2z,4x − 3z, x + 5y + z)

calculemos T ∗ : R3 → R3, alcanza con base canónica⇒ T ∗(1,0,0) = (1,−1,2)

⇒ T ∗(0,1,0) = (4,0,−3)

〈(x , y , z),T ∗(0,0,1)〉 =

〈T (x , y , z), (0,0,1)〉 =x + 5y + z = 〈(x , y , z), (1,5,1)〉 ∀(x , y , z)

⇒ T ∗(0,0,1) = (1,5,1)

∴ T ∗(x , y , z) = x(1,−1,2) + y(4,0,−3) + z(1,5,1)

=(x + 4y + z,−x + 5z,2x − 3y + z)

adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades

ejemplo 1

ejemplo 1

ejemplo 1

en R3 con el producto interno habitual, consideramosT (x , y , z) = (x − y + 2z,4x − 3z, x + 5y + z)

calculemos T ∗ : R3 → R3, alcanza con base canónica⇒ T ∗(1,0,0) = (1,−1,2)

⇒ T ∗(0,1,0) = (4,0,−3)

〈(x , y , z),T ∗(0,0,1)〉 = 〈T (x , y , z), (0,0,1)〉

=x + 5y + z = 〈(x , y , z), (1,5,1)〉 ∀(x , y , z)

⇒ T ∗(0,0,1) = (1,5,1)

∴ T ∗(x , y , z) = x(1,−1,2) + y(4,0,−3) + z(1,5,1)

=(x + 4y + z,−x + 5z,2x − 3y + z)

adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades

ejemplo 1

ejemplo 1

ejemplo 1

en R3 con el producto interno habitual, consideramosT (x , y , z) = (x − y + 2z,4x − 3z, x + 5y + z)

calculemos T ∗ : R3 → R3, alcanza con base canónica⇒ T ∗(1,0,0) = (1,−1,2)

⇒ T ∗(0,1,0) = (4,0,−3)

〈(x , y , z),T ∗(0,0,1)〉 = 〈T (x , y , z), (0,0,1)〉 =x + 5y + z

= 〈(x , y , z), (1,5,1)〉 ∀(x , y , z)

⇒ T ∗(0,0,1) = (1,5,1)

∴ T ∗(x , y , z) = x(1,−1,2) + y(4,0,−3) + z(1,5,1)

=(x + 4y + z,−x + 5z,2x − 3y + z)

adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades

ejemplo 1

ejemplo 1

ejemplo 1

en R3 con el producto interno habitual, consideramosT (x , y , z) = (x − y + 2z,4x − 3z, x + 5y + z)

calculemos T ∗ : R3 → R3, alcanza con base canónica⇒ T ∗(1,0,0) = (1,−1,2)

⇒ T ∗(0,1,0) = (4,0,−3)

〈(x , y , z),T ∗(0,0,1)〉 = 〈T (x , y , z), (0,0,1)〉 =x + 5y + z = 〈(x , y , z), (1,5,1)〉 ∀(x , y , z)

⇒ T ∗(0,0,1) = (1,5,1)

∴ T ∗(x , y , z) = x(1,−1,2) + y(4,0,−3) + z(1,5,1)

=(x + 4y + z,−x + 5z,2x − 3y + z)

adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades

ejemplo 1

ejemplo 1

ejemplo 1

en R3 con el producto interno habitual, consideramosT (x , y , z) = (x − y + 2z,4x − 3z, x + 5y + z)

calculemos T ∗ : R3 → R3, alcanza con base canónica⇒ T ∗(1,0,0) = (1,−1,2)

⇒ T ∗(0,1,0) = (4,0,−3)

〈(x , y , z),T ∗(0,0,1)〉 = 〈T (x , y , z), (0,0,1)〉 =x + 5y + z = 〈(x , y , z), (1,5,1)〉 ∀(x , y , z)

⇒ T ∗(0,0,1) = (1,5,1)

∴ T ∗(x , y , z) = x(1,−1,2) + y(4,0,−3) + z(1,5,1)

=(x + 4y + z,−x + 5z,2x − 3y + z)

adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades

ejemplo 1

ejemplo 1

ejemplo 1

en R3 con el producto interno habitual, consideramosT (x , y , z) = (x − y + 2z,4x − 3z, x + 5y + z)

calculemos T ∗ : R3 → R3, alcanza con base canónica⇒ T ∗(1,0,0) = (1,−1,2)

⇒ T ∗(0,1,0) = (4,0,−3)

⇒ T ∗(0,0,1) = (1,5,1)

∴ T ∗(x , y , z) = x(1,−1,2) + y(4,0,−3) + z(1,5,1)

=(x + 4y + z,−x + 5z,2x − 3y + z)

adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades

ejemplo 1

ejemplo 1

ejemplo 1

en R3 con el producto interno habitual, consideramosT (x , y , z) = (x − y + 2z,4x − 3z, x + 5y + z)

calculemos T ∗ : R3 → R3, alcanza con base canónica⇒ T ∗(1,0,0) = (1,−1,2)

⇒ T ∗(0,1,0) = (4,0,−3)

⇒ T ∗(0,0,1) = (1,5,1)

∴ T ∗(x , y , z) = x(1,−1,2) + y(4,0,−3) + z(1,5,1) =(x + 4y + z,−x + 5z,2x − 3y + z)

adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades

ejemplo 2

ejemplo 2

ejemplo 2V =Mn(R) con producto interno 〈A,B〉 = tr(Bt .A)

T :Mn(R)→Mn(R) tal que T (A) = M.A (M matriz fija)calculemos T ∗

〈A,T ∗(B)〉 =

〈T (A),B〉 = 〈M.A,B〉 = tr(Bt .(M.A)) =tr((Bt .M)A) = tr((M t .B)tA) = 〈A,M t .B〉 ∀A

⇒ T ∗(B) = M t .B

adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades

ejemplo 2

ejemplo 2

ejemplo 2V =Mn(R) con producto interno 〈A,B〉 = tr(Bt .A)

T :Mn(R)→Mn(R) tal que T (A) = M.A (M matriz fija)

calculemos T ∗

〈A,T ∗(B)〉 =

〈T (A),B〉 = 〈M.A,B〉 = tr(Bt .(M.A)) =tr((Bt .M)A) = tr((M t .B)tA) = 〈A,M t .B〉 ∀A

⇒ T ∗(B) = M t .B

adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades

ejemplo 2

ejemplo 2

ejemplo 2V =Mn(R) con producto interno 〈A,B〉 = tr(Bt .A)

T :Mn(R)→Mn(R) tal que T (A) = M.A (M matriz fija)calculemos T ∗

〈A,T ∗(B)〉 =

〈T (A),B〉 = 〈M.A,B〉 = tr(Bt .(M.A)) =tr((Bt .M)A) = tr((M t .B)tA) = 〈A,M t .B〉 ∀A

⇒ T ∗(B) = M t .B

adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades

ejemplo 2

ejemplo 2

ejemplo 2V =Mn(R) con producto interno 〈A,B〉 = tr(Bt .A)

T :Mn(R)→Mn(R) tal que T (A) = M.A (M matriz fija)calculemos T ∗

〈A,T ∗(B)〉 =

〈T (A),B〉 = 〈M.A,B〉 = tr(Bt .(M.A)) =tr((Bt .M)A) = tr((M t .B)tA) = 〈A,M t .B〉 ∀A⇒ T ∗(B) = M t .B

adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades

ejemplo 2

ejemplo 2

ejemplo 2V =Mn(R) con producto interno 〈A,B〉 = tr(Bt .A)

T :Mn(R)→Mn(R) tal que T (A) = M.A (M matriz fija)calculemos T ∗

〈A,T ∗(B)〉 = 〈T (A),B〉

= 〈M.A,B〉 = tr(Bt .(M.A)) =tr((Bt .M)A) = tr((M t .B)tA) = 〈A,M t .B〉 ∀A⇒ T ∗(B) = M t .B

adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades

ejemplo 2

ejemplo 2

ejemplo 2V =Mn(R) con producto interno 〈A,B〉 = tr(Bt .A)

T :Mn(R)→Mn(R) tal que T (A) = M.A (M matriz fija)calculemos T ∗

〈A,T ∗(B)〉 = 〈T (A),B〉 = 〈M.A,B〉

= tr(Bt .(M.A)) =tr((Bt .M)A) = tr((M t .B)tA) = 〈A,M t .B〉 ∀A⇒ T ∗(B) = M t .B

adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades

ejemplo 2

ejemplo 2

ejemplo 2V =Mn(R) con producto interno 〈A,B〉 = tr(Bt .A)

T :Mn(R)→Mn(R) tal que T (A) = M.A (M matriz fija)calculemos T ∗

〈A,T ∗(B)〉 = 〈T (A),B〉 = 〈M.A,B〉 = tr(Bt .(M.A))

=tr((Bt .M)A) = tr((M t .B)tA) = 〈A,M t .B〉 ∀A⇒ T ∗(B) = M t .B

adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades

ejemplo 2

ejemplo 2

ejemplo 2V =Mn(R) con producto interno 〈A,B〉 = tr(Bt .A)

T :Mn(R)→Mn(R) tal que T (A) = M.A (M matriz fija)calculemos T ∗

〈A,T ∗(B)〉 = 〈T (A),B〉 = 〈M.A,B〉 = tr(Bt .(M.A)) =tr((Bt .M)A)

= tr((M t .B)tA) = 〈A,M t .B〉 ∀A⇒ T ∗(B) = M t .B

adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades

ejemplo 2

ejemplo 2

ejemplo 2V =Mn(R) con producto interno 〈A,B〉 = tr(Bt .A)

T :Mn(R)→Mn(R) tal que T (A) = M.A (M matriz fija)calculemos T ∗

〈A,T ∗(B)〉 = 〈T (A),B〉 = 〈M.A,B〉 = tr(Bt .(M.A)) =tr((Bt .M)A) = tr((M t .B)tA)

= 〈A,M t .B〉 ∀A⇒ T ∗(B) = M t .B

adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades

ejemplo 2

ejemplo 2

ejemplo 2V =Mn(R) con producto interno 〈A,B〉 = tr(Bt .A)

T :Mn(R)→Mn(R) tal que T (A) = M.A (M matriz fija)calculemos T ∗

〈A,T ∗(B)〉 = 〈T (A),B〉 = 〈M.A,B〉 = tr(Bt .(M.A)) =tr((Bt .M)A) = tr((M t .B)tA) = 〈A,M t .B〉 ∀A

⇒ T ∗(B) = M t .B

adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades

ejemplo 2

ejemplo 2

ejemplo 2V =Mn(R) con producto interno 〈A,B〉 = tr(Bt .A)

T :Mn(R)→Mn(R) tal que T (A) = M.A (M matriz fija)calculemos T ∗

〈A,T ∗(B)〉 = 〈T (A),B〉 = 〈M.A,B〉 = tr(Bt .(M.A)) =tr((Bt .M)A) = tr((M t .B)tA) = 〈A,M t .B〉 ∀A⇒ T ∗(B) = M t .B

adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades

ejemplo 3

transformación sin adjunta

ejemplo 3 (transformación sin adjunta)V = {polinomios reales} con producto〈p,q〉 =

∫ 10 p(x)q(x) dx

consideramos D : V → V tal que Dp = p′

si D tuviera adjunta, entonces〈p,D∗q〉 =

〈Dp,q〉 = p(1)q(1)− p(0)q(0)− 〈p,Dq〉 porpartes

⇒ 〈p, (D∗ + D)q〉 = p(1)q(1)− p(0)q(0)

⇒ 〈p, (D∗ + D)(x − 1)〉 = p(0)

⇒ la aplicación Tp = p(0) tendría un representante deRieszla clase pasada vimos que no tiene⇒ D no tiene adjunta

adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades

ejemplo 3

transformación sin adjunta

ejemplo 3 (transformación sin adjunta)V = {polinomios reales} con producto〈p,q〉 =

∫ 10 p(x)q(x) dx

consideramos D : V → V tal que Dp = p′

si D tuviera adjunta, entonces〈p,D∗q〉 =

〈Dp,q〉 = p(1)q(1)− p(0)q(0)− 〈p,Dq〉 porpartes

⇒ 〈p, (D∗ + D)q〉 = p(1)q(1)− p(0)q(0)

⇒ 〈p, (D∗ + D)(x − 1)〉 = p(0)

⇒ la aplicación Tp = p(0) tendría un representante deRieszla clase pasada vimos que no tiene⇒ D no tiene adjunta

adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades

ejemplo 3

transformación sin adjunta

ejemplo 3 (transformación sin adjunta)V = {polinomios reales} con producto〈p,q〉 =

∫ 10 p(x)q(x) dx

consideramos D : V → V tal que Dp = p′

si D tuviera adjunta, entonces

〈p,D∗q〉 =

〈Dp,q〉 = p(1)q(1)− p(0)q(0)− 〈p,Dq〉 porpartes

⇒ 〈p, (D∗ + D)q〉 = p(1)q(1)− p(0)q(0)

⇒ 〈p, (D∗ + D)(x − 1)〉 = p(0)

⇒ la aplicación Tp = p(0) tendría un representante deRieszla clase pasada vimos que no tiene⇒ D no tiene adjunta

adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades

ejemplo 3

transformación sin adjunta

ejemplo 3 (transformación sin adjunta)V = {polinomios reales} con producto〈p,q〉 =

∫ 10 p(x)q(x) dx

consideramos D : V → V tal que Dp = p′

si D tuviera adjunta, entonces〈p,D∗q〉 =

〈Dp,q〉 = p(1)q(1)− p(0)q(0)− 〈p,Dq〉 porpartes⇒ 〈p, (D∗ + D)q〉 = p(1)q(1)− p(0)q(0)

⇒ 〈p, (D∗ + D)(x − 1)〉 = p(0)

⇒ la aplicación Tp = p(0) tendría un representante deRieszla clase pasada vimos que no tiene⇒ D no tiene adjunta

adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades

ejemplo 3

transformación sin adjunta

ejemplo 3 (transformación sin adjunta)V = {polinomios reales} con producto〈p,q〉 =

∫ 10 p(x)q(x) dx

consideramos D : V → V tal que Dp = p′

si D tuviera adjunta, entonces〈p,D∗q〉 = 〈Dp,q〉

= p(1)q(1)− p(0)q(0)− 〈p,Dq〉 porpartes⇒ 〈p, (D∗ + D)q〉 = p(1)q(1)− p(0)q(0)

⇒ 〈p, (D∗ + D)(x − 1)〉 = p(0)

⇒ la aplicación Tp = p(0) tendría un representante deRieszla clase pasada vimos que no tiene⇒ D no tiene adjunta

adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades

ejemplo 3

transformación sin adjunta

ejemplo 3 (transformación sin adjunta)V = {polinomios reales} con producto〈p,q〉 =

∫ 10 p(x)q(x) dx

consideramos D : V → V tal que Dp = p′

si D tuviera adjunta, entonces〈p,D∗q〉 = 〈Dp,q〉 = p(1)q(1)− p(0)q(0)− 〈p,Dq〉

porpartes⇒ 〈p, (D∗ + D)q〉 = p(1)q(1)− p(0)q(0)

⇒ 〈p, (D∗ + D)(x − 1)〉 = p(0)

⇒ la aplicación Tp = p(0) tendría un representante deRieszla clase pasada vimos que no tiene⇒ D no tiene adjunta

adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades

ejemplo 3

transformación sin adjunta

ejemplo 3 (transformación sin adjunta)V = {polinomios reales} con producto〈p,q〉 =

∫ 10 p(x)q(x) dx

consideramos D : V → V tal que Dp = p′

si D tuviera adjunta, entonces〈p,D∗q〉 = 〈Dp,q〉 = p(1)q(1)− p(0)q(0)− 〈p,Dq〉 porpartes

⇒ 〈p, (D∗ + D)q〉 = p(1)q(1)− p(0)q(0)

⇒ 〈p, (D∗ + D)(x − 1)〉 = p(0)

⇒ la aplicación Tp = p(0) tendría un representante deRieszla clase pasada vimos que no tiene⇒ D no tiene adjunta

adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades

ejemplo 3

transformación sin adjunta

ejemplo 3 (transformación sin adjunta)V = {polinomios reales} con producto〈p,q〉 =

∫ 10 p(x)q(x) dx

consideramos D : V → V tal que Dp = p′

si D tuviera adjunta, entonces〈p,D∗q〉 = 〈Dp,q〉 = p(1)q(1)− p(0)q(0)− 〈p,Dq〉 porpartes⇒ 〈p, (D∗ + D)q〉 = p(1)q(1)− p(0)q(0)

⇒ 〈p, (D∗ + D)(x − 1)〉 = p(0)

⇒ la aplicación Tp = p(0) tendría un representante deRieszla clase pasada vimos que no tiene⇒ D no tiene adjunta

adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades

ejemplo 3

transformación sin adjunta

ejemplo 3 (transformación sin adjunta)V = {polinomios reales} con producto〈p,q〉 =

∫ 10 p(x)q(x) dx

consideramos D : V → V tal que Dp = p′

si D tuviera adjunta, entonces〈p,D∗q〉 = 〈Dp,q〉 = p(1)q(1)− p(0)q(0)− 〈p,Dq〉 porpartes⇒ 〈p, (D∗ + D)q〉 = p(1)q(1)− p(0)q(0)

⇒ 〈p, (D∗ + D)(x − 1)〉 = p(0)

⇒ la aplicación Tp = p(0) tendría un representante deRieszla clase pasada vimos que no tiene⇒ D no tiene adjunta

adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades

ejemplo 3

transformación sin adjunta

ejemplo 3 (transformación sin adjunta)V = {polinomios reales} con producto〈p,q〉 =

∫ 10 p(x)q(x) dx

consideramos D : V → V tal que Dp = p′

si D tuviera adjunta, entonces〈p,D∗q〉 = 〈Dp,q〉 = p(1)q(1)− p(0)q(0)− 〈p,Dq〉 porpartes⇒ 〈p, (D∗ + D)q〉 = p(1)q(1)− p(0)q(0)

⇒ 〈p, (D∗ + D)(x − 1)〉 = p(0)

⇒ la aplicación Tp = p(0) tendría un representante deRiesz

la clase pasada vimos que no tiene⇒ D no tiene adjunta

adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades

ejemplo 3

transformación sin adjunta

ejemplo 3 (transformación sin adjunta)V = {polinomios reales} con producto〈p,q〉 =

∫ 10 p(x)q(x) dx

consideramos D : V → V tal que Dp = p′

si D tuviera adjunta, entonces〈p,D∗q〉 = 〈Dp,q〉 = p(1)q(1)− p(0)q(0)− 〈p,Dq〉 porpartes⇒ 〈p, (D∗ + D)q〉 = p(1)q(1)− p(0)q(0)

⇒ 〈p, (D∗ + D)(x − 1)〉 = p(0)

⇒ la aplicación Tp = p(0) tendría un representante deRieszla clase pasada vimos que no tiene

⇒ D no tiene adjunta

adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades

ejemplo 3

transformación sin adjunta

ejemplo 3 (transformación sin adjunta)V = {polinomios reales} con producto〈p,q〉 =

∫ 10 p(x)q(x) dx

consideramos D : V → V tal que Dp = p′

si D tuviera adjunta, entonces〈p,D∗q〉 = 〈Dp,q〉 = p(1)q(1)− p(0)q(0)− 〈p,Dq〉 porpartes⇒ 〈p, (D∗ + D)q〉 = p(1)q(1)− p(0)q(0)

⇒ 〈p, (D∗ + D)(x − 1)〉 = p(0)

⇒ la aplicación Tp = p(0) tendría un representante deRieszla clase pasada vimos que no tiene⇒ D no tiene adjunta

adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades

proposición 1

proposición 1Sean V ,W ,U e.v. sobre K con producto interno

T1,T2 : V →W , T : V →W , S : W → Uentonces

1 (T1 + T2)∗ = T ∗

1 + T ∗2

2 (α.T )∗ = α.T ∗

3 (S ◦ T )∗ = T ∗ ◦ S∗

4 Id∗ = Id

adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades

proposición 1

proposición 1Sean V ,W ,U e.v. sobre K con producto internoT1,T2 : V →W , T : V →W , S : W → U

entonces

1 (T1 + T2)∗ = T ∗

1 + T ∗2

2 (α.T )∗ = α.T ∗

3 (S ◦ T )∗ = T ∗ ◦ S∗

4 Id∗ = Id

adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades

proposición 1

proposición 1Sean V ,W ,U e.v. sobre K con producto internoT1,T2 : V →W , T : V →W , S : W → Uentonces

1 (T1 + T2)∗ = T ∗

1 + T ∗2

2 (α.T )∗ = α.T ∗

3 (S ◦ T )∗ = T ∗ ◦ S∗

4 Id∗ = Id

adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades

proposición 1

proposición 1Sean V ,W ,U e.v. sobre K con producto internoT1,T2 : V →W , T : V →W , S : W → Uentonces

1 (T1 + T2)∗ = T ∗

1 + T ∗2

2 (α.T )∗ = α.T ∗

3 (S ◦ T )∗ = T ∗ ◦ S∗

4 Id∗ = Id

adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades

proposición 1

proposición 1Sean V ,W ,U e.v. sobre K con producto internoT1,T2 : V →W , T : V →W , S : W → Uentonces

1 (T1 + T2)∗ = T ∗

1 + T ∗2

2 (α.T )∗ = α.T ∗

3 (S ◦ T )∗ = T ∗ ◦ S∗

4 Id∗ = Id

adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades

proposición 1

proposición 1Sean V ,W ,U e.v. sobre K con producto internoT1,T2 : V →W , T : V →W , S : W → Uentonces

1 (T1 + T2)∗ = T ∗

1 + T ∗2

2 (α.T )∗ = α.T ∗

3 (S ◦ T )∗ = T ∗ ◦ S∗

4 Id∗ = Id

adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades

proposición 1

proposición 1Sean V ,W ,U e.v. sobre K con producto internoT1,T2 : V →W , T : V →W , S : W → Uentonces

1 (T1 + T2)∗ = T ∗

1 + T ∗2

2 (α.T )∗ = α.T ∗

3 (S ◦ T )∗ = T ∗ ◦ S∗

4 Id∗ = Id

adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades

demostración

ejercicio

adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades

proposición 2

proposición 2V ,W e.v. de dimensión finita

T : V →W transformación lineal⇒

(T ∗)∗ = T

adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades

proposición 2

proposición 2V ,W e.v. de dimensión finitaT : V →W transformación lineal

⇒(T ∗)∗ = T

adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades

proposición 2

proposición 2V ,W e.v. de dimensión finitaT : V →W transformación lineal⇒

(T ∗)∗ = T

adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades

demostración

Para todo x ∈W , y ∈ V

〈x , (T ∗)∗y〉 = 〈T ∗x , y〉

= 〈y ,T ∗x〉= 〈Ty , x〉= 〈x ,Ty〉

⇒ (T ∗)∗ = T

adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades

demostración

Para todo x ∈W , y ∈ V

〈x , (T ∗)∗y〉 = 〈T ∗x , y〉

= 〈y ,T ∗x〉= 〈Ty , x〉= 〈x ,Ty〉

⇒ (T ∗)∗ = T

adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades

demostración

Para todo x ∈W , y ∈ V

〈x , (T ∗)∗y〉 = 〈T ∗x , y〉= 〈y ,T ∗x〉

= 〈Ty , x〉= 〈x ,Ty〉

⇒ (T ∗)∗ = T

adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades

demostración

Para todo x ∈W , y ∈ V

〈x , (T ∗)∗y〉 = 〈T ∗x , y〉= 〈y ,T ∗x〉= 〈Ty , x〉

= 〈x ,Ty〉

⇒ (T ∗)∗ = T

adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades

demostración

Para todo x ∈W , y ∈ V

〈x , (T ∗)∗y〉 = 〈T ∗x , y〉= 〈y ,T ∗x〉= 〈Ty , x〉= 〈x ,Ty〉

⇒ (T ∗)∗ = T

adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades

demostración

Para todo x ∈W , y ∈ V

〈x , (T ∗)∗y〉 = 〈T ∗x , y〉= 〈y ,T ∗x〉= 〈Ty , x〉= 〈x ,Ty〉

⇒ (T ∗)∗ = T

adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades

demostración

Para todo x ∈W , y ∈ V

〈x , (T ∗)∗y〉 = 〈T ∗x , y〉= 〈y ,T ∗x〉= 〈Ty , x〉= 〈x ,Ty〉

⇒ (T ∗)∗ = T

adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades

proposición 3

proposición 3V ,W e.v. de dimensión finita

sea T : V →W transformación linealentonces T invertible⇔ T ∗ invertibley

(T ∗)−1 = (T−1)∗

adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades

proposición 3

proposición 3V ,W e.v. de dimensión finitasea T : V →W transformación lineal

entonces T invertible⇔ T ∗ invertibley

(T ∗)−1 = (T−1)∗

adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades

proposición 3

proposición 3V ,W e.v. de dimensión finitasea T : V →W transformación linealentonces T invertible⇔ T ∗ invertible

y(T ∗)−1 = (T−1)∗

adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades

proposición 3

proposición 3V ,W e.v. de dimensión finitasea T : V →W transformación linealentonces T invertible⇔ T ∗ invertibley

(T ∗)−1 = (T−1)∗

adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades

demostración

Supongamos que T es invertible

〈v1, v2〉 =

〈T−1Tv1, v2〉= 〈v1,T ∗(T−1)∗v2〉

⇒ T ∗ invertible

adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades

demostración

Supongamos que T es invertible

〈v1, v2〉 = 〈T−1Tv1, v2〉

= 〈v1,T ∗(T−1)∗v2〉

⇒ T ∗ invertible

adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades

demostración

Supongamos que T es invertible

〈v1, v2〉 = 〈T−1Tv1, v2〉= 〈v1,T ∗(T−1)∗v2〉

⇒ T ∗ invertible

adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades

demostración

Supongamos que T es invertible

〈v1, v2〉 = 〈T−1Tv1, v2〉= 〈v1,T ∗(T−1)∗v2〉

⇒ T ∗ invertible

adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades

proposición 4

proposición 4V ,W e.v. de dimensión finita

T : V →W transformación linealentonces

λ valor propio de T ⇐⇒ λ valor propio de T ∗

adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades

proposición 4

proposición 4V ,W e.v. de dimensión finitaT : V →W transformación lineal

entonces

λ valor propio de T ⇐⇒ λ valor propio de T ∗

adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades

proposición 4

proposición 4V ,W e.v. de dimensión finitaT : V →W transformación linealentonces

λ valor propio de T ⇐⇒ λ valor propio de T ∗

adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades

demostración

λ valor propio de T

⇔ T − λI no invertible⇔ (T − λI)∗ = T ∗ − λI no invertible⇔ λ valor propio de T ∗

adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades

demostración

λ valor propio de T⇔ T − λI no invertible

⇔ (T − λI)∗ = T ∗ − λI no invertible⇔ λ valor propio de T ∗

adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades

demostración

λ valor propio de T⇔ T − λI no invertible⇔ (T − λI)∗ = T ∗ − λI no invertible

⇔ λ valor propio de T ∗

adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades

demostración

λ valor propio de T⇔ T − λI no invertible⇔ (T − λI)∗ = T ∗ − λI no invertible⇔ λ valor propio de T ∗