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Algebra y Matematica Discreta Sesion de Teorıa 4
Algebra y Matematica Discreta
Sesion de Teorıa 4
(c) 2013 Leandro Marın, Francisco J. Vera, Gema M. Dıaz
23 Sep 2013 - 29 Sep 2013
Algebra y Matematica Discreta Sesion de Teorıa 4
Aritmetica
Unidades de Zn y la Funcion ϕ
Unidades
Un elemento a de Zn diremos que es una unidad cuandopodamos encontrar b en Zn tal que ab ≡ 1(n), o lo que es lomismo, ab = 1 en Zn.
Algebra y Matematica Discreta Sesion de Teorıa 4
Aritmetica
Unidades de Zn y la Funcion ϕ
Unidades
Un elemento a de Zn diremos que es una unidad cuandopodamos encontrar b en Zn tal que ab ≡ 1(n), o lo que es lomismo, ab = 1 en Zn.
Ejemplos de elementos que siempre son unidad son 1 y n − 1porque (n − 1)2 = 1 + n(n − 2) ≡ 1(n).
Algebra y Matematica Discreta Sesion de Teorıa 4
Aritmetica
Unidades de Zn y la Funcion ϕ
Unidades
Un elemento a de Zn diremos que es una unidad cuandopodamos encontrar b en Zn tal que ab ≡ 1(n), o lo que es lomismo, ab = 1 en Zn.
Ejemplos de elementos que siempre son unidad son 1 y n − 1porque (n − 1)2 = 1 + n(n − 2) ≡ 1(n).
El Conjunto de unidades de Zn se denotara Z⋆n.
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Aritmetica
Unidades de Zn y la Funcion ϕ
Unidades
Un elemento a de Zn diremos que es una unidad cuandopodamos encontrar b en Zn tal que ab ≡ 1(n), o lo que es lomismo, ab = 1 en Zn.
Ejemplos de elementos que siempre son unidad son 1 y n − 1porque (n − 1)2 = 1 + n(n − 2) ≡ 1(n).
El Conjunto de unidades de Zn se denotara Z⋆n.
El numero de elementos de este conjunto se denotara ϕ(n) yse llama funcion ϕ de Euler.
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Unidades de Zn y la Funcion ϕ
Unidades de Z15
· 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
2 0 2 4 6 8 10 12 14 1 3 5 7 9 11 13
3 0 3 6 9 12 0 3 6 9 12 0 3 6 9 12
4 0 4 8 12 1 5 9 13 2 6 10 14 3 7 11
5 0 5 10 0 5 10 0 5 10 0 5 10 0 5 10
6 0 6 12 3 9 0 6 12 3 9 0 6 12 3 9
7 0 7 14 6 13 5 12 4 11 3 10 2 9 1 8
8 0 8 1 9 2 10 3 11 4 12 5 13 6 14 7
9 0 9 3 12 6 0 9 3 12 6 0 9 3 12 6
10 0 10 5 0 10 5 0 10 5 0 10 5 0 10 5
11 0 11 7 3 14 10 6 2 13 9 5 1 12 8 4
12 0 12 9 6 3 0 12 9 6 3 0 12 9 6 3
13 0 13 11 9 7 5 3 1 14 12 10 8 6 4 2
14 0 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
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Aritmetica
Unidades de Zn y la Funcion ϕ
Comentarios
Del ejemplo anterior podemos extraer algunas consecuencias.
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Unidades de Zn y la Funcion ϕ
Comentarios
Del ejemplo anterior podemos extraer algunas consecuencias.
El producto de unidades es una unidad.
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Unidades de Zn y la Funcion ϕ
Comentarios
Del ejemplo anterior podemos extraer algunas consecuencias.
El producto de unidades es una unidad.
Si un elemento es una unidad, su inverso (es decir, el quemultiplicado por el nos da 1), tambien es una unidad.
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Unidades de Zn y la Funcion ϕ
Comentarios
Del ejemplo anterior podemos extraer algunas consecuencias.
El producto de unidades es una unidad.
Si un elemento es una unidad, su inverso (es decir, el quemultiplicado por el nos da 1), tambien es una unidad.
En el caso anterior, si contamos las unidades vemos que salen8.
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Unidades de Zn y la Funcion ϕ
El conjunto Z⋆
15
· 1 2 4 7 8 11 13 14
1 1 2 4 7 8 11 13 14
2 2 4 8 14 1 7 11 13
4 4 8 1 13 2 14 7 11
7 7 14 13 4 11 2 1 8
8 8 1 2 11 4 13 14 7
11 11 7 14 2 13 1 8 4
13 13 11 7 1 14 8 4 2
14 14 13 11 8 7 4 2 1
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Unidades de Zn y la Funcion ϕ
Caracterizacion de las Unidades
Un elemento a de Zn es una unidad si y solo si a y n soncoprimos.
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Unidades de Zn y la Funcion ϕ
Caracterizacion de las Unidades
Un elemento a de Zn es una unidad si y solo si a y n soncoprimos.
De hecho, la ecuacion ab + nt = 1 nos proporciona el inversode a, que es b.
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Unidades de Zn y la Funcion ϕ
Caracterizacion de las Unidades
Un elemento a de Zn es una unidad si y solo si a y n soncoprimos.
De hecho, la ecuacion ab + nt = 1 nos proporciona el inversode a, que es b.
Es decir, que de nuevo el algoritmo de Euclides extendido nosda la solucion a problema.
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Unidades de Zn y la Funcion ϕ
Caracterizacion de las Unidades
Un elemento a de Zn es una unidad si y solo si a y n soncoprimos.
De hecho, la ecuacion ab + nt = 1 nos proporciona el inversode a, que es b.
Es decir, que de nuevo el algoritmo de Euclides extendido nosda la solucion a problema.
Este resultado nos permite calcular el valor de la funcion ϕ enel caso de que p sea primo, puesto que todos los elementosentre 1 y p − 1 son coprimos con p, eso significa queϕ(p) = p − 1 si p es primo.
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Unidades de Zn y la Funcion ϕ
Formula General de ϕ
La funcion ϕ tiene interesantes propiedades. Una de ellas esque si a y b son numeros coprimos, entoncesϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b).
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Unidades de Zn y la Funcion ϕ
Formula General de ϕ
La funcion ϕ tiene interesantes propiedades. Una de ellas esque si a y b son numeros coprimos, entoncesϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b).Eso aplicado al numero 15 nos dice queϕ(15) = ϕ(3 · 5) = ϕ(3)ϕ(5) = (3− 1)(5− 1) = 8.
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Unidades de Zn y la Funcion ϕ
Formula General de ϕ
La funcion ϕ tiene interesantes propiedades. Una de ellas esque si a y b son numeros coprimos, entoncesϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b).Eso aplicado al numero 15 nos dice queϕ(15) = ϕ(3 · 5) = ϕ(3)ϕ(5) = (3− 1)(5− 1) = 8.Ese es el valor que precisamente nos salıa experimentalmente.
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Unidades de Zn y la Funcion ϕ
Formula General de ϕ
La funcion ϕ tiene interesantes propiedades. Una de ellas esque si a y b son numeros coprimos, entoncesϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b).Eso aplicado al numero 15 nos dice queϕ(15) = ϕ(3 · 5) = ϕ(3)ϕ(5) = (3− 1)(5− 1) = 8.Ese es el valor que precisamente nos salıa experimentalmente.Para las potencias de los primos se tiene queϕ(pα) = pα−1(p − 1).
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Unidades de Zn y la Funcion ϕ
Formula General de ϕ
La funcion ϕ tiene interesantes propiedades. Una de ellas esque si a y b son numeros coprimos, entoncesϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b).Eso aplicado al numero 15 nos dice queϕ(15) = ϕ(3 · 5) = ϕ(3)ϕ(5) = (3− 1)(5− 1) = 8.Ese es el valor que precisamente nos salıa experimentalmente.Para las potencias de los primos se tiene queϕ(pα) = pα−1(p − 1).Utilizando esto y la propiedad anterior, podemos saber ϕ paracualquier numero, porque si tomamos la factorizacion de n enprimos, tenemos que
ϕ(n) = ϕ(pα11 p
α22 · · · pαt
t ) = ϕ(pα11 )ϕ(pα2
2 ) · · ·ϕ(pαt
t )
y aquı aplicamos la formula para las potencias de primos.
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Unidades de Zn y la Funcion ϕ
Divisores de Cero y Unidades
Los divisores de cero y las unidades estan muy relacionados.
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Unidades de Zn y la Funcion ϕ
Divisores de Cero y Unidades
Los divisores de cero y las unidades estan muy relacionados.
Se puede demostrar que un elemento no nulo es divisor decero si y solo si no es una unidad.
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Unidades de Zn y la Funcion ϕ
Divisores de Cero y Unidades
Los divisores de cero y las unidades estan muy relacionados.
Se puede demostrar que un elemento no nulo es divisor decero si y solo si no es una unidad.
Es decir, que los divisores de cero son todos los elementos queno estan en Z
⋆n, excepto el propio 0 que no se considera
divisor de 0.
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Aritmetica
Exponenciacion Modular
Planteamiento
A veces es necesario calcular potencias de numeros enaritmetica modular con exponentes muy grandes.
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Exponenciacion Modular
Planteamiento
A veces es necesario calcular potencias de numeros enaritmetica modular con exponentes muy grandes.
Si tenemos que calcular be(n), una forma de hacerlo escalcular el numero entero be y luego hacer la reduccionmodulo n.
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Exponenciacion Modular
Planteamiento
A veces es necesario calcular potencias de numeros enaritmetica modular con exponentes muy grandes.
Si tenemos que calcular be(n), una forma de hacerlo escalcular el numero entero be y luego hacer la reduccionmodulo n.
Esta forma es totalmente inviable si e es un numero grande,puesto que be puede ser un numero enormemente grande.
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Exponenciacion Modular
Planteamiento
A veces es necesario calcular potencias de numeros enaritmetica modular con exponentes muy grandes.
Si tenemos que calcular be(n), una forma de hacerlo escalcular el numero entero be y luego hacer la reduccionmodulo n.
Esta forma es totalmente inviable si e es un numero grande,puesto que be puede ser un numero enormemente grande.
El problema se puede resolver de una forma mucho massencilla.
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Exponenciacion Modular
Resolucion del Problema
Lo primero que tenemos que darnos cuenta es que hay potencias que son
sencillas de calcular, concretamente las de la forma b2i (n).
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Exponenciacion Modular
Resolucion del Problema
Lo primero que tenemos que darnos cuenta es que hay potencias que son
sencillas de calcular, concretamente las de la forma b2i (n).
Para calcularlas empezamos por i = 0, es decir b20 = b1 = b.
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Exponenciacion Modular
Resolucion del Problema
Lo primero que tenemos que darnos cuenta es que hay potencias que son
sencillas de calcular, concretamente las de la forma b2i (n).
Para calcularlas empezamos por i = 0, es decir b20 = b1 = b.
Si la tenemos calculada hasta el valor i , entonces el valor i + 1 se calculaelevando al cuadrado la anterior (y haciendo la reduccion modulo n
correspondiente) porque(
b2i)2
= b2ib2i = b
2i+2i = b2i+1
.
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Exponenciacion Modular
Resolucion del Problema
Lo primero que tenemos que darnos cuenta es que hay potencias que son
sencillas de calcular, concretamente las de la forma b2i (n).
Para calcularlas empezamos por i = 0, es decir b20 = b1 = b.
Si la tenemos calculada hasta el valor i , entonces el valor i + 1 se calculaelevando al cuadrado la anterior (y haciendo la reduccion modulo n
correspondiente) porque(
b2i)2
= b2ib2i = b
2i+2i = b2i+1
.
Una vez que tenemos calculadas modulo n estas potencias, utilizamos larepresentacion binaria de e = e0 + e1 · 2 + ...+ et2
t y deducimos que
be = b
e0+e1·2+...+et2t
= be0· (b2)e1 · · ·
(
b2t)et
(n)
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Resolucion del Problema
Lo primero que tenemos que darnos cuenta es que hay potencias que son
sencillas de calcular, concretamente las de la forma b2i (n).
Para calcularlas empezamos por i = 0, es decir b20 = b1 = b.
Si la tenemos calculada hasta el valor i , entonces el valor i + 1 se calculaelevando al cuadrado la anterior (y haciendo la reduccion modulo n
correspondiente) porque(
b2i)2
= b2ib2i = b
2i+2i = b2i+1
.
Una vez que tenemos calculadas modulo n estas potencias, utilizamos larepresentacion binaria de e = e0 + e1 · 2 + ...+ et2
t y deducimos que
be = b
e0+e1·2+...+et2t
= be0· (b2)e1 · · ·
(
b2t)et
(n)
y esta es una operacion que involucra a lo sumo t multiplicaciones.
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Exponenciacion Modular
Ejemplo
Sea b = 74, e = 53 y n = 81, vamos a calcular be(n).
e(div) e(bin) b be
acum
53 1 74 74 74
26 0 49 1 74
13 1 52 52 41
6 0 31 1 41
3 1 70 70 35
1 1 40 40 23
La primera columna son las divisiones sucesivas que nos permitenescribir e en binario en la segunda columna. Luego tenemos en lacolumna b las potencias sucesivas b
2i y en la cuarta columna(
b2i)ei
que es el mismo numero si el exponente es 1 o 1 si el exponente es0. La ultima columna nos permite acumular el producto. Elresultado es pues 23.
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Exponenciacion Modular
Formula de Euler
Formula de Euler
Sea n un numero entero positivo y b una unidad en Z⋆n, entonces
bϕ(n) ≡ 1(n)
Esta propiedad es interesante por varias razones.
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Exponenciacion Modular
Formula de Euler
Formula de Euler
Sea n un numero entero positivo y b una unidad en Z⋆n, entonces
bϕ(n) ≡ 1(n)
Esta propiedad es interesante por varias razones.
Una de ellas es que nos permite calcular el inverso decualquier numero utilizando el algoritmo de exponenciacionmodular, concretamente bϕ(n)−1b = bϕ(n) = 1 y por lo tantobϕ(n)−1 es el inverso de b modulo n.
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Exponenciacion Modular
Formula de Euler
Formula de Euler
Sea n un numero entero positivo y b una unidad en Z⋆n, entonces
bϕ(n) ≡ 1(n)
Esta propiedad es interesante por varias razones.
Una de ellas es que nos permite calcular el inverso decualquier numero utilizando el algoritmo de exponenciacionmodular, concretamente bϕ(n)−1b = bϕ(n) = 1 y por lo tantobϕ(n)−1 es el inverso de b modulo n.
Normalmente es mas sencillo el calculo del inverso utilizandoel algoritmo de Euclides extendido, pero esta es otraalternativa que podemos considerar.