Analisis Estructural Parte IV

A ná li s i s d e E s t r uc t ur a s I

4. MÉTODOS DE TRABAJO Y ENERGÍA

Son de aplicación más general que los métodos geométricos, ya que pueden utilizarse en varios tipos de estructuras, como pórticos, cerchas y bastidores. La desventaja, es que solo se puede calcular una deflexión a la vez.

Trabajo: Se define como el producto entre la fuerza y el desplazamiento del punto de aplicación de esta. Es positivo (+), cuando la fuerza va en la misma dirección del desplazamiento y negativo (-), cuando tiene sentido contrario.

Se tiene una viga en voladizo con una carga puntual en el extremo.

El trabajo hecho por la carga P es sobre un desplazamiento d∆ será.

= ∫�

W O Pd�

Área bajo el diagrama carga - desplazamiento.

Para estructuras dentro del rango elástico lineal, el trabajo de la carga P a través de un desplazamiento ∆1 será:

P�1W1 = 2

Si la carga permanece aplicada, y se realiza un desplazamiento adicional ∆2, al término anterior se le debe sumar:

W2 = P(� 2 − �1 ) = P�

El trabajo total será:

P�1W =2

+ P(� 2 − �1)

P�W = + P� 2

Para un momento que actúa en el extremo de una viga en voladizo, el trabajo realizado por el momento a través de una rotación dθ será:

8W = ∫ Md8 O Trabajo total de un momento sobre la rotación

En el rango elástico - lineal el trabajo del momento a través de un desplazamiento θ1 será:

W = 1 M8

Si la carga permanece constante, el trabajo adicional realizado por el momento es:

W = M8

El trabajo total será:

18W = M

2+ M8 1

4.1 ENERGÍA POTENCIAL DE DEFORMACIÓN EN ELEMENTOS ESTRUCTURALES LINEALES

La Energía potencial total, es la medida de la energía que es capaz de absorber, almacenar o disipar la estructura.

il p = U + VU : Energia de deformacion.V : Potencial de cargas aplicados o trabajo producido por las cargas.

4.1.1 Energía elástica de deformación bajo carga axial.

L P2U = ∫ dx

Para una sección prismática

P b 2 L U2AE

4.1.2 Energía elástica de deformación por flexión.

L 2 L 2 2

M EI d y U = ∫ 2EI dx

o U = ∫O dx

4.1.3 Energía elástica de deformación para fuerza cortante y torsión.

CortanteL V 2U = ∫ dx As =

O 2AsG KL V 2U = K ∫ dx O 2AG

As: Área efectiva de cortante A: Área realK: Factor de forma que depende de la forma de la sección

TorsiónL T 2U = ∫ dx O 2GJ

4.2TRABAJO REAL - DEFLEXIONES BAJO UNA SOLA CARGA

4.2.1Viga y Elemento Estructural con carga concentrada Po.

4.2.2Viga con carga como par Mo.

4.2.3Eje uniforme sometido a un torque To

Problema: Halle la deflexión en el extremo libre A.

L M 2U = ∫ dx

M = −PxL(− Px )2 P 2L3

U = ∫O1

2EIdx =

U = P82 A

2U PL3

8A = P

Problema: Halle la rotación en el extremo derecho de la viga.

U = ∫O 2EI

dx = ∫

L dx 2EI

M∫ x 2dx

U = 1 M

2 o8o 8o = 2U

MoL3EI

8o = 4MoLEbh3

Problema: Halle el ángulo de torsión de todo el eje.

= nd42

l2 T 2

dx +b 2 2T

∫O nd 4

∫l2 2G

l16T b 2 2

U = xGnn4

l 4T b 2

+ xnd 4G l

28T 2L U =nd 4G

+ +nd 4G

2T 2Lnd 4G

14T 2L=

< = 2U

4.3SEGUNDO TEOREMA DE CASTIGLIANO

Castigliano se dio cuenta que la derivada parcial de la energía de deformación U, con respecto a una fuerza, momento o torque, es igual al desplazamiento, rotación y giro respectivamente, con respecto a su línea de acción. Tiene la desventaja que solo se puede aplicar en estructuras linealmente elásticas.

8 = ∂ U

i ∂P

8 = ∂ U

i ∂Mi < = ∂ U i ∂T i

U : Energía de deformación interna en la estructura.8

i :Deflexión en el punto de aplicación de la carga Pi

8i :Rotación en el punto de aplicación del momento

<i : Angulo de torsión en el punto de aplicación del torque Ti

4.3.1Armaduras y Cerchas

∂ U = i Li

8i ∂P i

2∂ F L8i = P

U ∑2AiEi

Energía de deformación en una armadura

∂ i 2AiEi∂F F 2

8 = ∑ i

Pi Li Teorema de Castigliano Modificado

∂ i 2AiEi

4.3.2Vigas

= ∂ U

∂ U LM 2=8i ∂P

= ∂ LM 2

8i ∂Mi U

= ∂ LM

∫ dxO 2EI

8i ∂P ∫ dx2EI 8i ∂M ∫ dx2EIi O i O

L ∂M M L ∂V V 8i =

∫ ∂P EI

dx + K ∫ ∂P

O i O i

∂M8 = ∫

M dx + K

∂V V dx

i O ∂M i

∫ ∂M i

4.3.3Pórticos Planos y Bastidores

∂F F LL ∂M M

L ∂V V i i i 8i = ∑ ∂P A E

+ ∑ ∫ ∂P EI

dx + ∑ K ∫ ∂P

i i i O i O i

∂F F L L 8 = ∑ i i i + ∂M M

AiEi∑ ∫

∂Mi EI

Generalmente en los pórticos, se pueden despreciar las deformaciones axiales y cortantes, ya que son muy pequeñas comparadas a las producidas por flexión.

L ∂M M L ∂V V L ∂T T8 = ∑ ∫ dx + ∑ K ∫ dx + ∑ ∫ dx +

∑P P P

∂F F Li i i

∂ i A i E i P

4.3.4Estructuras Espaciales

i O ∂

i EI O ∂ i GA

O ∂ i GJ

L ∂M8 = ∑ ∫M L ∂Vdx + ∑ K ∫

V L ∂Tdx + ∑ ∫ T dx + ∑

∂F F Li O ∂M i EI

O ∂M i GA

O ∂M i GJ

A i E i

Procedimiento

1. Si la carga tiene un valor numérico, se reemplaza el valor de la carga en el punto determinado por una variable Pi, Mi o Ti para calcular la deflexión, rotación o giro según sea el caso. Sino existe carga en el punto donde se quiere calcular la deflexión, entonces se aplica una carga ficticia en dicho punto y en la dirección de la deflexión, rotación o giro deseado.

2. Se encuentran todas las fuerzas internas Fi, Mi, Ti y Vi o las ecuaciones de F(x), M(x), V(x) y T(x) en cada elemento.

3. Se deriva F, M, V y T respecto a la carga Pi, Mi o Ti necesaria para encontrar la deflexión, rotación o giro deseado.

4. Se reemplaza el valor numérico de Pi, Mi o Ti en las expresiones o funciones y sus derivadas. Si son cargas ficticias se reemplazan por cero después de derivar.

5. Se reemplaza en el teorema de Castigliano y se encuentra la rotación, deflexión o giro deseado.

Problema: Halle la deflexión en el extremo del voladizo en la viga.

Despreciando las deformaciones axiales y aplicando una carga ficticia en el punto donde se quiere hallar la deflexión.

∑ M A = O

− 1O(13)(6,5) − Q(13) + By (1O) = Ov

By = 84,5 + 1,3Q

∑ Fy = O

A y − 1O(13) − Q + 84,5 + 1,3Q = O A y = 45,5 − O,3Q

V = (45,5 − O,3Q) − 1Ox M = (45,5 − O,3Q)x − 5x

V − 1Ox − Q = O

2 O ≤ x ≤ 1O m

V = 1Ox + Q O ≤ x ≤ 3.O

m M = 5x 2 + Qx

La deflexión en C es:

L ∂ M M 8c = ∫ dx

O ∂Q EIL ∂ V V

+ ∫ dxO ∂Q GA

Segmento Origen v ∂v∂Q

M∂M∂Q

AB A (45,5 − O,3Q )− − O,3 (45,5 − O,3Q )x − − O,3x

BC C 1Ox + Q 1 5x 2 + Q x x

8 = 1 (− O,3x)[(45,5 − O,3Q)X − 5X 2 ]dx + (x)(5x 2 + Qx)dx

c ∫EI O

+ ∫ (− O,3)[(45,5 − O,3Q) − 1Ox]dx + ∫ (1)(1Ox + Q)dxGA O O

8 = 1 1O (− 13,65x 2 + 1,5x3 )dx + 3

+1 1O 3

(− 13,65 + O,3x)dx +c ∫ ∫ ∫ ∫1Oxdx

EI OO GA O O

8c =1 [− 455O + 375O +

1O1,25]+EI

1 [− 136,5 + 15 + 45] GA

( )3 O,2O

− O,O15 * O,4O − 2(O,O2O)3

I = O,2O

O,4O12

− 22

I = 359,64x1O−6 m4

A = O,2O(O,4O) − 2 (O,2

O,O15) * (O,4 − 2(O,O2O)) = 13,4x1O−3 m2

9 ( −6 )(− 698,75) +

9 ( −3 )(− 76,5)2OOx1O 4456,8x1O 77x1O 22,25x1O

8c = −4,94 mm − O,O94 mm

8c = −5,O2 mm

4.3.5Estructuras Indeterminadas con una Redundante

Si se escribe la energía de deformación en términos de la redundante de la estructura, entonces Pi, será la redundante y δi el desplazamiento en la dirección de la redundante, que para un soporte fijo es igual a cero.

∂U = O∂Pi Condición que indica que la deflexión en el apoyo i es cero, por restricción.

Problema: Calcule el valor de la redundante Rc para el pórtico mostrado, usando el Segundo Teorema de Castigliano. Considerar solo las deformaciones de flexión.

SEEDBC SEEDBRSistema Estructural estáticamente Sistema Estructural estáticamentedeterminado bajo cargas determinado bajo la redundante

Columna AB Viga BC

M = −PL + 2LRc∂M∂Rc = 2L

M = RcX − P X − L

∂M1 =∂RcX ∂M 2 =∂Rc

L ∂M M8c = ∑ ∫

O ∂Rc EI∂U 1 L L 2L

8c = = O = ∫ (2L)(− PL + 2LRc)dx + ∫ (x)(Rcx)dx +∫ (x)[Rcx − P(x − L)]dx

7RcL3 7PL3 3PL3

O = − 2PLEI

+ 4RcL + +3

− + 3 3 2

O = − 17P

+ 2ORc

Rc = 17P4O

4.3.6Estructuras Indeterminadas con varias Redundantes

Se requiere que la energía de deformación del sistema sea escrita en términos de las cargas aplicadas y de todas las redundantes, o que unas reacciones queden en términos de las redundantes. La energía de deformación del sistema es función de las redundantes y de las cargas aplicadas.

U = U(P, R1, R2, ., Ri)

P: Cargas Aplicadas Ri: Redundantes

∂U∂R1

= �1,

∂U∂R

= � 2 ,....

∂U∂R

= �i

Las anteriores ecuaciones representan la compatibilidad en la dirección indicada, entonces se obtienen i ecuaciones simultáneas para resolver el sistema.

Problema: Resuelva el pórtico mostrado utilizando el segundo teorema de Castigliano. Considere solo deformaciones de flexión.

∑ M A =

M A − (15)(4)(2) + R CY (8) − R CX (3) = OM A∑ FY

= 12O − 8R CY + 3R CX= O

− (15)(4) + R AY + R CY = OR

AY∑ FX R

= 6O − R CY= O

= R CX

Aplicando el Teorema de Castigliano se obtiene las ecuaciones de compatibilidad.

∂U L ∂M= ∑ ∫

M dx = 8CX = O∂R

O ∂R CX EI

∂U L ∂M= ∑ ∫

M dx = 8CY = O∂R CY

Viga A-B

O ∂R CY EI

+ 12O − 8R CY + 3R CX − (6O − R CY )x = O

M = −7.5x 2 − 12O + 8R CY − 3R CX + 6Ox − R CY x

∂M∂R

= −3

∂M∂R

= 8 − x

Columna B-C

− M + 4

R x5 CY L

R x = O5 CX L

R x5 CY L

∂ M = −

R x5 CX L

∂ M 4

∂R CY 5 L= x

∂R CX 5 L

8CX = O4

∫ (− 3)(− 7.5x2 − RCYx + 6Ox + 8R CY − 3R CX −12O)dx1 O EI 5

+ ∫ − x R x − R x dx

CY L5 CX L L

8CY = O4

∫ (8 − x)(− 7.5x2 − RCYx + 6Ox + 8RCY − 3RCX −12O)dx 1 O EI 5

+ ∫ x R x − R

x dx O 5

CY L5 CX L L

8CX = [48O + 24R CY − 144O − 96R CY 36R CX + 144O − 2OR CY + 15R CX ]8 =

1 − 128O − 64R CY + 384O + 256R

− 96R

− 384O + 48O + 21.33R

CY EI − 128O − 64R CY + 24R CX + 96O + 26.66R CY − 2OR CX

− 92R CY + 51R CX = −48O 176R CY − 92R

CX = 112O

Resolviendo el sistema R CY = 25.31 kN

R CX = 35.25 kN

V = −15x + 34.69 N = −36.25kNM = −7.5x 2 + 34.69x − 26.27 M MAX (2.31) = 13.84kN

N = −44.19kN V = 1.5kNM = −1.5x

4.4 PRINCIPIO DEL TRABAJO VIRTUAL (Jhon Bernoulli / 1717)

4.4.1 Principio de los desplazamientos virtuales para cuerpos rígidos

"Si un cuerpo se encuentra en equilibrio bajo un sistema de fuerzas y se somete a cualquier desplazamiento virtual, el trabajo virtual de las fuerzas externas es cero".

A la estructura mostrada se le da un desplazamiento virtual desde la posición ABC hasta la posición A'B'C'.

Las fuerzas que actúan sobre ella efectúan trabajo. El trabajo virtual total de las cargas externas es:

WVT = WVx + WVy + WVθ

WVx: Trabajo virtual de las fuerzas en x WVy: Trabajo virtual de las fuerzas en yWVθ: Trabajo virtual de los momentos a través de un desplazamiento θ.

Wvx = O

No hay fuerzas en X

Wv8 = O

No hay momentos

El trabajo de las fuerzas por el desplazamiento �vy vertical más una rotación θv será:

Pb �vy +

L Pa (�vy + Lθ ) − P(�vy + aθ ) L

∑ =∑

W = Pb

− P � vy + (Pa − Pa)8

WvT = ∑ Fy� vy + ∑ M A8 v =

O WvT = O

4.4.2 Principio de los desplazamientos virtuales para cuerpos deformables

"Si una estructura deformable esta en equilibrio bajo un sistema virtual de fuerzas y se sujeta a cualquier deformación pequeña real, el trabajo externo virtual realizado por las fuerzas externas virtuales que actúan a través de los desplazamientos y rotaciones reales, es igual al trabajo interno virtual realizado por las fuerzas internas virtuales que actúan a través de desplazamientos reales".

Virtual: Termino relacionado con las fuerzas para indicar que el sistema no depende de la acción que causa la deformación real

W = W Trabajo virtual externo = Trabajo virtual interno.Vi

El principio se puede aplicar sin importar las causas de las deformaciones reales, para estructuras elásticas e inelásticas. El principio se puede resumir en:

Fuerza virtual externa

Fuerza virtual interna

Ferza real externa Desplazamiento real interno

4.4.3 Deflexiones por Deformaciones Axiales

Suponga la siguiente estructura sometida a dos cargas P1 y P2.

∆ : Deflexión vertical en el punto Q para encontrar el desplazamiento producido por las cargas P1 y P2, Se quitan las cargas y se aplica una carga ficticia unitaria en el punto y dirección de ∆ .

Se considera que la estructura esta sometida a desplazamientos virtuales idénticos que las

deflexiones causadas por las cargas reales.

La fuerza virtual ficticia realiza un trabajo externo WvE = 1* ∆ .

Si FVi representa la fuerza interna en el elemento i producida por la carga ficticia unitaria,

que actúa a través de la deformación axial real δ = Pi

LiAi Ei

(deflexión del elemento i), el

trabajo virtual interno total realizado por todos los elementos de la estructura será:

W = F δ =F

∑vi i ∑ vi

Donde:Pi: Fuerza en el elemento i producida por las cargas reales. Li: Longitud en el elemento iAi: Área en el elemento iEi: Modulo de elasticidad del elemento

i Aplicando el principio del trabajo

virtual

=Wvi PiLi

1* ∆ = ∑ Fvi AiEi PiLi ∆ = ∑ Fvi

n ∂Fi PiLi

En forma análoga a Castigliano la deflexión es: δJ = ∑ ∂PJ AiEJ

Si el signo es negativo, la deflexión es en sentido contrario a la carga unitaria aplicada.

Para encontrar la rotación de una barra, se debe colocar un momento unitario.

PiLi θ = ∑ M vi

4.4.4 Cambios de temperatura e imperfecciones iniciales de fabricación

La deformación del elemento j de longitud L, debido a un cambio de temperatura ∆ T es:

δ = α∆TL

1* ∆ = ∑ Fvi (α i ∆TLi )

α : Coeficiente de expansión térmica (1/-C)

Por imperfecciones de fabricación δ se conoce de antemano.

Procedimiento

1. Determinar las fuerzas internas por las cargas aplicadas, temperatura o errores de fabricación

2. Quite todas las cargas reales, aplique la carga unitaria en el punto y dirección de la deflexión deseada.

3. Calcule las fuerzas virtuales internas FVi4. Encontrar la deflexión por medio del principio del trabajo virtual.

Problema: Hallar la deflexión horizontal ∆ x y vertical ∆ y en el nodo B. E=2OOGPa, A= 12OO mm2 para todos los elementos.

A B 21 21

2. Fuerza Virtual horizontal 3. Fuerza Virtual Vertical

1 00.43

ELEMENTO L (m) F (KN) Fvi (KN) Fv1(FiLi)(KN"2.m) Fv2 (KN) Fv2(FiLi)(KN"2.m)

AB 4.OO 21 1 84 O.43 36.12

BC 3.OO 21 O O O.43 27.O9

AD 5.66 -79.2 O O -O.61 273.45

BD 4.OO 84 O O 1.OO 336

CD 4.OO 35 O O -O.71 1244.25

∑ Fvi

(FiLi)

84 796.91

1* ∆ Bv

1* ∆ BH

= ∑ Fv 2 (FiLi)AE

= ∑ Fv 1 (FiLi)AE

1KN * ∆ BH

=2OOx1O9 *

1.2x1O

−3 * 84x1O

∆ BH = O.35mm 1 3

1KN * ∆ Bv

= 2OOx1O9 *1.2x1O

−3 * 796.91x1O

∆ = 3.32mm

4.4.5 Deflexiones debidas a la flexión

Sobre una viga actúan unas cargas. Se desea encontrar la deflexión vertical ∆ en un punto C de la viga.

Para determinar ∆ se aplica una carga virtual unitaria en el punto C, en la dirección del desplazamiento deseado.

El trabajo virtual externo WvE

efectuado por la carga unitaria es: WvE

= 1* ∆

El momento flector virtual interno Mv que actúa sobre el elemento dx, efectúa trabajo virtual interno a medida que se presenta una rotación dθ sobre el elemento dx: dWvi = M v dθ

Mv se mantiene constante durante la rotación dθ =

ElM: Momento flector producido por las cargas reales que causan la rotación dθ

dWvi = v

Wvi = M v dxO El

Igualando al trabajo virtual externo

1* ∆ = ∫ M v

Para encontrar la pendiente θ en un punto C, se utiliza un momento virtual unitario, en la dirección de la rotación θ . Mv será el momento virtual interno producido por el unitario

1*θ = ∫ M v

4.4.6 Trabajo Virtual Interno debido a la fuerza Cortante

Siguiendo un proceso análogo al anterior puedo encontrar trabajo debido a corteL

Wvi = K

∫vvO

Vv: Fuerza cortante resultante de la carga ficticia. V: Fuerza cortante resultante de la carga real.

Los esfuerzos cortantes estan dados por τ = VQ

lbQ : Primer momento del area respecto al eje centroidalb : Ancho de la seccion transversal donde se esta calculando τV : Fuerza cortante I : InerciaLas deformaciones estan dadas

por G : Modulo de cortanteγ = τ G

El trabajo virtual interno y las deformaciones reales internas quedan:

τv =Vv

VQγ = Glb

Integrando sobre el volumen del elemento:

Wvi = ∆dq Trabajo virtual interno del esfuerzo cortante

dq Fuerza en el elemento debido a la carga virtual

= ∫ τv γdv

= ∫ τv

τ dv = ∫ ∫ Vv Q

VQ d∆dx

x ∆ Q

lb Glb

∫ 2 ∫ ∆x G l ∆ b

As = l

Q 2 Area efectiva de cortante; se expresa en terminos del area real de

la seccion transversal∫ d∆

As = A

KK = 1.2K = 1O/9

Secciones Secciones

rectangulares circulares

K: Factor de forma K ≈ 1.O Perfiles de aceroK = 2.O Secciones Circulares huecas

L V∆dq = Wvi = ∫ Vv AsG dx

L V L VWvi = ∫ Vv 0

Adx = K∫ Vv AG

dx = Wvi

Para calcular K para la sección circular hueca o tubo delgado

rm= Radio mediot = Espesor de la Pared

Q = ∫ ydA

Integrando la posición 8 del EN hasta n/2 para el lado derecho

Q = 2 ∫ (rmSenθ)(rmtdθ)θ

π2 πQ = 2r 2 t ∫Senθdθ = 2r 2 t[−

Cosθ]θ 2

= 2r 2 t[0 + Cosθ]m m m

Q = 2r 2 tCosθ

As = l22π 2r 2 t

m Cosθ dA b

l2 l2=2π 2r 2 tCosθ

2 πtr 5

0 2t rm

La inercia de un tubo delgado respecto a un eje centroidal es:

l = πtrm

As = (πtrmπtr

= πtrm

El área total es: A = 2πrmt

2πrmt = 2.0

πrm t

4.4.6 Trabajo Virtual Interno debido a la TorsiónL TEl Trabajo virtual interno debido a torsión

es: Wvi = ∫Tv JG dx

Tv : torsión ficticia producida por la carga virtual equivalente. T : Torque producido en la sección por las cargas realesJ : Momento polar inercia para sección circular o para secciones rectangulares con h>b(dimensiones) es:

J=Cb3h

16 − 3.36 b (1

−b 4

16 3 h 13h 4

Para corte WvE = 1* ∆Para torsión WvE = 1*φ

φ : ángulo de torsión

Procedimiento

1. Determine las fuerzas internas en los elementos debido a las cargas reales.2. Si se quiere determinar la deflexión, aplique una carga unitaria en el punto y

dirección del desplazamiento deseado.3. Si la rigidez a flexión EI es variable, divida el elemento en segmentos.4. Encuentre en cada segmento una expresión del momento, cortante, torque o fuerza

axial debido a las cargas reales.5. Determine la ecuación de momento Mv, torque Tv, corte Vv, fuerza axial Fv, debido

a la carga virtual, usando el mismo sistema coordenado que para las cargas reales.6. Determine la pendiente o deflexión utilizando el principio del trabajo virtual.

Cerchas y Amaduras

Porticos Planos

Estructuras Espaciales

Problema: Hallar la deflexión en el punto D del perfil metálico.

B DA e E

E= 2OO GPa G= 77 GPaI1 = IAB = IDE = 3OO x1O6 mm4

I2 = IBD= 6OOx1O6 mm4

A1 = 21OOOmm2

A2 = 42OOOmm2

1. Fuerzas reales

2 4 2 4

V=75 - 15O <x-6>O

M= 75x - 15O <x-6>

2. Sistema Virtual

V= 1;4 -1 <x-9>O

M=(1;4)x -1 <x-9>

3. Principio virtualL L

WvE = Wvi

1* ∆

= ∫ M

M dx + k

D v Elv GA

l 2 = 2l1A2 = 2 A1

1* ∆ D =2OOx1O

19 * 3x1O

1−4 ∫

x (75x)dx +

1∫ 3

x (75x)dx +

1∫ 6

x [75x − 15O(x − 6)]dx

x − 1(x − 9)[75x − 15O(x − 6)]dx +

∫ 9 3

77x1O9

* 21x1O−3

12 ∫

1 (75)dx +

1 ∫ 1

(75)dx + 1 ∫

1 (−75)dx + ∫ (−O.75)(−75)dx

2 6 4 9

1* ∆ D = 1.667x1O [168.75 + 59O.63 + 928.13 +

5O6.25]x1O3

+ 6.184x1O

−1O [56.25 + 28.13 −

28.13]∆ = 1.667x1O−8

* 2193.75x1O3

+ 6.184x1O

−1O *168.75x1O3

∆ = 36.56mm + O.1O4mm∆ = 36.66mm

Deflexión debido a la flexión: 36.56mm Deflexión debido a la fuerza cortante: O.1O4mm

Generalmente la deflexión causada por las fuerzas cortantes es mucho mas pequeña que la causada por la flexión, por eso se desprecia.

Problema: Un tubo de acero de 1O2mm de diámetro esta cargado como se muestra. Hallar4 4 4la deflexión vertical en A y giro en A respecto a B φ A / B . I = 298 x1Omm4, E=2OOGPa, G=77GPa.

mm , J=596 x1O

Se ponen las cargas unitarias virtuales en la dirección que se requiere. Por el principio del trabajo virtual se tiene:

1* ∆ A = ∫ M v

dx + k T dx El GJ

1*φ = ∫ M vθ

dx + k T θ dx El GJ

El subíndice θ indica que las fuerzas internas virtuales son causadas por un par unitario.

ELEMENTO M T Mv Tv M vθ T vθ

AB -2.Ox O -x O O.OO 1BC -2.Ox O.5 -x O.25 1.OO OCD -2.Ox-O.5O -1 -x-O.25 -O.5 O.OO 1

Deflexión en A:1 O.25 O.25 1

1* ∆ A = 9

−62OOx1O * 2.98x1O∫ (x)(−2.Ox)dx +

∫ (− x)(−2.Ox)dx + ∫ (− x − O.25)[− 2.Ox −

O.25]dxO O O

1 O.5 1 + 77x1O9 *5.96x1O−6 ∫[(O.25)(O.5)]dx +∫ (−O.5O)(−1.O)dx

∆ = 1.667x1O−6

*1385.42 + 2.179x1O−6

O * 562.5

∆ = 2.324mm + 1.226mm

∆ = 3.55mm

Rotación en A:

1* φ A

= 2OOx1O9

1* 2.98x1O−6

∫ [(O1.O)

(−2.Ox)]dx +O

77x1O 9

1* 5.96x1O −6

1 ∫ (1.O)(−1.O)dx O

φ A = 1.667x1O * −25O + 2.179x1O −6

* −1OOO

φ A = −O.419 − 2.179φ A = −2.598rad

Problema: Determine la rotación y desplazamiento horizontal en D incluyendo todas las deformaciones:DatosE = 2OOGPa Iv=1.O4 x 1O-

3m4 Ic=O.52 x 1O-3m4 G= 77GPaAv=16 x 1O-3m2 Sección transversal de la viga Ac=8 x1O-3m2. Sección transversal de la columna

∑ M A = O− 15O(3) − 2O(1O)(5) + Dy(1O) = ODy = 145KN

∑ Fy = O− 2O(1O) + 145 + Ay = OAy = 55KN

∑ Fx = OAx = −15OKN

1. Cargas Reales

Columna ABCV = 15O − 15 < x − 3 > O M = 15Ox − 15O < x − 3 > F = −55

Viga CD (Origen D) V = 145 −

M145x − 1Ox 2

2. Desplazamiento - Fuerza virtual

∑ M A = O− 1(5) + Dy(1O) = ODy = 3

∑ Fx = OAx = −1KN

∑ Fy = O

Ay = − 3 KN

Columna ABC (origen A)

vv = 1 M v = 1x Fv = 3 / 5

Viga CD (origen D)

vv = 3 / 5M v = 3x / 5Fv = 1

1* ∆

dx + K vv

dx + F F dx oF

D ∫ v El∫ v

GA∫ v

AE v AiLi

Elemento F V M Fv Vv Mv

AB 55 15O 15Ox 3/5 1 x

BC 55 O 45O 3/5 1 x

CD O 145-2Ox 145x-1Ox"2 1 3/5 3/5x

A ná li s i s d e E s t r uc t ur a s

D 9 −3 ∫ ∫ ∫

9 −3 ∫ 9 −3 ∫

1 36 1 1O 3

∆ = (15Ox)(x)dx + (45O)(x)dx + ( x)(145x − 1Ox 2

2OOx1O * O.52x1O 2 5

O O O 3 1O

1 (1)(15O)dx + 1

(3 / 5)(145 − 2Ox)dx +

1 3 (55x3) +

3 (55x3)

9 −3 ∫∫

9 −3

77x1O* 8x1O O 2 O 2OOx1O

* 8x1O 5 5

3. Rotación - Desplazamiento virtual

i∑ M A = O1 + Dy 1O = O

Dy = − 1 KN

∑ Fx = OAx = OKN

∑ Fy = O

Columna ABC (Origen A)vv = OMv = O

Fv =1O

Viga CD (Origen D)

vv = −1O

Mv = 1 − x1O

Fv = OM v F

1 * θD

= ∫ M vθ

dx + k v dx + F θ dx El GA AE

1 3 1 1 1O

θ = 1 − 1 / 1O 145x − 1Ox2 dx + −1 / 1O 145 − 2Ox dxD2OOx1O * O 52x1O 77x1O * 8x1O 2

+2OOx1O9

8x1O 1

−3 1O

* 55 * 3 +

55 * 1O

Elemento F V vθ

AB 1/1O O OBC 1/1O O OCD O -1/1O 1-1/1Ox

Problema: Utilice el método del trabajo virtual para resolver la siguiente estructura Datos:b= O.3m h=O.4mE=2OGPa Vconc=O.1G=E/2(1+V) G=8.3GPaCy: redundante estática

∑ M A = O− 1OO(3) − 2O(6)(9) + Dy(12) = ODy = 115KN

∑ Fy = OAy = 1O5KN

∑ Fx = OAx = Ov = 1O5 − 1OO < x − 3 >O −2O < x − 6 > M = 1O5x − 1OO < x − 3 > −1O < x − 6 >2 Ay = O∑ M A = OCy(6) + Dy(12) = ODy = − 1

∑ Fy = OAy + Cy + Dy = O

Ay = −Cy + 1 Cy = − 1

v = − 1

Cy + Cy < x − 6 >O

M = − 1 Cyx + Cy < x − 6 >

R 2Desplazamiento _ virtualAy = 1/ 2Dy = 1/ 2

− 1 < x − 6 >O

M = 1 x − 1 < x − 6 >

ELEMENTO V M VR MR VV MV

AB 1O5 1O5x -O.5Cy -O.5Cyx O.5 O.5xBC 5 1O5x-1OO(x-3) -O.5Cy -O.5Cyx O.5 O.5x

D 5-(x-6) 1O5x-1OO(x-3)-1O(x-6)2 -O.5Cy -O.5Cy+Cy(x-6) -O.5 O.5x-(x-6)

1 3 612 1 1* ∆

= O = 3 ∫ (O.5x)(1O5x)dx + ∫ (O.5x)(5x +

3OO)dx + ∫ (x + 6)(−1Ox 2 + 125x − 6O)dx +

2OOx1O 9 * O . 3 * O.4 O O 6 2

123 1 6 1 12 1 1 3

∫ ( 2

x)(−1 / 2Cyx)dx + ∫ ( 2

x)(−1 / 2Cyx)dx + ∫ (− 2

x + 6)(1 / 2 − 6Cy)dx + 8.3x1O 9 * O.3 * O.4 ∫ (1

/ 2)(1O5)dx6 3

6 12 16

3 1 6 1O

12 1+ ∫ (1 / 2)(5)dx + ∫ (−

2 )(−x + 11)dx + ∫ (

2)(−1 / 2Cy)dx + ∫ (

2)(−1 / 2Cy)dx + ∫ (−

2 )(1 / 2Cy)dx

O 6 O 3 6

Trabajo Virtual Utilizando Tabla de Integración

La tabla de integración proporciona el valor de la integral del producto de dos funciones: las funciones de la parte superior de la tabla se suponen que son las fuerza virtuales internas, y son lineales ya que su carga virtual es ::::: puntual unitaria. Las funciones de la parte izquierda se suponen los diagramas de deformación interna, por ejemplo M/EI; V/GA; F/AE y T/GJ.La ecuación de la fuerza virtual, siempre es un diagrama lineal, es decir que la integración sobre la longitud de cualquier elemento será de la forma:

1 x � = ∫( ax + b )

f(x) dx

ax + b: Ecuación lineal de la fuerza virtual f(x) dx: Deformaciones internas generales

La integral se puede escribir como:

1 x � = a ∫O

x f(x) dx + b ∫O

f(x) dx

1 x � = a (Primer momento de área del diagrama real) + b(área bajo el diagrama real)

1 x � = a( x AR) + b (AR)

AR = Primer momento de área del diagrama real alrededor del origen.

AR = Área bajo el diagrama real.

Factorizando AR .

1 x � = AR (a + b)

(ax + b)= Valor del diagrama virtual en una posición que es el centroide del diagrama real (x).

1 x � = AR Mv ( )

En vez de escribir las ecuaciones e integrar, ahora solo se necesita encontrar el área bajo el

diagrama realM

, localizar su centroide y evaluar la fuerza virtual en esa posición; esEl

decir, el área real por el valor de la ordenada virtual en la posición , este método se conoce como integración visual.

P r o b l e m a : Encontrar el desplazamiento utilizando tablas de integración e integración visual. EI = 5OMN . m2 .

3 1O5 1O5

5 4 θ 1O5

θ 4 91.875

3.O5.O

91.875

4.O θ 5

3 91.875 V M

w = wsen2θ = 15× 3

1O.5 wN = 5.4 KN m

139.125x2

x215 KN m

91.875KN

ΣM A = O

− 15(7)(3.5) + CY (4O) = OCY = 91.875KNΣFY = OAY + CY = OAY = −91.875KNΣF = OA = (15) * (7)A = 1O5KN

1 x � C = a Σ∫ M v

En forma simbólica queda:

L1 2 aC

d 15 L1 L

L12 a 2

1d 2 m

1x� C =

l ∆ = L1 (C1 + 2d1 ) +

L2 a2 (C2 + 2d2 )C 6 6

5.O * 4

43 . 125

4 * 4 * 12O 2

l ∆ = + El

∆ = 687..5*1O

+ 48O *1Ol

C 5O *1O6

5O *1O6

l ∆C = O.O23m

∆ = 2.3Cm

Por integracion visual:

∆ = LC

; = 3L

V i g a :

5* 12O −

El = 2OO

; = 3*5

= 3.75m R

C o l u m na: 4 *12O

∆ = ElR 3 =

x = 3* 4

= 3.Om4

Evaluación de la fuerza puntual en la posición del centroide del área real

Vig a :

M v (3.75) = 3.OCO L UM NA :

M v (3.O) = 3.O

l ∆C =2OOEl

*3.O +

1O8O *1O3

5O *1O6

= O.O216m

∆C = 2.2Cm

Analisis Estructural Parte IV

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