ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA MECÁNICA

CURSO: Dinámica II.

PROFESOR: Dr. Jorge A. Olortegui Yume, Ph.D. 

TEMA: Modelado de Vibraciones mecánicas. 

INTEGRANTES:

TRUJILLO – PERÚ2015

Castañeda Benítez Rony. Torres Aguilar Jean. Valderrama Pereyra Mike. Rosario Rodríguez Eric.

𝑥

MODELO VIBRATORIO TIPO BICICLETA DE UN VEHÍCULO CON MOVIMIENTO DE CABECEO

Para el sistema que observamos en la gráfica n°1 se nos pide determinar las ecuaciones de movimiento, las frecuencias naturales y los modos de vibración.

Para ello tenemos los parámetros observados que se describen en la siguientes tabla: PARAMETROS DESCRIPCIÓN𝑚 Masa de la mitad del vehículo.𝑚1 Masa de una rueda delantera.𝑚2 Masa de una rueda trasera.

Movimiento vertical del cuerpo.

1 Movimiento vertical de una rueda delantera.

2 Movimiento vertical de una rueda trasera.

Movimiento de cabeceo del vehículo.

1 Excitación de la carretera en la rueda delantera.

2 Excitación de la carretera en la rueda trasera.IY Momento de inercia lateral de la mitad del vehículo.a1 Distancia de C a partir del eje delantero.a2 Distancia de C a partir del eje trasero.

Este sistema se puede modelar asumiendo al vehículo como una barra rígida, con la masa m que equivale a la mitad de la masa del cuerpo completo y momento de inercia lateral .

Los resortes sobre las ruedas delantera y trasera tienen constantes de rigidez y respectivamente, y las constantes de amortiguamiento son y , respectivamente; mientras que las constantes de rigidez de los neumáticos delantero y trasero son y respectivamente.

Para formular las ecuaciones de movimiento del sistema utilizaremos la segunda ley de Newton, por lo que se necesita dibujar el Diagrama de Cuerpo Libre de las masas del sistema:

Al aplicar la segunda ley de Newton en los DCL’s podemos determinar las ecuaciones de movimiento del sistema, las cuales son como siguen:

 

 

 

Con las ecuaciones (1),(2),(3) y (4) podemos formar un sistema, el cual se puede reordenar de forma matricial de la siguiente forma:

Donde: 𝑀 �̈�+𝐶 �̇�+𝐾𝑋=𝐹

𝑋=[ 𝑥𝜃𝑥1𝑥2]𝑀=[𝑚 0 0 0

000

𝐼 𝑦00

0𝑚1

0

00𝑚2

]

𝐶=[ 𝑐1+𝑐2 𝑎2𝑐2−𝑎1𝑐1 −𝑐1 −𝑐2𝑎2𝑐2−𝑎1𝑐1−𝑐1−𝑐2

𝑐1𝑎12+𝑐2𝑎2

2

𝑎1𝑐1−𝑎2𝑐2

𝑎1𝑐1𝑐10

−𝑎2𝑐20𝑐2

]𝐾=[ 𝑘1+𝑘2 𝑎2𝑘2−𝑎1𝑘1 −𝑘1 −𝑘2

𝑎2𝑘2−𝑎1𝑘1−𝑘1−𝑘2

𝑘𝑎12+𝑘2𝑎2

2

𝑎1𝑘1−𝑎2𝑘2

𝑎1𝑘1𝑘1+𝑘𝑡 10

−𝑎2𝑘20

𝑘2+𝑘𝑡 2

]𝐹=[ 0

0𝑦 1𝑘𝑡1

𝑦2𝑘𝑡2]

Las frecuencias naturales y los modos de vibración de este sistema se pueden encontrar mediante las ecuaciones de vibración libre sin amortiguamiento.

𝑀 �̈�+𝐾𝑋=0Multiplicando por

𝐼 �̈�+𝑀−1𝐾𝑋=0Asumimos una solución de la forma , donde , reemplazamos y se obtiene

(𝑀−1𝐾−𝜔2 𝐼 ¿𝒖=0

Reordenando y asumiendo y

𝐴𝒖=𝜆𝒖Dónde:

: autovalores de : autovectores de

Para completar el análisis usaremos datos de entrada basados en modelos comerciales como por ejemplo un auto Lotus Elise con las siguientes características:

PARAMETROS Valor𝑚𝑚1𝑚2Iy1

2kk = k

Entonces:

Al ingresar los datos en las matrices tenemos:

𝑀=[ 455.5 0 0 0000

100000

0530

0076

]𝐾=[ 25000 7950 −10000 −15000

7950−10000−15000

5229414100−22050

14100350000

−220500

40000]

𝐴=𝑀−1𝐾=[ 54.8847 17.4533 −21.9539 −32.93087.9500

−188.6792−197.3684

52.2945266.0377−290.1316

14.1000660.3774

0

−22.05000

526.3158]

Los autovalores de A son:

Por lo tanto, las frecuencias naturales son:

Los autovectores de A, los cuales vienen a ser los modos de vibración, son:

Con las frecuencias naturales y los modos normales, podemos escribir una solución para como una combinación lineal de estos, es decir:

𝑋=𝒖1𝑒𝑖 𝜔𝑛1𝑡+𝒖2𝑒

𝑖𝜔 𝑛2 𝑡+𝒖3𝑒𝑖𝜔 𝑛3 𝑡+𝒖4𝑒

𝑖 𝜔𝑛4 𝑡

Entonces:

[ 0.6974−0.56000.4445−0.0500

]𝑒𝑖 (3.7419 ) 𝑡+[0.73080.41280.04520.5417

]𝑒𝑖 (4.1285𝑡 )𝑡

Por lo que tendríamos funciones de tiempo para cada una de las coordenadas de movimiento del sistema:

𝑥 (𝑡 )=0.0350𝑒𝑖 (0.0605 ) 𝑡−0.0672𝑒𝑖 (0.9936 ) 𝑡+0.6974𝑒𝑖 (3.7419 ) 𝑡+0.7308𝑒𝑖 (4.1285 ) 𝑡

𝜃 (𝑡 )=−0.0221𝑒𝑖 (0.0605 )𝑡−0.0452𝑒𝑖 (0.9936 ) 𝑡−0.5600𝑒𝑖 (3.7419 ) 𝑡+0.4128𝑒𝑖 (4.1285 ) 𝑡

𝑥1 (𝑡 )=−0.9991𝑒𝑖 (0.0605 ) 𝑡−0.0062𝑒𝑖 (0.9936 ) 𝑡+0.4445𝑒𝑖 (3.7419 )𝑡+0.0452𝑒𝑖 ( 4.1285 ) 𝑡

𝑥2 (𝑡 )=−0.0034𝑒𝑖 (0.0605 ) 𝑡+0.9967 𝑒𝑖 (0.9936 )𝑡−0.0500𝑒𝑖 ( 3.7419 ) 𝑡+0.5417𝑒𝑖 (4.1285 ) 𝑡

Utilizando la identidad:

𝑥 (𝑡 )

¿𝜃 (𝑡 )

¿𝑥1 (𝑡 )

¿𝑥2 (𝑡 )

Para cada una de las funciones de tiempo anteriores se puede construir una gráfica utilizando Matlab, donde se pueda hacer una comparación entre las frecuencias y amplitudes de vibración para cada coordenada de movimiento de los elementos del sistema.

De la gráfica podemos observar que la curva para es menos frecuente por lo que le corresponderá , a la curva de le corresponderá , a la curva de le corresponderá y a la curva de le corresponderá .

Consideremos que el vehículo en estudio se mueve sobre una carretera con baches con una aceleración muy pequeña. Al aumentar la velocidad, la primera resonancia ocurrirá en , la cual está relacionada con el movimiento de rotación del vehículo; la segunda resonancia ocurrirá en , relacionada con el movimiento vertical de una rueda delantera; la tercera resonancia ocurrirá en , relacionada con el movimiento vertical del cuerpo del automóvil; y finalmente, la cuarta resonancia ocurrirá en , la cual está relacionada con el movimiento vertical de una rueda trasera.