Post on 29-May-2018
8/8/2019 analisis fasorial
1/7
La representacin fasorial de la potencia en circuitos AC monofsicos
G. Aguirre-Zamalloa1, N. Vidal-Lekue2
1Departamento de Ingeniera Elctrica
ETSIB, Universidad del Pas Vasco
2Departamento de Electricidad y Electrnica
Facultad de Ciencia y Tecnologa, Universidad del Pas Vasco
Crees que los que estn as han visto otra cosa [..] sino las sombrasproyectadas por el fuego sobre la pared de la caverna que est frente a
ellos? [] Entonces no hay duda -dije- de que tales hombres notendrn por real ninguna otra cosa ms que las sombras de los
objetos
Platn, Libro VII de La Repblica
Resumen
Se define la potencia reactiva instantnea q(t) para
circuitos AC monofsicos en rgimen permanente. Esto
permite obtener la potencia compleja instantnea s=p+jq,
la cual admite a su vez una interpretacin fasorialextremadamente til que se estudia con cierto detalle. A
continuacin proponemos una generalizacin de estas
magnitudes instantneas para el caso transitorio por
medio de los vectores espirales de Yamamura.
Palabras clave
Fasores, vectores espirales, potencia compleja,
transitorio, potencia reactiva instantnea (PRI).
1. Introduccin
Fue Steinmetz [1] a finales del S. XIX quien introdujo el
empleo de la potente notacin fasorial (compleja) para
analizar circuitos AC. Esta mejora del formalismomatemtico propici un notable avance debido a que
permiti aplicar directamente a los circuitos AC los
mtodos desarrollados para resolver circuitos DC. Otra
ventaja decisiva de los fasores reside en su interpretacin
geomtrica directa: los diagramas fasoriales que muestran
las relaciones entre corrientes y tensiones son
herramientas de representacin muy comunes y tiles. En
la actualidad estas representaciones grficas ya no se
emplean como herramientas de clculo sino como
recursos mnemnicos, cualitativos, que permiten captar
inmediatamente relaciones entre varias cantidades de
manera mucho ms directa que mediante una ecuacin
algebraica, por ejemplo.
Aunque la representacin fasorial de seales sinusoidales
puras (ondas de tensin, corriente, fuerzas
magnetomotrices, etc.) es trivial, hay otras magnitudeselctricas de gran importancia que aparentemente no la
admiten, como la potencia por ejemplo. Es
indudablemente cierto que la potencia instantnea
absorbida por un dipolo elctrico )()()( titutp por serel producto de dos seales monocromticas presenta
naturalmente la mezcla de frecuencias (funcin
heterodina):
tttt )cos()cos(sinsin2 212121 (1)
por lo que no puede ser representada por medio de un
fasor estndar. No obstante, en este trabajo nos
proponemos demostrar que para el caso 21 si
que puede obtenerse una representacin cuasi-fasorial pormedio de fasores excntricos. Creemos que esta
representacin es muy ilustrativa de modo que vamos a
definirla cuidadosamente y a estudiar sus propiedades.
En el ao 1984 Akagi y Nabae [2] introdujeron los
conceptos de potencia activa y reactiva instantneas para
el anlisis del problema de la transmisin de potencia en
sistemas trifsicos, emplendolo en concreto para
demostrar las posibilidades de mejora de rendimiento y
compensacin mediante elementos no almacenadores de
energa. A partir de ese momento varios otros grupos han
trabajado sobre el mismo tema, ampliando y
8/8/2019 analisis fasorial
2/7
generalizando los conceptos y herramientas, por lo que se
ha generado una abundante bibliografa [3-4].
Mencionemos brevemente que segn estos autores la
potencia activa instantnea (en adelante PAI) para
sistemas trifsicos AC se define como: )()()( titutp yel vector potencia reactiva instantnea se define como:
)()()( titutq , donde Ttutututu )(),(),()( 321 e
T
titititi )(),(),()( 321 . Con toda lgica se define lapotencia reactiva instantnea (PRI) como el mdulo del
vector PRI.
Estas definiciones, sin embargo, no son completamente
trasladables al caso monofsico. As, aunque la
definicin de PAI es la correcta: )()()( titutp , la PRI
resulta idnticamente nula 0)( tq , lo cual no puede sercierto en general. A nosotros no nos consta que ninguna
definicin satisfactoria de la PRI monofsica haya sido
publicada hasta la fecha. En el presente trabajo vamos a
proponer una definicin vlida de PRI para sistemas AC
monofsicos en rgimen permanente que es
independiente de la definicin previamente mencionada,
y que vamos a generalizar inmediatamente al rgimentransitorio.
En este trabajo no nos volveremos a ocupar de las
potencias trifsicas. Sin embargo, con respecto a esta
cuestin no queremos dejar pasar la ocasin de comentar
un prometedor desarrollo del formalismo matemtico que
en el futuro podra muy bien ser la va para la unificacin
y generalizacin de estos conceptos. Nos estamos
refiriendo al lgebra geomtrica (AG) que es un
formalismo que abarca, generaliza y simplifica el clculo
de matrices, de nmeros complejos, de cuaterniones y de
espinores por ejemplo y que tuvo su origen en los
trabajos de los matemticos Grassman y Clifford [5].
Como ilustracin sealemos que en AG se define unnuevo producto de vectores, el producto geomtrico:
bajbabababa (2)
donde "" indica el producto exterior y "" j es el
pseudoescalar del lgebra, que es tal que 12 j . Lasuma de escalares y vectores (multivectores) no
solamente es posible, sino que es inmensamente
beneficiosa; as, por ejemplo, el producto geomtrico de
los vectores tensin y corriente trifsicos nos da
automticamente el (multivector) potencia. Entre las
bondades del producto geomtrico destacaremos que es
generalizable a cualquier dimensin e invertible, por lo
que se nos va a permitir dividir entre vectores! Aunque aprimera vista la expresin (2) parezca incorrecta la
realidad es que, y esto puede ser una autntica sorpresa
para algunos, la estamos empleando continuamente al
manejar nmeros complejos (dimensin 2); as,
211222112121*
babajbabajbbjaaba (3)
es esencialmente equivalente a (2).
Este artculo est estructurado de la manera siguiente:
despus de esta introduccin definimos la PRI
monofsica )(tq en el rgimen permanente en la seccin
2. Este es el resultado central del trabajo por lo que
dedicamos el resto de la seccin a su justificacin y a
demostrar sus principales propiedades. En la seccin 3
presentamos con cierto detalle el diagrama fasorial de las
potencias y damos algn ejemplo, siempre en rgimen
permanente. La seccin 4 introduce brevemente el
formalismo de los vectores espirales AC de Yamamura.
En la seccin 5 elaboramos una redefinicin de las PAI y
PRI en trminos de vectores espirales para poder
generalizar estos resultados al rgimen transitorio, y sepresentan algunos ejemplos ms. En la seccin 6 se
elaboran las ms importantes conclusiones.
2. Definiciones en rgimen AC permanente
En ese apartado analizamos el rgimen permanente de
circuitos alternos sinusoidales monofsicos.
Establezcamos en primer lugar la notacin con toda
claridad. Las letras minsculas, con o sin dependencia
temporal explcita denotan valores instantneos mientras
que las maysculas indican valores constantes. Los
smbolos subrayados son complejos y si no lo estn son
reales. Las variables complejas instantneas las
escribimos normalmente en notacin exponencial. As,
por ejemplo, )(tii , )(tuu son funciones peridicas
de periodo
2T . Tambin tjeItii 2)( ,
iii Re e 222 iII . Finalmente resulta muyconveniente introducir las siguientes abreviaturas:
)4
()(T
tftf
y )4
()(T
tftf
.
Recordemos que por definicin la potencia compleja
consumida por un dipolo es jQPIUS * , donde Pes la potencia promedio (potencia activa) absorbida que
vale*
Re)()()( IUtutitpP . Esta ltimaexpresin naturalmente nos invita a examinar la funcin
de correlacin cruzada entre corriente y tensin:
sincos)(
))((4
1)()()(
QP
cceiccutituj
(4)
donde cc denota conjugacin compleja. En trminos
generales una funcin de correlacin cruzada nos da una
medida del grado de semejanza de las funciones. En el
presente caso se trata una funcin sinusoidal de periodo T
que verifica P)0( obviamente y tambin QT)
4( .
De este modo se justifica la introduccin de la funcin
auxiliar )4
()()(T
tituiut
cuyas propiedades
vamos a estudiar a continuacin para comprobar si se
trata de un buen candidato para identificarlo como q(t) o
potencia reactiva instantnea. En cualquier caso,
debemos tener presente que por muy incierto que sea su
sentido fsico, su definicin matemtica, dada ms arriba,
es clara y distinta.
Esta funcin )(t tiene las siguientes propiedades:
1. Es dimensionalmente homognea a una potencia.
8/8/2019 analisis fasorial
3/7
2. Tal y como se ha demostrado Qt )( , donde Qdenota la potencia reactiva absorbida por el circuito.
3. El teorema Tellegen [6] garantiza que
R
k
k t1
0)( ,
dondeR indica el nmero total de ramas del circuito.
De la combinacin de las propiedades 2 y 3 resulta una
prueba de la parte imaginaria del teorema de Boucherot
[6]. Adems, al verificarse las relaciones siguientes:
*4 ImReRe iijeiiT
j
(5a)
y tambin
*ImReReRe iijdt
idi
dt
d
dt
di
(5b)
se puede probar que:
4. diudtdtdi
uT
dttT
QTT
2
11)(
1
00
(6)
Esta ltima propiedad revela el significado fsico del rea
limitada por la elipse inclinada descrita por el punto
ui, , tal y como se podra medir mediante unosciloscopio. Podemos ahondar algo ms en la
interpretacin de este resultado tomando la siguiente
analoga mecnica: un mvil de masa unidad 1m quese desplazase por el plano yuxi , siguiendo lasoscilaciones de tensin y corriente en una impedancia
ZZ estara localizado en el punto:
ytUxtItr cos2)cos(2)(
animado de velocidad:
ytUxtIt sin2)sin(2)(v
Por lo que su momento angular se conservara:
QUIprMzz
2sin2
5. Mediante un razonamiento dual al del apartado 4,
podemos llegar a la conclusin de que el rea
limitada por la curva cerrada descrita en el plano
ui , (y medida con un osciloscopio digital) es P, lapotencia activa:
udidt
dt
udi
T
dtiu
T
iuPTT
2
111
00
(7)
La expresin de las funciones auxiliares )(t para los
diferentes elementos ideales es muy convincente:
6. Resistencia: 22
1iR
dt
diiRR
y 0R (8)
Una resistencia no impone ningn criterio de
continuidad.
7. Inductancia: LL wiLdt
diiLt
2
2
12)(
2
y por lo tanto: LLL wQ 2 (9)
La continuidad de la funcin Li conlleva la de Lw (y
por consiguiente la de Lw
) lo que implica que L es
tambin continua; sin embargo Lu (y por tanto Lp )
pueden presentar discontinuidades finitas.
8. Capacidad:
CC wuCuuCdt
uduCt 2)( 2
CCC wQ 2 (10)
(hemos aplicado que derivacin temporal y retraso
conmutan) La continuidad de la funcin Cu conlleva
la de Cw lo que implica que C es tambin
continua; sin embargo Ci (y por tanto Cp ) pueden
presentar discontinuidades finitas.
Llegados a este punto del anlisis consideramos que
disponemos de argumentos suficientes como para afirmar
que la funcin auxiliar iu puede identificarse
razonablemente con la potencia reactiva instantnea q.Como consecuencia inmediata del anlisis realizado se
desprende la siguiente definicin de la potencia compleja
instantnea vlida para circuitos monofsicos en rgimen
AC permanente:
ijuuiqjps
*ImRe iujius *ius (11)
Esta expresin que generaliza lindamente la ecuacin*
IUS es tambin algo sorprendente por su falta desimetra, pero tngase en cuenta que la aparentemente
ms intuitiva definicin (?)*
ius no es en absolutocorrecta (es una constante compleja!). La ecuacin (11)
indica que la potencia compleja instantnea s es un
autntico fasor cuya extremidad describe una
circunferencia en el sentido de las agujas del reloj (la
corriente est conjugada) en el plano qp, con centro en
QjPqjpsS , radio S y periodo2
T. Al
ser la distancia del origen al centro igual al radio, la
circunferencia pasa por el origen o pivota en el origen y
las llamaremos CPO para abreviar. Este es el primer
resultado bsico del trabajo. A partir de este punto
debemos interpretarlo e ilustrarlo antes de poder
generalizarlo al rgimen transitorio. Para fijar las ideas
vamos a concentrarnos en el anlisis de circuitossencillos. En la Figura 1 puede apreciarse claramente
cmo esta construccin generaliza y enriquece el
tringulo de potencias clsico.
3. Diagrama fasorial de la potencia:propiedades y ejemplos.
La primera propiedad que queremos destacar es la
superposicin: puede fcilmente demostrarse a partir de(11) que dados dos subcircuitos 1 y 2 conectados en serie
8/8/2019 analisis fasorial
4/7
o en paralelo, la potencia instantnea total se calcula
como 21 sssT .
Figura 1: Tringulo de potencias, fasor potencia y potencia
activa instantnea
Tabla 1: Puntos singulares del diagrama fasorial RL
0,0o QPC ,
0,2P 0,P
Q2,0 Q,0
2
2
2
2 2,
2
S
QP
S
PQ
2
2
2
2 4,
4
S
QP
S
PQ
2
2
2
2 2,
2
S
QP
S
PQ
2
2
2
2 2,
2
S
QP
S
PQ
Esta situacin queda ilustrada por la Figura 2 en la que se
han representado las circunferencias dextrgiras y
sncronas descritas por las potencias Rs consumida por
R, Ls consumida por L y la total LRRL sss para un
circuito RL serie simple.
En cada instante la proyeccin sobre el eje p nos indica la
potencia instantnea absorbida por cada elemento.
Adems, la superficie coloreada corresponde al intervalo
durante el cual el circuito devuelve potencia a la fuente.
En este ejemplo hemos puesto 0RLs en 0t
Para obtener el mximo partido de la representacin
conviene familiarizarse con la estructura geomtrica del
diagrama. En la Tabla 1 hemos indicado las coordenadas
de los puntos singulares, es decir de los puntos de
interseccin de las circunferencias y en la Figura 3 los
hemos representado (se trata del mismo caso sencillo de
un circuito RL). Hay que advertir sin demora que
interseccin no quiere necesariamente decir coincidencia
o encuentro simultneo; las condiciones de coincidencia
las vamos a estudiar ms adelante. Dos puntos opuestos
por un dimetro en cualquiera de los CPO estn
separados en el tiempo por
4
Tsegundos.
Figura 2: Fasores de potencia y potencias instantneas en uncircuito RL serie en el rgimen permanente AC.
Sobre la Figura 3 puede apreciarse cmo las rectas y
C son perpendiculares, como lo son las rectas C y
(esta ltima es tangente al CPO RLs en el punto o )
La construccin geomtrica pone de manifiesto las
ligaduras con toda claridad. Si inicialmente el circuito
fuese resistivo puro, la RRL ss describe una
circunferencia tumbada, con su centro sobre el eje p. Al ir
incrementando el valor de L suceden varias cosas
simultneamente. El circulo vara su radio pero sobre
todo pivota en torno al origen de modo que al abandonar
su centro el eje horizontal la circunferencia va a penetrar
en la zona 0p y va a ganar un Q (q promedio) no nulo.
8/8/2019 analisis fasorial
5/7
Y estos efectos se hacen ms importantes cuanto mayor
es L. De hecho el intervalo de tiempo durante el cual se
cede potencia a la fuente es el que tarda en recorrer el
arco Co de valor 2 :
2
2
2
T.
Todava queda por examinar en qu condiciones la
superposicin (suma) de dos CPO da origen a otra CPO:
vamos a comprobar que en realidad hay restricciones de
fase bien definidas.
Figura 3: Puntos singulares y relaciones geomtricas del
diagrama fasorial RL
Sean los CPO kk tj
k
j
kk eCeCts 2)( con 2,1k ,
donde los C son los centros de las circunferencias, C
son sus radios y los fijan un origen de fases. Para que
la suma 21 ss sea un CPO el radio debe ser igual a ladistancia del centro al origen. Esto solo ocurrir si
21212121 coscos (12)
Veamos unos ejemplos. Ejemplo 1: Conexin de bobina
21
y condensador
22
. Adems si quiero que
en 0t Ls est en el origen pondr2
1
y de (12)
obtengo2
2
como una nica solucin y
tjCLLC eQQjts 21)( , esto es la compensacin
de energa reactiva. Ejemplo 2: conexin de resistencia
01 , 1 con inductancia2
2
. En este caso
dos son los valores de 2 que satisfacen (12):2
2
y
22
. Vamos a ver que corresponden a las
conexiones serie y paralelo respectivamente.
Circuito RL serie
En un circuito serie los elementos ven la misma corriente
y diferentes tensiones por lo que los *ies kk tienen la
misma fase y por lo tanto estn alineados sobre rectas que
pasan por el origen. Esta situacin queda ilustrada por la
Figura 4 y puede comprobarse mediante los datos
recogidos en la Tabla 2, la cual indica las posiciones de
los fasores sR, sL y sRL para instantes de tiempo
seleccionados.
Tabla 2: Posiciones instantneas de los fasores sR, sL y sRL en un
circuito RL serie.
tR
sL
sRL
s Descripcin
0 00 eqp
00 pi
i retrasa respecto e
4
T C' ' ' e min/max 0e
2
4
T
i min/max 0i
es
decir 0q
Mediante la notacin yx' nos referimos al punto opuesto
a x en la circunferencia con centro en y ; as, por
ejemplo C'' .
Tabla 3: Posiciones instantneas de los fasores sR, sL y sRL enun circuito RL paralelo
t Rs Ls RLs Descripcin
0 00 eqp
' 00 pi
i retrasa respecto e
4
T C' e min/max 0e
2 ver
CG
ver
CG
4
T
' i min/max 0i
es
decir 0q
Circuito RL paralelo
En un circuito RL paralelo equivalente a un circuito RL
serie tendremos exactamente la misma construccin
geomtrica (circunferencias, intersecciones), pero los
CPOs sL y sR son recorridos de modo distinto (distintas
relaciones de fase y distintas coincidencias). Esta es la
caracterstica que vamos a explorar ahora y cuyos
8/8/2019 analisis fasorial
6/7
resultados se ilustran en la Figura 4 y se recogen en las
Tablas 2 y 3.
R
eeies
RR
** y
RLLs
L
Rjies
* son claramente
perpendiculares. Definiendo ahora PssR
aux
R2 y
PssRL
aux
RL2 vamos a ver que aux
RLs ,
aux
Rs y
Ls son
paralelos entre si. Como Laux
R
aux
RL sss bastarcomprobar que
aux
Rs y Ls son paralelos. Retomando
ahora la ecuacin (2) ponemos 0// Laux
RL
aux
Rssss
02Im * LR
sPs . El lector puede fcilmente
comprobar que esta igualdad se verifica. Estas relaciones
tienen una interpretacin grfica muy sencilla: los
extremos de los fasoresRL
s yR
s se encuentran sobre
una recta que pasa por el punto al tiempo que el fasor
Ls es paralelo a esta recta (vale decir tambin que el
segmentoLRL
ss es perpendicular a dicha recta). Estas
relaciones se muestran en la Figura 4.
Figura 4: Construccin Grfica de potencias instantneas paracircuitos RL serie y paralelo
Por no aumentar la complejidad del esquema no todos los
puntos recogidos en la Tabla 3 aparecen en la Figura 3.
Sin embargo todos pueden obtenerse fcilmente mediante
la mencionada construccin grfica (CG). Adems de las
indicadas existen otras relaciones importantes que el
lector interesado puede fcilmente encontrar; sealemospor ejemplo que ' (resp. ' ) corresponde tambin a la
interseccin del CPO sL (resp. sR) con la recta tangente al
CPO sRL por (resp. ).
4. Vectores espirales AC
Un vector espiral [7] es un nombre evocador para
designar a un fasor con exponente complejo el cual
permite tratar el clculo del rgimen transitorio de
circuitos AC exactamente del mismo modo que el clculo
del rgimen permanente. Aunque esta teora es
completamente general, aqu vamos a presentar
solamente el clculo para sistemas de 1 y 2 orden. La
idea encerrada por este mtodo queda bellamente captada
por el pasaje del mito de la caverna platnico citado al
principio: las cosas en este mundo (la realidad) parecen
complicadas porque son sombras, es decir, proyecciones
de objetos de otro mundo, ms simples.
Queremos integrar la siguiente ecuacin diferencial real
de segundo orden:
tFxxx oo cos222
(13)
con condiciones iniciales ox y ox , donde 0 .Podemos complexificar el problema definiendo: (1) la
variable compleja yjxz , tal que zx Re , dondey es una variable real de la que no vamos a ocuparnos y
(2) la constante compleja21 oo j .
Entonces puede fcilmente demostrarse que (13)
corresponde a la proyeccin real de la ecuacin
diferencial lineal (compleja) de primer orden:
tjeFzz 2 (14)
donde FF y cuya solucin general viene dada porla superposicin de la solucin de la ecuacin homognea
y de una solucin particular de la ecuacin completa:
tjt eBeAz conoo j
FB
2
222
(15)
en la que A es una constante compleja a determinar a
partir de las condiciones iniciales, es decir:
BAxo Re y BjAxo Re , donde tenemosen cuenta que los operadores proyeccin real y derivada
respecto del tiempo conmutan. La ecuacin (15) admite
una representacin grfica muy clara: el primer trminoes un fasor amortiguado, aperidico, que gira a la
velocidad angular21 od cayendo en espiral
hacia el origen. El segundo trmino es un fasor de
mdulo constante que gira con velocidad angular . En
caso de sobreamortiguamiento ( 1 ) d devieneimaginario puro y el vector espiral no girara.
Para resolver la ecuacin de primer orden:
tGxx cos21
(16)
podemos servirnos de las expresiones anteriores
poniendo 1 ,
1o y GjF
1 . Adems,
al ser en este caso real, la parte imaginaria de A que ha
quedado indeterminada, no influye en absoluto sobre z.
5. Propuesta de generalizacin para elrgimen transitorio. Ejemplos.
En esta seccin vamos a proponer y examinar
sumariamente una nueva definicin de )(tq (y por lo
tanto de )(ts ) vlida para el rgimen transitorio AC. Por
8/8/2019 analisis fasorial
7/7
un lado est claro que mientras el rgimen permanente
peridico no se instale la definicin que manejbamos
previamente: )4
()()(T
titutq no tiene sentido. Por
otro lado es evidente que la nueva definicin debe
reducirse a la primera en el rgimen peridico, el cual
todos los circuitos estables, amortiguados, acaban por
alcanzar tarde o temprano. Lo que nosotros proponemos
es escribir todava*
iuqjps peroreinterpretando ahora las cantidades complejas como
vectores espirales en el sentido de Yamamura. La parte
real de dicha ecuacin coincide naturalmente con el valor
del PAI, mientras que la parte imaginaria define el PRI.
Adems, en el rgimen peridico, permanente
recuperamos la definicin original.
Tomemos el ejemplo del circuito RL serie para el que
podemos escribir el vector espiral:
LjR
eEeAi
tjt
2
conR
L (17)
Adems disponemos de la condicin inicial
Z
EAio
2Re donde LjRZ , que
impone la continuidad de la corriente o dicho de forma
equivalente, la continuidad de )(tp . Queda claro
entonces que para sistemas de primer orden todava
disponemos de un grado de libertad (A2) para poder
garantizar la continuidad de )(tq . Si por ejemplo el
sistema parte del reposo en 0t podemos poner:
Z
EA
2
t
tj eeZ
Ei
2(18)
Por lo que acabamos de sealar debe quedar clarotambin que para sistemas de 2 orden no vamos a poder
garantizar en general la continuidad de )(tq . Este es un
aspecto que debe ser tratado con el mayor detalle y que
se presentar en otra publicacin. En la Figura 5
mostramos los vectores espirales de potencia transitorios
de la conexin del mismo circuito RL serie que se ha
estudiado en el rgimen permanente. Cabe destacar que
en 0t el sistema se encontraba desenergizado, por loque no puede cruzar el eje q inmediatamente. Para
cualquier combinacin de valores de los parmetros se
verifica que la rbita parte del origen del plano qp, esdecir hay continuidad de p y q.
6. Conclusiones
Se ha escrito y justificado una expresin para la potencia
reactiva instantnea en el rgimen AC permanente. Se ha
introducido la representacin fasorial de la potencia. Se
ha analizado la estructura de los diagramas de circuitos
de primer orden. Hemos recordado lo que son los
vectores espirales de Yamamura y por fin en base al
anlisis anterior hemos propuesto una expresin para la
potencia instantnea transitoria que resulta ser
extremadamente satisfactoria para circuitos de primer
orden. Su extensin a circuitos de orden superior debe ser
analizada con ms profundidad. Hemos introducido
herramientas grficas y analticas nuevas que creemos
pueden resultar tiles para el anlisis de circuitos en la
academia. Invitamos a todos los investigadores e
investigadoras a aplicarlas y a compartir sus experiencias.
Figura 5: Ejemplo de vectores espirales de potencia en el
rgimen transitorio AC de un circuito RL serie.
Referencias
[1] Charles Proteus Steinmetz, Lectures on Electrical
Engineering, Vol. I-III (Dover Phoenix Editions), Dover
Publications (2003)
[2] H. Akagi et al., Instantaneous reactive power
compensators comprising switching devices without
energy storage components, IEEE Trans. Ind. Appl., 20,625-630 (1984)
[3] J.L. Willems, A new interpretation of the Akagi-
Nabae power components of nonsinusoidal three-phasesituations, IEEE Trans. Instrum. Meas., 41, 523-527
(1992)
[4] Fang Zheng Peng et al, Generalized instantaneous
reactive power theory for three phase power systems,
IEEE Trans. Instrum. Meas., 45, 293-297 (1996)
[5] David Hestenes, New Foundations for Classical
Mechanics, Reidel Publishing Co, (1986)
[6] Jesus Fraile Mora, Electromagnetismo y circuitos
elctricos (3 ed.), Universidad Politcnica de Madrid(1995)
[7] Sakae Yamamura, Spiral Vector Theory of AC
Circuits and Machines (Monographs in Electrical andElectronic Engineering, No 26), Clarendon Pr (1992)