Post on 08-Aug-2015
Universidad Nacional
Abierta y a Distancia
FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS
E INGENIERÍA
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA YGEOMETRÍA ANALÍTICA
JORGE ELIÉCER RONDÓN DURÁN
BOGOTÁ, D.C., 2006
2
Editorial UNAD, 2005
Primera edición 2005ISBN:
Prohibida la reproducción parcial ototal de esta obra sin autorización de la
Universidad Nacional Abierta y aDistancia UNAD
La edición de esta guía estuvo a cargode la Vicerrectoría Funcional de
Medios para el Aprendizaje-Unidad de Publicaciones
Ediciones HispanoamericanasDiagramación y armada electrónica
Bogotá, D.C. 2005
©
COMITE DIRECTIVO
Jaime Alberto Leal AfanadorRector
Roberto Salazar RamosVicerrector Académico
Sehifar Ballesteros MorenoVicerrector Administrativo
Maribel Córdoba GuerreroSecretaria General
Edgar Guillermo Rodríguez DíazDirector Planeación
Universidad Nacional
Abierta y a Distancia
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
3
Contenido
5
9
15
21
25
27
29
31
37
41
47
INTRODUCCIÓN.........................................................
UNIDAD 1: ALGEBRA Y TRIGONOMETRÍA........
INTRODUCCIÓN.........................................................
OBJETIVOS...................................................................
MAPA CONCEPTUAL.................................................
CAPITULO 1. ECUACIONES....................................
Introducción...................................................................
Ecuaciones de primer grado.........................................
Ecuaciones de primer grado con unaincógnita.........................................................................
Método egipcio (la régula falsa)..................................
Método axiomático........................................................
Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.......
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Ecuaciones Diofánticas.................................................Ejercicios: ecuaciones de primer grado.....................Solución general de ecuaciones Diofánticas..............Dos ecuaciones simultáneas con dos incógnitas.......Método 1: método gráfico.............................................Método 2: método de eliminación...............................Reducción.......................................................................Igualación.......................................................................Sustitución.....................................................................Método 3: método por determinantes.........................Tres ecuaciones simultáneas con tres incógnitas......Método 1: solución por eliminación...........................Método 2: solución por determinantes.......................Problemas con ecuaciones de primer grado..............Ecuaciones de primer grado con una incógnita,problemas.......................................................................Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas,problemas.......................................................................Ecuaciones de primer grado con tres incógnitas,problemas.......................................................................Ecuaciones de segundo grado......................................Método axiomático........................................................Técnica por factorización.............................................Técnica de completar cuadrados.................................Técnica por la fórmula cuadrática...............................Ecuaciones con radicales..............................................Ecuaciones con fracciones............................................Problemas con ecuaciones de segundo grado............Ecuaciones de tercer grado.........................................Resolución moderna......................................................Solución de ecuación de tercer grado.........................Ecuaciones polinómicas................................................Ecuaciones racionales...................................................Fracciones parciales.....................................................
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
5
CAPITULO 2: INECUACIONES................................
INTRODUCCIÓN.........................................................
OBJETIVOS...................................................................
Desigualdad...................................................................Propiedades de las desigualdades..............................
Operaciones con intervalos..........................................Inecuaciones lineales....................................................
Inecuaciones lineales con una incógnita....................
Inecuaciones racionales...............................................Inecuaciones cuadráticas.............................................
Inecuaciones mixtas.....................................................
Problemas con inecuaciones de una variable............Inecuaciones condos variables.....................................
Sistema de inecuaciones, problemas..........................
Ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto..........Ecuaciones con valor absoluto.....................................
Inecuaciones con valor absoluto..................................
CAPITULO 3: FUNCIONES.......................................
INTRODUCCIÓN.........................................................
OBJETIVOS..................................................................:
Sistema de coordenadas...............................................
Coordenadas cartesianas.............................................
Diagrama de Venn........................................................Relaciones......................................................................
Funciones.......................................................................
Funciones de valor real................................................Las funciones según el tipo de relación.....................
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Simetría de las funciones.............................................
Descripción de una función..........................................Clasificación de funciones............................................
Funciones especiales....................................................
Funciones algebráicas..................................................Función cuadrática.......................................................
Función cúbica...............................................................
Función polinómica......................................................Funciones racionales....................................................
Función radical.............................................................
Funciones trascendentales..........................................Función logarítmica......................................................
Funciones trigonométricas..........................................
Relaciones trigonométricas.........................................Función trigonométrica...............................................
Función seno..................................................................
Función coseno..............................................................Función tangente..........................................................
Funciones hiperbólicas................................................
Algebra de funciones....................................................Composición de funciones...........................................
Funciones inversas.......................................................
Funciones algebráicas inversas..................................Funciones trascendentales inversas..........................
Aplicación de las funciones.........................................
Trigonométricas............................................................
CAPITULO 4: Trigonometría.....................................
INTRODUCCIÒN.........................................................
OBJETIVOS...................................................................
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
7
Identidades trigonométricas.......................................
Identidades básicas......................................................Identidades de suma y diferencia..............................
Identidades de ángulo doble.......................................
Identidades de ángulo mitad......................................Identidades producto-suma........................................
Identidades de suma- producto..................................
Demostración de identidades trigomoétricas...........Ecuaciones trigonométricas........................................
Análisis de triángulos no - rectángulos.....................
Teorema de coseno.......................................................Triángulos no rectángulos, problemas de
aplicación.......................................................................
Hipernometría..............................................................Identidades hiperbólicas.............................................
AUTOEVALUACIÓN UNIDAD 1..............................
UNIDAD 2: GEOMETRÍA ANALÍTICA...................
INTRODUCCIÓN.........................................................
OBJETIVOS..................................................................
MAPA CONCEPTUAL................................................
CAPÍTULO 1: LA RECTA..........................................
INTRODUCCIÓN.........................................................
Distancia Euclidiana....................................................
La recta...........................................................................Ecuación de la recta.....................................................
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La pendiente.................................................................
El intercepto.................................................................Rectas paralelas............................................................
Rectas perpendiculares................................................
CAPÍTULO 2: LAS CÓNICAS....................................
INTRODUCCIÓN..........................................................
Circunferencia...............................................................
La elipse.........................................................................Ecuación canónica con focos en y................................
Excentricidad.................................................................
Parábola..........................................................................Hipérbolas......................................................................
Asíntotas........................................................................
Traslación de ejes..........................................................Circunferencia...............................................................
Elipse..............................................................................
Parábola..........................................................................Hipérbola.......................................................................
Ecuación general de segundo grado...........................
Circunferencia...............................................................Elipse..............................................................................
Hipérbola.......................................................................
Aplicación de la geometría analítica..........................
UNIDAD 3: SUMATORIA Y PRODUCTORIAS.......
INTRODUCCIÓN..........................................................
OBJETIVOS..................................................................
MAPA CONCEPTUAL.................................................
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
9
CAPITULO 1: LAS SUMATORIAS............................
INTRODUCCIÓN..........................................................
Denotación de sumatorias............................................Teoremas........................................................................
Propiedades...................................................................
Operaciones de sumatorias.........................................La media aritmética......................................................
Dobles sumatorias.........................................................
CAPITULO 2: PRODUCTORIAS...............................
INTRODUCCIÓN..........................................................
La productoria................................................................
Cálculo de productorias...............................................Propiedades de productorias......................................
Ejercicios diversos........................................................
Factorial.........................................................................
AUTOEVALUACIÓN UNIDAD 3...............................
INFORMACIONES DE RETORNO...........................
BIBLIOGRAFIA............................................................
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
11
stimados estudiantes bienvenidos, al curso de álgebra y
Trigonometría y Geometría Analítica. La matemática como
ciencia a través de su historia ha buscado fundamentos sólidos
que garanticen su validez absoluta y universal, dando así su
gran forma de ser exacta y rigurosa, esto hace que presente
diversas ramas, desde la aritmética, pasando por el álgebra,
geometría; hasta temáticas avanzadas como la teoría de
conjuntos, geometría diferencial y otros. Todo esto tiene como
finalidad dar la sociedad una «herramienta formal» que le
permite demostrar lo que está bien y lo que está mal.
En este orden de ideas el curso que se presenta aquí, tiene
diversas temáticas que de una u otra forma hacen parte de
esta gran herramienta formal. Las temáticas presentadas
son de interés para estudiantes de cualquier programa
unviersitario, están desarrolladas en un lenguaje sencillo; pero
con gran rigor matemático, ya que el propósito fundsamental
es desarrollar en los estudiantes conocimientos sólidos en
álgebra, trigonometría y geometría analítica.
En curso está desarrollado en tres unidades a saber:
La unidad uno, contempla lo referente al álgebra y
Trigonometría, allí se presentan, los principios, teorías,
propiedades, leyes y aplicaciones de las ecuaciones,
E
INTRODUCCIÓN
UNAD
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inecuaciones y funciones. También lo referente a la
trigonometría analítica. Para desarrollar estos conocimientos
es pertinente activar los conocimientos previos en aritmética,
álgebra y geometría plana y espacial; lo cual se ofrece en el
curso de matemáticas básicas, el cual se debe consultar cuando
así se requiera.
La unidad dos, hace referencia a la geometría analítica, en
donde se analizar lo referente a la recta, circunferencia, elipse,
parábola e hipérbola, haciendo énfasis a los parámetros, gráfica,
ecuación canónica y ecuación general de las mismas. No se
puede pasar por alto el análisis de la ecuación general de
segundo grado y su relación con las figuras geométricas
analizadas. Finalmente se trabajan algunas de las muchas
aplicaciones que tiene la geometría analítica.
La tercera unidad, trabaja sobre las sumatorias y productorias,
temáticas aparentemente nuevas, pero su importancia es el
contexto matemático, motiva a trabajarlas en forma detallada.
Estos temas son insumos matemáticos importantes para poder
abordar temas de matemáticas más vanzados como las
progresiones, integrales, sucesiones, entre otros.
Para una buena comprensión e interiorización de los
conocimientos, se debe hacer un buen uso de la metodología
que la UNAD propone en su modelo académico - pedagógico,
donde desde el estudio independiente hasta el de grupo de curso,
son fundamentales en el trabajo autónomo del estudiante; la
guía didáctica como la carta de navegación del curso, permite
que el estudiante dinamice su proceso de aprendizaje.
Los ejemplos modelos ilustran el tema, los ejercicios propuestos
motivan la profundización del mismo; además, de que se
presenta su respuesta para corrobar que el procedimiento es
adecuado. Cada unidad tiene la autoevaluación, que permite
al estudiante hacer un seguimiento de su proceso académico.
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
13
Para aprender, matemáticas, se requiere fundamentalmente
querer hacerlo, tener algo de perspicacia, sentido lógico y
muchas ganas de enfrentarse a más y más retos.
Animo y éxitos en esta gran aventura, que ojalá sea agradable
a usted, estimado lector.
El autor
UNAD
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ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
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UNAD
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ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
17
l Álgebra y la Trigonometría son áreas dentro del a ciencia de
las matemáticas que busca desarrollar los principios
fundamentales necesarios para resolver problemas en todos
los campos del saber.
En esta unidad se tratarán los principios, propiedades,
definiciones y aplicaciones del álgebra y la trigonometría. Cada
temática se desrrollará en forma metódica, ilustrativa y
didáctica, con el propóstio de que los estudiantes activen sus
conocimientos previos, que exploren y desarrollen nuevos
conocimientos, de tal forma que los puedan comprender e
interiorirzar para utilizarlos cuando sea necesario.
La parte correspondiente de álgebra contempla las ecuaciones
e inecuaciones en todos los contextos, las funciones, sus
características, su definición según el tipo de relación y según
el tipo de expresión que la representa. Se hace énfasis en las
características de cada una, sus parámetros y sus aplicaciones.
Dentro de la trigonometría; además, del análisis de las
funciones trigonométricas se desarrollará la trigonometría
analítica, especialmente lo referente a identidades y ecuaciones
trigonométricas.
Con mucho entusiasmo y excelente trabajo, se consignan
buenos resultados sobre álgebra y trigonometría.
E
INTRODUCCIÓN
UNAD
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ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
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Mapa conceptual
Ecu
acio
nes
ein
ecu
acio
nes
con
valo
r ab
solu
to
Alg
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yT
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trig
onom
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cas
Dem
ostr
ació
n
fu
nci
ones
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ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
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OBJETIVOS
General
. Que la comunidad estudiantil de la UNAD, reconozca los principios y teorías
del álgebra, trigonometría y geometría analítica, profundice las particularidades
de cada temática y finalmente pueda aplicar dichos principios en las diferentes
áreas del saber.
Específicos
. Que los estudiantes decriban claramente los ecuaciones e inecuaciones, a través
del estudio teórico y el análisis de casos modelo, para que puedan ser utilizados
como herramienta matemática en diferentes contextos.
. Que los estudiantes identifiquen claramente las funciones, sus principios,
mediante el etudio adecuado y el desglosamiento de las clases de funciones,
que facilite su posterior utilización en las situaciones que se requieran.
. Que los estudiantes describan claramente sus sumatorias y productorias, por
medio de un trabajo específico de éstos temas, para poder posteriormente asumir
temas más avanzados como las sucesiones y series.
. Que los estudfiantes resuelvan problemas modelos que involucren ecuaciones,
inecuaciones, funciones, trigonometría,sumatorias y productorias, utilizando
los conocimientos adquiridos en cada temática.
. Que los estudiantes planteen y resuelvan ejercicios de diferentes campos del
saber, aplicando los conocimientos desarrollados en éste curso académico y así
contribuir en la solución de problemas en las áreas de ciencias naturales,
ingeniería, administración, ciencias sociales, ciencias agrarias y otros.
UNAD
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ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
23
Las ecuaciones son de suma importancia en las matemáticas y otras ciencias,
desde los babilonios, pasando por los egipcios y los griegos,, ...hasta nuestra
época, las ecuaciones han sido el pan de cada día para resolver problemas
donde se requiere saber el valor de una «incógnita».
Las ecuaciones son igualdades, que se hacen verdaderas para valores
específicos, por ejemplo si: 95x2 =+ ; para que esta igualdad sea verdadera, elvalor de x debe ser 2 y no otro.
Resolver una ecuación es hallar el valor o los valores de la incógnita que haganverdadera dicha igualdad. A su vez las soluciones pueden ser reales o
imaginarias; según el caso, por ejemplo: 04x2 =− , x puede tomar los valores
2y2 − , pero si x,04x2 =+ toma valores i2yi2 − . Siendo i el símbolo
de Imaginario. (Recordemos los números imaginarios del curso de matemáticasbásica).
Existen diferentes clases de ecuaciones, según el grado del polinomio que la
describe, según el número de variables, según los coeficientes.
Según el grado existen ecuaciones de primer grado, segundo grado, etc. Según el
número de variables; ecuaciones de una variable, ecuciones de dos variables, etc.
Según los coeficientes, ecuaciones de coeficientes enteros, de coeficientes racionales,
coeficientes reales, etc.
Para resolver ecuaciones, se utiliza los principios de operaciones opuestas, ya que
cuando a una ecuación se le suma y resta la misma cantidad a uno de sus términos,
ECUACIONES
Introducción
UNAD
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E
ésta no se altera, igual si se multiplica y divide uno de sus términos. Otra forma
es sumar o restar a los dos términos de la ecuación la misma cantidad, este no se
altera.
En general, a medida que avancemos en el estudio de ecuaciones vamos adquiriendo
mucha destreza en su forma de solución.
Objetivo general
. Que los estudiantes identifiquen claramente las ecuaciones, su clasificación,
su resolución y la forma de plantearla de situaciones descriptivas.
Objetivos específicos
. Reconocer claramente las ecuaciones de primero, segundo y más grados, de
una, dos y tres incóginitas.
. Resolver ecuaciones de primero, segundo y más grados, con una, dos y tres
incógnitas.
. Solucionar problemas que involucren ecuaciones.
CUACIONES DE PRIMER GRADO
Para analizar las ecuaciones, es necesario conceptualizar algunos términos que
son comunes en las ecuaciones.
Constante: son términos que toman valores fijos. En álgebra se usan por lo
general las primeras letras del alfabeto; a, b, c,... todos los números se consideran
constantes, por ejemplo en la expresión: cbxax2 ++ : los términos a, b, y c
trabajan como constantes.
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
25
Variable: se consideran a los símbolos que pueden cambiar, generalmente las
variables se simbolizan con las últimas letras del alfabeto; x, y, z, w,... por ejemplo,
la expresión: kcybxax 2 =++ , x y y trabajan como variables.
A manera de ejercicio, identifique las variables y las constantes en las siguientesexpresiones:
4czbyax
0z7y5x423
23
=+−
=−+
Las ecuaciones de primer grado se pueden clasificar, en una incógnita, dos
incógnitas, tres incógnitas, etc., para el caso de éste curso trabajaremos con
ecuaciones de una, dos y tres incógnitas. Es de anotar que el término incógnita
es equivalente a variable, en el contexto que estamos trabajando.
En la resolución de una ecuación se pueden aplicar las propiedades de las
operaciones definidas en el conjunto numérico que se esté considerando. Pero no
siempre una ecuación tiene solución en un conjunto numérico dado.
Si tenemos la ecuación: 35x =+ . Esta no tiene solución en los Naturales; pero
si tiene solución en los enteros, racionales, reales.
La ecuación: 02x2 =− , No tiene solución en el conjunto de los enteros (Z),
pero Si tiene solución en el conjunto de los reales (R) para el caso del presente
texto, si no se dice otra cosa, la solución o soluciones, estarán en el conjunto de los
Reales.
Leyes de uniformidad: es pertinente recordar las leyes de uniformidad para la
suma y producto de número reales.
Sea a, b, c, d número reales; tal que: a = b y c = d, entonces:
cxbcxa)ddxbcxa)ccbca)bdbca)a
==
+=++=+
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E
Estas leyes se pueden extender a la resta y división, salvo para casos con
denominador cero.
Para el caso de la potencia y raíz:
CUACIONES DEL PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA
estas ecuaciones son de la forma: cbax =+ , donde a, b, y c son las constantes yx la variable. el valor de a puede ser entero, racional o real, pero nunca cero.Estudiaremos los diferentes casos.
Sean las ecuaciones:
053x =− : coeficiente es entero, expresión entera
052x
31 =− : coeficiente es racional, expresión entera
8x5
2x32
=−
: coeficiente es entero, expresión racional
Las ecuaciones de primer grado se caracterizan porque la incógnita (variables)
tiene como exponente la unidad; por lo cual, la solución es única, esto significa
que éste tipo de cuaciones tienen «una sola» solución.
Resolución: la resolución de ecuaciones, ha tenido diversos aportes desde la
antiguedad hasta nuestros días. Vamos a analizar algunos métodos de
resolución para éste tipo de ecuaciones.
0bó0a;sísolosí;0ba)h2cyzc;0by0apara;ba)g
dc)f
ba)e
cc
da
cc
===⋅≥ε≥≥=
=+
=
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
27
Método Egipcio: (la Regula falsa)
En algunos libros Egipcios y Chinos, se ha encontrado un método para resolver
ecuaciones, llamado la Regla falsa o falsa posición. El método, consiste que a
partir de la ecuación dada, se da una solución tentativa inicial y la vamos ajustando
según la ecuación dada.
El principio consiste que dada la ecuación: ax = b, suponemos una solución
tentativa 0x , reemplazándola en la ecuación: 00 bxa = , como no se cumple
esta solución, se hace el ajuste así: ,xbb
x 00
1 = la cual es una solución de la
ecuación original, ya que:
bxbb
a 00
=
Resolver la ecuación: 124x
x =+
Solución: proponemos 1244
4:luego,4x =+=⋅ , se debe demostrar!
5 = 12, lo cual no es cierto, luego hacemos el ajuste: 5484x
512:Ahora.
512x ==
que es la solución.
Comprobémoslo:
122
241220
240122048
54812
45/48
548 =⇒=⇒=+⇒=+ . Lo cual es verdadero.
Ejemplo 2
Resolver la ecuación: 85xx2 =+
Ejemplo 1
u
UNAD
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Solución: solución tentativa inicial 5x0 = , reemplazamos: ( ) 8152 =+
11=8 lo cual no es cierto, luego hacemos el ajuste:118
x0 = y procedemos a
multiplicar por 1140
5118
:x0 =⋅ que es la solución, verifiquemos:
.verdaderoescuallo855
440
855
404008
5540
1180
8511/40
1140
2
=
=+
⇒=+⇒=+
Este método a pesar de ser muy rudimentario, es muy efectivo en muchos
casos, para este tipo de ecuaciones.
u Método axiomático
Es el método utilizado actualmente, el cual utiliza las propiedades algebráicas y
las leyes de uniformidad; ya estudiadas, todo esto derivado de los «Axiomas de
campo».
Toda ecuación de primer grado se puede escribir de la forma:
cbax =+ , endonde a, b, c son cosntantes y 0a ≠ .
Veamos el caso en donde: cbax =+ , si sumamos ( )b− a ambos lados de la
ecuación (ley uniformidad de suma tenemos:
( ) ( ) baxb0bbax −=⇒−+=−++ . Luego multipliquemos a ambos lados
por ( )a1 , tenemos: ( )
−=
a1
baxa1
nos resulta: abx −=
Ejemplo 1
Hallar la solución de la ecuación: 9x2x6 +=−
Solución: como estamos aplicando el método axiomático, entonces: sumanos
( )x2− a ambos lados de la ecuación: ( ) ( ) 9x2x2x2x6 +−+=−+− no resulta:
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
29
( )6sumamosAhora.9x369x2x6 −=−⇒=−− a los lados de la
ecuación: ( ) ( ) 3x3:obteniendo69x366 =−−+=−−+ . Ahora multiplicamos por
−
31
los miembros de la ecuación:
( ) ( ) 1x:resultanos331x3
31 −=−=−−
Solución: la pregunta sería ¡cómo corroboramos que 1x −= , es la solución?
La respuesta es, sustituyendo la solución en la ecuación original, debemos obtener
una igualdad verdadera, veamos:
( ) ( ) 7791216 =⇒+−=−− ¡verdadero!
Así queda comprobado que 1x −= es la solución UNICA, para la ecuación
propuesta.
NOTA: Es pertinente que se analice porque las operaciones propuestas en laresolución del problema, (subrayado con negro) con el fin de entender la lógicadel método.
Ejemplo 2
Resolver la ecuación:21
2xx
=+
Solución: recordemos por las leyes de uniformidad que cxbdxadc
ba =⇒= , lo
aplicamos al ejercicio propuesto:
( ) 2xx22x1x221
2xx
+=⇒+=⇒=+
. Sumamos ( )x− a los dos lados de la
ecuación: ( ) ( ) 2x:obtenemos;22xxx2 =+−+=−+ , que es la solución.
Ejemplo 3
Hallar el valor de la incógnita que satisfaga la ecuación:
4t28t3
1t47t6
−+=
−+
UNAD
30
Solución: aplicamos la ley de equivalencia de fracciones:
( )( ) ( )( )
( )
( )
( )
.ecuaciónladesolución,t3920
:obtenemos;t39391
391
x20
;39/1pormosmultiplica,t3920obtenemos,88t39828
:ecuaciónladeladosambosa8sumamos:8t3928:obtenemos;8t10t2928t10t10
:ecuaciónlaat10sumamos;8t29
t12t12
t12t12
:mosmultiplica;1t48t34t27t6
28t10
:obtenemos,8t292t12228t102t122
ladosambosa2t12sumamos,8t29228t102
=−
=
−
=−+−=+−
−=−−+=−+−
−
+
−+=−+
=−−
−+−=−−−+
−−+=−−
Ejemplo 4
Resolver: ( ) ( )3x46x28 −=−Solución: si observamos lo más obvio es hacer la mutiplicación, para iniciar lasolución, entonces:
( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( ) .ecuaciónladesolución3x36121
x12121
121
pormosmultiplica,36x12:luego;36x4x16
:obtenemos;36x4x4x4x16x4sumamos,36x4x164812x44848x16
48sumamos;12x448x163x46x28
=⇒=
==−
+−+=−+−+=⇒+−=+−
−=−⇒−=−
Demuestre que la ecuación:1x
32
1xx3
−=+
− no tiene solución.
Ejemplo 5
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
31
E
Demostración: para dejar la ecuación entera multiplicamos todo por ( )1x −
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) .soluciónlasería1x551
x551
5/1porosdimdivi;5x52322x52sumamos,32x532x2x3
:obtenemos,1x1x
31x21x
1xx3
=⇒=
=⇒+=+−=−⇒=−+
−−
=−+−−
Pero x =1, NO hace parte de los valores que puede tomar la variable, ya que
cuando x =1, la ecuación se hace indeterminada, por lo cual, la ecuación dada no
tiene solución.
Reflexión: en todos los ejemplos propuestos, la solución se resumen en despejar
la incógnita (variable). Generalizando precisamente a esto es que se centrará la
solución de ecuaciones, a despejar la incógnita, lo cual se hace utilizando principios,
leyes y axiomas matemáticas.
(Ver ejercicios ecuaciones de primer grado, página 36
CUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS
En éste aparte analizaremos dos casos, el primero es cuando se tiene una ecuación
de primer grado con dos incógnitas y el segundo es cuando se tienen dos ecuaciones
con dos incógnitas.
Ecuaciones Diofánticas: Diofanto de Alejandría, del Siglo III de nuestra era,
desarrolló unas ecuaciones que trabajan sobre el conjunto de los enteros y son de
primer grado con dos incógnitas, en honor a su nombre se conocen como
ecuaciones diofánticas.
La forma general es: cbyax =+ , donde a, b y c son constantes y enteros;
además, 0bó0a ≠≠ .
UNAD
32
Cuando a, b y c son enteros positivos, la ecuación tiene solución entera, si y solo
sí, el máximo común divisor de a y b divide a c. Este tipo de ecuaciones puede
tener infinitas soluciones o no tener solución. Entonces la solución consiste en
hallar ecuaciones generadoras (paramétricas) del par ( )y,x que satisfagan la
ecuación propuesta.
Para la ecuación: 8y3x2 =+ , cuál será el par ( )y,x que satisface dicha ecuación.
Solución: por simple inspección vemos que 2yy1x == , satisfacen la igualdad
( ) ( ) 82312 =+
La solución: ( ) ( )2,1y,x = , pero podemos encontrar más soluciones por
ejemplo: ( ) ( )0,4y,x = también es solución.
Otras soluciones ( ) ( ) ( ) ( ),...6,5y,x;4,2y,x −=−= como definimos al principio, hay
infinitas soluciones; para esta ecuación.
Solución general de ecuaciones Diofánticas (método paramétrico)
Para este tipo de ecuaciones, la solución es buscar ecuaciones para x y y con
un parámetro, generalmente se le llama t, llamada solución general.
Ejemplo 1
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
33
El procedimiento para hallar esta solución no es fácil, solo deseamos que se conoz-
ca que a partir de una solución general, se pueden hallar soluciones específicas
para la ecuación dada. Los curioso pueden investigar en libros de matemáticas
discretas o en temas de ecuaciones diofánticas, para que profundicen en el tema.
A partir de la ecuación: 8y3x2 =+ , hallar soluciones particulares a partir de lasolución general.
Solución: por algoritmo computacional, la solución general es:
t28yt38x
−=+−=
A partir de estas podemos hallar soluciones particulares:
para t= 2, entonces:
( )( ) 448228y
268238x=−=−=
−=+−=+−=
solución particular ( ) ( )4,2yx −=−para t=4. Entonces:
( )( ) 088428y
4128438x=−=−=
=+−=+−=
solución particular ( ) ( )0,4yx =−Así sucesivamente para cualquier t entero.
Hallar soluciones particulares para t = 5 y T = 8, para la ecuación: 50y4x3 =+ .
Solución: de nuevo por algoritmo computacional, la solución general es:
Ejemplo 2
Ejemplo 3
UNAD
34
( )( )( ) ( )35,30y,x:Solución
3515505350y3020505450x
entonces,5tparat350y
t450x
−==−=−=
−=+−=+−==−=
+−=
Para t = 8. Del amisma manera:
( )( )( ) ( )26,18y,x:Solución
2624508350y1832508450x
−==−=−=
−=+−=+−=
Solución general de ecuaicones Diofánticas (método despeje): cómo hallar
las ecuaciones paramétricas para x y y,no es tarea fácil, un método para hallar
soluciones particulares a partir de una solución general, es despejando una de las
variables de la ecuación y obtener otra ecuación donde se obtiene
( ) ( )yfxoxfy == ; es decir, y en función de x ó x en función de y.
Para la ecuación cbyax =+ . Si despejamos y obtenemos:
( )xfydondebaxcy =−= . Luego dando un valor a x obtenemos el valor de y,
y así la solución ( )y,x . Pero si despejamos x, obtenemos:
( )yfxdondeabycx =−= . Aquí damos valores a y para obtener x.
Hallar para 2x −= , la solución de la ecuación 8y3x2 =+ .
Solución: despejamos y; luego
( )( ) 43
228y:entonces,2xosreemplazam3
x28y =−−=−=−=
Solución: ( ) ( )4,2y,x −=
Este resultado coincide con el dado para la misma ecuación en el ejemplo 2, del
método anterior.
Ejemplo 1
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
35
Para la ecuación: 14y3x =+ . Hallar soluciones para:
a x = 2
b. y = 5
Solución:
a. Despejamos
( ) ( )4,2y,x:Solución
43
214y2xcomo
3x14
y
=
=−
=⇒=−
=
b. Despejamos
( )( ) ( )5,1y,x:Solución
15314xy314x−=
−=−=⇒−=
u Dos ecuaciones simultáneas con dos incógnitas
Un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas son de la forma.
222
111cybxa
cybxa
=+
=+
Donde 212121 c,c,b,b,a,a son constantes; además
0bó0a ≠≠ ; 0bó0a 22 ≠≠ .
Resolver un sistema de este tipo es hallar los valores 00 yyx que satisfagan
simultáneamente las dos ecuaciones.
Sistema consistente: un sistema de ecuaciones es consistente, cuando tieneal menos una solución. Para el caso que nos ocupa, un valor para x y un valorpara y.
Ejemplo 2
UNAD
36
1.
2. 14x:Rta −=
3. 20x:Rta =
4. 2x:Rta =
5. 6x:Rta =
6. 4x:Rta =
7. 6y:Rta −=
8. 1x:Rta =
9. 0y:Rta =
10.Cuánto debe valer γ en la expresión
5y33y3 −=γ− para que se cumpla la
igualdad
57
x:Rta =
EJERCICIOS: ECUACIONES DE PRIMER GRADO
Resolver las siguientes ecuaciones:
( )
( )
( )( )
06y3
68ay
8
x2x
9x
x
6
22y
43y2
41y
x73
2x5
2x5x10
5x3
2x2
21x7x62x
21
x4
x6
1x436x
21
1x2x23
=−
−−
−=+
−=−
++
−=+
−
−++
+=
−
+=−+
=+
+=−
−=−
35:Rta =γ
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
39
M
u
para 8y2x4 =+
Este método tiene el inconveniente que la solución no se puede ver exactamente, ya que
por visual las coordenadas del punto de corte no son valores exactos; es una aproximación.
ÉTODO 2. ELIMINACIÓN
Es un método algebráico donde se elimina una variable, para hallar el valor de la
otra variable. Es el más utilizado y se divide en tres técnicas. Reducción, Igua-
lación y Sustitución.
Reducción
Dado un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, la reducción consiste en
igualar coeficientes de una de las variables;pero con signo contrario, para poder
reducir el sistema a una sola variable y así resolverla como ecuación de primer
grado con una incógnita.
Obtenido el valor de la variable despejada, ésta se reemplaza en una de las
ecuaciones originales, para hallar el valor de la otra variable.
Resolver el sistema
Solución: organizamos el sistema según las variables y operamos términos
semejantes:
4y24yx0yx
==+=+−
0240 ( )
( )0,2punto4,0punto
x y
Ejemplo 1
4yx0xy
=+=−
UNAD
40
La nueva ecuación permite despejar y; como 2y=4, aplicando el método axiomático;entonces:
2y24
2y2
=⇒=
como y es igual a 2, reemplazamos éste valor en una de las ecuaciones originales,
por ejemplo en la primera: ( ) 2x2x:xdespejamos;02x =⇒−=−=+−
Luego la solución es:
2y2x
==
Esta solución debe satisfacer las dos ecuaciones simultáneamente.
En el ejemplo 1, vemos que fue fácil reducir a y, eliminando x, ya que ésta variable
tenía el mismo coeficiente y signos contrarios, pero no siempre es así, en muchos
casos es necesario ajustar ésta situación, multiplicando las ecuaciones por valores
que permiten obtener coeficientes iguales con signos contrarios en la variable a
eliminar.
Resolver
5y2x34yx
−=−=−
Solución: primero elegimos la variable a eliminar, cuando es posible, se busca
aquella que tenga signos contrarios. Cuando no es posible así, entonces elegimos
la que deseemos. Para éte caso elegimos x. Luego para eliminar x, la primera
ecuación debe tener coeficiente 3 en la variable x y la segunda puede queda igual,
veamos:
Operando el último sistema obtenemos: 17y −=Sabiendo el valor de y, lo reemplazamos en cualquiera de las ecuaciones originales,para hallar el valor de la otra ecuación, veamos.
Ejemplo 2
⇒5y2x312y3x3
−=−−=+−( ) ( )
( ) ( )15y2x334yx
−=−−=−
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
41
( )
13x339
3x3
:xdespejamos,39x3Luego.345x3534x35172x3
−=⇒−
=
−=−−=⇒−=+⇒−=−−
Vemos que la solución es:
17y13x
=−=
La verificación consiste en reemplazar la solución en las ecuaciones originalesy demostrar que se cumple la igualdad.
Hallar el valor de las variables para el sistema:
3x6x28y9x4−=−
=+
Solución: como vemos, se puede eliminar y, ya que tiene signos contrarios, sólo
falta igualar coeficientes, lo que se consigue multiplicando la primera ecuación
por 2 y la segunda por 3. Veamos.
( ) ( )( ) ( ) 9y18x63x3x6x2
16y18x82x8y9x4−=−−=−
=+=+
Así podemos eliminar y, obteniendo: 2/1xluego,7x14 ==
Ahora hallamos el valor de y, reemplazando x = 1/2, en cualquiera de las
ecuaciones originales, luego seleccionamos la primera:
( )
32
yLuego.1812
y12y18
:teconsiguienpor,12416y1816y182/18
==⇒=
=−=⇒=+
Solución:
3/2y2/1x
==
⇒
Ejemplo 3
UNAD
42
u
Verificación, reemplazamos la solución en las ecuaciones originales:
( ) ( )( ) ( ) verdadero:34133/262/12
verdadero:86283/292/14−=−⇒−=−
=+⇒=+
como las igualdades son verdaderas, nos indica que la solución es correcta.
Igualación
Consiste en despejar la misma variable en las dos ecuaciones dadas, luego «igular»
las expresiones obtenidas en los dos despejes, para que utilizando herramientas
matemáticas, se obtenga el valor de la variable en la ecuación de una incógnitaobtenida.
Resolver el sistema:
4yx8yx
=−=+
Solución: despejamos x en las dos ecuaciones para facilitar denominados 1 y 2 als ecuaciones:
2y4242y2
1y8111xx
x8yx
+=⇒=−
−=⇒=+
Ahora igualamos:
.224
y:Luego
:yDespejamos.4y284y2:luego,y4y8
:entonces,2y1ycomo,2y41y821 xx
=−−
=
−=−⇒−=−+=−
=+=−⇒=
Como sabemos el valor de y, la reemplazamos en cualqueira de las ecuaciones
originales:
( ) 6x28x82x8yx =⇒−=⇒=+⇒=+
Ejemplo 1
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
43
Solución:
2y6x
==
Verificación: por ser tan sencilla, por favor estimado estudiante hacerla.
Hallar la solución del sistema:
819
y32
x43
107
y61
x52
=−
=−
Solución: recordemos que debemos despejar la misma variable en las dos
ecuaciones, elijamos x, pero antes convertimos los coeficientes a enteros para la
primera ecuación:
( ) 37y5x1210
730y5x12107
30y5x12
107y
61x
52 =−⇒=−⇒=−⇒=−
para la segunda ecuación:
257y8x9
819x12y8x9
819
12y8x9
819y
32x
43 =−⇒=−⇒=−⇒=−
Ahora sí despejamos x en las dos ecuaciones:
1857y8
x2
57y8x9
257
y8x9
1237y5
xy537x1237y5x12
+=⇒+=⇒=−
+=⇒+=⇒=−
Luego igualamos las dos variables:
( ) ( ) 57y82
37y5357y812
37y51818
57y812
37y5 +=+⇒+=+⇒+=+
Ejemplo 2
UNAD
44
u
Luego:
( ) ( )3y3y111114y16y15
:ndoreorganiza,114y16111y1557y8237y53−=⇒=−⇒−=−
+=+⇒+=+
como ya sabemos el valor de y, lo reemplazamos en cualquiera de las dos ecuaciones
originales, tomemos la segunda:
( ) ( )
2/1x3x83x4x
83x
43
:luego,28
19x
43
819
2x43
819
332
x43
=⇒=⇒=
−=⇒=+⇒=−−
Solución:
3y2/1x
−==
Verificación: se debe verificar la solución obtenida.
Sustitución
Si tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, lo que se hace es
despejar una de las incógnitas en cualquiera de las dos ecuaciones y reemplzar la
equivalencia de la incógnita en la otra ecuación. Dicho de otra manera, si
despejamos la incógnita en la primera ecuación, la reemplazamos en la segunda
ecuación o viceversa. Con esto obtenemos una ecuación de primer grado con una
incógnita, que ya sabemos resolver.
Hallar la solución al sistema:
5y2x34yx
−=−−=−
Ejemplo 1
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
45
Solución: como lo dice la teoría, despejamos una variable en cualquiera de las
ecuaciones, para este caso despejamos x en la primera ecuación:
4yx4yx −=⇒−=−
Luego este valor de x, lo reemplazamos en la segunda ecuación; entonces:
( ) 5y24y3 −=−−
obtenemos una ecuación con una incógnita, que ya sabemos resolver:
7y125y5y212y3 =⇒+−=⇒−=−−
como ya sabemos el valor de y, lo reemplazamos en una de las ecuaciones originales,
tomemos la segunda ecuación.
( ) 3x9x3145x3572x3 =⇒=⇒+−=⇒−=−
Luego la solución es:
7y3x
==
Resolver el sistema:
3y2x41yx2=+
=+
Solución: despejamos y en la segunda ecuación, luego:
2x43
yx43y23y2x4−
=⇒−=⇒=+
Reemplazamos y en la primera ecuación:
verdaderoesNo123
12
x43x4
:mossimplificayoperamos12
x43x2
=⇒=−+
=
−
+
Luego el sistema No tiene solución.
Ejemplo 2
UNAD
46
Hallar la solución del sistema:
13y5
5x6
23y5
5x3
=−
=+
Solución: primero convertimos las ecuaciones a coeficientes enteros:
30y25x9215
y25x923y5
5x3 =+⇒=+⇒=+
para la ecuación dos es lo mismo.
15y25x18115
y25x1813y5
5x6 =−⇒=−⇒=−
ya tenemos las dos ecuaciones entonces:
15y25x1830y25x9
=−=+
Despejamos x en la primera ecuación y la reemplazamos en la segunda.
53
y7545
y45y756015y75
15y25y506015y259
253018
:Luego.9
y2530x30y25x9
=⇒=⇒−=−⇒−=−
=−−⇒=−
−
−=⇒=+
para hallar el valor de la otra variable; o sea x, reemplazamos el valor de y en
cualquiera de las ecuaciones originales.
Ejemplo 3
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
47
M
Tomemos la segunda ecuación:
( )
3/5x6
10x10x62
5x6
115x6
13
5/355x6
13y5
5x6
=⇒=⇒=⇒=
=−⇒=−⇒=−
Solución:
5/3y3/5x
==
Verificación: no olvidemos hacer la verificación.
Observación: las técnicas de eliminación se diferencian en hallar el valor de la
primera incógnita, la segunda parte del proceso ES SIMILAR; es decir, para
hallar el valor de la segunda incógnita el procedimiento es similar en las tres
técnicas.
ÉTODO TRES. POR DETERMINANTES
Para este método, primero recordemos algunos conceptos sobre determinantes.
Una determinante, es un arreglo rectangular de filas y columnas, donde los
elementos, son los valores de las coeficientes de las ecuaciones que forman el
sistema.
2y2
1y1
x
x↓
Col
umna
→Fila2 x 2
El tamaño del determinante lo da el número de las
filas y columnas, Así hay determinantes de 2 x 2, 3 x
3, 4 x 4, etc. Las filas son horizontales y las columnas
son las verticales.
UNAD
48
Resolver un determinante, es hallar el valor del mismo, según el tamaño, laforma de resolución es muy particular.
Determinante de 2 x 2: para resolver un determinante de 2 x 2, la solución escomo se indica a continuación.
122122
11 yxyxDyx
yx⋅−⋅=⇒
Donde D es el valor del determinante.
Ecuaciones por determinantes
Para sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas, se utilizan determinantes de
2 x 2. Kramer propuso una técnica para resolver un sistema de dos ecuaciones
con dos incógnitas, utilizando determinantes, en su honor se le llama regla de
Kramer.
Regla de Kramer: sea el sistema
cybxa
cybxa
2222
11111=+
=+
Solución: se organizan los determinantes para cada incógnita de la siguientemanera:
22
11
22
11
22
11
22
11
baba
caca
y
baba
bcbc
x ==
solución para x solución para y
Resolver el sistema:
u
Ejemplo 1
6yx55y2x3
=−=−
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
49
Solución: organizamos los determinantes.
( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) 1
77
1032518
15135563
15236653
y
177
103512
25135162
15236152
x
−=−
=+−−
=−−−
−=
−−
=
−=−=+−+−=
−−−−−−=
−−
−−
=
Solución:
1y1x
−=−=
Esto es el mismo ejemplo 1, que estudiamos en le método gráfico observando que
la solución es la misma, como es obvio.
Resolver el sistema
4y5x26y3x4=+−
=−
Solución: aplicando la regla de Kramer, tenemos:
( ) ( ) ( )( )( )( ) ( )( ) 3
1442
6201230
32543456
52345436
x ==−+
=−−−
−−=
−−
−
=
( ) ( ) ( )( )( )( ) ( )( ) 2
1428
6201216
32546244
52344264
y ==−
+=
−−−−−
=
−−
−=
Ejemplo 2
UNAD
50
Solución:
2y3x
==
Hallar el valor de x y y en el sistema:
6y4x78y4x7
=+=+
Solución:
erminadodetIn0
1428284256
47477678
x ==−−
==
como el denominador es cero,, las incógnitas no tienen valor, esto nos indica que
el sistema No tiene solución; es decir, es un sistema inconsistente.
De esta manera hemos aprendido los métodos de resolver ecuaciones simultáneas
de dos incógnitas.
(Ver ejercicios ecuaciones simultáneas, página 51)
Tres ecuaciones simultáneas contres incógnitas
Habiendo estudiado lo referentes a dos ecuaciones con dos incógnitas y sus métodos
de solución, podemos iniciar el estudio de sistemas de tres ecuaciones con tres
incógnitas, cuyos principios son similares.
Para el sistema:
22z22y22x2
11z11y121x1dcba
dcba
=++
=++
Ejemplo 3
u
33z33y33x3 dcba =++
La solución se hará para los métodos de eliminación y por determinantes.
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
51
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de reducción:
18y21x
35
7y32
x43
10yx36y2x
13y5x
=−
=+
−=−=+
=+
Resolver los sistemas siguientes utilizando eliminación por igualación:
819y
32x
43
107
y61
x52
3y2x32y4x2
=−
=−
=+−=−
Resolver los sistemas dados a continuación por sustitución:
3y4
x3
61
y1
x1
06yx2
01y21
x
=+
=+−
=+−
=+−
12y;20x:Rta
4y;2x:Rta
3y;2x:Rta
−==
=−=
==
3y;21
x:Rta
43
y;21
x:Rta
−==
==
2y;3x:Rta
justificar,solucióntieneno:Rta
==
EJERCICIOS: ECUACIONES SIMULTÁNEAS
UNAD
52
Resolver los siguientes sistemas por determinantes.
1y5
x4
2y3
x2
52q4p1213qp3
248x3
31x2
y
12y4x524y6x3
12y3x213yx5
=−
−=+
−=+−=−
+=
+−=
=+=−
=+=−
Identificar el valor de p en cada determinante, para quese cumpla la igualdad.
134p53
12p342
=−
=
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
511
y;7
22x:Rta
2y;5x:Rta
1y;2x:Rta
2y;4x:Rta
2y;3x:Rta
−=−=
==
−==
−==
==
5p:Rta
12p:Rta
−=
=
EJERCICIOS: ECUACIONES SIMULTÁNEAS
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
53
M ÉTODO UNO. SOLUCIÓN POR ELIMINACIÓN
El método consiste en que a partir de un sistema de tres ecuaciones con tres
incógnitas, se reduzca a un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, que ya
sabemos resolver. Para facilitar el proceso, las ecuaciones se enumeran con el fin
de hacer seguimiento en cada paso hasta la obtención del valor de las variables.
Resolver el sistema:
( )( )( )32zyx20zyx14zyx
=+−=−+=++
Solución: vemos que las ecuaciiones están enumeradas.
( )44y2x20zyx4zyx
=+=−+=++
El segundo paso es eliminar la misma incógnita de las ecuaciones 1 y 3.
2zyx4zyx
=+−=++
como debemos eliminar z, entonces la segunda ecuación la multiplicamos por -1,
luego:
( )52y22zyx
4zyx
=−=−+−
=++
Ejemplo 1
Vemos que z se elimina fácilmente, así obtenemos una
ecuación con dos incógnitas, que la denominamos como
la ecuación 4.
Al operar obtenemos la otra ecuación con dos incógnitas,
la denominamos con 5.
UNAD
54
como tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas, el tercer paso es utilizar uno de
los métodos estudiados para resolverlos. Para este ejemplo, vemos que la quinta
ecuación solo tiene una incógnita, lo que permite la solución más rápida, ya que
solo es despejar y. Entonces:
1y2y2 =⇒=
El cuarto paso es reemplazar y en la ecuación 4, para hallar el valor de x. Entonces:
( ) 1x2x2412x2 =⇒=⇒=+
El último paso es reemplazar en cualquiera de las ecuaciones originales las
variables conocidas, para hallar la desconocida.
Tomemos la ecuación 1. Entonces:
( ) ( ) 2zluego,24z4z114zyx =−=⇒=++⇒=++
Solución:
2z1y1x
===
El ejemplo se observa extenso, pero por la explicación en cada paso, con buen
trabajo, nos daremos cuenta que no es extenso, más bien dinámico y relativamente
corto.
Resolver el siguiente sistema:
( )( )( )36zy2x27zyx2112zyx
=−+=+−=++
Ejemplo 2
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
55
Solución: como v emos cada ecuación tiene un número, eliminamos y en (1) y
(2), Entonces:
( )( )
( )419z2x327zyx2112zyx
=+=+−=++
Ahora tomemos (2) y (3)
( )( )36zy2x27zyx2
=−+=+−
multiplicamos (2) por 2 y (3) queda igual.
( )520zx56zy2x14z2y2x4
=+=−+=+−
Las ecuaciones (4) y (5) son de dos incógnitas, que podemos resolver por los métodos
ya estudiados.
Apliquemos igualación, entonces:
( )( )520zx5419z2x3
=+=+
Eliminamos z, para lo cual multiplicamos (5) por (-2), luego:
3x3721
x:Luego
21x740z2x10
19z2x3
=⇒=−
−=
−=−−=−−
=+
como sabemos el valor de x, lo reemplazamos en (4) ó (5) para hallar z, escogemos
(5), luego:
UNAD
56
( ) 5z1520z20z35 =⇒−=⇒=+
Ahora, como conocemos x y z, lo reemplazamos en cualquiera de las ecuaciones
originales, para hallar y, escogemos (2); luego:
( ) 4y4y117y711y75y327zyx2 =⇒−=−−=−⇒=+−⇒=+−⇒=+−
Solución:
5z4y3x
===
Resolver el sistema:
( )( )( )32z6y4x220z2yx311z3y2x
=+−=−+=+−
Solución: como ya sabemos la metodología, apliquemos los pasos: tomamos (1) y
(2) para eliminar y, ya que tienen signo contrario.
( )( )( )
( )41zx70z4y2x61z3y2x
2por2mosmultiplica20z2yx311z3y2x
=−=−++=+−
+=−+=+−
Ahora tomamos (2) y (3) para eliminar y
( )( )( )
( )52z2x142z6y4x20z8y4x12
luego,4por2mosmultiplica32z6y4x220z2yx3
=−=+−=−+
=+−=−+
Ejemplo 3
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
57
Eliminamos z de (4) y (5):
( )( )52z2x1441zx7
=−=−
multiplicamos (4) por (-2), entonces:
0002z2x142z2x14
=+=−
−=−−
vemos que las variables se eliminan, lo que indica que el sistema es inconsistente.
Condición: No hay solución.
Nota: recordemos que el sistema no puede tener solución, ya que es inconsistente.
ÉTODO DOS. SOLUCIÓN POR DETERMINANTES
Cuando tenemos un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas, debemos trabajar
con determinantes de tercer orden.
Determinantes de tercer orden orden son arreglos de tamaño 3 x 3.
333
222
111
zyx
zyx
zyx
A =
Para resolver determinantes de tercer orden hay tres formas:
Primera forma: la llamamos productos cruzados:
[ ] [ ]baA −=
Donde:
M
UNAD
58
( ) ( ) ( )132321321 zyxxzyzyxa ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=
( ) ( ) ( )123312123x xzyzyxzyb ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=
Segunda forma: conocido como el método de «Sarrus» consiste en aumentar
las dos primeras filas a continuación de la tercera fila y hacer productos cruzados,
veamos:
[ ] [ ]γ−β=A
Donde:
( ) ( ) ( )213132321
222
111
333
222
111
zyxzyxzyx
zyx
zyxzyxzyx
zyx
⋅⋅⋅ ⋅+⋅+⋅==β
( ) ( ) ( )322231123
222
111
333
222
111
zyxzyxzyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
⋅⋅⋅ ⋅+⋅+⋅==γ
Tercer forma: el método por cofactor, que explicamos con la siguienteilustración:
333
222
111
zyx
zyx
zyx
333
222
111
zyx
zyx
zyx
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
59
3y3x2y2x
13z3x2z2x
1y3z3y2z2y
1
333
222
111zxA
zyxzyxzyx
A +−=⇒=
Ahora, podemos resolver los determinantes de 2 x 2, para obtener la solución
general.
( ) ( ) ( )2y3x3y2x12z3x3z2x12z3y3z2y1 zyxA ⋅−⋅⋅−⋅−⋅−⋅ +=
De esta manera podemos resolver determinantes de tercer orden:
Resolver el siguiente determinante:
a) Por productos cruzados
b) Por Sarrus
322413132
D−−
−=
Solución:
a) Por productos cruzados
( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )[ ]
[ ] [ ] ( ) ( )
27D
4124162722466D
242333112243123312D
−=
−=++−−+−=
−−++−−+−+−−=
b) Por Sarrus
Ejemplo 1
UNAD
60
( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )[ ] ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )[ ]333422211432123312
413132322413132
D +−−+−−+−+−−=
−−
−−
−
=
27D274124D
−=−=−=
Resolver el determinante dado por Sarrus y por cofactores:
242321034
P−
−=
Solución: por Sarrus:
( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )[ ] ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )[ ]231344022332041224
321034242321034
P +−+−−−++−=−−
−
=
8P4234P
=+−=
Por cofactores:
( ) ( )
( ) ( )8P
24328384P
062312444221
02231
32432
4P242321034
P
=−−=−−−=
++−−−=−
+−
−−=⇒−
−=
[ ] [ ] ( ) ( )4124271622466 −=++−−+−=
Ejemplo 2
[ ] [ ] ( ) ( )4234648018016 −−−=+−−−+−=
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
61
Nota: la regla de Sarrus, solo es utilizable para determinantes de 3 x 3, el
método de cofactores se puede utilizar para determinantes de mayor tamaño.
Ecuaciones por determinantes: sabiendo cómo se resuelven determinantes
de tercer orden, (3 x 3) ahora vamos a analizar la solución de 3 ecuaciones con 3
incógnitas.
«Kramer» propuso una técnica para resolver este tipo de sistema. Veamos el
procedimiento.
Dado el sistema:
3333333
2222222
1111111
dzcybxadzcybxa
dzcybxa
=++=++
=++
Entonces, primero definimos el determinantes de coeficientes.
0dondecbacbacba
333
222
111≠∆=∆
Ahora definimos los determinantes para cada variable.
para x: para y: para z:
333
222
111
z
333
222
111
y
333
222
111
xdbadbadba
cdacdacda
cbdcbdcbd
=∆=∆=∆
Finalmente, la solución para cada variable:
∆∆
=∆
∆=
∆∆
= zyx zyx
como podemos ver para que el sistema tenga solución, el determinante de
coeficientes debe ser diferente de cero.
UNAD
62
Ejemplo 1
Resolver el sistema dado:
14z3y3x28zy2x35zyx
=++=++=++
Solución: hallamos el determinante de coeficientes; y lo resolverlos.
332123111
=∆
se puede resolver por productos curvados, por Sarrus o por cofactores.
1
15733223
13213
13312
=∆
=+−=+−=∆
¿Qué método se utilizó?
Calculemos los determinantes de las variables.
[ ] [ ]
( ) ( )
1
6768152428142430
513318121414111383253314128115
x
x
x
=∆
−=++−++=∆
⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅==∆→
¿Qué método se utilizó para resolver el determinante x∆ ?
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
63
( ) ( )1
7576451416104224
y
y
=∆
−=++−++=∆
( ) ( ) ( )
3
325264
495164224283223
514283
114382
11432823511
z
z
z
=∆
=+−=∆
−+−−−==+−===∆→
Ahora:
313
z
111
y
111
x
==
==
==
Resolver el sistema:
0z4y2x20y2x3
0z2yx
=−+−=+
=+−
Solución: con el procedimiento descrito, realicemos la solución secuencialmente.
( )3531141281 ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅
( ) (1521143381
183151
3142183151
3142
183151
y −⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅===∆→
Ejemplo 2
UNAD
64
P
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( )0
04401280128
1024132222.0.1223421422023211
=∆=−=++−−++−=∆
⋅⋅+−⋅−+⋅⋅−−−−+⋅⋅+−⋅=−−
−=∆
como el determinante de coeficientes es cero, el sistema no tiene solución, es
inconsistente, La única solución que se podría tomar es: x = y = z = 0.
(Ver ejercicios ecuaciones simultáneas, página 65).
ROBLEMAS CON ECUACIONES DE PRIMER GRADO
Con el estudio de ecuaciones de primer grado, ahora entraremos a su aplicación
por medio de la resolución de problemas. Lo nuevo en esta parte es que a partir
del contexto y descripción del problema, se debe plantear la ecuación o ecuaciones,
para luego resolverlas.
Es pertinente tener en cuenta para resolver problemas con ecuaciones, los si-
guientes aspectos, los cuales permitirán obtener resultados claros y verdaderos.
1) Se debe leer bien el contexto del problema hasta que quede completamente
entendido. Si es necesario, leerlo las veces que se requieran para comprenderlo.
2) Llevar dicho problema a un lenguaje matemático, a través de símbolos como
coeficientes, variables, igualdades, otros; llamado modelación matemática.
3) Si es necesario utilizar gráficos, tablas y otros; como ayuda para la ilustración
del problema.
4) Realizar las operaciones necesarias, para obtener el valor de las incógnitas.
5) Identificar la respuesta y hacer su respectiva verificación.
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
65
EJERCICIO: ECUACIONES SIMULTÁNEAS
Resolver por eliminación los siguientes sistemas:
83y2x4
1zyx232
zyx3
10z2y2x34zyx2
7z3y2x
=+
=+−
=−+
−=−+−=++
=+−
Resolver los siguientes sistemas por determinantes:
4z3yx41zy2x33z2y3x2
0zyx0z2y2x
0zyx2
10z2y2x34zyx27z3y2x
=−+=++−
−=+−
=++=−−
=++
−=−+−=++=+−
6. Describir explícitamente las reglas de Sarrus y de Kramer; para qué son
útiles estas teorías.
1.
2.
3.
4.
5.
1z;32
y;31
x:Rta
1z;1y;2x:Rta
===
=−==
211
z,2131
y,32
x:Rta
c,c,0x:Rta
1z;1y;2x:Rta
===
−=
=−==
UNAD
66
u Ecuaciones de primer grado con una incógnita:problemas
La teoría sobre solución de problemas con ecuaciones, se describió anteriormente.
Para resolver problemas de una ecuación con una incógnita, es más pedagógico
proponer ejercicios modelos, los cuales nos ilustrarán el proceso.
Escribir en modelación matemática la siguiente situación. El área de un triángulo
es la mitad del producto de la longitud de la base y la altura.
Solución: sea A = área del triángulo, b= longitud de la base, h la longitud del
triángulo. Finalmente la mitad del producto será h.b21
, luego:
h.b21
A =
Un padre debe repartir su fortuna entre sus dos hijos, la cual es de 100.000, si al
hijo mayor le corresponde x cantidad de la fortuna, ¿qué cantidad le corresponde
al hijo menor?
Solución: llamemos cantidad de la herencia del hijo menor y, como la del hijo
mayor es x, entonces:
y = 100.000 - x, cantidad que le corresponde al hijo menor.
Un carpintero debe cortar una table de 6m de largo, en tres tramos. Si cada
tramo debe tener 20 cm más que el anterior ¿cuáles serán las longitudes de cada
tramo?
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
69
Hacer el planteamiento del problema y resolverlos adecuadamente.
1. La suma de dos números enteros, positivos es igual a 12, uno de ellos es el
doble del otro. ¿Cuáles son los números?
Rta: 4 y 8
2. Un voceador reparte el peródico en 1.800 seg; su compañero lo hace en 120
seg, ¿cuánto tardará en entregar el peródico si lo hace simultáneamente?
Rta: 720 seg.
3. Se desea construir un silo para granos en forma de cilindro circular y
semiesférico en la parte superior. El diámetro del silo debe ser de 30 pies,
¿cuál será la altura del silo, si la capacidad debe ser de 11.250 3pieπ ?
Rta: 55 pies
4. El largo de un campo de baloncesto es 12 metros mayor que su ancho, si el
perímetro es de 96 metros, ¿cuáles son las dimensiones del campo?
Rta: largo = 30 metros
ancho= 18metros
5. En un triángulo, el ángulo más pequeño es la mitad del mayor y las dos
terceras partes del ángulo intermedio, ¿cuáles serán las medidas de los ángulos?
Rta: menor: 40°, intermedio= 60°
y mayor 80°
6. Un fabricante de grabadoras reduce el precio de un modelo en el 15%, si el
precio con el descuento es de $125.000, ¿cuál será el precio original del modelo
de la grabadora.
Rta: $147.059
3pies30
EJERCICIOS: PROBLEMAS ECUACIONES CON UNA INCÓGNITA
UNAD
70
u Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas:problemas
Con el desarrollo de ecuaciones de primer grado con una incógnita, se ha adquirido
alguna destreza en el planteamiento y resolución de problemas. No olvidemos los
5 pasos que se referencian al inicio de esta sección para resolver ecuaciones.
Para ésta sección, analizaremos problemas donde participan 2 variables en el
planteamiento y resolución de problemas diversos, lo que nos indica que debemos
plantear 2 ecuaciones con 2 incógnitas, la forma de solución ya se han estudiado
en temáticas anteriores.
Una industria tiene dos tipos de equipos para comunicación, el tipo A cuesta
$67.000 y el tipo B cuesta $100.000, si fueron vendidos 72 equipos por $5´880.000
¿cuántos equipos de cada tipo fueron vendidos?
Solución: debemos plantear dos ecuaciones, una para cantidad de equipos y
otra para costo de los mismos.
Cantidad equipos:
x= equipos tipo A
y= equipo tipo B, luego:
x + y = 72
Costo de equipos: 67.000 x + 100.000y = 5´880.000
tenemos 2 ecuaciones con 2 incógnitas, vamos a utilizar reducción:
x + y = 72
67.000 + 100.000y= 5´880.000
multiplicamos la primera ecuación por -100.000 para eliminar y, luego:
- 1000.000 x - 100.000 y = -7´200.000
67.000x + 100.000 y = 5´880.000
Ejemplo 1
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
71
operando:
40000.33
000.3201́x
000.3201́x000.33
=−
−=
−=−
como x =40 corresponde a equipo tipo A.
Para hallar y, reemplazamos en cualquiera de las ecuaciones originales:
324072yx72y72yx =−=⇒−=⇒=+
Respuesta:
Equipos de tipo A vendidos: 40
Equipos de tipo B vendidos: 32
Sea una solución obtenida al mezclar 2 soluciones de 5% y 20%, se quiere obtener200 ml de la solución con una concentración de 15%, ¿cuántos ml de las solucionesse deben mezclar?
Solución:
x= solución al 5%y = solución al 20%ecuación para volumenx + y = 200
ecuación para concentración
( )
30y20.0x05.0200yx:Luego
30y20.0x05.020015.0y20.0x05.0
=+=+
=+⇒=+
Por sustitución como :entonces,y200x200yx −=⇒=+
Ejemplo 2
( )
67,6633,133200x:luego,20033,133x200yxcomo:xhallarpara
33,13315.0
20y
20y15.01030y15.030y20.0y05.010ydespejamos,30y20.0y20005.0
=−==+⇒=+
==
=⇒−=⇒=+−=+−
UNAD
72
Por consiguiente, se deben mezclar 66,67 ml de solución al 5% y 133,33 ml desolución a 20%.
El costo de arreglo para equipos de computación es de $6.000; su costo unitario es
$400. El costo de arreglo para equipos de comunicación es de $8.000; su costo
unitario es $300. ¿Cuál será el punto de equilibrio, sabiendo que éste se consigue
cuando los costos son equivalentes?
Solución:
=1c costo fabricar x equipos computación
=2c costo fabricar x equipos comunciación
x= cantidad unidades fabricadas
Entonces; para equipos de computación:
000.6x400c1 +=
para equipos de comunciación:
000.8x300c2 +=
20100200
x
000.2x100
000.6000.8x300x400
00.8x300000.6x400
:Luego.cc:equilibriopunto 22
==
=
−=−
+=+
=
Entonces el punto de equilibrio se consigue cuando se fabrican 20 unidades.
Ejemplo 3
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
73
Ejemplo 4
Los ángulos βα y son suplementarios, pero uno es 4 veces y 3 grados mayor que
el otro. ¿Cuáles son las medidas de βα y ?
Solución:
Seaα = ángulo mayor y β = ángulo menor
°=β−α⇒°+β=α
°=β+α
3434
)slementariosupángulos(180
Tenemos 2 ecuaciones con dos incógnitas. Apliquemos reducción:
°=α°=α
°=β−α°=β+α
6,1447235
3472044
Ahora hallamos β , como °−°=β⇒°=β+α 6,144180180
°=ρ°=α°=β
4,35y6,144:Luego4,35
En un circuito en serie, la resistencia total, es la suma de las resistencias
componentes. Un circuito en serie está compuesto por dos resistencias 21 RyR ,
la resistencia total es de 1.375 ohmios, para suministrar el voltaje requerido,
1R debe tener 125 ohmios más que 2R . ¿Cuál será el valor de las resistencias?
Ejemplo 5
UNAD
74
Solución:
Sea 375.1RR 21 =+ ohmios, por otro lado
125RR 21 += ohmios, luego ordenando, tenemos dos ecuaciones, en dos
incógnitas.
125RR375.1RR
21
21=−=+
resolvermos por sustitución, como: 375.1RR 21 =+ y además 125RR 21 += ;
reemplazamos 1R en la primera ecuación, luego:
( )
6252250.1R
250.1R2125375.1R2375.1125R2
375.1R125R
2
222
22
==
=⇒−=⇒=+
=++
por consiguiente la resistencia, para hallar la resistencia 1R , reemplazamos el
valor de 2R en cualquiera de las ecuaciones planteadas.
( )
750R
625375.1R375.1625R375.1RR
1
1121
=
−=⇒=+⇒=+
Respuesta:
ohmios625Rohmios750R
2
1==
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
75
EJERCICIOS: PROBLEMAS DE ECUACIONES CON DOS VARIABLES
Leer cuidadosamente los problemas propuestos y resolverlos haciendo los pasos
necesarios en la resolución de los mismos.
1. Un ángulo mide 46° más que su complementario, ¿cuál será la medida de los
ángulos?
Rta: 22° y 68°
2. Si en una distribuidora de dulces, 4 paquetes de dulce y 4 paquetes de galletas
valen $7.00, dos paquetes de galletas cuestan $20 más que un paquete de
dulces. ¿Cuánto cuestan un paquete de galletas y un paquete de dulces?
Rta: Galletas = $665
Dulces$1.310
3. Un automóvil recorre 50 km en el mismo tiempo que un avión viaja 180 km.
la velocidad del avión es de 143 k/hr más que la del automóvil. ¿Cuál será la
velocidad del automóvil?
Rta: 55 km/hr
4. El perímetro de un rectángulo es de 16 metros, su área es de 15m2. ¿Cuáles
son las dimensiones del rectángulo?
Rta: Largo = 5 mts.
Ancho= 3 mts.
5. Para entrar a una función de teatro se tienen dos tipos de entradas. elpreferencial vale $4.500 y el popular vale $3.00, si se vendieron 450 boletas,para un recaudo de $1´819.500. ¿Cuántas boletas de cada clase se vendieron?
Rta: Preferencia= 313 Popular= 137
6. Se desea preparar 200 litros de ácido nítrico al 34%; a partir de dos solucionesde 28% y 36% de concentración de ácido. ¿Cuáles deberán ser la cantidades deácido a utilizar de cada uno; para obtener la solución?
Rta: Solución al 28%= 50 lt Solución al 36% = 150 lt
UNAD
76
Ejemplo 1
u Ecuaciones de primer grado con tres incógnitas: problemas
El método de solución de ecuaciones de este tipo es similar a los casos anteriores,
algunos ejemplos nos ilustrarán dicha situación.
La suma de tres números es 4. El primero más dos veces el segundo más el
tercero es 1. Por otro lado, tres veces el primero más el segundo, menos el tercero
es -2. ¿Cuáles son los números?
Solución:
Sea x = primer número
y = segundo número
z = tercer número
Según las condiciones:
( )( )( )34zyx22zyx311zy2x
=++−=−+
=++
Eliminamos inicialmente z, entonces:
( )( )
( )41y3x422zyx3
11zy2x
−=+−=−+
=++
Ahora:
( )52y2x44zyx2zyx3
=+=++
−=−+
De las ecuaciones (4) y (5), eliminamos x, multiplicamos (4) por (-1),luego:
3y2y2x41y3x4
=−=+=−−
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
77
por consiguiente 3y −=Ahora reemplazamos y en (4) ó (5). hagámoslo en (4)
( )
2x
248
x91x4133x4
=
==⇒+−=⇒−=−−
por último reemplazamos x y y en cualquiera de las ecuaciones originales; tomemos (1).
( ) ( )
5z261z1z3221zy2x
=−+=⇒=+−+⇒=++
Observación: para resolver problemas con ecuaciones del tipo que estamos
estudiando, la mayor dificultad están en plantear las ecuaciones, ya que conocidas
éstas, la solución ha sido ampliamente analizada.
El ángulo más grande de un rectángulo es 70° mayor que el ángulo más pequeño
y el ángulo restante es 10° más grande que tres veces el ángulo más
pequeño.¿Cuáles son las medidas de los ángulos?
Solución:
x = ángulo más pequeño
y = ángulo intermedio
z = ángulo mayor
Las condiciones:
( )1180zyx =++ ¿por qué?
( )270zx −=− ¿por qué?
( )310yx3 −=− ¿por qué?
cada ecuación tiene su justificación, usted debe buscarla y analizarla. Eliminamos
y en las ecuaciones originales, obtenemos:
( )( )5170zx4470zx
=+−=−
Por favor hacer el procedimiento que permitió obtener las ecuaciones (4) y (5).
Resolviendo (4) y (5): x = 20 y z=90, verificar estos resultados, finalmente y = 70.
respueta: los ángulos son 20°, 70° y 90°.
Ejemplo 2
UNAD
78
Resolver aplicando los principios estudiados sobre ecuaciones lineales, los siguientes
problemas.
1. Un Biólogo desea probar un fertilizante a partir de tres clases existentes,
referenciados 321 F,F,F , cuyo contenido de nitrógeno es 30%, 20% y 15%,
respectivamente. El Biólogo quiere trabajar con 600 kg de mezcla con un
contenido de nitrógeno del 25%. La mezcla debe contener 100 kg más de 3F
que da 2F . ¿Cuánto requiere el Biólogo de cada tipo de fertilizante?
Rta: 1F =380 kg, 2F =60kg, 3F =160kg
2. Determinar la parábola cbxaxy 2 ++= , que pasa por los puntos
( ) ( ) ( )3,2P,7,2P,2,1P 321 −−− .
Rta: 3xx2y 2 ++−=
3. En la caja de un banco hay $880 en billetes de $5, $10 y $50. La cantidad de
billetes de $10 es el doble de la de $50, si hay en total 44 billetes. ¿Cuántos
billetes de cada denominación tiene la caja del banco?
Rta: de $5 = 8 billetes
de $10 = 24 billetes
de $50= 12 billetes
4. Para tres grupos de investigación, hay $1´360.000. La cantidad de científicos
en total es 100. Cada científico del primer grupo recibió $20.000 millones, del
segundo grupo; cada científico recibió $8.000 millones y del tercer grupo; cada
científico recibió $10.000 millones. Los científicos del primer grupo recibió 5
veces más fondos que el segundo grupo. ¿Cuántos científicos hay en cada
grupo de investigación?
Rta: del primer grupo = 40
del segundo grupo = 20
del tercer grupo= 40
EJERCICIO: PROBLEMAS ECUACIONES CON TRES INCÓGNITAS
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
79
CUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Las ecuaciones de segundo grado han sido motivadas desde tiempos
inmemoriables,inicialmente la necesidad de resolver problemas de áreas y
volúmenes condujeron a manipular ecuaciones de este tipo. Como los números
negativos aparecieron tarde en la historia de las matemáticas, en sus inicios el
manejo de ecuaciones de segundo grado fue con números positivos.
Se reconocen cinco tipos de ecuación de segundo grado, a saber:
cbcx;cbxx;bxcx;cx;bxx 22222 =++==+==
. La ecuación de tipo: bxx2 = , tiene una única solución: x = b, ya que no se
acepta a cero como la solución
. La ecuación de tipo: cx2 = , equivale a hallar la raíz cuadrada de un número.
Para esto existen diversos métodos, como el de tanteo, el de Herón, el deEuclides.
Método Herón: Herón de Alejandría en el Siglo I, propuso una forma de hallar
la raíz cuadrada de un número positivo así, si tenemos por ejemplo 2x2 = .
Suponemos que la solución es 3/2, para hallar una nueva aproximación aplicamosla siguiente regla.
1217
234
23
223/22/3
=+
=+
, la siguiente aproximación:
...2454142215686,1408577
21724
1217
2217/1212/17
≅=+
=+
Que es una buena aproximación a 2 .
Es de anotar que el proceso se debe repetir tantas veces como se desee obteneruna buena aproximación.
E
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
83
u Técnica por factorización
Se soporta en la regla del producto nulo «si a y b son números reales y a.b = 0,
entonces a = 0 ó b =0», como una ecuación de segundo grado se puede expresar
como producto de dos factores lineales, aplicamos la regla del producto nulo y
obtenemos la solución.
Debemos resaltar que las ecuaciones de tipo 0cbxax2 =++ , si factorizamos el
trinosmio obtenemos:
( ) ( ) 0qxpx 21 =λ+λ+
Aplicando la regla del producto nulo, tenemos:
0qxó0px 21 =λ+=λ+
Despejamos la incógnita para obtener las dos soluciones:
qxy
px 21 λ
=λ
=
El despeje es simbólico, ya que en cada caso debemos tener presente los signos de
las cantidades.
Resolver la ecuación 018x3x3 2 =−−
Solución: factorizamos; ya hemos estudiado este tipo de factorización, en caso
de reforzar, consultar el tema en matemáticas básicas.
( )
( ) ( ) ( )( ) 02x9x303
6x39x3
03
54x33x30
3
18x3x83 22
=+−⇒=+−
=−−
⇒=
−−
Ejemplo 1
UNAD
84
por la regla del producto nulo, tenemos:
2xy3x:spuestaRe2xy3x02xó09x3
−==−==⇒=+=−
Hallar la solución de la ecuación: 025x10x2 =+−
Solución: factorizando el trinomio como se estudió en las técnicas de factorización.
( )( ) 05x5x25x10x2 =−−=+−
Aplicamos la regla del producto nulo: 5x05x =⇒=− . Igual para el segundo
factor. Luego la solución x = 5.
Observación: en el ejemplo 1, la solución fue real y diferente, en el ejemplol 2,
la solución fue real e igual. En el siguiente ejemplo vemos una solución imaginaria.
Determinar el valor de x para la ecuación: 016x2 =+ .
Solución: 16x16x016x 22 −±=⇒−=⇒=+ , como vemos es una raíz par
de número negativo, cuya solución es imaginaria.
i4x ±= ¿recordamos los números imaginarios? ¡Por favor repasar!
Respuesta:
x = + 4i
x = - 4i
Nota: en el módulo de matemáticas básicas, se presenta todo lo relacionado connúmero imaginario.
Ejemplo 2
Ejemplo 3
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
85
En el ejemplo 3, para muchos autores es llamado el método de extracción de raíz.
Por este camino las soluciones pueden ser imaginarias o reales.
Hallar la solución de: 025x9 2 =−
Solución: la idea es despejar x, luego 25x9 2 =
35x
925x
925x2 ±=⇒±=⇒=
Respuesta:
3/5xy3/5x −=+=
Resolver la ecuación: 04x2x2 =−−
Solución: como es un trinomio de la forma 0cbxx2 =++ , factorizamos como
indica la técnica; dos números que multiplicados sea igual a c y sumados sean
igual a b, luego:
( ) ( ) 0?x?x4x2x2 =+−=−−
vemos que no es fácil identificar dos números que multiplicados sean igual a 4−y sumados sean igual a 2− , para estos casos hay otra técnica que veremosposteriormente.
u Técnica de completar cuadrados
En muchas ocasiones, el trinomio propuesto en la ecuación no se puede resolver
directamente por factorización o por extracción de raíz. Entonces lo que se hace
Ejemplo 4
Ejemplo 5
UNAD
86
para resolver la ecuación propuesta, es hacer una transformación que permita
obtener un «trinomio cuadrado perfecto», técnica llamada completar cuadrados.
Sea la ecuación: 0cbxx2 =++ no se puede factorizar en forma completa
2bc
4bx
c2b
2b
x
c2b
2b
x
c2b
2bbxx
cbxx
2
2
22
222
2
−−±=
−
±=+
−
=
+
−
=
++
−=+
Así se obtiene las dos soluciones para l a ecuación propuesta.
Resolver la ecuación: 02x6x2 =−+
Solución:
02x6x2 =−+ completamos cuadrados
226
26
x6x22
2 +
=
++ simplificando
Se adiciona a la ecuación 2
2b
, para
tener un trinomio cuadrado perfecto al lado
izquierdo de la ecuación.
Extraemos raíz cuadrada.
finalmente
Ejemplo 1
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
87
119x6x2 =++ aplicando trinomios cuadrados perfectos
( ) 113x 2 =+ despejamos x
311xy311x
113x
−−=−±=
±=+
Hallar la solución de la ecuación: 015x2x2 =−+
Solución: 15x2x015x2x 22 =+⇒=−+ , completamos cuadrados
( )
14x
luego,161x161x161x2x
ndodesarrolla2215
22x2x
22
222
−±=
±=+⇒=+⇒=++
+=
++
Respuesta: 514xy314x −=−−==−=
u Técnica por la fórmula cuadrática
Hay situaciones donde las técnicas anteriores no permiten o es muy difícil obtener
la solución. Se ha identificado una forma más rápida de resolver una ecuación de
segundo grado con una incógnita.
Sea la ecuación: 0cbxax2 =++ , con a, b, c R∈ y 0a ≠
a2
ac4bbx2 −±−= fórmula cuadrática
Ejemplo 2
UNAD
88
Demostración:
Para obtener la fórmula, aplicamos el principio de completar cuadrados, luego:
cbxax0cbxax 22 −=+⇒=++ , el coeficiente de 2x debe ser uno, luego dividir
toda la ecuación por a, entonces:
acx
abx2 −=+ . Completamos cuadrados en la parte izquierda de la ecuación.
2
2
2
22
222
a4
ac4bac
a4
ba2b
x
operandoac
a2b
a2bx
abx
−=−=
+
−
=
++
a2ac4bb
x
a4
ac4ba2bx
:luegoa2
ac4b
a4
ac4ba2b
x
2
2
2
2
2
2
−±−=
−±−=
−±=
−±=+
En la ecuación observamos que las soluciones las determinan los signos del radical.
Así las dos soluciones son:
a2ac4bb
xya2
ac4bbx
2
2
2
1−−−
=−+−
=
A la expresión ac4b2 − se le llama el Discriminante, debido a que su valor
indica el tipo de solución de la ecuación dada.
extraemos la raíz para despejar x
operando las fracciones
Así queda demostrado la ecuación general
de segundo grado
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
89
Veamos algo más sobre el discrimante ∆ :
ac4b2 −=∆
. Si 0>∆ , hay dos soluciones reales y diferentes
. Si 0=∆ , hay dos soluciones reales iguales, Una raíz con multiplicidad dos
. Si 0<∆ , hay dos soluciones imaginaria diferentes
Resolver la siguiente ecuación usando la fórmula cuadrática 08x6x2 =+−
Solución: en el trinomio dado a = 1, b =-6, c = 8; entonces
( ) ( ) ( )( )( )
2xy4x:spuestaRe
224
226
x
428
226
x
luego,2
262
32366
12
81466x
21
2
1
2
==
==−
=
==+
=
±=−±
=−−±−−
=
Resolver
02x4x3 2 =+−
Ejemplo 1
Ejemplo 2
UNAD
90
E
Solución:
( ) ( ) ( )( )( )
( )
2i22
xy2
i22x
3i22
6i224
61244
x
684
624164
3223444
x
21
2
−=
±=
±=
±=
−⋅⋅±=
−±=−±
=−−±−−
=
vemos que en este ejemplo la solución no es real.
Resolver: 02yy4 2 =+−
Solución: aplicando la fórmula
( ) ( ) ( )( )( ) 8
3118
321142
24411y
2 −±=
−±=
−−±−−=
las soluciones son:
8i311yy
8i311y 21
−=±=
Para resolver ecuaciones por medio de la fórmula cuadrática, sólo requiere
identificar a, b y c; en la ecuación planteada, además, del signo de cada valor.
CUACIONES DE GRADO N (N = PAR)
A veces se pueden presentar ecuaciones de la forma: 0cbxax mn =++ donde
m = n/2. La idea es reducir el grado hasta cuando n = 2, para resolverlo comouna cuadrática. Veamos algunos ejemplos.
Ejemplo 3
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
91
Resolver la ecuación: 04x5x 24 =+−
Solución: si hacemos un cambio de variable, 2xu = , entonces 42 xu = , luego:
04u5u2 =+= , la podemos resolver por factorización
( ) ( ) 01u4u4u5u2 =−−=+=
aplicando la regla del producto nulo
1uy4u01uó04u ==⇒=−=−
ahora reemplzamos 2xporu , luego:
1x1x
2x4x2
2
±=⇒=
±=⇒=
Respuesta:
1x,1x,2x,2x 4321 −==−== tenemos 4 soluciones, según el grado de la
ecuación propuesta.
Resolver la ecuación: 016y6y 510 =−+
solución: hacemos cambio de variable, 1025 ywluego,yw == , entonces:
( )( )
2w02w8w08w
nuloproductopor02w8wosfactorizam,016w6w2
=⇒=−−=⇒=+
=−+=−+
reemplazamos w por 5y , entonces:
55
55
2y2y
8y8y
=⇒=
−=⇒−=
Ejemplo 1
se extrajo raíz cuadrada
Ejemplo 2
UNAD
92
como la ecuación es de grado 10, entonces deben haber 10 soluciones, aquí
encontramos solo dos, las 8 restantes se pueden obtener por métodos matemáticos
avanzados.
Resolver la ecuación: 015x2x 3/13/2 =−+
Solución: como en los casos anteriores, hacemos cambio de variable.
( ) ( )
3u03u5u05u
nuloproductoleypor03u5uiónfactorizacpor,015u2u
luego,xuentonces,xu2
3/123/1
=⇒=−−=⇒=+
=−+=−+
==
reemplazamos 3/1xu = , entonces:
( )
27xy125x:spuestaRe
27x3xluego,3x
125x5x:asíxdespejamos,5x
21
333/13/1
333/13/1
=−=
=⇒=
=
−=⇒−=
−=
Demuestre que la solución para: 06yy 3/13/2 =−− ; es 27 y 8.
Solución: el proceso es similar, solo el cambio de variable que será: 3/1xv = ; lo
demás es igual.
Ejemplo 3
Ejemplo 4
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
93
CUACIONES CON RADICALES
Cuando se presentan ecuaciones con radicales, al eliminar el radical, ésta se
reduce a una ecuacións cuadrática, siempre y cuando el índice de la raíz sea par.
Aquí vamos a analizar fundamentalmente las raíces cuadradas.
Resolver: 44xx =−+
Solución: partiendo de 44xx =−+ , dejamos el radical solo, entonces
( ) ( )224x4xx44x −=−⇒−=− . Así eliminamos el radical, luego
020x9xxx8164x 22 =+−⇒+−=−
Apliquemos la cuadrática para resolverla
( ) ( ) ( )( )( )
4xy5x:spuestaRe
428
219
x
52
102
19x
219
2
80819
12
201499x
21
2
1
2
==
==−
=
==+
=
±=−±
=−−±−−
=
Hallar los valores de la variable en la ecuación: 22x3x2 =−−+
Solución: como 22x3x2 =−−+ , entonces
2x23x2 −+=+ , elevamos al cuadrado
E
Ejemplo 1
Ejemplo 2
UNAD
94
2x2x443x2 −+−+=+ simplificando
2x41x −=+ , volvemos a elevar alcuadrado
( )2x161x2x2 −=++ , reorganizando
033x14x2 =+− , por factorización
( ) ( ) 03x11x =−− , por ley de producto nulo
Respuesta:
3x11x
==
Ejercicios
Resolver
06xx
29x1x3
36 =−+
=+−+
CUACIONES CON FRACCIONES
No se puede dejar pasar por alto unas ecuaciones muy particulares, son ecuaciones
con fracciones que pueden llevarse a ecuaciones lineales o cuadrática. Veamos
algunos ejemplos.
Resolver la ecuación: 102x
3x =+
E
1.
2. 64x:Rta
16xy0x:Rta
=
==
Ejemplo 1
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
95
Solución: operamos las fracciones
125
60x60x510
6x3x2
102x
3x
==⇒=⇒=+
⇒=+
Luego: x = 12, para este ejemplo se llegó a una ecuación lineal de primer grado.
Hallar el valor de y para: 1y2
2yy
−=
+
Solución: operamos las fracciones, buscando común divisor:
( ) ( )( )( )
( )( )
( )( ) 1yy4y01y4y
osfactorizam,04y3y01y2y
4y2yy
luego,01y2y
2y2y1y0
1y2
2yy
22
−==⇒=+−
=−−⇒=−+
−−−
=−+
+−−⇒=
−−
+
Recordemos la forma de obtener el común denominador en fracciones algebraicas,
consultemos el módulo de matemáticas básicas.
Resolver la ecuación:4x
4x1
2xx
2
2
−
+=+
−
Solución:
( )0
4x
4x2x2x2
4x
4x2x
2xx2
2
2
2=
−
+−
−−
⇒−
+=
−−+
, buscamos el común denominador
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Nota: No olvidemos el manejode fracciones
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) 2xy4x02x4xosfactorizam,08x2x
luego,04x4x2x202x2x
4x2x2x2
2
222
=−⇒=−+=−+
=−−−+⇒=+−
+−+−
UNAD
96
ROBLEMAS CON ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Muchos fenómenos del mundo que nos rodea, se pueden expresar matemáticamente
por medio de ecuaciones cuadráticas. Para resolver problemas de este tipo, se
debe seguir la metodología planteada en la sección anterior donde se resolvieron
problemas con ecuaciones de primer grado.
La forma más pertinente de explicar este tipo de problemas, es por medio de
ejemplos modelos, por favor analizarlos detenidamente.
La cuarta parte del producto de dos números enteros pares consecutivos es 56
¿cuáles son los números?
Solución: sea x = entero par positivo, luego x + 2 = entero par consecutivo.
Según las condiciones del problema:
( ) ( ) 562xx41
=+⋅ , modelo matemático para el problema
0224x2x224x2x 22 =−+⇒=+ , factorizamos
( ) ( ) 014x16x =++ , por regla del producto nulo
14x014x16x016x
=⇒=−−=⇒=+
como se trata de entero par positivo, la primera solución es x = 14 y x +2 = 16.
La raíz cuadrada de un número más 4, es lo mismo que el número menor 8, ¿cuál
es el número?
P
Ejemplo 1
Ejemplo 2
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
97
Solución: x = número dado
8x4x −=+ , según las condiciones del problema
( ) ( )228x4x −=+ , para eliminar la raíz
060x17x64x16x4x 22 =+−⇒+−=+
por la cuadrática
( ) ( ) ( )( )( )
52
717xy12
224
x
luego,2
7172
4917x
224028917
1260141717
21
2
=−
===
±=
±=
−±=
−−±−−=
Calcular las dimensiones de un rectángulo, cuya área es de 375 m2, además, el
largo es el doble del ancho menos cinco metros.
Solución:
Según las condiciones del problem a, la
gráfica nos ilistra dicha situación
( )( ) 0375x5x2375x5x2 2 =−−⇒=−
por la cuadrática
( ) ( ) ( )( )( )
5,12450
4555
x
154
604555x
4555x
4000.3255
223752455
x
2
1
2
−=−
=−
=
==+=
±=
+±=
−−−±−−=
Ejemplo 3
A = 375 m2( )x
( )5x2 −
UNAD
98
por las condiciones del problema el valor negativo se rechaza, ya que las longitudes
negativa no hay. Entonces la solución es:
Largo: ( ) m255152 =−
Ancho: .m15x =
Un objeto lanzado verticalmente hacia arriba, cuya ecuación de altura
es: tvt16y o2 +−= . Donde ov es le velocidad inicial de lanzamiento. El objeto
es lanzado con una velocidad de 400 m/seg.
a. ¿En qué tiempo el objeto regresa al suelo?
b. ¿Cuánto tarda en alcanzar 2.500 m. de altura?
Solución:
a. Cuando el objeto regresa al suelo y = 0, luego
como t400t160tvt16y 2o
2 +−=⇒+−= , factorizamos
( ) 025tt16 =−− , por ley de producto nulo
25t025t0t0t16
=⇒=−=⇒=−
Luego el tiempo en que el objeto regresa el suelo es de 25 seg.
b. Para que el objeto alcance 2.500 metros será:
( ) ( )( )( )
.seg5,1232400
320400
t
32000.160000.160400
162500.2164400400
t
cuadráticalapor,0500.2t400t16
luego,0500.2t400t16500.2t400t16
2
2
22
==±
=
−±=
−−±=
=+−
=−+−⇒=+−
El tiempo que tarda en alcanzar 2.500 m es de 12,5 seg.
Ejemplo 4
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
99
( ) ( ) ( )( )( )
30020
700100x
40020
700100x
20700100x
20000.480000.10100
102000.12104100100
x
0000.12x100x10000.10000.2x100x10
2
1
2
22
−=−
=
=+
=
±=
+±=−−−±−−
=
=−−⇒=−−
En una planta manufacturera el costo mensual de producir x unidades está dado
por la ecuación: ( ) 000.2x100x10xc 2 −−= ¿cuántos productos se pueden
manufacturar para un costo de 10.000 pesos?
Solución:
( ) 000.10cpara000.2x100x10xc 2 =−−= , entonces
La suma de los primeros n enteros pares consecutivos está dada por la
ecuación: ( )1nnS += ¿cusántos enteros n pares consecutivos y positivos se deben
sumar para que dicha suma sea de 342?
Solución:
( )( )( ) 18ny19n018n19n
osfactorizam,0342nn342nn1nnS 22
=−=⇒=−+=−+⇒=+⇒+=
Ejemplo 5
Ejemplo 6
se toma la solución positiva, por obvias razones, x = 400 unidades producidas
UNAD
100
es obvio que por l as condiciones del problema se escoge n = 18. Entonces se deben
sumas los 18 primeros enteros pares consecutivos positivos.
Una turbina puede llenar un tanque en 5 hr más rápido que otra turbina. Las
dos turbinas pueden llenar el tanque en 5hr, ¿cuánto tiempo tomará llenar el
tanque a cada una?
Solución: como el tiempo está en el cociente de un flujo másico, entonces
tiempo llenado turbina más lenta x1
tiempo llenado turbina más rápida 5x1+
tiempo llenado por los dos simultáneamente es 51
, luego:
( ) 51
x5x
5x251
5xxx5x
51
5x1
x1
2=
+
+⇒=
+++
⇒=+
+
por el principio de fracciones equivalentes:
( )
( ) ( )( )
09,32
18,115x
09,82
18,115x
218,115
22514255
x
cuadráticalapor025x5x
025x10x5xx5x5x25
1
1
2
22
=−=
=+
=
⇒±
=−−±−−
=
=−−
⇒=−−+⇒+=+
como el tiempo es positivo, escogemos como solución x = 8,09.
Luego x = 8,09 será el tiempo de la turbina más lenta
x + 5=13,09 será el tiempo de la turbina más rápida
Nota: vemos que como en los casos anteriores, la dificultad está en plantear la
ecuación, y que una vez obtenida, la solución se puede hacer por los métodos que
hemos estudiado para este tipo de ecuaciones.
Ejemplo 7
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
101
EJERCICIOS: PROBLEMAS CON ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Lea cuidadosamente cada problema y con los conocimientos adquiridos resuélvalos
adecuadamente.
1. Dos números enteros consecutivos pares tienen como producto 168 ¿cuáles son
dichos números?
Rta: 12 y 14
2. El largo de un rectángulo es de 4 metros y el ancho de 2 metros, si las
dimensiones se aumentan en la misma cantidad, el área del nuevo rectángulo
será el doble del área original ¿cuáles serán las dimensiones del nuevo
rectángulo?
Rta: Largo 5,12 mts.
Ancho 3,12 mts.
3. La ecuación ( )
−+= 2tt1730000.1tp corresponde al crecimiento de una
población en t tiempo; medido en años. La primera medida se hizo en el año
1997, p corresponde a la cantidad de peces en t tiempo.
a. ¿Cuántos peces en t tiempo Rta: 30.000
b. A los cuántos años se mueren
todos los peces Rta: 18,61 a partir del momento de la
primer medida
4. Un triángulo rectángulo tiene una hipotenusa de 7 metros más largo que uno
de sus lados, el perímetro del triángulo es de 392 metros ¿cuál es la longitud
de los lados del triángulo?
Rta: 168 metros, 175 metros y 49 mts.
5. La cantidad de dinero A que resultas al invertir un capital p a una tasa de
interés r compuesto anualmente por dos años está dada por la ecuación
( )2r1pA += . Si $10.000 se invierten a una tasa de interés compuesto
anualmente, el capital aumenta a $12.321 en dos años. ¿Cuánto fue la tasa de
interés?
Rta: r = 11%
UNAD
102
CUACIONES DE TERCER GRADO
Aunque este tipo de ecuaciones no tienen un método general; como lo es la fórmula
cuadrática por la de segundo grado, se han estudiado con detalle.
Una ecuación de tercer grado es de la forma:
0dcxbxax 23 =+++
La resolución de ecuaciones de este tipo, se remonta a los babilonios quienes
resolvieron problemas que involucraban raíces cúbicas, tenían planteamientos
como el siguiente:
zyxv;xy;x12z === v= volumen
Lo que era equivalente a resolver la ecuación 3x12v = para lo cual usaron
tablas de potencias cúbicas y raíces cúbicas.
Un profesor de matemáticas de la Universidad de Bolonia, Scipione del Ferro
(1465-1526) fue quien por primera vez resolvió algebraicamente una ecuación
cúbica de la forma qpxx3 =+ .
Posteriormente Nicolo Tartaglia, en una competencia con Fior; alumno de Scipione
del Ferro, resolvió 30 ecuaciones de éste tipo.
El matemático Girolamo Cardano (1501-1576) se inquietó por los avances de
tartaglia y al reunirse con el; en marzo de 1539, éste último revela sus secretos
sobre las ecuaciones a Candano.
Después de muchos ires y venires, la fórmula para resolver ecuaciones de tercer
grado, se le llama Fómula de Cardano-Tartaglia.
Resumiendo todo el largo proceso para llegar a la fórmula, podemos decir, sea la
ecuación: qpxx3 =+ , entonces:
E
u Resoluciones antiguas
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
103
332
332
3p
2q
2q
3p
2q
2q
x
+
+−+
+
+=
Cardano no aceptó ni coeficientes, ni soluciones complejas para las ecuaciones.
Vale la pena nombrar a Vietá, quien trabajó las ecuaciones cúbicas, utilizando
transformaciones y sustituciones; llegó a obtener ecuaciones cuadráticas para
resolver las primeras. La característica es que solo utilizaba raíces cúbicas
positivas.
Resolución moderna
A partir de los aportes de Cardano- Tartaglia, se ha venido buscando formas más
prácticas para resolver ecuaciones de grado tres. El primer intento llevó a plantear
una fórmulas muy parecidas a la de Cardano- Tartaglia, que eran muy largas y
no muy fáciles de manejar, pero con el estudio de los polinomios se logró establecer
algunos principios que ayudaron a buscar un camino muy dinámico para resolver
ecuaciones de este tipo.
Definición: sea p(x) un polinomio de grado n, sea r un número real o complejo,
tal que p(r)=0. Entonces se dice que r es un cero del polinomio. Por consiguiente
r es una solución o raíz de la ecuación polinómica.
Con la definición anterior, podemos ver que una ecuación de grado tres, se puede
reducir a grado dos, buscando una de sus raíces,ya que:
si ( ) dcxbxaxxp 23 +++= ; además p(r)=0, entonces: ( ) ( )
++−= wqxpxrxxp 2
Este proceso es una forma de linealizar la ecuación, Recordemos que linealizar la
ecuación, es expresar el polinomio de grado n, es n factor de grado uno; es decir,
factores lineales.
Los matemáticos se han preocupado por determinar el tipo de soluciones que
podría tener una ecuación de grado tres. Esto lo podemos resumir en lo siguiente:
Sea la ecuación: 0cbxaxx 23 =+++
u
UNAD
104
Su discriminante 33223 c27b4baca4abc18D −−+−=
El discriminante D, es quien determina el tipo de solución. Partiendo del hechoque una ecuación de tercer grado tiene tres soluciones, entonces:
Si 0D > : la ecuación tiene tres soluciones reales diferentes
Si 0D = : la ecuación tiene tres soluciones reales y por lo menos dos de ellas iguales
Si 0D < : la ecuación tiene una solución real y dos soluciones complejas
Solución de ecuación de tercer grado
Para resolver ecuaciones de tercer grado, la técnica consiste en reducirla a un
producto de dos factores, no lineal y el otro cuadrático,ése último ya sabemos
cómo resolverlo, así obtenemos las tres soluciones.
La reducción del polinomio de grado tres a grado dos, es por medio de la división
sintética de coeficientes, así:
Sea la ecuación 0dcxbxax 23 =+++ , entonces, planteamos la siguiente división:
042a31
rdcba
Donde r será los divisores de a y d positivos y negativos, de tal forma que al
operar: (r . a), se coloca en 1, se opera para tener 2, luego (2.r), se coloca en 3, se
opera para tener 4,luego( 4.r), se coloca con 5 el último residuo debe ser cero. Si
esto no ocurre, el valor seleccionado para r no es cero del polinomio, luego se
prueba con el negativo y si queda igual que el caso anterior, entonces se prueba
con el siguiente número hasta obtener cero en el último residuo como se ve en el
esquema.
Resolver la ecuación: 02x3x3 =+−
u
Ejemplo 1
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
105
Solución: inicialmente identificamos los coeficientes del polinomio, como falta
2x , se completa con cero. Luego, por otro lado los posibles ceros
son: 2,2,1,1r −−= , que corresponden a los múltiplos de los coeficientes de 3x y
el término independiente. Luego tomamos inicialmente a 1.
0211211
12301
−−
−
El 1 se obtiene al multiplicar 1 x 1, el resultado se opera a cero y obtenemos 1,
luego 1 se obtiene al multiplicar 1 x 1 = 1 y se opera con -3, luego -2 x 1 = -2,
al operar con 2 obtenemos cero.
Así r = 1, es raíz del polinomio, ya que se cumple ( ) 0rp = .
El trinomio se puede expresar así: ( )
−+−=+− 2xx1x2x3x 23
. Los
coeficientes del segundo factor son los números de los residuos obtenidos. Ahora:
( ) ( )1x2x2xx2 −+=−+ , por consiguiente:
( )( ) ( )1x2x1x2x3x3 −+−=+−
Las soluciones de la ecuaicónes; 1,2,1 − .
Como hay dos factores lineales iguales, se dice que tiene una raíz doble o raíz
con multiplicidad dos.
Hallar la solución de: ( ) 1xx3xxp 23 ++−=
Solución:
0121121
11131
−−−−
−Vemos que el último residuo es cero, luego
r = 1 es raíz del polinomio, Entonces:
Ejemplo 2
UNAD
106
( )
−−−=++− 1x2x1x1xx3x 223
. el segundo factor lo resolvemos por la
cuadrática:
( ) ( ) ( )( )( )
211
21x
2222
282
2442
1211422
x2
±=±
=
±=±=+±=−−−±−−
=
Entonces:
21xy21x 21 −=+=
las soluciones: 21,21,1 −+ , tres soluciones reales diferentes.
Hallar las raíces del polinomio: ( ) 14x9x6xxp 23 +−−=
Solución:
014511451
114961
−−−−
−−
( ) ( )( )( )2x7x1x14x5x1x14x9x6x 223 +−−=
−−−=+−−
tenemos los productos lineales, luego la solución es; 2,7,1 − .
Resolver: ( ) 40x6x3x2xp 23 ++−=
Ejemplo 3
Como el último residuo es cero, entonces r = 1,
es solución, entonces:
Ejemplo 4
UNAD
108
Para fortalecer esta teoría un prestigioso matemático de tan solo 20 años, francés
«Evariste Galois», dedujo bajo qué condiciones una ecuación es soluble por radicales.
Evariste Galois, desarrolló la teoría de grupos para analizar métodos generales
de soluciónde ecuaciones, buscando únicamente en las operaciones fundamentales
y extracción de raíces, llegando a la demostración de que no hay un método general
para resolver ecuaciones de grado quinto o mayor.
Con estos precedentes es pertinente estudiar algunas particularidades de las
ecuaciones polinómicas.
Regla de signos de Descartes
El matemático francés René Descartes, padre de la Geometría Analítica, en
1636 propone una técnica para identificar el número de soluciones reales positivas
y negativas para un polinomio de n grado; con +∈Rn .
El teorema cuya prueba está fuera del alcance de este curso dice:
Sea ( )xp un polinomio con coeficientes reales cuyo término independiente es
diferentes de cero. El número de soluciones reales positivas de ( ) 0xp = es igual
al número de variaciones de signos en ( )xp o es menor que el número de
variaciones en cantidad par. El número de soluciones reales negativas de la
ecuación ( ) 0xp = , es igual al número de variaciones de signo en ( )xp − o es
menor que el número de variaciones en cantidad par.
Determinar las posibles soluciones de ( ) 6x3xx2xp 45 −+−=
Solución: como es un polinomio de grado 5, debe tener 5 soluciones, entonces:
u
Ejemplo 1
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
109
Soluciones reales ( ) 6x3xx2 45 −+−⇒+ . Hay tres variaciones de signo
Soluciones reales ( ) ( ) 6x3xx26x3xx2 4545 −−−−=−−+
−−
−⇒− . No
hay cambio de signos
El polinomio puede tener: 1 ó 3 soluciones reales positivas, No tiene soluciones
reales negativas; además tendrá 2 ó 4 soluciones imaginarias.
Dado el polinomio P ( ) 9xx6x5x 34 −+−= . Identificar las posibles soluciones.
Solución: por ser un polinomio de grado 4, debe tener 4 soluciones.
Soluciones reales ( ) 9xx6x5 34 −+−⇒+ tres variaciones de signo
Soluciones reales ( ) ( ) ( ) ( ) 9xx6x59xx6x5 3434 −−+=−−+−−−⇒−
una variación según la anterior el polinomio puede tener:
. 1 solución real positiva, 1 solución real negativa y dos imaginarias
. 3 soluciones reales positivas y 1 solución real negativa
Identificar los ceros del polinomio ( ) 1x2x5x2x7xQ 235 −+−−=
Solución:
ceros reales ( ) 1x2x5x2x7: 235 −+−−+ , tres variaciones de signo
1 2 3
Ejemplo 2
1 2 3
1
Ejemplo 3
1 2 3
UNAD
110
ceros reales ( ) 1x2x5x2x7: 235 −−−+−− dos variaciones de signo
El polinomio puede tener:
. 1 solución +R , 2 solución −R , 2 soluciones imaginarias
. 3 soluciones +R y 2 soluciones −R
. 1 solución +R y 4 soluciones imaginarias
Hallar las raíces de: ( ) xx3x2x4xM 246 −−−=
Solución: como el término independiente es cero No podemos aplicar la regla de
Descartes. Se puede hacer una factorización:
( )
−+−= 1x3x2x4xxM 35
. Así vemos que cero es una solución, las demás se
pueden obtener del polinomio restante.
Acotación de soluciones
El siguiente teorema permite identificar el intervalo en el que se encuentran las
soluciones reales; si éstas existen.
Sea ( )xP un polinomio, tal que si ( )xP = 0 no tiene raíz real alguna mayor al
número real K, entonces K se le llama cota superior de las raíces reales.
Análogamente, si ( )xP = 0, no tiene raíz real menor que el número real k, entonces
a k se le llama cota inferior de las raíces reales.
1 2
Ejemplo 4
u
kalesReRaícesk ≤≤
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
111
Dado el polinomio: ( ) ( ) ( ) ( ) 01x21x21xxP =+−−= , hallar la ecuación de ( )xP .
Solución:
Cota inferior 2/1k −= , cualquier número menor a 2/1− es cota inferior de ( )xP
Cota inferior: 1K = , cualquier número mayor a 1 es cota superior de ( )xP .
Teorema de raíces racionales
Para determinar las soluciones de una ecuación polinómica con coeficientes
enteros, hay un teorema que simplifica la identificación de las raíces del polinomio.
Sea ( ) 0aconaxaxa...xaxaxP n012
21n
1nn
n ≠+++++= −− .
Polinomio con coeficientes enteros . Si p/q es una real irreducible tal
que p/q es una raíz de ( ) 0xP = ; es decir, 0qp
P =
, entonces P es factor
de 0a y q es factor de na .
El teorema permite obtener los ceros del polinomio ( )xP en forma directa, dando
una lista limitada de soluciones racionales posibles.
Veamos: si tenemos el polinomio ( )xP y suponemos que p/q es una raíz del
polinomio, entonces: ( )q/px − es un factor de ( )xP ; además:
( ) ( ) ( )xQq/pxxP ⋅−=
Donde ( )xQ es un polinomio de grado uno menor que ( )xP . La soluciones
adicionales para ( )xP , se obtienen resolviendo ( )xQ .
Ejemplo 1
u
UNAD
112
Determinar los ceros de ( ) 4x6x2x3x2xP 234 −−+−=
Solución: identificar los p y q
2,2,1,1q
4,4,2,2,1,1p
−−=
−−−=
Las soluciones racionales: 21
,21
,4,4,2,2,1,1qp
−−−−=
Se aplica división sintética para todos y así se identifican las soluciones por Reglade Descartes; tenemos las siguientes posibilidades:
. Una solución real negativa y tres soluciones reales positivas
. Una solución real negativa, una solución real positiva y dos imaginarias
Al probar todas las soluciones p/q, se identifica a 2 como solución.
Solución:
024124824
246232 −−−
Ahora identificamos las soluciones para 2x4xx2 23 +++
2,2,1,1q2,2,1,1p
−−=−−=
Al probar con las posibles soluciones, vemos que 2/1− es solución:
Ejemplo 1
Según esta división sintética:
( ) ( )
+++−= 2x4xx22xxP 23
2/1,2/1,2qp
−=
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
113
0402201
2/12412−−
−
Falta identificar las soluciones en el último polinomio: 4x2 2 + , luego:
2x2x4x204x2 222 −=⇒−=⇒−=⇒=+ , entonces:
i2xyi2x 21 −== .
Las cuatro soluciones: i2,i2,2/1,2 −− , corresponden a la segunda
posibilidad de la regla de Descartes aplicada al polinomio propuesto.
Nota: se recomienda a los estudiantes hacer las divisiones sintéticas para las
posibles raíces racionales del primer polinomio y del segundo polinomio, así
comprobar que las soluciones identificadas son correctas.
Multiplicidad de una función
Es un aparte anterior hablamos de multiplicidad, a qué vamos a formalizar esteconcepto.
Sea ( )xp un polinomio de grado n; además, sea ( )mrx − un factor del
polinomio ( )xp , entonces r es llamado cero de ( )xp , con multiplicidad m.
Para ( ) ( )( ) ( )32 1x3x2x4xp −−+= . Identificar los casos y su multiplicidad.
Solución: los casos son 1,3,2 − , su multiplicidad es:
para 2, multiplicidad 1
para -3 multiplicidad 2
para 1 multiplicidad 3
Según la división presentada; el
polinomio se puede escribir así:
( )
+−=+++ 4x22/1x2x4xx2 223
u
Ejemplo 1
UNAD
114
EJERCICIOS: ECUACIONES POLINÓMICAS
Para las ecuaciones dadas a continuación, identifique cuántas raíces tiene y el
tipo de raíz. (Utilice la regla de Descartes).
01x
010x3x5x3x8
09xx3x
01x2xx
03xx4x2
6
2468
23
23
246
=−
=++++
=−−+
=++−
=−+−
En los siguientes ejercicios hallar las soluciones de los polinomios propuestos:
02xx3xx
02xx
02xx2x
04x12xx3
234
24
23
23
=+−−+
=−+
=−−+
=+++
10. La ecuación 03x16x8x 23 =−++ , tiene tres ceros; uno de ellos es 3. Hallar
la suma de los otros ceros: Rta: 5
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Rta: 3 relaes positivos y 3 reales negativos
Rta: 2 reales positivos y 1 real negativo
Rta: 1 real positivo y 2 reales negativos
Rta: 8 imaginarios
Rta: 1 real positivo, 1 real negativo y 4
imaginarios
1,1,1,2:Rta
i2,i2,1,1:Rta
21,1:Rta
i2yi2y3/1:Rta
−−
−+−
−−
−+−
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
115
CUACIONES RACIONALES
Las ecuaciones racionales son de la forma: ( )( ) 0xQxP
= . donde ( ) ( )xQyxP son
polinomios y ( ) 0xQ ≠ .
Se pueden presentar dos casos en este tipo de ecuaciones:
. El grado de ( )≤xP al grado de ( )xQ
. El grado de ( ) >xP la grado de ( )xQ
Resolver ecuaciones de este tipo, sigue los mismo principios matemáticos utilizados
en la resolución de igualdades.
El procedimiento de despejar la incógnita, consiste en aplicar el principio de
funciones equivalentes; veamos un ejemplo:
21
2x4x2
=+−
Solución: por el principio de ecuaciones equivalentes:
( ) ( )
3/10x10x3
82xx42x8x41x2x2x4x2
=⇒=
++=−⇒+=−⇒+=−
E
Ejemplo 1
UNAD
116
Resolver la ecuación:
24x3
58x6 −=+
Solución: por fracciones equivalentes:
( ) ( ) 20x1516x125x4x32x8x6 −=+⇒−=+
reorganizando términos: 1620x15x12 −−=−
336x36x3
−−=⇒−=−
Entonces: 12x =
De las ecuaciones racionales, es importante las llamadas fracciones parciales,
tema que analizaremos en seguida.
RACCIONES PARCIALES
Toda fracción racionales de la forma ( ) ( )( )xhxg
xf = ; donde ( )xg y ( )xh son
polinomios y ( ) 0xh ≠ , se pueden expresaar como suma o resta de fracciones
racionales más simples. Para que se pueda hacer este procedimiento, el grado
de ( )xg debe ser menor al grado de ( )xh ; además, ( )xh se puede descomponer
en factores primos. Por teoría algebraica cualquier polinomio con coeficientes
reales se puede escribir como producto de factores lineales y/o cuadráticos.
Se presentan diversos casos, que analizaremos a continuación:
F
Ejemplo 2
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
117
u h(x) es producto de factores lineales diferentes
Podemos hacer una generalización de caso así:
( )( ) n21 nx
N...
bxB
axA
xhxg
λ+++
λ++
λ+=
Donde A, B,...,N, son constantes
Veamos algunos ejemplos:
Dada la fracción: 6x5x
5x42 +−
−. Expresado como fracciones parciales.
Solución: debemos linealizar el denominador; es decir; expresarlos como producto
de factores lineales, entonces: ( )( )2x3x5x4
6x5x
5x42 −−
−=
+−
−
Ahora expresamos dicha fracción como suma de fracciones simples, lo cual se
hace de la siguiente manera:
( )( ) 2xB
3xA
2x3x5x4
−+
−=
−−−
El trabajo consiste en hallar el valor de A y B, lo que se hace trabajando la
segunda parte de la ecuación y al final compararla con la primera parte de la
misma. Veamos:
( ) ( )( )( ) ( )( )2x3x
B3BxA2Ax2x3x
3xB2xA2x
B3x
A−−
−+−=
−−−+−
=−
+−
Ejemplo 1
UNAD
118
Ahora igualamos la primera y última fracción:
( )( ) ( )( )2x3xB3BxA2Ax
2x3x5x4
−−−+−
=−−
− organizando la segunda fracción, tenemos:
( )( )( )
( )( )2x3xB3A2BAx
2x3x5x4
−−−−+
=−−
−
como los denominadores son iguales, igualamos los
numeradores ( ) B3A2BAx5x4 −−+=− tomando términos por separado.
. Para BA4:x +=
. Para indeterminantes: A3A25 −−=−
tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas. Resolvémoslas por reducción:
5B3A24BA
−=−−=+
Luego: 3B −=
para hallar A, reemplacemos en la cuación: 4BA =+ ; entonces:
( ) 7A34A43A43A =⇒+=⇒=−⇒=−+ , con los valores de A y B,
los reemplazamos en la primera ecuación, luego:
( )( ) ( ) ( )2x3
3x7
2x3x5x4
−−
−=
−−−
Escribir como fracciones parciales la siguiente expresión:
( )4x9x2
5xf
2 +−=
3B5B3A28B2A2
=−−=−−+=++
Ejemplo 2
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
119
Solución: expresamos el polinomio del denominador como productos lineales,luego:
( )( )4x1x25
4x9x2
52 −−
=+−
, ¡por favor compruebe la factorización
del denominador!
Ahora escribimos la fracción como suma de dos facciones simples:
( )( ) ( ) 4xB
1x2A
4x1x25
−+
−=
−−
operamos la segunda parte de la ecuación:
( )( ) ( )( )( )4x1x2
1x2B4xA4x
B1x2
A−−
−+−=
−+
−
operando el numerador y reorganizando:
( )( )( )
( )( )4x1x2BA4B2Ax
4x1x2BBx2A4xA
−−−−+
=−−
−+−
Igualamos la primera y última fracción:
( )( )( )
( )( )4x1x2BA4B2Ax
4x1x25
−−−−+
=−−
En la ecuación, el denominador es igual; luego debemos igualar numeradores;
entonces:
( ) BA4B2Ax5 −−+=
. Para B2A0:x += (No hay valor para x en la primera parte de la igualdad)
. Para independientes: BA45 −−=
Tenemos dos ecuaciones con los incógnitas:
5BA40BA=−−
=+Despejamos B, entonces:
UNAD
120
por reducción: 35B =
5B35BA40B4A4
==−−=+
para hallar luego,BA0BA:A −=⇒=+
( )353/5A −=−=
Finalmente, reemplazamos ecuación de suma de fracciones parciales:
( )( ) ( ) ( )4x35
1x235
4x1x25
−+
−−=
−−
h(x) es producto de factores lineales, repetición de algunos
Cuando ( )xh tiene factores lineales que se repite k veces, se presenta una
descomposición de la siguiente manera:
( )( ) ( ) ( ) ( )kn
221 nx
N...
bx
Aax
Axhxg
λ+++
λ++
λ+=
Descomponer en fracciones parciales: ( )21xx
1x2
+
−
Solución: el procedimiento es similar que en el caso anterior, solo que, el factor
que se repite, se debe repetir tantas veces como lo indique k; por este caso, 2
veces.
( ) ( )22 1x
C1x
BxA
1xx
1x2
++
++=
+
−
u
Ejemplo 1
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
121
operando:
( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )
( )22
2
22
2
22
2
2
1xx
ACBA2xBAx
1xx
CxBxBxAAx2Ax
1xx
CxBxx1x2xA
1xx
CxB1xx1xA
+
+++++=+
+++++
=+
+
+
++
=+
++++
Igualamos la última fracción con la primera.
( )( ) ( )
( )22
2 1xx
ACBA2xBAx
1xx
1x
+
+++++=
+
−
como los denominadores son iguales, igualamos los numeradores.
( ) ( ) ACBA2xBAx1x2 2 +++++=−
Analizamos término a término:
. Para: BA0:x2 += . En el primer término no hya valor para 2x
. Para: CBA22:x ++=
. Para independientes: A1 =−
Resolviendo:
A1 =−
Para hallar ( ) 11B1B0BA:B =−−=⇒−=⇒=+
1B =
Para hallar C; en la ecuación ( ) 2C1122CBA2 =++−⇒=++
3C3122C =⇒=−+=
UNAD
122
Reemplazando a la fracción propuesta:
( ) ( )22 1x
31x
1x1
1xx
1x2
++
++
−=
+
−
h(x) tiene factores cuadráticos irreducibles
Cuando h(x) presenta factores cuadráticos irreducibles, se debe expresar la fracción
parcial como cociente de un numerador lineal y un denominador cuadrático:
( )( ) cbxax
BAxxhxg
2 ++
+=
Expresar como suma de fracciones parciales:
+
−
2xx
5x2
Solución: la fracción se puede escribir.
2x
CBxxA
2xx
5x22 +
++=
+
−
Operando como se ha venido haciendo:
( )( )
( )
+
+++=
+
+++
=
+
++
+=
+
++
2xx
A2CxBAx
2xx
CxBxA2Ax
2xx
CBxx2xA
2x
CBxxA
2
2
2
22
2
2
2
u
Ejemplo 1
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
123
Igualando la primera y última fracción:
( )
+
+++=
+
−
2xx
A2CxBAx
2xx
5x2
2
2
como el denominador es equivalente, igualamos numerador y procedemos:
. Para BA0:x2 += no hay término de 2x en le primer término
. Para C1:x =
. Para independiente: A25 =−
Hallemos los valores de A, B y C.
Tenemos que 1C = de la ecuación para x. De la ecuación de los términos
independientes 2/5AA25 −=⇒=− . Finalmente
( ) 2/52/5BAB =−−=⇒−=
2x
1x25
x25
2xx
5x22 +
++−=
+
−
+
++
−=
+
+
+−=
+
−
2x2
2x5x25
2x2
2x5
x25
2xx
5x222
Así queda expresada la fracción inicial, como suma de fracciones parciales.
x25
2x2
2x5
2xx
5x22
−
+
+=
+
−
UNAD
124
EJERCICIOS:
Dada las siguientes expresiones, escribirlas como suma o resta de fracciones
parciales.
( )( )
( )( )
1xxx
1x3
xx
2x5x2
xx
1x
8x2x
14x
4x1x5
2x1x1
23
3
3
2
23
2
2
−+−
+
+
+−
+
+
−−
+
+−
+−
1.
2.
3.
4.
5.
6.
( ) ( )
31x
2
1x
2x:Rta
1x
5x2
:Rta
x
1x1
1x3:Rta
2x2
4x3
:Rta
4x1
1x1
:Rta
2x31
1x31
:Rta
2
2
2
+−
++
−
+−
+−+
+−
−
+−
−
+−
−
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
125
Las inecuaciones son expresiones donde dos términos se comparan por medio
de símbolos particulares, por esto las inecuaciones se le llama también
desigualdades.
Para este tema, se va a estudiar inicialmente los intervalos; ya que la solución
de una desigualdad se da por un intervalo. También analizaremos las
propiedades que gobiernan las desigualdades, demostrando algunas de ellas.
Al igual que se hizo en las ecuaciones, vamos a estudiar las clases de
inecuaciones tales como: lineales con una y dos variables,cuadráticas con una
variables y mixtas; que pueden ser lineal y cuadrática con una incógnita.
Las desigualdades son la base para abordar temáticas más avanzadas como la
programación lineal y la investigación de operaciones en general, área de las
matemáticas muy importante para la optimización en problemas de ingeniería,
administración, economía y otras.
Para desarrollar la temática de inecuaciones, es importante tener en cuenta el
concepto de comparación entre dos expresiones algebraicas. Dichos signos son
≤≥<> ,,, . Que indica mayor, menor, mayor o igual y menor o igualrespectivamente. A las dos primeras se les llama desigualdades estrictas.
Un trabajo juicioso y sistemático para el desarrollo de desigualdades permitiráadquirir conocimientos sólidos que conllevan a resolver problemas del mundoreal en donde se necesitan las desigualdades.
INECUACIONES
Introducción
UNAD
126
Objetivo general
. Que los estudiantes identifiquen claramente las inecuaciones, sus propiedades,
principios, clasificación y las formas de resolverlas; además, plantear
situaciones descriptivas con desigualdades.
Objetivos específicos
. Conocer los principios sobre intervalos y desigualdades.
. Reconocer una inecuación lineal, sus carcterísticas y la forma de resolución.
. Identificar inecuaciones cuadráticas y la forma de resolverlas.
. Plantear y resolver problemas que involucren inecuaciones
ESIGUALDAD
Una desigualdad es una expresión de la forma , donde ( )xP es un
polinomio; al igual que ( )xQ , pero también uno de ellos puede ser un término
independiente. la expresión indica que ( )xP es menor que ( )xQ . Otras
formas de expresar desigualdades:
( ) ( )xQxP > : indica que ( )xP es mayor que ( )xQ
( ) ( )xQxP ≤ : indica que ( )xP es menor o igual que ( )xQ
( ) ( )xQxP ≥ : indica que ( )xP es mayor o igual que ( )xQ
Por ejemplo si decimos: 2a > , está indicando que cualquier valor mayor que
dos satisface la expresión dada. Cuando decimos , nos indica que cual-
quier valor menor que cinco satisface la expresión, pero además cinco también lo
satisface.
D
( ) ( )xQxP <
5a ≤
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
127
Propiedades de las desigualdades
Sean a, b y c números reales, entonces:
1. cbcaentonces,baSi +<+<
Demostración:
Como ba < , por deinifición ab − es positivo, como ( ) ( ) abcacb −=+−+ ,
entonces ( ) ( )cacb +−+ es positivo, así: cbca +<+ .
2. cbcaentonces,baSi −<−<
Demostración:
Para el mismo argumento de la propiedad uno, tenemos: ( ) ( )cbca −+<−+ ,
así: cbca −<−
3. cbcaentonces,0cybaSi ⋅<⋅><
Demostración:
Como ba < , entonces ab − es positivo; como c es positivo, el producto ( ) c.ab −
espositivo, luego cacb ⋅−⋅ es positivo, por lo tanto cbca ⋅<⋅ .
4. cbcaentonces,0cybaSi ⋅>⋅<<
Demostración:
Hacer la demostración individual, en grupo colaborativo, como último recurso
con el tutor.
5. Tricotomía: sea a y b números reales, una de las siguientes expresiones
se cumple: baobaoba >=< ¿qué pasa cuando b = 0? ¡Analícelo!
u
UNAD
130
(
//////
u
(
Sea [ ) ( ] RShallar,10,0Ry2,4S ∪=−=
Solución:
[ ]10,4RS −=∪ , gráficamente
Dado ( ) ( ) qphallar,10,2qy20,8p ∪=−=
Solución: vemos que los extremos de la unión son ( )20,8− , gráficamente
La solución nos hace ver que pq ⊂ (q contenido en p).
Intrersección
Se busca identificar los elementos comunes en los intervalos que participan en laoperación.
( ) ( )30,10By18,2A == . la intersección será el conjunto de [ ]18,10
La solución es donde se cruzan las líneas.
Ejemplo 1
-4 0 2 10)[ ]
Ejemplo 2
(-8 0 2 10 20
)( )
(0 2 10 18 30
) )
////// ////// ////// / //////
////// ////// ////// ////// /xxxxxx
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
131
Las demás oepraciones son similares a como se hace en los conjuntos. Para el fin
de las desigualdades, las operaciones más importantes son la unión y la
intersección.
sea [ ) ( ]10,1vy5,4u =−= . Hallar la unión, intersección,
diferencia uvyvu −− y la diferencia simétrica.
Solución:
.
( )
( )
[ ]
[ ]
[ ] [ ]01,51,4vu
01,5uv
1,4vu
5,1vu
10,4vu
∪−=∆
=−
−=−
=∩
−=∪
NECUACIONES LINEALES
Las inecuaciones lineales que vamos a analizar en este aparte son de dos tipos:
una inecuación con una incógnita y dos inecuaciones con dos incógnitas.
Inecuaciones lineales con una incógnita
Son inecuaciones de la forma cbax <+ , puede ser con cualquiera de los signos
de comparación. Para resolver inecuaciones de éste tipo se busca despejar la
I
[
[ ]
(-4 0 1 5 10
)[ ]
(-4 0 1 5 10
)[ ]
(-4 0 1 5 10
)[ ]
(-4 0 1 5 10
)xxxxxx
](-4 0 1 5 10
)xxxxxx
u
////// //////
////// //////
////////////
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
133
Como la expresión es verdadera independiente del valor de x, nos indica que
cualquier valor es solución de la desigualdad.
Probemos; tenemos 3 valores para x.
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) 121913335323x
31010305020x
5416210412325222x
≥⇒+≥++⇒=
≥⇒+≥++⇒=
−≥⇒+−≥−+−⇒+−≥−+−⇒−=
como es obvio los extremos son abiertos ya que infinito es una símbolo más no
una cantidad.
Resolver: 12
x345 <
−≤−
Solución: como debemos despejar x y por ser una desigualdad compuesta,
aplicamos las propiedades para tal fin.
( )21
22x34
25 ⋅<⋅−
≤⋅− , multiplicamos todo por 2 para que la expresión
quede entera.
2x3410 <−≤− , ahora restamos 4− a todo
2x31442x344410 −<−≤−⇒−<−−≤−−
Nos falta solo eliminar el 3− que acompaña a la x, luego dividimos todo por
3− , ojo el signo de la desigualdad cambia, recordemos la propiedad 7.
( α− 0 α+
)
Ejemplo 3
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
143
EJERCICIOS: INECUACIONES LINEALES Y RACIONALES
1. Dada la desigualdad 42 −>− cuál será la desigualdad obtenida si:
a. Se suma 4− Rta: 86 −>−
b. Se resta 10 Rta: 148 −>−
c. Se multiplica por 3− Rta: 5218 <
2. Expresar las siguientes desigualdades como intervalo y hacer la gráfica.
a. 4x < Rta: ( )4,α−
b. 3x −≥ Rta: [ )α− ,3
c. 2x5 ≤<− Rta: ( ]2,5−
d. 8x0 ≤≤ Rta: [ ]8,0
3. Expresar los siguientes intervalos como desigualdad.
a. ( )4,3− Rta. 4x3 ≤<−
b. ( ) [ ]56, −−α− Rta: desarrollar con el tutor
c. [ ] ( )04,2 −− Rta. desarrollar con el tutor
4. Resolver los siguientes desigualdades lineales.
a. 75x2 ≥+ Rta: ( ]1,;1x α−≤
b. 6x2
3x +≥ Rta: [ )α≥ ,12;12x
c. 75
3x23 <−≤ Rta: [ )19,9;19x9 <≤
UNAD
144
d. x214x
319 −≥+ Rta: [ )α− ,6
5. Resolver las siguientes desigualdades racionales.
a. 02x3
4 ≥+ Rta: 3/2x −>
b. 0x11x
<−+
Rta: ( ) ( )α∪−α− ,11,
c.( )( )
0x
1x1x<
+−Rta: ( ) ( )1,01, ∪−α−
d. 25x22x3 −≥
+−
Rta: ( ) [ )α−∪−α− ,7/82/5,
e. 3R7
R7 >+ Rta: 4/21R >
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
151
EJERCICIOS: INECUACIONES MIXTAS
1. ( )( )( ) 0x41x2x <−−+ Rta: ( ) ( )α− ,41,2 U
2. 12x2x2 2 <− Rta: ( )3,2−
3. ( ) 8x4x21
+>− Rta: ( )20,−α−
4. 0x3x2x 23 ≥−− Rta: [ ] [ ]α+∪− ,30,1
5. 23 xx > Rta: α<< x1
Hallar el conjunto solución de las inecuaciones racionales polinómicas
propuestas a continuación:
6. 12x4x
≤−+
Rta: 2x <<α−
7.1x1x
1x5x2
−+
>++
Rta: ( ) ( ) ( )α∪−∪−α− ,21,13,
8. 0x2x
xx2
2≤
+
−Rta: ( ) ( ]1,00,2 ∪−
9. 010x3x
2x2
>−−
−Rta: ( ) ( )α∪− ,52,2
10.( ) ( )( )
010x3x
5x4x3x2
22>
−−
+−+Rta: ( ) ( ] [ ) ( )α∪∪−∪−α− ,44,33,55,
UNAD
152
Para resolver problemas con inecuaciones, aparece una inquietud nueva y es
el planteamiento de la desigualdad, lo cual se hace por medio de una lectura
y análisis cuidadoso del problema, se debe comprender términos como: a lo
más, mínimo, máximo, que son quienes darán las condiciones para plantear
la inecuación.
Por favor lea el problema las veces que sea necesarias hasta que sea bien
comprendido, ya que así es posible plantear la inecuación.
Esperando que los ejemplos modelos seleccionados sean suficientes para
enfrentarse a cualquier situación.
La función utilidad al valor x unidades está dado por:
120x7xP 2 −+= , ¿cuál será el mínimo de unidades para que no haya pérdida,
tampoco ganancia?
Solución: para que no haya pérdida, ni ganancia, 0P = . Entonces.
( ) ( ) 015x8x120x7x0 2 =−+⇒−+=
por la ley de producto nulo:
15x015xy8x08x =⇒=−−=⇒=+
En número de unidades que se debe producir para que no haya pérdida ni
ganancia es de 15.
ROBLEMAS CON INECUACIONES DE UNA
VARIABLE
Ejemplo 1
P
UNAD
154
En una clase de matemáticas un estudiante obtuvo las notas en sus primeras
cuatro evaluaciones de 60, 80, 78, 82, faltando el examen. Para obtener una
calificación de aprobatoria el promedio de las 5 notas debe ser mayor o igual a
80 y menor que 95, ¿cuál debe ser la nota mínima que necesita el estudiante
para aprobar el curso?
Solución: según las condiciones del problema, el promedio de las notas es:
5x84788568 ++++
, este promedio debe estar entre 80 y 90 para aprobar, luego:
160x85
:luego,315475x300300315400
475x315400
955
x8278806080
<≤
−<+−≤−
<+≤
<++++
≤
para aprobar el curso, el estudiante debe obtener mínimo 85 de calificación en el
examen.
En la fabricación de un equipo para calentamiento, la renta obtenida por venta de
x unidades es de 450x. El costo de producción para x equipos es 200x + 750,
¿cuántos equipos mínimo se deben fabricar para obtener utilidad?
Solución: la utilidad se mide así: ingresos- egresos, luego.
( ) ( ) 0750x200x450 >+−
Ejemplo 3
Ejemplo 4
UNAD
156
Lea cuidadosamente cada problema y resuélvalos con todos los pasos necesarios.
1. El costo de producir x unidades está dada por la expresión:
x6xc 2 += , la utilidad por concepto de ventas está dada por xx2u 2 += ,
¿cuántas unidades se deben vender para obtener la utilidad?
Rta: 5x >
2. Un objeto lanzado verticalmente hacia arriba, cuya función altura está dada
por t147t8.9h 2 +−= , donde h en metros y t en segundos. ¿En qué intervalo
de tiempo el objeto estará por encima de 529,2m?
Rta: 9t6 <<
3. Según la ley de Boyle, para un gas específico a temperatura constante; se
tiene la relción 200V.P = . Donde P es presión en p si y V volumen en 3lgp¿En qué intervalo se desplaza la presión; si el volumen se encuentra entre
25 y 50 plg?
Rta: 8p4 ≤≤
4. El cuerpo humano tiene una temperatura normal de 37°C; si unatemperatura x difiere a lo normal en menos en 2°, se considera anormal,¿cuál será el intervalo de temperatura para que considere anormal?
Rta: C37xyC35x
°=°≤
5. La función ingreso por venta de un producto está dado por la
ecuación2x
51
x40 − . El costo de producir una unidad del artículo es de
$28, ¿cuántos relojes se deben vender para que la utilidad sea de $100?
Rta: 50x10 <<
EJERCICIOS: PROBLEMAS CON INECUACIONES DE UNA VARIABLE
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
157
NECUACIONES CON DOS VARIABLESI
Las inecuaciones con dos variables son aquellas de tipo:
Rksiendo,kbyax,lbxax 2 ∈>−<+ .
Inicialmente analizaremos la técnica de resolución de este tipo de inecuaciones
y posteriormente algunas aplicaciones.
Resolver una inecuación con las variables es hallar, un conjunto de puntos
en el plano, que llamaremos R que satisfagan la desigualdad.
Vamos a describir una metodología general para resolver desigualdades con
dos variables:
1. Dada la desigualdad, graficar la ecuación que aparece al cambiar de >< ó
a =. Si la desigualdad es >< ó ,usar líneas interrumpidas;pero si la
desigualdad es ≥≤ ó , usar líneas continuas.
2. La gráfica divide el plano en 2 semiplanos, se prueba un punto ( )y,x de cada
semiplano, para determinar cuál de ellos la desigualdad es verdadera.
3. El punto que haga verdadera la desigualdad incluye el semiplano que lo
contiene, luego dicho semiplano será la solución, generalmente se subraya
o sombrea.
Resolver la desigualdad 2y >
Solución: primero hacemos y = 2 y graficamos
Ejemplo 1
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
165
EJERCICIOS: SISTEMA DE INECUACIONES
Para los siguientes problemas, leerlos cuidadosamente y resolverlos. Las
respuestas dadas son matemáticas; las gráfics no, por lo cual se deben compartir
con sus compañeros y su tutor.
1. x2y4y3yx3 <−<+ Rta: hacer la gráfica
2. 10y5x2y0xy <+<− Rta: hacer la gráfica
3. 22y2x3y19y3xy2yy1x ≤+≤+≥≥ Rta: hacer la gráfica
4. Un negociante de fina raíz vende casas y apartamentos, por la demanda se
debe tener al menos tres veces más casas que apartamentos. Se debe tener
disponible al menos 6 casas y 2 apartamentos para su ocupación. Las casas
cuestan 30 millones y los apartamentos 20 millones. El comerciante desea
mantener sus costos de inventario en 600 millones o menos. Elaborar el
sistema de desigualdades y hacer la gráfica.
Rta: 600A20c30
10A2c;2A;6c≤+
≥−≥≥
5. Una refinería de petróleo puede producir hasta 5.00 barriles por día, el petróleo es de
dos tipos A y B del tipo A se deben producir por día al menos 1.000 y a lo más 3.500
barriles, si hay una utilidad de 7 dólares por barril para A y 3 dólares por barril para
B. ¿Cuál será la utilidad máxima por día?
Rta: 3.500 tipo A y 1.500 tipo B
6. La empresa Sport fabrica dos tipos de balones para fútbol, el modelo pieduro
de una utilidad de 20 mil pesos y el modelo pie blando una utilidad de 13
mil pesos, para satisfacer la demanda la empresa debe producir diriamente
del modelo pieduro entre 20 y 100 inclusive, mientras que del modelo
pieblando entre 10 y 70, inclusive, por las condiciones de la fábrica el total de
producción diaria debe ser máximo de 150. ¿Cuántos balones se deben fabricar
en un día para obtener la máxima utilidad?
Rta: 100 balones pieduro y 50 balones pie blando
UNAD
166
CUACIONES E INECUACIÓN CON VALOR ABSOLUTO
El valor absoluto es una figura matemática que se creó con el fin de relacionar
un valor con una distancia. En los casos de matemática básica se estudia el
concepto de valor absoluto de un número. Vamos a estudiarlo con algo de detalle.
Valor absoluto: la definición del valor absoluto de un número x,
esquematizado así: x , es como sigue:
<−=>
=0xsix
0xsi00xsix
x
Esta definición quiere decir que el valor absoluto de una cantidad positiva, es
positivo. El valor absoluto de una cantidad negativa, es negativo, y el valor
absoluto de cero es cero.
Como vemos el valor absoluto está relacionado con una medida de distancia,
ya que el valor absoluto de cualquier cantidad siempre será positivo.
Hallar el valor absoluto de π− ,5,10
Solución:
( )
positivovalorunesqueya;
55ndosimplifica;negativoes5porque,55
positivoes10porque,1010
ππ=π
=−−−−=−
=
E
Ejemplo 1
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
167
E
Determinar el valor absoluto de: π−− 2,5e . e = número de Euler cuyo valor es2,71828... y =π 3,141592
Solución:
( ) ( )
( ) ( ) negativoes2queya,222
negativoes5eporque;e55e5e
π−−π=π−−=π−
−−=−−=−
Con este concepto de valor absoluto, podemos abordar los temas siguientes:
CUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
Ya sabemos resolver ecuaciones; además, se hizo un análisis de valor absoluto:
Ahora vamos a combinar los dos conceptos.
De la misma definición de valor absoluto, podemos definir una técnica para resolver
ecuaciones con valor absoluto.
Sea 0xtodopara,ax,v,ax:entonces,ax ≠−=== , como vamos a resolver
este tipo de ecuaciones se resuelve aplicando la definición.
Hallar la solución para la ecuación:
83x =−
Solución: aplicando la definición expuesta anteriormente:
Ejemplo 2
Ejemplo 1
UNAD
168
11y5:essoluciónLa
538x83x
1138x83x
oresolviend,83x,v,83x
−
−=+−=⇒−=−
=+=⇒=−
−=−=−
podemos comprobarlo:
( )
88311
88835
==−
=−−=−=−−
Resolver: 124
8x2=
−
Solución: aplicamos las dos posibilidades
124
8x2,v,12
48x2
−=−
=−
Resolviendo:
20x40848x2488x2124
8x2
28x56848x2488x2124
8x2
−=⇒−=+−=⇒−=−⇒−=−
=⇒=+=⇒=−⇒=−
La solución es 28y28− , por favor comprobar las soluciones.
Ejemplo 2
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
169
En los ejemplos propuestos, observamos que se obtienenn dos soluciones, una
positiva y una negativa. por consiguiente para ecuaciones de primer grado
con valor absoluto, la solución es doble.
Resolver: 218x8x2 =−−
Solución:
Ejemplo 3
( )( )
( ) ( ) ( )( )( )
244;244,10,2:estotalsoluciónla
244x
244x
2441
2442
288x
22648
21288
12161488
x
:cuadráticaecuaciónlapor
016x8x0218x8x218x8x)b
2x02xy10x010x
nuloproductodelleylapor,02x10x
:osFactorizam.020x8x0218x8x)a
:solvemosRe.218x8x)b,v,218x8x)a
2
1
2
222
22
22
−+−
−=
±=
±=±
=±
=
−±=
±=
−−−±−−=
=−−⇒=+−−⇒−=−−
−=⇒=+=⇒=−
=+−
=−−⇒=−−−
−=−−=−−
para ecuaciones de segundo grado con valor absoluto, se tienen 4 soluciones.
UNAD
170
Resolver la ecuación: x34x2 =−
Solución:
( ) ( )
( ) ( ) 1xy4x01x4x4x3x)b
1xy4x01x4x4x3x)a
:osFactorizam
04x3xx34x)b
04x3xx34x)a
2
2
22
22
=−=⇒=−+=−+
−==⇒=+−=−−
=−+⇒−=−
=−−⇒=−
Los valores negativos No satisfacen la igualdad, luego las únicas soluciones son 1
y 4.
Para terminar las ecuaciones con valor absoluto, es pertinente recordar algunas
propiedades:
1. yxyx ⋅=⋅
2. y
x
yx =
3.nn xx =
Estas propiedades nos puede servir en muchas situaciones.
Ejemplo 4
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
171
NECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
En la naturaleza existen muchos fenómenos que suceden bajo ciertos límites o
mejor en un intervalo determinado, las inecuaciones con valor absoluto, es el
dispositivo matemático que ayuda a resolver tales fenómenos. Por ejemplo la
temperatura corporal, la resitencia de un cable, otros.
Para resolver inecuaciones con valor absoluto, recurrimos a las siguientes
propiedades.
1. axa:entonces,ax <<−<
Esta propiedad no dice que cuando el valor absoluto de la variable es menor
que un valor fijo, éste se encuentra en el intervalo entre el negativo y positivo
del valor definido.
2. axóax:entonces,ax >−<>
Para este caso el valor absoluto de la variable es mayor que un valor
fijo, ésta puede ser menor que el negativo o mayor que el positivo del
valor fijado.
Las dos propiedades se definieron para desigualdades estrictas, pero se pueden
definir para las no estrictas; es decir: ≥≤ ó .
Si observamos detalladamente las gráficas al asociar las dos propiedadesobtenemos la recta real.
Resolver 8x <
- a 0 a
- a 0 a
Ejemplo 1
I
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
175
EJERCICIOS: ECUACIONES- INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
Resolver las siguientes ecuaciones con valor absoluto.
.
1qq
1x23x
252
3x
541
53x2
=−
−=+
=+
=−
=+
11.El peso de llenado de un recipiente que contiene granos debe cumplir p=
peso en gramos. Un tarro se pesa y marca 17 gr. Dicho tarro está en el rango
del peso.
Rta: No; el rango debe ser ( )05,1695,15 −
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
21
q:Rta
3/2x;4x:Rta
524x;
536x:Rta
2/3y;1y:Rta
1x;4x:Rta
−=
−==
=−=
=−=
=−=
( )
( ) ( )
−<<−
=
α∪−α−
<<−−
531,
529:Rta
1x4:Rta
2/7w:Rta
,216,:Rta
7x7:7,7:Rta
Hallar la solución de las siguientes desigualdades:
1013x
21
21x2x
07w2
33
7y
7z
<−
>+−
≤−
>+
<
UNAD
176
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
177
De los conceptos más importantes en matemáticas, diría que el más importante
es el de FUNCION. Se cree que el gran matemático alemán Leibinz la introdujo
al finales del siglo XVII. El concepto proviene de la palabra latina functio, que
quiere decir Acto de Realizar.
Todas las áreas de las matemáticas tienen que ver con funciones, he allí su
importancia.
El capítulo está estructurado de una manera secuencia, iniciando el estudio
del sistema de referencia más utilizado, las características de las relaciones y
la conceptualización de funciones. Se ha dado bastante importancia a los
principios sobre funciones, para poder posteriormente analizar las clases de
funciones.
Respecto a la clasificación se ha dado una forma macro de tal manera que cualquier
función caiga dentro de algunas de estas clases y por supuesto las aplicaciones, el
fin y propósito de las mismas.
Es importante desarrollar cada temática detenidamente y hacer los ejercicios
propuestos, lo que permitirá afianzar los conocimientos acerca de este tema
tan interesante y apasionante.
FUNCIONES
Introducción
UNAD
178
S
Objetivo general
. Que los estudiantes cumprendan los principios, leyes y propiedades de las
funciones, los campos donde se pueden aplicar y las particularidades que tiene
la amplia gama de funciones
Objetivos específicos
. Analizar y comprender claramente las relaciones, dominio y rango.
. Identificar las cuatro formas de definir una función, sus partes, sus
representaciones gráficas.
. Comprender las clasificaciones realizadas a las funciones, las características
de cada clase y sus aplicaciones.
. Comprender los principios de trigonometría.
ISTEMA DE COORDENADAS
Los matemáticos y científicos, han inquietado sus estudios a las
representaciones gráficas de los fenómenos naturales, por lo cual se han
diseñado diversas formas de representación, a lo cual se le ha llamado Sistema
de Coordenadas, entre las más conocidas; las coordenadas cartesianas, las
cilíndricas, las esféricas, las polares y otras.
Para el objeto de este curso, valos a estudiar las cartesianas.
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
183
u
diferentes fenómenos. En Biología, en crecimiento de organismos, en Economía,
para describir el costo o utilidad de un artículo, en Física para describir la distancia
como función del tiempo y muchos otros más.
Dentro del análisis de funciones hay dos conceptos que debemos estudiar; estos
son variables y constantes.
Variables
Se puede decir que es todo aquello que cambia a través del espacio o tiempo.
El mismo espacio y tiempo se consideran variables. La clave de este concepto
es cambio ya que cuando se presenta cambio, se dice que hay variación.
En el análisis de funciones se conocen dos tipos de variables: variable
independiente, se considera aquella que se define por sí solo, una de estas
variables por su naturaleza, es el tiempo; pero existen otras.
Variable dependiente: como su nombre lo indica es aquella que queda
definida a partir de otra; es decir, depende de otra para que sea establecida.
cuando se dice que el área de un círculo es función del radio, decimos que el área
depende del radio.
Constantes
Son términos que tienen valores fijos; es decir, no cambian en ninguna
circunstancia. Los valores numéricos son el ejemplo típico de constantes.
En la antigüedad se utilizaban las vocales para indicar variables y consonantes
para indicar constantes. En la actualidad la convención es que las primeras
letras del alfabeto se utilizan como constantes y las últimas letras del alfabeto
como variables.
Definición: una función f es una relación, donde a cada elemento del conjunto
de partida, le corresponde uno y solo un elemento del conjunto de llegada.
u
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
185
4. Analítica: también llamada matemática, es aquella donde por medio de una
expresión matemática, se describe el fenómeno. Para el ejemplo que nos ocupa.
G = 20 x
Esta fórmula describe la ganancia en función del número de artículos
vendidos.
Elementos de una función
1. Dominio: son los elementos del conjunto de partida; es decir, los elementos
de x, que corresponden a la variable independiente.
En el ejemplo de la ganancia, la variable independiente es del número de
artículos vendidos. Cuando se analiza la distancia recorrida en función del
tiempo; éste último es la variable independiente. Por convención universal,
los elementos del dominio se ubican en el eje x en el sistema de coordenadas
rectangulaes.
2. Imagen: son los elementos del conjunto de llegada; es decir, los elementos
de y, que corresponden a la variable dependiente. En el ejemplo de la
ganancia, es ésta la variable dependiente; ya que la ganancia depende del
número de artículos vendidos. También por convención, los elementos de
la imagen se ubican en el eje y del sistema de coordenadas cartesianas.
3. Regla o condición: se considera a la forma en que se relacionan los
elementos de x y y- Cada función tiene una regla que relaciona las dos
variables. Solo se debe tener presente que cada elemento de x solo le
corresponde un y.
u
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
187
En la gráfica A se observa que el Dominio puede ser todos los valores de x, ya sean
positivois o negativos, la Imagen son los valores de y mayores que cero.
En la gráfica B se observa que el Dominio pueden ser todos los valores de x y la
Imagen también pueden ser todos los valores de y.
A partir de la fórmula matemática:
Sea x1
y = vemos que x puede tomar valores diferentes de cero, ya que la división
no está definida cuando el denominador es cero.
Sea xy = , para este caso, x puede tomar valores positivos o cero, ya que las
raíces pares solo tienen solución real para valores positivos o cero.
En general, el dominio de una función está determinado por los valores que
puede tomar la variable, sin que se presenten ambigüedades en el momento de
hacer la operación matemática para hallar y.
Para hallar la imagen de la fórmula matemática, se despeja y y se determina
qué valores puede tomar y sin que se presenten ambigüedades.
Nota: con la práctica y muchos ejercicios se ganará mucha destreza para
determinar el dominioo e imagen de una función.
Notación moderna de función
El matemático francés Augustin Lovis Cauchy (1789-1857) dentro de los aportes
dados a las matemáticas, como la precisión de los conceptos de función, límites y
continuidad, propone una nomenclatura para definir esquemáticamente una
función, de la siguiente manera.
( )xfy = en esta representación x es la varible independiente y y es la
variable dependiente o función.
u
UNAD
188
L
F UNCIONES DE VALOR REAL
Con lo analizado hasta el momento ya estamos en capacidad de dar una
respuesta correcta a las siguientes afirmaciones.
Toda relación es función: V F
Toda función es relación: V F
Teniendo claro las afirmaciones anteriores, podemos entrar a analizar lo
siguiente: que valores de los conjuntos numéricos pueden tomar las
variables x y y.
Una función de valor real, nos indica que los elementos del dominio y del rango
son valores reales; es decir, los números reales, por esto en muchas ocasiones
las funciones de valor real se define así:
Sea RR:f →
Esto significa que la función ( )xf está definida de reales en reales; o sea, el
dominio y el rango están en el conjunto de los números reales.
Es pertinente aclarar los conceptos de rango e imagen. El rango es el conjunto
que conforma el codominio de la relación. La imagen son los elementos del
rango que interactúan con los elementos del dominio.
AS FUNCIONES SEGÚN EL TIPO DE RELACIÓN
Según el tipo de relación que se presente entre el dominio y rango de una
función, se conocen tres tipos.
UNAD
196
EJERCICIOS: FUNCIONES
Hallar el dominio e imagen de las siguientes funciones.
( )
( )
( )16x
1xh
6x21x5
xg
5x4x3xf
2
2
−=
−−
=
+−=
Dada la función ( ) ( ) ( ) ( )3f,1f;0fhallar,4x
4x2xf −
+
−=
( ) ( ) ( ) 13f1f;40f:Rta ==−−=
Para la función ( ) ( ) 2/1xgsi;8x3
4xxg =−
−= , cuánto vale x. si ( ) 0xg = ,
cuánto vale x
( ) ( ) 4x;0xgpara,0x;2/1xgpara:Rta ====
Demuestre que la función ( )x2
3xf
−= es creciente.
Demuestre que la función ( ) 5x4xh 3 −= es creciente
Proponga tres ejemplos de funciones inyectiva y sobreyectiva
Para la función ( ) 3xxf = , demuestre que la simetría es respecto al origen.
¿En qué condiciones una parábola y una circunferencia serían funciones?
0y/RyagenIm,4x/RxDominio:Rta
2/5y/RyagenIm,3x/RxDominio:Rta
3/19y/RyagenIm,RxDominio:Rta
>∈>∈
≠∈≠∈
≥∈∈1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
197
C LASIFICACIÓN DE FUNCIONES
Clasificar la gran cantidad y variedad de funciones no es fácil, anteriormente
vimos que según la relación entre los conjuntos de partida y llegada, las funciones
pueden ser inyectiva, sobreyectiva o biyectiva. Existen otros criterios para
clasificar las funciones.
Para los fines del curso, el criterio tomado ha sido la expresión matemática
que describe la función, por ejemplo si es un ecuación lineal, hallamos de función
lineal, si es una ecuación polinómica, estaremos hablando de las funciones
polinómicas, si es un logaritmo estamos hablando de funciones logarítmicas.
Este criterio es muy pertinente ya que puede involucrar la mayoría por no
decir todas las funciones que existen y puedan existir.
Bajo este contexto las funciones se clasifican en: Algebraicas y
Transcendentales, pero además de éstas, hay algunas funciones que llamamos
especiales, ya que su definición no es compleja y sus características muy
particulares y fáciles de describir.
Constante
IdénticaEspeciales Valor absoluto
Parte enteraDefinida por parte
LinealCuadrática
Algebraicas CúbicaPolinómicaRacionalRadical
ExponencialTranscendentales Logarítmicas
TrigonométricasHiperbólicas
Funciones
UNAD
208
EJERCICIOS : FUNCIONES LINEALES- CUDRÁTICAS. ESPECIALES
Dada la expresión: ( ) ( )
1xpara1x
1fxf≠
−−
, hallar el valor de cada función.
( )
( )
( )1x
1:Rtaxxf
3:Rtax31xf
3:Rtax3xf
+=
−−=
=
Dadas las siguientes funciones, hallar dominio, imagen, simetría y monotonía;
además, hacer la gráfica.
( )
( )
( )
( ) [ ]
( ) x4xE
x2xp
xxxh
4xxg
6x4xf
2
=
=
+=
−=
+−=
Para las siguientes funciones, hallar dominio, imagen, simetría, monotonía y
hcer la gráfica.
( )
( )
( )
( ) 1x2x4xf
10x4x3xh
x5x2xg
x3xf
2
2
2
2
−+−=
−+=
−=
=
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
211
Luego ( ) 0xf > en los intervalos ( ) ( ) ( ) ( ) 0xfy,31,00, <α∪∪α− en el intervalo
(1, 3).
La gráfica, nos muestra que la imagen es: 5y −≥
Dada la gráfica siguientes, identificar el dominio, imagen y la ecuación.
Ejemplo 2
Solución:
Dominio, los reales
Imagen, los reales mayores o iguales a -24
234 x4x3xy −−=
¡verificar los resultados!
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
213
Sea ( ) ( )( )xgxf
xR = se denomina ( )xR una función racional, con la condición que
( ) 0xg ≠ .
El dominio de una función racional son todos los Reales, excepto aquellos valores
que hagan a ( ) 0xg = .
La imagen serán todos los valores de y, dados según los valores de x.
Estas funciones, pueden presentar simetría y monotonía; cada caso es
particular.
La graficación de una función racional, se puede hacer analizando las
carcterísticas de una función: dominio, imagen, simetría, monotonía y los límites
hasta donde puede llegar la curva. Estos límites se determinan por medio de
las llamadas Asíntotas.
Asíntotas
En términos muy sencillos una Asíntota es una recta que limita la curva deuna función racional, Podríamos decir que la Asíntota es como la cebra quehay en los semáforos en donde no debe estar el carro cuando el semáforo estáen rojo. La Asíntota es la cebra donde no debe estar la curva, solo muy cerca.
Las Asíntotas pueden ser horizontales, verticales u oblicuas.
u
Asíntota horizontal Asíntota vertical
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
215
En la gráfica se ilustran dos casos:
+− →→ bxyax
Veamos un ejemplo gráfico:
La función ( )xf tiene una
asíntota horizontal en y = 3 y
una asíntota vertical en x = 2.
Asíntota oblicua
Dada la función racional R(x) y dada la recta 0acon;baxy ≠+= , decimos
que y es una asíntota oblicua de R(x); si:
( ) α−→α+→→ xoxcuandoyxR
En la gráfica de Asíntota oblicua, las asíntotas son b y b´.
La pregunta sería: ¿cómo obtener una asíntota oblicua?, veamos:
a. Sea ( ) ( )( ) ( ) ( )xgyxfdonde,xgxf
xR = , no tienen factores comunes y además
el grado de ( )xf que es n es mayor que el grado de ( )xg que es m. Entonces
hacemos el cociente ( )( )xgxf
; digamos que se obtiene ( ) ( )m1n,nxh =+
−−
y
x
( ) →= xfy
3
( )( ) 3xf,xCuando
3xf,xCuando→α−→
→α→
A.H
A.V
u
( )( ) α+→→
α−→→+
−
xf,2xCuando
xf,2xCuando
UNAD
216
b. Al dividir( )( ) ( ) ( )xg
rbaxxh
xgxf
++==
r = residuo de la división
para cuando ( ) 0xgr
entonces;xox →α+→α−→
c. Por lo anterior: ( ) baxxR +→ . Luego la asíntota oblicua es la recta ax + b,
obtenida del cociente entre los polinomios de la función racional.
Hacer una descripción general de la función: ( )1x
2xf
−=
Solución: el dominio son todos los reales 1≠ ¿por qué?
La imagen son todos los reales 0≠ ¿por qué?
Simetría no tiene respecto a y y respecto al origen; ya que no cumple
( ) ( ) ( ) ( )xfxfoxfxf −=−−=
La monotonía, la función presenta dos intervalos: ( ) ( )αα− ,1y1, , vemos el
primer intervalo ( ) ( )2121 xfxf0xy1x >⇒=−= ¡compruébelo!
Luego ( ) ( )1,enedecrecientesxf α−
Ahora veamos el segundo intervalo:
( ) ( )2121 xfxf4xy,2x >⇒== ¡compruébelo!
En el intervalo ( )α,1 la función es decreciente
Obtengamos las asíntotas:
horizontal: cuando α→x , la función tiende a 0, también cuando α−→x , lafunción tiende acero.
vertical: cuando +→1x , la función tiende a infinito y cuando −→1x , la función
tiende a menos infinito.
Ejemplo 3
UNAD
218
Dada la función ( ) xxf =
Solución: dominio, 0x ≥ el radicando no puede ser negativo, ya que n es par
imagen, 0y ≥ , recordamos que no puede tomar valores negativos ya que sifuera así, no sería función.
simetría, no hay simetría no con y ni con el origen
monotonía, como el dominio es un intervalo [ )α,0 , tomemos los valores
( ) ( )2111 xfxf4xy0x <⇒== , luego la función es creciente en su dominio.
Un bosquejo de la gráfica.
Describa la función: ( ) 3 xxf =
Solución: dominio, todos los reales ¿por qué?imagen, todos los reales ¿por qué?
simetría, la imagen es impar ua que ( ) ( )xfxf −=− , veamos
( ) ( )xfxxxf 33 −=−=−=−
monotonía, la función es creciente en su dominioLa gráfica, un bosquejo es la siguiente:
Ejemplo 1
Ejemplo 2
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
219
Analizar la ecuación: ( ) ( )4x1xf−
=
Solución: dominio son todos los reales para los cuales ( ) 04x
1>
− , como el
numerador simpre es positivo, en único que puede ser mayor a cero es el
denominador.
4x04x >⇒>− , luego el dominio ( )α,4 ¿por qué no puede ser igual a 4?
Imagen, ya sabemos que son los reales positivos.
Esta función no presenta simetría respecto a y tampoco respecto al origen.
Monotonía, busquemos dos valores en el intervalo del dominio
( ) ( )48
1xfy111
451xf8xy5x 2121 −
===−
=⇒==
( ) ( )21 xfxf21
41 >⇒== ; por consiguiente la función es decreciente en su
dominio.
Ejemplo 3
UNAD
220
Hallemos las asíntotas:
Horizontal, cuando ( ) 014
1xfx =α
=−α
=⇒α→ hay una asíntota
horizontal en y = 0.
Vertical, cuando ( ) α==−
=→01
441xf,4x , entonces hay una asíntota
vertical en x = 4.
Un bosquejo de la gráfica
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
221
EJERCICIOS: FUNCIONES RACIONALES Y POLINÓMICAS
Para las funciones dadas, hallar dominio, imagen, simetría, monotonía y hacer
un bosquejo de la gráfica
( )
( )
( )
( ) 34
234
23
3
x2xxf
x12x7xxf
x6x5xxf
4xxf
+=
++=
+−=
−=
Dadas las siguientes funciones, identificar dominio, imagen, simetría,
monotonía y hacer bosquejo de la gráfica
( )
( )
( )( )
( )4x
x2xg
2x
4xg
4xx3
xg
1x2
xg
2
2
−=
−=
+=
+=
La concentración (t) de un fármaco en la sangre, para t horas, está dado por
( )( )21t
t25t
+= , ¿cuál será la concentración inicial del fármaco y cuánto fármaco
hay a las 4 horas?
Identifique una aplicación de las funciones racionales en el área deingeniería, administración y ciencias agrarias.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
225
Graficar las funciones: ( ) ( ) xx e21
xgye21
xf −==
La función ( ) ( )xgyxf , también presentar
las propiedades de este tipo de función.
Estas dos funciones son la base de las
funciones hiperbólicas, que veremos más
adelante.
Describa la función ( ) 2xexf −=
Solución: la gráfica nos ayudará a describirla, tomemos algunos valores para
x y así ubicar los puntos para hacer la gráfica.
El dominio, los reales, la imagen: 1y0 ≤< , simetría respecto a y; es decir es
una función par, creciente en ( ]0,α− y decreciente ( )α,0 .
Ejemplo 1
Ejemplo 2
1353,021353,0236678,013678,01
10yx
−
−
Solución:
UNAD
228
Propiedades de logaritmos
Aunque los logaritmos los hemos trabajado en cursos anteriores, es pertinente
recordar las propiedades más importantes de esta operación matemática.
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )xaaLog:opuestaOperación
01Log:Nulo
xLogkxLog:Potencia
qp
LogqLogpLog:staRe
q.pLogqLogpLog:Suma
xyyxLog:Inversa
xLogxa
a
ak
a
aaa
aaa
aa
a ==
=
=
⇒−
⇒+
=⇒=
u Cambio base
En ocasiones tenemos una función con base a, pero necesitamos cambiar la
base para trabajar la función. Veamos cómo podemos cambiar la base de una
función logarítmica, sin que sus propiedades se alteren.
Sea ( ) xaxLogy ya =⇒= . Aplicamos logaritmo de la base que deseamos a la
última ecuación.
( ) ( ) ( )xLogayLogxLogaLog bbby
b =⇒=
, despejando y, tenemos:
( )( )aLogxLog
yb
b= es la suma de cambiar de base a una función logarítmica.
Recordemos que ( )xLogy a= , por consiguiente otra forma de escribir la anterior
ecuación es: ( ) ( )( )aLogxLog
xLogb
ba =
u
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
229
Dada la función ( ) ( )xLogyxf 2== , expresada con base e.
Solución: como ( )( )aLogxLog
yb
b= , donde a = 2 y b = e, entonces:
( )( )
( )( )2LnxLn
y2LogxLog
ye
e =⇒= , así queda la función f(x) definida con base e.
Sea la función ( ) ( )xLogyxf 10== , expresada como base 2.
Solución: ( )( )aLogxLog
yb
b= , donde a = 10 y b = 2, luego:
( )( )10LogxLog
y2
2=
Ejemplo 1
Ejemplo 2
UNAD
230
EJERCICIOS: FUNCIONES EXPONENCIAL - LOGARÍTMICA
Identificar las características de las siguientes funciones y hacer la gráfica.
( )( )( )
( )( )( )( )( ) 4exM
exL
10xK
exJ
10xI
33xh
4xg
2xf
x
1x
2x
x
x
x
x
x
+=
=
=
=
=
+=
=
=
−
−
Para las siguiente funciones, hacer lo mismo que en el caso anterior.
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( )
=
+=+=
+==
=
2x
LnxK
6x2LnxJ4xLnxI
4xLogxhxLogxg
xLogxf
4
2
15. La relación entre el ingreso anual x y el número de individuos y en un
país capitalista está dado por la función:
( ) ( ) ( ) ( )xlogkbLogyLogxp −== . ¿Cuál será el número de individuos
en un país donde k = 2 y b = 12.000;K si el ingreso anual es de 10?
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
233
Sistema sexagesimal Sistema hexagesimal
Observamos que una vuelta equivale en el sistema sexagesimal a 360°
equivalente en el sistema hexagesimal a π2 .
Sistema de conversión
Con las gráficas anteriores podemos hacer conversión de un sistema a otro.
Esto se hace por medio del llamado factor de conversión.
dosgraradianes yx180
x π= radianesx = la medida a buscar
dosgray = la medida dada
radianesdosgra xx180yπ
= dosgray = la medida a buscar
radianesx = la medida dada
A cuántos grados equivale 3/π radianes.Solución: como debemos convertir de radianes a grados; aplicamos la ecuación
°==⇒ππ
= 603
180y3
x180y . Luego 3/π equivale a 60°
90
180 0
360
270
2/π
ππ2
0
2/3π
u
Ejemplo 1
UNAD
234
Dados 120°, a cuántos radianes equivale.
Solución: debemos convertir de grados a radianes
( )
3/2aeequivalentes120Luego
32
64
1812
120180
x
π°
π=
π=
π=
π=
A cuántos radianes equivale 420°
Solución: 37
1842420.
180y π=π=π=
Sean 512π
los radianes de rotación de una rueda, ¿cuántos grados barrió la
rueda?
Solución: °==ππ
= 4321
12x365
12.180y
A cuántos grados y radianes equivalen tres vueltas y media.
Solución: como una vuelta equivale a 360°, 3 vueltas valdrán 360 x 3 = 1.080
y media vuelta equivale a 180°, entonces 31/2 vueltas equivalen a 1.080 + 180 = 1.260°
En radianes π=π= 7260.1.180
x , por consiguiente 31/2 vueltas equivalen
a 1.260 o π7
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
UNAD
236
Podemos resumir los ángulos notables en los 4 cuadrantes y en los dos sistemas
son presentados en el siguiente cuadro.
Relaciones trigonométricas
Recordemos que las relaciones son interacciones entre dos conjuntos, para el
caso de las trigonométricas, la relación es de cociente entre dos longitudes;
tomando como referencia el triángulo rectángulo, con un ángulo del mismo.
Existen 6 relaciones trigonométricas: seno, coseno, tangente, cotangente,
secante y consecante.
SEXAGESIMAL HEXAGESIMAL
u
1°. cuadrante
2°. cuadrante
3°. cuadrante
4°. cuadrante
0°- 30° - 45° - 60° - 90°
120° - 135° - 150° - 180°
210° - 225° - 240° - 270°
300° - 315° - 330° - 360°
2/3/4/6/0 π−π−π−π−
π−π−π−π 6/54/33/2
2/33/44/56/7 π−π−π−π
π−π−π−π 26/114/73/5
hy
x
y = lado opuesto al ángulo ϕ
x = lado adyacente al ángulo ϕ
h= hipotenusa
( ) ( )hy
cschy
sen =ϕ=ϕ
( ) ( )xh
sechx
cos =ϕ=ϕ
( ) ( )yx
cotxy
tan =ϕ=ϕ
(Ver ejercicios: ángulos y sus conversiones página 237)
ϕ
UNAD
238
Se puede inferir según las relciones definidias, que el cociente es un valor real.
Por consiguiente las relaciones trigonométricas, son interacciones entre ángulos
y números reales.
Sea el triángulo cuyos lados miden x = 4 y y = 3, hallar las relaciones
trigonométricas correspondientes.
Solución: grafiquemos el triángulo,
primero calculemos h; por el teorema
de pitágoras:
525h
43hyxh 2222
==
+=⇒+=
Ahora sí calculamos las relaciones:
( ) ( ) 3/5csc5/3sen =ϕ=ϕ
De la definición podemos observar que las funciones, seno, coseno, tangente,
son las relaciones principales y las demás son recíprocas de las primeras.
Reducción de ángulos al primer cuadrante
Sabemos que los ángulos del primer cuadrante van de 2/a0 π . Cualquier
ángulo mayor a estos, se pueden reducir a un ángulo equivalente del primer
cuadrante. Lo anterior se debe a que la medida de los ángulos se hacen respecto
al eje x, luego en el plano cartesiano, para la circunferencia unidad, siempre
habrán 4 ángulos equivalentes respecto al eje x, solo que cada uno estará en
un cuadrante diferente, veámoslo gráficamente.
Ejemplo 1
h= 5
3
4
ϕ
( ) ( ) 4/5sec5/4cos =ϕ=ϕ
( ) ( ) 3/4cot4/3tan =ϕ=ϕ
u
UNAD
240
F
UNCIÓN TRIGONOMÉTRICA
Las funciones trigonométricas son relaciones donde a cada ángulo le
corresponde un único número real. El dominio de estas funciones son todas
las medidas de los ángulos, pero según la función definida, el dominio se puede
extender a otros ángulos. Esto quiere decir que para todas las funciones
trigonométricas, todos los ángulos agudos hacen parte de su dominio.
Vamos a estudiar cada función, para analizar sus particularidades, no sin antes
resaltar que este tipo de funciones son de tipo periódico, ya que se repite cada
cierto ángulo, es decir f(x) = f (x + p) para p > 0.
UNCIÓN SENO
Define la relación ( )ϕsen , podemos definir la función seno como sigue:
sea ( ) ( )xsenxf = , que define la función seno; donde x representa un ángulo y
( )xf un número real. Esto significa que cada ángulo le corresponde un número
real.
Dominio = son todos los reales, ya que x puede tomar cualquier valor real.
Imagen = la imagen de la función seno están en el intervalo [ ]1,1− , ya que el
cociente de la ecuación nunca puede superar la unidad. Ampliando un poco
esta parte; como sen(x) = y/h; siendo yh ≥ ; lo máximo es que h = y, así el
cociente será uno, pero si h > y; el cociente estará entre 0 y 1, siendo cero,
cuando y = 0, El signo negativo se da en los cuadrantes donde el eje y es
negativo.
Simetría = para la función ( )xsen se cumple: ( ) ( )xsenxsen −=− , luego es una
función impar, por consiguiente es simetría respecto al origen de coordenadas
cartesianas.
F
UNAD
244
F
Propiedades adicionales: por las características de la función seno, hay algunas
propiedades que merecen tenerse en cuenta:
( ) ( )( ) ( )( ) ( )xcosx2/sen
xsenxsenxsenxsen
=−π=−π
−=π+
Las demostraciones son relativamente sencillas, recordando lo referente a
reducción de ángulos al primer cuadrante, es un buen camino para la
demostración.
UNCIÓN COSENO
Al igual que el seno; la función coseno se define: ( ) ( )xcosxf = , siendo x un
ángulo y ( )xf un número real.
La función coseno está definida en términos del eje x, recordemos la relacióncoseno.
Dominio = para el coseno, el dominio son todos los reales ( )αα− ,
Imagen = la imagen está en el intervalo [ ]1,1− , al igual que el seno, solo que
para el coseno; el cociente es x/h.
Simetría = en la función cos(x); se cumple ( ) ( )xfxf =− , luego esta función es
par, por consiguiente su simetría es respecto al eje y, de las coordenadas
cartesianas.
Valor de la función = las parejas ordenadas se obtienen a partir de la
circunferencia unidad, como se hizo en el seno; además, con el teorema definido
para el ángulo de 30° (recordarlo).
.
.
.
UNAD
246
F
Grafiquemos el coseno
Monotonía = la función coseno es decreciente de [ ]π,0 y creciente de ( ]ππ 2, . la
gráfica la ilustra visualmente.
Perioricidad = para la función coseno también se cumple que: ( ) ( )pxfxf += ,
ya que: ( ) ( ) π=π+= 2psiendo,2xcosxcos . Luego la función coseno se repite
en las mismas condiciones cada π2 .
Propiedades adicionales: veamos las propiedades que se deben tener en
cuenta para muchas situaciones.
( ) ( )( ) ( )( ) ( )xsenx2/cos
xcosxcosxcosxcos
=−π−=π−−=π+
Las demostraciones se pueden hacer de igual manera que las realizadas parael seno.
UNCIÓN TANGENTE
Sea: ( ) ( )xtanxf = , definida como la función tangente, la cual está definida a
partir del cociente de los dos ejes; y/x. La palabra tangente significa que toca.
.
.
.
UNAD
250
Estas características están dadas en la circunferencia unidad
La función cotangente se interrumpe en ππ 2y . La curva se repite en π ysu simetría es respecto al origen.
La función cosecante se interrumpe en ππ 2y . Es simétrica respecto al
origen; además, la curva se repite cada π2 .
La función secante se interrumpe
en 2/π y 2/3π . Es simétrica
respecto al eje y. La curva se repitecada π2 .
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
251
Valores de la función = los valores para los ángulos notables para las funciones
cot (x) y sec (x) y csc (x), se obtienen de los triángulos de 30° y 45°; analizados
anteriormente.
Hagamos algunos ejemplos:
( )
( )
( )
( ) 22/1
1yh30csc
332
3
1
2/3
1xh
30sec
12/2
2/2yx
45cot
32/12/3
yx
30cot
===°
====°
===°
===°
Así para los demás.
Ejercicio: estimado estudiante, para afianzar lo relacionado con las funciones
trigonométricas, es pertinente que calcule los valores de las funciones cot (x),
sec (x) y csc (x); para los cuatro cuadrantes de los ángulos notables. Es un
ejercicio muy interesante.
ϕ
2/3y =
2/1y =
1h =1h =
°=ε°=ϕ
4530
2/2x =
2
2y =
α
UNAD
252
EJERCICIOS: FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
1. Para el triángulo dado, hallar las 6 funciones trigonométricas
2. Para las funciones dadas hallar los restantes y hacer la gráfica
( ) ( )57tan
210sen =α=α
3. Dada la función f(x) = tan(x) cuáles son las intersecciones en x y y para la
circunferencia unidad.
4. Dada la función g(x) = cot (x); para π≤≤ 2x0 , cuáles son las asíntotas
verticales; si tiene.
5. Graficar las funciones
( ) ( )( ) ( )( ) ( )x3senxh
xcosxgxcotxf
=−=−=
6. Hallar el valor de:
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )6/11sec26/7tan46/5cos3
4/cot6/csc6/sec0sen3/cot4/tan
6/cos2/sen
π+π−ππ+π+π
−π+ππ+π
α
80
8
α
α
3
5
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
253
UNCIONES HIPERBÓLICAS
Dentro de las funciones trascendentales, existen unas funciones que se obtienen
a partir de las funciones exponenciales, conocidas como las funciones
hiperbólicas, cuyo nombre está relacionado con una hipérbola; al igual que las
trigonométricas con un triángulo.
ENO HIPERBÓLICO
Denotado así: ( ) ( )xsenhxf = , se define de la siguiente manera:
( )2ee
xSenhxx −−
=
Dominio = son todos los reales, vemos que x puede tomar cualquier valor real.
Imagen = para cualquier valor de x, f(x) es real, luego la imagen son todos los
reales.
Simetría = para ( )xSenh ; se cumple que ( ) ( )xfxf −=− , luego es una función
impar, por consiguiente es simétrica respecto al origen de coordenadas
cartesianas.
Montonía = si tomamos ( ) ( ) 175,1xfy0xf;1xy0x 2121 ==== , luego
siendo ( ) ( )2121 xfxfxx <⇒< , por consiguiente la función es creciente en
todo su dominio.
Veamos la gráfica
F
S
UNAD
254
La función es la
composición
de las funcionesxx e
21
ye21 −−
OSENO HIPERBÓLICO
Denotado por: ( ) ( )xcoshxf = , se define de la siguiente manera:
( )2ee
xcoshxx −+
=
Dominio = aquí también x puede tomar cualquier valor, luego el dominio sontodos los reales.
Imagen = par acualquier valor de x, f(x) toma valores mayores o iguales a 1,luego la imagen son los 1y ≥ .
Simetría = esta función cumple ( ) ( )xfxf =− , luego la función es par, por
consiguiente es simétrica respecto al eje y.
Monotonía = la función es decreciente de ( )0,α− y creciente de [ )α,0 , veamos
la gráfica
En la gráfica se observa que a
partir de xx e21
ye21 − se
obtiene la función cosh(x)
C
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
255
C
T ANGENTE HIPERBÓPLICA
Se denota: f(x) = tanh (x), y se define como:
( )xx
xx
ee
eextanh
−
−
+
−=
Dominio = son todos los reales
Imagen = todos los reales entre 1y11y1 <<−−
Simetría = la ( )xtanh es una función impar, luego es simétrica respecto a
origen de coordenadas cartesianas
Monotonía = la función es creciente en todo su dominio.
Asíntotas = presenta dos asíntotas horizontales en y = 1 y y = -1
OTANGENTE HIPERBÓLICA
Denotado como: ( ) ( )xcothxf = , se define de la siguiente manera:
( )xx
xx
ee
eexf
−
−
−
+=
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
257
A
( )xx ee
2xhsec
−+=
Las funciones hiperbólicas tienen utilidades en electricidad, su gran ejemplo
es «la cutenaria», que es una cuerda pesada que está entre dos puntos de soporte,
como es el caso del cable de la luz suspendido entre dos postes.
(Ver ejercicios: funciones hiperbólicas página 258)
LGEBRA DE FUNCIONES
Como el recorrido que se ha hecho sobre las clases de funciones, ahora vamosa analizar las operaicones que se pueden hacer con funciones.
Suma: sean las funciones f(x) y g(x), la suma de las dos funciones nos originaotra función.
( ) ( ) ( )xgxfxh +=
El dominio de h(x), son los elementos comunes a f(x) y g(x). La operacióncumple las leyes básicas de la suma; conmutativa, clausurativa, asociativa.
( )xx ee
2xhcsc
−−=
UNAD
258
EJERCICIOS: FUNCIONES HIPERBÓLICAS
1. Hallar el valor de f(x = a) para las funciones dadas.
( ) ( )
1e
1e,
1e
1e:Rta4x;2parax)x(tanh)x(g
21ey0:Rta1x,0paraxxsenhxf
8
8
4
4
2
+
−
+
−===
−===
2. Dada la función f(x) = 4 cosh (x), cuánto vale la función para:
x = 0 Rta. 4
x = 2 24
e
2e2:Rta +
3. Verificar que:
x2
x
e)xsenh()x(cosh
e)xsenh()x(cosh
=+
=+
4. Para la función h(x) = f(x) + g(x), hallar el valor correspondiente para los x
dados:
( ) ( )xhsec4)x(gyxcoth3)x(f ==
1e
e8
1e
3e3:Rta5x
1e
e8
1e
3e3:Rta1x
10
5
10
10
22
2
++
−
+=
++
−
+=
5. En un cuadro hacer un paralelo entre las funciones senh(x), cosh(x) y tanh(x);respecto a sus características.
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
259
Resta: sean las funciones f(x) y g(x), la resta será:
( ) ( ) ( )xgxfxm −=
El dominio al igual que en la suma, son los elementos comunes de las dos
funciones. Esta operación sólo se cumple con la ley clausurativa; es decir; la
resta de dos funciones origina otra función.
Producto: para las funciones definidas en la suma y resta.
( ) ( ) ( )xg.xfxp =
El dominio es similar que el caso de la suma y resta. El producto entre funciones
cumple las leyes; clausurativa, conmutativa, asociativa.
Cociente: el cociente entre dos funciones es de la forma:
( ) ( )( )xgxf
xQ =
El dominio son todos los valores de x, excepto aquellos que hagan g(x) = 0
Sean ( ) ( ) 22 xxgy5x2x3xf =+−= , hallar f(x) + g(x), f(x) - g(x).
Solución:
( ) ( )
( ) ( ) 11x2x26x5x2x3xgxf
1x2x46x5x2x3xgxf
222
222
+−=
−−
+−=−
−−=
−+
+−=+
Ejemplo 1
UNAD
260
Hallar
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 6xLnxgy4exf
:paraxg/xfyxgxfx2 −=+=
⋅
Solución:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) 6xLn4e
xg/xf
24xLn4e6xLne6xLn4exgxf
x2
x2x2x2
−+
=
−+−=−
+=⋅
Dadas las funciones:
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xhxfxgyxhxgxf:hallar
xsenhxh;xxg;x2exf 3x3
−−−+==+=
Solución:
( ) ( ) ( )
( )
( )2
eee2x2x4xf
2eee2x2x4
2eeexx2xf
2ee
xx2exhxgxf
xxx33
xxx33xxx33
xx3x3
−
−−
−
+−++=
+−++=−−++=
−−++=−+
( ) ( ) ( )
( )2
eee2x2xL
2eex2exxhxfxg
xxx33
xxx33
−
−
+−=
−−
+−=−−
Ejemplo 2
Ejemplo 3
.
.
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
261
Composición de funciones
Una operación muy especial es la composición de funciones.
Sea ( )xgf o . Definida como f de g o g compuesta f.
Sea ( )xfg o . Definida como g de f o f compuesta g.
La composición de funciones la podemos ilustrar de la siguiente manera.
El dominio de la función compuesta, serán todos los x para el cual, ∈x Dominiode g y a su vez g(x) está en el dominio de f.
La función compuesta no es conmutativa; es decir ( ) fgxgf oo ≠ (x).
Sea ( ) ( ) ( ) )x(fgyxgfhallar,xxgy2xxf oo2 =+=
Solución:
( ) 2x2xgf2
o +=+= . La función g(x), hace las veces de variable para f (x)
2xfg 2o += . En esta, la función f(x) hace de variable para la función g(x)
Sea ( ) ( ) ( ) ( )3fgy2gfhallar,x
1xxgy2x3xf oo2 −
=−=
Solución: primero hallamos ( )xgf o y luego hallamos para x = 2
( )( ) ( )2
x
1x32
x1x
3xgfgf2
22o −
−=−
−
== , ahora hallamos
u
Ejemplo 1
Ejemplo 2
UNAD
262
( ) ( )( )
( )4/3
413
2
1232gf
2
2o ==
−=
( )
( )( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( ) 25/243fyg4/33gf:teconsiguienpor
2524
233
3333fg
3fghallamosluego,2x3
3x3
2x3
12x3xfg
3fg:Ahora
oo
o
o
o
2
2
2
2
2
2
==
=−
−=
−
−=−
−
−
=
Hallar: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x3Lnxgyx4senxfpara;xfgyxgf oo ==
Solución:
( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )x4sen3Lnx4sen3Lnxfgfg
x3Ln4senx3Ln4senxgfgfo
o
======
Para el caso del ejemplo 3, hallar ( ) ( )8/fgy3/1gf oo π
( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )3Ln8/fgy03/1gf:Entonces3Ln2/sen3Ln8/4sen3Ln8/fg00sen1Ln4sen3/13Ln4sen3/1gf
oo
o
o
=π==π=π=π
====
Ejemplo 3
Ejemplo 4
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
263
EJERCICIOS: ÁLGEBRA DE FUNCIONES
1. Dada las funciones: ( ) ( ) hallar,x34xxgy
4x1x5xf −=
−+=
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )xfxg
xg.xfxfxgxgxf
÷
−+
2. Para las funciones: ( ) ( ) hallar,8y5y3yLy4y5yyh 22 +−=+−=
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )yL3yh5yh5yLyL3yh
÷+−
3. Sea: ( ) ( ) hallar,e10xMye3xE x3x2x2 −==
( ) ( )
( )[ ] ( )[ ]
( ) ( )2
xExM
xMxE
xMxE
23
−
−
⋅
−
4. Dadas: ( ) ( ) ( ) ( ) hallar,xcosxgyxsen4xf 22 ==
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )[ ] 1xgxf
xgxfxgxfxgxf
−⋅
÷÷+
5. Hallar ( ) ( ) para,xfgyxgf oo :
( ) ( )
( ) ( ) ( )x3senxgy2xf
2xxgy4x2
1xf
x
2
==
+=−
=
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
265
Funciones algebráicas inversas
Es pertinente tener en cuenta que para invertir una función, ésta debe ser
inyectiva, (uno a uno; biunívoca).
las funciones algebraicas cuyo polinomio es de grado 1 y 3 son inyectivas. La
función cuadrática No es inyectiva, la función radical también es inyectiva.
Para identificar una función inyectiva en la gráfica trazamos una línea
horizontal y si corta en un solo punto a la curva, dicha función es inyectiva.
No inyectiva Inyectiva
Vemos que 1L corta la curva en dos puntos; mientras que 2L corta la curva en
un solo punto; luego ( )xf no es inyectva, mientras que ( )xg ; si lo es.
Hallar la función inversa de ( )xf = 4x - 5
Solución: como es función lineal, ésta tiene inversa, para obtener la inversa
de ( )xf , debemos despejar x.
45y
xx45y5x4y+
=⇒=+⇒−= , luego expresamos de forma implícita y
explícita.
forma implícita ⇒ 45y
x+
= , forma explícita ⇒ ( )4
5xxf 1 +
=−
u
Ejemplo 1
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
267
u
F
Determinar la función inversa de ( )4x31xxg
+−= , comprobar la inversión.
Solución: despejamos x en la ecuación.
( ) 1xy4xy31xy4xy31xy4x34x3
1xy −=−+⇒−=+⇒−=+⇒+−=
( )1y31y4
x1y41y3x1y4xxy3−
−−=⇒−−=−⇒−−=−
entonces: ( )1x31x4
xg 1−−−
=−, comprobemos la inversión, para esto sólo se debe
probar ( ) xxgg 1 =
−
, entonces:
( )( ) x
70x7
1x3/4x123x121x3/1x31x4
41x31x4
3
11x31x4
1x31x4
g =−
+−=
−−+−−−+−−−
=+
−−−
−−−−
=
−−−
Nota: siempre que se invierta una función, es conveniente comprobar lainversión.
UNCIONES TRASCENDENTALES INVERSA
Función exponencial
La Función exponencial es inyecta, luego tiene inversa.
Sea: ( ) xaxf = , para hallar la inversa, como se ha dicho, despejamos la variable x
xyLogaLogyLogay ax
aax =⇒=⇒= , recordemos las propiedades de los
logaritmos, luego:
Ejemplo 4
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
269
EJERCICIOS: FUNCIONES INVERSAS
1. Dadas las siguientes funciones, determinar cuáles son inyectivas y cuáles
no, justificando la respuesta.
( )( )( )
( ) 2
2
x4xL
xxh
4xxg
6x5xf
−=
=
+=
−=
2. Las funciones dadas a continuación son inyectivas, hallar la función inversay su dominio.
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) 3 4xxP:Rtax4xP
x4x5
xN:Rtax5
x4xN
25
x41
xM:Rtax410xM
13
1
1
−=−=
−−=
+=
+−=−=
−
−
−
3. Hallar ( )xf 1− para las funciones:
4. Grafique las funciones y su inversa para:
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )xLog3xLx4Lnxh
exg10xf
2
x2x3
====
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )110
2L:Rta
xx2
LogxL
xLn4Lnxh:Rta4exh
exg:RtaxLn3xg
xLn21xf:Rtaexf
x1
1x
3x1
1x2
−=
+
=
+=÷=
=+=
==
−
−
−−
−
Rta: si
Rta: no
Rta: no
Rta: si
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
271
u
Hallar ( )2/1seny 1−=
Solución: debemos buscar en el rango de 2/,2/ ππ− , en donde el seno vale
1/2, luego ( ) 6/2/1sen 1 π=−
Determinar la solución para ( )1tany 1−=
Solución: en el intervalo ( )2/,2/ ππ− , debemos buscar en dónde la tangente
tiene el valor de 1, corresponde al ángulo de ( )°π 45.4/ .
Hallar la función de ( ) ( )3cos2/1cosy 11 −− +=
Solución: el conseno vale 1/2 en 3/π y cotangente vale 3 en 6/π , luego
2/6/36
26/3/y π=π=π+π=π+π=
Función hiperbólica
De las funciones hiperbólicas, senh(x), tanh(x), coth(x) y csch(x) son uno a uno,
luego tienen inversa. Para el caso de cosh(x) y sech(x), por no ser inyectivas, se
debe restringir el dominio, para poderlos invertir.
En el siguiente cuadro resumimos las funciones hiperbólicas inversas, en donde
se encuentran espacios para llenar, es para que el estudiante investigue.
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
279
EJERCICIOS: TRANSFORMACIÓN DE FUNCIONES
1. Graficar las siguientes funciones, identificando el cambio que manifiesta,según
la función base:
( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) x31xgyx3xf
4xxgy4xxf
22xxgy22xxf
==
+=+=
−=+=
2. De las funciones dadas, graficarlas identificando si hubo corrimiento,
alargamiento o compresión de la curva.
( )
( )
( ) 3x8xL
x1
xk
66xh
−+=
−=
=
3. De las funciones dadas a continuación, compararlas con la función base y
decir cuáles fueron los cambios.
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
=
=
=
=
==
2xtanxK
xtan2xJ2x
cosxI
xcos21xh
x4senxgxsen4xf
4. De cuánto fue el cambio de fase en las siguiente funciones
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )π+=π−=
π+=π+=xtan2xM3/xcosxg
2x2cos5xh2/xsenxf
UNAD
280
PLICACIÓN DE LAS FUNCIONES
Las funciones tienen una amplia utilidad en todas las disciplinas, vamos a analizar
diversos ejemplos modelos de éstas, con el fin de motivar para profundizar en dichas
aplicaciones en la disciplina de interés para los estudiantes.
LGEBRAICAS
La mejor manera de ver las aplicaciones es a través de ejemplos modelos.
El perímetro de un rectángulo mide 120 cm. Expresar el área del rectángulo
como función de la longitud de su largo.
Solución: una gráfica nos ayudará a resolver el problema.
x = largo
y = ancho
perímetro = 120y2x2 =+
p = x60y60yx −=⇒=+
Despejamos y, para expresar solo en función de x.
Como área = largo x ancho ⇒ A = x . y pero x60y −= , entonces ( )x60xA −=
Así queda expresada el área en función del largo del rectángulo.
Ejemplo 1
y
x
A
A
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
281
La relación entre la temperatura ambiente y la altitud es aproximadamente lineal
para 500.3y0 ≤≤ T = ºC y y = metros. La temperatura a nivel del mar es
del 16ºC aproximadamente, al aumenta la altitud a 1.500 metros, la temperatura
disminuye en 7ºC.
a. Hallar T (y); es decir, la temperatura en función de la altitud
b. Qué temperatura ambiental habrá a 2.000 metros de altura
c. A qué altitud la temperatura será de 0ºC
Solución:
a. Según las condiciones del problema T = m y + b, donde m y b son constantes.Ahora para T = 16ºC, y = 0, así:
( ) 16bb0m16 =⇒+= . la nueva ecuación será:
( ) 16ymT += , para hallar m, tenemos un dato, cuando y = 1.500 m,
Cº9716T =−= . Ahora
( ) 16500.1m9 += . El punto es (9ºC, 1.500 m), despejamos m, luego:
500.17
500.1169m −=−=
La función lineal obtenida es: ( ) 16y500.17T +−=
b. A ( ) Cº67,6162000500.17T:metros000.2 =+−=
c. A ( ) ( ) 16y500.1716y
500.170:seráaltitudla,Cº0 −=−⇒+−=
m57,428.3700.24
y000.24y7 ==⇒−=−
como y está en el rango de altura para el modelo que se construyó, el dato es
confiable.
Ejemplo 2
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
283
4hr
rh
520 =⇒= , despejamos r para reemplazarlo en la ecuación del volumen,
ahora:
48h
h.4h
3V
32 π=
π
= ; por consiguiente:
( ) 3h48
hV π=
Para el ejemplo anterior, ¿a qué altura estará el líquido, si el volumen es de 4m3?
Solución: como ya tenemos la función, reemplazamos volumen y despejamos altura.
m938,3m115,61h
m115,61192h192hh48
m4
3 3
33333
==
=π
=⇒=π⇒π=
En economía una función muy trabajada es la de interés compuesto. Si se invierte
c pesos a un interés i compuesto anualmente, en t años el monto inicial será de:
( )ti1cP +=si se invierten $500.000 al 10% interés anual compuesto ¿cuánto se tendrá al
tercer año y cuánto ganó de intereses?
Solución:
P = ? i = 0,1 = 10%
c = 500.000 t = 3
Ejemplo 5
Ejemplo 6
UNAD
284
Entonces: ( ) 500.665$1,01000.500p 3 =+=
Luego ganó intereses $165.500
El costo de producción de un artículo está compuesto por los costos fijos más los
costos variables. En una compañía los costos fijos para productir el artículo es de
$50.000. El costo de producir un artículo es de 200 pesos. ¿Cuál será el costo de
producir 1.000 artículos?
Solución:
Costo total = costos fijos + costos variables C (x) = k + n(x)
( ) ( )( ) ( ) 000.250000.1200000.50xc
000.1xparaAhora.x200000.50xc=+=
=+=
Luego, productir 1.000 unidades costará $250.000
(Ver ejercicios: aplicaciones funciones algebraicas, página 285)
RASCENDENTALES
Al igual que las funciones algebraicas, las trascendentales tienen inmensas
aplicaciones, en ciencias, economía, ingeniería, ciencias sociales y otras. Vamos
a analizar a continuación ejemplos modelos diversos.
Ejemplo 7
T
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
285
EJERCICIOS: APLICACIÓN FUNCIONES ALGEBRAICAS
1. Dado un cubo de lado l, expresar el volumen del cubo, como función del área de su
base.
3Av:Rta =
2. Dada la gráfica, el perímetro p corresponde al total de longitud, los dos rectángulos
son iguales. El área total es de 4.000 m2. Expresar p en términos de x.
( )x000.12
x2xp:Rta +=
3. El crecimiento de un bebé de más 84 días de gestación está dado por la expresión:
( ) 8.6t52.1tL −= . donde L es la longitud de centímetros y t es el tiempo en semanas.
¿Cuál será la edad de gestación de un bebé cuya longitud es de 35 cm?
semanas5,27t:Rta =
4. Un jugador de fútbol, tiene un récord de goles dados por 8 goles en 17 juegos.
El jugador fue alineado en 180 partidos manteniendo el récord de goles.
a. Expresar el número de goles como función del número de alineaciones donde
participó el jugador. ( ) l178lG:Rta =
b. ¿Cuántos goles anotó en la temporada de los 180 partidos?
Rta: aprox. 85 goles
5. Un cilindro circular recto de volumen v, altura h y radio r, tiene una altura
del doble del radio. Expresar el volumen del cilindro como función del radio.
( ) 32rv:Rta π=
6. Sea la función: ( ) 8xxg 2 −= ; el punto ( )y,xp está sobre la gráfica de ( )xg .
Expresar la distancia d que se presenta desde ( )y,xp al punto ( )1,0Q ; como
función de x. 64x15xd:Rta 24 +−=
x
UNAD
286
XPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS
En medicina la recuperación normal de una herida se puede modelar por medio
de una función exponencial Sea 0A el área original de la herida y A es área de la
herida después de n días. Luego la función es de la siguiente manera:( )n35.0
0 eAA −=
En un proceso de recuperación, ¿cuánto medirá la herida a los 3 días, si el área
inicial era de 1,5 cm2?
Solución:
( )
( ) 205,1335.0
n35.00
cm525,0e5,1e5,1A
:entonces,días3nincógnitaA
eAA
===
==
=
−−
−
A los 3 días el área ha disminuido a 2cm525,0
La presión atmosférica p ejercida sobre un avión disminuye al aumentar la altura
y. La presión en mmHg está relacionada con la altura en kilómetros, por medio
de la ecuación: ( )y145.0e760p −= , vemos que la presión es función de la altura.
¿cuál será la altura, cuando la presión es de 570 mm Hg?
Solución:
En el problema nos dan la presión y se debe obtener la altura,, luego debemosdespejar y. Veamos:
Ejemplo 1
Ejemplo 2
E
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
287
( ) ( ) ( )y145.0760
pLne
760p
e760p y145.0y145.0 −=
⇒=⇒= −−
Luego: ( ) ( )
km98,1145.0
2876.0145.0
760/570Ln145.0760/pLn
y =−
−=
−=
−=
cuando la presión es de 579 mm Hg, la altura es de 1,98 km.
El pH es una solución química está dada por la ecuación:
−= +HLogpH
Donde
+H , es la concentración de iones de hidrógeno en moles por litro, ¿cuál
será el pH de un litro de agua que tiene 810x2 − moles de hidrógeno?
Solución: reemplazamos en forma directa:
( ) 698,7698,710x2LogpH 8 =−−=
−= −
El pH = 7,698
En la escala de Richter para medir los sismos, se utiliza la función:
=
0IILogR
0I = intensidad mínima del sismo
I = intesidad dada del sismo en un instante dado
Si la intensidad de un sismo es 500 veces la intensidad mínima, ¿cuál será el
valor de R?
Ejemplo 3
Ejemplo 4
UNAD
288
Solución:
( )
( ) 6989,2500LogR
luego,500LogI
I500LogRluego,I500I
0
00
==
=
==
Para el ejemplo 4, si la intensidad mínima es 0I , cuál será la intensidad para
una escala de Richter de 4,5.
Solución: de la ecuación R, necesitamos despejar I, luego:
( )77,31622I10.II
:luego;5,4Rosreemplazam,10.II
II
101010II
LogR
05,4
0
R0
0
RIILog
R
0
0
==
==
=⇒=⇒
=
por consiguiente la intensidad será de 31.622,77 veces la intensidad mínima.
(Ver ejericicios: problemas funciones exponencial y logarítmica,página 289)
RIGONOMÉTRICAS
En este aparte vamos a resolver diversos tipos de problemas, tomando como base
el triángulo rectángulo; para lo cual debemos tener presente, el teorema de
pitágoras, las funciones trigonométricas, una calculadora científica que nos
permita apresurar los cálculos; ojo no simplificarlos. Es pertinente que todos los
cálculos sean planteados metódicamente para poder entender lo que se está
resolviendo y cómo se están resolviendo.
Ejemplo 5
T
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
289
EJERCICIOS: PROBLEMAS FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA
La tasa de interés compuesto continuo está dado por la expresión: tiecA = , siendo:
A = cantidad acumulada a los t años
c = capital inicial
i = interés anual, expresado en tanto por uno
t = tiempo en años de c invertido
Aplicar esta fórmula a los siguientes problemas.
1. Si depositamos $1000 a un interés del 33/4 de interés anual, ¿cuál será el
saldo al os 5 años de hacer el ahorro?
Rta: A = $1.510,59
2. ¿En cuánto tiempo t en años, la cantidad acumulada es de $10.500 el capital
ahorrado de $8.500 y el interés fue de 9,2%. ¿Qué tiempo transcurrió para
obtener la cantidad acumulada?
Rta: años3,2t ≅
3. Después de 4 años del depósito, un capital presenta una cantidad acumuladade $26.300 al 7.8% anual. ¿De cuánto fue el depósito inicial?
252.19$c:Rta =
En una investigación se determinó que el área de cuerpo en su superficie está
dada por: ( ) ( ) ( )hLog725,0mLog425,0144,2ALog ++−= , donde m es masa
en kg y h la altura en metros.
4. Una persona tiene 75 kg de peso y 1,80 metros de altura, ¿cuál será el área
superficial de su cuerpo? 2m06886,0A:Rta =
5. ¿Cuál será la estatura de una persona que pesa 68 kg y su área superficial es
de 0,05615 m2? metros44,1h:Rta ≅
6. Una persona tiene un área superficial de 0,0725m2; su estatura es de 1,92m
¿cuál será la masa de la persona? kg86,75m:Rta ≅
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
295
EJERCICIOS: PROBLEMAS DE TRIGONOMETRÍA
1. Un salvavidas está en su torre de observación a 20metros de altura, una
persona implora su ayuda con un ángulo de depresión de 35º. ¿A qué distancia
de la base de la torre de observación está la persona que solicitó ayuda?
Rta: d = 28,56 metros
2. Un poste de 35 metros de altura debe ser apoyado por unalambre que se fija a
tierra. Si el alambre forma un ángulo de 52º con la horizontal, ¿cuál será la
longitud del alambre?
Rta: 44,42 metros
3. Una persona de 1,62 metros; proyecta su sombra de 1,15 metros a lo largo del
suelo ¿cuál será el ángulo de elevación del sol sobre la sombra?
Rta: α = 54,63º
4. Un cohete se dispara y éste sube a un ángulo constante de 70º hasta llegar a
una distancia de 12.000 metros, ¿qué altitud alcanzó el cohete?
Rta: h = 11.276, 31 metros
5. El pentágono en los EEUU, tiene forma de pentágono regular; cuyo lado mide
921 pies, ¿cuál será el área del pentágono?
Rta: 2pies379.4591́A =
6. Un deslizadero forma un ángulo de 35º con la horizontal, si la disancia del
punto donde llega el deslizadero en tierra a la horizontal donde inicia éste es
de 100 metros, ¿qué longitud tiene el deslizadero?
Rta: L = 70 metros
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
297
En el contexto de este capítulo, cuando hablemos de trigonometría hacemos
referencia a triángulos y cuando se hable de hipernometría, estamos haciendo
referencia a funciones hiperbólicas.
Analizadas las funciones trigonométricas e hiperbólicas, es imporante profundizar
en estas temáticas que son necesarias para afianzar los conocimientos en este
campo, como son las identificadas y las ecuaciones trigonométricas, también
identidades hiperbólicas, cuyas temáticas inducirán al desarrollo en los estudiantes
competencias cognitivas muy importantes en el campo de las matemáticas.
Pero con la profundización no es suficiente; por lo cual, se hace un énfasis a la
transferencia, por medio de diversas aplicaciones a través del análisis de ejemplos
modelos, los cuales se deben estudiar con detenimiento para adquirir sólidosconocimientos y poder aplicarlos cuando así se requiera.
Esperando; como sabemos que es, que este capítulo sea de su agrado y les debuenos aportes en trigonometría y hipernometría.
Objetivo general
. Profundizar en los conceptos trigonometría analítica e hipernometría, quepermitan adquirir las herramientas para ser utilizadas cuando así se requiera.
Objetivos específícos
. Analizar las identidades trigonométricas e hiperbólicas.
. Resolver identidades trigonométricas e hiperbólicas.
. Desarrollar ecuaciones trigonométricas.
. Estudiar los triángulos no- rectángulos y sus aplicaciones.
TRIGONOMETRÍA
Introducción
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
299
Ahora realicemos los mismo, pero al contrario, es decir: )(sen)(cos
αα
, entonces:
yx
hy
hx
)(sen)(cos
==αα
. Cociente que por definición es )(cot α , luego:
)(sen)(cos
)(cotαα
=α
3. Identidades recíprocas: se llaman así debido a que por definición, al
intercambiar los términos del cociente de la relación trigonométrica se
obtienen éstas. Veámos:
)(cscy)(senentonces;yh
)(cscyhy
)(sen αα=α=α
son recíprocas, luego: )(csc1
)(senα
=α . Lo mismo con las demás.
xh
)(secyhx
)(cos =α=α , entonces )(secy)(cos αα son
recíprocas. En general:
)(csc1
)(senα
=α)(sen
1)(csc:también
α=α
)(sec1
)(cosα
=α)(cos
1)(sec:también
α=α
)(cot1
)(tanα
=α)(tan
1)(cot:también
α=α
4. Identidades pitagóricas: a partir de la identidad fundamental, a veces
llamada también pitagórica, se puede obtener las llamadas identidades
pitagóricas.
Si dividimos la identidad fundamental por )(cos α , tenemos otra identidad:
UNAD
300
)(sec1)(tan)(cos
1
)(cos
)(cos
)(cos
)(sen 2222
2
2
2α=+α⇒
α=
α
α+
α
α, entonces:
)(sec1)(tan 22 α=+α
Ahora, dividamos la identidad fundamental por )(sen α , luego:
),(csc)(cot1)(sen
1
)(sen
)(cos
)(sen
)(sen 2222
2
2
2α=α+⇒
α=
α
α+
α
α entonces:
)(csc1)(cot 22 α=+α
5. Identidades pares-impares: cuando definimos la simetría de las funciones
trigonométricas, identificamos las funciones pares e impares. De aquí se
pueden definir las identidades pares e impares.
Pares: )(cos)(cos α=α−
)(sec)(sec α=α−
Impares: )(sen)(sen α−=α− )(cot)(cot α−=α−
)(tan)(tan α−=α− )(csc)(csc α−=α−
6. Identidades de cofunción: cuando a 2π se le resta un ángulo cualquiera,
se obtiene la confunción: veamos:
a. )x(senx2
cosy)x(cosx2
sen =
−
π=
−
π
b. )x(tanx2
coty)x(cotx2
tan =
−
π=
−
π
c. )x(secx2
cscy)x(cscx2
sec =
−
π=
−
π
Para x medida en radianes de un ángulo agudo. De esta manera se dejan definidas
las identidades trigonométricas básicas.
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
301
t Identidades de suma y diferencia
En muchas ocasiones, se puede expresar un ángulo dado, como una suma o una
resta de ángulos notables, por ejemplo: 15º es igual a 45º - 30º; 75º es igual a 30º
+ 45º y así muchos más. Para este tipo de situaciones es que se utilizan las
llamadas identidades de suma y diferencia de ángulos.
Iniciemos con: cos ( a - b ); siendo a y b medidas de angulos y por conveniencia
a > b. Entonces:
cos ( a - b ) = cos ( a ) . cos ( b ) + sen ( a ) . sen ( b )
Demostración
Vamos a utilizar como herramienta la geometría del círculo trigonométrico
unitario.
Las coordenadas de cada punto son:
A ( 1, 0 )
B ( ))ba(sen,)ba(cos −−
P ( ) ( ))b(sen,)b(cosyx 1,1 =
Q ( ) ( ))a(sen,)a(cosyx 2,2 =
UNAD
302
La distancia de AB es igual a la distancia de PQ . Por la fórmula de distancia:
[ ] [ ] =−+−−⇒= 22 )ba(sen1)ba(cos)PQ(d)AB(d
[ ] [ ] 22 )b(sen)a(sen)b(cos)a(cos −+− elevamos al cuadrado ambos
términos de la ecuación, tenemos:
( ) ( ) ( ) ( ) 2222 ))b(sen)a(sen)b(cos)a(cos)ba(sen1)ba(cos −+−=−+−−
Desarrollando cuadrados:
)b(cos)a(cos2)a(cos)ba(sen1)ba(cos2)ba(cos 222 −=−++−−−
)b(sen)b(sen)a(sen2)a(sen)b(cos 222 +−++
Agrupamos términos:
+
+=+−−
−+− )a(sen)a(cos1)ba(cos2)ba(sen)ba(cos 2222
);b(sen)a(sen2)b(cos)a(cos2)b(sen)b(cos 22 −−
+ entonces:
1 - 2 cos ( a - b ) + 1 = 1 + 1 - 2 cos ( a ) cos ( b ) - 2 sen ( a ) sen ( b ).
Operando:
2 - 2 cos ( a - b ) = 2 - 2 cos ( a ) cos ( b ) - 2 sen ( a ) sen ( b ).
Simplificando:
cos ( a - b ) = cos ( a ) cos ( b ) + sen ( a ) sen ( b )
Asì queda demostrada la identidad de diferencia de coseno.
Ahora: cos ( a + b ); de igual manera que el caso anterior.
cos ( a + b ) = cos ( a ) cos ( b ) - sen ( a ) sen ( b )
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
303
Demostración
Demostrando la diferencia de ángulos para coseno, lo podemos utilizar para otras
identidades como cos ( a + b ). Veámos:
cos ( a + b ) = cos ( a - ( - b ) ) = cos ( a ) . cos ( - b ) + sen ( a ) sen ( - b )
Sabemos que cos ( - b ) = cos ( b ) y sea ( - b ) = - sen ( b ), luego:
cos ( a + b ) = cos ( a ) cos ( b ) - sen ( a ) sen ( b ).
En seguida analizamos la suma y diferencia para seno.
sen ( a + b ) = sen ( a ) cos ( b ) + cos ( a ) sen ( b )
Demostración
Para demostrar esta identidad vamos a utilizar la identidad de suma y diferencia
de coseno, la identidad de cofunción y algunas transformaciones sencillas.
Llamamos a ( a + b ) = w, entonces.
( ) )w(senw2cos =−π por la identidad de cofunción, ahora:
( ) ( ) ( )( )ba2cosba2cos)ba(2(cos −−π=−−π=+−π , pero:
( ) ( ) ( ) bsena2senbcosa2cosb)a2(cos −π+−π=−−π
pero: ( ) )a(sena2cos =−π , luego:
( )( ) )b(sen)a(cos)b(cos)a(senba2cos +=−−π . Finalmente como:
( )( ) ),ba(sen)w(senba2cos +==−−π entonces:
)b(sen)a(cos)b(cos)a(sen)ba(sen +=+Así queda demostrada la identidad de suma de ángulos para seno.
Sigamos con )ba(sen −
)b(sen)a(cos)b(cos)a(sen)ba(sen −=−
UNAD
304
Demostración
( ) )b(sen)a(cos)b(cos.)a(sen)b()a(sen)ba(sen −+−=−+=−
pero por identidades pares e impares:
:luego,)b(sen)b(seny)b(cos)b(cos −=−=−
)b(sen)a(cos)b(cos)a(sen)ba(sen −=−
Finalmente veamos la suma y diferencia para tangente.
)b(tan.)a(tan1)b(tan)a(tan
)ba(tan−
+=+
Demostración:
Como )ba(cos)ba(sen
)ba(tan++
=+ desarrollemos el cociente.
)b(sen)a(sen)b(cos)a(cos)b(sen)a(cos)b(cos)a(sen
)ba(tan−+
=+
dividimos todo por cos (a ) cos ( b )
)b(cos)a(cos)b(sen)a(sen
)b(cos)a(cos)b(cos)a(cos
)b(cos)a(cos)b(sen)a(cos
)b(cos)a(cos)b(cos)a(sen
)ba(tan−
+=+
Simplificando:
)b(tan)a(tan1)b(sen11)a(tan
)ba(tan•−
•+•=+ resumiendo:
)b(tan)a(tan1)b(tan)a(tan
)ba(tan•−
+=+
Ahora veamos la resta de dos ángulos para tangente:
)b(tan)a(tan1)b(tan)a(tan
)ba(tan•+
−=−
UNAD
306
Identidades de ángulo doble
Cuando en la suma o diferencia de ángulos, si a = b, entonces se obtienen los que
llamamos ángulos dobles, que son herramienta en el análisis del movimiento
curvilíneo.
1) )a(cos)a(sen2)a2(sen =
Demostración
Sabemos que sen ( a + b ) = sen ( a ) cos ( b ) + cos ( a ) sen ( b ), pero a = b, luego:sen ( a + b ) = sen ( a ) cos ( a ) + cos ( a ) sen ( a )
2) )a(sen)a(cos)a2(cos 22 −=
Demostración
Al igual que en el caso anterior:
cos ( a + a ) = cos ( a ) • cos ( a ) - sen ( a ) • sen ( a ) = cos2 ( a ) - sen2 ( a )
Luego:cos ( 2a ) = cos2 ( a ) - sen2( a )
3) )a(tan1
)a(tan2)a2(tan
2−=
Demostración
Se deja como ejercicio para realizar en pequeño grupo colaborativo.
Identidades de ángulo mitad
En matemáticas, especialmente en cálculo el ángulo mitad es muy utilizado, poresto es pertinente referenciar los ángulos mitad.
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
307
( )2
)a(cos12
asen −±=
Demostración
De la identidad de ángulo doble, podemos hacer esta demostración.
)a(sen1)a(cospero);a(sen)a(cos)a2(cos 2222 −=−= por la identidad
fundamental, luego:
),a(sen21)a(sen)a(sen1)a2(cos 222 −=−−== despejamos )a(sen 2
2)a2(cos1
)a(sen)a(sen21)a2(cos 22 −=⇒−=−
Hacemos un cambio así: 2x
a= y reemplazamos en la ecuación:
( ) ,2
)x(cos12
2x
2cos1
2xsen2 −
=
•−
= por consiguiente:
2)x(cos1
2x
sen−
±=
)a(cos1)a(sen
2a
tany2
)a(cos12a
cos+
=
+
±=
Demostración
La demostración de las dos anteriores identidades, se dejan como ejercicio para
resolver en pequeño grupo colaborativo o con asistencia del docente.
UNAD
308
Identidad de producto-suma
Vamos a referenciar este tipo de identidades; los demostraciones se dejan como
investigación, para que lo resuelvan individualmente y luego socializarlo con los
compañeros y el docente.
1. [ ])ba(sen)ba(sen21
)b(cos)a(sen −++=•
2. [ ])ba(cos)ba(cos21
)b(sen)a(sen −−−=•
3. [ ])ba(sen)ba(sen21
)b(sen)a(cos −−+=•
4. [ ])ba(cos)ba(cos21
)b(cos)a(cos −++=•
Identidades de suma-producto
Al igual que en el caso anterior, las demostraciones se dejan como investigación.
1.
−
•
+
=+2
bacos
2ba
sen2)b(sen)a(sen
2.
−
•
+
=−2
basen
2ba
cos2)b(sen)a(sen
3.
−
•
+
=+2
bacos
2ba
cos2)b(cos)a(cos
3.
−
•
+
−=−2
basen
2ba
sen2)b(cos)a(cos
Demostración de identidades trigonométricas
En el inicio de este capítulo se hizo referencia a las identidades básicas, en este
aparte se va a trabajar en la demostración de otras identidades, utilizando los
principios matemáticos que se conocen y las identidades básicas.
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
313
EJERCICIOS: IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
Para los ejercicios propuestos a continuación, reducir a una sola función las
expresiones dadas.
1. )x(sec1)x(tan)x(sec)x(tan
+•+
Rta. tan ( x )
2.)x(cot
1)x(csc2
2 −Rta. 1
3. )A(csc)A(cot)A(tan +
Rta. sec ( A )
4. )x(sen)x(cos1
)x(cos1)x(sen +
++ Rta. 2 csc ( x )
Demostrar las siguientes identidades.
5.( )
)x(tan)x(sec)x(sen1
2sen=−
−
π
6. [ ] [ ] 2)(cos)(sen)(cos)(sen 22 =σ−σ+σ+σ
7. )x(sen)º180x(sen −=+
8. )x(tan1)x(tan1
)º45x(tan−+
=+
9. 1)x(cos21
)x(cos)x(sen2
44=
−
−
10. ( ) ( ))t(sen)t(cos22
4tcos +=π−
11. )4(cot)(sen)7(sen)(cos()7(cos
σ=σ+σσ+σ
12. )y2(sen)x2(sen)y2(sen)x2(sen
)yx(tan)yx(tan
+−
=+−
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
319
Ahora:
( ) º5,67x21Tanx 1 −==⇒−−= − que es equivalente en ángulo positivo es:
813º5,292 π= . En el cuarto cuadrante, pero nos falta en el segundo cuadrante
donde también la tangente es negativa, en este el ángulo será:
85º5,1125,67º180 π==− Luego la solución general:
.813y8
9,85,8
ππππ
Estimado estudiante, compruebe la solución.
Podemos hacer una reflexión sobre la solución de ecuaciones trigonométricas. Es
importante conocer las identidades básicas, de ángulo suma y diferencia, de
ángulo doble y ángulo mitad; además de las herramientas algebráicas, para
resolverlas adecuadamente, pero también una buena gama de ejercicios permitirán
adquirir destreza, como se dijo antes: pedaliando, pedaliando, se llega lejos.
UNAD
320
EJERCICIOS: ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
Resolver las siguientes ecuaciones trigonométricas; para la circunferencia unidad.
1. 23)x(cos = Rta. x = 30º y 330º
2. 01)x(sen 2 =− Rta. 2
3y
2x
ππ=
3. 0332)(sec =−σ Rta. 6
11y6ππ=σ
4. )2(sen)4(cos σ=σ Rta. º135yº75,º15=σ
5. 0)(tan)(tan 2 =α+α Rta. π=απ=α y43
6. 01)(sen)(sen2 2 =−α+α Rta. 23;6
5;6π=απ=απ=α
7. 0)x5(sen)x3(sen =+ Rta. 23,4
5,,43,2,4,0x ππππππ=
8. )(sen2
cos2
3sen2 σ=
σ
σ
Rta. º270,º180,º90,º0=σ
9. 12
)x(cos21 =+Rta. 3
4y3
x ππ=
10. 0)(sen3)(sen2 =α+α Rta. π=α
UNAD
324
Ccosab2bac
Bcosac2cab
Acosbc2cba
222
222
222
−+=
−+=
=+=
La demostración ha haremos con un
triángulo, obtusángulo pues se puede
hacer con cualquiera. Las coordena-
das de cada vértice.
0 ( 0, 0 )
A ( b, 0 )
B ( x,y ) = ( a cos ( α ), a sen ( α ) )
Por medio de la ecuación de distancia euclidia, podemos hallar c, veamos:
212
212
2 )yy()xx(c −+−=
Pero: ))(sena0(yyy))(cosab(xx 1212 α−=−α−=− , luego:
222 ))(sena0())(cosab(c α−+α−=
)(sena)(cosa)(cosab2bc 222222 α+α+α−=
)(cosab2b))(sen)(cos(ac 22222 α−+α+α= por la identidad fundamental:
)(cosab2bac 222 α−+=
La demostración de 22 cyb ; se hace de forma similar; el estudiante debe
hacer las dos demostraciones faltantes y compartidas con los compañeros y eltutor.
UNAD
330
Solución
AB = Longitud de la puerta
del baúl = 1,10 m
UV = longitud del soporte extendido.
BC = espacio de apertura = 0,85 cm.
A = ángulo de apertura
Por triángulos semejantes:
84,085,0
65,0x10,1AU
:AUdespejamos,AU
65,010,185,0
AUUV
ABBC
==
=⇒=
Ahora calculamos el ángulo A:
)A(cos)AC()AB(2)AC()AB()BC( 222 −+=
Reemplazando valores:
)A(cos)10,1()10,1(2)10,1()10,1()85,0( 222 −+=
:luego)A(cos42,221,121,17225,0 −+=
º46,45A)7014,0(cosA
7014,042,2
6975,1)A(cos
1 =⇒=
=−
−=
−
A
B
C
v
u
0,85
m
0,65
m
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
331
EJERCICIOS: PROBLEMAS DE TRIÁNGULOS NO-RECTÁNGULOS
1. Una circunferencia tiene un radio de 25 cm, suntendido por el ángulo
central de 36º. ¿Cuál será la longitud del arco de la circunferencia?
Rta. S= 15,71 cm.
2. Una persona se encuentra a 120 metros de la base de una torre inclinada,
el ángulo de elevación desde su posición a la punta de la torre es de 24º, a
su verz la torre forma un ángulo con el suelo de 72º. ¿Cuál es la altura de
la torre?
Rta. h = 49,08 metros.
3. Asumiendo que las órbitas de mercurio y tierra son circulares y se
encuentran en el mismo plano. La tierra se encuentra a 9,3 x 107 millas
del sol y mercurio se encuentra a 3,6 x 107 millas del sol. Si mercurio se ve
desde la tierra y el ángulo entre mercurio, tierra y sol es de 8,35º; seindo la
tierra el vértice. ¿Qué tan lejos esta la tierra de mercurio?
Rta: D = 1,25 x 108 millas
4. Las casas de José y Alberto están a los lados opuestos de un rio, un ingeniero
debe hacer un puente que comunique las dos casas, para esto ubica a 100
metros de la casa de José por la misma orilla el teodolito, obteniendo los
siguientes datos: el ángulo entre la casa de José, Alberto y el teodolito es de
50º, siendo ésto último el vértice. El ángulo enter la casa de José, Alberto
y el teodolito es de 40º, siendo la casa de José el vértice. ¡Cuál será la
longitud del puente entre las casas?
Rta. L = 76,604 metros
5. Para medir la altura de una montaña, un topográfo determina que el ángulo
de elevación desde su ubicación a lapunta de la montaña es de 25º, luego
camina 100 metros y mide el nuevo ángulo de elevación el cual fue de 15º.
¿Cuál será la longitud de la punta de la montaña hasta la ubicación inicial
del topógrafo?
UNAD
332
6. Dos autos parten de una intersección de dos conectores cuya separación es
de 80º, uno viaja a 80 km/hr y el otro a 100 km/hr. Al cabo de 45 minutos,
¿qué tan separados estarán los autos?
Rta. L = 87,53 km
UNAD
334
Ángulo doble:
21)x2(hcos
)x(senh2 −=
2)x2(hcos1
)x(cosh 2 +=
)x(hcos)x(hsen2)x2(hsen =
)x(hsen)x(hcos)x2(hcos 22 +=
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
335
AUTOEVALUACIÓN UNIDAD 1
1. Resolver la ecuación:
)1x(3x41
61
)1x(23x
−−
−=−
−
2. Hallar la solución para el siguiente sistema; utilice la metodología de
eliminación por cualquiera de sus métodos.
1y32x
21 −=−
25y
31x
43 =+
3. Resolver el siguiente sistema utilizando el método de Kramer.
0zx1z4y32yx18
=−=+=−
4. Un tanque de forma cilíndrica se puede llenar por medio de un tubo, unamanguera o los dos conductos. Utilizando el tubo para llenar el tanque
tarda 12 horas; utilizando el tubo y la manguera, el llenado tarda 748
horas. ¿Qué tiempo tardará en llenar el tanque la manguera?
5. Hallar el conjunto solución para la desigualdad:
2x
53x
2x4
<−
<−
6. Resolver:
4xx3 2 >−
7. Un ascensor para poder funcionar, máximo debe traer de carga 700 kg. Aél se subieron 5 mujeres y 5 hombres, cuyos peso promedio para las mujereses de 68 Kg. ¿Cuál será el peso promedio de los hombres, si el ascensorfuncionó con su límite de peso?
UNAD
336
8. Dada la función:
3)1x()x(f 3 +−=
Identificar su dominio, imagen, monotonía, simetría y su gráfica.
9. En la fabricación de un producto, el precio P está dado por la función:
80x21
P += y la función ingreso R es igual a la cantidad de unidades
vendidas por el precio unitario. ¿Cuál será el ingerso si en una transacción
el presio P fué de 200 millones?
10. Sea la función: 1)2x(
1)x(g
2+
−=
Hallar el dominio, imagen, monotonía y la gráfica.
11. Resolver la siguiente ecuación:
2x8x5 93 +− =
12. El conocimiento de una publicación está dada por la función:
te000.1)t(P = . Siendo t en años.
a. ¿Cuál será la población inicial?b. ¿En qué tiempo la población se triplica?
13. Dada la función 43
)(Tan =α .. Identificar las restantes funciones
trigonométricas.
14. Halalr el valor de cos (105°) utilizando identidades trigonométricas básicas.
15. Resolver la ecuación dada, dar el resultado en radianes.sen ( 2x ) = cos ( x ).
16. Un avión viaja a 1.200 metros de altura y desea iniciar su descenso paraaterrizar. El ángulo de depresión mide 30º al iniciar el descenso. ¿A quédistancia del inicio de la pista se encuentra el avión?
17. Demostrar que:
++=− 1xxLn)x(hsen 21
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
337
UNAD
334
Ángulo doble:
21)x2(hcos
)x(senh2 −=
2)x2(hcos1
)x(cosh 2 +=
)x(hcos)x(hsen2)x2(hsen =
)x(hsen)x(hcos)x2(hcos 22 +=
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
335
AUTOEVALUACIÓN UNIDAD 1
1. Resolver la ecuación:
)1x(3x41
61
)1x(23x
−−
−=−
−
2. Hallar la solución para el siguiente sistema; utilice la metodología de
eliminación por cualquiera de sus métodos.
1y32x
21 −=−
25y
31x
43 =+
3. Resolver el siguiente sistema utilizando el método de Kramer.
0zx1z4y32yx18
=−=+=−
4. Un tanque de forma cilíndrica se puede llenar por medio de un tubo, unamanguera o los dos conductos. Utilizando el tubo para llenar el tanque
tarda 12 horas; utilizando el tubo y la manguera, el llenado tarda 748
horas. ¿Qué tiempo tardará en llenar el tanque la manguera?
5. Hallar el conjunto solución para la desigualdad:
2x
53x
2x4
<−
<−
6. Resolver:
4xx3 2 >−
7. Un ascensor para poder funcionar, máximo debe traer de carga 700 kg. Aél se subieron 5 mujeres y 5 hombres, cuyos peso promedio para las mujereses de 68 Kg. ¿Cuál será el peso promedio de los hombres, si el ascensorfuncionó con su límite de peso?
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336
8. Dada la función:
3)1x()x(f 3 +−=
Identificar su dominio, imagen, monotonía, simetría y su gráfica.
9. En la fabricación de un producto, el precio P está dado por la función:
80x21
P += y la función ingreso R es igual a la cantidad de unidades
vendidas por el precio unitario. ¿Cuál será el ingerso si en una transacción
el presio P fué de 200 millones?
10. Sea la función: 1)2x(
1)x(g
2+
−=
Hallar el dominio, imagen, monotonía y la gráfica.
11. Resolver la siguiente ecuación:
2x8x5 93 +− =
12. El conocimiento de una publicación está dada por la función:
te000.1)t(P = . Siendo t en años.
a. ¿Cuál será la población inicial?b. ¿En qué tiempo la población se triplica?
13. Dada la función 43
)(Tan =α .. Identificar las restantes funciones
trigonométricas.
14. Halalr el valor de cos (105°) utilizando identidades trigonométricas básicas.
15. Resolver la ecuación dada, dar el resultado en radianes.sen ( 2x ) = cos ( x ).
16. Un avión viaja a 1.200 metros de altura y desea iniciar su descenso paraaterrizar. El ángulo de depresión mide 30º al iniciar el descenso. ¿A quédistancia del inicio de la pista se encuentra el avión?
17. Demostrar que:
++=− 1xxLn)x(hsen 21
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
337
UNAD
338
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
339
a geometría Analítica o llámada también la Geografía
Matemática, es la ciencia que combina el álgebra y la
geometría, para describir figuras geométricas planas desde el
punto de vista Algebraico y Geométrico. Esto se podría resumir
diciendo que dando una gráfica específica, se debe encontrar
una ecuación, hacer la gráfica que explique dicha ecuación.
Esta ciencia matemática fue desarrollada por el famoso filósofo
y matemático Renato Descartes (1596-1650); quien a partir
del planteamiento del plano cartesiano, también de su autoría,
desarrolla toda la teoría geométrica para darle nombre
matemático a las figuras como elipse, parabola, circunferencia
e hipérbola.
En este orden de ideas, el trabajo a desarrollar será el análisis
de diversas figuras geométricas como la recta, la
circunferencia, la elipse la parábola, a las cuales se les
identificará sus perímetros, que las describan claramente. Se
llegará hasta el análisis general de la ecuación de segundo
grado y la traslación de ejes coordenados. No sobra decir que
se estudiarán las aplicaciones que tienen estas figuras.
INTRODUCCIÓN
L
UNAD
340
OBJETIVO GENERAL
Analizar gráfica y matemáticamente la recta y las cónicas, identificando los
parámetros de cada una, su formula cónica y general, además de los campos de
aplicación de las mismas.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
w Determinar analíticamente los parámetros de la recta y las cónicas.
w Obtener la ecuación de la figura geométrica, a partir de los parámetros
establecidos.
w Identificar la figura geométrica, utilizando la ecuación cónica o general.
w Resolver problemas de diferentes campos del saber utilizando la geometría
analítica.
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
341
Geo
met
ría
Ana
lític
a
cons
ta d
e
cara
cter
ístic
asso
n
tiene
tiene
cara
cter
ístic
as
en
Rec
taC
ónic
as
Grá
fica
Pará
met
ros
Ecu
ació
nC
ircun
fere
ncia
Elip
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rábo
laH
ipér
bola
Pará
met
ros
Grá
fica
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plic
acio
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Cie
ncia
sIn
geni
ería
Art
eO
tros
Can
ónic
a
Gen
eral
UNAD
342
UNAD
352
67
67
4234
m =−−
=−−−−
=
Luego la ecuación quedaría: bx67y += . Ahora hallamos b, lo cual se hace
reemplazando uno de los puntos conocidos y despejamos b.
Tomemos p ( 4, 3 ), luego:
35
3143bb
3143b)4(
673 −=−=⇒+=⇒+= , entonces:
35x
67y −= . Que es la ecuación cónica.
Para hallar la ecuación general: 610x7
6)5(2x7y −=−= , luego;
010x7y610x7y6 =+−⇒−=Para la ecuación punto-pendiente, tomamos la pendiente y uno de los puntos que
conocemos: tomamos )4,2(p2 −− .
))2(x(67
)4(y)xx(m)yy( 11 −−=−−⇒−=− entonces:
)2x(67
4y +=+
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
353
EJERCICIOS. ANÁLISIS DE LA RECTA
Hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos dados:
1. )3,2(y)7,4( −− Rta: 35m =
2. )2,3(y)3,4( −− Rta: 75m −=
3. )3,4(y)3,2( − Rta: m = 0
4. )4,5(y)4,5( − Rta: m = intederminada
Hallar la ecuaciòn de la recta que cumple las condiciones dadas.
5. Tiene pendiente 4 y el intercepto es 2− Rta. 2x4y −=
6. Pasa por el punto )2,2( − y pendiente 3− Rta: 4x3y +−=
7. Pasa por los puntos ( 8, 1 ) y )1,3( − Rta: y = 1
8. Intercepto en x = 4 y en 2y −= Rta: 2x21
y −=
Para las ecuaciones dadas, hallar los parámetros:
9. 08y5x2 =−+ Rta: 58by
52m =−=
10. 22y
4x3
=− Rta: 6by49m −==
11. 31
y4x32
=+ Rta:
23
by43
m =−=
12. Hallar la ecuación de la recta que se ve en la gráfica.
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
359
EJERCICIOS: RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES
De cada par de rectas determinar si son paralelas, perpendiculares u oblicuas.
1. 010y6x4y08x2y3 =−+−=−− Rta. paralelas
2. 8x2yy05yx21
=−=−+ Rta. perpendiculares
3. 010x4y3y09y4x3 =−−=−+ Rta. perpendiculares
4. 9y2xy1y3x2 =−=+ Rta. oblicuas
Resolver los problemas propuestos:
5. Hallar la ecuación de la recta que pasa por )4,2( − y es paralela a la recta
02y3x =−+ .
Rta. 010xy3 =−+
6. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto )4,5( − , y es
perpendicular a la recta que pasa por (1,1) y (3,7 )
Rta. 07y3x =−+
7. ¿Cuál será la ecuación de la recta en forma general para aquella que pasapor el punto (3,4 ) y su pendiente es el doble de la pendiente de la recta
012y6x4 =−−
Rta. 024x4y3 =−+
8. Una recta corta al eje x en 5 y es paralela a la recta 05yx2 =−+ .
Rta. 010x2y =−+
9. Una recta cuya ecuación es 020x4y5 =−− , limita un triángulo rectángulocon los ejes coordenados. ¿Cuál es el área de dicho triángulo?
Rta. 10 unidades cuadradas.
UNAD
360
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
361
Introducción
La palabra cónica viene de la figura geométrica cono. Las secciones cónicas son
figuras geométricas que se obtienen al hacer pasar un plano de diferentes formas
a través de un par de conos invertidos y unidos por el vértice.
El trabajo con las cónicas, consiste en describir por medio de una ecuación
matemática, unas figuras geométricas específicas; o viceversa, por medio de una
ecuación matemática hacer la gráfica correspondiente.
Las figuras son en su orden: Circunferencia elipse, parábola e hipérbola.
LAS CÓNICAS
UNAD
362
IRCUNFERENCIA
La circunferencia es el perímetro del círculo, ésta no tiene área, sólo longitud y
los parámetros que la caracterizan.
Definición: La circunferencia es un conjunto de puntos en el plano cartesiano
que equidistan a un punto fijo llamado centro.
La distancia fija es llamada radio.
En el orden de ideas de la definición, la circunferencia queda descrita por medio
de su radio y su centro, además, del conjunto de puntos que la conforman.
c = centro
R = radio
Recordemos dos conceptos de la
circunferencia.
Diámetro D = 2R
Longitud: L = R2π
Conociendo las características básicas de la circunferencia, ahora busquemosuna ecuación matemática que la identifique.
Para obtener la ecuación, hacemos que
el centro de la circunferencia este en
(0,0). Ubicamos cualquier punto (x,y)
que satisfaga la ecuación.
Por el teorema de Pitágoras:
222 Ryx =+ Ecuación canónica
Todo punto ( x, y ) que satisfaga la anterior ecuación, hace parte de lacircunferencia que tiene centro ( 0,0 ) y radio R.
•R
C
•
R
Cx
y
y(x, y )
x
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
365
A V y V1 se le llama los vértices mayores y a u y u1 se le llaman los vértices
menores. De estos se originan los ejes mayor y menor de la elipse.
Eje mayor: 2a y Eje menor: 2b
Según la gráfica 2a > 2b, primer aspecto importante de la elipse.
Por definición:
a2)pF(d)'pF(d =+
Teorema: la ecuación canónica de la elipse con centro ( 0,0 ), eje mayor sobre eleje x, es de la forma:
1b
y
a
x2
2
2
2=+
Demostración
Identifiquemos las distancias:
( ) ( ) 221f 0y)c(xpd −+−−=
( ) ( ) ( ) 22f 0ycxpd −+−=
Ahora:
( ) ( ) a2ycxycx 2222 =+−+++
( ) ( ) 2222 ycxa2ycx +−−=++
( )2
22222 ycxa2y)cx(
++−=
+−
( ) ( ) ( ) 2222222 ycxycxa4a4ycx +++++−=+−
222222222 ycxc2xy)cx(a4a4ycxc2x ++++++−=++−
UNAD
366
Simplificando:
( ) 222 ycxa4a4xc2xc2 ++−=−− entonces:
( ) 222 ycxa4a4xc4 ++−=− reorganizando.
( ) xc4a4ycxa4 222 +=++ dividiendo todo por cuatro obtenemos:
xcay)cx(a 222 +=++ elevando al cuadrado, queda:
22242222 cxxca2aycxc2xa ++=
+++
22242222222 cxxca2ayacaxca2xa ++=+++
por trinomio cuadrado perfecto; reorganizando tenemos:
−=+
− 22222222 caayacax
Si dividimos todo por:
− 222 caa
:tenemoscaa
caa
caa
ya
caa
cax
222
222
222
22
222
222
=
−
−=
−
+
−
−
1ca
y
a
x22
2
2
2=
−+
Como a > c, ya que la distancia del eje mayor es mayor que la distancia focal,
luego 0caca 2222 >−⇒> , así podemos reemplazar 222 bca =− ,
entonces:
1b
y
a
x 2
2
2=+
UNAD
370
Eje mayor : 6)3(2a2 ==
Eje menor: 4)2(2b2 ==
Focos: ( ) ( )5,0y5,0)c,0(y)c,0( −⇒
V ( 0, 3 ) y V’ ( 0, - 3 )
( ) ( )5,0'Fy5,0F
)0,2('uy)0,2(u)3,0('Vy)3,0(V
−
−
19
y4
x 22=+←
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
371
EJERCICIOS: ELIPSE
1. Relacionar la gráfica con la ecuación correspondiente.
a. 116y
4x 24
=+
b. 14
y16x 22
=+
2. Dada la ecuación, hallar focos, vértices y hacer un bosquejo de la gráfica.
a. 125y
9x 22
=+ Rta. )4,0('Fy)4,0(F)5,0('Vy)5,0(V
−−
b. 16yx4 22 =+ Rta. ( ) ( )32,0'Fy32,0F
)4,0('Vy)4,0(V
−
−
3. Encontrar la ecuación analítica de la elipse que cumple los registros dados:
a. Centro ( 0, 0 ), foco ( 3, 0 ) y vértice ( 5, 0 )
Rta. 116y
25x 22
=+
b. Focos ( )3,0 ± , interjeción 2x ±= Rta. 113y
4x 22
=+
4. Determinar la ecuación y hacer la gráfica para la elipse que cumple:
a. Foco en ( )3,0 ± y eje mayor mide 4. Rta. 116y
13x 22
=+
b. Foco en ( 2, 0 ), centro ( 0, 0 ) y b = 3 Rta. 19
y13x 22
=+
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
373
ARÁBOLA
La parábola es una figura que describe diversos fenómenos, como la trayectoria
de un balón de fútbol o de un tejo, en el juego autóctono de Colombia, muchos
otros.
Definición
Una parábola es un conjunto de puntos en el plano p (x, y ) que se encuentran a
la misma distancia de un punto fijo F, llamado foco y una recta D llamada directriz.
Como consecuencia de la definición:
d ( PF ) = d ( PQ ).
De acuerdo con la definición y según la gráfica, podemos identificar en la parábola
los siguientes elementos:
Eje de simetría, directriz, vértice, foco y por supuesto los puntos
p (x, y ) que conforman la curva.
A continuación analizaremos la descripción matemática de la parábola para
facilitar el análisis, tomemos el eje de simetría como el eje Y, y su vértice es el
origen.
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
375
22222 pyp2ypyp2yx ++=+−+ Simplificando:
0yp4x0yp2yp2x 22 =−⇒=−− , luego:
Como la parábola tiene dos ramas que se abren a partir del vértice; debemos
tener presente lo siguiente:
Cuando P > 0: las ramas abren hacia arriba a partir del vértice
Cuando P < 0 : las ramas abren hacia abajo a partir del vértice.
También se debe resaltar que el vértice y el foco están sobre el eje de simetría;
además este último y la directriz son perpendiculares.
Teorema
Toda parábola con eje de simetría horizontal y vértice en el origen, tiene como
ecuación canónica:
Demostración
Se deja como ejercicio, para hacerlo en pequeño grupo colaborativo y corroborarlo
con el docente.
Para este caso:
Cuando P > 0: las ramas abren hacia la derecha a partir del vértice
Cuando P < 0: las ramas abren hacia la izquierda a partir del vértice.
x2 = 4py
x2 = 4py
UNAD
378
Vamos a resumir la forma estándar de la parábola:
Ecuación Vértice Eje de Foco Directriz Ramas canónica simetría
Py4x 2 = V ( 0, 0 ) x = 0 F ( 0,P) py −= P > 0: hacia arriba
p< 0: hacia abajo
Px4y 2 = V ( 0, 0 ) y = 0 F ( P, 0 ) px −= P > 0: hacia arriba
p< 0: hacia abajo
y
x
D
F
x = 4py2
p > 0
y
x
D
F
x = 4py2
p < 0
y
x
D
F
y = 4px2
p > 0
y
x
D
F
y = 4px2
p < 0
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
379
EJERCICIOS: PARÁBOLAS
Para las ecuaciones dadas, hallar vértice, foco y directriz.
1. x16y 2 = Rta. V (0,0 ) F (2,0 ) directriz 2x −=
2. y36x 2 = Rta. V (0,0) F (0,9) directriz 9y −=
3. 0yx12 2 =+ Rta. V (0,0 ) F ( 0,3− ) directriz x = 3
A partir de los datos dados hallar la ecuación:
4. Foco ( 3, 0 ); directriz 3x −= Rta. x12y 2 =
5. Vértice (0,0), eje simetría horizontal y pasa por )4,1( − Rta. x16y2 =
6. Foco (3,2) directriz 2y −= Rta. ( ) y83x 2 =−
7. La fachada de un edificio tiene forma parabólica, el largo es de 32.5 metrosy el ancho de la base 24,2 metros. Exprese la ecuación que modela la fachada.
Rta. y29
x 2 =
8. Un túnel tiene forma parabólica, su altura máxima es de 12,8 metros y el
ancho de la base es de 10,2 metros; cuál será el espacio libre vertical a 1,5
metros de la orilla del túnel.
Rta. y = 6,4 metros
UNAD
382
( )
)ac(aya)ac(x
acayaxacx
yacaxaacx
yacaxca2xaaxca2cx
ycxc2xaaxca2cx
ycxa)axc(
y)cx(aaxc
y)cx(a4a4xc4
22222222
422222222
222222422
22222224222
22224222
22222
222
222
−=−−
−=−−
++=+
++−=+−
++−=+−
+−=−
+−=−
+−=−
Como 0acca >−⇒< y 0ac 22 >− ; entonces; denominamos a
222 bac =− . Pero antes dividamos toda la ecuación por )ac(a 222 − ,
luego:
)ac(a
ac(a
)ac(a
ya
)ac(a
)ac(x222
222
222
22
222
222
−
−=
−−
−
−
1ac
y
a
x22
2
2
2=
−− , pero 222 acb −= , entonces:
1b
y
a
x2
2
2
2=−
Teorema: toda hipérbola con eje transverso paralelo al eje de las ordenadas y
centro en el origen de coordenadas, tiene como ecuación canónica:
222 acb −=y2 x2
- = 1a2 b2
UNAD
388
Solución
Según los datos: 2ay4c =±= ; como 222 acb −= , entonces
1241624b 222 =−=−= .
Por otro lado, como el foco está sobre la abscisa, el eje transverso estará en el ejex, luego la ecuación correspondiente es de la forma:
112y
4x
1b
y
a
x 22
2
2
2
2=−⇒=−
En el siguiente cuadro resuminos las características de la hipérbola.
Ecuación Vértice Eje de Foco Directriz Ramas canónica simetría
( 0, 0 ) )0,C(F ± )0,a(v ± 0Y:T.E = xaby ±=
( 0, 0 ) ),C,0(F ± )a,0(v ± 0x:T.E =
12b
2y2a
2x=−
12b
2x2a
2y=− x
bay ±=
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
389
EJERCICIOS: HIPÉRBOLA
Encontrar la ecuación de la hipérbola, según los datos dados:
1. Centro ( 0, 0 ), foco ( 3, 0 ), vértice ( 1, 0 )
Rta. 18
yx2
2 =−
2. Centro ( 0, 0 ), foco ( 6,0 − ), vértice (0, 4 )
Rta. 120x
16y 22
=−
3. Focos )0,5( ± , vértice )0,3( ±
Rta. 116y
9x 22
=−
4. Vértice )6,0( ± , asíntota x43
y ±=
Rta. 164x
36y 22
=−
A partir de la ecuación dada hallar, vértices, focos, eje transverso.
5. 14
y25x 22
=− Rta. )0,5(V;)0,29(F ±±
Eje transverso: 10
6. 18x3y6 22 =− Rta. ( ) ( )3,0V;9,0F ±±
Eje transverso = 32
7. 025yx 22 =−− Rta. ( ) ( )0,5V;0,50F ±±
Eje transverso = 10
UNAD
390
8. El techo de un auditorio de música tiene forma de hipérbola, cuya ecuación
es: 25xy 22 =− . Donde x y y están en metros. Cuál será la altura de las
paredes exteriores, según la siguiente figura.
y
x
h h
6 m 6 m
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
393
EJERCICIOS: TRASLACIÓN CIRCUNFERENCIA
Dados los parámetros de la circunferencia, hallar la ecuación canónica y general.
1. radio = 2 y centro ( 0, 2 ) Rta. 4)2y(x 22 =−+
2. radio = 5 y centro )3,4( − Rta. 0y6x8yx
25)3x()4x(22
2
=+−+
=++−
3. Los extremos del diámetro (3,3) y )14( − Rta. 029y12x2yx
8)6y()1x(22
22
=+−−+
=−+−
4. Centro ( 5, 6 ) y tangente al eje x Rta. 0y12x10yx
36)6y()5x(22
22
=−−+
=−+−
Para las ecuaciones dadas, hallar el centro y el radio.
5. 49)3y()1x( 2 =−+− Rta. centro )3,1( − ; radio:7
6. 12)4x()5y( 22 =−++ Rta. centro )3,1( − ; radio 32
7. 0112Y36X12Y6X6 22 =−+++ Rta. centro )3,1( −− ; radio 32
8. 024y8x12y2x2 22 =−+−+ Rta. centro )2,3( − , radio = 5
9. Un canal de conducción tiene forma semicircular de 10 metros de
profundidad en el centro, ¿cuál será la ecuación que describe el canal y
cuál será su profundidad a 4 metros del borde?
Rta. mts8y
100xy 22
==+
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
397
EJERCICIOS: TRASLACIÓN ELIPSE
Dada la ecuación de la elipse, identifique centro, focos y vértice respectivos.
1. 19
)1y(4
)3x( 22=++−
Rta. ( ) ( ))1,3(centro
31,3'Fy31,3F
)4,3('Vy)2,3(V
−
−−+−
−
2. 011y16x18y4x9 22 =−+−+ Rta. ( ) ( ))2,1(centro
32,1'F;32,1F
)5,1('Vy)1,1(V
−
−−+−
−
3. 125
)2x(9
)1y( 22=
−+
−Rta.
)1,2(centro)1,2('Fy)1,6(F
)1,3('Vy)1,7(V−
−
4. 018yx18x3 22 =+++ Rta. ( ) ( )
)1,3(centro
1,29'Fy1;2
3F
)1,4('Vy)1,2(V
−−
−−−
−−−
A partir de los parámetros dados, hallar la ecuación de la elipse
5. Centro en ( 3, 1 ); un foco en (0, 1 ) un vértice en )1,1( −
Rta. 17
)1y(16
)3x( 22=
−+
−
6. Vértices en
−−− 15
43
,0porpasa),,1(y)3,1(
Rta. 19
y16
)1x( 22=+
+
7. Centro en ( 1, 2 ), un vértice en (4,2 ) y pasa por el punto P (1,3)
Rta. 1)2y(9
)1x( 22
=−+−
8. En un terreno rectangular de 6 x 3 metros, hay una pista para atletismo,
ésta toca el centro de los lados del rectángulo. ¿Cuál es la ecuación que
gobierna al pista? Rta. 09y4x 22 =−+
UNAD
398
Parábola
Cuando el vértice de la parábola está en ( h , k ) la ecuación canónica; ya estudiada,
solo cambia al adicionar h y k a las variables X y Y respectivamente. El valor de
h y k al entrar a la ecuación cambia de signo y viceversa.
La ecuación canónica queda de
la forma:
)ky(4p)hx 2 −=−
Eje de simetría: x = h
Vértice: V ( h, k )
Foco: F ( h, k + p )
Directríz D = k - p
Recordemos que si p > 0, las ramas abren hacia arriba a partir del vértice y si
p < 0, las ramas abren hacia abajo a partir del vértice. Veamos ahora qué ocurre
cuando el eje de simetría es paralelo al eje X, es decir corta el eje Y.
La ecuación canónica es de la forma:
)hx(4p)ky 2 −=−
Eje de simetría: y = k
Vértice : V ( h, k )
Foco: F ( h + p, k )
Directríz Q = h - p
Aquí también se debe saber el signo de p para ver hacia donde van las ramas. Si
p > 0, las ramas abren hacia la derecha y si p < 0, las ramas abren hacia la
izquierda.
y
xD
K
FP
V
h
y
x
D
KF
h
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
401
. Si p < 0, y debe ser menor que cero, para que haya soluciòn, por consiguientey < 0, entonces las ramas van hacia abajo.
El otro caso:
px4y2 = , despejamos y, tenemos:
px2y ±= . Para que y tenga solución real, se debe cumplir:
. Si p > 0, entonces x debe ser mayor que cero, por consiguietne x > 0, luego las
ramas van hacia la derecha.
. Si p < 0, entonces x debe ser menor que cero, por consiguiente x < 0, luego las
ramas van hacia la derecha.
UNAD
402
EJERCICIOS: TRASLACIÓN PARÁBOLA
Encontrar los parámetros: vértices, foco, directriz y eje de simetría para la parábola
identificada por la ecuación dada.
1. x4)1y( 2 −=+ Rta. 1y:Eje
1xDirectríz),1(F),1,0(V
−==
−−−
2. )1y(4)2x( 2 −=− Rta. 2xeje;0y:Directríz)2,2(F,)1,2(V
==
3. 01y2x18x 2 =+−+ Rta.
( )
9x:Ej2
81YDirectríz2
799F),40,9(V
−=
−=
−−−−
4. 0x6y18y3 2 =+−− Rta.
( )
3y:Eje5x:Directriz
)3,4(F,3,29V
−=−=
−−−−
Hallar la ecuación de la parábola que cumple las condiciones dadas.
5. Directriz y = -1 ( 4, 5 ) Rta. 040y12x8x 2 =+−−
6. Vértice (4, - 6 ), eje de simetría x = 4, pasa por el punto p (0, - 8 )
Rta. 064y8x8x 2 =++−
7. Vértice )7,8( − , eje simetría es paralelo el eje x, pasa por el punto P(6,-8 )
Rta. 090xy28y2 2 =+−+
8. El arco de la ventana de una iglesia tiene forma parabólica, la altura delarco en el punto medio es de 16 pies y el ancho de la base es de 7 pies. Sedesea pasar una caja en forma rectangular a través de la ventana. Si lacaja tiene una altura de 12 pies, ¿ cuál debe ser el máximo ancho de la cajapara que pueda pasar por la ventana)
Rta. 3,5 pies
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
405
Solución
1b
)hx(
a
)ky(2
2
2
2=
−−
−
15
)4x(4
)2y(
:Luego54923b
:entonces,3cy2a
1b
)4x(
a
)2y(
22
222
2
2
2
2
=+
−+
=−=−=
==
=+−+
UNAD
406
EJERCICIOS: TRASLACIÓN HIPÉRBOLA
A partir de la ecuación dada, identificar centro, vértices, focos y asíntotas de la
hiperbola.
1. 136
)2y(25
)3x( 22=
+−
− Rta. Centro ( 3, -2 ), focos ( )2,613 −±
Vértice )2,2(),2,8( −−−
Asíntota )3x(562y −±=+
2. 1x25
)2y( 22
=−+ Rta. ( )262,0cosfo),2,6(centro ±−−
)7,0(),3,0(vértice −
x5I2y:Asíntota =+
3. 100)2y(25)1x(4 22 =−−− Rta. ( )2,291cosfo,)2,1(centro ±
)2,4();2,6(vértice −
)1x(522y:asíntota −±=−
4. 04x6y8xy4 22 =−−+− Rta.
−±−−− 1,
23
3cosfo);1,3(centro
)1,4(,)1,2(vértice −−−−
)3x(21
1yasíntota +±=+
Determinar la ecuación de la parábola, que cumple las condiciones dadas.
5. Centro )2,3(y)6,3(envértices)4,3(y)8,3(cosfo)2,3( −−−−−−−
Rta. 120
)3x(16
)2y( 22=+−−
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
407
6. Centro ( 0, 0 ), un vértice ( ) )0,2(focouny0,23 −−
Rta. 17y4
9x4 22
=−
7. Centro )2,2(envérticeuny)3,2(focoun),1,2( −−−
Rta. 13
)2x()1y(2
2 =−−+
8. Centro ( )5,53puntoelporpasay)1,4(envérticeun),1,3( −+−−
Rta. 14
)1y()3x(
22 =
+−−
UNAD
408
CUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO
Recorrido todo el análisis de las secciones cónicas, utilizando como fundamento
la distancia euclidia y además, conocidas las ecuaciones canónicas de la recta,
circunferencia , parábola elipse e hipérbola.
Ahora nos ocuparemos de expresar las cónicas por medio de una ecuación que se
le ha llamado ecuación general de la curva, para cada caso.
Circunferencia
A partir de la ecuación canónica podemos tomar un procedimiento algebraico
para llegar a la ecuación general. Con un ejemplo ilustramos este caso.
Sea la ecuación canónica de una circunferencia así: 25)2y()4x( 22 =−++
Cual sería la ecuación general. Para resolver el problema lo que se hace es
desarrollar los productos notables así:
254y4y16x8x25)2y()4x( 2222 =+−+++⇒=−++
Reagrupando y simplificando: 02520y4yx8x 22 =−+−++ , luego:
05y4x8yx 22 =−−++ . Corresponde a la ecuación general de la circunferencia dada.
Definición
Toda ecuación de la forma: 0feycxbyax 22 =++++ , corresponde a una
circunferencia, siempre y cuando 0ayba ≠= . Además de tener signos iguales.
Como podemos observar, la ecuación corresponde a una de segundo grado, donde
c y e indican que el centro está fuera del origen cuando c = 0 y e = 0, la
circunferencia tiene centro en el origen.
UNAD
416
EJERCICIOS: ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO
Dada la ecuación de segundo grado, identificar su gráfico y sus parámetros.
1. 04x2y4y2 =−−− Rta. Parábola: )2,4(−
( ) cxeje25,4F −=−
23yDirectriz =
2. 036y6x4yx 22 =−+−+ Rta. Circunferencia centro ( 2, - 3 )
radio = 7
3. 019y2x16x4y 22 =−−−− Rta. Hiperbola: centro ( -2, 1 )
Vértice ( -2, 3 ) y ( -2, -1 )
Focos ( )51,2 ±−
4. 0541y16x250y4x25 22 =+−−+ Rta. Elipse: centro ( 5, 2 )
Vértice )52,5( ±
Focos: ( )212,5 ±
5. 015y4x12y2x2 22 =−+−+ Rta. Circunferencia: centro (3, - 1 )
Radio: 270
6. 0x12y8y2x6 22 =−+− Rta. Hipérbola: centro (1,2 )
Vértices: )2,11( ±
Focos:
± 2,3
321
7. 04y8x4x2 =−++ Rta. Parábola: vértice ( -2, 1 )
Foco 1y;eje).1,4( =+−Directriz: x = 0
8. 043y20x2y2x 22 =+−++ Rta. Elipse: centro ( -1, 5 )
Focos: ( - 3, 5 ) y ( 1, 5 )
Vértices: ( )5,18 ±
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
417
PLICACIÓN DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA
La geometría analítica es una fuerte herramienta matemática para resolver
problemas de la vida diaria. Inicialmente es pertinente recordar los principios de
cada figura estudiada, para poder seleccionar la que se aplica adecuadamente al
problema planteado.
Los ejemplos que se propondrán solo son una motivación para que con buenos
argumentos matemáticos, algo de astucia, pero ante todo buen sentido lógico, se
pueda resolver problemas donde la geometría analítica es protagonista.
Lo anterior significa que con solo estos ejemplos, no se aprenderá a resolver
problemas con geometría analítica, mas bien es una motivación, inducir a los
estudiantes a hacer mas y más ejemplos para adquirir buena destreza en este
campo.
A continuación vamos a dar unos lineamientos generales para la resolución de
problemas diversos.
1. Leer el problema las veces que sea necesario, hasta entender que se debe
hacer y como hacerlo.
2. Determinar la figura que se adapta al problema mostrado, identificarle
los datos dados y los datos a obtener, o a calcular.
3. Escoger los datos dados a la ecuación de la cónica seleccionada, realizando
las operaciones requeridas.
4. Obtener el valor o los valores preguntados en el problema y dar los
resultados del mismo.
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
419
a. Ubicar en el plano cartesiano los puntos correspondientes.
b. Establecer una recta de la forma y = a x + b, identificando los parámetros.
c. Con el modelo obtenido pronosticar el valor de la publicidad para los años 1982
y 1994.
Solución
Según los puntos ubicados en el plano,
los puntos tienden hacia una recta.
b. La ecuación a buscar es de la forma y = mx + b. Hallemos inicialmente m.
tenemos los primeros dos puntos: p1 (1980, 315 ) y p2 (1984, 385 ).
)550,1991(py)480,1987(PpendienteotraHallemos
5.174
7019801984315385
m
43
1 ==−−
=
5.174
7019871991480550
m2 ==−−
=
Igual con los dos últimos puntos )695,2000(py)625,1995(P 65
14570
19952000625695
m3 ==−−
=
Hallemos :
33,16m
33,163
145,175,173
mmmm 321
=
=++
=++
=
300
400
500
600
700
1980 1985 1990 1995 2000
costo
años
UNAD
422
8b8b20a40a2
=⇒==⇒=
La ecuación canónica, haciendoque el centro coincida con elorígen de coordenadas, será:
164y
400x
1)8(
y
)20(
x
22
2
2
2
2
=+
⇒=+
. La altura y, cuando x = 10 metros es:
34y48y48y
4192644
3y43
411
64y1
64y
400)10(
2
2222
=⇒=⇒=
=−=⇒=−=⇒=+
La altura a 10 metros del centro del punto es de aproximadamente 6,928 m.
. La altura y, cuando x = 15 metros será:
7228y
284
112400
200.1164x400175y
:luego,400175
4002251
64y1
64y
400)15(
2
222
==
====
=−=⇒=+
La altura del puente a 15 metros del centro es de aproximadamente 5,2915m.
40 m
8 m
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
423
EJERCICIOS: PROBLEMAS CON SECCIONES CÓNICAS
1. Un rayo de luz es emanado del foco de una parábola, cuya ecuación es
04yx2 =−+ , este toca con la parábola en el punto p ( - 1, 3 ). ¿Cuál será
la ecuación del rayo de luz?
Rta. 4y- 3x- 15 = 0
2. La superficie que describe la tierra tiene una ecuación de la forma.
04091y4x2yx 22 =−+++ . Un satélite da vuelta a la tierra en forma
circular a 0 , 6 unidades por encima de ésta. ¿Cual será la ecuación de la
órbita del satélite?
Rta. 04168y4x2yx 22 =−+++
3. Un puente esta construido en forma de aro semielíptica, su extensión es
de120 metros y la mínima altura del puente es de 25 metros. ¿Cuál será la
altura del arco a 50 metros del centro del puente?
Rta. 13,82 metros
4. En el punto (- 2.200,0 ) se produce una explosión, el sonido hace sonido en
un acantilado ¿ en ( 2.200 , 0 ). Una persona ubicada en p ( x, y ), escucha
el eco 6 seg después de oír la explosión. ¿Cuál será la ecuación de la curva
para el punto p ( x , y ) donde se encuentra la persona? La distancia en pies
y el sonido viajó a 1.100 pie/seg.
Rta. 163,3
y21,1
x 22=−
5. Un disco receptor de sonido esta construido en forma paraboloide, el foco
esta a 5 cm del vértice cual es el nudo del disco si la profundidad es de 2 cm.
Rta. 43,82 cm.
6. Una pista para maratón tiene forma elíptica, la distancia focal es de 40
metros y la longitud del eje menor que pasa por el centro es de 60 metros.
¿Cuál será la longitud del eje mayor de la pista.
Rta. 100 metros.
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
425
UNAD
426
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
427
entro del estudio de muchos fenómenos de la naturaleza,
la formulación del modelo que describe el comporta-
miento del mismo, puede estar bajo el uso de variables
discretas, siendo las sumatorias y productorias el
insumo fundamental.
Las sumatorias y productorias son dos procesos
matemáticos muy particulares de gran uso en ciencias
estadísticas, ciencias económicas y otras. Aun los
fundamentos del cálculo integral, tiene como insumo
sus sumatorias; es común hablar de las sumas de
Riemman. En el análisis de las series, las sumatorias
son el pan de cada día. Pero el caso de las productorias;
aunque su uso es muy particular; es pertinente hacerle
el espacio para su análisis.
En esta ultima parte del curso, se tratarán estos temas
de sumatorias y productorias, como una necesidad, para
poder abordar temáticas de calculo, estadística y
ciencias; donde son necesarias sus aplicaciones.
D
UCCIÓN
UNAD
428
OBJETIVO GENERAL
Comprender los principios, propiedades y nomenclatura de las sumatorias y
productorias, como herramienta matemática potente para diversos campos del
saber.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
w Conceptualizar la sumatoria y sus principios
w Comprender las propiedades de las sumatorias
w Conceptualizar la productoria y sus principios
w Analizar las propiedades de las productorias
w Desarrollar problemas de sumatorias y productorias, utilizando las
propiedades.
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
429
Sum
ator
ias
y pr
oduc
tori
as
sutie
ne
Sum
ator
iaPr
oduc
tori
as
Apl
icac
ione
s
Nom
encl
atur
a
Teor
emas
ypr
opie
dade
s
Ope
raci
ones
tiene
Con
cept
ualiz
ació
n
Prop
ieda
des
Ope
raci
ones
Fact
oria
ltiene
UNAD
430
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
435
Para facilitar las operaciones con sumatorias, vamos a estudiar a continuación
algunos teoremas y propiedades de las sumatorias.
Teoremas
Los siguientes teoremas permiten el buen desarrollo de las sumatorias, algunos
se demostraron, pero otros requieren conocimientos más avanzados, por lo cual
no serán demostrados; sólo se definirán por su utilidad.
1. tetanconscyRnparanCCn
1i
=∈= +∑=
Demostración
El teorema está indicando sumas n veces el valor de la constante, es decir:
∑=
•=++=n
1i
cnvecesn...ccc
2. n...,,2,1iyRnpara2
)1n(ni
n
1i
=∈+
= +∑=
Demostración
La demostración se le atribuye al gran matemático Gauss. (1777-1855) primerodesarrollamos:
∑=
+−+−++++=n
1i
n)1n()2n(...321i
Como la suma es conmutativa, podemos sumar el contrario.
∑=
++++−+−+=n
1i
123...)2n()1n(ni
Si sumamos las ecuaciones anteriores obtenemos:
UNAD
436
∑=
++−+++−++−+++=n
1i
)1n()1n2(...)2n3()1n2()1n(i2
∑∑=
+=++++++++++==
n
1i
n)1n(n2)1n()1n(...)1n()1n()1n(i2
1i
Finalmente:
∑=
+=
n
1i2
)1n(ni
3.+∈
++=∑
=
Rnpara6
)1n2()1n(ni2
n2
1i
Demostración
Como investigación. Buscar el método que se utiliza para demostrar este teorema.
4. ∑ ∑ ∑= = =
−−=
m 1n222
ni
m
1i 1i
iii
5.+∈
+
=∑=
Rnpara2
)1n(ni
23n
1i
6.+∈
−+++=∑
=
Rnpara30
)1n3n3()1n2()1n(ni
24
n
1i
Los teoremas anteriores son los básicos, su utilidad es amplia, por lo cual espertinente comprenderlos.
UNAD
438
296.14
5184
)2(
)72(2
)18(8iS
2
2283
1i
===
+
== ∑=
Las sumatorias también tienen diversas propiedades; además de los teoremas
estudiados.
Propiedades
A continuación enunciaremos algunas propiedades de las sumatorias, muy
pertinentes para la resolución de sumatorias, las demostraciones se pueden hacer
por inducción matemática, por las metas del curso, se omitirán dichas
demostraciones, sólo se recomienda comprenderlas para poder utilizarlas cuando
así se requiera.
1. +∈+=∑
=
Znpara)1n(ni2n
1i
Esta propiedad es consecuencia del teorema uno.
2. qpyZqyppara2
)1pq()pq(i
q
pi
<∈+−+
= +∑=
Esta propiedad nos permite hacer sumatorias, partiendo de cualquier i, diferente
de uno.
3. +∈=−∑
=
Rnparan)1i2( 2n
1i
4. +∈+=∑
=
Znpara)1n(n2i4n
1i
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
441
Demostración
nn332211
nn33
n
22ii
ba...bababa
)ba(...)ba()ba()ba(1i
++++++++=
++++++++∑=
Agrupamos todos los ia y todos los ib , luego:
)b...bbb()a...aaa()ba( n321n321
n
ii1i
+++++++++=+∑=
Por consiguiente, aplicando operador sumatoria a los dos grupos.
∑∑∑===
+=+n
1i
n
1i1i
)b()a()ba( ii
n
ii
2. ∑∑∑===
−=−n
1i
n
1ini
)b()a()ba( ii
n
ii
Demostración
Se deja como ejercicio, es muy sencillo.
3. ∑∑==
==n
1i1i
tetanconskparaaKaK i
n
i
Esto significa que la sumatoria del producto de una constante por una secuencia,
es equivalente al producto de la constante por la sumatoria de la secuencia.
Demostración
∑ ∑
∑
∑
=
=
=
==
++++=
++++=
n n
1iii
n321i
n
n32ii
1i
n
1i
1i
aKaK
luego)a...aaa(KKa
Ka...KaKaKaaK
UNAD
444
En la operación sumatoria, dentro de las propiedades se deben aclarar dossituaciones:
1. ∑ ∑= =
≠
n 22
1i
n
1i
xx
2. ∑ ∑∑= ==
≠
n
1i
n
1i
n
1i
yixiyixi
Estas dos observaciones se deben tener presentes cuando se trabaja con sumatorias.
Veámos un ejemplo para corroborar la primera observación.
∑ ∑= =
32
32
1i 1i
xiyx veámos.
∑=
++=3
2
1i
23
22
21 xxxx
2321 )xxx(x
3
1i1 ++=
∑=
Evidentemente ( )23x2x1x23X2
2x2
1x ++≠++
UNAD
450
EJERCICIOS: SUMATORIAS
Calcular las siguientes sumatorias:
1. i21n
1j∑=
+nn
41
.Rta 2
2. j15
4j∑=
Rta. 114
3.
+∑
=
ll212
1lRta. 728
4.4
8i6
1i∑
=Rta.52.632
5.( )12
18
7j∑=
Rta. 144
6.2
14K
5K∑
=Rta. 985
Resolver las siguientes dobles sumatorias:
7.( ) ( )1j1i
73
3j1i
−+∑∑==
Rta. 180
8.( )
+−∑∑
==
3i35
jj.22j0i
Rta. 105
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
451
Introducción
El operador productoria no es muy conocido o mejor muy divulgado, tal vez por
que su utilidad es muy particular, sin embargo este operador es fundamental en
algunos temas de matemáticas por ejemplo, hemos escuchado o aun trabajado
con el producto factorial, ( n! ) dicha operación es consecuencia de este operador.
Quizás existan mas razones, pero solo la mencionada nos induce a que debemos
analizar tan interesante operación matemática.
A PRODUCTORIA
Para simbolizar una productoria, se utiliza el símbolo griego Pi mayúscula π
Así, una productoria se define de la siguiente manera.
n321i
n
1i
ax...xaxaxaa =π=
Esto quiere decir que la productoria, es la multiplicación de todos los valores ai,
dado que i varia de 1 hasta n.
Podemos generalizar la definición comenzando en cualquier punto, así:
m2n1nni
m
nia...a.a.aa ++
==π
siendo mn ≤
PRODUCTORIAS
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
463
6. 2
26
ai )1i(
i
+π=
Rta. 2
2
)1b(
a
+
Resolver las siguientes operaciones:
7. )ij(7
2i
5
1j
+∑ ∑= =
Rta. 225
8.
•−+∑ π
= =j)1(i23 i
7
2i
5
4iRta.2.835
9. ∑ ∑π= =
−
=
+
3
1i2
j
1k
1i
1j )1j(
k
EJERCICIOS: PRODUCTORIAS
Calcular las siguientes productorias:
1.i
6
1i2π
=Rta. 2’097.152
2.
++π
= 2jj14
1jRta.1/3
3. ( )i10
61π=
Rta.30.240
4. ( )k
4
1Kx8π
=Rta. 4096 4321 x.x.x.x
5. ( )j520
1j+π
=Rta. 1,2926 x 1023
UNAD
466
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
467
AUTOEVALUACIÓN UNIDAD 3
1. Hallar la sumatoria propuesta
212
7i
j∑=
2. Cuál será el valor de:
−∑
=
4i3 25
1i
3. Resolver:
[ ])ji2(35
1i
7
3j
+∑∑==
4. Resolver la expresión:
[ ]j3i25
4i
7
3j
+π∑==
5. Hallar la solución de la siguiente productoria:
[ ]ji27
4j−π
=
6. Resolver:
2
2m
ni )1i(
i
+π=
UNAD
468
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
469
Informacionesde
Retorno
UNAD
470
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
471
1. )1x(3x41
61
)1x(23x
−−
−=−
−
Revisamos el común denominador y operamos: )1x(6 − , luego:
)1x(6)x41(21)1x(
)1x(6)3x(3
−−−•−
=−−
Operamos los numeradores y simplificamos denominadores:
3x99x3x821xx9x3 −=−⇒+−−=− , reorganizando:
1x6x693x9x3 −=⇒−⇒+=−
Solución
1−=
2. Primero concretamos las ecuaciones fraccionarias entonces:
6y4x316
y4x31y32x
21 −=−⇒−=−⇒−=−
30)12(25y4x9
25
12y4x9
25y
31x
43 ==+⇒=+⇒=+
Tenemos dos ecuaciones enteras, eliminamos y; por reducción:
24x1230y4x9
6y4x3
==−
−=−
AUTOEVALUACIÓN UNIDAD 1
UNAD
472
Despejando x, tenemos:
2x1224
x =⇒=
Con el valor de x, remplazamos en cualquiera de las dos ecuaciones enteras,
veamos: tomemos la ecuación primera:
6y466y4)2(36y4x3 −=−⇒−=−⇒−=−
416
y12y466y4−−
=⇒−=−⇒−−=− ; luego y = 3
Solución
x = 2 y y = 3
3. Organizando el sistema:
0zy0x1z4y3x0
2z0yx18
=−+=++
=−
Por Kramer:
DDz
z;DDy
y;D
Dxx ===
Hallamos D:
( )[ ])4xx()0x0x0(1x3x18
43001181014300110
D ++−=−
−
−
=
58454D −=−−=
[ ])0x0x1)18x0x4()1x3x0( −++−
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
473
( )[ ])4x1x0()0x0x1(1x)x2
431012100431012
D −++−=−
−
−
=
7)1(6Dx −=−−=
Para resolver el determinante, utilizamos el método de sarros.
( )[ ])4x2x1()0x0x0(1x1x18
41002181014100218
D ++−=−=
10818Dy −=+−=
Ahora:
( )[ ])1x1x1()2x0x0(0x3x18
1302118
0011302118
D −++=−
−
=
7)6()1(Dz −=−−=
Ahora hallemos el valor de cada variable:
587
587
DDx
x =−−
==
295
5810
5810
DDy
y ==−−
==
587
587
DDz
z =−−
==
[ ])1x1x1()2x0x4()0x3x0( −−++−
[ ])20xx1()18x0x4()1x1x0( −++−
[ ])180x0()18x0x1()1x3x2( −++−
UNAD
474
4. El tubo tarda: T = 12 hr
El tubo y manguera tardan T +M = 748 hr.
La pregunta: M =.? hr.
Sea M = tiempo que tarda la manguera en llegar al tanque, luego: M1
es la parte
del tanque que es llenado por la manguera en 1 hora.
Como T = tiempo que tarda el tubo en llenar el tanque equivale a 12hr,
entonces;121
es la parte del tanque que es llenado por el tubo en 1 hora.
Ahora, la parte del tanque que es llenado por los dos, tubo y manguera; será:
607
121
M1
748
1121
M1
=+⇒=+. Despejamos M.
301
602
6057
121
607
M1 ==−⇒−+ entonces.
301
M1 = ; por consiguiente: M = 30 hr.
Luego el tanque es llenado pro la manguera en 30 hr.
5. Por ser una desigualdad compuesta, la podemos trabajar por partes.
2x
53x
2x4
<−
<− . Entonces se puede expresar como:
2x
53x
y5
3x2x
4<
−−<
−
Vemos que se prestan dos desigualdades conectadas con la y; es decir la conjunción,
lo que indica que las dos desigualdades intersectan para obtener la solución general.
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
475
Para resolver la primera desigualdad, utilizamos el método de ley de signos; es
decir ,por medio de puntos críticos.
X – 7: Parte crítica 7, los valores mayores a 7 darán positivo la resta y los menores
darán negativa la recta.
x - 7 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - + + + +
- 2 0 2 7
x + 2: similar al caso anterior, el puntro centro - 2, luego:
- - - - + + + + + + + + + + + + +
-2 0 2 7
010
6x3y0
10x5)2x()7x(
010
6x3y0)2x(514x5x
010
6x3y0
)2x(514x5x
010
6x3y0
)2x(5206x5x
010
6x3y0
)2x(5)6x5x(20
010
x56x2y0)2x(5
)3x()2x(20
02x
53x
y05
3x2x
4
2x
53x
y5
3x2x
4
2
2
2
2
<−−
>−
+−
<−−>−
−−
<−−
<−
++−
<−−
<−
+−+−
<−−
<−
+−−
<−−<−
−−−
<−−
<−
−−
<−−
<−
UNAD
476
5x su punto crìtico en 2, entonces:
- - - - - - - - - - - + + + + + + + +
-2 0 2 7
Haciendo producto de signos, tenemos:
- - - + + + + + + + + - - - - + + + +
-2 0 2 7
Como la desigualdad dice que la fracción debe ser mayor que cero, la solución
sera la parte positiva; entonces:
Solución
),7()2,2( α∪−
La segunda desigualdad:
010
6x3 <−− esta será negativa cuando el numerador sea negativo, ya que el
denominador es positivo, luego:
2x36x6x306x3 −>⇒−>⇒<−⇒<−−
Solución
),2( α−
Finalmente: Las dos soluciones las intersectamos por el conectivo.
Primera solución:
Segunda solución:
-2 2 7
-2
α
α
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
477
Solución general:
Solución general: ),7()2,2( α∪−
6. Para 4xx3 2 >− ; entonces: 4xx3y4xx3 22 −<−>−
Luego:
04xx3Y04xx3 22 <+−>−−
para la primera:
03
)3x3()4x3(0
312)x3()x3( 2
>+−
⇒>−−
, simplificando:
0)1x()4x3( >+− . Por el método de producto signos.
+++−−−−−−−−−− 4x3
x + 1
El producto:
Como el producto debe ser positivo, entonces:
Solución
( )α∪−α− ,34)1,(
08xx3 2 <+− : por lo cual para el segundo término:
6471
64811
)3(2)4()5(411
x−±
=−±
=−±
=
Vemos que la solución es imaginaria.
Luego la solución general será: ( )α∪−α− ,34)1,(
-1 0 4/3
+++++++++−−−-1 0 4/3
+−−+-1 0 4/3
UNAD
478
7. Peso mujeres: 5.68= 340kg.
Peso hombre x.5.
Peso máximo 5x + 340 < 700
Resolvemos para x:
72x
360x5
340700x5
≤
≤
−≤
El peso promedio máximo del hombre es 72. kg.
8. Para la función
;4xy1xsea:Monotonía.Ry/yagenIm.Rx/xiominDo.3)1x()x(f
21
3
==∈∈+−=
entonces vemos que entonces vemos que, debemos hallar:
)x(fy)x(f 21 para compararlos:
30327)4(f33)0()1(f 2
=+==+=
Como )x(f)x(f 11 < la función es creciente en su dominio.
Simetría. Determinamos )x(f − ; si es igual a f ( x ) la forma es par, luego sería
simetría, respecto a y: pero si es igual a )x(f− , la función será impar y la
simetría sería respecto al origen, a ninguna de las dos. Veámos:
),3)1x((3)1x(3)1x()x(f 333 −+−=++−=+−−=− lo que no es igual
a )x(f− , luego no es par, tampoco impar, entonces no presenta simetría.
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
481
000.1000.1)0t(p 0 ===
Población inicial 1.000 personasl.
b. Cuando p ( t ) = 3 ( 1.000 ) = 3.000, luego:
años098,1t)3(Lnt)(LnZLn
310003000t
tt
==⇒=
=⇒=
ee
La población se triplica a dos 1,098 años.
13. Una gráfica nos ayuda a resolver el problema:
14. El ángulo de 105º, se pide descomponer en: 60º + 45º, luego cos (105º) = cos
(60º + 45 º ); por identidad de suma de ángulos para coseno:
cos ( 60º + 45º) = cos 60º . cos 45º º45senº60sen −−
46
42
2
2
2
3
3
2
21)º45º60(cos −=•−•=+ , luego
462
)º105(cos−
=
15. )x(cos)x2(sen = , primero reducimos el ángulo doble a ángulo sencillo.
sen ( 2x ) = 2sen ( x ) cos ( x ). luego:
0)x(cos)xcos()x(sen2)x(cos)x(cos)x(sen2 =−⇒=•
5169 =+
3
4
α
45)(csc
35)(sec;3
4)(cot
54)(cos;5
3)(sen
entonces,43
)(tan
=α
=α=α
=α=α
=α
UNAD
482
[ ] 01)x(sen2)x(cos =− , por la ley del producto nulo.
01)x(sen2ó0)x(cos =−= , despejamos el ángulo; así:
. )0(cosx)0(cos))x(cos(cos0)x(cos 111 −−− =⇒=⇒=
23,
2x
ππ= , ángulos donde el coseno vale 0.
.21
)x(sen1)x(sen201)x(sen2 =⇒=⇒=− . Luego:
65
,6
x21
sen))x(sen(sen 11 ππ=⇒
= −−
, ángulos donde el seno
vale 1/2.
16. avión
metros400.22
1200.1
)º30(senmetros200.1
)(seny
hhy
)(sen ===α
===α
El avión se encuentra a 2.400 metros de distancia de la pista de aterrizaje.
17.
cuadráticalapor.01x2
x21x2
1x21x2
2x
)x(hsenySea
yy2
:ndoreorganiza01y2yy2y
y
y2
yy
yy
1
eeeeee
ee
eeee
=−−
−⇒−=
−=⇒−=⇒
−=
=
=+
−
−
24x4x2
2)1()1(4x4x2 22
ye +±=
−−±= simplificando
y h
α
30º
pista
y = 1.200 metros
h = distancia del avión a la pista
º30=α por ángulos alternos inernos.
Luego:
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
483
1xx2
1x2x2 22
ye +±=+±
= , para despejar y, aplicamos función
inversa.
)1xx(LnLn 2ye ++= tomamos solo el valor postizo.
++= 1xxLny 2
UNAD
484
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
487
444)4y4y()1x(4 22 −+=++−− , reorganizando:
14
)2y()1x(
22 =
+−− Ecuación canónica.
De esta podemos hallar:
Centro ( 1, - 2 ).
a = 1 y b = 2
Focos: para hallar los focos, hallamos
222 bac:c += ; 5c541c2 =⇒=+= . Ahora si hallamos los focos. Como
el eje transverso está sobre x, ya que en la ecuación x es positivo y y negativo,luego;
( )2,51)k,ch(F −±=±
Vértices: ( ) )2,0('Vy)2,2(V2,11)k,ah( −−⇒−±=±
Asíntotas: 2)2x2y)2x2(2y −−±=⇒−=+
UNAD
488
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
489
AUTOEVALUACIÓN UNIDAD 3
1. Como la sumatoria es de tipo: 2
b
ai
i∑=
reemplazamos la propiedad que nos
lleva a i desde uno hasta n.
21a
ai
2b
ai
2b
ai
iii ∑∑∑−
===
−=
Para el caso que nos ocupa:
26
1i
212
1i
212
7i
iii ∑∑∑===
−= resolvemso:
6506
25x13x126
)1)12(2()112(12i2
12
1i
==++
=∑=
. Luego
916
13x7x66
)1)2(6()16(6i 2
6
1i
==++
=∑=
Finalmente:
55991650i26
1i
=−=∑=
2. Para resolver )4i3( 25
ni
−∑=
aplicamos las paorpiedades de sumatorias,
veámos;
206
)1)5(2()15(53)5(4i34i3 2
5
1i
5
1i
25
1i
−
++=−=− ∑∑∑
===
UNAD
490
145201654i3 25
1i
=−=
−∑
=
3. Se resuelve primero la sumatoria más interna y luego la más externa:
( )[ ] )j3i6(ji235
1i
7
3j
5
1i
7
3j
+=+ ∑∑∑∑====
Ahora:
[ ]j1590j532
)15(56
j3i6j3i6
7
1j
7
3j
5
1i
5
1i
7
3j
5
1i
5
1i
7
3j
+=
−+
+
=
+=
+
∑∑
∑∑∑∑∑∑
==
======
Ahora resolvemos para j:
∑ ∑∑∑∑= ====
−=+2
1j
7
3j
7
1j
7
3j
7
1j
j15*9090j1590
Resolviendo:
[ ] 825)ji2(3
entonces),25(15450)328(15450
2)12(2
2)17(715450jj15450
j1590.290.7j159090
5
1i
7
3j
2
1j
7
1j
7
3j
7
3j
2
1j
7
1j
=+
+=−+=
+−++=
−+
=+−=++
∑∑
∑∑
∑∑∑∑
==
==
====
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
491
4. El problema tiene sumatoria y productorias, primero resolvemos la productoria.
[ ] [ ] [ ][ ][ ]
[ ] [ ]
++=
+++
=++=+•+
=+•+=+
∑∑
∑∑
∑π∑
==
==
==
280.1j864j144j144j480j384280.1
)j1240()j1232()j310(4()j38(4
j3)5(24j3)4(24j3i24
27
3j
27
3j
7
3j
7
3j
7
3j
57
3j
Por propiedades de sumatoria:
∑ ∑∑= ==
++7
3j
7
3j
7
3j
2 280.1j864j144 , resolvemos por separado y al final
agrupamos:
a. ∑ ∑ ∑ ∑= = = =
−==
7
3j
7
3j
7
1j
2
1j
2222 jj144j144j144 rsolviendo
440.19)5140(1446
122()12(26
)127()17(7144 =−•=
+•+−
+−+=
b. ∑ ∑ ∑ ∑= = = =
−==
7
3j
7
3j
7
1j
2
1j
2 jj864j864j864
+−
+=
2)12(2
2)17(7
864
600.2125864)328(864 =•=−=
c. 400.6560.2960.8
)280.1(2)280.1(7280.1280.1280.17
3j
7
1j
2
1j
=−=
−=−∑ ∑ ∑= = =
UNAD
492
Finalmente:
[ ] 440.47400.6600.21440.19j3i245
4i
7
3j
=++=+π∑==
5. )121()58()27()12(
72625242j2 7654j7
4j
=
−
−
−
−=
−π
=
Finalmente:
832.273.2j2i7
4j=
−π
=
6. Tenemos que hacer la expansi{on de la productoria.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2m
ni )1m(
)m(
m
)1m(...
)2n(
)1n(
)1n(
n
)1i(
i
+•
−
+
+•
+=
+π=
Si generalizamos ya que la secuencia de la productoria es evidente que:
2
2
2
2m
ni )1m(
n
)1i(
i
+=
+π=
Vemos que hay términos que se pueden simplificar para obtener finalmente la
productoria dada.