Post on 19-Sep-2018
AlgebraLineal:
Valores yVectoresPropios
Departamentode
Matematicas
Intro
Eigenvalues
Multiplicidades
Algebra Lineal:Valores y Vectores Propios
Departamento de Matematicas
AlgebraLineal:
Valores yVectoresPropios
Departamentode
Matematicas
Intro
Eigenvalues
Multiplicidades
IntroduccionLos valores y vectores propios son muy importantes en elanalisis de sistemas lineales. En esta presentacion veremos sudefinicion y como se calculan.
AlgebraLineal:
Valores yVectoresPropios
Departamentode
Matematicas
Intro
Eigenvalues
Multiplicidades
Valores y vectores propiosSea A una matriz cuadrada, un numero real λ se dice que esun valor propio o un eigenvalor o un valor caracterıstico de A siexiste un vector, diferente del vector cero, xo tal que:
Axo = λ xo
Es decir, es un vector que al transformarlo mediante lamultiplicacion por A el vector resultante mantiene la direccion,posiblemente solo su longitud y/o sentido se modifique. Elvector xo se llama vector propio o eigenvector o vectorcaracterıstico asociado al valor propio λ.
AlgebraLineal:
Valores yVectoresPropios
Departamentode
Matematicas
Intro
Eigenvalues
Multiplicidades
Para la matriz A
A =
[1 22 1
]Indique cuales vectores son vectores propios:
v1 =
(11
), v2 =
(23
), v3 =
(−1
1
), v4 =
(02
)Solucion:Veamos si v1 es vector propio de A:
Av1 =
[1 22 1
](11
)=
(33
)Ahora veamos si Av1 es un multiplo de v1:
Av1 =
(33
)= 3
(11
)= 3 v1
Por tanto, v1 sı es vector propio de A y esta asociado al valorpropio 3.
AlgebraLineal:
Valores yVectoresPropios
Departamentode
Matematicas
Intro
Eigenvalues
Multiplicidades
Veamos si v2 es vector propio de A:
Av2 =
[1 22 1
](23
)=
(87
)Ahora veamos si Av2 es un multiplo de v2:
Av2 =
(87
)6= k
(23
)Por tanto, v2 no es vector propio de A.El calculo para v1 y para v2 se realizan en la calculadora comose ilustra en la siguiente figura.
AlgebraLineal:
Valores yVectoresPropios
Departamentode
Matematicas
Intro
Eigenvalues
Multiplicidades
Veamos si v3 es vector propio de A:
Av3 =
[1 22 1
](−1
1
)=
(1−1
)Ahora veamos si Av3 es un multiplo de v3:
Av3 =
(1−1
)= −1
(−1
1
)Por tanto, v3 sı es un vector propio de A y esta asociado alvalor propio -1.Veamos si v4 es vector propio de A:
Av4 =
[1 22 1
](02
)=
(42
)Ahora veamos si Av4 es un multiplo de v4:
Av4 =
(42
)6= k
(02
)por tanto, v4 no es vector propio de A �
AlgebraLineal:
Valores yVectoresPropios
Departamentode
Matematicas
Intro
Eigenvalues
Multiplicidades
Indique cuales de los siguientes valores
λ1 = −1, λ2 = 1, λ3 = −2, λ4 = 2
son valores propios de la matriz A:
A =
[5 −36 −4
]Solucionλ1 es valor propio ssi existe un vector x diferente de cero talque:
A x = λ1x
Es decir, ssi
(A− λ1 I) x = A x− λ1I x = A x− λ1 x = 0
no tiene solucion unica:
[A− λ1 I|0] =
[5− (−1) −3 0
6 −4− (−1) 0
]→[
1 −1/2 00 0 0
]
AlgebraLineal:
Valores yVectoresPropios
Departamentode
Matematicas
Intro
Eigenvalues
Multiplicidades
Como el sistema tiene una variable libre, el sistema tieneinfinitas soluciones: por tanto ademas de la solucion x = 0,existen muchos vectores x diferentes del vector cero tales queAx = λ1 x. Por tanto, λ1 sı es valor propio de la matriz A. Dehecho, podemos encontrar la solucion general al sistemaanterior:[
1 −1/2 00 0 0
]→ {x − 1/2y = 0 →
{x = 1/2 yy = y
Por tanto, todos los vectores propios asociados a λ1 seobtienen:
x = y
(1/2
1
), con y 6= 0
Veamos si λ2 es valor propio de A:
[A− λ2 I|0] =
[5− (1) −3 0
6 −4− (1) 0
]→[
1 0 00 1 0
]
AlgebraLineal:
Valores yVectoresPropios
Departamentode
Matematicas
Intro
Eigenvalues
Multiplicidades
Como el sistema tiene solucion unica x = 0, por tanto no existeun vector diferente de cero x que cumpla A x = λ2 x. Portanto, λ2 no es un vector propio de A.La regla es :
λ es valor propio de A ssi al reducir [A− λ I|0] setiene al menos una variable libre.
Veamos si λ3 es valor propio de A:
[A− λ3 I|0] =
[5− (2) −3 0
6 −4− (2) 0
]→[
1 −1 00 0 0
]Una variable libre; por tanto, λ3 sı es valor propio de A.
Veamos si λ4 es valor propio de A:
[A− λ4 I|0] =
[5− (−2) −3 0
6 −4− (−2) 0
]→[
1 0 00 1 0
]Ninguna variable libre; por tanto, λ4 no es valor propio de A �
AlgebraLineal:
Valores yVectoresPropios
Departamentode
Matematicas
Intro
Eigenvalues
Multiplicidades
Cuando se tiene una calculadora que puede calcular valores yvectores propios es mas facil. Basta comparar lo numerosdados con los obtenidos por la calculadora.
AlgebraLineal:
Valores yVectoresPropios
Departamentode
Matematicas
Intro
Eigenvalues
Multiplicidades
Determinacion de Valores PropiosSea λo un valor propio de la matriz cuadrada A, esto seracierto si y solo si existe un vector xo (xo 6= 0) tal que:
Axo = λoxo = λo In xo
Por tanto:
Axo − λoInxo = (A− λoIn) xo = 0
Si B = A− λoIn, esto sera cierto si y solo si el sistemahomogeneo n × n
Bx = 0
tiene, ademas de la solucion trivial, otra solucion (x = xo 6= 0).Es decir, si y solo si no tiene solucion unica.
AlgebraLineal:
Valores yVectoresPropios
Departamentode
Matematicas
Intro
Eigenvalues
Multiplicidades
Y esto sera cierto, si y solo si el determinante de la matriz B escero:
det(B) = det (A− λoIn) = 0
es decir, que todo escalar λo es valor propio de A si y solo si esraız del polinomio caracterıstico asociado a A:
pA(λ) = det (A− λIn)
y un vector propio asociado a λo debe ser solucion al sistemahomogeneo
(A− λoIn) x = 0
Note al ser pA(t) un polinomio de grado igual que n, habra a lomas n valores propios.
AlgebraLineal:
Valores yVectoresPropios
Departamentode
Matematicas
Intro
Eigenvalues
Multiplicidades
Determine los valores y los vectores propios correspondientes ala matriz:
A =
[1 22 1
]Solucion en la TILa TI tiene el comando eigVl para obtener los valores propiosde una matriz. Pero usando el comando kernelbasis de la TINspire CAS se pueden obtener en forma directa losgeneradores para los vectores propios de cada valor propio.Esto se ilustra en la siguiente figura.
AlgebraLineal:
Valores yVectoresPropios
Departamentode
Matematicas
Intro
Eigenvalues
Multiplicidades
Solucion analıticaDeterminemos el polinomio caracterıstico de A:
pA(λ) = det (A− λI2) = det
([1 22 1
]− λ
[1 00 1
])
pA(λ) = det
([1 22 1
]−[λ 00 λ
])= det
([1− λ 2
2 1− λ
])pA(λ) =
∣∣∣∣ 1− λ 22 1− λ
∣∣∣∣ = (1− λ)2 − 4
pA(λ) = λ2 − 2λ− 3 = (λ− 3) (λ+ 1)
Por tanto, los unicos valores propios son λ1 = 3 y λ2 = −1.
AlgebraLineal:
Valores yVectoresPropios
Departamentode
Matematicas
Intro
Eigenvalues
Multiplicidades
Vector propio para λ1 = 3
Debe ser solucion al sistema homogeneo:
(A− λI2) x = 0
Es decir: ([1 22 1
]− (3)
[1 00 1
])x = 0
Desarrollando y finalmente aplicando Gauss-Jordan:[1− 3 2
2 1− 3
]x = 0→
[−2 2 0
2 −2 0
]→[
1 −1 00 0 0
]Convirtiendo en ecuacion y poniendo en la notacion vectorial:
x − y = 0→ x = y →(
xy
)= y
(11
), y 6= 0
AlgebraLineal:
Valores yVectoresPropios
Departamentode
Matematicas
Intro
Eigenvalues
Multiplicidades
Lo anterior indica que cualquier vector de la forma:
y
(11
), y 6= 0
es un vector propio asociado a λ1 = 3. Es importante senalarque la variable libre y no puede ser cero, pues de otra manerael vector que obtendrıamos serıa el vector cero, el cual pordefinicion no puede ser vector propio. Nosotros nosconformaremos con un vector propio: digamos el que se obtienepara y = 1: (
11
)
AlgebraLineal:
Valores yVectoresPropios
Departamentode
Matematicas
Intro
Eigenvalues
Multiplicidades
Vector propio para λ2 = −1Debe ser solucion al sistema homogeneo:
(A− λI2) x = 0
Es decir: ([1 22 1
]− (−1)
[1 00 1
])x = 0
Desarrollando y finalmente aplicando Gauss-Jordan:[1 + 1 2
2 1 + 1
]x = 0→
[2 2 02 2 0
]→[
1 1 00 0 0
]Convirtiendo en ecuacion y poniendo en la notacion vectorial:
x + y = 0→ x = −y →(
xy
)= y
(−11
), y 6= 0
AlgebraLineal:
Valores yVectoresPropios
Departamentode
Matematicas
Intro
Eigenvalues
Multiplicidades
Lo anterior indica que cualquier vector de la forma:
y
(−1
1
), y 6= 0
es un vector propio asociado a λ2 = −1; nosotros nosconformaremos con uno: digamos el que se obtiene para y = 1:(
−11
)�
AlgebraLineal:
Valores yVectoresPropios
Departamentode
Matematicas
Intro
Eigenvalues
Multiplicidades
Multiplicidad AlgebraicaSea A una matriz cuadrada y λo un valor propio. Como hemosvisto λ debe ser raız del polinomio caracterıstico de A pA(λ)ası:
(λ− λo) | pA(λ)
Al mayor exponente m que cumple
pA(λ) = (λ− λo)mq(λ)
le llamaremos la multiplicidad algebraica o dimension algebraicade λo .
AlgebraLineal:
Valores yVectoresPropios
Departamentode
Matematicas
Intro
Eigenvalues
Multiplicidades
Un resultado importante es que el conjunto de vectoresinvariantes asociados a un escalar es un espacio lineal:
Sea A una matriz cuadrada n × n y λ un escalarcualquiera entonces
Eλ = {x ∈ Rn|Ax = λx}
es un espacio lineal de Rn.
AlgebraLineal:
Valores yVectoresPropios
Departamentode
Matematicas
Intro
Eigenvalues
Multiplicidades
Demostracion• Eλ 6= ∅
Efectivamente, como A 0 = 0 = λ 0, entonces 0 ∈ Eλ.• Eλ es cerrado bajo la suma
Sean x1 y x2 en Eλ. Por tanto, A x1 = λ x1 y A x2 = λ x2.Por consiguiente,
A (x1 + x2) = A x1 + A x2= λ x1 + λ x2= λ (x1 + x2)
Por tanto, x1 + x2 ∈ Eλ.• Eλ es cerrado bajo el producto
Sean x en Eλ y c ∈ R. Por tanto, A x = λ x. Porconsiguiente,
A (c x) = c · A x= c · λ x= λ (c x)
Por tanto, c x ∈ Eλ.
Lo anterior prueba que Eλ es un espacio lineal �
AlgebraLineal:
Valores yVectoresPropios
Departamentode
Matematicas
Intro
Eigenvalues
Multiplicidades
Multiplicidad GeometricaSiendo λ un valor propio, el anterior conjunto que se llama elespacio invariante o espacio propio o eigenespacio asociado a λy es un espacio lineal diferente de {0} ası tiene dimensionmayor que cero: la dimension del espacio anterior se llamaramultiplicidad geometrica o dimension geometrica del valorpropio λ. Note que Eλ corresponde al espacio nulo de la matrizA− λ I. Ası pues la dimension geometrica de λ es el numero decolumnas sin pivote en la matriz reducida que se obtiene deA− λ I.
AlgebraLineal:
Valores yVectoresPropios
Departamentode
Matematicas
Intro
Eigenvalues
Multiplicidades
Determine los valores propios y sus multiplicidades geometricaspara la matriz:
A =
−1 1 −3 −7
0 −3 4 40 −2 3 20 0 0 1
SolucionPrimeramente determinemos el polinomio caracterıstico:
pA(t) = det(A− t I)= 1− 2 t2 + t4
= (t − 1)2(t − (−1))2
AlgebraLineal:
Valores yVectoresPropios
Departamentode
Matematicas
Intro
Eigenvalues
Multiplicidades
De lo anterior concluimos que los unicos valores propios sont1 = −1 y t2 = 1 y que ambos tienen multiplicidad algebraica2. Determinemos ahora sus multiplicidades geometricas:Para t1 = −1Al resolver [A− t1 I|0] tenemos:
[A− t1 I|0]→
0 1 0 0 00 0 1 0 00 0 0 1 00 0 0 0 0
Al haber una columna sin pivote hay una variable libre,concluimos que la dimension geometrica de t1 = −1 es 1.
AlgebraLineal:
Valores yVectoresPropios
Departamentode
Matematicas
Intro
Eigenvalues
Multiplicidades
Para t2 = 1
Al resolver [A− t2 I|0] tenemos:
[A− t2 I|0]→
1 0 1 3 00 1 −1 −1 00 0 0 0 00 0 0 0 0
Al haber dos columnas sin pivote hay dos variables libres,concluimos que la dimension geometrica de t2 = 1 es 2 �
AlgebraLineal:
Valores yVectoresPropios
Departamentode
Matematicas
Intro
Eigenvalues
Multiplicidades
Determine la multiplicidad algebraica y geometrica de cada unode los valores propios de la siguiente matriz
A =
3 −1 5 5 0 00 4 −5 −5 0 0−1 −2 0 −4 0 0
1 2 −1 3 0 02 4 −2 8 −1 03 6 −3 12 0 −1
SolucionEl polinomio caracterıstico de A es:
pA(t) = det(A−t I) = −48−104 t−35 t2+40 t3+10 t4−8 t5+t6
y sus raıces son
t1 = 3, t2 = 4, t3 = 4, t4 = −1, t5 = −1, t6 = −1
AlgebraLineal:
Valores yVectoresPropios
Departamentode
Matematicas
Intro
Eigenvalues
Multiplicidades
Analisis de t = 3Como t = 3 aparece como raız una sola vez, entonces sumultiplicidad algebraica es 1. Para determinar su multiplicidadgeometrica analicemos
[A− (3) I|0]→
1 0 0 0 0 1/3 00 1 0 0 0 0 00 0 1 0 0 1/3 00 0 0 1 0 −1/3 00 0 0 0 1 −2/3 00 0 0 0 0 0 0
de donde todos los vectores propios asociados a t = 3 son de laforma:
c · < −1/3, 0,−1/3, 1/3, 2/3, 1 >′, c 6= 0
Por tanto, la multiplicidad geometrica de t = 3 es 1.
AlgebraLineal:
Valores yVectoresPropios
Departamentode
Matematicas
Intro
Eigenvalues
Multiplicidades
Analisis de t = 4Como t = 4 aparece como raız dos veces, entonces sumultiplicidad algebraica es 2. Para determinar su multiplicidadgeometrica analicemos
[A− (4) I|0]→
1 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 00 0 1 0 0 1/3 00 0 0 1 0 −1/3 00 0 0 0 1 −2/3 00 0 0 0 0 0 0
de donde todos los vectores propios asociados a t = 4 son de laforma:
c < 0, 0,−1/3, 1/3, 2/3, 1 >′, c 6= 0
Por tanto, la multiplicidad geometrica de t = 4 es 1.
AlgebraLineal:
Valores yVectoresPropios
Departamentode
Matematicas
Intro
Eigenvalues
Multiplicidades
Analisis de t = −1Como t = −1 aparece como raız tres veces, entonces sumultiplicidad algebraica es 3. Para determinar su multiplicidadgeometrica analicemos
[A− (−1) I|0]→
1 0 1 0 0 0 00 1 −1 0 0 0 00 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0
de donde todos los vectores propios asociados a t = −1 son dela forma:
c1 < −1, 1, 1, 0, 0, 0 >′ +c2 < 0, 0, 0, 0, 1, 0 >′ +c3 < 0, 0, 0, 0, 0, 1 >′, c1, c2, c3 6= 0
Por tanto, la multiplicidad geometrica de t = −1 es 3.�