ANÁLISIS TIEMPO-FRECUENCIA

Unidad IV

Dra. Adriana del Carmen Téllez Anguiano

ANÁLISIS FRECUENCIAL

No permite caracterizar adecuadamente señales

que varían en el tiempo.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-2

-1

0

1

2Seno 30 Hz + seno 100 Hz

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000

0.2

0.4

0.6

0.8

1FFT: seno 30 Hz + seno 100 Hz

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1

-0.5

0

0.5

1Seno 30 Hz y seno 100 Hz

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5FFT: seno 30 Hz y seno 100 Hz

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ANÁLISIS TIEMPO-FRECUENCIA

Caracterización y manipulación de señales

estadísticamente variables en el tiempo

Señales transitorias.

Distribución tiempo-frecuencia de la señal:

Representa la señal en el dominio del tiempo como en

el de la frecuencia simultáneamente.

La representación en el dominio de la frecuencia sólo

refleja el comportamiento de la señal en el tiempo

localmente.

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FUNDAMENTOS

Principio de incertidumbre de Heisenberg

Procesamiento de señales

Una mayor resolución en frecuencia implica una menor

resolución en tiempo y viceversa.

La transformada Wavelets permite analizar señales

no estacionarias.

. 1f T

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WAVELETS

Transformada

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TRANSFORMADA WAVELETS

Aplicaciones:

Filtrado

Eliminación de ruido

Encontrar localización y distribución de

singularidades.

Similar a la transformada de Fourier, pero en

lugar de manejar señales ponderadas de

frecuencias armónica maneja la ponderación de

wavelets (ondeleta = onda pequeña)

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WAVELETS

Todas las wavelets se derivan de una wavelet

básica (madre), la cual debe tener las siguientes

propiedades:

Oscilatoria

Sin componente de CD

Pasabanda

Tiende a cero rápidamente en el tiempo

Invertible

La transformada W de una señal es única

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WAVELETS

Formas

básicas

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WAVELET BÁSICA (MADRE)

Morlet o Gaussiana modificada

Transformada de Fourier

2

0 /2j t tt e e

2

0 /22H e

-3 -2 -1 0 1 2 3-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

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WAVELET (HIJA)

Se escala la wavelet madre

a = Constante de escalamiento variable

= Constante de translación

1

/t aa

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SEÑAL

Se supone que la señal tiene un cuadrado

integrable

Señal de magnitud finita y corta duración

2s t dt

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TRANSFORMADA WAVELET

Continua, CWT

De Parámetros Discretos, DPWT

1

, /CWT a s t t a dta

/2

0 0 0 0, /m m mDPWT m n a s t t n a a dt

0 0 0

0 0

, ,

,

,

m m

m

a a n a

a n Intervalos de muestreo

m n enteros

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TRANSFORMADA WAVELET

Usualmente

Entonces

/2

/2

, 2 2 / 2

, 2 2

m m m

m m

DPWT m n s t t n dt

DPWT m n s t t n dt

0

0

2

1

a

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TRANSFORMADA WAVELET

De Tiempo Discreto, DTWT

Considerando

Entonces

Transformada Wavelet Discreta

/2

0 0 0, m m

kDTWT m n a s k a k n

0

0

2

1

a

/2, 2 2m m

kDTWT m n s k k n

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RECONSTRUCCIÓN DE SEÑALES

Para eliminar ruido de las señales

Se aplica la TW y se eliminan los componentes de

ruido

Se emplea la fórmula de reconstrucción

(Transformada inversa)

2

0

1 1 1, /

a

s t CWT a t a dadtC aa

2

0

/C H d

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ESCALA (A)

a a

a a

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CÓMPUTO DE LA TRANSFORMADA

WAVELET (A=1)

a a

a a

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A=5

a a

a a

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A=20a a

a a

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SEÑAL NO ESTACIONARIA

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TRANSFORMADA WAVELET

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