Post on 22-Jan-2016
Alberto Cardona, Víctor FachinottiCimec-Intec (UNL/Conicet), Santa Fe, Argentina
Introducción al Método de los Elementos Finitos
Introducción al Método de los Elementos Finitos
2
Introducción
Modelos matemáticos en ciencia e ingeniería Ecuaciones algebraicas, diferenciales o integrales
El desarrollo de las computadoras permitió usar estos modelos para resolver problemas prácticos. Se pueden simular y resolver sistemas altamente complicados en ciencia e ingeniería.
Permiten:
1. Reducir la necesidad de experiencias con modelos y prototipos (caras y lentas).
2. Comparar fácilmente distintas alternativas de diseño para llegar al óptimo ingenieril.
Disciplinas relacionadas:
1. CAD: Computer Aided Design
2. CAE: Computer Aided Engineering
3. CAM: Computer Aided Manufacturing
Introducción al Método de los Elementos Finitos
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Introducción (cont)
Método de los Elementos Finitos (MEF) : técnica general para hallar soluciones numéricas de sistemas de ecuaciones diferenciales e integrales.
Origen: ingeniería estructural, años 50/60, para solución de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales en elasticidad.
Su aplicación se generalizó, integrado a sistemas de CAD/CAE.
Modelos matemáticos
Soluciones analíticas
Soluciones numéricas
Sólo casos simples
Casos prácticos, en computadora
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Introducción (cont)
Aplicaciones del MEF:
• Ingeniería estructural
• Resistencia de materiales
• Mecánica de fluidos
• Ingeniería nuclear
• Electromagnetismo
• Campos eléctricos
• Propagación de ondas
• Conducción del calor
• Procesos de convección – difusión
• Ingeniería de petróleo
• Procesos de reacción – difusión
• . . . . . . . .
Introducción al Método de los Elementos Finitos
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Método de diferencias finitas vs. MEF
•Idea básica de un método numérico para resolver ecuaciones diferenciales:
•El problema discreto puede resolverse en una computadora !!!
•Diferencias finitas: método numérico clásico para resolver ecuaciones diferenciales donde el problema discreto se obtiene reemplazando:
Continuo con infinitos GDL
Problema discreto c/ # GDL finito
Discretización
Solución discreta, aproximada, con N GDL
1 nnu uux x
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Discretización en el MEF
1. Reformulación de la ecuación diferencial en un problema variacional equivalente.
Ej: en ecuaciones elípticas, en casos simples, toma la forma de problema de minimización:
donde:
V: conjunto de funciones admisibles
es un funcional
las funciones a menudo representan cantidades que varían en forma continua (ej.. desplazamiento de un cuerpo elástico, temperatura, etc.)
F(v) es la energía total asociada a v.
(M) es una caracterización equivalente de la solución de la ecuación diferencial como aquella función en V que minimiza la energía total del sistema considerado.
(M) Hallar / ( ) ( )u V F u F v v V
:F V ( )F v v V v V
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Discretización en el MEF (cont)
2. En general, la dimensión de V es infinita (las funciones de V no pueden expresarse a través de un número finito de parámetros). Luego, (M) no puede resolverse en forma analítica.
Para hallar una solución, la idea del MEF es reemplazar por un conjunto de funciones simples que dependen de un número finito de parámetros:
Este problema es equivalente a un sistema de ecs. algebraicas. Se espera que sea una aproximación suficientemente buena de , la solución de (M).
3. Usualmente elegimos:
En este caso, corresponde al método clásico de Ritz-Galerkin
V hV
(M ) Hallar / ( ) ( )h h h h hu V F u F v v V
huu
/h h h hV V v V v V
(M )h
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Discretización en el MEF (cont)
4. Característica particular del MEF: funciones de son funciones polinomiales por tramos
hV
Veremos más adelante que se pueden hacer formulaciones variacionales más
generales que el problema de minimización; ej.: métodos de Galerkin
Pasos para resolver por MEF:
1. Formulación variacional del problema
2. Discretización por MEF: construcción del espacio dimensional finito
3. Solución del problema discreto
4. Implementación del método en computadora: programación
hV
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Comentarios
• Existen distintas formulaciones variacionales dependiendo, por ejemplo, de
la elección de las variables independientes
• La elección del subespacio de aproximación de dimensión finita , o sea la
elección del tipo de elemento finito, está influenciada por:
– Formulación variacional
– Requerimientos de precisión
– Propiedades de regularidad de la solución exacta
– . . .
• Para resolver el problema discreto necesitamos algoritmos de optimización
y/o algoritmos de solución de grandes sistemas de ecs. algebraicas lineales o
no lineales
hV
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Ventajas del MEF respecto de DF
– Tratamiento de geometrías complicadas
– Condiciones de borde generales
– Propiedades materiales no lineales o variables
– La estructura clara del método permite crear códigos multipropósito
generales
– Fundamentos teóricos sólidos
– Confiabilidad
– Posibilidad de estimación de error
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1. Introducción al MEF para problemas elípticos
• Problemas elípticos “modelo” y solución por MEF
– Problema simple 1-D
– Generalización a 2-D
• Propiedades básicas del método
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(1.1) Formulación variacional del problema 1-D
• Sea el problema de valores de frontera:
donde es una función continua dada.
• Integrando 2 veces, vemos que el problema tiene solución única u.
• (D) puede describir cualquiera de los siguientes problemas de Mecánica del continuo:
A. Barra elástica
B. Cuerda elástica
C. Conducción del calor en una barra
'' ( ) , 0 1(D)
(0) (1) 0
u f x x
u u
' ; ( )du
u f xdx
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A) Barra elástica
Barra elástica sujeta en ambos extremos y sometida a carga axial de intensidad f(x)
Bajo hipótesis de pequeños desplazamientos y material elástico lineal:
donde E es el módulo de elasticidad. Asumiendo E=1
' Ley de Hooke
' Ec. de equilibrio
(0) (1) 0 Cond. de borde
Eu
f
u u
'' ( ) , 0 1(D)
(0) (1) 0
u f x x
u u
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B) Cuerda elástica
Cuerda elástica sujeta en ambos extremos, con tensión unitaria y sometida a carga transversal de intensidad f(x)
Bajo hipótesis de pequeños desplazamientos y material elástico lineal:
'' ( ) , 0 1(D)
(0) (1) 0
u f x x
u u
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C) Conducción de calor en una barra
Barra sometida a fuente de calor distribuida f(x), con temperatura nula en ambos extremos.
Bajo condiciones estacionarias y material lineal:
donde k es el conductividad. Asumiendo k=1
' Ley de Fourier
' Ec de equilibrio
(0) (1) 0 Cond de borde
q ku
q f
u u
'' ( ) , 0 1(D)
(0) (1) 0
u f x x
u u
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Problemas de minimización y variacional
Veremos que la solución al problema (D) es también solución del problema de minimización (M) y de un problema variacional (V)
Para formular (M) y (V) introducimos nueva notación.
1. Producto interno (v,w):
para funciones reales acotadas continuas por tramos v, w.
2. Espacio lineal V:
3. Funcional lineal
1
0( , ) ( ) ( )v w v x w x dx
/ funcion continua sobre 0,1 ,
' es continua p/tramos y acotada en 0,1 ,
(0) (1) 0
V v v
v
v v
:F V 1
( ) ( ', ') ( , )2
F v v v f v
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Problemas de minimización y variacional (cont)
Problema (M):
Problema (V):
Nota: en el contexto de los problemas (A) y (B)es la energía potencial total asociada al desplazamiento v
es la energía elástica interna
es el potencial de cargas
Problema (M): principio de mínima energía potencial en Mecánica
Problema (V): principio de trabajos virtuales en Mecánica
Veremos la equivalencia de los problemas (D), (V) y (M)
(M) Hallar / ( ) ( )u V F u F v v V
(V) Hallar / ( ', ') ( , )u V u v f v v V
1( ', ')
2v v
( , )f v
( )F v
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La solución de (D) es solución de (V)
1. Multiplicamos por una función arbitraria (func. de test).
Integramos sobre (0,1):
2. Integramos por partes el lado izquierdo, y usamos v(0)=v(1)=0:
3. Al ser v arbitraria:
o sea, u es solución de (V)
''u f v V
( '', ) ( , )u v f v
( '', ) '(1) (1) '(0) (0) ( ', ') ( ', ')u v u v u v u v u v
( ', ') ( , )u v f v v V (1.1)
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Los problemas (M) y (V) tienen la misma solución
1. Sea u solución de (V). Sea
Luego:
o sea, u es solución del problema (M).
• Sea u solución de (M). Luego
Definiendo:
Por (*) tiene un mínimo en . Luego :
o sea, u es solución del problema (V).
y / .v V w v u v u w w V
( ) 0 por (1.1)
0
1( ) ( ) ' ', ' ' ( , )
21 1
', ' ( , ) ( ', ') ( , ) ', ' ( )2 2
F u
F v F u w u w u w f u w
u u f u u w f w w w F u
( y : ) ( (*) )F u F u vv V
21( ) ( ) ( ', ') ( ', ') ( ', ') ( , ) ( , )
2 2g F u v u u u v v v f u f v
( )g 0
( ) min en 0
'(0) ( ', ') ( , ) 0g
g u v f v
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La solución de (V) es única
1. Sean
2. Sustrayendo, y eligiendo
lo cual muestra que:
3. Usando la condición de borde:
o sea, la solución a (V) es única.
11 2 2, soluciones de (V ,): y u u Vu u
1
2
( ' , ') ( , )
( ' , ') ( , )
u v f v v V
u v f v v V
1 2v u u V 1 21 20
( ' ' ) 0u u dx
1 2 1 2' ( ) ' ( ) ( ) ' ( ) 0 (0,1)u x u x u u x x
1 2 1 2(0) (0) 0 ( ) ( ) 0,1u u u x u x x
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Equivalencia de soluciones a (D), (V) y (M)
1. Hasta ahora hemos visto que si u es solución a (D), luego es solución a los problemas equivalentes (V) y (M) :
Mostraremos que si u es solución de (V), luego u satisface (D).
2. Sea
Asumimos existe y es continua. Integ.p/partes y usando
Como es continua, luego:
o sea, u es solución de (D).
( ) ( ) ( )D V M
1 1
0 0/ ' ' 0u V u v dx fv dx v V
''u (0) (1) 0v v 1 1 1
00 0
1
0
'' ' 0
( '' ) 0
u v dx fv dx u v
u f v dx v V
( '' )u f
( '' ) ( ) 0 0 1u f x x
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Equivalencia de soluciones (D), (V) y (M)
Resumiendo: Hemos demostrado que
1. La solución de la ecuación diferencial es solución de un problema
variacional
2. La solución del problema variacional es también solución de un problema de
minimización y viceversa
3. La solución del problema variacional es única
4. Si se cumple un requisito de regularidad (u” continua), la solución del
problema variacional es también solución de la ecuación diferencial
Notar: Las soluciones a los problemas variacional y de minimización vistos hasta ahora tienen dimensión infinita, no pueden hallarse en computadora.
Veremos ahora cómo el MEF construye aproximaciones de dimensión finita a las soluciones de (V) y (M).
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(1.2) MEF p/problema modelo c/funciones lineales p/tramos
1. Construiremos un subespacio de dimensión finita del espacio , consistente en funciones lineales p/tramos.
2. Sea
una partición del intervalo (0,1) en subintervalos de longitud
La cantidad es una medida de la densidad de la partición.
hV V
0 1 10 1M Mx x x x
1( , )j j jI x x
1, 1, 1j j jh x x j M max jh h
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Subespacio de funciones lineales por tramos
1. Sea
2. Para describir elegimos los valores
/ es lineal en cada subintervalo
es continua en el 0,1
(0) (1) 0
h jV v v I
v
v v
Ejemplo de hv V
Notar que hV V
( ) en los nodos , 1,j j jv x x j M
hv V
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Subespacio de funciones lineales por tramos
3. Definimos funciones de base
4. Toda función puede ser escrita en forma única como combinación lineal de las funciones de base :
Luego, es un espacio vectorial lineal de dimensión M con base:
( ) , 1,j hx V j M
1 si ( ) , 1,
0 si j i ij
i jx i j M
i j
: función continua lineal por tramos que verifica
la propiedad delta.
( )j x
hv V( )i x
1
( ) ( ) 0,1 , ( )M
i i i ii
v x x x v x
hV 1
M
i i
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MEF para problema modelo (D)
1. Formulación como problema de minimización discreto:
2. De la manera ya vista, es equivalente al problema variacional discreto:
3. Notar, que si satisface (1.2), luego en particular
(además, si se cumple (1.3), luego vale (1.2) )
4. Siendo , escribimos (1.3) en la forma:
Sistema de M ecuaciones algebraicas lineales con M incógnitas
h(M ) Hallar / ( ) ( )h h h hu V F u F v v V
h(V ) Hallar / ( ', ') ( , )h h h hu V u v f v v V
(método Ritz)
(método Galerkin)(1.2)
( ', ') ( , ) 1,h j ju f j M h hu V
(1.3)
hv V
1
( ) ( ) , ( )M
h i i i h ii
u x x u x
1
', ' , 1, ,M
i i j ji
f j M
i
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Los elementos pueden calcularse fácilmente.
Notar:
Luego A es tridiagonal
Forma matricial
A b1 1 1 2 1 1 1
2 1 2 2 2 2
1
( ', ') ( ', ') ( ', ')
( ', ') ( ', ')
( ', ') ( ', ')
M
M M M M M
b
b
b
A : matriz de rigidezb : vector de cargas
', 'ij i ja
( , )i ib f
', ' 0 si 1i j i k
(1.5)
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Sistema de ecuaciones
Entonces:
1. A es simétrica pues:
2. A es definida positiva pues siendo luego:
Como
Entonces:
1
1
1
2 21 1
( 1) 1 2
1 1 1 1( ', ') 1,
1 1( ', ') 2,
j j
j j
j
j
x x
jj j j x xj j j j
x
j j j j xj j
a dx dx j Mh h h h
a dx j Mh h
', ' ', 'i j j i
1
( ) ( )M
i ii
v x x
, 1 1 1
0 casi siempre ', ' ', ' ', ' 0
0 solo si ' 0
M M M
i i j j i i j ji j i j
v vv
(0) 0 luego ( ', ') 0 0 o sea: 0 2,jv v v v j M
0 , 0M Tη Aη η ηA simétrica y definida positiva
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Propiedades sistema de ecuaciones (1.5)
1. A sim > 0 A es no singular y el sistema (1.5) tiene solución única
2. A es rala, o sea pocos elementos de A son distintos de cero.
Esto se debe a que tiene soporte local ( en un intervalo pequeño,
interfiriendo con pocas funciones ).
3. Si la partición es uniforme, y logramos
j 0j k
1
1jh hM
2 1
1 2 11
1
2 1
1 2
h
0
A
0
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(1.3) Estimación de error del MEF para problema modelo
Sean
Recordando que
y como
donde es el error de la aproximación
Norma asociada al producto escalar ( , ):
Desigualdad de Cauchy:
'' ( ) , 0 1
(0) (1) 0 solucion de (D)
u f xu
x
u u
h Hallar solucion de (V / ( ', ') ( )) ,h h h hh u V u v f v vu V
( ', ') ( , )u v f v v V
hV V ', ' 0hu u v v V
hu u
Ecuación del error
1
11 222
0,w w w w dx
,v w v w
Veremos que en cierto modo, es la mejor aprox posible a la sol exacta uhu
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Estimación de error del MEF para problema modelo
Teo 1.1)
D) Sean . Reemplazando v por w en la ecuación del error:
Luego
Para lograr una estimación cuantitativa del error, usamos una elegida convenientemente. Por el resultado anterior:
' 'h hu u u v v V
arbitraria y h h hv V w u v V
ecuacion del error
Cauch
2
y
0
' ', ' ', ' ', '
', ' ' '
h h h h h h
h h
u u u u u u u u w u u u u w
u u u v u u u v v V
' 'h hu u u v v V
h hu V
' 'h hu u u u
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Estimación del error
Haremos interpolante de , o sea:
En Análisis Numérico, se ve que:
Luego, por el teorema y (1.12):
Mediante análisis detallado, se puede mostrar :
Notar:• No necesitamos construir explícitamente , sino sólo la estimación de error del
interpolante.• es una deformación o tensión, y tiene interés práctico la estimación de su error
h hu V u
( ) ( ) 0, 1h j ju x u x j M
2
0 10 1
( ) ( ) max ( ) ( ) ( ) max ( )8h h y
y
hu x u x h u y u x u x u y
0 1max ( )h
yu u h u y
2hu u o h
hu
u
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(1.4) MEF para la ecuación de Poisson
Sea el problema:
con
Puede corresponder a muchos problemas físicos: conducción de calor, potencial electromagnético, desplazamiento de una membrana fija en la frontera, etc.
Teorema de la divergencia:
con:
Fórmula de Green:
en (D)
0 sobre
u f
u
2 2
2 21 2
u uu
x x
div d ds
A x A n
1 11 2
2 21 2
divA nA A
A nx x
A A n
v w d v w ds v w d x n x
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Formulación variacional
1. Si u satisface (D), luego es solución de:
con
D) Multiplicamos (D) por una arbitraria e integramos
2. Como en el caso 1-D, si u suficientemente regular :
con
Energía potencial total:
(V) Hallar / ( , ) ( , )u V a u v f v v V
( , ) (forma bilineal) ( , )a u v u v d f v f v d
x x
1 2
: (i) es continua en ; (ii) , continuas a trozos en ; v v
V v vx x
hv V(iii) 0 sobre v
0 ( 0 en ) ( , )
( , ) ( , )
v a u v
f v v u d v u ds u v d a u v
x n x
( ) ( ) ( )D V M
(M) Hallar / ( ) ( )u V F u F v v V
1( ) ( , ) ( , )
2F v a v v f v
Introducción al Método de los Elementos Finitos
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Subespacio de funciones lineales por tramos
1. Construiremos un subespacio de dimensión finita consistente en funciones lineales p/tramos.
2. Asumimos poligonal. Sea una triangulación de : con
triángulos no superpuestos
y de forma que no haya ningún vértice de algún triángulo ubicado sobre el
lado de otro.
El parámetro de malla mide la densidad de triangulación.
hV V
1 2, ,h mT K K K /iK
1 2
h
mK T
K K K K
hK T
K
max diam( )hK T
h K
Introducción al Método de los Elementos Finitos
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Subespacio de funciones lineales por tramos (cont)
3. Definimos
Notar
4. Parámetros p/def.
Excluimos los nodos de frontera pues
5. Def. funciones de base :
: (i) es continua en ; (ii) es lineal para ; h hKV v v v K T
(iii) 0 sobre v
hV V
: valores ( ) de en los nodos 1, de h i i hv V v N v N i M T
0 sobre .v
1 si ( ) , 1,
0 si j i ij
i jN i j M
i j
( ) /j hV x
Soporte de ( ) / con nodo j h jT N x x x
Introducción al Método de los Elementos Finitos
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Subespacio de funciones lineales por tramos (cont)
6. Toda función tiene luego la representación:
7. Formulamos luego el siguiente MEF p/el problema de Poisson (D):
8. De manera similar al caso 1-D, este problema es equivalente a resolver el sistema de ecuaciones:
donde ahora:
9. Nuevamente A es simétrica, definida positiva y no singular, con lo cual el sistema de ecuaciones tiene solución única. Además, A es rala pues:
hv V
1
( ) ( ) , ( )M
i i i ii
v v N
x x x
h(V ) Hallar / ( , ) ( , )h h h hu V a u v f v v V
A b
, ( , )ij i j i j i i ia a d b f f d
x x
( )i h iu N
0 si , al mismo triánguloij i ja N N
Introducción al Método de los Elementos Finitos
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Noción de mejor aproximación
1. es la mejor aproximación a la solución u en el sentido:
con
2. En particular, si encontramos tal que
podremos probar convergencia. Ejemplo, usando el interpolante
tendremos: con C>0 cte independiente de h, que depende de:• tamaño derivadas segundas de u• menor ángulo de los triángulos
3. Puede mostrarse luego:
4. Así, si u es sufic. regular, el error y su gradiente tienden a cero con
h hu V
h hu u u v v V
1
1 222,v a v v v d
x
h hu V
h hu u u u
( ) ( ) 1,h j ju N u N j M
hu u Ch
hK T
1
2 2 2h hu u u u d Ch
x
0h
Introducción al Método de los Elementos Finitos
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Cálculo matriz rigidez
1. Los elementos son calculadas por suma de contribuciones de los distintos triángulos:
Notar que
2. Sean los nodos del triángulo K. Luego, la matriz de rigidez del elemento K:
3. La matriz de rigidez global A es armada luego en 2 etapas:1. Cálculo de las matrices de rigidez elementales
2. Sumatoria de las contribuciones de cada elemento (ensamble)
El vector de cargas b es armado de la misma manera.
,ij i ja a
, ,h h
i j i j i j K i jKK T K T
a d d a
x x
, 0 sólo si ,K i j i ja N N K
, y i j kN N N
, , ,
, ,
sim. ,
K i i K i j K i k
K K j j K j k
K k k
a a a
a a
a
A
Introducción al Método de los Elementos Finitos
40
Cálculo matriz rigidez elemental
1. Trabajamos con las restricciones de las funciones de base al triángulo K:
2. es una función lineal /
3. Si es una función lineal en K, tiene luego la representación:
4. La matriz de rigidez elemental:
i i K
1 en el nodo
0 en los nodos ,i
i
j k
i
( )w x
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )i i j j k kw x w N x w N x w N x
( ), ( ), ( ) base de fcs lineales en i j kx x x K
, , ,
, ,
sim. ,
i i i j i k
K j j j k
k k
a a a
a a
a
A
Introducción al Método de los Elementos Finitos
41
Ejemplo
( , )i i i ix y x y
, , /i i i ( , ) 1 1 1
( , ) 0 1 0
( , ) 0 1 0
i i i i i i
i j j j j i
i k k k k i
x y x y
x y x y
x y x y
Resolviendo:1
12 det 1 (área triángulo)2
1 ;2 2
j k k ji ii
j jj k k j
k ki i
x y x y x y
x yy y x x
x y
Luego:
2 2,i i
i i
i ii i i i i iK K K
i i
x x
y y
a d d d
x x x
,i j i j i j i jKa d x
Introducción al Método de los Elementos Finitos
42
Ejemplo
2 2
2 2
2 2sim.
i i i j i j i k i k
K j j j k j k
k k
A
Matriz de rigidez elemental:
Ilustraremos el proceso de ensamble para el caso siguiente:
Elemento 1) i=1; j=2; k=31 1 11 2 3
1 1 11 2 3
1 1 11 2 3
0 0 0
1 10
1 10
h h
h h
Sustituyendo:
11
1 2
3
2 1 11
1 1 02
1 0 1
A ξ
Introducción al Método de los Elementos Finitos
43
EjemploPor similaridad:
43
3 1
6
2 1 11
1 1 02
1 0 1
A ξ5
55 7
1
2 1 11
1 1 02
1 0 1
A ξ
Elemento 2) i=3; j=6; k=1 2 2 23 6 1
2 2 23 6 1
2 2 23 6 1
0 0 0
1 10
1 10
h h
h h
32
2 6
1
2 1 11
1 1 02
1 0 1
A ξ1
44 4
5
2 1 11
1 1 02
1 0 1
A ξ2
66 1
7
2 1 11
1 1 02
1 0 1
A ξ
Luego:
Introducción al Método de los Elementos Finitos
44
Ensamble primer elemento
1
2
3
4
5
6
7
2 1 1
1 1 0
1 0 11
2
A ξ
11
1 2
3
2 1 11
1 1 02
1 0 1
A ξ
Introducción al Método de los Elementos Finitos
45
Ensamble segundo elemento
1
2
3
4
5
6
7
1 1 0
1 2 1
0 1
2 1 1
1 1 0
1 0 11
2
1
A ξ
32
2 6
1
2 1 11
1 1 02
1 0 1
A ξ
Introducción al Método de los Elementos Finitos
46
Ensamble tercer elemento
1
2
3
4
5
6
7
2 1 1
1 1 0
1 0
1 1 0
1
11
2
1 1 0
1 2 1
0 1 1
2 1
0 1 1
A ξ
43
3 1
6
2 1 11
1 1 02
1 0 1
A ξ
Introducción al Método de los Elementos Finitos
47
Ensamble cuarto elemento
1
2
3
4
5
6
7
1 1 0
1 2 1
0 1
2 1 1
1 1 0
1 0 1
2 1 11 1 0
1 2 11
1
1 1 0
1 0 1
0 1
2
1
A ξ
14
4 4
5
2 1 11
1 1 02
1 0 1
A ξ
Introducción al Método de los Elementos Finitos
48
Ensamble quinto elemento
1
2
3
4
5
6
7
2 1 1
1 1 0
1
21 1 0
1 0 1
1 1 0
1 2 1
2 1
0 1 1
1 1 0
1
1 1
1
0
1 0
1 0
1
21
11
2 1
0 11
A ξ
55
5 7
1
2 1 11
1 1 02
1 0 1
A ξ
Introducción al Método de los Elementos Finitos
49
Ensamble sexto elemento
1
2
3
4
5
6
7
1 1 0
1 2 1
0 1 1
1 1 0
1 2 1
0 1 1
21 12 1 1
1 1 0
1 0
1 1 0
1 2 1
0
0
1 2 1
0 1 1
1 1
1 1 0
1
1
0
11
21
1
A ξ
26
6 1
7
2 1 11
1 1 02
1 0 1
A ξ
Introducción al Método de los Elementos Finitos
50
Sistema de ecuaciones global1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
6 6
7 7
4 1 1 1 1 0 0
1 1.5 0 0 0 0 0.5
1 0 1.5 0 0 0.5 0
1 0 0 1.5 0 0.5 0
1 0 0 0 1.5 0 0.5
0 0 0.5 0.5 0 0.5 0
0 0.5 0 0 0.5 0 0.5
b
b
b
b
b
b
b
A ξ
Notar que la ecuación 1 está completa (no hay más elementos que contribuyan allí) :
1 2 3 4 5 14 b
2
1 2 3 4 5 61 6
hb f f f f f f
Puede mostrarse, de manera similar, que:
con: 1i i
if f d x
La ecuación es idéntica a la que se obtiene por diferencias finitas. El término a derecha cambia.
Introducción al Método de los Elementos Finitos
51
1. En formulaciones variacionales para solución de BVP, trabajaremos con espacios V más grandes que los vistos hasta ahora.
2. Sucesión de Cauchy: sucesión que verifica
La sucesión de Cauchy es convergente si cuando
3. Espacio de Hilbert: Es un espacio lineal V, equipado de producto escalar y norma asociada, completo (o sea que las sucesiones de Cauchy convergen respecto de la norma del espacio).
Espacios de Hilbert
0, / si ,i jN v v i j N
1 2, , , Vnv v v
0iv v i
Introducción al Método de los Elementos Finitos
52
Espacios de Hilbert: ejemplos 1D
• Espacio L2(I) de funciones de cuadrado integrable en I=(a,b)
dotado del producto interno:
y la norma:
La desigualdad de Cauchy:
Ejemplo:
22 I
L (I) : está definida en I y v v v dx
2 2L (I) L (I)( , )v w v w
1
122
2
2
L (I) I( , )v v dx v v
I
( , )v w vwdx
2
1( ) , I (0,1), L (I) si <
2v x x x v
Introducción al Método de los Elementos Finitos
53
Espacios de Hilbert: ejemplos 1D (cont.)
• Espacio H1(I) en I=(a,b):
dotado del producto interno:
y la norma:
• Espacio en I=(a,b):
• Dado el problema modelo:
luego:
• Notas: – es más grande que el espacio V de funciones lineales a trozos
que veníamos usando.– En MEF, la norma del error es simplemente la norma en H1(I).
1 10H (I) : H (I) y (a) (b) 0v v v v
1 12 2
1 1
22
H (I) H (I)I( , )v v v dx v v
1H (I) I( , )v w vw v w dx
10H (I)
12H (I) : , L (I)v v v
1 10 0 Hallar H (I)(V) / , , H (I)u u v f v v
'' ( ), I
(a)(
0)
(b)
u f x xD
u u
10H (I)
Introducción al Método de los Elementos Finitos
54
Espacios de Hilbert en d, d=2,3
1 12 2
1 1
2
H ( ) H ( )( , )v v v v dx v v
21
2: L ( ), L ( ), 1, , H ( )i
vv v i d
x
22 : está definida en y L ( ) v v v dx
1H ( )( , )v w vw v w dx
( , )v w vwdx
122v v dx
•
– Producto escalar:
– Norma:
•
– Producto escalar:
– Norma:
• 110 :H H( ) ( ), 0v v v
Introducción al Método de los Elementos Finitos
55
Espacios de Hilbert en d, d=2,3 (cont)
• Dado el problema modelo (ec. de Poisson + CB homogéneas)
luego:
o, equivalentemente:
• Nota: (V) se dice la formulación débil de (D), y la solución de (V) es la solución débil de (D). Ésta no es necesariamente una solución clásica de (D). Para que lo sea, u debe ser suficientemente regular de modo que u esté definida en el sentido clásico.
en
0 (
obre )
s
u f
uD
1 10 0
1 1 Hallar H ( ) / a( , ) ( , ) a( , ) ( , ) H ( )
2( )
2u u u f u v v f v vM
F( )u ( )F v
1 10 0 Hallar H ( ) H ( )( ) / u u v d f vV x v dx
a( , )u v ( , )f v
Introducción al Método de los Elementos Finitos
56
Interpretación geométrica del MEF
Consideremos el BVP de difusión-reacción con CB homogéneas:
luego:
en
0 sob)
re (D
u u f
u
1 10 0 Hallar H ( ) / H (( )) u u v dx uvV dx fv dx v
,u v ( , )f v
, 0 Vh hu u v v
Hallar V / ,( ) ( , ) Vh h h hh u u v f v vV
10H ( )Sea Vh un subespacio de dimensión finita de , ej. el espacio de funciones
lineales a trozos. El MEF aplicado al problema de difusión-reacción da:
10V H ( )hv Tomando en (V), (V)(Vh) resulta:
La solución MEF uh es la proyección con resp a , de la solución exacta u sobre Vh, o sea que uh es el elemento de Vh más próximo u con resp a ||.|| , i.e.:
uh
Vh
u
10Producto interno en H ( )
1 10 0H ( ) H ( )
Vh hu u u v v
10H ( )
Introducción al Método de los Elementos Finitos
57
CB naturales y esenciales
Consideremos el BVP de difusión-reacción con CB tipo Neumann:
luego:
o:
con
en
sob(
r)
e
u u f
ug
n
D
1H ( )u v uv dx fv dx gv dx v
,u v ( , )f v ( , )g v
1F( ) a( , ) ( , ) ( , )
2u u u f u g u
1 1 Hallar H ( ) / F( ) F( ) H( () ) u u vM v
1 Hallar H )) /( (V u
•La CB Neumann, que no tiene que ser impuesta explícitamente sobre u, se denomina CB natural.
•La CB Dirichlet u=u0 sobre , que debe ser satisfecha explícitamente por u, se conoce como CB esencial.
Introducción al Método de los Elementos Finitos
58
Problema continuo en forma abstracta
Objetivos:
• Dar un tratamiento unificado a muchos problemas de la Mecánica y la Física, a fin de no repetir el mismo argumento en distintos casos concretos.
• Entender la estructura básica del MEF.
Hipótesis: sea V un espacio de Hilbert con producto escalar (.,.)V y norma ||.||V, a(.,.) es una forma bilineal en V×V, y L(.) una forma lineal en V, tales que
1. a(.,.) es simétrica, i.e.,
2. a(.,.) es continua, i.e.,
3. a(.,.) es V-elíptica o coerciva, i.e.,
4. L(.) es continua, i.e.,
a( , ) a( , ) , Vu v v u u v
V V0 / a( , ) , Vu v u v u v
2
V0 / a( , ) Vv v v v
V0 / L( ) Vv v v
Introducción al Método de los Elementos Finitos
59
Formulación abstracta del MEF para problemas elípticos (cont)
V( ) F( )= min F
1 Hallar V / , con ( ) F( )= a( , ) ( )
2vu vM u v v vv L
Hallar V /( ) a( ,, L( ) V)V u v vu v
Teorema: (M) y (V) son equivalentes, i.e., u satisface (M) si y sólo si u satisface (V). Además, uV, y ésta verifica
V/ .u
Introducción al Método de los Elementos Finitos
60
Formulación abstracta del MEF para problemas elípticos (cont)
Demo.: sea vV y arbitrarios. Luego, v+uV, así que
Siendo
luego
Como g tiene un mínimo en 0, debe cumplirse
F( ) F( ) , u u v g tiene un mínimo e n =0
2
2
1g( ) a( , ) L( )
2
1a( , ) a( , ) a( , ) a( , ) L( ) L( )
2 2 2 2
1a( , ) L( ) a( , ) L( ) a( , )
2 2
u v u v u v
u u u v v u v v u v
u u u u v v v v
g (0) a( , ) ) )( (L 0u v v V
g(0) g( )
(QED)
g ( ) a( , ) L( ) a( , )u v v v v
Introducción al Método de los Elementos Finitos
61
Estimación del error de discretización
• Sea Vh un subespacio de V, con dimensión finita M, y sea {1, 2,…, M} una base para Vh, de modo que toda vVh puede representarse
• Usando Vh, obtenemos los problemas discretos análogos a (M) y (V):
– Como
– Como
– Forma matricial de (Vh): con
M
=1
= ,i i ii
v
Hallar V / F( ) F(( ) ), Vh hh h hM u u v v
V a( , ) L( ), 1,2, ,Mj h h j ju j
Hallar V ( / a( , )) L( ), Vh h hh hu u v v vV
M M
=1 1
V = , a( , ) L( ), 1,2, ,Mh h h i i i i j i ji i
u u j
Aξ b a( , ), L( ).ij i j j jA b
Introducción al Método de los Elementos Finitos
62
Estimación del error de discretización (cont)
• Dado que a(.,.) es simétrica:
la matriz A es simétrica
• Dado que a(.,.) es V-elíptica:
la matriz A es positiva definida
la matriz A es no singular
M M M M2
V1 1 1 1
a( , ) a( , ) a( , ) 0 si 0 ( )i i j j i i j ji j i j
v v v v
η Aη η 0
a( , ) a( , )i j j i ij jiA A
h! ! V solución de ( )h hu V ξ / Aξ = b
Introducción al Método de los Elementos Finitos
63
Estimación del error de discretización (cont)
• Teorema: Sea uV la solución de (V) y uhVhV. Entonces:
• Demo.:
1.
2.
3.
4.
5. Operando:
V VVh hu u u v v
solución de ( ) a( , ) L( ), V Vhu V u w w w solución de ( ) a( , ) L( ), Vh h h hu V u w w w
Restando: a( , ) 0, Vh hu u w w Sea = , con V arbitrario.h hw u v v
2
V
V V
a( , )
a( , ) a( , )
a( , )
a( , )
h h h
h h h
h h
h
h
u u u u u u
u u u u u u w
u u u u w
u u u v
u u u v
(QED)
Introducción al Método de los Elementos Finitos
64
Norma de energía
Considerando
1. a(.,.) es continua, i.e.,
2. a(.,.) es V-elíptica o coerciva, i.e.,
podemos definir una nueva norma llamada norma de energía:
Esta norma es equiv a ||.||V, i.e., constantes positivas , tal que
El producto escalar asociado a ||.||a es
La ec de error resulta
de donde
Medida en la norma de energía, uh es la mejor aproximación a u.
V V0 / a( , ) , Vu v u v u v
2
V0 / a( , ) Vv v v v
12
aa( , ) , Vv v v v
V a Vc C Vv v v v
c , C
a( , ) a( , ).u v u v
a( , ) 0 Vh hu u v v
a aVh hu u u v v
Introducción al Método de los Elementos Finitos
65
Ejemplos concretos
Ejemplo 1: sea
En este caso, es la forma débil del problema de Neumann
Se verifica
• a(.,.) es una forma bilineal simétrica
• a(.,.) es V-elíptica con =1
• a(.,.) es continua con =1
• L(.) es continua con
• Luego:
1 2V=H ( ), .
2
a( , )=
L( )= , L ( )
v w vw v w dx
v fv dx f
1
2
H ( )a( , )=v v v
en , 0 sob( r) e u
D u u fn
1a( , )=L( ), H ( )v w v v
1 12 2
1 1H ( ) H ( )a( , ) a( , ) a(w, )v w v v w v w
2L ( )f
2 2L ( ) L ( )L( )v fv dx f v
12H ( ) L ( )
u f
a( , )=a( , )v w w v
1 11
H ( ) H ( )H ( )hu u u v v
Introducción al Método de los Elementos Finitos
66
Ejemplos concretos (cont)
Ejemplo 2: sea
En este caso, es la forma débil del problema
Se verifica
• a(.,.) es una forma bilineal simétrica
• a(.,.) es continua con =1
• a(.,.) es V-elíptica con =1/2
– Demo.:
• L(.) es continua con
• Luego:
10 I I
V=H (I), I (0,1), a( , )= , L( )= .v w v w dx v fv dx
2 22
I I I
1
2v dx v dx v dx
en I, ( ) ( )( ) 0u f u a bD u
10a( , )=L( ), H (I)v w v v
1 12 2L (I) L (I) H (I) H (I)
a( , )v w v w v w
2L (I)f
2 2L (I) L (I)IL( )v fv dx f v
12H (I) L (I)
u f
a( , )=a( , )v w w v
1 110H (I) H (I)
2 H (I)hu u u v v
12
0
1 121
0 0 0 01 1 1 1 1
2 2 22 2
0 0 0 0 0
H (I) ( )= ( ) ( )
1
2
x x
v v x v y dy v x v dy v dy v dy
v dx v dx v dx v dx v dx
Introducción al Método de los Elementos Finitos
67
Ejemplos concretos (cont)
Ejemplo 3: sea
En este caso, es la forma débil del problema de Poisson
Se verifica
• a(.,.) es una forma bilineal simétrica
• a(.,.) es continua con =1
•
a(.,.) es V-elíptica con =1/(C+1), C tal que
• L(.) es continua con
• Luego:
1 20V=H ( ), , a( , )= , L( )= .v w v wdx v fv dx
2 Cv dx v v dx
en ,( 0 s) obre u uD f
10a( , )=L( ), H ( )v w v v
1
2 2
H ( )a( , )v v v v v v dx
2L ( )f
2 2L ( ) L ( )L( )v fv dx f v
12H ( ) L ( )
C 1u f
a( , )=a( , )v w w v
1 1
10H ( ) H ( )
C 1 H ( )hu u u v v
1 12 2L ( ) L ( ) H ( ) H ( )
a( , )v w v v v w
Introducción al Método de los Elementos Finitos
68
Ejemplos concretos (cont)
Ejemplo 4:
• Definimos los espacios
con norma
• La forma débil del problema (D) consiste en hallar tal que
• a(.,.) es una forma bilineal y simétrica
• a(.,.) es continua con =1
• a(.,.) es V-elíptica con =1/3
• L(.) es continua con
• Luego:
4
4 en I=(0,1),( (0) (0) (1) (1) )
d uf u uD u u
dx
12
2
2 22
H (I) I=v v v v dx
22H (I)= : , , L (I)v v v v
2 20H (I)= : H (I), (0) (0) (1) (1) 0v v v v v v
20I I
= H (I)
a( , ) L( )
u v dx fv dx v
u v v
20V=H (I)u
22H (I) L (I)
3u f 2 220H (I) H (I)
3 H (I)hu u u v v
2 22 2L (I) L (I) H (I) H (I)
a( , )v w v w v w
1
2 2 22
H (I) Ia( , )v v v v v v dx
2L (I)f
Introducción al Método de los Elementos Finitos
69
Ejemplos concretos (cont)
Ejemplo 5: Consideremos el problema bi-armónico:
• Definimos los espacios
con norma
• La forma débil del problema (D) se obtiene haciendo
• Se puede demostrar que a(.,.) es una forma bilineal, simétrica, continua y V-elíptica, así como L(.) es una forma lineal continua.
0 0
2
=L( ) =a( , )
( )
v u v
vfv dx u v dx u v dx u v ds u v dx u ds
n nV
2 2 22
22 2H ( )= : , , , , , L ( )
v v v v vv v
x y x y x y
2 20H ( )= : H ( ), 0 sobre
vv v v
n
2 en , 0 sob e ( ) ru
u f uDn
2
2 2 222 2 2 22
2 2H ( )=
v v v v vv v dx
x y x y x y
Introducción al Método de los Elementos Finitos
70
Ejemplos concretos (cont)
Ejemplo 6: Consideremos el problema estacionario de convección-difusión:
Supongamos ||/ moderado.
• La forma débil del problema (D) se obtiene haciendo
• L(.) es una forma lineal continua.
• a(.,.) es una forma bilineal, continua y V-elíptica, pero no simétrica.
• Teorema: si L(.) es una forma lineal continua, y a(.,.) es una forma bilineal, continua y V-elíptica, pero no simétrica, se puede demostrar que hay solución única a (V), y está acotada. Sin embargo, en este caso no existe problema de minimización asociado a (V).
0
=L( ) =a( , )
( )
v u v
ufv dx u u v dx u v u v dx v ds
nV
β β
2 en , , ,( ) 0 sobre u u fD u β β
Introducción al Método de los Elementos Finitos
71
Ejemplos concretos (cont)
Ejemplo 7: Consideremos el problema estacionario de conducción de calor en 3
Definimos el espacio
• La forma débil del problema (D) se obtiene haciendo
• L(.) es una forma lineal continua si f,gL2().• a(.,.) es una forma bilineal, simétrica, continua y V-elíptica si
11V : H ( ), 0 sobre v v v
2
2
a( , ) L( )
( )
u v v
fv dx u v dx u v dx u v dx u v dx g v ds
u v dx fv dx g v ds
V
k k k n k
k
1
2
en , Ecuación del calor
=0 en CB Dirichlet
en CB Neuman
( )
n
iju f k
u
g
D
u
k
k n
, / ( )ijc C c k C x x
Introducción al Método de los Elementos Finitos
72
Algunos espacios de elementos finitos
• Sea el dominio acotado representado
por la “triangulación” (o malla) de elementos finitos Th={K}.
– En 1D, el elemento K es un intervalo.
– En 2D, los elementos más comunes
son triángulos o cuadriláteros.
– En 3D, tetraedros o hexaedros.
• Los espacios Vh más comunes en elementos finitos consisten en funciones polinómicas por tramos definidas sobre la malla Th.
• La definición de un espacio de elementos finitos Vh requiere especificar
– La malla Th del dominio
– La naturaleza de las funciones vVh sobre cada elemento K (ej., lineal, cuadrática, cúbica, etc.)
– Los parámetros usados para definir dichas funciones.
K
Introducción al Método de los Elementos Finitos
73
Requisitos de regularidad
• BVP de 2º orden • BVP de 4º orden
• Si los espacios consisten de funciones polinómicas, resulta
2V H ( )h
1V H ( )h
2 1 1V H ( ) V C ( ) : , C ( ), 1, ,dh hi
vv v i
x
1 0V H ( ) V C ( ) : es continua en h h v v
Introducción al Método de los Elementos Finitos
74
Algunos ejemplos de elementos finitos en 2D
• Sea el dominio 2 con frontera poligonal .
• Sea Th={K} una triangulación de en triángulos K.
• Definimos los espacios
– P1(K) es el espacio de funciones lineales en K:
luego {1,x,y} es una base en P1(K) y dim P1(K)=3.
– P2(K) es el espacio de funciones cuadráticas en K:
luego {1,x,y,x2,xy, y2} es una base en P2(K) y dim P2(K)=6.
– En general:
2 200 10 01 20 11 02( , ) , ( , ) K, ijv x y a a x a y a x a xy a y x y a
P (K) : es un polinomio de grado en Kr v v r
00 10 01( , ) , ( , ) K, ijv x y a a x a y x y a
0
P (K) : ( , ) , ( , ) K,i jr ij ij
i j r
v v x y a x y x y a
( 1)( 2)dim P (K)
2r
r r
K
x x1º
x y2º
Introducción al Método de los Elementos Finitos
75
Elemento finito triangular lineal
• Sea el espacio de funciones lineales a trozos:
• Los parámetros necesarios para describir las funciones vVh se denominan grados de libertad (gdl) globales, y se eligen coincidentes con los valores de v en los nodos de la triangulación Th.
• Si KTh es un triángulo lineal de vértices (xi,yi), i=1,2,3, los gdl elementales son los valores de v en los dichos vértices.
01K
V : C ( ) y P (K), K Th hv v v
Introducción al Método de los Elementos Finitos
76
Elemento finito triangular lineal (cont)
1 1 1 2 1 3 1 1
2 2 1 2 2 3 2 2
3 3 1 2 3 3 3 3
ec (3.
( , )
( , ) 7
( , )
)
v x y c c x c y
v x y c c x c y
v x y c c x c y
1! P (K) / ( , ) , 1, 2,3i i iv v x y i
1 1 2 3P (K) ( , ) , ( , ) K, iv v x y c c x c y x y c
• Teorema: Sea KTh un triángulo de vértices (xi,yi), i=1,2,3. Una función vP1(K) está determinada de manera única por los gdl elementales, i.e., dados los valores i,
•Demo. 2: Notar que dim P1(K) = # gdl, i.e., # incógn = # ecs.
•Luego, det B0 implica que si vP1(K) y v(xi,yi)=0 para i=1,2,3, entonces
debe ser vº0.
•Esto se puede probar sin necesidad de calcular det B, tarea que se complica a
medida que se usan polinomios de mayor orden.
1 1
2 2
3 3
1
!solución para dados si det B= 1 0
1i
x y
x y
x y
det B= 2 area K 0 a b
1
3
2
K
a
b
(QED)
•Demo.:
Evaluando en los vértices
B es no singular !solución
Introducción al Método de los Elementos Finitos
77
Determinación de las funciones de base para el triángulo lineal
Toda función vP1(K) puede representarse
Las funciones de base i (º coord de área del triángulo K) verifican
lo que da lugar al sist de ecs
de donde
Análogamente:
3
1
( , ) ( , ) ( , ), ( , ) K.i i ii
v x y x y v x y x y
1 si ( , ) / ( , ) , 1, 2,3.
0 si i i i i i j j ij
i jx y a b x c y x y i j
i j
1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 2 1 1 2 1 2
1 3 3 1 1 3 1 3
( , ) 1
( , ) 0
( , ) 0
x y a b x c y
x y a b x c y
x y a b x c y
1 1
2 2
3 3 2 3 3 21
1 1
2 2
3 3
1
0
0
1 2 area K
1
1
x y
x y
x y x y x ya
x y
x y
x y
1
2
3 3 21
1 1
2 2
3 3
1 1
1 0
1 0
1 2 area K
1
1
y
y
y y yb
x y
x y
x y
1
2
3 2 31
1 1
2 2
3 3
1 1
1 0
1 0
1 2 area K
1
1
x
x
x x xc
x y
x y
x y
1
31
2
1
1
3
1
2
2
1
3
1
2
3
3 1 1 32 2 area K
x y x ya
1 32 2 area K
y yb
3 1
2 2 area K
x xc
1 2 2 1
3 2 area K
x y x ya
2 13 2 area K
y yb
1 2
3 2 area K
x xc
Introducción al Método de los Elementos Finitos
78
Continuidad entre elementos triangulares lineales
• Dado
• Adoptando como gdl los nodos de la malla Th, podemos definir alternativamente
• Demo.: Para probar que (3.11)º(3.4), es necesario probar que la función vVh definida de acuerdo a (3.11) es continua no sólo en los nodos sino también a través de las fronteras interelementales.
– Sean K1 y K2 dos triángulos en Th que comparten el lado S y los nodos 1 y 2.
– Sea la restricción de v a Ki.
– v1=v2 en los nodos 1 y 2, y v1,v2 lineales.
v1=v2 a lo largo de todo el lado S
v es continua a través de S
1KV : P (K), K T , y es continua en los nodos ec (3.11)h hv v v
01K
V : C ( ) y P (K), K ec (3.3)Th hv v v
2
1
v2
K1
K2
v1
S
i1K
P (K )i iv v
0C ( )v (QED)
Introducción al Método de los Elementos Finitos
79
Elemento finito triangular cuadrático
• Sea el espacio de funciones cuadráticas a trozos:
• Sea KTh un triángulo de vértices xi=(xi,yi), i=1,2,3,
y sea xij=(xi+ xj)/2 el punto medio del lado ij, i<j, i,j=1,2,3.
• Teorema: toda función vP2(K) está únicamente determinada por los gdl
02K
V : C ( ) y P (K), K Th hv v v
12
3
2
1
13
23K
( ), 1, 2,3,
( ), , , 1, 2,3.i
ij
v i
v i j i j
x
x
Introducción al Método de los Elementos Finitos
80
Elemento finito triangular cuadrático (cont)
• Demo.: como dim P2(K)= #gdl =6, es suficiente probar que si vP2(K) y v(xi)=v(xij)=0 (con i<j, i,j=1,2,3), entonces debe ser vº0.
1. A lo largo del lado 23, v varía cuadráticamente y v=0 en x2, x3 y x23. Luego, v=0 x , y v puede escribirse
2. Ídem a lo largo del lado 13, luego
3. Evaluando en x12
23
1 2 0 0 1 2 1( ) ( ) ( ) , K, cte, , funciones de base en P (K).v w w x x x x
1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ), K, P (K), función de base en P (K).v w w x x x x
12 1 12 2 12 0 0 0
1 1( ) ( ) ( ) 0 0 0
2 2v w w w v x x x (QED)
Introducción al Método de los Elementos Finitos
81
Elemento finito triangular cuadrático (cont)
Toda función vP2(K) puede expresarse
Con las funciones de base en P2(K) dadas por
Es fácil verificar que i, i=1,…,6, conforman una base en P2(K) y además i(xj)=ij.
1 1 1
2 2 2
3 3 3
2 1
2 1
2 1
4 12º
3
2
1
6º13
5º23K
3 3 6
1 , 1, 1
2 1 ( ) 4 ( ) ( )i i i i j ij i ii i j i j i
v v v v
x x x
4 1 2
5 2 3
6 1 3
4
4
4
funciones asociadas a los nodos en el medio de los lados
funciones asociadas a los nodos en vértices
Introducción al Método de los Elementos Finitos
82
Continuidad entre elementos triangulares cuadráticos
• Dado
o, alternativamente,
• Demo.: Para probar que (a)º(b), es necesario probar que la función vVh definida de acuerdo a (b) es continua no sólo en los nodos sino también a través de las fronteras interelementales.
– Sean K1 y K2 dos triángulos en Th que comparten el lado S, con nodos 1, 2 y 4.
– Sea la restricción de v a Ki.
– v1=v2 en los nodos 1, 2 y 4, y v1,v2 cuadráticas.
v1=v2 a lo largo de todo el lado S
v es continua a través de S
2KV : P (K), K T , y es continua en los nodo ec s (b) h hv v v
02K
V : C ( ) y P (K), K ec (aT )h hv v v
i2K
P (K )i iv v
0C ( )v (QED) v2
v12
1
4
S
Introducción al Método de los Elementos Finitos
83
Elemento finito triangular cúbico
• Sea el espacio de funciones cúbicas a trozos:
• Sea KTh un triángulo de vértices xi=(xi,yi), i=1,2,3, y
• Teorema: toda función vP3(K) está únicamente determinada por los gdl
123
( ), 1, 2,3
( ), , 1, 2,3,
( )
i
iij
v i
v i j i j
v
x
x
x
123 1 2 3
2 1, , 1,2,3,
3 31
3
iij i j i j i j
x x x
x x x x
03K
V : C ( ) y P (K), K Th hv v v
221
3
2
1223
K
112
332123
113331
Introducción al Método de los Elementos Finitos
84
Elemento finito triangular cúbico (cont)
• Demo.: como dim P3(K)= #gdl =10, es suficiente probar que si vP3(K) y v(xi)=v(xiij)=v(x123)=0 (con i,j=1,2,3, ij), entonces debe ser vº0.
1. v tiene variación cúbica a lo largo de los lados 12, 23 y 13, y v=0 en cuatro puntos de cada lado, luego v=0 en los tres lados y puede escribirse
2. Evaluando en x123
1 2 3 0 0 1 2 3 1( ) ( ) ( ) ( ) , K, cte, , , bases en P (K).v w w x x x x x
123 1 123 2 123 3 123 0 0 0
1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0
3 3 3v w w w v x x x x
(QED)
Introducción al Método de los Elementos Finitos
85
Funciones de base para elemento finito triangular cúbico
1 1 1 1
13 1 3 2
2 4 1 2 1
93 1
2
10 1 2 327 5 221º
3
2
16 223º
K
4 112º
7 332º
10 123º
9 113º8 331º
Introducción al Método de los Elementos Finitos
86
Continuidad entre elementos triangulares cúbicos
• Dado
• Adoptando como gdl los nodos de la malla Th, podemos definir alternativamente
• Demo.: Para probar que (a)º(b), es necesario probar que la función vVh definida de acuerdo a (b) es continua no sólo en los nodos sino también a través de las fronteras interelementales.
– Sean K1 y K2 dos triángulos en Th que comparten el lado S, de nodos extremos 1 y 2, y nodos intermedios 4 y 5.
– Sea la restricción de v a Ki.
– v1=v2 en los nodos 1, 2, 4 y 5, y v1,v2 cúbicas.
v1=v2 a lo largo de todo el lado S
v es continua a través de S
3KV : P (K), K T , y es continua en los nod s (b)o ec h hv v v
03K
V : C ( ) y P (K), K ec (aT )h hv v v
i3K
P (K )i iv v
0C ( )v (QED)v2
v12
1
5
S
4
Introducción al Método de los Elementos Finitos
87
Elemento finito triangular cúbico con gdl en derivadas
• Sea el espacio de funciones cúbicas a trozos:
• Sea KTh un triángulo de vértices xi=(xi,yi),
i=1,2,3, y centro de gravedad x123.
• Teorema: toda función vP3(K) está únicamente determinada por los gdl
3KV : P (K), K Th hv v
123
( ), 1, 2,3
( ), ( ), 1, 2,3
( )
i
i i
v i
v vi
x y
v
x
x x
x
3
2
1K 123
Introducción al Método de los Elementos Finitos
88
Elemento finito triangular cúbico con gdl en derivadas (cont)
• Demo.: como dim P3(K)= #gdl =10, es suficiente probar que si vP3(K) y
entonces debe ser vº0.
1. la función v tiene variación cúbica a lo largo del lado 12, y se anula así como su derivada en dos puntos del lado, luego v=0 en todos los puntos del lado 12.
2. Razonando análogamente con los lados 23 y 13, llegamos a
3. Evaluando en x123
1 2 3 0 0 1 2 3 1( ) ( ) ( ) ( ) , K, cte, , , bases en P (K).v w w x x x x x
123 1 123 2 123 3 123 0 0 0
1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0
3 3 3v w w w v x x x x
123( ) ( ) ( ) ( ) 0, 1,2,3i i i
v vv v i
x y
x x x x
1 2 3 0 0 1 2 3 1( ) ( ) ( ) ( ) , K, cte, , , bases en P (K).v w w x x x x x
(QED)
Introducción al Método de los Elementos Finitos
89
Continuidad entre EF triangulares cúbicos con gdl en derivadas
• Dado
• Adoptando como gdl los nodos de la malla Th, podemos definir alternativamente
• Demo.: Para probar que (a)º(b), es necesario probar que la función vVh definida de acuerdo a (b) es continua no sólo en los nodos sino también a través de las fronteras interelementales.
–Sean K1 y K2 dos triángulos en Th que comparten el lado S, de nodos 1 y 2.
–Sea la restricción de v a Ki.
–v1=v2 y (derivadas en la dirección s a lo largo de S) en los nodos
1 y 2, y v1,v2 cúbicas v1=v2 a lo largo de todo el lado S
v es continua a través de S
• Nota: no se logra continuidad C1 por cuanto la función de base asociada a x123 no llega con
pendiente nula a los lados.
3KV : P (K), K T , y , , continuas en los n ec (bd )o osh h
v vv v v
x y
03K
V : C ( ) y P (K), K ec (aT )h hv v v
i3K
P (K )i iv v
0C ( )v (QED)
1 2v v
s s
Introducción al Método de los Elementos Finitos
90
Elemento finito triangular C1-continuo
• Consideremos un espacio de EF , lo que requiere usar polinomios de grado 5 por triángulo, i.e.
• Sea KTh un triángulo de vértices xi=(xi,yi), i=1,2,3,
y sea xij=(xi+ xj)/2 el punto medio del lado ij, i<j, i,j=1,2,3.
• Teorema: toda función vP5(K) está únicamente determinada por los gdl
1V C ( )h
15K
V : C ( ) y P (K), K Th hv v v
2 2 2
2 2
( ), 1, 2,3
( ), ( ), 1, 2,3
( ), ( ), ( ), 1, 2,3
( ), , 1, 2,3,
i
i i
i i i
ij
v i
v vi
x y
v v vi
x x y x
vi j i j
n
x
x x
x x x
x
12
3
2
1
13
23
n
K
Introducción al Método de los Elementos Finitos
91
Elemento finito triangular C1-continuo (cont)
• Demo.: como dim P5(K)= #gdl =21, es suficiente probar que si todos los gdl son nulos, entonces debe ser vº0.
1. v es un polinomio de grado 5 a lo largo del lado 23 y
2. es un polinomio de grado 4 a lo largo del lado 23 y
3. Aplicando idéntico razonamiento sobre los lados 12 y 13, llegamos a
23( ) ( ) ( ) 0, 2,3 0, 23i i
v v v vi
n n s n n
x x x x
12
3
2
1
13
23
s
K
n
2
2( ) ( ) ( ) 0, 2,3 0, 23i i i
v vv i v
s s
x x x x
v
n
2
1 3 3 30, 0, 23 ( ) ( ) ( ), K, P (K)v
v v p pn
x x x x x
2 2 2
0 1 2 3 0( ) ( ) ( ) ( ) , K, ctev w w x x x x x
5 0P K 0 ( ) 0, Kv w v º x x (QED)
Introducción al Método de los Elementos Finitos
92
Continuidad entre EF triangulares C1-continuos
• Sean K1 y K2 dos triángulos en Th que comparten el lado S, de extremos 2, 3.
• Sea la restricción de v a Ki., y w=v1v2 sobre S.
• Luego:
15K
5K
2 2 2
2 2
V ( ) : P (K), K T
: P (K), K T ,
, , , , , continuas en los nodos vértices
continua en los nodos medios de los lados
h h
h
v C v
v v
v v v v vv
x y x x y y
v
n
º
1C ( )v
(QED)
i5K
P (K )i iv v
23( ) ( ) ( ) 0, 2,3 0, Si i
w w w wi
n n s n n
x x x x
0, Sw
s
x
2
2( ) ( ) ( ) 0, 2,3 0, Si i i
w ww i w
s s
x x x x
Introducción al Método de los Elementos Finitos
93
Elemento finito tetraédrico lineal
• Sea la unión de un conjunto Th={K} de tetraedros no superpuestos K tales que ningún vértice de algún tetraedro se ubique sobre el lado de otro tetraedro.
• Adoptamos los siguientes espacios polinómicos por trozos de EF
• Para r=1, toda función vP1(K) está únicamente
determinada por sus valores en los vértices de K.
• En este caso, el espacio de EF es1
2
3
4
rV : P (K), K T , i.e., , ( , , ) K,i j mh h ijm ijm
i j m r
v v v a x y z x y z a
01V : C ( ) y P (K), K Th hv v v
K
Introducción al Método de los Elementos Finitos
94
Elemento finito rectangular bilineal
• Sea la unión de un conjunto Th={K} de rectángulos no superpuestos K tales que ningún vértice de algún rectángulo se ubique sobre el lado de otro rectángulo.
• Definimos el espacio
• Toda función vQ1(K) está únicamente determinada por sus valores en los vértices del rectángulo K.
• Se puede demostrar fácilmente que existe continuidad interelementos de v.
• Luego, el espacio de EF es
1 00 10 01 11Q (K) : es bilineal en K, i.e., ( , ) , ( , ) K, ijv v v x y a a x a y a xy x y a
1 2
34
01V : C ( ) y Q (K), K Th hv v v
K
Introducción al Método de los Elementos Finitos
95
Elemento finito rectangular bicuadrático
• Definimos el espacio de funciones bicuadráticas en K
• Toda función vQ2(K) está únicamente determinada por sus valores en los vértices, en el medio de los lados y en el centro del rectángulo K.
• Se puede demostrar fácilmente que existe continuidad interelementos de v.
• Luego, el espacio de EF es
2
2, 0
Q (K) : ( , ) , ( , ) K, i jij ij
i j
v v x y a x y x y a
02V : C ( ) y Q (K), K Th hv v v
K
1 2
34
5
6
7
8 9
Introducción al Método de los Elementos Finitos
96
Resumen
• Definimos un elemento finito como la terna {K, PK, }, donde
– K es un objeto geométrico.
– PK es un espacio lineal de dimensión finita de funciones definidas en K.
es un conjunto de gdl que determinan de manera única toda función vK.
• Por ej., para el EF triangular lineal {K, PK, }, resulta
– K es un triángulo.
– PK=P1(K).
es el conjunto de valores de v en los vértices de K.
Introducción al Método de los Elementos Finitos
97
Tipos de elementos finitos más comunes
Valor de la función
Valores de las derivadas primeras
Valores de las derivadas segundas
Valor de la derivada normal al lado
3 P (K) C1
06 P (K) C2
0
10 P (K) C3
0
10 P (K) C3
0
GeometriaGrados de libertad
GeometriaGrados de libertad
# g
dl
# g
dl
Esp
aci
o d
efu
ncio
nes
Esp
aci
o d
efu
nci
on
es
Co
ntin
uid
ad
de
le
spa
cio
ME
F
Con
tinu
ida
d d
el
esp
aci
o M
EF
21 P (K) C5
1
18 P (K) C5'
1
Introducción al Método de los Elementos Finitos
98
Tipos de elementos finitos más comunes (cont)
Valor de la función
Valores de las derivadas primeras
Valores de las derivadas segundas
Valor de la derivada normal al lado
3 P (K) C2
0
10 P (K) C2
0
4 P (K) C3
1
2 P (K) C1
0
4 P (K) C1
0
4 Q (K) C1
0
9 Q (K) C2
0
16 Q (K) C3
0
GeometriaGrados de libertad
GeometriaGrados de libertad
# g
dl
# g
dl
Esp
aci
o d
efu
ncio
nes
Esp
acio
de
fun
cio
ne
s
Co
ntin
uid
ad
de
le
spa
cio
ME
F
Con
tinu
ida
d d
el
esp
aci
o M
EF
Introducción al Método de los Elementos Finitos
99
Soporte de diferentes funciones de base
Soporte de funciones de base asociadas a nodos de vértice
Soporte de funciones de base asociadas a nodos sobre los lados
Soporte de funciones de base asociadas a nodos en el centro
Introducción al Método de los Elementos Finitos
100
Estimación de error en problemas elípticos
• Para un típico problema elíptico de la forma
donde se verifica
1. a(.,.) es una forma bilineal simétrica, continua y V-elíptica.
2. L(.) es una forma lineal continua
resulta
• Si elegimos v=huV como un interpolante de u y estimamos el error de interpolación ||uhu||V, obtendremos una estimación del error ||uuh||V del MEF.
• Elegimos hu tal que sus gdl coincidan con los de u en Vh, así el problema de determinar ||uhu||V se reduce a determinar uhu individualmente sobre cada elemento finito KTh.
Hallar V / a( , )=L( ) Vu u v v v
V VVhu u u v v
Introducción al Método de los Elementos Finitos
101
Interpolación con funciones lineales a trozos en 2D
• Sea
• Para el triángulo KTh, definimos
• /hK da una idea de la calidad del elemento (cuanto mayor, mejor)
• Designemos Th a una familia de mallas {Th} caracterizadas por el parámetro , y una constante +, independiente de h, tal que
Esta condición implica que los triángulos KTh no pueden ser arbitrariamente finos. La constante es una medida del ángulo más pequeño para cualquier KTh.
1 1
KV=H ( ), V = V: P (K), K Th hv v
K
K
: diámetro de K = lado más largo de K
: diámetro del círculo inscrito en K
h
KK Tmax
h
h h
hK
K
hK
K
K
K
K Thh
Introducción al Método de los Elementos Finitos
102
Interpolación con funciones lineales a trozos en 2D (cont)
• Sean Ni, i=1,2,…,M, los nodos de Th. Dado , definimos el interpolante huVh por
i.e, hu es la función lineal a trozos que coincide con u en los nodos xi de Th.
• Empecemos por estimar el error uhu en cada triángulo K.
( ) ( ) 1, 2, ,i ihv v i M x x
0Cu
K
u hu
Introducción al Método de los Elementos Finitos
103
Interpolación con funciones lineales a trozos en 2D (cont)
• Teorema: sea KTh un triángulo de vértices xi, i=1,2,3. Dado vC0(K), sea el interpolante vP1(K) definido por
Luego:
1.
2.
donde
• Nota: la magnitud de los errores de interpolación en la función y sus derivadas primeras dependen del valor de las derivadas segundas, que es una medida de cuán curva es la superficie descrita por la función.
( ) ( ), 1, 2,3.i iv v i x x
2KL (K) L (K)2
2 max Dv v h v
2K
L (K) L (K)1 2K
max D 6 max Dh
v v v
1 2 1 2 1 2D , , , .
vv
x y
L (K) Kmax ( )v v
xx
Introducción al Método de los Elementos Finitos
104
Interpolación con funciones lineales a trozos en 2D (cont)
• Demo.: como vP1(K), usando las funciones de base i podemos escribir
• Usando una expansión de Taylor, en el punto y = x+ tenemos
• Tomando y=xi:
• Como ||xxi||hK xK, i=1,2,3, el resto Ri(x) resulta acotado por
2
1
( ) ( ) ( ) ( , )j jj j
vv v x y R
x
y x x x y
3 3
1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )i ii i
i i
v v v
º x x x x x
22
, 1
1( , ) 0 1
2 i i j ji j i j
vR x y x y
x x
x y x Δ
2
1
( ) ( ) ( ) ( , )i i ij j
j j
vv v x x R
x
x x x x x
( )iR x( )ip x
2K L (K)2
( ) 2 max D K, 1,2,3iR h v i
x x
Introducción al Método de los Elementos Finitos
105
Interpolación con funciones lineales a trozos en 2D (cont)
• Luego:
• Por otro lado, veremos más adelante que:
3
1
3 3
1
2K L (K)
1
2
( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
2 max D K
( ) ( ) ( ) max ( )
i ii
i i i i ii
i i
v
v
v R
R R Rv
h v
x
x x x x
xx x x
x
x x
3 3
1 1
1, 0.i i ii i
p
3 3 3 3
1 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ii i i i i i
i i i i
v v v p R
x x x x x x x x x
(QED 1)
Introducción al Método de los Elementos Finitos
106
Interpolación con funciones lineales a trozos en 2D (cont)
• Se calcula la derivada de v:
• Por otro lado, veremos más adelante que:
3
1
3 3 3
K1 1 1K
2K
L (K)2K
1( ) max ( ) ( )
6 max D K
ii
ij j j
i ii i i
i i ij jj j
v v
x
v vR
x x x
x
h
R R
v
Rx x
x
x
x
x x
3 3
1 1
0, .i ii
i ij j j
vp
x x x
3 3 3 3
1 1 1 1
( )ii i i ii i
i i i ij j j j j
vv v v p R
x x x x x
x
(QED 2)
K1/