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UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA Sede Bogotá
ANÁLISIS POR CONFIABILIDAD DE ASENTAMIENTOS DE CIMIENTOS SUPERFICIALES
JORGE GIOVANY SUÁREZ PINILLA
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA FACULTAD DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA CIVIL Y AGRÍCOLA MAESTRÍA EN INGENIERÍA – GEOTECNIA
Bogotá D.C., 2017
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA Sede Bogotá
ANÁLISIS POR CONFIABILIDAD DE ASENTAMIENTOS DE CIMIENTOS SUPERFICIALES
Por: JORGE GIOVANY SUÁREZ PINILLA
Tesis presentada como requisito parcial para obtener el título de
Magister en Ingeniería – Geotecnia
Director: CARLOS EDUARDO RODRÍGUEZ PINEDA PhD.
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA FACULTAD DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA CIVIL Y AGRÍCOLA MAESTRÍA EN INGENIERÍA – GEOTECNIA
Bogotá D.C., 2017
________________________________________________________________________________
Para
Nataly
Mario Esteban y Victoria;
___________________
En esto no hay incertidumbre:
el inmenso amor que les tengo
_______________________________________________________________
AGRADECIMIENTOS
En medio de la rigurosidad científica que demanda un documento de tal naturaleza,
esta página de singular connotación brinda un valioso espacio para resaltar las
cualidades humanas y profesionales de aquellos que de diferente modo han
contribuido a la construcción de un conocimiento técnico y de un aprendizaje
personal, que también quedará impreso en tinta invisible en cada una de las hojas de
este trabajo.
En primer lugar y lejos de un discurso retórico, agradecezo al Dios de la Vida por la
oportunidad de encontrar tan excelentes compañeros y maestros en el desarrollo de
esta Maestría en Geotecnia, en una institución que siempre ha demandado de sus
estudiantes lo mejor de sí mismos.
A mis Padres y Hermanos, que en la distancia y en la cercanía siempre han tenido una
mano extendida y una voz de apoyo para los proyectos que he emprendido en cada
etapa de mi vida.
Al ingeniero Carlos Eduardo Rodríguez, quien en los cursos de pregrado y posgrado ha
mostrado siempre gran tenacidad y profundo compromiso en su vocación docente.
Igualmente a Gloria Beltrán y Guillermo Ávila, por sus valiosos aportes para la
consolidación de esta investigación.
Por último, saludo con sincera y enorme gratitud a todos mis compañeros y jefes de
trabajo por sus gestos de solidaridad, en los momentos en que más han sido
necesarios.
A todos, infinitas Gracias.
Análisis por confiabilidad de asentamientos de cimientos superficiales
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA Maestría en Ingeniería – Geotecnia
Tesis de Maestría Análisis por Confiabilidad de asentamientos de cimientos superficiales
Autor: Ing. Jorge Giovany Suárez Pinilla Director: PhD. Carlos Eduardo Rodríguez Pineda
RESUMEN
Con miras a realizar un análisis de confiabilidad de asentamientos de un cimiento
superficial, emplazado en un estrato de suelo de compresibilidad variable en la ciudad
de Bogotá, se determinó una función de comportamiento que finalmente depende de
dos variables consideradas como aleatorias. La información estadística requerida para
tal propósito, proviene de otras investigaciones sobre las propiedades de
compresibilidad del terreno en esta ciudad. Con cuatro diferentes modelos de
simulación se evalúa el promedio y el coeficiente de variación del asentamiento
esperado por consolidación, y se compara la respuesta de los modelos con la
variabilidad de los datos de entrada. Asimismo, es posible realizar conjeturas sobre la
distribución de probabilidad que mejor se ajusta a los resultados obtenidos. Por
último, en una hoja de cálculo de Excel, se crea una rutina para efectuar este tipo de
análisis con otras configuraciones de carga y geometría del cimiento. A partir de estas
consideraciones, se calcula la probabilidad de falla para los asentamientos esperados.
Palabras Clave: asentamientos, consolidación, confiabilidad, Taylor, Estimativos
Puntuales, Monte Carlo
Análisis por confiabilidad de asentamientos de cimientos superficiales
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA
Engineering Master Program – Geotechnics
Master Degree Thesis Análisis por Confiabilidad de asentamientos de cimientos superficiales
Author: Ing. Jorge Giovany Suárez Pinilla Director: PhD. Carlos Eduardo Rodríguez Pineda
ABSTRACT
In order to perform a reliability analysis in settlements of an isolated footing founded
on a soil layer with variable compressibility in Bogota City, a two-dependent variables
performance function was defined. Statistical data demanded for that purpose, come
from other research about soil deformability properties in this town. Mean and
coefficient of variation of expected consolidation settlement were assessed through
four several models and the results are compared to variability of input data. At the
same time, conjectures on the best fit for the probability density function can be done.
Finally, in an Excel spreadsheet, a routine for realizing this sort of analysis with
different load and geometry setup was designed. From these considerations, the
probability of failure for the expected settlement is calculated.
Keywords: settlements, consolidation, reliability, Taylor, Estimate Points, Monte
Carlo
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Análisis por confiabilidad de asentamientos
de cimientos superficiales
Introducción
Desde mediados del siglo XX, la inclusión de las teorías probabilísticas en
situaciones de análisis y diseño en la ingeniería geotécnica se ha tornado una
actividad más común y de mayor relevancia. Sin menospreciar los grandes avances
alcanzados a partir del enfoque determinístico, el uso de la probabilidad abre
definitivamente un amplio espectro de opciones que permiten al cuerpo de ingenieros
a cargo de un proyecto tener más alternativas a la hora de tomar decisiones, y permite
encontrar un equilibrio apropiado entre costos, viabilidad técnica y operativa, y
ciertamente la seguridad.
Es en ese sentido que la introducción de conceptos más desarrollados como la
determinación del margen de seguridad y la probabilidad de falla, a partir del análisis
estadístico de variables aleatorias, y no la sola definición de un factor de seguridad
por encima de uno (1.0), ha de ser un elemento ineludible y objeto de la mayor
atención a la hora de construir un modelo geológico – geotécnico para la solución de
un problema en esta rama de la ingeniería civil.
Así pues, el tipo de proyectos de investigación como el que aquí se desarrolla,
sigue la tendencia a abordar algunos problemas específicos de la geotecnia a partir de
un enfoque probabilístico, incorporando las herramientas de análisis que brinda la
estadística. En este caso en particular, se continuará con los valiosos trabajos
desarrollados anteriormente en la Universidad Nacional Sede Bogotá (García, 2008 y
Alarcón et Al, 2007) sobre la caracterización probabilística de sus depósitos de suelo,
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que en algunos casos ya alcanzan a esbozar un análisis por confiabilidad de los
asentamientos esperados una vez zonificado el campus universitario.
Avanzando un paso más en esta dirección, es necesario presentar rutinas
sistematizadas que permitan llevar a cabo de forma eficiente un análisis de
confiabilidad (en este caso en particular para deformaciones del terreno) que incluyan
diferentes métodos de simulación (Series de Taylor, Estimativos Puntuales y Método
de Monte Carlo) para condiciones de carga y geometría regulares en un cimiento
superficial. De esta manera se podrá aprovechar, de la mejor forma, la vasta
información ya recolectada y analizada en estudios anteriores y presentar a la
comunidad académica conclusiones para un escenario real y propio de la sabana,
evitando echar mano de valores propuestos en la literatura para condiciones
geológicas y geotécnicas posiblemente muy diferentes a las que encontramos en
nuestro entorno local.
Teniendo en cuenta estas vicisitudes, en este trabajo se plantearon los
siguientes objetivos:
- Como principal finalidad, generar una herramienta de cálculo que brinde los
elementos necesarios para estimar la probabilidad de ocurrencia de diferentes niveles
de asentamiento, para un cimiento superficial con una configuración de geometría y
carga determinados.
- Para cumplir cabalmente con el propósito mencionado, definir una adecuada
función de comportamiento para la evaluación de los asentamientos por
consolidación –S(c)- que en este caso resultará dependiente de dos variables
aleatorias: la relación de vacíos y el índice de recompresión del suelo. El perfil
propuesto del terreno estará dividido en dos estratos, lo cual conducirá a contemplar
un total de cuatro variables aleatorias en todo el estudio.
- Una vez construida la ecuación de comportamiento, asignar funciones de
probabilidad a los cuatro parámetros geotécnicos que se asumieron como variables
aleatorias, y que orientarán también la función de probabilidad de S(c).
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- Habiendo definido claramente los elementos anteriores, crear un algoritmo para ser
implementado en una hoja de cálculo Excel, y que permitirá obtener la evaluación
numérica de un margen de seguridad y una probabilidad de falla para diversos niveles
de asentamientos, a través de la aplicación de cuatro modelos de simulación. A saber:
o Series de Taylor (Métodos de primer y segundo orden)
o Estimativos puntuales
o Monte Carlo (M.C.S.)
- Como producto de las actividades mencionadas previamente, determinar la función
de probabilidad que mejor se ajuste al comportamiento de la función definida como
S(c). Esta elección definirá en consecuencia el cálculo de la probabilidad de falla del
sistema, teniendo como rasero la normativa dispuesta en la NSR-10.
En particular para el modelo M.C.S., es fundamental la escogencia de las funciones de
probabilidad para la generación de los miles de números aleatorios que alimentarán el
procedimiento. Con la gran diversidad de resultados obtenidos de las cuatro técnicas
de simulación expuestas, se plantean las conclusiones pertinentes sobre el
comportamiento aleatorio que presenta el asentamiento por consolidación para la
profundidad y cargas definidas en el modelo de estudio. La herramienta
computacional, como se ha dicho, diseñada en Excel, brinda la oportunidad de
recorrer cada uno de los pasos desarrollados en el análisis por confiabilidad y por su
estructura, permite ingresar otros conjuntos de datos para hacer análisis semejantes
pero con valores de entrada diferentes a los presentados en este documento.
Análisis por confiabilidad de asentamientos de cimientos superficiales
1
Capítulo Uno
Incertidumbre y confiabilidad en la ingeniería geotécnica.
La ingeniería geotécnica, entendida como aquella rama de la ingeniería civil
que aplica toda su tecnología y conocimiento al estudio y uso como material de
construcción del suelo, afronta el enorme reto de trabajar con materiales de
comportamiento anisotrópico, no lineal, no conservativo y con una enorme
variabilidad y heterogeneidad en sus depósitos naturales (Holtz et Al, 2011). Por tal
razón, desde mediados del siglo pasado, y fuertemente influenciados por los primeros
progresos realizados en el campo de la ingeniería estructural, empezaron a volverse
más comunes los análisis probabilísticos y de riesgo1 en la práctica geotécnica,
especialmente motivados por desastres ocurridos en algunas construcciones civiles de
gran dimensión (Baecher & Christian, 2003).
Sin embargo, al adentrarse en este nuevo enfoque dado al tratamiento de los
materiales térreos, salen a flote una serie de términos que posiblemente son usados a
diario indistintamente, tales como incertidumbre, aleatoriedad, variabilidad y
confiabilidad.
Con este marco de referencia, y para dar claridad a algunos de los conceptos
mencionados anteriormente, se da inicio a este capítulo que de forma sintética
mostrará los elementos conceptuales que fundamentan un análisis por confiabilidad
en ingeniería.
1.1 Variabilidad, aleatoriedad e incertidumbre
En la práctica geotécnica, especialmente en cuanto a caracterización del
subsuelo y diseño de las estructuras se refiere, se hace evidente la marcada influencia
1 Análisis de Riesgo: de acuerdo con la Ley 1523 de 2012, el análisis de riesgo implica la consideración de las causas y
fuentes de riesgo, sus consecuencias y la probabilidad de que dichas consecuencias puedan ocurrir, mediante la relación cualitativa, semicuantitativa o cuantitativa de la amenaza y la vulnerabilidad, con el fin de determinar los posibles efectos sociales, económicos y ambientales, y sus probabilidades. Tomado de Guía Metodológica para estudios de amenaza, vulnerabilidad y riesgo por movimientos en masa. Servicio Geológico Colombiano, mayo 2015.
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2
que tiene la variabilidad –variability- de los materiales a toda escala, es decir, la
variación inherente de sus propiedades mecánicas respecto al tiempo y al espacio: por
consiguiente y dado el carácter de impredecible que se le da a este conjunto de
situaciones, se habla de fenómenos o comportamientos aleatorios –randomness-
(Christian and Baecher, 2003). Esta condición natural, que es que es la manifestación
observable de la heterogeneidad en los parámetros y procesos del suelo, se representa
cualitativa y cuantitativamente por medio de la incertidumbre –uncertainty-, que
refleja de alguna manera el modo en que los investigadores tratan de modelar la
variabilidad propia de los materiales térreos (Uzielli, 2007); se concluye entonces que
la incertidumbre no tiene el carácter de impredecible, sino más bien de
desconocimiento o falto de verificación. A manera de ejemplo, realizando un contraste
entre la fuerte heterogeneidad del subsuelo y su caracterización, se observa que hay
una fuerte variabilidad en toda escala de investigación, espacial y temporalmente, que
conduce insoslayablemente a una enorme variación en los parámetros medidos y en
los que son calculados a partir de ellos. Por eso cabe la pregunta, ¿es confiable la
caracterización geotécnica? (Uzielli, 2008)
1.2 Fuentes y tipos de incertidumbre
Luego de revisar una terminología básica, vale la pena discriminar las que son
consideradas fuentes de incertidumbre en un análisis geotécnico, y la estrecha
relación que guardan entre sí en cuanto al carácter aleatorio de las propiedades del
suelo y su medición en campo o laboratorio. Con este fin, la figura 1.1 categoriza tres
orígenes de incertidumbre claramente distinguibles, a saber: la variabilidad propia de
la naturaleza del suelo -debido a los procesos geológicos que lo originaron-, la
incertidumbre en la medición de los diversos parámetros en el terreno -incrementada
sustancialmente por el limitado número de ensayos- y por último, el modelo adoptado
en el diseño, que incluye aspectos tan importantes como el uso de ecuaciones
empíricas y la estimación de las propiedades del suelo.
Análisis por confiabilidad de asentamientos de cimientos superficiales
3
Figura 1.1 Fuentes de incertidumbre en un análisis geotécnico (Adaptado de Kulhawy, 1992)
Adicionalmente, en la literatura especializada se habla de los tipos de
incertidumbre asociados con esta rama de la ingeniería. Generalmente se coloca en
primer lugar la incertidumbre aleatoria, atribuida a la variabilidad natural; por otro
lado, la incertidumbre epistémica, generada por un conocimiento científico imperfecto
y finalmente la incertidumbre debida al error humano. La figura 1.2 es muy explícita
en cuanto a esta clasificación, dada para un análisis de riesgo
Figura 1.2 Tipos de incertidumbre involucrados en un análisis de riesgo (Adaptado de Christian y Baecher, 2003)
Análisis por confiabilidad de asentamientos de cimientos superficiales
4
Como elemento adicional a la terminología introducida previamente, aparece
en esta clasificación un tipo de incertidumbre debida al modelo de decisión. Según lo
refieren Christian y Baecher (2008), este elemento tiene que ver con la verosimilitud
del modelo o diseño propuesto en comparación con las características físicas y reales
de la situación que se pretende simular. De hecho, incluye situaciones tan especiales
como la acogida o rechazo de una población a los proyectados implementados y la
relación beneficio-costo-tiempo de impacto de las obras ejecutadas. Como es de
esperar, este tipo de consideraciones no son fáciles de evaluar y merecen aún una
profunda investigación.
Para finalizar este apartado, se presenta en la figura 1.3 una clasificación
alternativa de los tipos de incertidumbre, ejemplificando el diseño de una excavación
en un macizo rocoso.
Tipo Descripción Ejemplo: estabilidad de macizos rocosos
1 Riesgo de encontrarse con una condición geológica desconocida.
Estructuras desconocidas o zonas débiles. Presencia inesperada de agua.
2 Riesgo de utilizar criterios geotécnicos equivocados.
No se identifica correctamente el mecanismo de falla. Se aplica el modelo numérico inapropiado.
3
La variación en el parámetro de diseño es mayor de lo estimado.
Se subestiman las propiedades de variabilidad de los materiales. Limitada comprensión de separación y longitud de diaclasas.
4 Error humano. Limitada calidad de los datos recogidos.
5 Cambios en el diseño. Limitada planificación que origina un rediseño. Cambios de diseño realizados en el campo sin consulta.
6 Diseño ultra conservador. Asumir toda una excavación con cuñas. Aplicar factores de seguridad muy altos en todas las etapas del diseño.
Tabla 1.1 Tipos de incertidumbre en el diseño geotécnico (McMahon, 1985)
1.3 La confiabilidad como estrategia para tratar la incertidumbre
Al ser conscientes de la variabilidad latente en toda actividad ingenieril, es
necesario recurrir a una disciplina que enseñe cómo razonar de manera lógica y a
tomar decisiones informadas en presencia de la variabilidad y la incertidumbre,
puesto que sin estas dos últimas, se conocería toda la información que se desea con
una sola observación (Devore, 2005). Así pues, es menester acudir a la estadística
Análisis por confiabilidad de asentamientos de cimientos superficiales
5
inferencial para analizar, interpretar y presentar de forma apropiada los datos
recolectados en campo, laboratorio u otras fuentes de información secundaria. Este
análisis inferencial, conformado en parte por la construcción de histogramas y la
determinación de momentos estadísticos, ayudarán a la selección de unas
distribuciones de probabilidad que tratarán de modelar el comportamiento aleatorio
de los materiales y sus propiedades, con el fin último de garantizar la seguridad de las
estructuras; esta serie de premisas confluyen en lo que se conoce como confiablidad –
reliability- en ingeniería (Kaggwa et al, 2002).
Lógicamente, debido a la cantidad de conceptos probabilísticos inmersos en
este contexto, estas nociones se desarrollarán profusamente a lo largo de los Capítulos
dos y tres. Por ahora, resulta oportuno indicar los componentes fundamentales de un
estudio basado en confiablidad, tal y como lo presenta la figura 1.4.
Figura 1.3 Procesos y elementos que conforman un análisis por confiabilidad (Adaptado de Uzielli, 2008)
En suma, esta estrategia para el manejo de la incertidumbre en los problemas
relacionados con el suelo, induce a una mejor evaluación del comportamiento y la
sensibilidad de los parámetros geotécnicos planteados en el diseño de una estructura;
Análisis por confiabilidad de asentamientos de cimientos superficiales
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precisamente, en este documento de investigación, dicha estrategia estará enfocada al
análisis de asentamientos en un estrato compresible, a partir de la definición de
variables aleatorias, importantísimo término con cuya definición iniciará el segundo
capítulo. Por eso, para terminar esta sección, se trae a colación un procedimiento
propuesto por Uzielli (2008) sobre los retos que afronta el ingeniero geotécnico, en
presencia de la enorme variabilidad de los parámetros con que debe trabajar a diario
en su quehacer profesional.
Figura 1.4 Estrategias para el manejo de la variabilidad en geotecnia (Adaptado de UZIELLI, 2008)
Análisis por confiabilidad de asentamientos de cimientos superficiales
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Capítulo Dos
Conceptos de probabilidad empleados en un Análisis por Confiabilidad
En el estudio probabilístico de un problema geotécnico, los parámetros del
suelo involucrados deben tratarse como variables aleatorias. Este concepto de
variable aleatoria es fundamental en el desarrollo de un análisis por confiabilidad; por
tal razón, este capítulo iniciará con su definición y características, las cuales se
describirán sucintamente junto con unas funciones especiales que permiten su
manejo e interpretación: la función de densidad de probabilidad y la función de
distribución acumulada. Para lograr echar mano de estas herramientas estadísticas
tan poderosas, es necesario hacer una breve revisión de ciertos conceptos básicos de
estadística y probabilidad, los cuales se presentarán acompañados de algunos
ejemplos alusivos a situaciones comunes en la ingeniería geotécnica. Estos elementos
serán el principal insumo para afrontar el problema objetivo de esta investigación:
evaluar mediante algunas técnicas sofisticadas la incertidumbre en el cálculo de los
asentamientos por consolidación. Por tal razón, resulta conveniente iniciar este
capítulo con un concepto que tendrá que confrontar el ingeniero geotecnista en su
práctica diaria: el manejo que debe darle a la incertidumbre (Einstein and Baecher,
1982).
2.1 Variables aleatorias
Si se piensa en un experimento como un proceso que puede concretarse al
menos en dos resultados posibles (éxito o fracaso), en donde se desconoce cuál de
ellos tendrá lugar, una variable aleatoria puede entenderse como una función
numérica, cuyo valor está relacionado con el resultado que se presente en dicho
experimento.
Por lo tanto, ese valor de la función es desconocido y al estar asociado a la
ocurrencia de un evento aleatorio (o sea, el resultado del experimento) debe
describirse por medio de una probabilidad. Así pues, esta función matemática estará
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definida a partir de un espacio muestral, es decir, el conjunto de todos los eventos que
puedan presentarse al realizar el experimento en mención (Devore, 2005).
En la nomenclatura más frecuentemente usada, se utiliza la letra mayúscula
para denotar la variable aleatoria y las minúsculas para designar el valor que ésta
puede tomar. Considérense los siguientes ejemplos:
Variable aleatoria V: número de días en el mes más lluvioso, en que caen lluvias
mayores a 10 cm.
v = 5; evento en el que cinco días a la semana se presentan lluvias mayores a 10 cm.
Variable aleatoria W: número de cilindros de concreto, de una muestra de 10, con
resistencia a la compresión mayor a 210 kg/cm2
w = 2; evento en el que dos cilindros de concreto, de una muestra de 10, registraron
una resistencia a la compresión mayor a 210 kg/cm2
Variable aleatoria X: peso unitario total, en ton/m3, de 8 muestras de material
tomadas en una zona en particular de una exploración
1.8 ≤ x ≤ 2.0; evento en el que se hallan pesos unitarios comprendidos entre 1.8
ton/m3 y 2.0 ton/m3 para las 8 muestras
Variable aleatoria Y: valor del ángulo de fricción para muestras de suelo arcilloso,
extraídas de un talud no fallado
y ≥ 40°; evento en el que se obtienen ángulos de fricción mayores o iguales a 40° para
el caso mencionado
Se ve en estos cuatro casos, que existen dos categorías para los valores que
pueden tomar las variables aleatorias. En el caso de V y W, se habla de variables
discretas, puesto que el dominio de la función está compuesto exclusivamente por
números enteros positivos (0,1,2,…n), mientras para X e Y el dominio será el conjunto
Análisis por confiabilidad de asentamientos de cimientos superficiales
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de los números reales; por consiguiente, la función podrá asumir una cantidad infinita
de valores. Generalmente estas últimas son las de mayor uso en la ingeniería
geotécnica y este trabajo se centrará exclusivamente en ellas, a menos que se indique
lo contrario.
2.2 Función de densidad de probabilidad (PDF) y función de distribución acumulada
(CDF)
Luego de definir su naturaleza, el interés será establecer funciones que
permitan calcular la probabilidad de ocurrencia de un evento para casos particulares
de una variable aleatoria. Tales funciones se definirán rigurosamente.
Sea una variable aleatoria continua. Entonces, una función de densidad de
probabilidad (PDF, probability density function) de , es una función tal que para
dos números cualesquiera y , con ,
∫
(1)
Es decir, la probabilidad que tome un valor en el intervalo [ , ] es el área
bajo la gráfica de la función de densidad. La gráfica de se llama entonces curva
de densidad, tal como es expuesta en la Figura 2.1.
Figura 2.1 Ejemplo de curva de densidad de probabilidad PDF para una v.a. X. (Elaboración propia)
Para que sea una PDF válida, se debe satisfacer las dos condiciones siguientes:
Análisis por confiabilidad de asentamientos de cimientos superficiales
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∫
.0
En este caso, la probabilidad asignada a un valor en particular c es cero, y la
probabilidad de un intervalo no depende de si está o no incluido cualquiera de sus
puntos terminales.
∫
La función de distribución acumulada (CDF, cumulative distribution function)
para una variable aleatoria continua , está definida para todo número
mediante
∫
Para cada , es el área bajo la curva de densidad a la izquierda de . Para
una variable aleatoria continua, en particular las curvas PDF y CDF, podrían tomar la
forma de la figura 2.2.
Figura 2.2 Curvas CDF y PDF para una variable aleatoria X (Adaptado de Russelli, 2008)
Se observa que la gráfica de CDF debe ser una función continua creciente con
valores en el intervalo [0,1]. De forma similar, PDF es una función no negativa para
todos los valores de y el área total bajo su gráfica será siempre la unidad.
Análisis por confiabilidad de asentamientos de cimientos superficiales
11
2.3 Parámetros descriptores de una variable aleatoria
Cuando se ha definido cuál es la función de densidad de probabilidad para una
variable aleatoria, interesa determinar algunos parámetros característicos, que
además de describir el comportamiento de la PDF, son herramientas muy útiles para
realizar cualquier tipo de inferencia. En su orden, se presentará la definición de valor
esperado, varianza y desviación estándar, coeficiente de variación y asimetría.
Finalmente, se abordarán los conceptos de covarianza y coeficiente de correlación.
2.3.1 Valor esperado (esperanza matemática)
El valor esperado , llamado también esperanza matemática - [ ]- es un
promedio aritmético ponderado de los posibles valores de la variable aleatoria ,
cuya PDF sea . El factor de ponderación es la probabilidad de ocurrencia para
cada . Su expresión tiene la forma
[ ] ∫
En términos prácticos, el promedio de los valores observados en un
experimento debería estar próximo a y se acercaría aún más entre mayor sea el
número de observaciones realizadas.
Para muestras que contengan datos no agrupados y a los que se les desee calcular su
valor promedio , o media muestral, se utiliza la tradicional fórmula
∑
(2)
2.3.2 Varianza y desviación estándar
Otro descriptor de gran importancia para una variable aleatoria, es la medida
de dispersión de los valores que toma alrededor de su valor esperado [ ]. En la
formulación, se eleva al cuadrado el término , ya que la sumatoria de tales
diferencias es cero; la varianza se halla mediante la ecuación
[ ] ∫
Análisis por confiabilidad de asentamientos de cimientos superficiales
12
Por otro lado, ya que el área total es la unidad, la raíz cuadrada positiva de
es equivalente al radio de giro del área geométrica de PDF. Traducido al lenguaje
estadístico, este parámetro que resulta ser de gran importancia, se denomina
desviación estándar,
√ [ ]
Indudablemente se trata de una medida de dispersión, ya que se deriva de ,
pero tiene la cualidad de estar expresada en las mismas unidades de , el valor
promedio.
De nuevo, para una muestra de datos no agrupados con una media muestral
se calcula su varianza muestral mediante
∑
De manera análoga, la desviación estándar muestral se obtiene de la raíz
cuadrada de ,
√ (3)
2.3.3 Coeficiente de variación
Determinar un grado relativo de dispersión de una variable aleatoria,
únicamente a partir de su desviación estándar, puede no ser tan prudente. Por tal
razón, conviene normalizar este parámetro dividiéndolo entre su respectivo
promedio. Se tiene entonces un término adimensional que incluso permitiría
comparar dos poblaciones de diferente naturaleza. A dicha razón se le conoce como el
coeficiente de variación:
[ ] (4)
Ya que será un parámetro de enorme relevancia en este trabajo, más
adelante se estudiará con más detalle bajo qué perspectivas debe analizarse y
emplearse su valor, pues es evidente a partir de la experiencia en campo y de
reconocidos estudios que se han realizado, que para diversas propiedades del suelo, el
coeficiente de variación será representativo para muestras cuyo origen geológico sea
Análisis por confiabilidad de asentamientos de cimientos superficiales
13
similar e incluso, extraídas de zonas relativamente cercanas (Fenton & Griffiths,
2003).
Para muestras de tamaño , con datos no agrupados, no es difícil intuir que el
coeficiente de variación muestral se calcula como / .
2.3.4 Asimetría (skewness)
Este descriptor, como su nombre lo indica, proporciona una medida del grado
de asimetría o sesgo de la PDF de una variable aleatoria. Está definida
matemáticamente como:
[ ] ∫
Sin embargo, es común en la literatura encontrar referencias a este descriptor
como el coeficiente de asimetría o coeficiente de sesgo, que es adimensional y cuya
fórmula es:
∫
Para valores positivos de , la curva PDF se muestra empinada a la izquierda
(valores bajos de ) mientras que si , la PDF estará empinada hacia la derecha,
es decir, para valores altos de . Cuando , se tiene una función simétrica. La
Figura 2.3 ilustra tales situaciones.
Análisis por confiabilidad de asentamientos de cimientos superficiales
14
Figura 2.3 Valores representativos del coeficiente de asimetría para algunas PDF (Adaptado de Russelli, 2008)
2.3.5 Covarianza y coeficiente de correlación
Para una función cualquiera de dos variables aleatorias, es de interés
determinar si hay dependencia o no de las variables en juego. Una forma de
cuantificar esta relación, es a través de la covarianza, que da origen a un parámetro
estadístico aún más empleado, el coeficiente de correlación, que solventa el problema
de las unidades de medida de las variables en estudio. Para variables aleatorias
continuas,
[ ] [ ] ∬
Una representación simplificada de esta expresión es:
[ ] [ ]
Inicialmente, a través de la covarianza podría intuirse una relación positiva (si
una variable crece, la otra también) o negativa (una crece y la otra decrece). La
limitación estriba en que el valor calculado de [ ] depende fuertemente de las
unidades de medida empleadas. Por ejemplo, para unos desplazamientos medidos en
milímetros, ¡una [ ] sería 10-6 veces la covarianza de los mismos
desplazamientos medidos en metros! Para tal efecto, normalizando [ ], se llega
a esta conocida ecuación para el coeficiente de correlación
Análisis por confiabilidad de asentamientos de cimientos superficiales
15
Para dos variables aleatorias . De acuerdo con este
enunciado, en el caso de , se muestra la relación positiva más fuerte y se
espera un alto grado de correspondencia lineal entre las variables (pendiente
positiva); de modo análogo cuando (pendiente negativa). Pero para el caso
de , no puede deducirse que sean independientes; sólo que hay una
ausencia total de relación lineal, y se dice en este caso que no están
correlacionadas.
La figura 2.4 ayuda a visualizar claramente las anteriores definiciones.
Figura 2.4 Variación de para dos variables (Adaptado de Russelli, 2008)
Análisis por confiabilidad de asentamientos de cimientos superficiales
16
2.4 Funciones de distribución de probabilidad continuas
En las secciones anteriores se establecieron dos condiciones ineludibles para
que una función de densidad de probabilidad, PDF, sea válida para calcular la
probabilidad de ocurrencia de un evento en particular. Dichas condiciones eran que
, y que el área total bajo esa gráfica sea exactamente la unidad.
Visto así, cualquier función matemática que cumpla estos dos requerimientos sería
útil para estudiar variables aleatorias continuas. Sin embargo, determinar con
precisión cuál es la forma de la PDF y encontrar uno a uno sus parámetros
descriptores no es tan sencillo, de tal forma que se hace obligatorio hacer uso de
algunas distribuciones especiales que a lo largo del tiempo han probado su enorme
conveniencia para la descripción de muchos sucesos aleatorios.
El propósito esencial de esta sección es analizar con cierto detalle tales
distribuciones que se emplearán en especial en el capítulo cuarto cuando se adopte un
modelo geológico-geotécnico para el análisis de la variabilidad en la función de
comportamiento que se estudiará posteriormente.
2.4.1 Distribución normal y distribución normal estándar.
Se cita con frecuencia en los textos de probabilidad y estadística que la
distribución normal es la más importante en esta rama del conocimiento, pues
muchas poblaciones numéricas (alturas, pesos, errores de medición, puntuaciones en
pruebas y hasta medidas económicas) se pueden ajustar con gran precisión mediante
una curva normal apropiada. Además, aunque cada una de las variables en juego no
tenga una distribución normal, sus sumas y promedios, en condiciones adecuadas, sí
tenderán a distribuirse normalmente. Esto es esencialmente lo que explica el conocido
teorema del límite central. Por otro lado, es común caracterizar numerosas variables
aleatorias como normalmente distribuidas cuando su coeficiente de variación no
supera el 30% (Russelli, 2008).
Se dice que una v.a. tiene una distribución normal con parámetros media
y desviación estándar , donde y , si su PDF es
Análisis por confiabilidad de asentamientos de cimientos superficiales
17
√
[
]
Esta extensa notación suele abreviarse como . En la Figura 2.5 se
observa la simetría respecto a , la forma acampanada y la notable influencia que
tiene en la forma empinada o aplanada de dicha curva.
Figura 2.5 Curvas PDF normales con diversos valores de y (Elaboración propia)
De hecho, es la distancia desde hasta el punto de inflexión de la curva, lo
que causa que valores pequeños de se presenten cuando la mayoría de valores de
están concentrados alrededor de su media.
Está claro que si se quisiera hallar, por ejemplo, el valor de en
una PDF normal, debería resolverse la integral ∫
√
[
]
. Pero esta
integral no se puede evaluar por métodos algebraicos comunes; por tal razón, con
y , dicha expresión se ha tabulado para algunos valores de y .
Naturalmente, estas tablas se pueden usar para el cálculo de probabilidades con
medias diferentes de cero y desviaciones estándar distintas de uno, a través de la
distribución normal estándar, cuya PDF está descrita por
√
-56 -40 -24 -8 8 24 40 56
Análisis por confiabilidad de asentamientos de cimientos superficiales
18
y cuyos parámetros son y . Entonces, una distribución normal
arbitraria se convierte en normal estándar, realizando esta simple transformación:
A pesar de todas sus bondades, es imperativo mencionar que para estas
distribuciones el dominio de y/o está comprendido entre , dando la
posibilidad de tener variables negativas, lo cual contradice abiertamente la naturaleza
de los materiales estudiados en la geotecnia. Sin embargo, dichas funciones pueden
emplearse para hacer una primera estimación sobre su comportamiento aleatorio;
por otro lado, cuando el coeficiente de variación es menor que 0.3,
, lo que sería, en realidad, incurrir en un error muy pequeño.
2.4.2 Distribución logarítmica normal (lognormal)
Una variable aleatoria no negativa, tiene una distribución lognormal si el
logaritmo natural de , es decir , tiene una distribución normal. La v.a.
quedará definida mediante los parámetros y y su PDF está definida por
( )
√
[
]
Evidentemente, los parámetros y corresponden a , y se
pueden calcular mediante las fórmulas
*
+ [
]
Ya se vio que una distribución normal es simétrica respecto a su media, pero
una lognormal tiene un sesgo positivo, como se ve en la Figura 2.6, con diferentes
valores y .
Análisis por confiabilidad de asentamientos de cimientos superficiales
19
Figura 2.6 PDF lognormal con diferentes valores de y (Elaboración propia)
Debido a que tiene una distribución normal, la PDF de se puede
expresar en términos de la PDF de una v.a. normal estándar; por eso, si ,
(
) (
)
La distribución lognormal, en general, es muy aceptada para modelar varias
propiedades del suelo, como la cohesión, el módulo de elasticidad y la tangente del
ángulo de fricción, debido a la restricción que impone de trabajar solo con valores
positivos; igualmente, debido a la propiedad multiplicativa de los logaritmos, es apta
para modelar el comportamiento de funciones que contienen variables
independientes que se multiplican y dividen entre sí (Fenton & Griffiths, 2008).
En los resultados finales, será interesante estimar a qué tipo de distribución se
acerca más la forma adoptada por la PDF empírica de la función de comportamiento,
que se hallará a través de alguna de las técnicas de modelación expuestas en el
siguiente capítulo.
Análisis por confiabilidad de asentamientos de cimientos superficiales
20
Capítulo Tres
El análisis por confiabilidad y algunas técnicas de Evaluación de la
incertidumbre en Geotecnia
Como se ha expuesto a lo largo de las páginas precedentes, la variabilidad
implícita en los cálculos ingenieriles conmina al uso de distribuciones de probabilidad
que puedan describir idóneamente el comportamiento aleatorio de los materiales y
sus propiedades. En resumen, tales funciones de probabilidad quedan definidas por su
valor medio, su desviación estándar e incluso por la simetría o asimetría de la PDF,
definida por su coeficiente de sesgo (skewness). En este capítulo se exponen cuatro
técnicas de amplio uso que buscan la evaluación apropiada de los dos primeros
parámetros mencionados y que van desde una complejidad mínima hasta la
reconocida técnica de simulación Método de Monte Carlo, que es el método más
comúnmente usado pero que demanda a la vez un algoritmo computacional más
robusto (Honjo, 2011). Tales técnicas, propenden por una evaluación racional de una
probabilidad de falla o si se quiere, de un margen de seguridad en el cálculo de un
asentamiento por consolidación, que en otras palabras podría traducirse como qué
tan probable es superar un asentamiento admisible o tolerable para un cimiento, de
acuerdo con una limitación establecida por algún código o criterio ingenieril (Duncan,
2000). Con esta perspectiva se da inicio a este segundo capítulo, introduciendo en
primer lugar el enfoque probabilístico de margen de seguridad y probabilidad de falla
(en contraposición al tradicional factor de seguridad) y algunas técnicas que
garanticen su apropiada evaluación.
En general, los conceptos teóricos aquí expuestos se encuentran pródigamente
tratados en varios de los textos mencionados en la bibliografía de consulta. Por tal
razón, solo se mencionan en este capítulo la terminología básica y las expresiones
matemáticas fundamentales, las cuales han sido tomadas en parte de un elaborado
Análisis por confiabilidad de asentamientos de cimientos superficiales
21
documento de investigación sobre la probabilidad de falla en problemas de capacidad
portante de la doctora Consolata Ruselli, en su disertación Probabilistic Methods
applied to the Bearing Capacity Problem (Stuttgart, 2008) y naturalmente de un texto
de referencia obligada para estos temas, Reliability and Statistics in Geotechnical
Engineering (Baecher and Christian, 2003).
A continuación se presentan entonces los conceptos que fundamentan el
análisis por confiabilidad en la ingeniería geotécnica, además de los cuatro métodos
de evaluación de la incertidumbre para el cálculo de asentamientos usados en este
trabajo, iniciando con uno de los más empleados en estudios de este tipo: el Método
de Monte Carlo. Al final se verá cómo toda esta serie de elementos teóricos propician
un enfoque alternativo al tradicional Factor de Seguridad, enriqueciendo el criterio de
decisión del ingeniero en problemas que tengan que ver con la deformación del
terreno.
3.1 El margen de seguridad y la probabilidad de falla
El factor de seguridad, expresado básicamente como la relación entre las
fuerzas resistentes y las actuantes, se puede sustituir por la definición de margen de
seguridad Z, también definido como función de comportamiento. Esta función podría
indicar el colapso de una estructura o, aunque sea en un grado muy pequeño, su
pérdida de funcionalidad.
La función Z está definida generalmente como la diferencia entre la resistencia
R y la carga L de un sistema. Si representa un conjunto de variables aleatorias de
entrada, entonces el margen de seguridad está dado por
En la figura 3.1(a) se dibuja el margen de seguridad y la zona de falla se traza
en un plano Carga-Resistencia. Cuando Z 0 ocurre la falla, mientras que cuando Z 0
el sistema es seguro. El límite definido por Z =0, separando el estado seguro e
inseguro, es la llamada función de estado límite.
Análisis por confiabilidad de asentamientos de cimientos superficiales
22
Figura 3.1 (a) Margen de seguridad; (b) y (c) Comparaciones entre margen de seguridad y factor de seguridad
(Ruselli, 2008).
El objetivo del análisis de confiabilidad es la garantizar una condición de
seguridad y esto sólo es posible en términos de probabilidad, por ejemplo
( )
Donde es la probabilidad de tener una condición segura y ( )
es la probabilidad de que la resistencia sea mayor que la carga.
Por otro lado, la probabilidad de que se dé una condición de inseguridad o dicho de
otro modo, la probabilidad de falla , está dada por
( )
Teniendo en cuenta la resistencia y la carga como variables aleatorias con su
función de densidad de probabilidad correspondiente, entonces la probabilidad de
falla se puede dimensionar por el tamaño de la zona de intersección o región de
falla, para los que la carga L es mayor que la resistencia R, es decir L>R, como se
muestra en la figura 3.1 (b) y 3.1(c). Las figuras 3.1 (b) y 3.1(c) también son útiles
para mostrar cómo la probabilidad de falla representa un indicador más racional de
condiciones inseguras que el factor de seguridad.
De hecho, para los dos casos de carga y resistencia en esa figura, el factor de
seguridad FS es el mismo, pero la probabilidad de falla es muy diferente. Entonces, el
Análisis por confiabilidad de asentamientos de cimientos superficiales
23
mismo factor de seguridad se puede asociar con una amplia gama de niveles de
confiabilidad, mostrando así ser una medida inconsistente de seguridad.
Para apreciar los beneficios de considerar la probabilidad de falla para el
análisis de confiabilidad, se muestra otro ejemplo en la figura 3.2. Se presentan dos
casos: el primero tiene un factor de seguridad de 1.4 y menor incertidumbre, debido a
una desviación estándar más pequeña; el segundo caso tiene un factor de seguridad de
1.8 pero mayor incertidumbre, ya que tiene una desviación estándar más grande.
Desde un punto de vista determinista, parecería que el caso de FS = 1,8 es más
seguro. Sin embargo, cuando se comparan los valores de probabilidad de falla, el caso
aparentemente más seguro tiene una mayor probabilidad de falla, demostrando que el
análisis determinista no siempre es el enfoque más recomendable para tomar una
decisión definitiva.
Figura 3.2 Factor de seguridad y probabilidad de falla para diferentes valores de FS (Ruselli, 2008).
En el caso ejemplificado en la figura 3.2, se puede concluir que si bien se tiene
claridad sobre la relación entre las fuerzas resistentes y actuantes para ambos casos,
con una probabilidad de falla de se puede hacer un orden de comparación más
racional con la probabilidad de falla de .
Análisis por confiabilidad de asentamientos de cimientos superficiales
24
3.2 Método de Simulación de Monte Carlo
La palabra simulación hace referencia a un método destinado a imitar un
sistema de la vida real, especialmente cuando otros análisis son matemáticamente
complejos o demasiado difíciles de reproducir. Un tipo de simulación es el método de
Monte Carlo (Monte Carlo Simulation, MCS) el cual puede ser usado en cualquier
campo del conocimiento. En el MCS los supuestos sólo se hacen sobre las variables
aleatorias de entrada, cuyos valores se generan de manera compatible con la función
de densidad de probabilidad correspondiente. Así como gran ventaja de este método,
el margen de seguridad, para el que no se requiere ninguna suposición sobre la
función de densidad de probabilidad, se calcula para cada iteración. El proceso se
repite numerosas veces y se evalúa el valor promedio, la desviación estándar y
opcionalmente el coeficiente de sesgo. De este modo, el procedimiento de Monte Carlo
consiste en resolver un determinado problema muchas veces para construir una
distribución probabilística de los resultados de salida.
Este método se aproxima a la verdadera respuesta y, por lo tanto, se utiliza
como referencia para compararlo con los resultados de otros métodos, como se
expondrá en los siguientes capítulos para el análisis probabilístico del cálculo de
asentamientos en un estrato arcilloso.
A pesar de sus bondades, hay que mencionar como dificultades que, para
algunos problemas geotécnicos tales como los análisis de estabilidad de taludes,
serían necesarios programas adicionales especiales para el MCS. Es más, para obtener
una confiabilidad real, el modelo necesitaría un gran número de simulaciones. En la
práctica es demasiado lento para los cálculos informáticos cotidianos, especialmente
para los códigos de elementos finitos. En este trabajo se busca, por consiguiente,
presentar enfoques alternativos al MCS que requieran sólo una cantidad limitada de
cálculos.
Para el tratamiento de los datos en esta investigación, el algoritmo de simulación
de la función de comportamiento Z se desarrolló de la siguiente manera:
Análisis por confiabilidad de asentamientos de cimientos superficiales
25
1. Para cada variable aleatoria de la función de comportamiento Z adoptada, se
crea una columna de números aleatorios conforme a una distribución normal o
lognormal.
2. Cada conjunto de datos se reemplaza en Z y se obtiene un asentamiento. Esta
operación se repite un número de veces que se va incrementando desde 5
hasta 10,000.
3. Para finalizar, con el resultado de n asentamientos, se calcula un valor
promedio, una desviación estándar y un C.O.V de la función de comportamiento
Z.
3.3 Método de Primer Orden y Segundo Momento (FOSM)
La segunda alternativa para la evaluación de la incertidumbre es el Método de
Primer Orden y Segundo Momento (First Order Second Moment), el cual produce una
linealización alrededor del valor medio de las variables aleatorias de entrada de un
problema probabilístico. Este método usa la serie de desarrollo de Taylor y se evalúa
la función de comportamiento para determinar los valores de sus dos primeros
momentos centrales en función de las variables de entrada. Esta expansión se trunca
después del término lineal y por esta razón, el método se llama “Primer Orden”. Para n
variables aleatorias:
La función Z se evalúa en los valores medios de las variables aleatorias Xi,
consideradas como puntos de linealización. El valor medio y la variancia de Z con n
variables aleatorias no correlacionadas entre sí, están dados aproximadamente por:
Es prudente aclarar que en ciertas ocasiones es complicado evaluar derivadas
de funciones no lineales. Por esta razón, las derivadas requeridas se pueden estimar
Análisis por confiabilidad de asentamientos de cimientos superficiales
26
numéricamente usando el enfoque de diferencias finitas u otras técnicas numéricas.
Para las funciones de densidad de probabilidad no normales el índice de confiabilidad
evaluado por el método FOSM es sólo una aproximación que es exacto para funciones
lineales y los términos de suma de las ecuaciones anteriores proporcionan un
indicador explícito de la contribución relativa de la incertidumbre de cada variable
aleatoria.
Naturalmente entre sus limitaciones está que debido al truncamiento de la
serie de desarrollo de Taylor después de los términos de primer orden, la exactitud
del método se deteriora si las derivadas de orden superior de la función de
comportamiento son significativas. Por eso, la exactitud del método FOSM disminuye a
medida que la no linealidad de una función aumenta y que conforme el nivel de
incertidumbre en las variables de entrada aumenta y sus funciones de densidad de
probabilidad se vuelven más sesgadas, la exactitud del método FOSM disminuye.
3.4 Método de Segundo Orden Segundo Momento (SOSM)
El método de Segundo Orden Segundo Momento (Second Order Second
Moment) representa una leve extensión del método FOSM. En realidad, con el método
SOSM es posible incluir términos de segundo orden de la expansión de la serie de
Taylor en la evaluación del valor promedio de la función de comportamiento.
Considerando las varianzas o las desviaciones estándar de dos variables
aleatorias, por ejemplo X e Y, el valor medio de Z estará dado por:
donde todas las derivadas se evalúan en el valor medio de las variables de entrada. El
término que incluye la covarianza se vuelve nulo si las variables no están
correlacionadas.
Cuando se compara con el método FOSM, la ventaja obvia del método SOSM es
que el valor medio calculado es más preciso porque se consideran los términos de
segundo orden en el análisis.
Análisis por confiabilidad de asentamientos de cimientos superficiales
27
En la disertación doctoral de Kriegesmann (2012) se pueden encontrar las
expresiones para el cálculo de la media y varianza de la función de comportamiento
para un número n de variables aleatorias:
con la notación usual de gi para la i-ésima derivada de la función de comportamiento y
de μk para el k-ésimo momento estadístico de la función g. El sumando SOTM alude al
término de la aproximación para Second Order Third Moment.
3.5 Método de los Estimativos Puntuales (PEM)
Otro método alternativo para evaluar los momentos estadísticos de una
función de comportamiento es el Método de los Estimativos Puntuales (Point Estimate
Method). El método de Estimativos Puntuales fue desarrollado originalmente por
Rosenblueth (1975) y después fue modificado por otros autores como Christian y
Bäecher (1999) y Hong (1998).
El Método de los Estimativos Puntuales es una técnica computacional sencilla
para el análisis de la incertidumbre, capaz de estimar los momentos estadísticos para
funciones de diversas variables: es fundamentalmente un método de promedio
ponderado similar a las fórmulas de integración numérica que implican los puntos de
muestreo y parámetros de ponderación.
La idea básica de este método es reemplazar las distribuciones de probabilidad
de las variables aleatorias continuas por distribuciones discretas equivalentes que
tienen los mismos tres primeros momentos centrales, para calcular a continuación el
valor medio, la desviación estándar y la asimetría de una función de comportamiento.
Análisis por confiabilidad de asentamientos de cimientos superficiales
28
Para hacer esto, se consideran dos estimativos puntuales en una desviación
estándar a cada lado del valor medio de la distribución que representa las variables
aleatorias. Entonces, la función de comportamiento se calcula para cada combinación
posible de las estimaciones puntuales, produciendo 2n soluciones, donde n es el
número de las variables aleatorias involucradas. Así, el valor medio, la desviación
estándar y la asimetría de la función de comportamiento se pueden encontrar a partir
de estas 2n soluciones. Una representación gráfica como la de la figura 3.3 ilustra
claramente la esencia de esta aproximación.
Figura 3.3 Discretización de una función de probabilidad en el método PEM (Ruselli, 2008).
Entre las virtudes más importantes del método PEM en comparación con los
métodos FOSM y SOSM, se tiene que no requiere de la forma de la función de densidad
de probabilidad de las variables aleatorias de entrada y proporciona el valor medio, la
desviación estándar y también el coeficiente de asimetría de una función de
comportamiento, dando resultados más exactos que los métodos FOSM y SOSM con
poco o ningún aumento de trabajo computacional. Al mismo tiempo el método PEM
puede describir mejor el comportamiento de funciones no lineales.
No obstante, deben tenerse en cuenta como limitaciones de este procedimiento
que no se obtiene ninguna información adicional sobre la forma de la PDF de la
función de salida y que la asimetría calculada mediante este algoritmo presenta una
diferencia significativa en el valor de la asimetría derivada de otros métodos más
complejos.
Análisis por confiabilidad de asentamientos de cimientos superficiales
29
Finalmente, como lo sugieren Christian y Bäecher (1999), no debería ser
aplicado para evaluar momentos más altos que el segundo (varianza) para funciones
no lineales. Además, estos autores observan que cuanto mayor sea el coeficiente de
variación de las variables de entrada, mayor es el error en las estimaciones.
Análisis por confiabilidad de asentamientos de cimientos superficiales
30
Capítulo Cuatro
Modelo de Estudio para el cálculo de asentamientos
Luego de haber expuesto los términos y técnicas estadísticas que constituyen el
fundamento teórico de este trabajo, se enfocarán tales conceptos en la construcción de
un modelo para el cálculo de asentamientos que involucre la evaluación de la
incertidumbre y posteriormente, un margen de seguridad basado en confiabilidad.
Este modelo pretende mostrar las diferentes fases necesarias para aplicar las cuatro
técnicas expuestas a priori en el desarrollo de un ejercicio con una connotación real.
Para ello, se tomará como fuente básica de información algunos estudios sobre la
compresibilidad del terreno en el Campus de la Universidad Nacional en la ciudad de
Bogotá. Dada la magnitud de la carga externa aplicada al cimiento superficial aislado
que se analizará en el caso de aplicación, sus dimensiones y las propiedades del
subsuelo, se harán las simplificaciones pertinentes y se elaborará una hoja de cálculo
en Excel que permita ingresar los datos de entrada del modelo (básicamente
promedios y desviaciones estándar de las propiedades de los materiales) para llegar
finalmente a un valor medio del asentamiento y su coeficiente de variación estimado
con cuatro alternativas diferentes. Todos los detalles relativos a los documentos que
sirven de referencia en cuanto a la descripción de un modelo geotécnico, se tratarán
en el siguiente capítulo, pero se citarán en este apartado los puntos cruciales que
contribuirán a la correcta definición de la función de comportamiento, elemento
esencial y punto de partida para el análisis por confiabilidad que se está haciendo.
4.1 Fórmulas para el cálculo del asentamiento por consolidación.
Cuando un material es sometido a esfuerzos o cargas, éste se deforma. Dicha
deformación se manifestará en un cambio de la forma (distorsión) o en un cambio de
volumen. Mientras en algunos materiales esta deformación se presenta de inmediato,
en otros la respuesta ocurrirá en un tiempo relativamente largo. En especial para
suelos arcillosos, se tendrá este tipo de comportamiento y siendo más concretos,
cuando se habla de la deformación total vertical en la superficie de un depósito
Análisis por confiabilidad de asentamientos de cimientos superficiales
31
arcilloso generada por una carga, se hablará propiamente de asentamientos (Budhu,
2011).
Por lo general, el asentamiento total en las arcillas se desglosa en tres
componentes:
a. asentamientos inmediatos
b. asentamientos por consolidación
c. asentamientos por compresión secundaria
Sobre cada uno de estos componentes sobreabunda la literatura técnica, pero con
fines específicos se aludirá en este capítulo particularmente a dos aspectos
concernientes al literal b,
- Esfuerzo de preconsolidación (historia de esfuerzos) y
- Encontrar una ecuación para calcularlos
Sobre el primer punto, el mismo Casagrande afirma que los cambios que
experimenta el suelo durante su depósito se preservan en la estructura del suelo
(Peck et al, 1995).
En efecto, cuando una muestra de laboratorio o un depósito de arcilla se han
sometido a un esfuerzo mayor que el que han soportado con anterioridad (esfuerzo de
preconsolidación ), su respuesta puede resultar en cambios drásticos de la
pendiente de los dos tramos de la curva de consolidación.
Análisis por confiabilidad de asentamientos de cimientos superficiales
32
Figura 4.1. Formulación de la ecuación de asentamientos en suelo sobreconsolidado (Holtz, Kovacs, Sheahan, 2011)
Un diagrama de este tipo se muestra esquemáticamente en la Figura 4.1, donde
se distingue al tramo más plano como una sección de recompresión y el más empinado
como una sección de compresión virgen.
Se tiene entonces a partir de los conceptos mencionados hasta aquí, la
clasificación de un suelo arcilloso como normalmente consolidado ( cuando
el esfuerzo vertical equivale al esfuerzo de preconsolidación, y en un caso alterno, un
suelo arcilloso sobreconsolidado ( si tal esfuerzo de preconsolidación es
mayor a los esfuerzos verticales existentes hoy día ( . Se define así una relación de
sobreconsolidación como
.
Sobre el segundo punto que se mencionaba renglones atrás, la misma Figura
4.1 da luces sobre la forma de una ecuación para el cálculo de los asentamientos, ya
que el problema puede reducirse a cuantificar el cambio en la relación de vacíos del
material; por tal razón y como lo explican claramente los diagramas en mención, las
siguientes fórmulas son empleadas para hallar el asentamiento en un suelo
sobreconsolidado:
Análisis por confiabilidad de asentamientos de cimientos superficiales
33
Como se expondrá detalladamente en el quinto capítulo, las condiciones
geotécnicas del subsuelo del Campus de la Universidad Nacional tienen una marcada
tendencia en los primeros metros de profundidad: desde la superficie hasta incluso
más allá los diez metros, el suelo es altamente sobreconsolidado (Alarcón, Parra Et Al,
2007). Es por esto, que se hace especial énfasis en las ecuaciones mostradas arriba, ya
que dada la geometría del cimiento elegido en esta investigación, la profundidad de
influencia de la carga exterior no irá más allá de los ocho metros bajo la superficie: el
monograma de bulbos de presión para cimientos rectangulares y continuos da
soporte a esta consideración (Figura 4.2). De tal modo que en este escenario, sólo se
hará uso de la ecuación de cuando .
Figura 4.2. Monograma de isobaras de esfuerzo (o bulbos de esfuerzo) (Bowles, 1996)
Análisis por confiabilidad de asentamientos de cimientos superficiales
34
4.2 Determinación de la función de comportamiento
Se llega a una instancia muy relevante del análisis por confiabilidad: establecer
la función de comportamiento. Para dar una connotación completamente real y
práctica a los cálculos, la Figura 4.3 representa un cimiento rectangular aislado para
una construcción de cuatro niveles inaugurada en el Campus Universitario en 2016
(Nuevo Edificio de Enfermería).
Sus dimensiones son , y está emplazada sobre
un depósito de arcilla que soportará cargas estimadas por columna del orden de 50 a
100 Ton (Tapia, 2015, pp 9), teniendo así un valor máximo de esfuerzo de 81.66 KPa ≈
82 KPa a partir de las cargas de diseño. Aunque este edificio consta de otro módulo
que transmitirá cargas mayores (50 a 200 Ton), el sistema constructivo contempla
otro tipo de soluciones para esa cimentación.
Adicionalmente, tal y como lo reporta Meyerhof (1995), la afectación por carga
externa en la variabilidad del asentamiento calculado es del orden de 5%< c.o.v.
<15%, en concordancia con valores de desviación estándar reportados por Duncan
(2000), en su emblemático artículo Factors of safety and reliability in geotechnical
Engineering, donde señala para cargas por estructuras de concreto una varianza del
10% (σ²=0.010, σ=0.10). Por esta razón, no se considera a la carga ( ) como una
variable aleatoria en este ejercicio.
Análisis por confiabilidad de asentamientos de cimientos superficiales
35
Figura 4.3 Configuración de carga, estratos y propiedades geotécnicas del suelo (Elaboración propia)
Ahora, el incremento de esfuerzos en la masa de suelo debido a la carga
externa, se halla con la fórmula propuesta por Newmark en 1935 y que fue
ligeramente modificada por Holl hacia 1940:
=
[
√
(
)
√ ] (7b)
Esta fórmula proporciona el esfuerzo vertical en la profundidad bajo la
esquina de una superficie rectangular (x*y) uniformemente cargada, donde m=x/z y
n=y/z para un esfuerzo de contacto q0.
Por otro lado, con base en el modelo de terreno que se explicará
exhaustivamente en el capítulo siguiente y asumiendo una profundidad de influencia
para el incremento de carga igual a (Figura 4.2), se establece un
perfil del terreno que a su vez ha sido dividido en cuatro subcapas, cada una de ellas
con unos valores promedio de parámetros del suelo pero con un espesor constante de
Análisis por confiabilidad de asentamientos de cimientos superficiales
36
. El nivel freático se establecerá en , en consonancia con los reportes
de García (2008) y Alarcón Et Al (2007). Como se mencionaba en la sección
precedente, al tener un material muy sobreconsolidado, se tiene que en todas las
subcapas , obligando así al uso exclusivo de la ecuación (7a).
Esta configuración, mostrada también en la figura 4.3, permite definir la
siguiente ecuación para el cálculo de los asentamientos por consolidación:
*
+
Donde,
: asentamiento por consolidación
: espesor de la capa , para todos los casos
: coeficiente de recompresión para la capa
: relación de vacíos para la capa
: esfuerzo vertical efectivo para la capa .
: incremento en el esfuerzo vertical para la capa .
Sin embargo, la expresión (8) se debe simplificar aún más puesto que en el
ejercicio que se realizará como caso de aplicación, las tres primeras capas comparten
las mismas propiedades, ya que se encuentran en el mismo volumen de suelo
homogéneo en que se dividirá el terreno subyacente al cimiento (entre 0m y 6m). Un
segundo tipo de suelo homogéneo se define entre 6m y 20m (Figura 4.3). En resumen,
la ecuación para se puede escribir como
*
(
)
(
)+
Análisis por confiabilidad de asentamientos de cimientos superficiales
37
4.3 Definición de las variables aleatorias
Una vez definida la función de comportamiento para el análisis (9), continúa el
proceso de selección de cuáles de las doce variables involucradas en dicha expresión
serán tenidas en cuenta como aleatorias. Al respecto, debe recordarse que los factores
y llevan implícitos los valores de peso unitario total (
), nivel freático ( )
y dimensiones del cimiento ( ). Sin embargo, los estudios geotécnicos que se
tomarán en cuenta, como se verá, indican por un lado que en los primeros metros de
profundidad la variación del peso unitario es relativamente pequeña comparada con
aquella de y y que el nivel freático se fijó en una cota única. De la misma
manera, se dispone en la literatura de algunos datos de coeficientes de variación para
la magnitud de las cargas y suena bastante razonable despreciar la variabilidad en las
medidas del cimiento, como se explicó en el numeral anterior.
A partir de estas conjeturas, se establece para la función de comportamiento
las siguientes categorías para las variables implícitas en ella:
Variable Tipo
aleatoria
determinística
Tabla 4.1. Variables aleatorias y determinísticas en la función de comportamiento
Discriminar las variables en la forma mostrada en la Tabla 4.1, posibilita una
sintaxis más favorable para la sistematización del proceso, en razón a que los
sumandos
(con i=1, 2, 3, 4) terminarán asumiendo el mismo valor en las
diferentes técnicas expuestas para la evaluación de un margen de seguridad.
Considerando esta salvedad, se llega finalmente a la expresión:
*
+
Análisis por confiabilidad de asentamientos de cimientos superficiales
38
Donde y quedan definidos por
;
;
(11)
La formulación dada en (10) y (11) para el cálculo de , se empleará en las
hojas de cálculo de Excel para hallar los asentamientos con los valores promedio de
las variables en juego y para otras operaciones adicionales como las derivadas de
primer y segundo orden de respecto a y .
4.4 Sistematización del proceso
Cada una de las hipótesis anteriores ha permitido llegar finalmente a la
construcción de una función de comportamiento con cuatro variables aleatorias, en su
orden, para el suelo homogéneo tipo 1 (tres primeras capas del modelo) y
para el suelo homogéneo tipo 2 (última capa del modelo) de acuerdo con lo
expuesto en la Figura 4.3. Se procederá entonces a enumerar la secuencia de
actividades a seguir en aras de implementar la evaluación de μ y c.o.v. para los
asentamientos por consolidación esperados:
1. Cálculo de valores promedio y desviación estándar de cada una de las
variables que intervienen en (11). Para las variables que no son aleatorias, en el
modelo sólo interesará su promedio.
2. Definir una carga de diseño y un modelo para la transferencia de esa carga a
los estratos de suelo. En este caso se empleará (7b).
3. A continuación, la ecuación de comportamiento evaluada en los valores
promedio, precisará cuál es el asentamiento por consolidación (determinístico), que
servirá para realizar algún tipo de comparación con los resultados posteriormente
hallados.
Análisis por confiabilidad de asentamientos de cimientos superficiales
39
4. Para los métodos de FOSM y SOSM y con la ayuda de las derivadas parciales
que se enumeran en seguida, la hoja de cálculo encontrará el valor promedio y la
desviación estándar de los asentamientos esperados.
5. Derivadas parciales para los métodos FOSM y SOSM
6. La siguiente técnica –marcada en la hoja de cálculo como S(c) ESTIMAT
PUNT- está diseñada para calcular 16 diferentes combinaciones de las variables que
fueron escogidas como aleatorias (cuatro en total) y ejecutar el algoritmo propio de
Estimativos Puntuales. Como se expuso en el capítulo precedente, esta técnica asigna
un peso a cada uno de los resultados de las 16 iteraciones ( ) que claramente se
discriminan con la notación y entrega también un valor estimado para el valor
promedio y la desviación estándar de los asentamientos esperados.
7. Finalmente, se aplica el método de Monte Carlo con diferente número de
iteraciones, que van desde 5 hasta 100,000. Para cada una de las variables aleatorias,
Se defi e ∝𝑗= og 𝜎𝑜
𝑖 𝜎𝑖
𝜎𝑜𝑖 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑗 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑦 𝑐𝑜𝑛 𝑖
Análisis por confiabilidad de asentamientos de cimientos superficiales
40
se hace la generación de números aleatorios distribuidos normalmente y con los
cuales se obtienen miles de valores de asentamiento. El resultado de estas
operaciones se convierte en un valor promedio y una desviación estándar. Se graficará
la tendencia de estos últimos conforme al número de asentamientos aleatorios
generados y como resultado de ello, se generan las dos últimas hojas en los libros de
Excel anexos.
8. Esta serie de pasos se repetirá para cuatro conjuntos diferentes de datos
pertenecientes a zonas contiguas del Campus Universitario, y que darán lugar a un
balance de cuán importante es la variabilidad de las propiedades del terreno aún en
zonas adyacentes entre sí.
Análisis por confiabilidad de asentamientos de cimientos superficiales
41
Capítulo Cinco
Caso de Aplicación.
A partir de investigaciones recientes sobre la variación de los parámetros de
compresibilidad del subsuelo en la Ciudad Universitaria de Bogotá (Alarcón Et Al,
2007; García, 2008), tanto en área como en profundidad, se tuvo acceso a una base de
datos muy robusta, con diversos valores de las variables que se consideran aleatorias
en el presente trabajo. Estas fuentes de información secundaria son las que alimentan
esencialmente el programa elaborado en la hoja de cálculo que complementa esta
disertación, puesto que no se hicieron sondeos ni ensayos de laboratorio dada la
vastedad del terreno en estudio. Tales publicaciones, usaron como insumo principal
los resultados de exploraciones realizadas por años para el diseño de diferentes
construcciones en la Universidad y la segunda de ellas (García, 2008), echó mano de
una poderosa herramienta de interpolación geoestadística (Kriging), que condujo
finalmente a mapas de variación de algunas propiedades geotécnicas inherentes a la
compresibilidad del suelo. Estos mapas muestran zonas de variación para la relación
de vacíos, el índice de recompresión y el peso unitario del suelo, entre otros. Es a
partir de esta combinación (información gráfica y datos de exploración), que se
seleccionaron aquí cuatro áreas de características similares –y un grupo adicional con
los promedios para todo el Campus- para estimar el asentamiento por consolidación
a través de la función de comportamiento definida en el capítulo tres y las cuatro
técnicas expuestas páginas atrás.
5.1. Fuentes de información
Con el ánimo de aplicar con datos de campo reales las cuatro técnicas de
evaluación de incertidumbre ya presentadas, se empleó como fuente de información
principal el documento de M. García Feria, Análisis geoestadístico y probabilístico de la
compresibilidad de un depósito lacustre (2008, Universidad Nacional de Colombia) que
tiene como resultado final la construcción de modelos gráficos de variación espacial;
en efecto, a través de mapas en escala cromática, se puede apreciar con claridad los
Análisis por confiabilidad de asentamientos de cimientos superficiales
42
intervalos de variación de las propiedades de compresibilidad en dos tipos de suelo
definidos en profundidad. Este autor, hace una identificación de cuatro volúmenes
homogéneos de suelo diferenciados claramente por sus características en
profundidad. La Tabla 5.1 ilustra el resultado de sus conclusiones para los dos
primeros volúmenes –porque son ellos los de interés práctico para el presente escrito-
con fundamento en la variabilidad de los parámetros de compresibilidad, la
interpretación de las variables cualitativas y la consulta de varias publicaciones
geológicas y geotécnicas de naturaleza similar a la de su trabajo.
Tabla 5.1. Clasificación geotécnica-estadística de volúmenes homogéneos de suelo
Salta a la vista la diferencia significativa entre el número de datos (o muestras,
si se prefiere) disponible para los dos primeros “estratos”. Desde los 20m o más de
profundidad, la información es escasa para realizar un ajuste apropiado a alguna
distribución teórica para todas las variables que se estudiaron. Dos elementos de
suma relevancia quedan por definir ahora: el nivel freático y el modelo de historia de
Análisis por confiabilidad de asentamientos de cimientos superficiales
43
esfuerzos que se asumirá. Acerca del primer elemento, en razón a la escasez de datos
para el nivel freático, se adoptó una cota de en el modelo del terreno. Por otro
lado, salta a la luz que los primeros seis metros de subsuelo están fuertemente
sobreconsolidados y que en promedio, el suelo tipo 2 presenta a la vez una RSC de 1.18
(Tabla 5.1). Se verá en cálculos posteriores y en los libros de Excel anexos –en la hoja
estadísticos- que incluso a una profundidad de 8 metros se encontrarán RSC mayores a
ese guarismo. Para terminar esta breve reseña, se muestra en las Figuras 5.2 y 5.3
algunos de los modelos de variación espacial de propiedades geotécnicas en los
volúmenes tipo 1 y 2, con los parámetros que se graficaron para ambos tipos de suelo,
es decir, índice de compresión virgen y relación de vacíos .
5.2. Selección de zonas con comportamiento homogéneo
Con una inspección visual, a la par de una revisión de los límites de las
propiedades geotécnicas ( ) graficadas en las Figuras 5.1 y 5.2, se proponen en el
actual capítulo cuatro (4) zonas en planta con comportamientos claramente diferentes
entre sí. Naturalmente en la parte central del Campus donde se encuentran los
edificios de la facultad de Ciencias e Ingeniería, se genera una gran cantidad de
información; por tal razón, los mapas muestran una gama más amplia de variación en
las propiedades y es allí donde se seleccionan dos puntos de estudio para este trabajo:
sectores aledaños al edificio de Medicina ( ) y al edificio de Ciencia y Tecnología
( ). Una tercera área se selecciona al oriente de las dos anteriores, donde
reposan algunas de las construcciones más emblemáticas de la Universidad: la
Biblioteca Central, la Torre de Enfermería y el Auditorio León de Greiff ( ). Otro
conjunto de datos se agrupó en la , que reúne tres edificios pertenecientes a la
Facultad de Ingeniería y que también es un foco importante de muestras. Por último,
se tomarán en cuenta los promedios sugeridos para todo el Campus en la Tabla 5.1., lo
cual permitirá hacer comparaciones valiosas con las otras zonas estipuladas.
Análisis por confiabilidad de asentamientos de cimientos superficiales
44
Análisis por confiabilidad de asentamientos de cimientos superficiales
45
Análisis por confiabilidad de asentamientos de cimientos superficiales
46
La selección de estas zonas o conjuntos de datos, obedece a criterios como:
1. La importante variabilidad de los parámetros de compresibilidad en puntos
relativamente cercanos (en planta), ya que se está hablando de menos de 200m de
separación entre cada una de las construcciones referidas. Por ejemplo, para la
relación de vacíos en la Facultad de medicina, se llega a una cota inferior de 0.64
(Figura 5.2). Un edificio adyacente, el Departamento de Química, registra en color
blanco una relación de vacíos hasta de 1.69.
2. Un número de estudios de campo suficiente para el cómputo de promedios y
coeficientes de variación de las propiedades en cuestión. La información
suministrada por la Tabla 5.1 es bastante diciente de por sí. Ya que en esta
investigación se analizan los asentamientos por consolidación para un cimiento
superficial aislado, el incremento de esfuerzos se tendrá en cuenta hasta una
profundidad de influencia adecuada, tal como quedó sustentado en el capítulo
precedente, y que en este caso coincidirá con los primeros metros del llamado
suelo tipo 2, cota hasta la cual se dispone aún de numerosos datos de campo.
3. Por último y como se había mencionado previamente, entra en consideración un
conjunto adicional de datos que incorporan al modelo una caracterización
promedio de acuerdo a la Tabla 5.1, en aras de confrontar los parámetros globales
obtenidos para toda la Ciudad Universitaria con los resultados sectorizados para
los sitios propuestos.
A modo de ilustración, la Figura 5.3 deja ver la enorme la variabilidad en un
espacio relativamente reducido del índice de compresión (la zona demarcada en
escala de grises indica distancias no superiores a los 200 metros), que en particular
está oscilando desde 0.16 hasta 1.77. Este comportamiento, altamente variable, se
presenta también para las otras dos propiedades mostradas en los mapas de la
Figuras 5.1 y 5.2.
Análisis por confiabilidad de asentamientos de cimientos superficiales
47
Figura 5.3. Detalle de zonas seleccionadas para evaluación de S(c) en instrumentos de Excel. Google Maps 2016.
Como se puede ver, la Figura 5.3 también señala explícitamente las cuatro
regiones seleccionadas para evaluar la función de comportamiento , a saber:
Facultad de Medicina
Edificios Ciencia&Tecnología y Química
Plazoleta Central UN
Edificios de Ingeniería
Es decir, tomando como referencia las edificaciones anteriores y en un radio de
100 metros a su alrededor, se selecciona la información proveniente de la exploración
de campo en ese radio de aferencia, se calculan los momentos estadísticos de los datos
recopilados y se evalúa en la ecuación de comportamiento la variabilidad de los
asentamientos por consolidación esperados en cada lugar.
Análisis por confiabilidad de asentamientos de cimientos superficiales
48
5.3. Valores de entrada para el modelo de consolidación.
Una vez definida la función de comportamiento para el cálculo de
asentamientos –capítulo cuatro, ecuaciones (10), (11)- y habiendo seleccionado las
zonas de estudio a tener en cuenta, se extrae de la base de datos de exploraciones en
el Campus la información que compete a las zonas de aferencia de las edificaciones
indicadas arriba. En realidad, toda esta información quedará sintetizada en los
estadísticos media y desviación estándar. Por lo demás, solo para el método SOSM, se
requerirá computar el coeficiente de asimetría o coeficiente de sesgo.
La Tabla 5.2, a manera de ejemplo para la denominada , recopila la
forma de presentación y los resultados de estos cálculos tal y como lo expone el
instrumento planteado en Excel, en la hoja correspondiente a “estadísticos”, señalando
las coordenadas en planta y la profundidad de la muestra, junto con las demás
propiedades geotécnicas de interés, que posteriormente se convierten en los
parámetros y
Tabla 5.2 Cálculo de parámetros estadísticos a partir de información en base de datos
Análisis por confiabilidad de asentamientos de cimientos superficiales
49
Tabla 5.2 Cálculo de parámetros estadísticos a partir de información en base de datos (Continuación)
En la misma Tabla 5.2 y para enfatizar la consistencia con la fuente de
información de donde se extrajeron estas cantidades, se aprecia también la
clasificación USCS, profundidad de la muestra y estudio de origen, conforme a la
reseña de Alarcón Et Al (2007) y García (2008).
5.4 Secuencia de cálculos y presentación en el instrumento de Excel.
En la construcción de las hojas de cálculo que conforman los libros de Excel que
acompañan este documento, se proyectó la secuencia de actividades señalada en la
Figura 5.4, y que finalmente servirá para la determinación del promedio y el
coeficiente de variación de la función de comportamiento. Como se explicó
profusamente en el Modelo de Estudio –capítulo 4-, se escogieron como variables
aleatorias la relación de vacíos y el índice de recompresión para cada volumen
de suelo, y cada uno de estos parámetros geotécnicos se hace variar de acuerdo a las
distribuciones de probabilidad que se indican en la misma Figura 5.4.
A continuación y con el fin de dar claridad al procedimiento ilustrado en el
diagrama anterior, se expone como ejemplo la secuencia de cálculos para la zona 4
(Área de Ingeniería), puntualmente para el caso en que se distribuye como variable
Lognormal y se distribuye normalmente.
Análisis por confiabilidad de asentamientos de cimientos superficiales
50
Figura 5.4 Secuencia de actividades y algoritmo de cálculo en instrumento de aplicación. (Elaboración propia)
Análisis por confiabilidad de asentamientos de cimientos superficiales
51
Figura 5.5 Secuencia de cálculo de asentamientos para la zona cuatro (Elaboración propia)
En el instrumento de cálculo diseñado en esta investigación, se accede a la
rutina computacional por medio de un entorno gráfico muy amigable con el usuario,
Análisis por confiabilidad de asentamientos de cimientos superficiales
52
por medio de vínculos que lo llevan a los diversos libros que conforman el programa
(Figura 5.5). Cada una de las hojas –pestañas inferiores de color gris- desarrolla las
tareas que se discriminan del siguiente modo:
a. Estadísticos: se ingresan los valores tomados de la BD en su respectivo nivel
de profundidad para cada parámetro geotécnico. Como resultado se obtienen los
valores medios, desviaciones estándar y c.o.v. [%] para cada uno de ellos, los cuales
alimentarán las subsecuentes ecuaciones.
b. Δ increm: incremento en el esfuerzo vertical debido a una carga externa que
en el presente modelo NO es una variable aleatoria.
c. S(c) DETERM: arroja el valor del asentamiento (cálculo determinístico) en
milímetros y cuyos datos de entrada han sido los valores promedio de las variables
aleatorias y no aleatorias.
d. S(c) F.O.S.M.: devuelve el valor del asentamiento esperado y su desviación
estándar con el método F.O.S.M. Aparecen discriminados los sumandos de la serie.
e. S(c) S.O.S.M.: muestra el valor del asentamiento esperado y su desviación
estándar en milímetros con el método S.O.S.M. Aparecen discriminados los sumandos
de la serie y la diferencia porcentual con el valor medio calculado con F.O.S.M.
f. S(c) ESTIMAT PUNT: evalúa el valor del asentamiento esperado y su
desviación estándar en milímetros con el método de los estimativos puntuales.
Adicionalmente, aparece el resultado del asentamiento estimado para cada una de las
16 combinaciones de conforme a lo expuesto en el numeral 6 del apartado 4.4
(p. 39).
Análisis por confiabilidad de asentamientos de cimientos superficiales
53
g. S(c) Monte Carlo: calcula el valor del asentamiento esperado y su desviación
estándar en milímetros con el método de simulación de Montecarlo, indicando valores
máximos y mínimos de las variables aleatorias y desarrollo desde 5 iteraciones hasta
las 10,000 iteraciones.
h. Graf Media y Graf Desv Est: en estas dos últimas pestañas se grafica la
tendencia de los estadísticos media y desviación estándar hacia un valor estable, a
medida que se incrementa el número de iteraciones en la simulación de Monte Carlo.
Análisis por confiabilidad de asentamientos de cimientos superficiales
54
Capítulo Seis
Análisis de Resultados
Luego de definir un perfil del subsuelo y realizar una selección de zonas
adyacentes en el Campus de la Universidad Nacional –Sede Bogotá-, se implementó
una herramienta computacional para el cálculo de asentamientos de un cimiento con
una geometría y cargas definidas. Adicionalmente, a partir de un análisis
probabilístico basado en cuatro técnicas de evaluación de la incertidumbre, se
observó una variabilidad notoria en las propiedades geotécnicas del terreno, incluso
en zonas pertenecientes a un perímetro muy estrecho. Con el objetivo primordial de
evaluar la probabilidad de ocurrencia de un nivel de asentamientos, se conformó una
función de comportamiento que está definida por cuatro variables aleatorias, las
cuales se ajustaron a la distribución normal y lognormal y combinaciones entre ellas.
Los hallazgos más relevantes del procedimiento se exponen en este sexto
capítulo, que se centra en analizar el comportamiento de los asentamientos por
consolidación en los diferentes escenarios propuestos para esta investigación. Como
es de esperar, en atención a la gran cantidad de datos involucrados en este proceso, se
muestran aquí solamente los resultados más relevantes y dicientes sobre las
tendencias encontradas; sin embargo, en los archivos que acompañan este
documento, se puede apreciar a través de un menú de fácil acceso el grueso de
información generada en el modelo de estudio. Para terminar, y acudiendo a algunas
simplificaciones necesarias, se plantea un ejercicio para el cálculo del margen de
seguridad con base en la norma de diseño colombiana NSR-10.
6.1 Compendio de resultados para las zonas de estudio.
Se expone en las Figuras 6.1 a 6.9, el resultado de los procesos que se han
llevado a cabo en las cinco zonas de estudio y que tienen a las variables aleatorias, con
sus valores promedio y desviaciones estándar, como insumo fundamental para la
función de comportamiento S(c) -valor del asentamiento por consolidación-.
Análisis por confiabilidad de asentamientos de cimientos superficiales
55
Figura 6.1 Resultados de S(c) para variables aleatorias con distribución lognormal y normal
Distrib
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58,1558,15
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1,0310,100
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24%25%
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50%51%
49%51%
50.00058,53
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22,330
0,160100.000
58,5649%
30%44%
Análisis por confiabilidad de asentamientos de cimientos superficiales
56
Figura 6.2 Resultados de S(c) para variables aleatorias con distribución normal y normal
Distrib
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riab
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0,160100.000
59,0450%
30%44%
Análisis por confiabilidad de asentamientos de cimientos superficiales
57
Figura 6.3 Resultados de S(c) para variables aleatorias con distribución lognormal y lognormal
Distrib
ució
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50%
22,330
0,160100.000
58,1851%
30%44%
Análisis por confiabilidad de asentamientos de cimientos superficiales
58
Figura 6.4 Comparación de resultados de S(c) y c.o.v. con las diferentes técnicas de simulación – Zona 1
Análisis por confiabilidad de asentamientos de cimientos superficiales
59
Figura 6.5 Comparación de resultados de S(c) y c.o.v. con las diferentes técnicas de simulación – Zona 2
Análisis por confiabilidad de asentamientos de cimientos superficiales
60
Figura 6.6 Comparación de resultados de S(c) y c.o.v. con las diferentes técnicas de simulación – Zona 3
Análisis por confiabilidad de asentamientos de cimientos superficiales
61
Figura 6.7 Comparación de resultados de S(c) y c.o.v. con las diferentes técnicas de simulación Zona 4
Análisis por confiabilidad de asentamientos de cimientos superficiales
62
Figura 6.8 Comparación de resultados de S(c) y c.o.v. con las diferentes técnicas de simulación – Zona 5
Análisis por confiabilidad de asentamientos de cimientos superficiales
63
Figura 6.9 Resultados de S(c) y c.o.v. con las diferentes técnicas de simulación – Correlación de Variables
Co
rrelació
n d
e Va
riab
les Alea
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100.00083,19
28%
21,770
0,147
57%91%
# iteracio
ne
s
4. Facu
ltad1
1,0310,100
→
Inge
nie
ría17%
24%100.000
90,8415%
22,375
0,175
35%28%
96
,53
60
,81
83
,19
90
,84
69
,88
59
,95
58
,15
72
,49
44
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28
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5%
Zon
a 1
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Zon
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Zon
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Fac. In
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Asentamiento estimado [mm]
Asen
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tos estim
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s: Variables Co
rrelacion
adas
S(c)
Determ
.
c.o.v.
Análisis por confiabilidad de asentamientos de cimientos superficiales
64
6.2 Sensibilidad de y para la función S(c)
Una vez graficada y tabulada la vasta información generada en las hojas de
cálculo inherentes al trabajo desarrollado hasta este punto, se puede apreciar una
serie de tendencias que se plantean a continuación:
A pesar de tratarse de cuatro zonas adyacentes, circunscritas en un radio que
no supera los 400 metros (Figura 5.3), queda manifiesta la importante
variabilidad en las propiedades del terreno. Como salta a la vista en los
valores de c.o.v. para la variable de entrada , en el suelo tipo 1 oscila entre
17% y 57% y en el suelo tipo 2 entre 24% y 75%. El rango de variación de
es ligeramente menor, pero en general el valor de c.o.v. para supera al de la
relación de vacíos, aportando mayor incertidumbre al valor calculado de S(c).
La zona 4, aledaña a la Facultad de Ingeniería, es la que registra los mayores
asentamientos esperados. Sin embargo, es la que registra la menor variación
en este guarismo, tendencia que mantiene en las cuatro técnicas de
evaluación de incertidumbre, y en los diferentes enfoques para la distribución
de las variables de entrada. Es de notar que hay una estrecha diferencia entre
tales resultados (entre el 24% y 28%) siendo la cota más alta la originada por
el método de Monte Carlo, cuando se asume una correlación entre las
variables de entrada.
El caso opuesto a la consideración anterior, es la llamada zona 1, que en todos
los contextos supera un c.o.v. de 82%. Esta situación no causa extrañeza, ya
que la suma de los c.o.v. es la mayor de todo el conjunto de datos. La única
técnica que entrega valores menores de variación (44%), fue el método de
Monte Carlo –realizada con 100,000 iteraciones- para la suposición de
variables correlacionadas (Figura 6.9). Este fue el común denominador para
todas las zonas de estudio.
Respecto al valor esperado de los asentamientos, en las técnicas F.O.S.M.
y S.O.S.M. se obtiene prácticamente la misma magnitud que el evaluado con
los valores promedio de y . De la misma manera, en todos los casos la
técnica P.E.M. suministra valores esperados de asentamiento ligeramente
Análisis por confiabilidad de asentamientos de cimientos superficiales
65
mayores que las dos anteriores. La bondad de este enfoque estriba en otorgar
resultados más pequeños para el c.o.v. de la función de comportamiento.
6.3 Tendencias de la función de comportamiento en el método de Monte Carlo
La precisión del Método de Monte Carlo se afecta sensiblemente por el número
de pasos o iteraciones con que se ejecute (Russelli, 2008). Por tal razón, para tener
una impresión más certera de esta hipótesis, se graficó la tendencia de y
para todos los casos en que se aplicó esta simulación. Algunos de los resultados,
bastante dicientes per se, se revelan en las Figuras 6.10 a la 6.13, indicando la
convergencia de estos estadísticos hacia un valor fijo, que estará en función de la
variabilidad de los datos de entrada y del número n de iteraciones. Es indudable que
para convergir, para se requiere ejecutar un número mayor de pasos que para
y que para la zona 1 –la de mayor variabilidad- este punto de convergencia no se
visualiza tan claramente como en los demás casos.
En este orden de ideas, se exponen gráficamente estos comportamientos
enunciados, con la consideración adicional del estrecho rango en que varían los
parámetros estadísticos en la zona 3 y 4, mientras que en las dos primeras se observa
un estilo mucho más disperso, en este caso concreto cuando y se distribuyen
normalmente.
Figura 6.10 Variación de desviación estándar y valor medio con n en el M.C.S. –Zona 1-
Análisis por confiabilidad de asentamientos de cimientos superficiales
66
Figura 6.11 Variación de desviación estándar y valor medio con n en el M.C.S. –Zona 2-
Figura 6.12 Variación de desviación estándar y valor medio con n en el M.C.S. –Zona 3-
Figura 6.13 Variación de desviación estándar y valor medio con n en el M.C.S. –Zona 4-
Análisis por confiabilidad de asentamientos de cimientos superficiales
67
6.4 Evaluación del error en la estimación de S(c)
Con el fin realizar una estimación del error en que se incurre al asumir
determinado tipo de distribución para la función de comportamiento –en este caso
S(c)- se puede acudir a técnicas estadísticas que hacen un cotejo entre los resultados
observados y los teóricos. En general, se conocen como pruebas de bondad de ajuste
aquellos procedimientos que comparan las curvas CDF entre estos dos conjuntos de
datos y que señalan un límite máximo para la diferencia entre sus correspondientes
curvas. Una de las más comúnmente usadas es la prueba Kolmogorov-Smirnov,
llamada no paramétrica, ya que requiere solamente la frecuencia de los datos
empíricos (Kottegoda y Rosso, 1998). En la carpeta E- Histogramas y Ajuste del
instrumento en Excel (ver Figura 5.4 y 5.5), se realizaron cálculos como los mostrados
a modo de ejemplo en la Tabla 6.1, para nueve (9) condiciones diferentes, en las
iteraciones realizadas en el método de Monte Carlo con 10 mil datos.
Tabla 6.1 Diferencia entre distribución empírica y teórica para S(c)
HISTOGRAMA DE FRECUENCIASCaso: var no correlacionadas. LOGNORM - NORM
ZONA DE ESTUDIO # 2: Ciencia y TecnologíaDistribuciones: e0 lognorm - Cr norm
n Var Aleatoria
100.000 S (c) D IST LOGN OR M e0 [1] D IST LOGN OR M e0 [2]
media 80,78 z² 0,207 z² 0,078
desv. Est 38,77 z 0,455 z 0,280
mín 0,15 l 4,288 l 0,850
máx 345,02
rango 344,87
# intervalos 100
D intervalo 3,45
f.r.a. teórica f.r.a. teórica Δ (Teórica-Empírica) Chequeo
dato # S (c) lím superior frec frec relat frec rel acum NORMAL LOGNORMAL vs Test K.S. (%)
1 90,99 3,60 175 0,002 0,002 0,023 0,000 0,022 ok
2 26,01 7,05 538 0,005 0,007 0,029 0,000 0,023 ok
3 64,38 10,50 834 0,008 0,015 0,035 0,000 0,027 ok
4 28,08 13,95 1125 0,011 0,027 0,042 0,000 0,031 ok
5 100,33 17,40 1232 0,012 0,039 0,051 0,001 0,039 ok
6 5,13 20,85 1398 0,014 0,053 0,061 0,003 0,047 ok
7 120,00 24,30 1536 0,015 0,068 0,073 0,008 0,057 ok
8 31,62 27,74 1587 0,016 0,084 0,086 0,017 0,070 ok
9 55,79 31,19 1813 0,018 0,102 0,100 0,031 0,082 ok
10 7,93 34,64 1982 0,020 0,122 0,117 0,051 0,097 ok
11 37,26 38,09 2118 0,021 0,143 0,135 0,077 0,114 ok
12 37,62 41,54 2246 0,022 0,166 0,156 0,109 0,133 ok
13 64,28 44,99 2428 0,024 0,190 0,178 0,145 0,154 ok
14 26,79 48,44 2664 0,027 0,217 0,202 0,185 0,175 ok
Análisis por confiabilidad de asentamientos de cimientos superficiales
68
El comportamiento de la curvas PDF y CDF para S(c), lleva intuitivamente a
pensar que asumir una distribución lognormal para la función de comportamiento es
una hipótesis acertada, confirmando los resultados arrojados por el proceso mostrado
en la Tabla 6.1. A manera de ejemplo, en las Figuras 6.14 a 6.16 se puede apreciar
claramente que la CDF de la distribución teórica Lognormal, en tono verde, se
yuxtapone casi perfectamente a la CDF de la distribución empírica, en tono rojo.
Paralelamente, en el recuadro pequeño en las mismas figuras, se ilustra el
aspecto de la PDF de S(c), evidenciando que se trata de una gráfica no simétrica y con
sesgo positivo, reuniendo así características propias de la función Lognormal. Por otro
lado, en la Figura 6.17, se muestra una configuración tipo para las variables de entrada
que conforman la función de comportamiento; es el escenario puntual en que y
se distribuyeron normalmente y se simularon como variables correlacionadas para el
estudio de la Zona 2. Esto sirve también para comprobar que el algoritmo que se
programó para las iteraciones en el método de Monte Carlo arroja valores coherentes
y la no periodicidad o repetición de los números generados aleatoriamente
(Kottegoda y Rosso, 1998).
6.5 Cálculo del margen de seguridad y probabilidad de falla.
Con el ánimo de llevar a cabo un ejemplo de la evaluación de la probabilidad de
ocurrencia de un asentamiento, que se busca sea menor al señalado por la norma de
diseño colombiana (Capítulo H.4, numeral H.4.9.2), establecido en 30 cm para
construcciones aisladas, se tendrán en cuenta las siguientes simplificaciones:
Los asentamientos por consolidación se distribuyen de acuerdo a la función
de densidad de probabilidad lognormal.
Dado que no se tienen en cuenta en este trabajo los asentamientos elásticos
o inmediatos, para este ejemplo se tomará la magnitud de éstos últimos
igual a los generados por consolidación, y se ignorará el efecto de la
consolidación secundaria.
Los asentamientos totales obedecen a una distribución lognormal.
Análisis por confiabilidad de asentamientos de cimientos superficiales
69
Figura 6.14 Curva CDF empírica y teórica - Zona 1, lognormal y normal
Figura 6.15 Curva CDF empírica y teórica - Zona 2, lognormal y lognormal
Análisis por confiabilidad de asentamientos de cimientos superficiales
70
Figura 6.16 Curva CDF empírica y teórica - Zona 4, normal y normal [Var. Correlacionadas]
Figura 6.17 Curvas PDF para variables de entrada - Zona 4, normal y normal [Var. Correlacionadas]
Análisis por confiabilidad de asentamientos de cimientos superficiales
71
Tal y como se había definido en el tercer capítulo, se tiene esta expresión para
la probabilidad de falla:
( )
La cual está dada en función de fuerzas resistentes y fuerzas actuantes. Sin
embargo, para el estudio de asentamientos, la forma de la ecuación anterior se podría
expresar de una manera más conveniente teniendo en cuenta las restricciones dadas
en la norma NSR10. Se llega entonces a:
(12)
donde es el asentamiento total, que se calcula en parte con la función de
comportamiento S(c), que solo contempla la parte debida a la consolidación.
De este modo, se llega a un objetivo del análisis de confiabilidad, que es
garantizar una condición de seguridad y que sólo es posible en términos de
probabilidad; es decir:
siendo la probabilidad de tener una condición segura y es la
probabilidad de que el asentamiento esté por debajo de los 30 centímetros.
Por antonomasia, la probabilidad de que se dé una condición de inseguridad, o
dicho de otro modo, la probabilidad de falla , está dada por
Con este marco de referencia y con la ayuda de las Figuras 6.14 a 6.17, se
calculan las probabilidades de falla indicadas en la tabla 6.2. Como se mencionó en la
página anterior, para tener un orden de magnitud en estas operaciones, se asumirá un
asentamiento elástico de la misma proporción que S(c). Es decir, que
y la ecuación (13) se convertirá en
Análisis por confiabilidad de asentamientos de cimientos superficiales
72
Tabla 6.2 Probabilidad de falla para algunas condiciones y zonas de estudio
Por último y avanzando un paso más adelante en el análisis por confiabilidad, a partir
de las probabilidades de falla que se hallan en este tipo de problemas queda por
estudiar el nivel de comportamiento de las estructuras. Un ejemplo de este enfoque lo
da Garzón (2016) para obras de infraestructura vial y Cruz (2012) en el campo de la
estabilidad de taludes.
Tabla 6.3 Niveles esperados de comportamiento en términos de Pf. Tomado de Cruz (2012)
Figura # Zona Correlación
6.14 1 lognormal normal no 0,25
6.15 2 lognormal lognormal no 0,08
6.16 3 lognormal normal sí 0,05
Distribución variables
de entrada
Análisis por confiabilidad de asentamientos de cimientos superficiales
73
Capítulo Siete
Conclusiones y Recomendaciones
Desde los primeros resultados obtenidos con la aplicación de la metodología y
el algoritmo computacional propuesto en esta investigación, se puede apreciar la
importante variabilidad de los parámetros geotécnicos considerados como variables
de entrada para la función de comportamiento S(c), establecida en el modelo de
estudio para el análisis por confiabilidad de asentamientos. En consecuencia, como
bien se pudo apreciar en el capítulo anterior, se obtuvo un rango de variación muy
amplio –expresado en términos de c.o.v.- para S(c). Este hecho se dio para zonas muy
cercanas entre sí, resaltando la importancia del enfoque probabilístico en los
problemas relacionados con la ingeniería geotécnica. Así pues, en el contexto en que
se ha desarrollado el presente documento, se proponen como conclusiones y
recomendaciones más relevantes las siguientes reflexiones:
Conclusiones
Si bien es cierto que para realizar el análisis por confiablidad de asentamientos,
se hicieron simplificaciones importantes en cuanto al modelo de estudio y la ecuación
para el cálculo de la deformación del suelo, también debe tenerse en cuenta que hay
otras variables que no aportan significativamente a la incertidumbre, como la carga
aplicada y las dimensiones del cimiento. Así mismo, aunque existen otras
distribuciones de probabilidad como Gamma y Beta, que en teoría reúnen unas
condiciones más óptimas para describir problemas de deformación del terreno, dichas
distribuciones requieren de un mayor número de parámetros y datos, justamente
escasos en la prospección geotécnica. Por todo esto, se enfatiza en la importancia de
hacer un balance entre la sofisticación de los procesos y las condiciones y la
información disponible en la realidad.
El número de iteraciones involucradas en el método de los estimativos
puntuales -P.E.M.- está en función del número de variables aleatorias del proceso .
En el presente estudio, se generaron 16 diferentes casos, las cuales aumentarían a 32
al adicionar una sola variable más. Considerando a la vez las combinaciones que se
Análisis por confiabilidad de asentamientos de cimientos superficiales
74
deben realizar entre las variables de entrada y sus desviaciones estándar, se requiere
para funciones más complejas realizar un algoritmo que permita encontrar tales
combinaciones, ya que hacer este proceso manualmente se convertiría en algo
engorroso. Aun así, el método PEM se muestra como una alternativa valiosa para
análisis por confiabilidad, dada la sencillez de su procedimiento para n variables no
más allá de 3. El valor de y hallado con P.E.M. está en el mismo orden de magnitud
que el obtenido con las otras técnicas.
El método de Monte Carlo aparece como una forma sofisticada de evaluar
incertidumbres, para su posterior uso en el cálculo de probabilidades de falla. Si bien
es cierto, como se pudo apreciar, que un número óptimo de pasos para el problema de
asentamientos fue de 100 mil iteraciones, este algoritmo permite su uso
prácticamente en cualquier situación cotidiana. Al comparar los resultados de M.C.S.
con las alternativas propuestas, arroja en todos los casos valores mayores para el
promedio de la función de comportamiento, pero con coeficientes de variación
menores a los demás. Asimismo, cuando se tratan las variables de entrada como
correlacionadas, entrega valores de c.o.v. significativamente menores a todos los
demás procesos; el método PEM permite también manejar esta hipótesis -correlación
de variables-, pero es mucho más sencillo implementarlo en M.C.S.
Un indicador muy elocuente acerca del número de iteraciones que se debe
realizar al aplicar el método de Monte Carlo, fue la forma suavizada que se obtuvo
para las curvas PDF y CDF de la función de comportamiento trabajada. Paralelamente,
cuando se buscaba la convergencia hacia un valor concreto de y de S(c), se pudo
apreciar que a medida que aumenta la variabilidad de los datos de entrada, es
necesario hacer más iteraciones para que se llegue a un valor estable para estos
estadísticos. En conclusión, M.C.S. resulta siendo una alternativa óptima para
determinar la forma de la función de probabilidad de S(c), ya que permite construir
rápidamente las curvas PDF y CDF, las cuales se ajustaron muy bien a la distribución
Lognormal.
A pesar de que en el mercado y en la web se dispone de numerosos paquetes
ofimáticos de libre distribución, creados para el análisis estadístico e inferencial, las
herramientas de cálculo disponibles en Excel resultaron adecuadas y suficientes para
los objetivos de este proyecto. Adicionalmente y como valor agregado del mismo, el
instrumento diseñado en este programa permite el ingreso de otros conjuntos de
datos, para la evaluación inmediata de la incertidumbre con las cuatro técnicas
expuestas hasta aquí.
Análisis por confiabilidad de asentamientos de cimientos superficiales
75
Recomendaciones
Siguiendo la tendencia de otros proyectos de investigación realizados en la
línea de investigación Análisis de Confiabilidad y Riesgos de la Maestría en Geotecnia
en la Universidad Nacional, queda latente la importancia de implementar los
conceptos estadísticos en el diseño geotécnico, enriqueciendo el tradicional enfoque
determinístico con los argumentos propios de análisis de riesgo, puesto que estos
indicadores probabilísticos ayudan a decidir cuándo un factor de seguridad puede ser
aceptablemente bajo o cuando debe ser necesariamente alto.
Se espera seguir alimentando las bases de datos sobre compresibilidad y otras
propiedades geotécnicas de los materiales de la Sabana, teniendo en cuenta –como
quedó demostrado en el tratamiento de áreas colindantes en una superficie realmente
pequeña- que hay una aleatoriedad altísima en las mediciones de las propiedades del
suelo, incluso garantizando su cercanía. No obstante, en todo caso debe aplicarse con
el mayor criterio ingenieril la interpretación de cualquier generalización, como por
ejemplo los mapas de zonificación que se realicen a pequeña y a gran escala, puesto
que todo coeficiente de variación o valor promedio que se proponga, debe provenir de
zonas geológica y geotécnicamente similares.
Finalmente, un insumo que potenciaría la credibilidad y el uso frecuento de
este tipo de metodologías, sería una base de datos robusta sobre mediciones reales de
la deformación del terreno; corroborar los pronósticos de las ecuaciones planteadas
para los asentamientos por consolidación y su comparación con las predicciones
otorgadas por los métodos probabilísticos, puede incluso hacer reflexionar sobre el
orden de magnitud convenido en la NSR-10 para los asentamientos máximos
permitidos en las construcciones colombianas.
Análisis por confiabilidad de asentamientos de cimientos superficiales
76
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Análisis por confiabilidad de asentamientos de cimientos superficiales
80
ANEXO 1
(Medio Magnético)
Instrumento en Microsoft Excel
Evaluación de incertidumbre con cuatro
métodos
Compendio de resultados
Histogramas y ajuste de curvas
Análisis por confiabilidad de asentamientos de cimientos superficiales
81
ANEXO 2
VALORES DE PARA PRUEBA NO PARAMÉTRICA DE BONDAD DE AJUSTE TIPO KOLMOGOROV-SMIRNOV
Tomado de García (2008)