Agradecimiento A mi esposa, Gloria. Sus profundas ... · triángulo sagrado egipcio de proporciones...

Agradecimiento

A mi esposa, Gloria.

Sus profundas intuiciones dan sentido, al arte de la Lógica.

Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT

Lógica-!-LgcaSierra-Aristizábal, Manuel

Grupo de investigación: Lógica y Computación

Departamento de Ciencias Matemáticas

Universidad EAFIT

Coloquio de Ciencias Matemáticas y EstadísticaUniversidad EAFIT. 8 de abril de 2019.

Palabras clave: Lenguaje, sintaxis, semántica, sistema deductivo,argumento, validez, corrección, tautología, teorema, prueba,diagrama deductivo, redacción deductivamente argumentada.

Se presenta de manera global y estructurada, la conexiónesperada entre la semántica y el aparato deductivo, cuando seconstruye una Lógica específica.

Lo anterior se ilustra con un caso sencillo, pero no trivial: la Lógicaproposicional clásica.

Finalmente, la conexión estudiada se utiliza para diagramar yredactar la prueba, de un argumento presentado en el lenguajenatural.

Resumen

Parte 1. Teorema de Pitágoras

Parte 2. Conexiones Lógicas

Parte 3. Maquinaria Deductiva

Parte 4. Argumentación Deductiva

Contenido

Parte 1. Teorema de PitágorasPirámide de Kefrén.Guiza-Egipto. Siglo XXVI A. C.

Primera gran pirámide que se construyó basándose en el triángulo sagrado egipciode proporciones 3-4-5.

Es el triángulo rectángulo más fácil de construir.

Se utilizó para obtener ángulos rectos en las construcciones desde la más remota antigüedad.

Tomado de: Wikipedia

Pitágoras

569-475 A. C. (Griego)

Filósofo y matemático griego. Considerado elprimer matemático puro.

Formuló principios que influyeron tanto en Platóncomo en Aristóteles.

Fresco de Raphael.La Escuela de Atenas.

Se muestra a Pitágorasescribiendo en un libro cuando un joven le presenta una tableta que muestra una representación esquemática de una lira.

7Tomado de: Pitágoras-visual

¿Prueba?

Prueba realizada por:

Bhāskara Acharia

1114 – 1185 (India).

Matemático y astrónomo

Como pasar de lo intuitivamente claro

a una demostración rigurosa

Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT 8

Muy fácil.

¡Yo redacto la demostración rigurosa!

Redactando una demostración del T. de Pitágoras

Tomado de: La informática me mata

Redactando una demostración del T. de Pitágoras

Tomado: La informática me mata

¡Parece que no lo logró!

¿L.Q.Q.D.?

Ausencia de Lógica

Parte 2. Conexiones Lógicas

Tomado de: Gifmanía

Platón y AristótelesPor Raffaello Sanzio

Detalle de La escuela de Atenas. 1509.

Aristóteles384 -322 A.C. (Griego)

Es considerado el fundador dela lógica como herramienta básica para todas las ciencias.

Fue el primero en formalizar losrazonamientos, utilizando letraspara representar términos.

A = Universal afirmativo: Todo S es P

E = Universal negativo: Ningún S es P

I = Particular afirmativo: Algún S es P

O = Particular negativo: Algún S no es P

Las inferencias en los razonamientos

¿Lógica?¿Qué estudia?

Las leyes que las gobiernan

Los razonamientos son posibles en el contexto de un lenguaje.

El significado de las expresiones del lenguajees estudiado por la semántica.

Las inferencias en los razonamientos son automatizadas por un aparato deductivo.

La construcción de las expresiones del lenguaje es estudiado por la sintaxis.

lenguaje

aparato deductivo

Sintaxis

semántica

Limitado contextual

lenguaje

A, B, …, , , →, , ,, , ), (

lenguaje

Cadenas de símbolos del lenguaje

Sintaxis

A→B, (C, () , , …

Sintaxis

Expresiones con sentido en la semántica

Sintaxis Fórmulas

• Si X, Y son fórmulas entonces:(X)→(Y), (X) (Y), (X) (Y), (X) (Y), (X) (Y), (X) son fórmulas

• A, B, … (atómicas)

Sintaxis Fórmulas

Interpretación de las Fórmulas

semántica

X → Z significa: Si X entonces Z

X Z significa: X o Z o ambos

X Z significa: X o Z pero no ambos

X Z significa: X y Z

X Z significa: X si y solo si Z

X significa: No X

semántica

semántica: Tablas de verdad

Desarrolladas por Charles Sanders Peirce (estadounidense) por los años 1880.

Popularizadas por Ludwig Wittgenstein (austro-húngaro) en su Tractatus logico-philosophicus, publicado en 1921.

Sistema deductivo

Fórmulas

Inferencia

Relación entre fórmulas

Inferencia

Codificación

Representación internade las inferencias

Codificación

Argumento

Condicional asociado

aparato deductivo

Correcto

Teorema

La conclusión se infiere de las premisas

utilizando reglas de inferencia

El teorema se infiereutilizando reglas de

inferencia

semántica

Válido

Tautología

Toda asignación que hace verdaderas las premisas también hace verdadera la

conclusión

Es verdadera para toda asignación de valores de verdad

Codificación

((A B) A )→ B

semántica

((A B) A )→ B

Válido

Tautología

aparato deductivo

((A B) A )→ B

Correcto

Teorema

Codificación

((A B) B )→ A

Codificación

A → (A B)

Codificación

B → (A B)

Codificación

(A B)→(A B)

Codificación

(A B)→ (A B)

Clasificación-1

((A B) A )→ B

Clasificación-2

((A B) A )→ B(((A B) A )→ B)

Clasificación-3

((A B) A )→ B(((A B) A )→ B)A B

Partición

Relación de Equivalencia

A equivalente a B

si y solo si

Para cada asignación: los valores de verdad son iguales

semántica

aparato deductivo

A equivalente a B

si y solo si

aparato deductivo

A AA(A A)

A→B AB

(A B) A B

Partición asociada

. . .Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT 59

Partición asociada

. . .⊥ TA A

Objetivo

Válido

si y solo si

Correcto

Semántica

Sistema deductivo

Objetivo

Tautología

si y solo si

TeoremaT T

Semántica

Sistema deductivo

Parte 3. Maquinaria Deductiva

Lógica Matemática

Es el estudio matemático de la lógica y su aplicación a otras áreas de la matemática y la ciencia.

Sistema Deductivo

Es un sistema abstracto compuesto por un lenguaje formal, axiomas, reglas de inferencia y una semántica formal.

Se utiliza para demostrar teoremas y en el se da una definición rigurosa del concepto de demostración.

A partir de mediados del siglo XIX, la lógica fue revolucionada profundamente

Augustus De Morgan (Británico)

Publica en 1847: Lógica formal.

Donde introduce las leyes de De-Morgan

George Boole (Británico)

Publica en 1847: El análisis matemático de la lógica.En 1854: Las leyes del pensamiento.

Fue el primero en definir las algebras booleanascomo parte de un sistema lógico.

John Veen (Inglés)

Publica en 1881: Lógica simbólica.

Donde introduce los diagramas de Venn.

La verdadera revolución de la lógica Gottlob Frege (Alemán)

Frecuentemente es considerado como el lógico más importante de la historia, junto con Aristóteles.

Publica en 1879: Begriffsschrift (Ideografía o Conceptografía), donde Frege ofrece por primera vez un sistema completo de lógica de predicadosy cálculo proposicional.Desarrolla la idea de un lenguaje formal y define la noción de prueba.

Publica en 1884: Grundlagen der Arithmetik (Fundamentos de la Aritmética. Vol. 1), donde establece los fundamentos filosóficos de las matemáticas.

Inconsistencia del sistema de FregeEn 1902 cuando el vol 2 de Grundlagen estaba en imprenta, Russel escribe a Frege:

“Sea W el predicado de ser un predicado que no puede ser predicado de sí mismo.

¿Puede W ser un predicado de sí mismo? De ambas respuestas se sigue una contradicción. Debemos por tanto concluir que W no es un predicado.”

El 5º axioma afirmaba que si todo A es B, y todo B es A, entonces A = B.

Russell, señaló que este axioma permitía la existencia de un conjunto de todos los conjuntos que no son miembros de sí mismos.

Pero, si existiera, y es miembro de sí mismo, entonces por definición no es un miembro de sí mismo; además, si no es un miembro de sí mismo, entonces por definición es un miembro de si mismo, lo cual es contradictorio.

Así, Russell señalaba que el sistema de Frege no podía ser lógicamente consistente.

Bertrand Russell (Inglés) y Alfred North Whitehead (Británico)

Publican entre 1910 y 1913: Principia mathematica (3 tomos).Trabajo monumental en el que logran gran parte de la matemática a partir de la lógica. Utilizan teoría de tipos para no caer en las paradojas en las que cayó Frege: la paradoja de Russell en 1902 cuando el vol 2 de Grundlagen estaba en imprenta.

Los autores reconocen el mérito de Frege en el prefacio.

Principia mathematica tuvo un éxito rotundo, y llegó a considerarse uno de los trabajos más importantes e influyentes del siglo XX.

Paradoja de Russell (1902)

No existe el conjunto conformado por todos los conjuntos que no son miembros de sí mismos.

Puesto que, si existiera, y es miembro de sí mismo, entonces por definición no es un miembro de sí mismo; además, si no es un miembro de sí mismo, entonces por definición es un miembro de si mismo, lo cual es contradictorio.

Así, Russell señalaba que el sistema de Frege no podía ser lógicamente consistente.

Primer teorema de incompletitud de Gödel (1931)

Cualquier teoría aritmética recursiva, si es consistente entonces es incompleta.

Parafraseando: nunca se podrá encontrar un sistema axiomático que sea capaz de demostrar todas las verdades matemáticas y ninguna falsedad.

Cálculo Proposicional Clásico

Tomado del texto:Argumentación deductiva con diagramas y Árboles de forzamientoCapítulo-4, pg: 183-252 Sierra-Aristizábal, Manuel.Fondo Editorial Universidad EAFIT2009

Este sistema es una variante del sistema deductivo con 10 axiomas, presentado por Alfred Tarski (Polaco) en 1952.

Se cambia el axioma (A→A)→A por Ax0.10 (A A) y se agregan Ax0.11, Ax0.12 y Ax0.13.

Sistema de deducción natural

Aparato deductivo

Asociado a los árboles de forzamiento semántico

Codificación

(A B)→(A B)

Codificación

(A B)→ (A B)

Primitivas

Codificación

((A B) A )→ B

Codificación

((A B) B )→ A

Codificación

A → (A B)

Codificación

B → (A B)

Primitivas

Derivadas

Primitivas

Derivadas

Primitivas

Derivadas

Primitivas

Derivadas

Primitivas

Derivadas

Primitivas

Derivadas

Primitivas

Derivadas

Primitivas

Derivadas

Los árboles de forzamiento semántico se presentan por primera vez en el Volumen 37 número 123 de la Revista Universidad EAFIT en el 2001. La caracterización deductiva aparece publicada en el Volumen 2 número 3 de la Revista Ingeniería y Ciencia en 2006.

Parte 4. Argumentación Deductiva

Construcción de Pruebas

Diagramas Deductivos

Argumentación Deductiva

Probar la corrección del siguiente argumento

Cuando se aceptan leyes corruptas, si los testigos no mienten, se obtienen resultados nefastos y dignos de ser olvidados. Pero los resultados, aunque son peligrosos, no son nefastos.

Por lo tanto, los testigos mienten y los resultados son peligrosos cuando se aceptan leyes corruptas.

[1] [Cuando se aceptan leyes corruptas, si los testigos no mienten, se obtienen resultados nefastos y dignos de ser olvidados]. Pero [2] [los resultados, aunque son peligrosos, no son nefastos].

Por lo tanto, [14] [los testigos mienten y los resultados son peligrosos cuando se aceptan leyes corruptas].

1 Cuando se aceptan leyes corruptas, si los

testigos no mienten, se obtienen resultados

nefastos y dignos de ser olvidados

Los resultados, aunque son

peligrosos, no son nefastos

Los testigos mienten y los

resultados son peligrosos cuando

se aceptan leyes corruptas14

L: se aceptan las leyes corruptas.

M: los testigos mienten.

N: se obtienen resultados nefastos.

O: los resultados son dignos de ser olvidados.

P: los resultados son peligrosos.

L → (M → (N O)) L: se aceptan las leyes corruptas.

Cuando se aceptan leyes corruptas, si los

testigos no mienten, se obtienen resultados

nefastos y dignos de ser olvidados

L → (M → (N O))

1 L → (M → (N O))

L → (M P)14

se aceptan leyes corruptas

1 L → (M → (N O))

L → (M P)14

L → (M → (N O))

AiA→

M → (N O)

L → (M P)

AiA→

Ai-Ad→

Prueba formal

El aparato deductivo es solo un paso intermedio

en la argumentación deductiva

L → (M → (N O))

AiA→

M → (N O)

L → (M P)

AiA→

Ai-Ad→

Los testigos no mienten5

Cuando se aceptan leyes corruptas, si los testigos no mienten, se

obtienen resultados nefastos y dignos de ser olvidados

AiA→

Se aceptan leyes corruptas

Si los testigos no mienten, se obtienen

resultados nefastos y dignos de ser olvidados

Los testigos mienten y los resultados son

peligrosos cuando se aceptan leyes corruptas

AiA→

Resultados nefastos, dignos de ser olvidados

Se obtienen resultados nefastos Los resultados no

son nefastosLos resultados

son peligrosos

Contradicción

Los testigos mienten

Los testigos no dicen la verdad

Los testigos mienten y los resultados son peligrosos

Ai-Ad→

133Sierra-Aristizábal, Manuel Universidad EAFIT

Supóngase que [3], y como sesabe que [1], resulta que [4].

Si se tuviese que [5], utilizandoel [4] se infiere que, [6], seafirma entonces que [7], perode la [2], se deduce que [8], locual [9] el [7] , por lo tanto seconcluye que: [10], es decir que[11].

Por [2], se afirma que [12], locual considerando [11], implicaque [13].Se ha probado de esta maneraque: [14].

AiA→

son peligrosos

Contradicción

Ai-Ad→

Supóngase que [3], y como sesabe que [1], resulta que [4].

Si se tuviese que [5], utilizandoel [4] se infiere que, [6], seafirma entonces que [7], perode la [2], se deduce que [8], locual [9] el [7] , por lo tanto seconcluye que: [10], es decir que[11].

Por [2], se afirma que [12], locual considerando [11], implicaque [13].Se ha probado de esta maneraque: [14].

AiA→

son peligrosos

Contradicción

Ai-Ad→

Supóngase que [3 se aceptan leyes corruptas], ycomo se sabe que [1 cuando esto ocurre],resulta que [4 si los testigos no mientenentonces se obtienen resultados nefastos ydignos de ser olvidados].

Si se tuviese que [5 los testigos no mienten],utilizando el [4 último resultado] se infiere que,[6 se obtienen resultados nefastos y dignos deser olvidados], se afirma entonces que [7 seobtienen resultados nefastos], pero de la [2información inicial], se deduce que [8 losresultados no son nefastos], lo cual [9contradice] el [7 resultado previo], por lo tantose concluye que: [10 los testigos no dicen laverdad], es decir que [11 los testigos mienten].

Por [2 otro lado], se afirma que [12 Losresultados son peligrosos], lo cual considerando[11 la inferencia previa], implica que [13 lostestigos mienten y los resultados sonpeligrosos].Se ha probado de esta manera que: [14 lostestigos mienten y los resultados son peligrososcuando se aceptan leyes corruptas].

Supóngase que [3 se aceptan leyes corruptas], y como se sabe que [1 cuando esto ocurre], resulta que [4 si los testigos no mientenentonces se obtienen resultados nefastos y dignos de ser olvidados].

Si se tuviese que [5 los testigos no mienten], utilizando el [4 último resultado] se infiere que, [6 se obtienen resultados nefastos y dignosde ser olvidados], se afirma entonces que [7 se obtienen resultados nefastos], pero de la [2 información inicial], se deduce que [8 losresultados no son nefastos], lo cual [9 contradice] el [7 resultado previo], por lo tanto se concluye que: [10 los testigos no dicen laverdad], es decir que [11 los testigos mienten].

Por [2 otro lado], se afirma que [12 Los resultados son peligrosos], lo cual considerando [11 la inferencia previa], implica que [13 lostestigos mienten y los resultados son peligrosos].Se ha probado de esta manera que: [14 los testigos mienten y los resultados son peligrosos cuando se aceptan leyes corruptas].

Supóngase que se aceptan leyes corruptas, y como se sabe que cuando esto ocurre, resulta que si los testigos no mienten entonces seobtienen resultados nefastos y dignos de ser olvidados.

Si se tuviese que los testigos no mienten, utilizando el último resultado se infiere que, se obtienen resultados nefastos y dignos de serolvidados, se afirma entonces que se obtienen resultados nefastos, pero de la información inicial, se deduce que los resultados no sonnefastos, lo cual contradice el resultado previo, por lo tanto se concluye que: los testigos no dicen la verdad, es decir que los testigosmienten.

Por otro lado, se afirma que Los resultados son peligrosos, lo cual considerando la inferencia previa, implica que los testigos mienten ylos resultados son peligrosos.Se ha probado de esta manera que: los testigos mienten y los resultados son peligrosos cuando se aceptan leyes corruptas.

Supóngase que se aceptan leyes corruptas, y como se sabe que cuando esto ocurre, resulta que si los testigos no mienten entonces seobtienen resultados nefastos y dignos de ser olvidados.

Si se tuviese que los testigos no mienten, utilizando el último resultado se infiere que, se obtienen resultados nefastos y dignos de serolvidados, se afirma entonces que se obtienen resultados nefastos, pero de la información inicial, se deduce que los resultados no sonnefastos, lo cual contradice el resultado previo, por lo tanto, se concluye que: los testigos no dicen la verdad, es decir que los testigosmienten.

Por otro lado, se afirma que los resultados son peligrosos, lo cual considerando la inferencia previa, implica que los testigos mienten y losresultados son peligrosos.

Se ha probado de esta manera que: los testigos mienten y los resultados son peligrosos cuando se aceptan leyes corruptas.

[1] [Cuando se aceptan leyes corruptas, silos testigos no mienten, se obtienenresultados nefastos y dignos de serolvidados]. Pero [2] [los resultados, aunqueson peligrosos, no son nefastos].

Por lo tanto, [14] [los testigos mienten ylos resultados son peligrosos cuando seaceptan leyes corruptas].

Prueba de la corrección del argumento

Supóngase que se aceptan leyes corruptas, y como se sabe que cuandoesto ocurre, resulta que si los testigos no mienten entonces seobtienen resultados nefastos y dignos de ser olvidados.

Si se tuviese que los testigos no mienten, utilizando el último resultadose infiere que, se obtienen resultados nefastos y dignos de serolvidados, se afirma entonces que se obtienen resultados nefastos,pero de la información inicial, se deduce que los resultados no sonnefastos, lo cual contradice el resultado previo, por lo tanto, seconcluye que: los testigos no dicen la verdad, es decir que los testigosmienten.

Por otro lado, se afirma que los resultados son peligrosos, lo cualconsiderando la inferencia previa, implica que los testigos mienten ylos resultados son peligrosos.

Se ha probado de esta manera que: los testigos mienten y losresultados son peligrosos cuando se aceptan leyes corruptas.

Prueba de la corrección del argumentoArgumentación Deductiva

[1] [Cuando se aceptan leyes corruptas, silos testigos no mienten, se obtienenresultados nefastos y dignos de serolvidados]. Pero [2] [los resultados, aunqueson peligrosos, no son nefastos].

Por lo tanto, [14] [los testigos mienten ylos resultados son peligrosos cuando seaceptan leyes corruptas].

Supóngase que se aceptan leyes corruptas, y como se sabe que cuandoesto ocurre, resulta que si los testigos no mienten entonces seobtienen resultados nefastos y dignos de ser olvidados.

Si se tuviese que los testigos no mienten, utilizando el último resultadose infiere que, se obtienen resultados nefastos y dignos de serolvidados, se afirma entonces que se obtienen resultados nefastos,pero de la información inicial, se deduce que los resultados no sonnefastos, lo cual contradice el resultado previo, por lo tanto, seconcluye que: los testigos no dicen la verdad, es decir que los testigosmienten.

Por otro lado, se afirma que los resultados son peligrosos, lo cualconsiderando la inferencia previa, implica que los testigos mienten ylos resultados son peligrosos.

Se ha probado de esta manera que: los testigos mienten y losresultados son peligrosos cuando se aceptan leyes corruptas.

Prueba de la corrección del argumentoArgumentación Deductiva

Prueba formal

Diagrama deductivo

Fin-!-FnFin-!-Fn

Semántica Sintaxis

Argumentación deductiva

Fin-!-Fn!

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A mi esposa, Gloria.

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