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1
Módulo 1
ANÁLISIS MATEMÁTICO DE LA
OPTIMIZACIÓN
Copyright ©2005 by South-Western, a division of Thomson Learning. All rights reserved.
2
Matemática de la Optimización
• Muchas teorías económicas empiezan con el supuesto de que un agente económico quiere encontrar el valor óptimo de alguna función– consumidores buscan maximizar utilidad– empresas buscan maximizar utilidad
• Este capítulo introduce a las matemáticas que se emplean en estos problemas
3
Maximización de una función de una variable
• Ejemplo: Administrador de una firma desea maximizar beneficios
)(qf
= f(q)
Cantidad
*
q*
Utilidad máxima * ocurre en q*
4
Maximización de una función de una variable
• El admimistrador posiblemente intentará variar q para ver dónde se obtienen los beneficios máximos– un incremento de q1 a q2 produce un aumento en
= f(q)
Cantidad
*
q*
1
q1
2
q2
0q
5
Maximización de una función de una variable
• Si el producto se incrementa más alla de q*, las utilidades disminuirán– un incremento de q* a q3 conduce a una caída en
= f(q)
Cantidad
*
q*
0q
3
q3
6
Derivadas
• La derivada de = f(q) es el límite de /q para cambios muy pequeños en q
h
qfhqf
dq
df
dq
dh
)()(lim 11
0
• El valor de este ratio depende del valor de q1
7
Valor de una derivada en un punto
• La evaluación de la derivada en el punto q = q1 puede ser denotado
1qqdq
d
• En nuestros ejemplos previos,
01
qqdq
d0
3
qqdq
d0
*qqdq
d
8
Condición de primer orden para un máximo
• Para que una función de una variable to alcance su valor máximo en algún punto, la derivada en ese punto debe ser cero
0 *qq
dq
df
9
Condiciones de segundo orden• La condición de primer orden (d/dq) es una
condición necesaria para un máximo, pero no es una condición suficiente
Cantidad
*
q*
Si la función de utilidad tuviese forma de u, con la condición de primer orden se obtendría q* donde se minimizaría
10
Condiciones de segundo orden
• Esto puede significar que para que q* sea un óptimo,
* para 0 qqdq
d
y * para 0 qq
dq
d
• Por lo tanto, en q*, d/dq debe ser decreciente
11
Segundas derivadas
• La derivada de una derivada se denomina segunda derivada
• La segunda derivada puede denotarse por
)(" o o 2
2
2
2
qfdq
fd
dq
d
12
Condiciones de segundo orden
• La condición de segundo orden para un máximo (local) es
0)("*
*
2
2
qqqq
qfdq
d
13
Reglas para hallar derivadas
0 entonces constante, una es Si 1. dx
dbb
)(')]([
entonces constante, una es Si 2. xbfdx
xbfdb
1 entonces constante, es Si 3. bb
bxdx
dxb
xdx
xd 1ln 4.
14
Reglas para hallar derivadas
aaadx
da xx
constantecualquier para ln 5.
– un caso especial de esta regla es dex/dx = ex
15
Reglas para hallar derivadas
)(')(')]()([
6. xgxfdx
xgxfd
)()(')(')()]()([
7. xgxfxgxfdx
xgxfd
• Supongamos que f(x) y g(x) son dos funciones de x y f’(x) y g’(x) existe
• Entonces
16
Reglas para hallar derivadas
0)( que dado
)]([
)(')()()(')()(
8.2
xg
xg
xgxfxgxf
dx
xgxf
d
17
Reglas para hallar derivadas
dz
dg
dx
df
dz
dx
dx
dy
dz
dy 9.
• Si y = f(x) y x = g(z) y si existen f’(x) y g’(x), entonces:
• Se denomina la regla de la cadena. La regla de la cadena nos permite estudiar cómo una variable (z) afecta otra variable (y) a través de su influencia sobre alguna variable intermedia (x)
18
Reglas para hallar derivadas
axaxaxax
aeaedx
axd
axd
de
dx
de
)(
)( 10.
• Algunos ejemplos de la regla de la cadena incluyen
)ln()ln()(
)(
)][ln()][ln( 11. axaaax
dx
axd
axd
axd
dx
axd
xx
xdx
xd
xd
xd
dx
xd 22
1)(
)(
)][ln()][ln( 12.
2
2
2
22
19
Ejemplo de maximización de utilidad
• Suponga que la relación entre utilidad y producto es
= 1,000q - 5q2
• La condición de primer orden para un máximo es
d/dq = 1,000 - 10q = 0
q* = 100• Dado que la segunda derivada es siempre -10, q =
100 es un máximo global
20
Funciones de varias variables
• La mayoría de los objetivos de los agentes económicos dependen de varias variables
– existen trade-offs (disyuntivas)• La dependencia de una variable (y) sobre una serie
de otras variables (x1,x2,…,xn) se denota por
),...,,( nxxxfy 21
21
• La derivada parcial de y con respecto a x1 se denota por
Derivadas
111
o o o 1
ffx
f
x
yx
• Se entiende que al calcular una derivada parcial, todas las demás x’s se mantienen constantes
22
• Una definición más formal de la derivada parcial es
Derivadas parciales
h
xxxfxxhxf
x
f nn
hxx n
),...,,(),...,,(lim
2121
0,...,1 2
23
Calculando derivadas parciales
2122
2111
2221
2121
2
y 2
entonces ,),( If 1.
cxbxfx
f
bxaxfx
f
cxxbxaxxxfy
2121
21
22
11
21
y
entonces ,),( Si 2.
bxaxbxax
bxax
befx
faef
x
f
exxfy
24
Calculando derivadas parciales
22
211
1
2121
y
entonces ,lnln),( Si 3.
x
bf
x
f
x
af
x
f
xbxaxxfy
25
Derivadas parciales
• Las derivadas parciales son la expresión matemática del supuesto ceteris paribus – muestra cómo los cambios en una variable
afectan algunos resultados cuando otras influencias se mantienen constantes
26
Derivadas parciales
• Debemos tener en cuenta cómo están medidas las variables– Si q representa la cantidad de gasolina
demandada (medida en billones de litros) y p representa el precio en dólares por litro, entonces q/p medirá el cambio en la demanda (en billones de litros por año) para un cambio en el precio de un dólar por litro
27
Elasticidad• Las elasticidades miden el efecto
proporcional del cambio en una variable sobre otra
• La elasticidad de y con respecto a x es
y
x
x
y
y
x
x
y
xx
yy
e xy
,
28
Elasticidad y forma funcional• Suponga que
y = a + bx + otros términos
• En este caso,
bxa
xb
y
xb
y
x
x
ye xy ,
• ey,x no es constante
– es importante notar el punto en el cual la elasticidad va a ser computada
29
Elasticidad forma funcional
• Supongamos que
y = axb
• En este caso,
bax
xabx
y
x
x
ye
bb
xy
1,
30
Elasticidad y forma funcional
• Supongamos que
ln y = ln a + b ln x
• En este caso,
x
yb
y
x
x
ye xy ln
ln,
• Las elasticidades pueden calcularse a través de la diferenciación logarítmica
31
Derivada parcial de segundo-orden
• La derivada parcial de una derivada parcial se denomina derivada parcial de segundo-orden
ijijj
i fxx
f
x
xf
2)/(
32
Teorema de Young
• Bajo condiciones generales, no importa el orden en el cual se realiza la diferenciación parcial para evaluar las derivadas parciales de segundo orden
jiij ff
33
Uso de las parciales de segundo-orden
• Las parciales de segundo-orden juegan un papel importante en muchas teorías económicas
• Una de las más importantes es la parcial de segundo orden de la misma variable, fii
– muestra cómo la influencia marginal de xi sobre y (y/xi) cambia a medida que se incrementa xi
– un valor de fii < 0 indica rendimiento maginal decreciente
34
Diferencial total• Supongamos que y = f(x1,x2,…,xn)
• Si todas las x’s varían en una pequeña cantidad, el efecto total sobre y será
n
n
dxx
fdx
x
fdx
x
fdy
...2
2
1
1
nndxfdxfdxfdy ...2211
35
Condición de primer orden para un máximo (o mínimo)
• Una condición necesaria para un máximo (o mínimo) de la función f(x1,x2,…,xn) es que dy = 0 para cualquier combinación de cambios pequeños en las x’s
• La única forma de que esto sea cierto es si
0...21 nfff
• Un punto en el que esta condición se verifica se denomina punto crítico
36
Encontrar un máximo• Supongamos que y es una función de x1 y x2
y = - (x1 - 1)2 - (x2 - 2)2 + 10
y = - x12 + 2x1 - x2
2 + 4x2 + 5
• Condiciones de primer orden implican que
042
022
2
2
1
1
xx
y
xx
y
O2
1
2
1
*
*
x
x
37
Frontera de posibilidades de producción
• Ejemplo anterior: 2x2 + y2 = 225
• Puede re-escribirse: f(x,y) = 2x2 + y2 - 225 = 0
• Dado que fx = 4x y fy = 2y, la disyuntiva de coste de oportunidad entre x e y es
y
x
y
x
f
f
dx
dy
y
x 2
2
4
38
Teorema de la función implícita
• No siempre será posible resulver funciones implícitas de la forma g(x,y)=0 para funciones explícitas de la forma y = f(x)– los matemáticos han derivado las condiciones
necesarias– en muchas aplicaciones económicas, estas
condiciones son las mismas que las condiciones de segundo orden para un máximo (o mínimo)
39
El teorema de la envolvente
• El teorema de la envolvente considera cómo el valor óptimo de una función en particular cambia cuando un parámetro de esa función cambia
• La forma más simple de verlo es mediante un ejemplo
40
El teorema de la envolvente
• Supongamos que y es una función de x
y = -x2 + ax
• Para valores diferentes de a, esta función representa una familia de parábolas invertidas
• Si a a asignamos un valor específico, entonces y es una función de x solamente y el valor de x que maximiza y puede calcularse
41
El teorema de la envolvente
Valor de a Valor de x* Valor de y* 0 0 0 1 1/2 1/4 2 1 1 3 3/2 9/4 4 2 4 5 5/2 25/4 6 3 9
Valores óptimos de x e y para valores alternativos de a
42
El teorema de la envolvente
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0 1 2 3 4 5 6 7a
y*A medida que a aumenta,el valor máximo defor y (y*) se incrementa
La relación entre a e yes cuadrática
43
El teorema de la envolvente• Supongamos que estamos interesados en
cómo y* cambia a medida que a cambia
• Hay dos formas de hacer esto– calculamos la pendiente de y directamente– mantenemos x constante en su valor óptimo y
calculamos y/a directamente
44
El teorema de la envolvente• Para calcular la pendiente de la función,
debemos resolver para el valor óptimo de x para cualquier valor de a
dy/dx = -2x + a = 0
x* = a/2
• Sustituyendo, obtenemos
y* = -(x*)2 + a(x*) = -(a/2)2 + a(a/2)
y* = -a2/4 + a2/2 = a2/4
45
El teorema de la envolvente• Por lo tanto,
dy*/da = 2a/4 = a/2 = x*
• Pero, podemos ahorrar tiempo utilizando el teorema de la envolvente– Para cambios pequeños en a, dy*/da puede ser
computado manteniendo x en x* y calculando y/ a directamente de y
46
El teorema de la envolvente
y/ a = x
• Manteniendo x = x*
y/ a = x* = a/2
• Es el mismo resultado obtenido anteriormente
47
El teorema de la envolvente• El teorema de la envolvente afirma que el cambio
en el valor óptimo de una función con respecto a un parámetro de la función puede ser encontrado diferenciando parcialmente la función objectivo mientras se mantiene constante x (o varias x’s) en este valor óptimo
)}(*{*
axxa
y
da
dy
48
El teorema de la envolvente• El teorema de la envolvente puede extenderse al
caso donde y es una función de varias variablesy = f(x1,…xn,a)
• Encontrar un valor óptimo para y consistiría en resolver n ecuaciones de primer orden
y/xi = 0 (i = 1,…,n)
49
El teorema de la envolvente• Valores óptimos para estas x’s se determinarían
como una función de a
x1* = x1*(a)
x2* = x2*(a)
xn*= xn*(a)
.
.
.
50
El teorema de la envolvente• Sustituyendo en la función objectivo original
resulta en una expresión para el valor óptimo de y (y*)
y* = f [x1*(a), x2*(a),…,xn*(a),a]
• Diferenciando resulta
a
f
da
dx
x
f
da
dx
x
f
da
dx
x
f
da
dy n
n
...* 2
2
1
1
51
El teorema de la envolvente• Debido a las condiciones de primer orden, todos
los términos excepto f/a son iguales a cero si las x’s están en sus valores óptimos
• Por lo tanto,
)}(*{*
axxa
f
da
dy
52
Maximización restringida• ¿Qué ocurre si no son posibles todos los valores de
las x’s?– puede ser que todos los valores de x tengan que ser
positivos
– las elecciones de los consumidores están limitadas por la cantidad de poder adquisitivo disponible
• Un método para resolver problemas de maximización restringidas es el método del multiplicador Lagrangiano
53
Método del multiplicador Lagrangiano
• Supongamos que queremos encontrar los valores de x1, x2,…, xn que maximizan
y = f(x1, x2,…, xn)
sujeta a una restricción que permite utilizar sólo ciertos valores de las x’s
g(x1, x2,…, xn) = 0
54
Método del multiplicador Lagrangiano
• El método del multiplicador Lagrangiano comienza con la siguiente expresión
L = f(x1, x2,…, xn ) + g(x1, x2,…, xn)
donde es una variable adicional denominada multiplicador de Lagrange
• Cuando la restricción se mantiene, L = f porque g(x1, x2,…, xn) = 0
55
Método del multiplicador Lagrangiano
• Condiciones de primer orden
L/x1 = f1 + g1 = 0
L/x2 = f2 + g2 = 0
.
L/xn = fn + gn = 0
.
.
L/ = g(x1, x2,…, xn) = 0
56
Método del multiplicador Lagrangiano
• Generalmente las condiciones de primer orden pueden resolverse para x1, x2,…, xn y
• La solución tendrá dos propiedades:– las x’s cumplirán con la restricción– estas x’s harán del valor de L (y por lo tanto de
f) tan grande como sea posible
57
Método del multiplicador Lagrangiano
• El multiplicador Lagrangiano () tiene una importante interpretación económica
• Las condiciones de primer orden implican que
f1/-g1 = f2/-g2 =…= fn/-gn = – los numeradores miden el beneficio marginal que una
unidad más de xi tendrán para la función f
– los denominadores reflejan la carga agregada sobre la restricción de utilizar más xi
58
Método del multiplicador Lagrangiano
• En las elecciones óptimas para las x’s, el ratio del beneficio marginal de incrementar xi y el coste marginal de incrementar xi sería el mismo para cada x
es el ratio común de coste-beneficio para todas las x’s
i
i
x
x
de marginal coste
de marginal beneficio
59
Método del multiplicador Lagrangiano
• Si se relajase la restricción en una pequeña cantidad, no importaría que x está cambiando
• El multiplicador Lagrangiano provee una medida de cómo la relajación dela restricción afectaría el valor de y
provee un “precio sombra” para la restricción
60
Método del multiplicador Lagrangiano
• Un valor alto de indica que y puede incrementarse sustancialmente relajando la restricción– cada x tiene un alto ratio coste-benecio
• Un valor bajo de indica que no hay mucho que ganar al relajar la restricción
=0 implica que la restricción no es vinculante (cambiando la restricción no cambia la solución óptima)
61
Dualidad
• Cualquier problema de maximización restringida está vinculado con un problema dual de minimización restringida que enfoca la atención sobre las restricciones del problema original
62
Dualidad• Individuos que maximizan su utilidad sujeta a una
restricción presupuestaria– problema dual: los individuos minimizan el gasto
necesario para lograr un nivel dado de utilidad
• Las firmas minimizan el coste de los insunmos para producir un nivel dado de producto– problema dual: las firmas maximizan el producto para
costes de insumos adquiridos
63
Maximización restringida• Supongamos que un agricultor tiene cierta
extensión de valla (P) y desea encerrar la forma rectangular más grande posible
• Denotemos x como la extensión de un lado
• Denotemos y como la extensión del otro lado
• Problema: escoger x e y tal que se maximiza el área (A = x·y) sujeta a la restricción de que el perímetro es fijo en P = 2x + 2y
64
Maximización restringida• Configurando el multiplicador Lagrangiano
L = x·y + (P - 2x - 2y)
• Las condiciones de primer orden para un máximo son
L/x = y - 2 = 0
L/y = x - 2 = 0
L/ = P - 2x - 2y = 0
65
Maximización restringida• Dado que y/2 = x/2 = , x debe ser igual a y
– el campo sería cuadrado
– x e y serían escogidos tal que el ratio de beneficios marginales y costes marginales serían iguales
• Dado que x = y e y = 2, podemos utilizar la restricción para mostrar que
x = y = P/4
= P/8
66
Maximización restringida• Interpretación del multiplicador de Lagrange
– si el agricultor estuviese interesado en conocer qué campo adicional puede tener valla agregando un metro adicional de valla, sugiere que puede saberlo dividiendo el perímetro presente (P) por 8
– por lo tanto, el multiplicador Lagrangiano provee información acerca del valor implícito de la restricción
67
Maximización restringida• Problema dual: escoger x e y para minimizar la
cantidad de valla requirida para rodear el campo
minimizar P = 2x + 2y sujeta a A = x·y
• Configurando el Lagrangiano:
LD = 2x + 2y + D(A - xy)
68
Maximización restringida• Conditiones de primer orden:
LD/x = 2 - D·y = 0
LD/y = 2 - D·x = 0
LD/D = A - x·y = 0
• Resolviendo, tenemos
x = y = A1/2
• El multiplicador Lagrangiano (D) = 2A-1/2
69
Teorema de la envolvente & maximización restringida
• Supongamos que queremos maximizar
y = f(x1,…,xn;a)
sujeta a la restricción
g(x1,…,xn;a) = 0
• Una forma de resolver sería fijando la expresión para el Lagrangiano y resolver las condiciones de primer orden
70
Teorema de la envolvente & Maximización restringida
• Alternativamente, puede demostrarse que
dy*/da = L/a(x1*,…,xn*;a)
• El cambio en el valor máximo de y que resulta cuando a cambia puede encontrarse diferenciando parcialmente L y evaluando la derivada parcial en el punto óptimo
71
Restricciones con desigualdad
• En algunos problemas económicos no necesitamos que las restricciones se cumplan exactamente
• Por ejemplo, supongamos que buscamos maximizar y = f(x1,x2) sujeta a
g(x1,x2) 0,
x1 0, and
x2 0
72
Restricciones con desigualdad
• Una forma de resolver este problema es introduciendo tres nuevas variables (a, b, y c) que convierte las desigualdades en igualdades
• Para asegurar que se cumplen las desigualdades, elevamos al cuadrado estas nuevas variables para asegurar que sus valores son positivos
73
Restricciones con desigualdad
g(x1,x2) - a2 = 0;
x1 - b2 = 0; and
x2 - c2 = 0
• Cualquier solución que obedece estas tres restricciones de igualdad también cumplirán con las restricciones de desigualdad
74
Restricciones de desigualdad• Podemos establecer el siguente
Lagrangiano
L = f(x1,x2) + 1[g(x1,x2) - a2] + 2[x1 - b2] + 3[x2 -
c2]
• Con lo cual obtendremos ocho condiciones de primer orden
75
Restricciones de desigualdad
L/x1 = f1 + 1g1 + 2 = 0
L/x2 = f1 + 1g2 + 3 = 0
L/a = -2a1 = 0
L/b = -2b2 = 0
L/c = -2c3 = 0
L/1 = g(x1,x2) - a2 = 0
L/2 = x1 - b2 = 0
L/3 = x2 - c2 = 0
76
Restricciones de desigualdad• De acuerdo con la tercera condición, ya sea a o 1 =
0– si a = 0, la restricción g(x1,x2) se cumple exactamente
– si 1 = 0, la disponibilidad de alguna holgura de la restricción implica que su valor para la función objetivo es 0
• Similares relaciones de complementariedad de holguras (formadas por el conjunto de las restricciones de menor o igual multiplicadas por su correspondiente ) también se cumplen para x1 y x2
77
Restricciones de desigualdad
• A estos resultados se los conoce como las condiciones de Kuhn-Tucker– muestran que las soluciones para problemas de
optimización que involucran a restricciones con desigualdades diferirán de problemas similares que involucran restricciones con igualdades
– no podemos equivocarnos trabajando principalmente con restricciones con igualdades, hay que considerar las desigualdades
78
Condiciones de segundo orden – funciones de una variable
• Denotemos y = f(x)
• Una condición necesaria para un máximo es que
dy/dx = f ’(x) = 0
• Para asegurar que el punto es un máximo, y debe ser decreciente para los movimientos fuera de él
79
Condiciones de segundo orden- funciones de una variable
• La diferencial total mide el cambio en y
dy = f ’(x) dx
• Para estar en un máximo, dy debe ser decreciente para incrementos pequeños en x
• Para ver los cambios en dy, debemos utilizar la segunda derivada de y
80
Condiciones de segundo orden – funciones de una variable
• Notemos que d 2y < 0 implica que f ’’(x)dx2 < 0
• Dado que dx2 debe ser positivo, f ’’(x) < 0
• Esto significa que la función f debe tener una forma cócava en el punto crítico
22 )(")("])('[
dxxfdxdxxfdxdx
dxxfdyd
81
Condiciones de segundo orden – funciones de dos variables
• Supongamos que y = f(x1, x2)
• Las condiciones de primer orden para un máximo son
y/x1 = f1 = 0
y/x2 = f2 = 0
• Para asegurar que el punto es un máximo, y debe disminuir para movimientos en cualquier dirección fuera del punto crítico
82
Condiciones de segundo orden – funciones de dos variables
• La pendiente en la dirección x1 (f1) debe ser decreciente en el punto crítico
• La pendiente en la dirección x2 (f2) debe ser decreciente en el punto crítico
• Pero, se deben establecer condiciones sobre las derivadas parciales cruzadas (f12 = f21) para asegurar que dy es decreciente para todos los movimientos a través del punto crítico
83
Condiciones de segundo orden – funciones de dos variables
• La diferencial total de y está dado por
dy = f1 dx1 + f2 dx2
• La diferencial de esta función es
d 2y = (f11dx1 + f12dx2)dx1 + (f21dx1 + f22dx2)dx2
d 2y = f11dx12 + f12dx2dx1 + f21dx1 dx2 + f22dx2
2
• Por el teorema de Young, f12 = f21 y
d 2y = f11dx12 + 2f12dx1dx2 + f22dx2
2
84
Condiciones de segundo orden- funciones de dos variables
d 2y = f11dx12 + 2f12dx1dx2 + f22dx2
2
• Para que esta ecuación sea indefectiblemente negativa para cualquier cambio en las x’s, f11 y f22 deben ser negativas
• Si dx2 = 0, entonces d 2y = f11 dx12
– para d 2y < 0, f11 < 0
• Si dx1 = 0, entonces d 2y = f22 dx22
– para d 2y < 0, f22 < 0
85
Condiciones de segundo orden – funciones de dos variables
d 2y = f11dx12 + 2f12dx1dx2 + f22dx2
2
• Si ni dx1 o dx2 son cero, entonces d 2y será sin
ambigüedad negativo sólo si
f11 f22 - f122 > 0
– las derivadas parciales de segundo orden (f11 y f22)
deben ser suficientemente negativas tal que compensan cualquier tipo de efectos contratio de las derivadas parciales cruzadas (f12 = f21)
86
Maximización restringida
• Supongamos que queremos escoger x1 y x2 para maximizar
y = f(x1, x2)
• Sujeta a la restricción linearc - b1x1 - b2x2 = 0
• Podemos establecer el Lagrangiano
L = f(x1, x2) + (c - b1x1 - b2x2)
87
Maximización restringida
• Las condiciones de primer orden son
f1 - b1 = 0
f2 - b2 = 0
c - b1x1 - b2x2 = 0
• Para asegurar que tenemos un máximo, debemos usar la diferencial total de “segundo” orden
d 2y = f11dx12 + 2f12dx1dx2 + f22dx2
2
88
Maximización restringida• Sólo los valores de x1 y x2 que satisfacen la
restricción pueden ser consideradas como alternativas válidas para el punto crítico
• Por ello, debemos calcular la diferencial total de la restricción
-b1 dx1 - b2 dx2 = 0
dx2 = -(b1/b2)dx1
• Estos son los cambios relativos permitidos en x1 y x2
89
Maximización restringida• Debido a las condiciones de primer orden que
implican que f1/f2 = b1/b2, podemos sustituir y obtener
dx2 = -(f1/f2) dx1
• Dado
d 2y = f11dx12 + 2f12dx1dx2 + f22dx2
2
podemos sustituir dx2 y tenemos
d 2y = f11dx12 - 2f12(f1/f2)dx1
2 + f22(f12/f2
2)dx12
90
Maximización restringida• Combinando términos y reordenando
d 2y = f11 f22
- 2f12f1f2 + f22f12 [dx1
2/ f22]
• Por lo tanto, para d 2y < 0, debe ser cierto que
f11 f22
- 2f12f1f2 + f22f12 < 0
• Esta ecuación caracteriza un conjunto de funciones denominadas funciones cuasi-cóncavas– cualquier par de puntos dentro del conjunto puede formar
una línea introducida completamente en el conjunto
91
Funciones cóncavas y cuasi-cóncavas
• Las diferencias entre las funciones cóncavas y cuasi-cóncavas pueden ilustrarse con la función
y = f(x1,x2) = (x1x2)k
donde las x’s pueden tomar solamente valores positivos y k puede tomar una variedad de valores positivos
92
Funciones cóncavas y cuasi-cóncavas
• No importa que valores toma k, esta función es cuasi-cóncava
• Si la función es cóncava o no depende del valor de k– si k < 0.5, la función es cóncava– si k > 0.5, la función es convexa
93
Funciones homogéneas• Una función f(x1,x2,…xn) es homogénea de
grado k si
f(tx1,tx2,…txn) = tk f(x1,x2,…xn)
– cuando una función es homogénea de grado uno, duplicando todos los argumentos duplica el valor de la función
– cuando una función es homogéna de grado cero, duplicando todos los argumentos deja la función sin cambios
94
Funciones homogéneas
• Si una función es homogénea de grado k, las derivadas parciales de la función será homogénea de grado k-1
95
Teorema de Euler
• Si diferenciamos la definición de homogeneidad con respecto a la proporcionalidad del factor t, obtenemos
ktk-1f(x1,…,xn) x1f1(tx1,…,txn) + … + xnfn(x1,…,xn)
• Esta relación se denomina teorema de Euler
96
Teorema de Euler
• El teorema de Euler muestra que, para funciones homogéneas, hay una relación definida entre los valores de la función y los valores de sus derivadas parciales
97
Funciones homotéticas
• Una función homotética es una que se forma tomando una transformación monotónica de una función homogénea– no tienen las propiedades de homogeneidad de
sus funciones subyacentes
98
Funciones homotéticas
• Tanto para funciones homogéneas como para las homotéticas, las disyuntivas implícitas entre las variables en la función dependen solamente de los ratios de aquellas variables, no de sus valores absolutos
99
Funciones homotéticas• Supongamos que examinamos la función implícita
de dos variables f(x,y) = 0• La disyuntiva implícita entre x e y para una
función de dos variables
dy/dx = -fx/fy
• Si asumimos que f es homogénea de grado k, sus derivadas parciales serán homogéneas de grado k-1
100
Funciones homotéticas• La disyuntiva implícita entre x e y es
),(
),(
),(
),(1
1
tytxf
tytxf
tytxft
tytxft
dx
dy
y
x
yk
xk
• Si t = 1/y,
1,
1,
1,'
1,'
yx
f
yx
f
yx
fF
yx
fF
dx
dy
y
x
y
x
101
Funciones homotéticas
• La disyuntiva no está afectada por la transformación monotónica y permanece una función solamente del ratio x e y
102
Puntos importantes a considerar:
• Utilizando matemáticas tenemos una forma conveniente para que los economistas desarrollen sus modelos– las implicaciones de varios supuestos
económicos pueden estudiarse a través de herramientas matemáticas
103
Puntos importantes a considerar:
• Las derivadas se usan a menudo en economía porque los economistas están interesados en cómo los cambios marginales en una variable afectan a otras– las derivadas parciales incorporan el supuesto
ceteris paribus utilizando en muchos modelos económicos
104
Puntos importantes a considerar:
• Las matemáticas para optimización es una herramienta importante para el desarrollo de modelos que asumen que los agentes económicos racionalmente persiguen algunas metas– las condiciones de primer orden requieren
todas las derivadas parciales sean cero
105
Puntos importantes a considerar:
• La mayoría de los problemas de optimización económica involucran restricciones en las elecciones que los agentes pueden realizar– las condiciones de primer orden para un
máximo sugieren que cada actividad puede operar a un nivel en el cual el beneficio marginal de la actividad es igual a su coste marginal
106
Puntos importantes a considerar:
• El multiplicador Lagrangiano se emplea para ayudar a resolver problemas de maximization– el multiplicador Lagrangiano puede ser
interpretado como el valor implícito (precio sombra) de la restricción
107
Puntos importantes a considerar:
• El teorema de la función implícita ilustra la dependencia de las elecciones que resultan de un problema de optimización sobre los parámetros del problema
108
Puntos importantes a considerar:
• El teorema de la envolvente examina cómo las elecciones óptimas cambiarán a medida que cambia el parámetro del problema
• Algunos problemas de optimización pueden involucrar restricciones que son desigualdades antes que igualdades
109
Puntos importantes a considerar:
• Condiciones de primer orden son necesarias pero no suficientes para asegurar un máximo o un mínimo– las condiciones de segundo orden que
describen la curvatura de una función deben revisarse
110
Puntos importantes a considerar:
• Ciertos tipos de funciones ocurren en muchos problemas económicos– funciones cuasi-cóncavas obedecen las condiciones
de segundo orden de problemas de máximo o mínimo restringido donde las restricciones son lineales
– las funciones homotéticas tienen la propiedad de que las disyuntivas implícitas entre las variables dependen solamente de los ratios de estas variables