Post on 30-Apr-2020
Medidas de Aleatoriedad Generadores Especıficos Resultado para los Polinomios de Dickson
Algunos generadores de numerospseudoaleatorios y sus aplicaciones
Domingo Gomez
Universidad de Cantabria
Domingo Gomez Santander
Algunos generadores de numeros pseudoaleatorios y sus aplicaciones
Medidas de Aleatoriedad Generadores Especıficos Resultado para los Polinomios de Dickson
Los numeros aleatorios en simulacion
Teorema central del limite∫ c2
c1
e−t2/2dt = lımN→∞
P
(c1V (f )√
N≤ 1
N
N∑n=1
f (an)− E (f ) ≤ c2V (f )√N
)
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Medidas de Aleatoriedad Generadores Especıficos Resultado para los Polinomios de Dickson
Los numeros aleatorios en simulacion
I Encuestas
I PaC Learning
I Simulacion (comprobar como se ajusta un resultado a larealidad)
I Machine Learning (training set tomados al azarindependientes y distribuidos igualmente)
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Medidas de Aleatoriedad Generadores Especıficos Resultado para los Polinomios de Dickson
Los Numeros aleatorios en Criptografıa
I Generacion de Claves,I Puzzle de Merkle.
I Bob: m1, . . . , m220 , mi = (xi , yi ).I EK1 (m1), . . . , EK220 (m220 ).I Alice: descifra mj y envıa la clave xj .I Seguridad: 220+log Ki .
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Los Numeros aleatorios en Criptografıa
I Generacion de Claves,I Puzzle de Merkle.
I Bob: m1, . . . , m220 , mi = (xi , yi ).I EK1 (m1), . . . , EK220 (m220 ).I Alice: descifra mj y envıa la clave xj .I Seguridad: 220+log Ki .
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Los Numeros aleatorios en Criptografıa
I Generacion de Claves,I Puzzle de Merkle.
I Bob: m1, . . . , m220 , mi = (xi , yi ).I EK1 (m1), . . . , EK220 (m220 ).I Alice: descifra mj y envıa la clave xj .I Seguridad: 220+log Ki .
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Los Numeros aleatorios en Criptografıa
I Generacion de Claves,I Puzzle de Merkle.
I Bob: m1, . . . , m220 , mi = (xi , yi ).I EK1 (m1), . . . , EK220 (m220 ).I Alice: descifra mj y envıa la clave xj .I Seguridad: 220+log Ki .
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Medidas de Aleatoriedad Generadores Especıficos Resultado para los Polinomios de Dickson
Los Numeros aleatorios en Criptografıa
I Generacion de Claves,I Puzzle de Merkle.
I Bob: m1, . . . , m220 , mi = (xi , yi ).I EK1 (m1), . . . , EK220 (m220 ).I Alice: descifra mj y envıa la clave xj .I Seguridad: 220+log Ki .
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Medidas de Aleatoriedad Generadores Especıficos Resultado para los Polinomios de Dickson
Numeros Pseudoaleatorios
Una secuencia de numeros se dice que es pseudoaleatoria si:
existe un algoritmo que la genera en tiempopolinomial,
tiene propiedades que tienen las secuencias aleatorias.
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Numeros Pseudoaleatorios
Propiedades posibles:
I Distribucion uniformemente (Discrepancia),
I Gran Complejidad (Complejidad de Kolmogorov, ComplejidadLineal).
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Numeros Pseudoaleatorios
Ventajas:
I en simulacion obtienen una cota del error del ordenV (f )N−1(log(N))s ,
I se pueden repetir experimentos,
I la cota del error es determinıstica.
Inconvenientes:
I Las funciones deben tener propiedades de regularidad,
I es difıcil demostrar propiedades locales en las secuencias.
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Medidas de Aleatoriedad Generadores Especıficos Resultado para los Polinomios de Dickson
Notacion
I Sea p un numero primo, denotamos por Fp el cuerpo finitocon p elementos representados por {0, . . . , p − 1}.
I Denotamos ep(x) = exp(2πIx/p) la funcion exponencial,donde I es la unidad imaginaria.
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Generadores de Numeros Pseudoaleatorios no Lineales
DefinicionSea f (X ) ∈ Fp[X ] un polinomio de grado mayor que 2.Sea (un) una secuencia de elementos de Fp obtenidos por lasiguiente relacion:
un+1 = f (un), n ≥ 0,
donde u0 ∈ Fp es un valor aleatorio llamado semilla.
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Propiedades de los Generadores no Lineales
Distribucion Uniforme de Elementos (Discrepancia, Distribucion dePotencias)
I Desigualdad de Erdos–Turan–Koksma,
I Sumas de Caracteres.
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Discrepancia
Para un generador de numeros pseudoaleatorios definamos lossiguientes puntos
Γ = (un+1/p, . . . , un+s/p)N−1n=0
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Discrepancia
DsN(un) = sup
B⊆[0,1)s
∣∣∣∣TΓ(B)
N− |B|
∣∣∣∣ ,donde TΓ(B) es el numero de puntos de la secuencia Γ quepertenecen al intervalo s-dimensional
B = [α0, β0)× . . .× [αs−1, βs−1) ⊆ [0, 1)s
y el supremo esta tomado entre todos los posibles intervaloscontenidos en el intervalo unidad.
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Relacion entre Discrepancia y Sumas de Caracteres
Dado un vector de componentes a = (a1, . . . , as) ∈ Fps definimos
|a| = maxi=1,...,s
|ai | r(a) =s∏
i=1
max{|ai |, 1}.
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Relacion entre Discrepancia y Sumas de Caracteres
Desigualdad de Erdos–Turan–Koksma
LemaExiste una constante Cs > 0 dependiendo solamente de s tal que,para cualquier L ≥ 1, la discrepancia de cualquier generador denumeros pseudoaleatorios (un) ∈ Fp esta acotada superiormentepor la siguiente expresion:
DsN(un) < Cs
1
L+
1
N
∑0<|a|≤L
1
r(a)
∣∣∣∣∣∣N∑
n=1
ep
s∑j=1
ajun+j
∣∣∣∣∣∣ .
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Resultado General
TeoremaSea (un) un generador no lineal con perıodo T definido por unpolinomio . Para cualquier entero ν se tiene:
DN(un) = O(N−1/2νp1/2ν log−1/2(p) log log(p))
donde la constante depende de ν y el grado del polinomio.
[ Niederreiter, Shparlinski (2000)]
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Diferentes tipos de Generadores no Lineales
I Generadores Inversos,
I Generadores con Polinomios de Dickson,
I Generadores con Funciones de Redei.
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Polinomios de Dickson
Utilizaremos la notacion Dn(X , α)
Dn+2(X , α) = XDn+1(X , α)− αDn(X , α)
con
D0(X , α) = 2, D1(X , α) = X .
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Polinomios de Dickson
Utilizaremos la notacion Dn(X , α)
Dn+2(X , α) = XDn+1(X , α)− αDn(X , α)
con
D0(X , α) = 2, D1(X , α) = X .
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Propiedades de los Polinomios de Dickson
I De(X + αX−1, α) = X e + αeX−e .
I Para α = 0, 1, De(Df (X , α), α) = Def (X , α).
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Propiedades de los Polinomios de Dickson
I De(X + αX−1, α) = X e + αeX−e .
I Para α = 0, 1, De(Df (X , α), α) = Def (X , α).
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Notacion
I Sea t el menor entero tal que
De(u0, α) = Df (u0, α)
siempre que e ≡ f mod t
I f (X ) = De(X , α), (e, t) = 1
I T es el perıodo del generador (un)
I α = 1
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Resultado sobre la Discrepancia Uno Dimensional
TeoremaPara cualquier ν ≥ 1,
DT (un) = O(
T−(2ν+1)/2ν(ν+1)t1/2(ν+1)p(ν+2)/4ν(ν+1)(log(p))).
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Resultado General
TeoremaLa discrepancia de un generador no lineal definido por unpolinomio de Dickson es,
DsT (un) = O
(e(s−1)/4T−3/4t1/4p3/8(log(p))s
).
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Resultado General para Partes de la Secuencia
TeoremaCon la notacion del teorema anterior, se tiene que
DsN(un) = O
(e(s−1)/4T−3/4t1/4p3/8(log(p))s log(T )
).
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Resultado sobre la Distribucion de las Potencias
TeoremaPara cualquier ν ≥ 1, el numero de elementos de la secuencia de laforma x r ∈ Fp, r |p − 1 es
T/r + O(
T 1−(2ν+1)/2ν(ν+1)t1/2(ν+1)p(ν+2)/4ν(ν+1)(log(p))).
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Otras Medidas de Aleatoriedad
Perfil de la Complejidad Lineal:
Dada una secuencia (un) se denota L(un,N) al orden de la mınimarecurrencia lineal que cumple la secuencia para los primeros Nelementos.
un+k = ak−1un+k−1 + . . .+ a0un, 0 ≤ n ≤ N − k − 1.
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La Complejidad Lineal
TeoremaLa complejidad lineal de un generador no lineal (un) con polinomiof (X ) ∈ Fp[X ] de grado d y perıodo T esta inferiormente acotadapor
L(un,N) ≥ mın{logd(N − logd N − 1), logd T}.
[ Gutierrez, Shparlinski, Winterhof (2001)]
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La Complejidad Lineal
TeoremaLa complejidad lineal de un generador no lineal (un) con polinomiode Dickson De(X ) ∈ Fp[X ] de grado e y perıodo T estainferiormente acotada por
L(un,N) ≥ mın{N2, 4T 2}16(p + 1)
− (p + 1)1/2.
[ Winterhof, Aly (2005)]
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Otros Generadores
Generador de Naor-Reingold
um = gax11 ...a
xnn ∈ Fp,
x1 . . . xn representacion binaria de m.
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La Complejidad Lineal
TeoremaDado ε > 0 y γ ≥ 2 tal que
2n−4 > tγ,
donde t es el orden de g, se tiene que la complejidad lineal L~a dela secuencia de Naor-Reingold cumple que:
L~a � mın(γ, t(1−ε)/ log 3)
para todos los vectores ~a ∈ (F∗t )n excepto un conjunto de cardinalO(tn−ε).
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