Post on 22-Jan-2016
ANALISIS DE VARIABLE REAL
Pedro Luis del Ama Hernandez
Profesor Asociado del Departamento de Analisis MatematicoFacultad de Ciencias Matematicas
Universidad Complutense de Madrid
15/02/2007
Indice
1. La Integral de Riemann 7
1.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2. Integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3. Propiedades de la Integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2. Teorema fundamental del Calculo 15
2.1. Teoremas fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2. Areas y volumenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3. Funciones Trigonometricas 19
3.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2. Seno y coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3. Otras funciones trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4. Funciones logarıtmicas y exponenciales 27
4.1. El logaritmo neperiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.2. La funcion exponencial natural y el numero e . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.3. Otras funciones exponenciales y logarıtmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.4. Funcion potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.5. Funciones Hiperbolicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3
4 INDICE
4.6. Calculo de lımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5. Integracion en terminos elementales 37
5.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.1.1. Integrales inmediatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.2. Metodos de integracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.2.1. Integracion por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.2.2. Integracion por cambio de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.2.3. Primitivas de funciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.2.4. Metodo de Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.2.5. Primitivas de algunas funciones trigonometricas . . . . . . . . . . . 43
5.2.6. Integrales de la forma
∫f(ax)dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.2.7. Primitivas de algunas funciones irracionales . . . . . . . . . . . . . 45
6. Teorema del valor medio. Suma de Riemann 49
6.1. Teorema del valor medio del calculo integral . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6.2. Suma de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
7. Integrales impropias 53
7.1. Intervalos no acotados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
7.2. Funcion no acotada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
8. Teorema de Taylor 59
8.1. Polinomio de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
8.2. Teorema de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
9. Series infinitas 63
INDICE 5
9.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
9.2. Serie geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
9.3. Series de terminos no negativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
9.4. Series alternadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
9.5. Convergencia absoluta y condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
9.5.1. Criterios de Dirichlet y de Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
9.6. Productos de Cauchy de dos series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
10.Sucesiones y series de funciones 73
10.1. Sucesiones de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
10.2. Series de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
10.3. Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
11.Los numeros complejos 83
11.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Bibliografıa 87
6 INDICE
Capıtulo 1
La Integral de Riemann
1.1. Introduccion
Para manejar los conceptos basicos de la integral de Riemann vamos a ver algunos
ejemplos. Si por ejemplo tomamos la funcion f(x) = x, el area que determina esta funcion
con el eje de abcisas en el intervalo [a, b], con a ≥ 0 es igual ab2 − a2
2, lo cual se puede
deducir como la diferencia entre las areas de los triangulos que determina la funcion en
los intervalos [0, b] y [0.a].
Si ahora tomamos la funcion f(x) = x2, su grafica nos muestra que no es tan sencillo
calcular el area que determina esta funcion con el eje horizontal como fue en el caso anteri-
or, pues el recinto es curvo. Para calcular el area determinado por f en [0, a], dividimos el
intervalo en n partes iguales, por lo que la longitud de cada parte esa
n, donde n = 2, 3, . . . .
Si en cada una de estas partes tomamos el valor mas pequeno que puede tomar f en esa
parte, podemos dibujar una conjunto de rectangulos por debajo de la grafica de f , de
base cada una de las partes (cuya longitud, en este caso, esa
n) y de altura el valor mas
pequeno de f en esa parte.
Tomamos por ejemplo n = 4. La suma de las areas de los rectangulos es
s4 = 0 · a
4+ (
a
4)2 · a
4+ (
2a
4)2 · a
4+ (
3a
4)2 · a
4
Sacando factor comun,
s4 =a3
43· [1 + 22 + 32]
Si tomamos n > 4, por ejemplo n = 8 los rectangulos se aproximan aun mas al area
7
8 CAPITULO 1. LA INTEGRAL DE RIEMANN
deteminada por la funcion y la suma de los rectangulos da:
s8 =a3
83· [12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72]
En general,
sn =a3
n3· [12 + 22 + · · ·+ (n− 1)2]
Hemos hecho una aproximacion por defecto. Si repetimos el proceso por exceso, toman-
do ahora en cada parte el valor mas grande que puede tomar f en esa parte, los rectangulos
cubren totalmente a la grafica de la funcion quedandonos
S4 =a3
43· [12 + 22 + 32 + 42]
S8 =a3
83· [12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82]
En general,
Sn =a3
n3· [12 + 22 + · · ·+ n2]
Cuanto mayor sea n, mas estrechos son los rectangulos y, en el primer caso, llenan casi
el recinto por debajo, y en el segundo, cubren ligeramente por exceso el recinto.
El area del recinto estara comprendida entre sn y Sn, es decir, sn ≤ area ≤ Sn y como
Sn− sn → 0, cuando n → +∞, pues Sn − sn =a3
n, bastara que una de las dos sumas sea
convergente para que lo sean las dos. Ademas, este lımite coincidira con el area buscado,
por el teorema del sandwich. Como
12 + 22 + · · ·+ n2 =n(n + 1)(2n + 1)
6
operando queda
12 + 22 + · · ·+ n2 =n3
3+
n2
2+
n
6
y calculando el lımite
lımn→+∞
sn =a3
3
Analogamente si f(x) = xp con p ∈ N, el area del recinto definido por la funcion sobre
el intervalo [0, a], se calcularıa de forma similar y llegarıamos a que dicho area es
lımn→+∞
sn =ap+1
p + 1
1.2. INTEGRAL DE RIEMANN 9
Observacion 1.1.1. No es obligatorio que los intervalos se dividan en n partes iguales.
Hay otras posibilidades, como multiplicar a por un numero ρ < 1 quedando los infinitos
intervalos: [ρa, a], [ρ2a, ρa], . . .
1.2. Integral de Riemann
Las funciones tomadas son todas continuas y por tanto acotadas en los intervalos cerra-
dos usados. El numero integral viene a formalizar el concepto de “area”. La region limitada
por la grafica de la funcion, el eje de abcisas y las rectas x = a y x = b se designa por
R(f, a, b). El numero que asignamos como area de R(f, a, b) es la integral de f sobre [a, b].
Hay que tener en cuenta que la integral representa la diferencia entre las areas de las re-
giones que estan por encima y por debajo del eje de abcisas. Es lo que se llama “area
algebraica de R(f, a, b)”. Formalicemos lo visto hasta ahora.
Definicion 1.2.1. Sea a < b. Se llama particion del intervalo [a, b] a toda coleccion finita
y ordenada de puntos de [a, b] de los cuales el primero es a y el ultimo es b.
P = {t0, t1, . . . , tn−1, tn} / a = t0 < t1 < . . . < tn = b
Definicion 1.2.2. Si P = {t0, t1, . . . , tn−1, tn} es una particion de [a, b], se llama
norma de P , y se denota |P | a
|P | = sup{ti − ti−1, ∀i = 1, . . . , n}
Ejemplo 1.2.3. Anteriormente hemos tomado la particion P = {0, 1na, 2
na, . . . , n−1
na, a}
del [0, a]; todos los subintervalos de [0, a] son iguales por lo que |P | = 1na
Ejemplo 1.2.4. Otro tipo de particion serıa para [1, x] la particion P = {1, rn, (rn)2, . . . , (rn)n−1, x}donde rn
n = x. Ahora |P | = x− rnn−1 = rn
n−1(rn − 1) < x · ( n√
x− 1)
Observacion 1.2.5. Dos particiones muy diferentes de [a, b] pueden tener la misma nor-
ma.
Definicion 1.2.6. Supongamos que f es acotada sobre [a, b] y P = {t0, t1, . . . , tn−1, tn}es una particion de [a, b]. Sean
mi = ınf{f(x) : ti−1 ≤ x ≤ ti}
Mi = sup{f(x) : ti−1 ≤ x ≤ ti}
10 CAPITULO 1. LA INTEGRAL DE RIEMANN
La suma inferior de f para P , designada por s(f, P ) (tambien se llama L(f, P )), se define
como
s(f, P ) =n∑
i=1
mi(ti − ti−1)
La suma superior de f para P , designada por S(f, P ) (tambien se llama U(f, P )), se
define como
S(f, P ) =n∑
i=1
Mi(ti − ti−1)
Observacion 1.2.7. El que f sea acotada es esencial para que ∃ mi, Mi, que se han
definido como ınfimo y supremo respectivamente, y no como mınimo y maximo pues no
se exige que f sea continua.
En el caso de ser f continua en [a, b], entonces
mi = mın{f(x) : ti−1 ≤ x ≤ ti}
Mi = max{f(x) : ti−1 ≤ x ≤ ti}
pues f alcanza el maximo y el mınimo en los intervalos cerrados.
Observacion 1.2.8. Es obvio que, al ser mi ≤ Mi, ∀i = 1, . . . , n,
s(f, P ) ≤ S(f, P )
Definicion 1.2.9. Sean P y Q dos particiones de [a, b]. Se dice que Q es un refinamiento
de P si todos los puntos de P estan tambien en Q: P ⊂ Q o P ⊆ Q
Observacion 1.2.10. Si P ⊆ Q entonces |Q| ≤ |P |. Sin embargo no se sigue que si
|Q| ≤ |P | entonces P ⊆ Q.
Lema 1.2.11. Si Q es un refinamiento de P , entonces
s(f, P ) ≤ s(f, Q)
y
S(f, P ) ≥ S(f,Q)
Teorema 1.2.12. Sean P1 y P2 dos particiones de [a, b] y sea f una funcion acotada
sobre [a, b]. Entonces s(f, P1) ≤ S(f, P2)
1.2. INTEGRAL DE RIEMANN 11
Observacion 1.2.13. Por tanto, cualquier suma superior es una cota superior para el
conjunto de todas las sumas inferiores. Ası cualquier suma superior es mayor o igual que
la cota superior mınima de todas las sumas inferiores. Es decir, ∀P ′ particion de [a, b],
sup{s(f, P ) : P particion de [a, b]} ≤ S(f, P ′)
A su vez, el sup{s(f, P )} es una cota inferior para el conjunto de todas las sumas
superiores de f , por lo que sup{s(f, P )} ≤ ınf{S(f, P )} y ∀P ′ particion de [a, b]
s(f, P ′) ≤ sup{s(f, P )} ≤ S(f, P ′)
s(f, P ′) ≤ ınf{S(f, P )} ≤ S(f, P ′)
A partir de esto pueden ocurrir dos situaciones
o sup{s(f, P )} = ınf{S(f, P )}; en este caso, este unico numero serıa un buen can-
didato a area de R(f, a, b)
o sup{s(f, P )} < ınf{S(f, P )}; en este caso, hay infinitos numeros x que cumplen
que sup{s(f, P )} ≤ x ≤ ınf{S(f, P )}
Ejemplo 1.2.14. En el intervalo [0, 1] tomando la particion que lo divide en n partes
iguales, la funcion f(x) =
{0 si x ∈ I1 si x ∈ Q.
cumple que mi = 0 ∀i = 1, . . . , n y Mi = 1 ∀i = 1, . . . , n. Por tanto,
sup{s(f, P )} = 0 6= 1 = ınf{S(f, P )}
Definicion 1.2.15. Una funcion f acotada en [a, b] es integrable sobre [a, b] en el sentido
de Riemann si
sup{s(f, P ) : P particion de [a, b]} = ınf{S(f, P ) : P particion de [a, b]}
En este caso, este numero comun recibe el nombre de integral de f sobre [a, b] y se denota
por
∫
a
b
f o
∫
a
b
f(x) dx.
Al sımbolo∫
se le llama signo integral y a y b son los lımites de integracion inferior
y superior respectivamente.
La integral
∫
a
b
f recibe el nombre de area de R(f, a, b) cuando f(x) ≥ 0 ∀x ∈ [a, b]
12 CAPITULO 1. LA INTEGRAL DE RIEMANN
Observacion 1.2.16. Si f es integrable se cumple que s(f, P ) ≤ ∫a
bf ≤ S(f, P ), ∀P
particion de [a, b] y
∫
a
b
f es el unico numero con esta propiedad.
Teorema 1.2.17. Criterio de integrabilidad
Si f esta acotada en [a, b], entonces f es integrable sobre [a, b] ⇔ ∀ε > 0 ∃P particion
de [a, b] tal que
S(f, P )− s(f, P ) < ε
Observacion 1.2.18. Este teorema nos evita trabajar con supremos e ınfimos
Ejemplo 1.2.19. Sea f : [0, 2] → R definida por f(x) =
{0 si x 6= 1,
1 si x = 1.
∀P particion de [0, 2], P = t0, . . . , tn, ∃j ∈ 1, . . . , n tal que 1 ∈ [tj−1, tj].
Cuando i 6= j tenemos que mi = Mi = 0, pero mj = 0 y Mj = 1.
Por tanto, S(f, P )− s(f, P ) = tj − tj−1.
Ası ∀ε > 0 basta elegir una particion de P tal que tj − tj−1 < ε, con lo que f serıa
integrable. Ademas, puesto que s(f, P ) = 0 ∀P , podemos escribir, siguiendo la expresion
de la observacion anterior al criterio de integrabilidad, que s(f, P ) ≤ 0 ≤ S(f, P ), ∀P ,
por lo tanto
∫
a
b
f = 0
Ejemplo 1.2.20. Sea f(x) = x en [0, b]. Tomamos una particion que tenga todos sus
subintervalos de igual longitud: P = t0, . . . , tn y ti =ib
n
La suma inferior es:
s(f, P ) =n∑
i=1
mi(ti − ti−1) =n∑
i=1
ti−1(ti − ti−1) =n∑
i=1
(i− 1)b
n· b
n=
b2
n2
n∑i=1
(i− 1)
Este ultimo sumatorio es una progresion aritmetica, por lo que
s(f, P ) =b2
n2· ((n− 1) + 0)
2· n =
n− 1
n· b2
2
Analogamente, puesto que Mi = ti
S(f, P ) =n + 1
n· b2
2
Ası pues, cuando n →∞
S(f, P )− s(f, P ) =2
n· b2
2→ 0
1.3. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DE RIEMANN 13
Por lo tanto, f es integrable y
lımn→∞
s(f, P ) = lımn→∞
S(f, P ) =b2
2
Por consiguiente,
∫
0
b
f =b2
2y
∫
a
b
f =b2 − a2
2
Teorema 1.2.21. Si f es continua en [a, b] entonces f es integrable en [a, b].
1.3. Propiedades de la Integral de Riemann
Teorema 1.3.1. Sea a < c < b. Si f es integrable en [a, b] entonces f es integrable sobre
[a, c] y sobre [c, b]. Recıprocamente, si f es integrable sobre [a, c] y sobre [c, b], entonces f
es integrable sobre [a, b]. Finalmente, si f es integrable sobre [a, b] entonces
∫ b
a
f =
∫
a
c
f +
∫
c
b
f
.
Observacion 1.3.2. Vamos a anadir las siguientes definiciones:
∫
a
a
f = 0
∫
a
b
f = −∫
b
a
f si a > b
Con estas definiciones la ecuacion
∫
a
b
f =
∫
a
c
f +
∫
c
b
f se cumple ∀a, b, c, incluso aunque
no se cumpla a < c < b
Teorema 1.3.3. Si f y g son integrables sobre [a, b] entonces f + g es integrable sobre
[a, b] y ∫
a
b
(f + g) =
∫
a
b
f +
∫
a
b
g
Observacion 1.3.4. El que f + g sea integrable en [a, b] no quiere decir que lo sean f y
g. Por ejemplo:
En el intervalo [0, 1] tomando las funciones f(x) =
{0 si x ∈ I1 si x ∈ Q.
y g(x) =
{1 si x ∈ I0 si x ∈ Q.
14 CAPITULO 1. LA INTEGRAL DE RIEMANN
Tenemos que f + g = 1 ∀x ∈ [0, 1], integrable en [0, 1] al ser continua, mientras que ni
f ni g son integrables.
Teorema 1.3.5. Si f es integrable sobre [a, b] entonces para cualquier numero c, la fun-
cion c · f es integrable sobre [a, b] y
∫
a
b
c · f = c ·∫
a
b
f
Observacion 1.3.6. Este teorema es un caso particular del teorema mas general que dice
que si f y g son integrables sobre [a, b], entonces f · g es integrable sobre [a, b]
Proposicion 1.3.7. Si f es integrable sobre [a, b] y f ≥ 0 entonces
∫
a
b
f ≥ 0
Proposicion 1.3.8. Sean f y g integrables sobre [a, b] y tales que f ≤ g ∀x ∈ [a, b],
entonces
∫
a
b
f ≤∫
a
b
g
Observacion 1.3.9. Si f es integrable en [a, b], entonces | f | es integrable en [a, b]. Pero
que | f | sea integrable en [a, b] no implica que f sea integrable en [a, b].
Por ejemplo la funcion f(x) =
{−1 si x ∈ I1 si x ∈ Q.
no es integrable en ningun intervalo cerrado de R, mientras que su valor absoluto es
| f(x) |= 1 ∀x ∈ R, por lo que es integrable en todo intervalo cerrado de R
Proposicion 1.3.10. Si f es integrable sobre [a, b] entonces |∫
a
b
f | ≤∫
a
b
|f |
Teorema 1.3.11. Si f es integrable sobre [a, b] y m ≤ f(x) ≤ M , ∀x ∈ [a, b], entonces
m · (b− a) ≤∫
a
b
f ≤ M · (b− a)
Teorema 1.3.12. Si f es integrable sobre [a, b] y F es una funcion definida sobre [a, b]
por F (x) =
∫
a
x
f(t)dt, ∀x ∈ [a, b], entonces F es continua sobre [a, b]
Capıtulo 2
Teorema fundamental del Calculo
2.1. Teoremas fundamentales
Teorema 2.1.1. Primer teorema fundamental del Calculo Infinitesimal
Sea f integrable sobre [a, b] y definimos F sobre [a, b] por F (x) =
∫
a
x
f(t)dt, ∀x ∈ [a, b].
Si f es continua en c ∈ [a, b], entonces F es derivable en c, y F ′(c) = f(c). Si c = a o c = b,
entonces F ′(c) representa a la derivada por la derecha o por la izquierda de F en c,
respectivamente. A F se la llama antiderivada de f .
Observacion 2.1.2. Si en vez del lımite superior de integracion se varıa el lımite inferior
de integracion, se define G(x) =
∫
x
b
f(t)dt y, por tanto, G(x) =
∫
a
b
f(t)dt−∫
a
x
f(t)dt, en-
tonces G′(c) = −f(c). Ası si tenemos que x < a entonces F (x) =
∫
a
x
f(t)dt = −∫
x
a
f(t)dt
y F ′(c) = −(−f(c)) = f(c). Luego el resultado es independiente de si x > a o si x < a.
Observacion 2.1.3. Cuando f es continua en todos los puntos de [a, b], F es derivable
en todos los puntos de [a, b] y F ′ = f
Ejemplo 2.1.4. Para trabajar con las funciones derivables suministradas por el primer
teorema fundamental del calculo infinitesimal (F ), hay que tener en cuenta la regla de la
cadena. Por ejemplo: Calcula la derivada de la funcion
f(x) =
∫
a
x3
1
1 + sen2tdt
Tenemos que f(x) = F (C(x)) = F ◦ C(x), donde C(x) = x3 y F (x) =
∫
a
x 1
1 + sen2tdt.
15
16 CAPITULO 2. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO
Por la regla de la cadena
f ′(x) = F ′(C(x)) · C ′(x) = F ′(x3) · 3x2 =1
1 + sen2x3· 3x2
Si
f(x) = (
∫ x
a
1
1 + sen2tdt)3
entonces f = C ◦ F y
f ′(x) = C ′(F (x)) · F ′(x) = 3(
∫ x
a
1
1 + sen2tdt)2 · 1
1 + sen2x
La funcion que aparece encima (o debajo) del signo integral indica la funcion que apare-
cera a la “derecha” cuando f se escribe como una composicion.
Corolario 2.1.5. Regla de Barrow
Si f es continua sobre [a, b] y f = g′ para alguna funcion g, entonces
∫
a
b
f = g(b)− g(a)
Ejemplos 2.1.6. a. g(x) =x3
3y f(x) = x2. Entonces
∫
a
b
x2dx =b3
3− a3
3
b. g(x) =xn+1
n + 1y f(x) = xn. Entonces
∫
a
b
xndx =bn+1
n + 1− an+1
n + 1, ∀n 6= −1. (a y b
ambos positivos o ambos negativos si n < 0)
Observacion 2.1.7. No confundir el anterior corolario con una definicion de funcion
integrable, pues una funcion puede ser integrable sin ser la derivada de otra funcion,
como por ejemplo f(x) =
{0 si x 6= 1,
1 si x = 1.
Ademas si f es continua sabemos, por el primer Teorema fundamental del Calculo
Infinitesimal, que existe una funcion g tal que f = g′: g(x) =
∫
a
x
f , pero puede que no
sepamos quien es g. Por ejemplo: f(x) = exp(−x2) = e−x2
Teorema 2.1.8. Segundo Teorema Fundamental del Calculo Infinitesimal
Si f es integrable sobre [a, b] y f = g′ para alguna funcion g, entonces
∫
a
b
f = g(b)− g(a) = g(x)|ba
2.2. AREAS Y VOLUMENES 17
2.2. Areas y volumenes
Recuerda que la integral no siempre representa el area limitada por f , el eje horizontal
y las rectas verticales por los puntos (a, 0) y (b, 0). Por ello para calcular el area de un
recinto debemos averiguar donde la funcion es positiva y donde es negativa, generalmente
a traves de calcular donde se hace cero.
Como la integral de un recinto que este por debajo del eje horizontal es negativa,
para calcular el area tenemos que cambiar el signo al valor de la integral que obtenemos
para dicho recinto. Por ejemplo: Si a < 0 < b y f(x) = x3 entonces para calcular el area
limitada por f sobre [a, b], no calcularemos directamente
∫
a
b
f , si no que el area es
−(
∫
a
0
x3dx) +
∫
0
b
x3dx
Analogamente, cuando queremos calcular el area limitada por dos funciones, es nece-
sario saber donde una de ellas es mayor o menor que la otra. Si g(x) ≤ f(x), ∀x ∈ [a, b],
entonces∫
a
b(f − g) representa siempre el area limitada por f y g, aunque f y g sean, a
veces, negativas. Si c es un numero tal que f + c ≥ 0 y g + c ≥ 0 en [a, b] entonces el area
de R1(f, g, a, b) = al area de R2(f + c, g + c, a, b).
Lo primero que necesitamos saber es donde f es mayor que g, para ello, generalmente,
cuando sea posible, buscaremos los puntos de corte de f y g (si es que existen), es decir,
cuando f(x) = g(x). Por ejemplo: si f(x) = x3 − x y g(x) = x2, los puntos de corte son
las soluciones de la ecuacion x3 − x− x2 = 0, que son x = 0 y x = 1±√52 .
Lo segundo es saber cual de las funciones es mayor en los subintervalos determinados
por los puntos de corte de las funciones, para lo cual tomaremos valores intermedios
(suponiendo que las funciones son continuas en los subintervalos obtenidos). En cada
subintervalo se hace la integral de la mayor menos la menor, con lo que conseguimos que
cada integral de cada subintervalo sea positiva y el area sera la suma de las integrales.
La integral sirve para calcular areas mas que para ”definir” areas.
En cuanto al volumen de revolucion generado por la rotacion de una funcion f ≥ 0
en [a, b], respecto al eje horizontal, hay que tener en cuenta que cada punto de la grafica
18 CAPITULO 2. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO
(x, f(x)) describe una circunferencia de centro el punto (x, 0) y de radio la altura de la
grafica, es decir, f(x).
Aplicando la integral de Riemann, tomamos una particion P y construimos unos discos
verticales (cilindros) de altura ti − ti−1 y de radio mi o Mi segun que tomemos ınfimos o
supremos. Estos discos tendran un volumen de
π ·mi2 · (ti − ti−1)
π ·Mi2 · (ti − ti−1)
Haciendo ambos sumatorios y que en ambos |P | → 0, llegamos a que el volumen de
revolucion de f en [a, b] es
V = π ·∫ b
a
f(x)2dx
Mas adelante veremos ejemplos y ejercicios de calculo de areas y volumenes, aunque ya
podemos hacer algunos casos sencillos:
Ejemplo 2.2.1. ¿Cual es el volumen de revolucion generado por la recta y = x en el
intervalo [0, 2] al girar alrededor del eje OX? Esto es lo mismo que calcular el volumen del
cono cuyo eje es el eje de abcisas y cuya generatriz viene dada por la funcion f(x) = x.
Solucion:
Aplicando la formula tenemos
V = π ·∫ 2
0
x2dx = π · [x3
3]20 =
8π
3
Capıtulo 3
Funciones Trigonometricas
3.1. Introduccion
Definicion 3.1.1. Se dice que una funcion f es periodica de periodo T si
f(x + T) = f(x) ∀x
Proposicion 3.1.2. Sea f una funcion periodica de periodo T . Si f es continua en un
punto x0 entonces, para todo numero entero k, f es continua en x0 + k · T .
Proposicion 3.1.3. Sea f una funcion periodica de periodo T . Si f es derivable en un
punto x0 entonces, para todo numero entero k, f es derivable en x0 + k · T y se tiene que
f ′(x0 + kT ) = f ′(x0)
.
Observacion 3.1.4. Sea f una funcion periodica de periodo T y derivable. Entonces su
funcion derivada es tambien una funcion periodica de periodo T .
Vamos a empezar repasando y comentando algunos conceptos e ideas basicos. Como
ya sabeıs, un angulo queda descrito mediante un punto sobre la circunferencia unidad, es
decir, mediante un punto (x, y) con x2 + y2 = 1. Para medir los angulos vamos a utilizar
los radianes.
Definicion 3.1.5. Un radian es el arco de circunferencia cuya longitud es igual al radio
de dicha circunferencia. Tambien se llama radian al angulo que abarca dicho arco.
19
20 CAPITULO 3. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
Con esta definicion de radian, para estudiar un angulo tenemos que saber calcular la
longitud de una curva. Para evitar este problema vamos a definir las funciones seno y
coseno en terminos de areas.
Supongamos que z es la longitud del arco de la circunferencia unidad que va desde el
punto (1, 0) hasta el punto P . Como la longitud total de la circunferencia de radio 1 es
L = 2π, el arco contienez
2πde la longitud total. Por ejemplo, si z = π entonces el arco
contiene1
2de la longitud total.
Si designamos por S al sector circular determinado por el arco de longitud z, el area
de S deberıa serz
2πveces el area del cırculo unidad, la cual suponemos que es π; ası pues,
S debe tener por areaz
2π· π =
z
2
Por otro lado, la circunferencia unidad tiene por ecuacion x2 + y2 = 1, de donde,
despejando, obtenemos y2 = 1 − x2. Algebraicamente hablando, para y tenemos dos
soluciones y = ±√1− x2, pero como queremos calcular areas, lo cual lo vamos a hacer a
traves de las integrales de funciones, no nos valen las dos soluciones de y, pues la integral
nos darıa 0. Por ello, tomamos solo para definir la funcion f la raız positiva de y, es decir
tomamos f(x) =√
1− x2.
Esta funcion entre [−1, 1] tiene por grafica la semicircunferencia superior de la circun-
ferencia de radio 1. El area que determina esta funcion serıa la mitad de la del cırculo
unidad, es decir π2 . Ası,
Definicion 3.1.6.
π = 2 ·∫ 1
−1
√1− x2dx
Para describir el area A(x) del sector circular S tenemos que distinguir:
si 0 ≤ x ≤ 1, este area puede expresarse como la suma del area del triangulo
determinado por el punto P = (x,√
1− x2) y el area de una region por debajo de
la funcion f entre x y 1. Obtenemos que el area total es
A(x) =x · √1− x2
2+
∫ 1
x
√1− t2dt
si −1 ≤ x ≤ 0, el terminox · √1− x2
2es negativo y representa el area del triangulo
que debe ser restado a la integral de f entre x y 1.
3.2. SENO Y COSENO 21
Definicion 3.1.7. Si −1 ≤ x ≤ 1, entonces
A(x) =x · √1− x2
2+
∫ 1
x
√1− t2dt
Si −1 ≤ x ≤ 1, A es derivable en x y aplicando el Teorema fundamental del Calculo
infinitesimal,
A′(x) =1
2[x · −2x
2√
1− x2+√
1− x2]−√
1− x2
Operando llegamos a que
A′(x) = − 1
2√
1− x2< 0
Es decir, sobre el intervalo [−1, 1] la funcion A es estrictamente decreciente, desde
A(−1) =
∫ 1
−1
√1− t2dt =
π
2hasta A(1) = 0
3.2. Seno y coseno
Para un numero x tal que 0 ≤ x ≤ π queremos definir el cosx y el senx como
las coordenadas de un punto P = (cosx, senx), sobre la circunferencia unidad, el cual
determina un sector cicular S cuya area es x2 .
Definicion 3.2.1. Si 0 ≤ x ≤ π entonces el coseno de x, cosx, se define como el unico
numero del intervalo [−1, 1] tal que
A(cosx) =x
2
y , por Pitagoras,
senx =√
1− cos2x
Por ejemplo, A(cos 0) = 0 y A(cos π) =π
2
Observacion 3.2.2. Para saber que “existe” un numero t que satisface que A(t) =x
2,
utilizamos el hecho de que A es continua y por el teorema de los valores intermedios, toma
todos los valores entre 0 yπ
2.
Teorema 3.2.3. Si 0 < x < π entonces
cos′x = −senx
sen′x = cosx
22 CAPITULO 3. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
Como cos′x = −senx < 0, si 0 < x < π, la funcion cos es decreciente estrictamente
desde cos 0 = 1 hasta cos π = −1. En consecuencia existe un unico valor y ∈ [0, π] tal que
cos y = 0:
A(cos x) =x
2, entonces A(0) =
y
2de modo que y = 2
∫ 1
0
√1− t2dt.
Al ser par la funcion√
1− t2, tenemos que
∫ 0
−1
√1− t2dt =
∫ 1
0
√1− t2dt, por lo que
y =
∫ 1
−1
√1− t2dt =
π
2.
Como (cosx)′′ = −cosx tenemos que en (0,π
2) la funcion es concava y en (
π
2, π) la
funcion es convexa.
Para la funcion sen tenemos que
(senx)′ = cosx
> 0 0 < x <π
2
< 0π
2< x < π
El seno crece de 0 aπ
2, desde sen0 = 0 hasta sen
π
2= 1 y decrece de
π
2a π hasta
senπ = 0. En x =π
2la funcion sen tiene un maximo al haber cambio de signo en la
primera derivada.
Si π ≤ x ≤ 2π entonces tenemos que
senx = −sen(2π − x)
cosx = cos(2π − x)
Esto nos permite ampliar el intervalo de definicion de las funciones seno y coseno.
Ademas, si x = x′ + 2kπ , k ∈ Z y x′ ∈ [0, 2π], tenemos que
senx = senx′
cosx = cosx′
Por tanto, las funciones seno y coseno son ambas periodicas de periodo 2π. La relacion
sen2x + cos2x = 1 se extiende facilmente a todo R aplicando que si π ≤ x ≤ 2π en-
tonces senx = −sen(2π − x) y que cosx = cos(2π − x) y que son funciones periodicas.
Analogamente se extiende a todo R que
cos′x = −senx sen′x = cosx
3.3. OTRAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS 23
3.3. Otras funciones trigonometricas
Definicion 3.3.1. Definimos las funciones siguientes:
Si x 6= π
2+ kπ, k ∈ Z
secx =1
cosx
tgx =senx
cosx
Si x 6= kπ, k ∈ Z
cosecx =1
senx
cotgx =cosx
senx
Teorema 3.3.2. Si x 6= π2
+ kπ, k ∈ Z entonces
sec′x = secx · tgx
tg′x = sec2x
Si x 6= kπ, k ∈ Z entonces
cosec′x = −cosecx · cotgx
cotg′x = −cosec2x
Observacion 3.3.3. Las funciones trigonometricas no son funciones uno-uno (biyecti-
vas), de modo que hace falta restringirlas primero a intervalos convenientes para poder
encontrar sus funciones recıprocas. La mayor longitud posible que se puede obtener es π,
y los intervalos que generalmente se eligen son:
Para el seno [−π
2,π
2]
Para el coseno [0, π]
Para la tangente [−π
2,π
2]
La funcion recıproca de la funcion f(x) = senx en [−π
2,π
2] se llama arcoseno, y se
designa por arcsenx. Su dominio es [−1, 1].
La funcion recıproca de la funcion g(x) = cosx en [0, π] se llama arcocoseno, y se
designa por arccosx. Su dominio es [−1, 1].
La funcion recıproca de la funcion h(x) = tgx en [−π
2,π
2] se llama arcotangente, y
se designa por arctgx. Su dominio es R. Es uno de los ejemplos de funcion derivable,
creciente y que esta acotada siendo uno-uno sobre todo R.
24 CAPITULO 3. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
Teorema 3.3.4. Si −1 < x < 1, entonces
arcsen′(x) =1√
1− x2
arccos′(x) =−1√1− x2
Ademas ∀x ∈ R se tiene
arctg′(x) =1
1 + x2
Lema 3.3.5. Supongamos que f tiene derivada segunda por todas partes y que: f ′′+f = 0,
f(0) = 0 y f ′(0) = 0. Entonces f ≡ 0
Teorema 3.3.6. Si f es una funcion con derivada segunda por todas partes y f ′′+f = 0,
f(0) = a y f ′(0) = b, entonces f(x) = a · cos x + b · sen x.
En particular si f(0) = 0 y f ′(0) = 1 entonces f(x) = sen x y si f(0) = 1 y f ′(0) = 0,
entonces f(x) = cos x
Teorema 3.3.7. Si x e y son dos numeros cualesquiera, entonces
sen(x + y) = senx · cosy + cosx · seny
cos(x + y) = cosx · cosy − senx · seny
Observacion 3.3.8. Haciendo x = y obtenemos
sen2x = 2senx · cosx
cos2x = cos2x− sen2x = 2cos2x− 1 = 1− 2sen2x
A partir de esto llegamos a
cosx = 2cos2(x
2)− 1 ⇒ cos(
x
2) =
√1 + cosx
2
cosx = 1− 2sen2(x
2) ⇒ sen(
x
2) =
√1− cosx
2
Proposicion 3.3.9. Las funciones tangente y cotangente son periodicas de periodo π
Observacion 3.3.10. Como consecuencia de la definicion de tangente tenemos
tg(x + y) =sen(x + y)
cos(x + y)=
senx · cosy + cosx · seny
cosx · cosy − senx · seny=
senx·cosy+cosx·senycosx·cosy
cosx·cosy−senx·senycosx·cosy
=tgx + tgy
1− tgx · tgy
3.3. OTRAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS 25
Proposicion 3.3.11. Angulos opuestos.
sen(−x) = − senx ⇒ funcion impar
cos(−x) = cos x ⇒ funcion par
tg(−x) = − tg x ⇒ funcion impar
A partir de estas expresiones obtendrıamos sen(x− y), cos(x− y) y tg(x− y)
26 CAPITULO 3. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
Capıtulo 4
Funciones logarıtmicas yexponenciales
4.1. El logaritmo neperiano
Tomamos la funcion f(x) =1
xque es continua en todo punto excepto en x = 0 y, por
tanto, es integrable en todo intervalo cerrado que no contenga al origen.
Definicion 4.1.1. Llamamos funcion logarıtmo neperiano a la funcion ln : (0, +∞) → Rdefinida por
ln x =
∫ x
1
1
tdt ∀x > 0
A veces se escribe log x o Lx
Observacion 4.1.2. Por el primer teorema fundamental del Calculo Infinitesimal sabe-
mos que ln es una funcion derivable y, por tanto continua, ∀x ∈ (0, +∞) y
(ln x)′ =1
x∀x > 0
Por consiguiente , la derivada de ln es siempre positiva en (0, +∞), lo que implica que
ln es estrictamente creciente en dicho intervalo y como ln 1 = 0 sera ln x > 0 ∀x > 1 y
ln x < 0 ∀x < 1.
Ademas (ln x)′′ = − 1
x2< 0 ∀x ∈ (0, +∞), luego f es concava en (0, +∞)
Proposicion 4.1.3. Si x, y > 0 entonces ln(xy) = ln x + ln y
Corolario 4.1.4. Si n ∈ N y x > 0 entonces ln xn = n · ln x
27
28 CAPITULO 4. FUNCIONES LOGARITMICAS Y EXPONENCIALES
Corolario 4.1.5. Si x, y > 0 entonces ln(x
y) = ln x− ln y
Corolario 4.1.6. La funcion ln no esta acotada superior ni inferiormente
Corolario 4.1.7.
lımx→0+
ln x = −∞ y lımx→+∞
ln x = +∞
Observacion 4.1.8. La funcion ln : (0, +∞) → R es continua y estrictamente creciente,
por lo tanto es inyectiva. Ademas al ser continua y no estar acotada ni supeior ni inferior-
mente su recorrido es todo R, es decir, ∀y ∈ R ∃x ∈ R+ / ln x = y, luego es suprayectiva.
Ası tenemos que la funcion ln es biyectiva
4.2. La funcion exponencial natural y el numero e
Al ser la funcion ln biyectiva tiene recıproca o inversa.
Definicion 4.2.1. La funcion exp = ln−1, se llama funcion exponencial natural.
Observacion 4.2.2. Segun esto, exp(x) = y ⇔ ln y = x, es decir, un punto (x, y)
pertenece a la grafica de la funcion exp ⇔ el punto (y, x) pertenece a la grafica de la
funcion ln (son simetricas respecto a la recta y = x).
Ası D(exp) = R = Rec(ln) y Rec(exp) = (0, +∞) = D(ln). Ademas, por ser la
funcion ln continua y creciente, la funcion exp es continua y creciente. Y como
lımx→0+
ln x = −∞ y lımx→+∞
ln x = +∞
entonces
lımx→−∞
exp(x) = 0 y lımx→+∞
exp(x) = +∞
Por otro lado, si ln es concava entonces exp es convexa. Es importante recordar que
por ser funciones inversas, tenemos que
exp(ln x) = ln(exp x) = x
Teorema 4.2.3. La funcion exp es derivable y ∀x ∈ R (exp(x))′ = exp(x)
Teorema 4.2.4. ∀x, y ∈ R se verifica que
exp(x + y) = exp(x) · exp(y)
4.2. LA FUNCION EXPONENCIAL NATURAL Y EL NUMERO E 29
Definicion 4.2.5. Se designa por e al numero real exp(1)
e = exp(1) ⇔ ln e =
∫ e
1
1
tdt = 1
Observacion 4.2.6. Como
ln 2 =
∫ 2
1
1
tdt ≤
∫ 2
1
1dt = 1
y
ln 4 =
∫ 4
1
1
tdt =
∫ 2
1
1
tdt +
∫ 4
2
1
tdt ≥
∫ 2
1
1
2dt +
∫ 4
2
1
4dt =
1
2+
1
2= 1
se tiene que ln 2 ≤ 1 = ln e ≤ ln 4. Por tanto 2 ≤ e ≤ 4.
Definicion 4.2.7. ∀x ∈ R designamos por ex a exp(x)
ex = exp(x)
Teorema 4.2.8. Si f es derivable ∀x ∈ R y f ′(x) = f(x) ∀x entonces ∃c ∈ R tal que
f(x) = c · ex ∀x (unicas funciones que coinciden con sus derivadas)
Teorema 4.2.9. Para cualquier numero natural n
lımx→+∞
ex
xn= +∞
Es decir, la funcion exponencial crece mas deprisa que cualquier polinomio.
Ejemplo 4.2.10. Sea la funcion f(x) = e−1
x2 , para x 6= 0. Tenemos que f ′(x) =2
x3·e− 1
x2 .
Por tanto
f ′(x) < 0 si x < 0 ⇒ f decrece
f ′(x) > 0 si x > 0 ⇒ f crece
Ademas si |x| → +∞ ⇒ x2 → +∞ y − 1
x2→ 0, de donde e−
1x2 → 1.
A su vez, si |x| → 0 ⇒ − 1
x2→ −∞, de donde e−
1x2 → 0, es decir,
lımx→0
e−1
x2 = 0
.
Por tanto si definimos
f(x) =
{e−
1x2 x 6= 00 x = 0
30 CAPITULO 4. FUNCIONES LOGARITMICAS Y EXPONENCIALES
f es continua en R. Ademas f es derivable en 0:
f ′(0) = lımh→0
e−1
h2
h= lım
h→0
1h
e1
h2
= lımx→∞
x
ex2
Como lımx→∞
ex
x= ∞ entonces, con mas razon tenemos que lım
x→∞ex2
x= ∞, por tanto,
lımx→∞
x
ex2 = 0
Ası pues, f ′(x) =
2
x3· e− 1
x2 x 6= 0
0 x = 0
.
Analogamente obtenemos que f ′′(0) = 0 y que f (k)(0) = 0, por lo que f es extremada-
mente llana en 0, razon por la cual la podemos utilizar para enmascarar muchas irregu-
laridades de otras funciones, como por ejemplo la funcion
g(x) =
e−1
x2 · sen( 1x) x 6= 0
0 x = 0
.
4.3. Otras funciones exponenciales y logarıtmicas
Definicion 4.3.1. Sea a > 0. ∀x ∈ R se designa por ax al numero real ex·ln a
ax = ex·ln a
Definicion 4.3.2. La funcion f : R→ (0, +∞) designada por f(x) = ax = ex ln a, ∀x ∈ R,
se llama funcion exponencial de base a.
Se necesita imponer que a > 0 para que exista el ln a. Ademas, la funcion exponencial
natural es la exponencial en base e
Observacion 4.3.3. a0 = e0 = 1 y a1 = eln a = a. Ademas si a = 1 entonces ln a = 0 y
1x = e0 = 1, ∀x ∈ R.
Si a > 1 entonces ln a > 0 y si x < y entonces x ln a < y ln a y como la funcion
exponencial en base e es creciente, tenemos que exp(x ln a) < exp(y ln a), es decir, ax < ay.
Por consiguiente si a > 1 la funcion f(x) = ax es creciente y se verifica que
lımx→−∞
ax = lımx→−∞
ex ln a = 0
4.3. OTRAS FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS 31
lımx→+∞
ax = lımx→+∞
ex ln a = +∞
En cambio, si 0 < a < 1 entonces ln a < 0 y la funcion f(x) = ax es decreciente y
lımx→−∞
ax = lımx→−∞
ex ln a = +∞
lımx→+∞
ax = lımx→+∞
ex ln a = 0
La funcion f(x) = ax es continua por ser la composicion de dos funciones continuas:
g(x) = ex y h(x) = x ln a, f = g ◦ h. Como g y h son derivables entonces f es derivable
y por la regla de la cadena tenemos que:
f ′(x) = g′(h(x)) · h′(x) = eh(x) · ln a = ax · ln a ∀x ∈ R
Proposicion 4.3.4. Sea a > 0. Cualesquiera que sean los numeros reales x e y se verifica
ax+y = ax · ay y (ax)y = axy
Observacion 4.3.5. Si a > 0 y a 6= 1, la funcion f : R→ (0, +∞) definida por f(x) = ax
es biyectiva. Por lo tanto tiene recıproca o inversa.
Definicion 4.3.6. A la funcion inversa o recıproca de f(x) = ax, exponencial en base a,
se la llama funcion logaritmo en base a. Se designa por loga, loga : (0, +∞) → R
Observacion 4.3.7. Si y = logax entonces x = ay = eylna ⇒ lnx = ylna ⇒ y =lnx
lna.
Por tanto, tenemos que
logax =lnx
lna
A partir de aquı deducimos que ln es loge
Observacion 4.3.8. Como f(x) = ax es continua y monotona (creciente si a > 1 y
decreciente si a < 1), la funcion loga es tambien continua y monotona (creciente si a > 1
y decreciente si a < 1) y
si a > 1 lımx→0+
logax = −∞ , lımx→+∞
logax = +∞
y si a < 1 lımx→0+
logax = +∞ , lımx→+∞
logax = −∞
La derivada de g(x) = logax se obtiene a partir de g(x) =lnx
lna:
(logax)′ =1
xlna∀x > 0
32 CAPITULO 4. FUNCIONES LOGARITMICAS Y EXPONENCIALES
4.4. Funcion potencia
Definicion 4.4.1. Sea a ∈ R. La funcion f : (0, +∞) → R definida por
f(x) = xa = ea·ln x ∀x > 0
se llama funcion potencia de exponente a.
Observacion 4.4.2. La funcion potencia f(x) = xa es continua y derivable, al ser la
composicion de las funciones g(x) = ex y h(x) = a · ln x, continuas y derivables.
f ′(x) = g′(h(x)) · h′(x) = eh(x) · a
x= ealnx · a
x=
a
x· xa = a · xa−1
Si a = 0 ⇒ f(x) = 1 ∀x > 0
Si a > 0 ⇒ f ′(x) > 0 y f es creciente. Ademas, como
lımx→0+
alnx = −∞ y lımx→+∞
alnx = +∞
entonces
lımx→0+
xa = lımx→0+
ealnx = 0
lımx→+∞
xa = lımx→+∞
ealnx = +∞
Si a < 0 ⇒ f ′(x) < 0 y f es decreciente. Ademas, como
lımx→0+
alnx = +∞ y lımx→+∞
alnx = −∞
entonces
lımx→0+
xa = lımx→0+
ealnx = +∞lım
x→+∞xa = lım
x→+∞ealnx = 0
La segunda derivada de f es f ′′(x) = a · (a − 1) · xa−2. Por tanto, si a < 0 o a >
1 ⇒ f ′′(x) > 0 y f es convexa y si 0 < a < 1 ⇒ f ′′(x) < 0 y f es concava. Si
a = 1 ⇒ f(x) = x ∀x > 0.
El caso general es
f(x) = g(x)h(x)
cuya derivada es
f ′(x) = g(x)h(x)[h′(x) · g(x) + h(x) · g′(x)
g(x)]
4.5. FUNCIONES HIPERBOLICAS 33
4.5. Funciones Hiperbolicas
Definicion 4.5.1. Las funciones sh, ch y th definidas ∀x ∈ R por
sh(x) =ex − e−x
2; ch(x) =
ex + e−x
2; th(x) =
shx
chx
se denominan seno hiperbolico, coseno hiperbolico y tangente hiperbolica respectivamente.
Observacion 4.5.2. Se deduce que sh0 = 0, ch0 = 1, th0 = 0. Y ∀x ∈ R se verifica
que sh(−x) = −shx ch(−x) = ch(x) y th(−x) = −thx. Luego las funciones sh y th
son impares y la funcion ch es par.
Observacion 4.5.3. De la definicion se deduce que chx + shx = ex y chx− shx = e−x.
Multiplicando miembro a miembro se obtiene
ch2x− sh2x = 1
y dividiendo por ch2x resulta
1− th2x =1
ch2x
A partir de aquı se deducen las siguientes igualdades:
sh(x + y) = shx · chy + chx · shy
ch(x + y) = chx · chy + shx · shy
th(x + y) =thx + thy
1 + thx · thy
sh2x = 2shx · chx
ch2x = ch2x + sh2x
th2x =2thx
1 + th2x
Observacion 4.5.4. Las funciones sh, ch y th son derivables por serlo la exponencial
natural y ∀x ∈ R se verifica que
sh′x = chx , ch′x = shx , th′x =1
ch2x
Observacion 4.5.5. Como chx > 0, ∀x entonces sh es creciente y, ademas,
lımx→−∞
shx = −∞ y lımx→+∞
shx = +∞
34 CAPITULO 4. FUNCIONES LOGARITMICAS Y EXPONENCIALES
Por otra parte, como sh′′x = shx y shx es positivo o negativo segun que x sea mayor
o menor que 0, la funcion sh es concava en (−∞, 0) y convexa en (0, +∞). En x = 0, la
funcion sh tiene un punto de inflexion.
Como shx < 0 si x < 0 y shx > 0 si x > 0 entonces ch es decreciente en (−∞, 0) y
creciente en (0, +∞). En x = 0, ch tiene un mınimo absoluto igual a 1. Ademas
lımx→−∞
chx = lımx→+∞
chx = +∞
Por otra parte ch′′x = chx > 0 ∀x, entonces ch es convexa.
La funcion th tinen derivada positiva y, por tanto, es creciente en R. Ademas,
lımx→−∞
thx = −1 y lımx→+∞
thx = +1
Por otro lado, th′′(x) = −sh2x
ch4x, por lo que la funcion th es convexa en (−∞, 0) y
concava en (0, +∞); ası en x = 0 tiene un punto de inflexion.
Observacion 4.5.6. La funcion sh : R→ R es biyectiva. Su funcion recıproca o inversa
se llama argumento seno hiperbolico y se designa por arg sh: arg shx = y ⇔ shy = x.
La funcion arg sh es continua y creciente, al serlo sh. Ademas es derivable y su deriva-
da es arg sh′(x) =1√
x2 + 1.
Por otro lado, arg shx = ln|x +√
x2 + 1|
La funcion ch : [0, +∞) → [1, +∞) es biyectiva. Su funcion recıproca o inversa se
llama argumento coseno hiperbolico y se designa por arg ch: arg chx = y ⇔ chy = x.
Es derivable y su derivada es arg ch′(x) =1√
x2 − 1.
Por otro lado, arg chx = ln|x +√
x2 − 1|.
La funcion th : R → (−1, 1) es biyectiva. Su funcion recıproca o inversa se llama
argumento tangente hiperbolica y se designa por arg th: arg thx = y ⇔ thy = x.
Su derivada es arg th′(x) =1
1− x2. Y arg thx =
1
2· ln|1 + x
1− x|
4.6. CALCULO DE LIMITES 35
4.6. Calculo de lımites
En general, usaremos la Regla de L´Hopital para resolver las indeterminaciones∞∞ y
0
0. En las indeterminaciones del tipo 0 · ∞ trasformaremos la expresion para convertirla
en una indeterminacion del tipo∞∞ o
0
0:
o bien f · g =f1
g
o bien f · g =g1
f
.
Las indeterminaciones del tipo ∞−∞ se trasforman del modo siguiente:
f − g = f · (1− g
f)
Las indeterminaciones de los tipos 00 , ∞0 y 1∞ se reducen al tipo 0 · ∞ sin mas
que tener en cuenta que
f(x)g(x) = eg(x)·ln(f(x))
A veces, para el calculo de lımites en el infinito o en cero, resulta muy util hacer el
cambio de variable y =1
x. Con este cambio tenemos:
y → 0+ ⇔ x → +∞
y → 0− ⇔ x → −∞
Ejemplos 4.6.1. Veamos varios ejemplos:
1.
lımx→+∞
ln x
x= lım
x→+∞1
x= 0
2.
lımx→0+
x · ln x = lımy→+∞
1
y· ln 1
y= lım
y→+∞− ln y
y= 0
3.
lımx→0
(1 + x)1x = lım
x→0e
1x·ln(1+x) = e1 = e
36 CAPITULO 4. FUNCIONES LOGARITMICAS Y EXPONENCIALES
En el caso lımx→a
f(x)g(x), con −∞ ≤ a ≤ +∞, si f y g son tales que f(x) 6= 1 ∀x,
lımx→a
f(x) = 1, lımx→a
g(x) = ±∞ y que exista el lımx→a
(f(x)− 1) · g(x), haciendo el cambio
h(x) = f(x)− 1, tenemos
f(x)g(x) = [(1 + h(x))1
h(x) ]h(x)·g(x)
donde lımx→a
h(x) = 0, por lo que
lımx→a
(1 + h(x))1
h(x) = lımy→0
(1 + y)1y = e
Como h(x) ·g(x) = (f(x)−1) ·g(x) y por ser la funcion exponencial continua (el lımite
de la potencia es el lımite de la base elevado al lımite del exponente), sustituyendo queda
lımx→a
f(x)g(x) = elımx→a
(f(x)− 1) · g(x)
Ejemplo 4.6.2.
lımx→0
(x2 + x + 1)1x = e
lımx→0
x2 + x
x = elımx→0
(x + 1)= e
Capıtulo 5
Integracion en terminos elementales
5.1. Introduccion
Definicion 5.1.1. Sea I un intervalo y f : I → R una funcion continua en I. Se dice que
una funcion F es una primitiva de f en I cuando F es derivable y F ′ = f en I.
Por el Primer Teorema fundamentel del Calculo Infinitesimal, si f es continua en I,
cualquier funcion del tipo F (x) =
∫ x
a
f , donde a ∈ I, es una primitiva de f en I.
Proposicion 5.1.2. Sean I un intervalo y f : I → R una funcion continua en I. Si F y
G son dos primitivas de f en I, entonces la funcion G− F es constante en I.
Observacion 5.1.3. Por tanto, si F es primitiva de una funcion continua f en I,
cualquier otra primitiva de f en I es de la forma G = F + k con k constante.
Definicion 5.1.4. El conjunto de las primitivas de f se designa por
∫f o
∫f(x)dx.
Ası, si F es una primitiva de f entonces
∫f = {F + k : k ∈ R}. Suele escribirse
∫f = F + k
Observacion 5.1.5. No debes confundir
∫f(x)dx con
∫ b
a
f(x)dx. La primera expresion
designa a un conjunto infinito de funciones, las cuales, cumplen, todas ellas, que tienen
por derivada a f . Se llama integral indefinida de f . Mientras que la segunda expresion es
un numero real, la integral de f en [a, b]. Se llama integral definida de f .
Ademas, a partir de la definicion de primitiva, tenemos que
∫f ′ = f +k y (
∫f)′ = f
37
38 CAPITULO 5. INTEGRACION EN TERMINOS ELEMENTALES
Proposicion 5.1.6. Sean I un intervalo, f y g dos funciones continuas en I y a y b dos
numeros reales no simultaneamente nulos. Entonces
a ·∫
f + b ·∫
g =
∫(a · f + b · g)
5.1.1. Integrales inmediatas
Son aquellas integrales indefinidas que se obtinen directamente a partir de la tabla de
derivadas.
1.
∫adx = ax + k
2.
∫(x− a)rdx =
(x− a)r+1
r + 1+ k si r 6= −1
3.
∫dx
x− a= ln|x− a|+ k
4.
∫eaxdx =
eax
a+ k si a 6= 0
5.
∫abxdx =
abx
b · lna+ k si a > 0 a 6= 1 y b 6= 0
6.
∫sen(ax)dx = −1
a· cos(ax) + k si a 6= 0
7.
∫cos(ax)dx =
1
a· sen(ax) + k si a 6= 0
8.
∫dx√
1− x2= arc sen x + k
9.
∫dx
1 + x2= arc tg x + k
10.
∫dx√
x2 + 1= ln |x +
√x2 + 1|+ k = arg shx + k
11.
∫dx√
x2 − 1= ln |x +
√x2 − 1|+ k = arg chx + k
5.2. METODOS DE INTEGRACION 39
5.2. Metodos de integracion
5.2.1. Integracion por partes
Proposicion 5.2.1. Sean I un intervalo y f y g dos funciones con derivadas continuas
en I. Entonces ∫f · g′ = f · g −
∫f ′ · g
Observacion 5.2.2. El metodo de integracion por partes para calcular
∫h(x)dx consiste
en encontrar dos funciones f y g tales que h se pueda escribir como f · g′. El metodo
sera eficaz cuando
∫f ′(x) · g(x)dx sea mas facil de calcular que la funcion original. En
los calculos se suele tomar u = f(x), dv = g′(x)dx, du = f ′(x)dx y v = g(x), por lo que
la formula queda ∫udv = u · v −
∫vdu
Se suele tomar como funcion u las potencias de x, salvo que aparezcan ln o arctan o
arcsin.
Ejemplos 5.2.3. 1.
∫x sen xdx = −x · cos x +
∫cos xdx = −x · cos x + sen x + k
con
{u = x ⇒ du = dx
dv = sen xdx ⇒ v = − cos x
2.
∫ln xdx = x · ln x− x + k
con
{u = ln x ⇒ du =
1
xdx
dv = dx ⇒ v = x
5.2.2. Integracion por cambio de variable
Proposicion 5.2.4. Sean I y J dos intervalos, g una funcion con derivada continua en
I, siendo g(I) ⊂ J , y f una funcion continua en J. Entonces
∫(f ◦ g) · g′ = (
∫f) ◦ g , es decir,
∫f(g(x)) · g′(x)dx =
∫f(t)dt
siendo t = g(x) (cambio de variable)
40 CAPITULO 5. INTEGRACION EN TERMINOS ELEMENTALES
Observacion 5.2.5. Si se sabe determinar el conjunto
∫f(t)dt de las primitivas de f en
J, automaticamente queda determinado el conjunto
∫f(t)dt =
∫f(g(x)) · g′(x)dx de las
primitivas de (f ◦g) ·g′ en I, sin mas que componer con la funcion g (es lo que llamaremos
deshacer el cambio de variable). Es decir, primero se sustituye g(x) = t y g′(x)dx = dt
(se hace el cambio de variable). Despues se halla una primitiva de f en funcion de t.
Finalmente se sustituye t por g(x) (se deshace el cambio de variable).
Ejemplo 5.2.6. ∫sen2 x cos xdx =
∫t2dt =
1
3· sen3 x + k
hemos tomado g(x) = sen x continua en I = R y f(t) = t2 continua en J = R. Como
g(I) = [−1, 1] ⊂ J y g′(x) = cosx, tomamos el cambio de variable g(x) = sen x = t,
cos xdx = dt
Observacion 5.2.7. A veces la proposicion se utiliza en sentido contrario. Si se desea
calcular
∫f(x)dx y, para una funcion biyectiva conveniente g,
∫f(g(t)) · g′(t)dt es mas
facil de calcular. En este caso,∫
f(x)dx = (
∫f(g(t)) · g′(t)dt) ◦ g−1(x)
Ejemplo 5.2.8.
∫ √1− x2 dx =
∫ √1− sen2 t · cos tdt =
∫cos2 tdt =
1
2
∫(1+cos 2t)dt =
1
2t +
1
4sen 2t =
1
2arcsin x +
1
2x√
1− x2 + k
donde x = sen t = g(t), dx = cos tdt = g′(t)dt y g−1(x) = arcsin x = t
5.2.3. Primitivas de funciones racionales
Una funcion racional es el cociente entre dos funciones polinomicas, f =P
Q. Supon-
dremos queP
Qesta escrita en forma reducida, es decir, P y Q son polinomios primos entre
sı y supondremos que la descomposicion de Q en factores irreducibles es
Q(x) = a(x− a1)m1 . . . (x− ar)
mr · (x2 + 2b1x + c1)n1 . . . (x2 + 2bsx + cs)
ns
donde a, a1, . . . , ar, b1, c1, . . . , bs, cs son numeros reales tales que b2i − ci < 0, ∀i = 1, . . . , s,
entonces la funcion f =P
Qse descompone de modo unico en la forma
f = E +A11
x− a1
+ · · ·+ A1m1
(x− a1)m1+ · · ·+ Ar1
x− ar
+ · · ·+ Armr
(x− ar)mr+
5.2. METODOS DE INTEGRACION 41
+B11x + C11
x2 + 2b1x + c1
+ · · ·+ B1n1x + C1n1
(x2 + 2b1x + c1)n1+ · · ·+ Bs1x + Cs1
x2 + 2bsx + cs
+ · · ·+ Bsnsx + Csns
(x2 + 2bsx + cs)ns
donde E es la parte entera deP
Q(cociente de la division entera de
P
Q) y Aij, Bhk y Chk
son numeros reales.
Por tanto, todo se reduce a resolver integrales de los siguientes tipos:
∫dx
(x− a)ndonde n ∈ N y a ∈ R
∫Bx + C
(x2 + 2bx + c)ndx donde n ∈ N B, C, b, c ∈ R y b2 − c < 0
Las del primer tipo tienen como solucion
∫dx
(x− a)n=
ln|x− a|+ k si n = 1
−1
(n− 1)(x− a)n−1+ k si n 6= 1
Para resolver las del segundo tipo primero necesitamos transformarlas:
Bx + C =B
2· (2x + 2b) + C −Bb, luego
∫Bx + C
(x2 + 2bx + c)ndx =
B
2
∫2x + 2b
(x2 + 2bx + c)ndx + (C −Bb)
∫dx
(x2 + 2bx + c)n
y
∫2x + 2b
(x2 + 2bx + c)n=
ln(x2 + 2bx + c) + k si n = 1
−1
(n− 1)(x2 + 2bx + c)n−1+ k si n 6= 1
Por otra parte x2 + 2bx + c = x2 + 2bx + b2 + c− b2 = (x + b)2 + c− b2, con c− b2 > 0.
Haciendo el cambio de variable x + b =√
c− b2 · t, dx =√
c− b2 · dt tenemos,
∫dx
(x2 + 2bx + c)n=
1
(c− b2)n− 12
∫dt
(t2 + 1)n
y esta ultima integral se resuelve por partes (ver hoja de problemas) .
Ası las primitivas de una funcion racional son suma de funciones racionales, logaritmos
y arcotangentes.
42 CAPITULO 5. INTEGRACION EN TERMINOS ELEMENTALES
Ejemplo 5.2.9.
∫dx
x3 − 1
Como x3 − 1 = (x− 1)(x2 + x + 1) tenemos por el metodo de los coeficientes indeter-
minados que1
x3 − 1=
A
x− 1+
Bx + C
x2 + x + 1
operando y calculando A, B y C, y sustituyendo en la igualdad llegamos a que:
1
x3 − 1=
1
3· 1
x− 1− 1
3· x + 2
x2 + x + 1
Como
∫dx
x− 1= ln |x− 1|+ k ,
∫x + 2
x2 + x + 1dx =
1
2
∫2x + 1
x2 + x + 1dx +
3
2
∫dx
x2 + x + 1y
∫2x + 1
x2 + x + 1dx = ln(x2 + x + 1) + k
Solo nos queda resolver la ultima integral, para lo cual hacemos el cambio de variable
x + 12
=√
1− (12)2t
dx =√
34dt =
√3
2dt
∫dx
x2 + x + 1=
1√
32
·∫
dt
(t2 + 1)=
2√3
arc tg t + k =
=2√
3
3arc tg
√3(2x + 1)
3+ k
5.2.4. Metodo de Hermite
Sean P y Q dos polinomios tales que el grado P < grado Q. Sea Q1 el maximo comun
divisor de Q y Q′ y sea Q2 el cociente de Q por Q1. Entonces existen dos polinomios
unicos P1 y P2 de grados inferiores a los de Q1 y Q2 respectivamente, tales que
∫P (x)
Q(x)dx =
P1(x)
Q1(x)+
∫P2(x)
Q2(x)dx
Si Q(x) = a(x − a1)m1 . . . (x − ar)
mr(x2 + 2b1x + c1)n1 . . . (x2 + 2bsx + cs)
ns entonces el
MCD(Q, Q′) es
Q1(x) = a(x− a1)m1−1 . . . (x− ar)
mr−1(x2 + 2b1x + c1)n1−1 . . . (x2 + 2bsx + cs)
ns−1
5.2. METODOS DE INTEGRACION 43
y Q2(x) = (x−a1) . . . (x−ar)(x2+2b1x+c1) . . . (x2+2bsx+cs) y ası en la descomposicion de
P2
Q2
en fracciones simples, solo aparecen sumandos de las formasAi
x− ai
yBjx + Cj
x2 + 2bjx + cj
y
∫P2
Q2
es la suma de logaritmos y arcotangentes.
Los coeficientes de P1 y P2 se calculan por el metodo de los coeficientes indeterminados:
Una vez determinados los polinomios Q1 y Q2 se consideran dos polinomios P1 y P2 de
grados inferiores en una unidad a los de Q1 y Q2 respectivamente y con coeficientes
indeterminados y se deriva la igualdad∫
P (x)
Q(x)dx =
P1(x)
Q1(x)+
∫P2(x)
Q2(x)dx
con lo que resulta
P (x)
Q(x)=
P ′1(x)Q1(x)− P1(x)Q′
1(x)
[Q1(x)]2+
P2(x)
Q2(x)
y quitando denominadores e identificando se determinan los coeficientes de P1 y P2.
Ejemplo 5.2.10.
∫3x + 5
(x2 + 2x + 2)2dx En este caso Q(x) = (x2 + 2x + 2)2; Q1(x) =
x2 + 2x + 2 y Q2(x) = x2 + 2x + 2. Ası tenemos que∫
3x + 5
(x2 + 2x + 2)2dx =
Ax + B
x2 + 2x + 2+
∫Cx + D
x2 + 2x + 2dx
Derivando, quitando denominadores e identificando coeficientes se obtiene que C = 0;
−A + 2C + D = 0; −2B + 2C + 2D = 3, 2A− 2B + 2D = 5 de lo que resulta que A = 1,
B = −12, C = 0 y D = 1. Por consiguiente,
∫3x + 5
(x2 + 2x + 2)2dx =
2x− 1
2(x2 + 2x + 2)+
∫dx
x2 + 2x + 2∫
dx
x2 + 2x + 2=
∫dx
(x + 1)2 + 1= arc tg(x + 1) + k
resulta finalmente∫
3x + 5
(x2 + 2x + 2)2dx =
2x− 1
2(x2 + 2x + 2)+ arc tg(x + 1) + k
5.2.5. Primitivas de algunas funciones trigonometricas
Una funcion f : R2 → R de la forma
f(x, y) = a00 + a10x + a01y + a11xy + a20x2 + a02y
2 + a21x2y + · · ·+ apqx
pyq
44 CAPITULO 5. INTEGRACION EN TERMINOS ELEMENTALES
que utilizando signos sumatorios se puede escribir abreviadamente como
f(x, y) =
p∑m=0
q∑n=0
amnxmyn
se llama funcion polinomica de 2 variables. Una funcion racional de 2 variables es el
cociente de 2 funciones polinomicas de 2 variables. En este apartado vamos a utilizar
funciones de este tipo, donde las dos variables son sen x y cos x, es decir funciones
f(sen x, cos x)
a) Todas las integrales de la forma
∫f(sen x, cos x)dx donde f es una funcion racional
de 2 variables, se reducen a integrales de la forma
∫g(t)dt, donde g es una funcion racional
de 1 variable, con el cambio general
t = tgx
2⇔ x = 2 arc tg t , dx =
2dt
1 + t2
Como
tg x =2 tg x
2
1− tg2 x2
=2t
1− t2
aplicando la definicion de tangente de un angulo en un triangulo rectangulo, los catetos
son el numerador y el denominador de la ultima fraccion. Por Pitagoras obtenemos
sen x =2t
1 + t2y cos x =
1− t2
1 + t2
b) Cuando la funcion f es par tanto en seno y como en el coseno, es decir, cuando
f(− sen x,− cos x) = f(sen x, cos x), el cambio
t = tg x ⇔ x = arc tg t , dx =dt
1 + t2
reduce la integral a una funcion racional mas sencilla que con el cambio t = tgx
2. Si
tg x = t =t
1, aplicando la definicion de tangente de un angulo en un triangulo rectangu-
lo, los catetos son el numerador y el denominador de la ultima fraccion. Por Pitagoras
obtenemos cos x =1√
1 + t2y sen x = tg x · cos x =
t√1 + t2
.
c) Cuando f es impar en el coseno, es decir, f(sen x,− cos x) = −f(sen x, cos x), es
mejor el cambio sen x = t, cos x dx = dt.
d) Cuando fes impar en el seno, es decir, f(− sen x, cos x) = −f(sen x, cos x), es mejor
el cambio cos x = t, − sen x dx = dt
5.2. METODOS DE INTEGRACION 45
5.2.6. Integrales de la forma
∫f(ax)dx
Se reducen a integrales racionales con el cambio
t = ax ⇔ x = loga t , dx =dt
t ln a
y ∫f(ax)dx =
1
ln a
∫f(t)
tdt
5.2.7. Primitivas de algunas funciones irracionales
a) Integrales del tipo∫
f(x, (Ax + B
Cx + D)
1n1 , (
Ax + B
Cx + D)
1n2 , . . . , (
Ax + B
Cx + D)
1nr )dx
donde f es una funcion racional de r + 1 variables (cociente de 2 polinomios de r + 1
variables), A , B , C y D son numeros reales y n1 , n2 , . . . , nr son numeros naturales.
Sea m = m.c.m.(n1 , n2 , . . . , nr). Con el cambio
Ax + B
Cx + D= tm , x =
Dtm −B
A− Ctm, dx =
m(AD −BC)tm−1
(A− Ctm)2dt
se reducen a integrales de funciones racionales.
b) Integrales binomicas.
Se llaman ası a las integrales de la forma
∫xm(a + bxn)pdx, donde a , b ∈ R no nulos
y m , n , p ∈ Q siendo n 6= 0.
Haciendo el cambio xn = t , x = n√
t , dx = 1nt
1n−1dt, resulta
∫xm(a + bxn)pdx =
1
n
∫tq(a + bt)pdt
donde q =m + 1
n− 1.
Si alguno de los tres numeros p , q , p + q es entero, la ultima integral es del tipo
estudiado en el parrafo anterior:
- Si p es entero, la integral es de la forma
∫f(t, tq)dt, funcion racional de 2 variables.
46 CAPITULO 5. INTEGRACION EN TERMINOS ELEMENTALES
- Si q es entero, la integral es de la forma
∫f(t, (a + bt)p)dt, funcion racional de 2
variables.
- Si p + q ∈ Z, la integral es igual a
∫tp+q(
a + bt
t)pdt
Por consiguiente, la integral
∫tq(a + bt)pdt se reduce a la integral de una funcion
racional cuando alguno de los numeros p, q, p + q ∈ Z. La racionalizacion se consigue con
los cambios de variable:
I. Si p ∈ Z y q =r
s, con r y s numeros enteros, se hace el cambio t = zs.
II. Si q ∈ Z y p =r
s, con r y s numeros enteros, se hace el cambio a + bt = zs,
t =zs − a
b.
III. Si p + q ∈ Z y p =r
s, con r y s numeros enteros, se hace el cambio
a + bt
t= zs,
t =a
zs − b.
c. Integrales del tipo
∫f(x,
√ax2 + bx + c)dx, donde f es una funcion racional de 2
variables, a , b , c ∈ R y a 6= 0.
Transformando el trinomio de 2o grado en suma o diferencia de cuadrados, la integral
se puede escribir de una de las 3 formas siguientes:
1.
∫f(x,
√p2 − (qx + r)2)dx
2.
∫f(x,
√p2 + (qx + r)2)dx
3.
∫f(x,
√(qx + r)2 − p2)dx
Todas ellas se reducen a integrales de la forma
∫g(sen x, cos x)dx, donde g es una funcion
racional de 2 variables.
Las del primer tipo se resuelven con el cambio q · x + r = p sen t, q dx = p cos t dt.
Las del segundo tipo se resuelven con el cambio q · x + r = p tg t, q dx =p dt
cos2 t.
Y las del tercer tipo se resuelven con el cambio q · x + r =p
cos t, q dx = p
sen t
cos2 tdt.
5.2. METODOS DE INTEGRACION 47
d. Las integrales de la forma
∫f(x,
√ax2 + bx + c)dx, donde f es una funcion racional
de 2 variables, a , b , c ∈ R y a 6= 0, pueden tambien reducirse a integrales de funciones
racionales. La racionalizacion se consigue con los cambios de variable que, segun los casos,
son:
1. Si a > 0 se hace el cambio√
ax2 + bx + c− x√
a = t.
2. Si a < 0 y c > 0 se hace el cambio1
x(√
ax2 + bx + c−√c) = t.
3. Si a < 0 y c < 0 se hace el cambio
√ax2 + bx + c
x− x1
= t, donde x1 es una de las dos
raıces de ax2 + bx + c.
48 CAPITULO 5. INTEGRACION EN TERMINOS ELEMENTALES
Capıtulo 6
Teorema del valor medio. Suma deRiemann
6.1. Teorema del valor medio del calculo integral
Definicion 6.1.1. Promedio integral o valor medio de f .
Sea f : [a, b] → R una funcion acotada e integrable en [a, b]. El numero real
µ =1
b− a·∫ b
a
f(x)dx
se llama valor medio de f en el intervalo [a, b]. Serıa la altura de un rectangulo de base
b− a y de area igual al determinado por la funcion f en [a, b]
Teorema 6.1.2. Teorema del valor medio.
Si f : [a, b] → R es una funcion continua en [a, b] entonces ∃c ∈ [a, b] tal que
∫ b
a
f(x)dx = f(c) · (b− a)
Definicion 6.1.3. Sean f y g dos funciones integrables en [a, b] siendo g no negativa y
tal que∫ b
ag > 0. El numero real ∫ b
af(x)g(x)dx∫ b
ag(x)dx
se llama valor medio de la funcion f ponderado por la funcion g en el intervalo [a, b].
La funcion g suele denominarse funcion peso.
49
50 CAPITULO 6. TEOREMA DEL VALOR MEDIO. SUMA DE RIEMANN
Teorema 6.1.4. Teorema del valor medio ponderado o generalizado
Si f : [a, b] → R es una funcion continua en [a, b] y g : [a, b] → R es una funcion
acotada e integrable y de signo constante en [a, b], entonces ∃c ∈ [a, b] tal que
∫ b
a
f(x)g(x)dx = f(c)
∫ b
a
g(x)dx
6.2. Suma de Riemann
Definicion 6.2.1. Sea I = [a, b] y sea f : I → R una funcion acotada. Si tenemos
P = {t0 , t1 , . . . , tn} una particion de I y si {x1 , . . . , xn} son numeros reales tales
que xi ∈ [ti−1, ti] para i = 1, . . . , n, entonces la suma
σ(f, P ) =n∑
i=1
f(xi)(ti − ti−1)
recibe el nombre suma de Riemann de f correspondiente a la particion P y los puntos
intermedios xi
Observacion 6.2.2. Aunque en la notacion σ(f, P ) no aparezcan los xi, hay que tener
en cuenta que σ(f, P ) depende de la eleccion de los xi.
Ademas, ∀P particion de I y ∀{x1 , . . . , xn}, tales que xi ∈ [ti−1, ti] para i = 1, . . . , n,
tenemos que mi ≤ f(xi) ≤ Mi, ∀i = 1, . . . , n donde mi = ınf{f(x) : x ∈ [ti−1, ti]} y
Mi = sup{f(x) : x ∈ [ti−1, ti]}.
Por tanto,
mi(ti − ti−1) ≤ f(xi)(ti − ti−1) ≤ Mi(ti − ti−1) ∀i = 1, . . . , n
n∑i=1
mi(ti − ti−1) ≤n∑
i=1
f(xi)(ti − ti−1) ≤n∑
i=1
Mi(ti − ti−1)
Llegamos a que s(f, P ) ≤ σ(f, P ) ≤ S(f, P ), ∀P particion de I.
Teorema 6.2.3. Supongamos que f es continua en [a, b]. Entonces ∀ε > 0 ∃δ > 0 tal
que si P = {t0 , t1 , . . . , tn} es una particion cualquiera de [a, b] tal que su norma
|P | < δ, entonces
|σ(f, P )−∫ b
a
f | < ε
para cualquier suma de Riemann formada tomando xi en [ti−1, ti], ∀i = 1, . . . , n.
6.2. SUMA DE RIEMANN 51
Observacion 6.2.4. Debido a la eleccion arbitraria de los xi, no podemos asegurar si
σ(f, P ) es mayor o menor que la integral. Pero sı que los retazos por encima o por debajo
no van a importar demasiado, si las bases se los rectangulos son suficientemente estrechas.
Ası lo que nos dice el teorema es que todo lo se se asemeje a una buena aproximacion
de una integral lo es realmente, siempre que todas las longitudes ti − ti−1 de los subinter-
valos de la particion sean suficientemente pequenos. Este resultado es tambien valido para
cualquier funcion integrable.
Proposicion 6.2.5. La integral como lımite de sumas
Sea f : [a, b] → R una funcion integrable en [a, b] y sea Pn = {t0 , t1 , . . . , tn} la
particion de [a, b] que divide en n partes iguales a este intervalo. Entonces
lımn→∞
s(f, Pn) =
∫ b
a
f = lımn→∞
S(f, Pn)
Proposicion 6.2.6. Si f : [a, b] → R es una funcion integrable en [a, b] entonces la
sucesion (an) definida por
an =b− a
n
n∑i=1
f(a + ib− a
n) ∀n ∈ N
es convergente y lımn→∞
an =
∫ b
a
f(x) dx
Ejemplo 6.2.7. Calcular el lımite de la sucesion (an) definida por
an =n
(n + 1)2+
n
(n + 2)2+ · · ·+ n
(n + n)2∀n ∈ N
Solucion:
Se tiene que
an =1
n
n∑i=1
n2
(n + i)2=
1
n
n∑i=1
1
(1 + in)2
y como b− a = 1, tomamos a = 1 y b = 2. Entonces
f(a + ib− a
n) = f(1 +
i
n) =
1
(1 + in)2
⇒ f(x) =1
x2
Por tanto,
lımn→∞
an =
∫ 2
1
dx
x2= −[
1
x]21 = −1
2+ 1 =
1
2
52 CAPITULO 6. TEOREMA DEL VALOR MEDIO. SUMA DE RIEMANN
Tambien podemos tomar a = 0 y b = 1. En este caso
f(a + ib− a
n) = f(0 +
i
n) = f(
i
n) =
1
(1 + in)2
⇒ f(x) =1
(1 + x)2
Por tanto,
lımn→∞
an =
∫ 1
0
dx
(1 + x)2= −[
1
1 + x]10 = −1
2+ 1 =
1
2
Capıtulo 7
Integrales impropias
Hasta ahora la funcion estaba acotada y el dominio de integracion era un intervalo
acotado. Vamos a estudiar ahora que pasa cuando una de las dos situaciones no se cumple.
Al no cumplirse una de las dos condiciones no tenemos integrales propiamente dichas,
razon por la cual a las integrales que aparecen en estas nuevas situaciones se les llama
integrales impropias.
7.1. Intervalos no acotados
Definicion 7.1.1. Sea a ∈ R y sea f : [a, +∞) → R tal que ∀c > a, la funcion f es
integrable en el intervalo [a, c]. Supongase que existe un numero real A tal que ∀ε > 0
∃M ∈ R tal que si c > M entonces |A −∫ c
a
f | < ε. En este caso se dice que A es la
integral impropia de f en [a, +∞) y el valor de A se denota por
∫ ∞
a
f o
∫ ∞
a
f(x)dx, es
decir, ∫ ∞
a
f = lımc→+∞
∫ c
a
f
si el lımite existe. La integral impropia es convergente o divergente segun que el lımite sea
finito o infinito respectivamente.
Observacion 7.1.2. Analogamente se tratan las integrales impropias en intervalos de la
forma (−∞, b].
Si f esta definida en (−∞, +∞) se trata considerando las integrales impropias de f
en (−∞, b] y [b, +∞), con b ∈ R arbitrario fijo. Si ambas integrales impropias existen,
entonces la integral impropia de f en (−∞, +∞) existe y se define como
53
54 CAPITULO 7. INTEGRALES IMPROPIAS
∫ +∞
−∞f =
∫ b
−∞f +
∫ +∞
b
f
Teorema 7.1.3. Criterio de comparacion o Primer criterio de comparacion.
Supuesto que ∃x0 > a tal que ∀x ≥ x0 se verifica que f(x) ≥ 0 y g(x) ≥ 0, entonces
i) Si
∫ ∞
a
g(x)dx converge y ∀x ≥ x0 se verifica que f(x) ≤ g(x), entonces la integral
impropia
∫ ∞
a
f(x)dx es convergente.
ii) Si
∫ ∞
a
g(x)dx diverge y ∀x ≥ x0 se verifica que g(x) ≤ f(x), entonces la integral
impropia
∫ ∞
a
f(x)dx es divergente.
Teorema 7.1.4. Criterio de comparacion en el lımite o segundo criterio de comparacion.
Supuesto que ∃x0 > a tal que ∀x ≥ x0 se verifica que f(x) ≥ 0 y g(x) > 0 y sea
lımx→∞
f(x)
g(x)= A, entonces
i) Si A ∈ R− {0}∫ ∞
a
f(x)dx converge ⇔∫ ∞
a
g(x)dx converge
ii) Si A = 0 y
∫ ∞
a
g(x)dx converge entonces la integral
∫ ∞
a
f(x)dx es convergente.
iii) Si A = ∞ y
∫ ∞
a
g(x)dx diverge entonces la integral
∫ ∞
a
f(x)dx es divergente.
Corolario 7.1.5. Supuesto que ∃x0 > a tal que ∀x ≥ x0 se verifica que f(x) ≥ 0,
entonces, siendo lımx→∞
xpf(x) = A, se tiene:
i) Si A ∈ R− {0} y p > 1 entonces
∫ ∞
a
f(x)dx converge.
ii) Si A ∈ R− {0} y p ≤ 1 entonces
∫ ∞
a
f(x)dx diverge.
iii) Si A = 0 y p > 1 entonces
∫ ∞
a
f(x)dx es convergente.
iv) Si A = ∞ y p ≤ 1 entonces
∫ ∞
a
f(x)dx es divergente
7.2. FUNCION NO ACOTADA 55
Observacion 7.1.6. Este corolario se deduce del anterior teorema tomando como funcion
g a
g(x) =1
xp
Definicion 7.1.7. Convergencia absoluta
Se dice que
∫ ∞
a
f(x)dx converge absolutamente, si la integral
∫ ∞
a
|f(x)|dx es conver-
gente.
Teorema 7.1.8. Toda integral absolutamente convergente es convergente.
Definicion 7.1.9. Convergencia condicional
Una integral impropia convergente pero no absolutamente convergente recibe el nombre
de condicionalmente convergente.
7.2. Funcion no acotada
Definicion 7.2.1. Sea f : (a, b] → R tal que la funcion f es integrable en el intervalo
[c, b], ∀c ∈ (a, b]. Supongase que existe un numero real A tal que ∀ε > 0 ∃δ > 0 tal que si
c satisface a < c < a + δ, entonces |A−∫ b
c
f | < ε.
En este caso se dice que A es la integral impropia de f en (a, b] y el valor de A se
denota por
∫ b
a
f o
∫ b
a
f(x)dx, es decir,
∫ b
a
f = lımc→a+
∫ b
c
f
si el lımite existe. La integral impropia es convergente o divergente segun que el lımite sea
finito o infinito respectivamente.
Observacion 7.2.2. a) Si f esta acotada en [a, b] y si f es integrable en [c, b], ∀c ∈ (a, b]
entonces f es integrable en [a, b].
b) Observa que es posible asignar un valor cualquiera a f en a sin afectar su integra-
bilidad o el valor de su integral.
Observacion 7.2.3. Analogamente al caso (a, b] se tratan las integrales impropias en
intervalos de la forma [a, b), siendo
∫ b
a
f = lımc→b−
∫ c
a
f .
56 CAPITULO 7. INTEGRALES IMPROPIAS
Si f no esta acotada en la vecindad de un punto interior p de [a, b], entonces se dice
que la integral impropia de f en [a, b] existe si y solo si las integrales impropias de f en
[a, p) y (p, b] existen, y en este caso la integral impropia de f en [a, b] se define como
∫ b
a
f =
∫ p
a
f +
∫ b
p
f
Teorema 7.2.4. Criterio de comparacion o Primer criterio de comparacion.
Supuesto que ∃x0 ∈ [a, b) tal que ∀x ∈ [x0, b) se verifica que f(x) ≥ 0 y g(x) ≥ 0,
entonces
i) Si
∫ b
a
g(x)dx converge y ∀x ∈ [x0, b) se verifica que f(x) ≤ g(x), entonces la integral
impropia
∫ b
a
f(x)dx es convergente.
ii) Si
∫ b
a
g(x)dx diverge y ∀x ∈ [x0, b) se verifica que g(x) ≤ f(x), entonces la integral
impropia
∫ b
a
f(x)dx es divergente.
Teorema 7.2.5. Criterio de comparacion en el lımite o segundo criterio de comparacion.
Supuesto que ∃x0 ∈ [a, b) tal que ∀x ∈ [x0, b) se verifica que f(x) ≥ 0 y g(x) > 0 y sea
lımx→b−
f(x)
g(x)= A, entonces
i) Si A ∈ R− {0}∫ b
a
f(x)dx converge ⇔∫ b
a
g(x)dx converge
ii) Si A = 0 y
∫ b
a
g(x)dx converge entonces la integral
∫ b
a
f(x)dx es convergente.
iii) Si A = ∞ y
∫ b
a
g(x)dx diverge entonces la integral
∫ b
a
f(x)dx es divergente.
Corolario 7.2.6. Supuesto que ∃x0 ∈ [a, b) tal que ∀x ∈ [x0, b) se verifica que f(x) ≥ 0,
entonces, siendo lımx→b−
(b− x)pf(x) = A, se tiene:
i) Si A ∈ R− {0} y p < 1 entonces
∫ b
a
f(x)dx converge.
ii) Si A ∈ R− {0} y p ≥ 1 entonces
∫ b
a
f(x)dx diverge.
7.2. FUNCION NO ACOTADA 57
iii) Si A = 0 y p < 1 entonces
∫ b
a
f(x)dx es convergente.
iv) Si A = ∞ y p ≥ 1 entonces
∫ b
a
f(x)dx es divergente
Observacion 7.2.7. Este corolario se deduce del anterior teorema tomando como funcion
g a
g(x) =1
(b− x)p
Definicion 7.2.8. Convergencia absoluta
Se dice que
∫ b
a
f(x)dx converge absolutamente, si la integral
∫ b
a
|f(x)|dx es conver-
gente.
Teorema 7.2.9. Toda integral absolutamente convergente es convergente.
Definicion 7.2.10. Convergencia condicional
Una integral impropia convergente pero no absolutamente convergente recibe el nombre
de condicionalmente convergente.
58 CAPITULO 7. INTEGRALES IMPROPIAS
Capıtulo 8
Teorema de Taylor
8.1. Polinomio de Taylor
Las funciones “elementales” como el seno, el coseno, el logaritmo neperano, etc., a la
hora de calcular valores no son tan elementales ni faciles de manejar. En cambio en el
caso de las funciones polinomicas sı resulta sencillo calcular valores para cualquier x.
Supongamos que tenemos el polinomio p(x) = a0 + a1x + · · ·+ anxn. Los coeficientes
ai pueden expresarse en terminos del valor del polinomio p y de sus distintas derivadas
en x = 0:
p(0) = a0
Al derivar p(x) tenemos p′(x) = a1 + 2a2x + · · ·+ nanxn−1 y, por tanto,
p′(0) = p(1)(0) = a1
Al derivar de nuevo tenemos p′′(x) = 2a2 + 3 · 2a3x + · · ·+ n · (n− 1)anxn−2 y
p′′(0) = p(2)(0) = 2a2
En general, tendremos
p(k)(0) = k!ak o ak =p(k)(0)
k!
Si convenimos que 0! = 1 y que p(0) = p, entonces esta formula se cumple tambien para
k = 0.
Si hubiesemos empezado por una funcion p escrita como un ”polinomio en (x − a)”,
tendrıamos:
p(x) = a0 + a1(x− a) + · · ·+ an(x− a)n
59
60 CAPITULO 8. TEOREMA DE TAYLOR
entonces siguiendo un razonamiento analogo llegarıamos a
ak =p(k)(a)
k!∀k = 0, . . . , n
Definicion 8.1.1. Supongamos ahora que f es una funcion cualquiera tal que f (1)(a), . . . , f (n)(a)
existen todas. Sea
ak =f (k)(a)
k!0 ≤ k ≤ n
y definimos
Pn,a(x) = a0 + a1(x− a) + · · ·+ an(x− a)n
El polinomio Pn,a recibe el nombre de polinomio de Taylor de grado n para f en a. Es-
trictamente se denotarıa Pn,a,f
Observacion 8.1.2. Se ha definido el polinomio de Taylor de modo que P(k)n,a(a) = f (k)(a),
∀k = 0, . . . , n. Es el unico polinomio, con esta propiedad, de grado menor o igual que n.
Observacion 8.1.3. Se pone de manifiesto la conexion existente entre f y el polinomio
de Taylor de f al observar el polinomio de Taylor de grado 1: P1,a(x) = f(a)+f ′(a)(x−a)
yf(x)− P1,a(x)
x− a=
f(x)− f(a)
x− a− f ′(a)
Segun la definicion de f ′(a) tenemos que lımx→a
f(x)− P1,a(x)
x− a= 0.
Cuando x → a, la diferencia f(x) − P1,a(x) no solo se hace pequena, sino que en
realidad se hace pequena incluso en comparacion con x− a.
Teorema 8.1.4. Supongamos que f es una funcion para la cual f (1)(a), . . . , f (n)(a) existen
todas. Sean
ak =f (k)(a)
k!0 ≤ k ≤ n
y definimos
Pn,a(x) = a0 + a1(x− a) + · · ·+ an(x− a)n
Entonces
lımx→a
f(x)− Pn,a(x)
(x− a)n= 0
Teorema 8.1.5. Supongase que
{f (1)(a) = · · · = f (n−1)(a) = 0
f (n)(a) 6= 0
1) Si n es par y f (n)(a) > 0, entonces f tiene un mınimo local en a.
2) Si n es par y f (n)(a) < 0, entonces f tiene un maximo local en a.
3) Si es impar, entonces f no tiene ni maximo ni mınimo local en a.
8.2. TEOREMA DE TAYLOR 61
Definicion 8.1.6. Dos funciones f y g se dice que son iguales hasta el orden n en a si
lımx→a
f(x)− g(x)
(x− a)n= 0
Observacion 8.1.7. Ası f y Pn,a,f son iguales hasta el orden n en a
Teorema 8.1.8. Sean P y Q dos polinomios en (x − a), grado ≤ n, y supongamos que
P y Q son iguales hasta el orden n en a. Entonces P = Q
Corolario 8.1.9. Sea f derivable n veces en a, y supongamos que P es un polinomio en
(x− a) de grado ≤ n, igual a f hasta el orden n en a. Entonces P = Pn,a
Observacion 8.1.10. Podrıa parecer que las hipotesis del corolario son innecesariamente
complicadas; podrıa parecer que la existencia del polinomio P implicarıa que f fuera su-
ficientemente derivable como para que existiera Pn,a. Contraejemplo:
f(x) =
{xn+1 x ∈ I0 x ∈ Q
Si P (x) = 0, entonces P es ciertamente un polinomio de grado menor o igual que n que
es igual a f hasta el orden n en 0. Por otra parte, f ′(a) no existe para ningun a 6= 0, de
modo que f ′′(0) no esta definida (f ′′(0) = lımh→0
f ′(h)− f ′(0)
hy @f ′(h)).
Observacion 8.1.11. Cuando f tiene n derivadas en a, el corolario puede ofrecer un
metodo para hallar el polinomio de Taylor de f .
8.2. Teorema de Taylor
Hasta aquı hemos examinado el comportamiento de los polinomios de Taylor para n
fijo, cuando x tiene hacia a. En adelante vamos a comparar los polinomios de Taylor para
x fijo y distintos n.
Definicion 8.2.1. Sea f una funcion n veces derivable en a y sea Pn,a(x) su polinomio
de Taylor de grado n en a. Definimos el resto Rn,a(x) por
f(x) = Pn,a(x) + Rn,a(x) = f(a) + f ′(a)(x− a) + · · ·+ f (n)(a)
n!(x− a)n + Rn,a(x)
Teorema 8.2.2. Teorema de Taylor
Supongase que f ′, . . . , f (n+1) estan definidas sobre [a, x] y que Rn,a(x) esta definido por
f(x) = f(a) + f ′(a)(x− a) + · · ·+ f (n)(a)
n!(x− a)n + Rn,a(x)
62 CAPITULO 8. TEOREMA DE TAYLOR
Entonces:
1) Rn,a(x) =f (n+1)(t)
n!(x− t)n(x− a) para algun t ∈ (a, x). Forma de Cauchy del resto.
2) Rn,a(x) =f (n+1)(t)
(n + 1)!(x− a)n+1 para algun t ∈ (a, x). Forma de Lagrange del resto.
Ademas, si f (n+1) es integrable sobre [a, x] entonces
3) Rn,a(x) =
∫ x
a
f (n+1)(t)
n!(x− t)ndt. Forma Integral del resto.
Observacion 8.2.3. Si x < a entonces la hipotesis deberıa decir que f es derivable n+1
veces sobre [x, a]; el numero t en (1) y (2) estara entonces en (x, a), mientras que (3)
seguira cumpliendose tal como esta, siempre que f (n+1) sea integrable sobre [x, a]
Observacion 8.2.4. Partiendo de la forma integral se deducen las otras dos formas apli-
cando convenientemente el teorema del valor medio generalizado del calculo integral.
Ejemplo 8.2.5. Calcular el polinomio de Taylor de grado 3 de la funcion ln x centrado
en el punto 1 y estimar el error cometido al aproximar ln 2 por el polinomio anterior.
El polinomio de Taylor de grado 3 de la funcion ln x centrado en el punto 1 es
P3(x) = x− (x− 1)2
2+
(x− 1)3
3
y por tanto, P3(2) =5
6' 0, 833.
Para estimar el error utilizaremos el resto de Lagrange. Sabemos que el resto se puede
acotar por (t ∈ (1, 2))
R =f (iv)(t)
4!(2− 1)4 =
6t4
4!≤ 6
4!=
1
4= 0, 25
Utilizando la calculadora, podemos ver que ln 2 ' 0, 693 y por tanto, el error vale
E ' 0, 14.
Teorema 8.2.6. El numero e es irracional.
Observacion 8.2.7. Si el resto Rn,a(x) puede hacerse tan pequeno como se quiera eligien-
do n suficientemente grande, entonces se puede calcular f(x) con tanta aproximacion como
se desee mediante los polinomios Pn,a(x). El numero de terminos que habra que sumar
sera tanto mayor cuanto mas grande sea la aproximacion que se desee. Si estamos dis-
puestos a sumar infinitos terminos, entonces deberıamos poder prescindir por completo
del resto. Deberıan existir ”sumas infinitas”tales como:
sen x =∞∑
n=0
(−1)n x2n+1
(2n + 1)!
Capıtulo 9
Series infinitas
9.1. Introduccion
Definicion 9.1.1. Llamamos suma parcial n-sima de la sucesion (an) a
Sn = a1 + a2 + · · ·+ an =n∑
i=1
ai
Calcular la suma de todos los ai es lo mismo que calcular lımn
Sn = lımn
n∑i=1
ai
Observacion 9.1.2. Algunas sucesiones carecen de suma total como por ejemplo la suce-
sion (an) = ((−1)n+1), pues S2n−1 = 1 y S2n = 0, ∀n ∈ N, por lo que no existe lımn
Sn
Definicion 9.1.3. La sucesion (an) es sumable, si la sucesion (Sn) es convergente, siendo
Sn = a1 + a2 + · · ·+ an =n∑
i=1
ai. En este caso, se designa al lımn
Sn por∞∑
n=1
an y recibe el
nombre de suma de la sucesion (an).
Una suma infinita∞∑
n=1
an se llama generalmente serie infinita.
Observacion 9.1.4. El que la sucesion (an) sea o no sea sumable, se sustituye conven-
cionalmente por la afirmacion de que la serie∞∑
n=1
an converge o no converge, respectiva-
mente.
Hay que tener en cuenta que∞∑
n=1
an es un numero si es sumable y nada si no lo es.
63
64 CAPITULO 9. SERIES INFINITAS
Proposicion 9.1.5. Si∞∑
n=1
an y∞∑
n=1
bn son convergentes, entonces lo son tambien∞∑
n=1
(an + bn)
y∞∑
n=1
(c · an) ∀c ∈ K. Ademas
∞∑n=1
(an + bn) =∞∑
n=1
an +∞∑
n=1
bn
∞∑n=1
c · an = c ·∞∑
n=1
an
Proposicion 9.1.6. Si en una serie∞∑
n=1
an se intercalan (respectivamente se suprimen)
un numero finito de terminos cuya suma es S, la serie obtenida tiene el mismo caracter,
convergente o divergente, que la primera y si A =∞∑
n=1
an, la nueva serie tiene por suma
A + S (respectivamente A− S).
Observacion 9.1.7. Una condicion necesaria y suficiente para la sumabilidad es:
la sucesion (an) es sumable equivale a que la sucesion (Sn) converge, entonces, por un
teorema anterior, en K = R, la sucesion (Sn) converge si y solo si la sucesion (Sn) es de
Cauchy. Por tanto,
la sucesion (an) es sumable si y solo si la sucesion (Sn) es de Cauchy.
(∀ε > 0 ∃n0 ∈ N / ∀m,n > n0 |Sm − Sn| < ε)
Teorema 9.1.8. Criterio de Cauchy.
La sucesion (an) es sumable, es decir, la serie∞∑
n=1
an es convergente, si y solo si
lımm,n→∞
(an+1 + · · ·+ am) = 0
Observacion 9.1.9. Este criterio tiene mas importancia teorica que practica.
Teorema 9.1.10. Condicion del resto.
Si∞∑
n=1
an es convergente entonces lımn→∞
an = 0
Observacion 9.1.11. Esta condicion se sigue del criterio de Cauchy tomando m = n+1.
Es una condicion necesaria pero no suficiente para que una serie sea convergente. Por
ejemplo: lımn→∞
1
n= 0, pero la serie
∞∑n=1
1
nno es convergente:
9.2. SERIE GEOMETRICA 65
Por el Criterio de Cauchy, ∀m ∈ N tenemos que am+1 + · · ·+ am+m >m
2m=
1
2y, por
tanto, no se verifica el criterio de Cauchy para ε ≤ 1
2, es decir, el lımite no tiende a 0.
Otro modo de verlo es
1 +1
2+
1
3+
1
4︸ ︷︷ ︸≥
1
2
+1
5+
1
6+
1
7+
1
8︸ ︷︷ ︸≥
1
2
+1
9+
1
10+ · · ·+ 1
16︸ ︷︷ ︸≥
1
2
+ . . .
Al sumar los infinitos terminos se comprueba que (Sn) no esta acotada.
Lo que realmente nos dice la condicion del resto es que si lımn→∞
an no existe o es distinto
de cero, entonces la serie diverge.
9.2. Serie geometrica
La mas importante de todas las series infinitas es la ”serie geometrica”:
∞∑n=0
rn = 1 + r + r2 + r3 + . . .
Las series realmente interesantes son aquellas en que |r| < 1, puesto que si |r| ≥ 1, los
terminos individuales no tienden a cero y, por la condicion del resto, la serie diverge.
Las series con |r| < 1 son manejables puesto que sus sumas parciales se pueden calcular
en terminos sencillos:
Sn = 1 + r + r2 + · · ·+ rn
r · Sn = r + r2 + · · ·+ rn + rn+1
Restando ambas expresiones queda: Sn− r ·Sn = 1− rn+1, es decir, Sn(1− r) = 1− rn+1.
Despejando llegamos a que
Sn =1− rn+1
1− r
Ahora bien, como lımn
rn = 0 pues |r| < 1, llegamos a que
∞∑n=0
rn = lımn
1− rn+1
1− r=
1
1− rsi |r| < 1
66 CAPITULO 9. SERIES INFINITAS
Ejemplo 9.2.1. Hay que tener en cuenta que n debe ir desde 0 hasta infinito. Ası
∞∑n=1
(1
2)n =
∞∑n=0
(1
2)n − 1 =
1
1− 12
− 1 = 1
es decir,1
2+
1
4+
1
8+
1
16+ · · · = 1
9.3. Series de terminos no negativos
Ahora (an) es tal que an ≥ 0 ∀n ∈ N y por tanto, (Sn) es creciente.
Proposicion 9.3.1. Criterio de acotacion
Sea (an) una sucesion de numeros reales no negativos. Entonces la serie∑
an converge,
si y solo si, la sucesion (Sn) esta acotada (superiormente)
Teorema 9.3.2. Primer Criterio de Comparacion
Sean (an) y (bn) dos sucesiones de numeros reales tales que 0 ≤ an ≤ bn, ∀n ≥ m,
para algun m ∈ N. Si la serie∑
bn es convergente entonces la serie∑
an es tambien
convergente. Si la serie∑
an es divergente, entonces la serie∑
bn es tambien divergente.
Ejemplos 9.3.3. Veamos un caso de cada:
1. ∞∑n=1
2 + sen3(n + 1)
2n + n2
Como
0 ≤ 2 + sen3(n + 1)
2n + n2<
3
2n
y, ademas,∞∑
n=1
3
2n= 3 ·
∞∑n=1
1
2n
serie geometrica de razon menor que 1, por lo que es convergente, entonces la serie inicial
es convergente.
2. ∞∑n=1
n + 1
n2 + 1
Comon + 1
n2 + 1>
n
2n2=
1
2n
9.3. SERIES DE TERMINOS NO NEGATIVOS 67
y∞∑
n=1
1
2n=
1
2·∞∑
n=1
1
n
serie divergente, tenemos que la serie inicial diverge.
Teorema 9.3.4. Segundo Criterio de Comparacion.
Sean (an) y (bn) dos sucesiones de numeros reales tales que an ≥ 0 y bn > 0 ∀n ∈ N y
supongamos que lımn
an
bn
= l ∈ R.
Si l 6= 0, entonces las dos series∑
an y∑
bn tiene el mismo caracter (o bien las 2
convergen o bien las dos divergen).
Si l = 0 y la serie∑
bn es convergente, entonces la serie∑
an es tambien convergente.
Observacion 9.3.5. Si l = 0 y∑
bn diverge, no se puede afirmar nada sobre el caracter
de la serie∑
an.
Teorema 9.3.6. Criterio del cociente o prueba del cociente.
Sea (an) una sucesion de numeros reales tal que an > 0 ∀n y supongamos que se
cumple que lımn→∞
an+1
an
= r. Entonces∞∑
n=1
an converge si r < 1. Por otra parte, si r > 1,
entonces los terminos an no tienden a cero, de modo que∞∑
n=1
an diverge.
Ejemplos 9.3.7. 1.∞∑
n=1
1
n!: Aplicando el criterio del cociente
an+1
an
=
1(n+1)!
1n!
=1
n + 1
y lımn→∞
an+1
an
= 0, entonces la serie∞∑
n=1
1
n!es convergente.
2.∞∑
n=1
rn
n!con r ∈ R+ fijo. Aplicando el criterio del cociente:
an+1
an
=r
n + 1→ 0 luego
la serie converge. Ademas tenemos que por ser convergente
lımn→∞
rn
n!= 0
Ya se vio quexn
n!< ε ∀x ∈ R y n suficientemente grande
68 CAPITULO 9. SERIES INFINITAS
3.∞∑
n=1
n · rn con r ∈ R+ fijo. Aplicando el criterio del cociente:
lımn→∞
an+1
an
= lımn→∞
(n + 1)rn+1
n · rn= lım
n→∞(n + 1)
n· r = r
Si 0 ≤ r < 1 entonces∞∑
n=1
n · rn converge y ası tenemos que lımn→∞
n · rn = 0. El
criterio del cociente nos sirve para resolver este lımite.
Teorema 9.3.8. Criterio de la raız.
Sea (an) una sucesion de numeros reales no negativos y sea lımn→∞
n√
an = r.
Si r < 1 entonces la serie∑
an converge.
Si r > 1 entonces la serie∑
an diverge.
Observacion 9.3.9. 1. En el criterio de la raız, si r = 1 no se puede afirmar nada sobre
el caracter de la serie∑
an. Por ejemplo:∑
n−1 y∑
n−2, en ambos casos es r = 1, pero
la primera diverge y la segunda converge.
2. A veces, el criterio del cociente no dilucida el caracter de una serie y, en cambio,
con el de la raız se decide la cuestion. Por ejemplo:
(an) =
2−n si n es impar
22−n si n es par
Se tiene que @ lımn→∞
an+1
an
y lımn→∞
n√
an =1
2.
El criterio del cociente es menos potente que el de la raız.
Teorema 9.3.10. Criterio integral
Sea f : [1, +∞) → R una funcion positiva y decreciente y ∀n ∈ N sea an = f(n).
Entonces∞∑
n=1
an converge si y solo si la integral impropia
∫ ∞
1
f converge, es decir, si
existe el lımite:
∫ ∞
1
f = lımc→∞
∫ c
1
f .
Ejemplo 9.3.11. Sea p un numero real. La serie∞∑
n=1
1
npes convergente si p > 1 y
divergente si p ≤ 1, puesto que la integral impropia
∫ ∞
1
1
xpdx es convergente si p > 1 y
9.4. SERIES ALTERNADAS 69
divergente si p ≤ 1:
∫ c
1
1
xpdx =
− 1
(p− 1)· 1
cp−1+
1
p− 1p 6= 1
ln c p = 1
9.4. Series alternadas
Si (an) es una sucesion de numeros reales positivos, la serie∞∑
n=1
(−1)n+1an (o∞∑
n=1
(−1)nan)
se llama serie alternada.
Teorema 9.4.1. Criterio de Leibnitz
Supongase que (an) es decreciente y con lımite 0. Entonces la serie
∞∑n=1
(−1)n+1an = a1 − a2 + a3 − a4 + . . .
es convergente
Ejemplo 9.4.2. La serie∞∑
n=1
1
nes divergente pero la serie 1− 1
2+
1
3− 1
4+ . . . es conver-
gente.
9.5. Convergencia absoluta y condicional
Definicion 9.5.1. La serie∞∑
n=1
an es absolutamente convergente si la serie∞∑
n=1
|an| es
convergente. Se dice que una serie∞∑
n=1
an es condicionalmente convergente si la serie
∞∑n=1
an converge pero la serie∞∑
n=1
|an| diverge.
Teorema 9.5.2. Toda serie absolutamente convergente es convergente. Ademas, una serie
es absolutamente convergente ⇔ la serie formada con sus terminos positivos y la serie
formada con sus terminos negativos son ambas convergentes.
Observacion 9.5.3. Se sigue del teorema que a partir de una serie convergente de termi-
nos positivos podemos obtener una infinidad de series convergentes, poniendo sencilla-
mente signos menos al azar.
70 CAPITULO 9. SERIES INFINITAS
Sin embargo, no todas las series convergentes pueden obtenerse de esta manera. Por
ejemplo: 1− 1
2+
1
3− 1
4+ . . . converge pero no absolutamente, por lo que no se puede
obtener a partir de una de terminos positivos anadiendo signos negativos.
9.5.1. Criterios de Dirichlet y de Abel
Son particularmente utiles para determinar la convergencia condicional.
Proposicion 9.5.4. Formula de sumacion parcial
Sean (an) y (bn) dos sucesiones de numeros reales, y ∀n ∈ N, sea Sn = a1+a2+· · ·+an.
Se verifica quen∑
k=1
akbk = Snbn+1 −n∑
k=1
Sk(bk+1 − bk)
Teorema 9.5.5. Criterio de Dirichlet
Sea∞∑
n=1
an una serie de numeros reales cuya sucesion de sumas parciales esta acotada y
sea (bn) una sucesion decreciente con lımite 0. Entonces la serie∞∑
n=1
anbn es convergente.
Teorema 9.5.6. Criterio de Abel
Sea∞∑
n=1
an una serie de numeros reales convergente y sea (bn) una sucesion monotona
convergente. Entonces la serie∞∑
n=1
anbn es convergente.
Definicion 9.5.7. Se dice que una serie∞∑
n=1
bn es una reordenacion de otra∞∑
n=1
an cuando
existe una aplicacion biyectiva f : N→ N tal que bn = af(n) ∀n ∈ N.
Observacion 9.5.8. Si∞∑
n=1
bn es una reordenacion de∞∑
n=1
an y f : N→ N es la aplicacion
biyectiva tal que bn = af(n) ∀n ∈ N, entonces an = bf−1(n) ∀n ∈ N y como f−1 es
tambien biyectiva,∞∑
n=1
an es tambien una reordenacion de∞∑
n=1
bn.
Proposicion 9.5.9. Si la serie∞∑
n=1
an es absolutamente convergente y la serie∞∑
n=1
bn es
9.6. PRODUCTOS DE CAUCHY DE DOS SERIES 71
una reordenacion de∞∑
n=1
an, entonces∞∑
n=1
bn tambien converge absolutamente y
∞∑n=1
bn =∞∑
n=1
an
Proposicion 9.5.10. Teorema de Riemann
Si∞∑
n=1
an es una serie condicionalmente convergente de numeros reales, entonces para
cualquier numero real x existe una reordenacion∞∑
n=1
bn de∞∑
n=1
an, tal que∞∑
n=1
bn = x
(El orden de los sumandos altera la suma)
9.6. Productos de Cauchy de dos series
Definicion 9.6.1. Sean∞∑
n=0
an y∞∑
n=0
bn dos series de numeros reales y para n = 0, 1, 2, . . .
llamamos
cn =n∑
k=0
ak · bn−k
La serie∞∑
n=0
cn se llama producto de Cauchy de las series∞∑
n=0
an y∞∑
n=0
bn.
Proposicion 9.6.2. Si la serie∞∑
n=0
an converge absolutamente y tiene por suma A y la
serie∞∑
n=0
bn converge absolutametne y tiene por suma B, entonces el producto de Cauchy
de las dos series converge y tiene por suma A·B.
72 CAPITULO 9. SERIES INFINITAS
Capıtulo 10
Sucesiones y series de funciones
10.1. Sucesiones de funciones
Definicion 10.1.1. Una sucesion de funciones definidas en un conjunto A ⊂ R, es una
coleccion de funciones (fn)n∈N, donde ∀n ∈ N, fn es una funcion de A en R
Observacion 10.1.2. En una sucesion de funciones hay dos variables la “n” y la “x”. Por
un lado la n que va tomando valores naturales, y por otro lado, fijado cualquier n0 ∈ N,
fn0 es una funcion que a cada valor x ∈ A le asigna el numero fn0(x)
Definicion 10.1.3. Sea A ⊂ R. Se dice que una sucesion (fn)n∈N de funciones de A en
R converge puntualmente a una funcion f : A → R cuando para cada x0 ∈ A se verifica
que lımn→∞
fn(x0) = f(x0), es decir,
∀ε > 0 y cada x0 ∈ A ∃n0 ∈ N / |fn(x0)− f(x0)| < ε ∀n ≥ n0
Este n0 natural depende de ε y de x0: n0 = n0(ε, x0)
Observacion 10.1.4. Nota que, ∀n ∈ N, fn(x0) es un numero (y no una funcion) por lo
que el lımite es el de una sucesion numerica. Es necesario que todas las funciones esten
definidas en el mismo conjunto A, que es donde estara definida si existe la funcion f .
Ejemplo 10.1.5. Para todo n ≥ 1, sea
fn(x) =
0 si 0 ≤ x ≤ 1n
x− 1n
si 1n≤ x ≤ 1
Entonces la sucesion (fn)n∈N converge puntualmente en el intervalo [0, 1] a la funcion
f(x) = x.
73
74 CAPITULO 10. SUCESIONES Y SERIES DE FUNCIONES
En efecto, sea x0 > 0 y sea n0 ∈ N tal que 1n0
< x0. Entonces, para todo n > n0,
fn(x0) = x0 − 1n, y por tanto,
lımn
fn(x0) = lımn
(x0 − 1
n) = x0
Por otro lado, esta claro que
lımn
fn(0) = 0
de donde se sigue que la sucesion (fn) converge puntualmente a la funcion f(x) = x en
el intervalo [0, 1].
Observacion 10.1.6. La idea de la convergencia puntual es que, punto a punto, la suce-
sion converge, es decir, ∀x0 ∈ A, la sucesion (fn(x0))n converge. El problema que se
presenta es que el lımite de una sucesion de funciones continuas puede no ser continua.
Lo mismo sucede con la derivabilidad y la integrabilidad, que no se mantienen necesaria-
mente.
Definicion 10.1.7. Sea A ⊂ R. Se dice que una sucesion (fn)n∈N de funciones de A en
R converge uniformemente a una funcion f : A → R cuando
∀ε > 0 ∃n0 ∈ N / |fn(x)− f(x)| < ε ∀n ≥ n0 ∀x ∈ A
Este n0 natural depende solo de ε y no de x: n0 = n0(ε)
Proposicion 10.1.8. Sea A ⊂ R. Una sucesion (fn)n∈N de funciones de A en R converge
uniformemente a una funcion f : A → R si y solo si
lımn→∞
sup{|fn(x)− f(x)| : x ∈ A} = 0
Ejemplo 10.1.9. Para todo n ≥ 1, sea
fn(x) =
0 si 0 ≤ x ≤ 1n
x− 1n
si 1n≤ x ≤ 1
Entonces la sucesion (fn)n∈N converge uniformemente en el intervalo [0, 1] a la funcion
f(x) = x.
Lo primero es estudiar la convergencia puntual. Esto lo hemos visto en el ejemplo
anterior. Para estudiar la convergencia uniforme es necesario calcular
lımn→∞
supx|fn(x)− x|
10.2. SERIES DE FUNCIONES 75
Para ello, calculemos previamente sup |fn(x)− x|: Para todo x ≥ 1n,
|fn(x)− x| = |x− 1
n− x| = 1
n
Por otro lado, si x < 1n,
|fn(x)− x| = |0− x| = x <1
n
Por tanto, supx|fn(x)− x| = 1
ny
lımn
supx|fn(x)− x| = 0
lo que implica que la convergencia es uniforme.
Proposicion 10.1.10. Criterio de Cauchy
Sea A ⊂ R. Una sucesion (fn)n∈N de funciones de A en R converge uniformemente en
A, a una funcion f : A → R si solo si
∀ε > 0 ∃n0 ∈ N / |fn(x)− fm(x)| < ε ∀m, n ≥ n0 ∀x ∈ A
Teorema 10.1.11. Supongamos que (fn)n∈N es una sucesion de funciones integrables
sobre [a, b] y que (fn) converge uniformemente sobre [a, b] hacia una funcion f que es
integrable sobre [a, b]. Entonces
∫ b
a
f = lımn→∞
∫ b
a
fn
Teorema 10.1.12. Supongamos que (fn)n∈N es una sucesion de funciones continuas sobre
[a, b] y que (fn) converge uniformemente sobre [a, b] hacia una funcion f . Entonces f es
tambien continua sobre [a, b].
Teorema 10.1.13. Supongamos que (fn)n∈N es una sucesion de funciones derivables sobre
[a, b] y que (fn)n∈N converge (puntualmente) sobre [a, b] hacia una funcion f . Supongamos,
ademas, que (f ′n) converge uniformemente sobre [a, b] hacia alguna funcion continua g.
Entonces f es tambien derivable sobre [a, b] y f ′(x) = lımn→∞
f ′n(x)
10.2. Series de funciones
Definicion 10.2.1. Sea (fn)n∈N una sucesion de funciones. Se llama serie funcional de
termino general fn y se designa por∞∑
n=1
fn a la expresion f1 + f2 + · · ·+ fn + . . . .
76 CAPITULO 10. SUCESIONES Y SERIES DE FUNCIONES
A la funcion Fn = f1 + f2 + · · ·+ fn se la llama suma parcial n-sima de la serie∞∑
n=1
fn
Definicion 10.2.2. Se dice que la serie∞∑
n=1
fn converge puntualmente a una funcion F
en un conjunto A ⊂ R cuando la (Fn) converge puntualmente a F en A. Esto significa
que para cada x0 ∈ A la serie numerica∞∑
n=1
fn(x0) converge a F (x0). En este caso, la
funcion F se llama suma de la serie∞∑
n=1
fn y se escribe∞∑
n=1
fn = F
Definicion 10.2.3. Se dice que la serie∞∑
n=1
fn converge absolutamente en un conjunto
A ⊂ R cuando la serie∞∑
n=1
|fn| converge puntualmente en A.
Definicion 10.2.4. Se dice que la serie∞∑
n=1
fn converge uniformemente a una funcion F
en un conjunto A ⊂ R cuando la sucesion (Fn) converge uniformemente a F en A.
Observacion 10.2.5. Si la serie∞∑
n=1
fn converge absolutamente en A ⊂ R, entonces
∞∑n=1
fn converge puntualmente en A. Asımismo, si la serie∞∑
n=1
fn converge uniformemente
en un conjunto A ⊂ R, entonces∞∑
n=1
fn converge puntualmente en A.
Proposicion 10.2.6. Criterio de Cauchy para la convergencia puntual.
Una serie funcional∞∑
n=1
fn converge puntualmente en un conjunto A ⊂ R si solo si
∀ε > 0 ∀x0 ∈ A ∃n0 ∈ N / |n∑
k=m+1
fk(x0)| < ε para n > m ≥ n0
Proposicion 10.2.7. Criterio de Cauchy para la convergencia uniforme.
Una serie funcional∞∑
n=1
fn converge uniformemente en un conjunto A ⊂ R si solo si
∀ε > 0 ∃n0 ∈ N / |n∑
k=m+1
fk(x)| < ε para n > m ≥ n0 y ∀x ∈ A
10.2. SERIES DE FUNCIONES 77
Teorema 10.2.8. Sea∞∑
n=1
fn uniformemente convergente hacia f sobre [a, b]:
1) Si cada fn es continua sobre [a, b], entonces f es continua sobre [a, b].
2) Si f y cada fn son integrables sobre [a, b], entonces
∫ b
a
f =∞∑
n=1
∫ b
a
fn
Ademas, si∞∑
n=1
fn converge (puntualmente) hacia f sobre [a, b] y∞∑
n=1
f ′n converge uni-
formemente sobre [a, b] hacia alguna funcion continua, entonces
3) f ′(x) =∞∑
n=1
f ′n(x) ∀x ∈ [a, b]
Teorema 10.2.9. Criterio de Weierstrass o Prueba M de Weierstrass.
Sea (fn) una sucesion de funciones definidas sobre A y supongamos que (Mn) es una
sucesion de numeros reales tales que |fn(x)| ≤ Mn ∀x ∈ A y ∀n ∈ N. Supongamos,
ademas, que la serie∞∑
n=1
Mn converge. Entonces la serie∞∑
n=1
fn converge absoluta y uni-
formemente sobre A a la funcion f(x) =∞∑
n=1
fn(x)
Proposicion 10.2.10. Criterio de Dirichlet.
Sean A ⊂ R,∞∑
n=1
fn una serie de funciones de A en R y para cada n ∈ N y ca-
da x ∈ A, sea Fn(x) la suma parcial n-sima de la serie∞∑
n=1
fn(x). Si la sucesion (Fn)
esta uniformemente acotada en A y (gn) es una sucesion de funciones de A en R tal que
gn+1(x) ≤ gn(x), ∀n ∈ N y ∀x ∈ A, que converge uniformemente a 0 en A, entonces la
serie∞∑
n=1
fngn converge uniformemente en A.
Proposicion 10.2.11. Criterio de Abel.
Sean A ⊂ R,∞∑
n=1
fn una serie de funciones de A en R que converge uniformemente en
A y (gn) una sucesion de funciones de A en R tal que gn+1(x) ≤ gn(x), ∀n ∈ N y ∀x ∈ A,
uniformemente acotada en A. Entonces la serie∞∑
n=1
fngn converge uniformemente en A.
78 CAPITULO 10. SUCESIONES Y SERIES DE FUNCIONES
10.3. Series de potencias
Definicion 10.3.1. Se llama serie de potencias centrada en a a la expresion
∞∑n=0
an(x− a)n
En este caso fn(x) = an(x− a)n
Si a = 0 se llama serie de potencias centrada en 0:
∞∑n=0
anxn
Observacion 10.3.2. Un grupo especial de series de potencias son las de la forma∞∑
n=0
f (n)(a)
n!(x− a)n donde f es alguna funcion que tiene derivadas de todos los ordenes
en A. Esta serie recibe el nombre de serie de Taylor para f en a. Pero hay que tener en
cuenta que no se cumple necesariamente que f(x) =∞∑
n=0
f (n)(a)
n!(x− a)n. Esto solo se
cumple si lımn→∞
Rn,a(x) = 0. En este caso an =f (n)(a)
n!
Teorema 10.3.3. (Abel)
Sea una serie de potencias∞∑
n=0
anxn de modo que existe x0 ∈ R tal que la serie (numeri-
ca)∞∑
n=0
anxn0 converge. Sea r ∈ R+ tal que 0 < r < |x0|. Entonces sobre [−r, r] la serie
f(x) =∞∑
n=0
anxn converge uniformemente (y absolutamente).
Ademas, se cumple lo mismo para la serie g(x) =∞∑
n=1
n · anxn−1.
Finalmente, f es derivable en [−r, r] y f ′(x) =∞∑
n=1
nanxn−1, ∀x tal que |x| < |x0|, o
dicho de otro modo, ∀x tal que x ∈ (−|x0|, |x0|). Por tanto, la derivacion se pude hacer
termino a termino.
Corolario 10.3.4. Supongamos que f(x) =∞∑
n=0
anxn y g(x) =
∞∑n=0
bnxn, son ambas
convergentes para algun x0. Entonces h(x) =∞∑
n=0
(an + bn)xn converge para |x| < |x0| y
para tales x es h = f + g
10.3. SERIES DE POTENCIAS 79
Corolario 10.3.5. Con las funciones f y g anteriores y siendo h(x) =∞∑
n=0
cnxn su
producto de Cauchy (cn =n∑
k=0
an · bn−k), tenemos que h(x) converge para |x| < |x0| y para
tales x es h = fg
Observacion 10.3.6. Como consecuencia del ultimo teorema, todas las consideraciones
que son aplicables a series de potencias seran automaticamente aplicables a sus derivadas,
en los puntos en que la derivada este representada mediante una serie de potencias.
Si f(x) =∞∑
n=0
anxn converge para todo x de algun intervalo (−R,R), entonces por el
teorema
f ′(x) =∞∑
n=1
nanxn−1 converge uniformemente ∀x ∈ (−R,R). Aplicando nuevamente
el teorema, ahora a la funcion f ′ tenemos
f ′′(x) =∞∑
n=2
n(n− 1)anxn−2 converge uniformemente ∀x ∈ (−R,R). Por induccion
llegamos a que
f (k)(x) =∞∑
n=k
n(n− 1) . . . (n− k + 1)anxn−k converge uniformemente ∀x ∈ (−R,R).
Ası pues, una funcion definida mediante una serie de potencias que converja en algun
intervalo (−R,R), es automaticamente infinitamente derivable en este intervalo. Ademas
f (k)(0) = k!ak por lo que ak =f (k)(0)
k!. Dicho de otro modo, una serie de potencias
convergente centrada en 0 es siempre la serie de Taylor en 0 de la funcion que define.
Definicion 10.3.7. Se llama campo de convergencia al conjunto de valores x para los
cuales∞∑
n=0
fn(x) es convergente.
Definicion 10.3.8. Dada una serie de potencias∞∑
n=0
anxn, se llama radio de convergencia
de la serie al numero:
R = sup{|x0| ∈ R tales que∞∑
n=0
anxn0 converge}
Si el conjunto
{|x0| ∈ R tales que∞∑
n=0
anxn0 converge}
no esta acotado, decimos que R = +∞.
80 CAPITULO 10. SUCESIONES Y SERIES DE FUNCIONES
Una definicion equivalente es la siguiente. El concepto se entiende mejor con esta
primera definicion, por lo que la utilizaremos preferentemente, pero en alguna ocasion
puede ser util.
Definicion 10.3.9. Sea∞∑
n=0
anxn una serie de potencias. Si la sucesion ( n
√|an|) esta aco-
tada, se define ρ = lım sup( n√|an|). Si no esta acotada se define ρ = +∞. Llamamos
radio de convergencia de∞∑
n=0
anxn al numero R =1
ρ.
Teorema 10.3.10. Sea R el radio de convergencia de una serie∞∑
n=0
anxn. Entonces ocurre
uno de los tres casos siguientes:
1. R = 0. En ese caso la serie converge para x = 0 y diverge para todo x 6= 0.
2. 0 < R < +∞. En ese caso, ∀r < R la serie converge uniformemente en [−r, r] y
diverge si |x| > R. En los puntos frontera ±R la serie puede converger o diverger.
3. R = ∞. En este caso la serie converge ∀x ∈ R, y para todo r > 0 la serie converge
uniformemente en [−r, r].
Definicion 10.3.11. El intervalo de convergencia es el intervalo abierto (−R, R).
Observacion 10.3.12. Como consecuencia del teorema, habra convergencia uniforme en
cualquier compacto (cerrado y acotado) contenido en el intervalo de convergencia.
Ademas R es el valor maximo que puede tomar x0. Tenemos por tanto que
R =1
lım supn→∞
n√|an|
Puesto que lımn→∞
n√
an = lımn→∞
an+1
an
, si ambos existen, el radio de convergencia, en este caso,
viene dado tambien por:
R =1
lımn→∞
|an+1
an
|
Ejemplo 10.3.13. Calcular el radio de convergencia de la serie∞∑
n=1
(ln n)(x)n.
Si x = 1,∞∑
n=1
(ln n)(x)n =∞∑
n=1
(ln n)
10.3. SERIES DE POTENCIAS 81
que no converge puesto que lımn→∞
ln n = +∞.
En cambio, sea 0 < x < 1. En este caso la serie
∞∑n=1
(ln n)(x)n
converge, como se ve facilmente aplicando el criterio del cociente:
lımn→∞
(ln(n + 1)) · xn+1
(ln n) · xn= lım
n→∞ln(n + 1)
ln n· x = x < 1
Por tanto,
R = sup{x / 0 ≤ x < 1} = 1
Observacion 10.3.14. Analogamente se harıa si la serie estuviese centrada en x = a, es
decir si fuese la serie∞∑
n=0
an(x− a)n. R se calcularıa mediante el mismo lımite que para
las centradas en 0.
82 CAPITULO 10. SUCESIONES Y SERIES DE FUNCIONES
Capıtulo 11
Los numeros complejos
11.1. Introduccion
El cuadrado de cualquier numero real distinto de cero es positivo, por lo que la ecuacion
x2 = −1 no tiene soluciones reales. Designamos por i al elemento que cumple i2 = −1.
Por tanto, tenemos i =√−1.
Ası, por ejemplo, al resolver la ecuacion x2+x+1 = 0 llegamos a que x =−1±√−3
2. Si
ahora escribimos√−3 =
√3 · (−1) =
√3 ·√−1 =
√3 ·i, obtenemos que x =
−1±√3 · i2
.
Si x, y, u, v son numeros reales, designamos como numeros complejos a los numeros
z = x + yi = (x, y), w = u + vi = (u, v). De esta manera i = (0, 1). Al numero real x
se le llama parte real de z, Re(z)=x. Al numero real y se le llama parte imaginaria de z,
Im(z)=y.
Al conjunto de los numeros complejos se le designa por C.
Proposicion 11.1.1. Con los numeros complejo z y w arriba definidos, las operaciones
en este nuevo conjunto son:
z + w = (x + u) + i(y + v)
z · w = (xu− yv) + i(xv + yu)
Teorema 11.1.2. El producto C = R × R es un cuerpo conmutativo respecto a la suma
y multiplicacion siguientes:
(x, y) + (u, v) = (x + u, y + v)
83
84 CAPITULO 11. LOS NUMEROS COMPLEJOS
(x, y) · (u, v) = (xu− yv, xv + yu)
Ademas, R× {0} es un subconjunto de C. El elemento (0, 1) de C se designa por i.
Observacion 11.1.3. Ademas −(x, 0) = (−x, 0) y supuesto x 6= 0, (x, 0)−1 = (x−1, 0). Y
si i = (0, 1) entonces i2 = (−1, 0). Por otro lado, −z = (−x,−y) y z−1 = (x
x2 + y2,− y
x2 + y2).
La diferencia w − z = w + (−z) y el cocientew
z= w · z−1. Por ultimo si r ∈ R entonces
r · z = (rx, ry).
Observacion 11.1.4. Los numeros complejos se representan como los puntos del plano,
donde el eje horizontal es el eje real (x) y el vertical es el eje imaginario (y).
Definicion 11.1.5. El conjugado de un numero complejo z = x + iy se define como
z = x− iy, es decir, Re(z) = Re(z) y Im(z) = −Im(z). Ası pues son simetricos respecto
al eje real.
Proposicion 11.1.6. Propiedades.
1. z = z.
2. z = z ⇔ z ∈ R.
3. z · z = x2 + y2 > 0 salvo cuando z = 0.
4. z + w = z + w.
5. z · w = z · w.
Definicion 11.1.7. El producto escalar de dos numeros complejos ,z y w, se define como
z • w = x · u + y · v. Y el modulo de un numero complejo se define (por Pitagoras) como
|z| =√
x2 + y2.
Observacion 11.1.8. Se cumple que z•w =1
2(z · w + z · w) y que |z| = √
z • z =√
z · z.
Proposicion 11.1.9. Propiedades.
1. |z · w| = |z| · |w|.
2. |z + w| ≤ |z|+ |w|.
3. ||z| − |w|| ≤ |z − w|
Observacion 11.1.10. Para cualquer numero complejo distinto de 0 podemos escribir
z = |z| · z
|z| . En esta expresion el modulo de z es un numero real positivo y obtenemos
11.1. INTRODUCCION 85
que | z
|z| | =|z||z| = 1. Ahora bien, cualquer numero complejo z de modulo 1 cumple que
|z| =√
x2 + y2 = 1 ⇒ x2+y2 = 1, es decir, pertenece a la circunferencia de radio unidad
y se puede escribir de la siguiente forma:
z = (x, y) = (cos θ, sen θ) = cos θ + i · sen θ
para algun numero θ.
Ası cualquier numero complejo z no nulo se puede escribir de la forma z = r(cos θ +
i sen θ) para algun r > 0 y algun numero θ. El numero r es unico para cada z, es la
distancia del punto del plano al origen, pero el numero θ no lo es: si una posibilidad es θ0,
tambien valen los numeros θ0 +2kπ k ∈ Z. Cualquiera de esos numeros recibe el nombre
de argumento de z. θ es el angulo que forma el eje horizontal con la recta que une z con
el origen.
Ademas, tenemos que r = |z|, por tanto se cumple que x = r cos θ = |z| cos θ e
y = r sen θ = |z| sen θ. Si x 6= 0 entonces θ = arctany
x, y si x = 0 entonces podemos
tomar θ =π
2si y > 0, o bien θ =
3π
2si y < 0.
Observacion 11.1.11. El producto de dos numeros complejos no nulos, escritos en forma
trigonometrica, z = r(cos θ + i sen θ) y w = s(cos φ + i sen φ), es, aplicando las igualdades
trigonometricas de coseno de la suma y seno de la suma:
z · w = rs[cos(θ + φ) + i sen(θ + φ)]
Ası pues, el modulo de un producto es el producto de los modulos de los factores, mientras
que un argumento para el producto sera la suma de los argumentos de cada uno de los
factores (uno cualquiera de cada argumento).
Proposicion 11.1.12. Formula de Moivre.
Si z = r(cos θ + i sen θ) entonces zn = |z|n(cos nθ + i · sen nθ) para un argumento
cualquiera θ de z.
Teorema 11.1.13. Todo numero complejo no nulo tiene exactamente n raıces n-esimas
complejas. Es decir, para cualquier numero complejo w 6= 0, y cualquier numero natural
n, existen precisamente n numeros complejos distintos z que satisfacen que zn = w.
Ası , si w = s(cos φ+i sen φ) entonces z = n√
s ·(cos θk +i ·sen θk), donde θk =φ
n+
2kπ
nsiendo k = 0, 1, 2, . . . , n − 1. Al ir tomando k los distintos valores desde 0 hasta n-1,
vamos obteniendo las n raıces distintas (hasta completar una vuelta) que nos indica el
teorema. Todas ellas tienen el mismo modulo n√
s.
86 CAPITULO 11. LOS NUMEROS COMPLEJOS
Definicion 11.1.14. eiθ = cos θ + i · sen θ
Observacion 11.1.15. Por tanto, eiθpertenece a la circunferencia unidad.
Ademas ei(θ+2kπ) = eiθ, ∀k ∈ Z. Y eiθ · eiφ = ei(θ+φ)
, (eiθ)n = einθ.
Por ello, si z = |z|(cos θ + i · sen θ) entonces z = |z|eiθy zn = |z|neinθ
.
A partir de aquı tenemos que ez = exeiy. Puesto que ex ∈ R y |eiy| = 1, resulta
que |ez| = eRe(z) y θ(ez) = {Im(z) + 2kπ : k ∈ Z}
Bibliografıa
[GST] F. Galindo, J. Sanz y L.A. Tristan, Guıa Practica de Calculo Infinitesimal en una
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[GR1] M. de Guzman y B. Rubio, Problemas, Conceptos y Metodos del Analisis
Matematico, volumen 1, numeros reales, sucesiones y series. Piramide (1991).
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Matematico, volumen 2, funciones, integrales, derivadas. Piramide (1992).
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Matematico, volumen 3, sucesiones y series de funciones, numeros complejos, DE-
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