Post on 09-Dec-2015
Jhon Alberto Henao López Código: 15453719
Punto # 1: De la siguiente Elipse 9 x2+3 y2=27 . Determine
a. Centrosb. Focosc. Vértices
9 x2+3 y2=27
9 x2
27+3 y
2
27=1
x2
3+ y
2
9=1
Elipse vertical
a. centros (0,0) = (h,k)
b. focos a2=3 , a=√3b2=9 , b=3
c2=b2−a2
c2=9−3c2=6 c=√6
F1= (h, k + c) = (0,0 + √6 ) = (0, √6)
F2= (h, k – c) = (0,0 - √6 ) = (0, -√6)
c. vértices
V1 = (h, a + k) = (0 + √3 ,0) = (√3 ,0)
V2 = (h – a, k) = (0 - + √3 ,0¿=(−√3 ,0)
B1 = (h, k + b) = (0, 0 + 3) = (0, 3)
B2 = (h, k – b) = (0, 0 – 3) = (0, -3)
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PUNTO # 2: Deduzca una ecuación de la elipse que satisfaga las condiciones indicadas: Vértices en (± 5, 0) y Focos en (± 3, 0)
V1: (5,0) , V2: (-5,0)
F1: (3,0) , F2: (-3,0)
2a=10 2c=6
a=102
c=62
a=5 c=3
(h , k )=( 5−52 ,0−02 )
(h , k )=( 5−52 ,0−02 )
(h , k )=(0,0 )
b2=a2−c2=25−9=16
b=4
Ecuación: x2
25+ y
2
16=1
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PUNTO # 3: De la siguiente hipérbola 9x2 – 25y2 = 225. Determine:
a. Centro b. Focos c. Vértices
9x2 – 25y2 = 225
9 x2
225+ 25 y
2
225=1
x2
25+ y
2
9=1
a2=25→a=5
b2=9→b=3
c2=a2+b2→c2=25+9→c2=34
c=√34
a) Centro = (0,0)
b) Focos F1 = ( h + c , k ) = (0 + √34 , 0) = (√34 , 0) F2 = ( h - c , k ) = (0 - √34 , 0) = (−√34 , 0)
c) Vértices V1 = ( h + a , k ) = (0 + 5 , 0) = (5, 0) V2 = ( h - a , k ) = (0 - 5 , 0) = (−5 , 0)
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PUNTO # 4: Deduzca una ecuación de la hipérbola que satisfaga las condiciones indicadas: Centro en ((1, - 3), un foco en (1, - 6) y un vértice en (1, - 5).
( h , k ) = ( 1 , -3 )
F2 = ( h , k - c) = ( 1 , -6 )F2 = ( h , k - b) = ( 1 , -5 )k – c = -6 k – b = -5k + 6 = c k – 5 = b
c = 6 – 3 = 3 b = 5 – 3 = 2a2=c2−b2→a2=9−4→a2=5
Ecuación: y2
4− x
2
5=1
PUNTO # 5: Demostrar que la ecuación x2 + y2 + 6x - 2y – 15 = 0 es una circunferencia. Determinar:
a. Centro b. Radio
x2+ y2+6 x−2 y−15=0
x2+6 x+9+ y2−2 y+1=15+9+1
( x+3 )2+( y−1 )2=25
a. Centro = ( -3 , 1)
b. Radio = 5
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Punto # 6: De la siguiente parábola x2+6 x+4 y=0 Determine:
a. Vértice
b. Foco
c. Directriz
4y + 8 = −x2- 6x
4y + 8 = - (x2+ 6x + 9) + 9
4y – 1 = - ( x+3 )2
4 ( y−14 ) = - ( x+3 )2
( y−14 ) = - 14 ( x+3 )2
a. Vértice (−3 , 14 ) = (h, k)
4p = - 14
p = - 116
b. Foco (h, k + p ) = (−3 , 14− 116 ) = (−3 , 316 )
c. Directriz y = k – p = 14 - (− 1
16 ) = 14 +
116 =
516
Directriz y=516
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Punto # 7: Determine la ecuación de la recta tangente a la circunferencia
x2 + y2 + 4x + 6y - 7 = 0
(x2 + 4x + 4) + (y2 + 6y + 9) = 7 + 4 + 9
( x+2 )2 + ( y+3 )2 = 20
Centro (-2, -3)
La recta tangente es perpendicular al radio en el punto dado (-4, 1)
Hallemos pendiente del radio, (-2, -3), (-4, 1)
m = 1+3
−4+2 = 4
−2 = - 2
Luego mT = −1m = −1−2 = 12
Ecuación recta tangente
y – 1 = 12 (x + 4)
2y – 2 = x + 4
-x + 2y – 6 = 0 Ecuación general
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Punto # 8: Calcular las siguientes sumatorias:
a)
∑k=1
20
(20−k+1 )3=∑k=1
20
(21−k )3
∑k=1
20
9261−1323k+63k2−k3
∑k=1
20
9261−1323∑k=1
20
k+¿63∑k=1
20
k2−∑k=1
20
k3¿
¿9261n−1323( n2+n2 )+63 ( 2n3+3n2+n6 )−( n4+2n3+n24 )
¿9261(20)−1323( 202+202 )+63( 2(20)3+3 (20)2+206 )−((20)4+2(20)3+(20)2
4 )
= 185220 – 277830 + 180810 – 44100
= 44100
b)
¿∑k=1
50
(3k ¿¿2+2k−5)¿
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¿3∑k=1
50
k2+2∑k=1
50
k−∑k=1
50
5
¿3( 2n3+3n2+n6 )+2( n2+n2 )−5 (n )
¿3¿
= 128775 + 2550 – 250
= 131075
Punto # 9: Calcular las siguientes productorias:
A :∏K=1
3
(A−K2)
(a−12 ) (a−22 ) (a−32 )=(a−1)(a−4)(a−9)
(a2−5a+4 ) (a−9 )=a3−14a2+49a−36
B:∏K=5
6
∏J=3
4
∏i=1
2 (2 i− j )(2k+i )
¿¿
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¿∏k=5
6
∏j=3
4
( 2− j2k+1 )( 4− j2 j+k )
¿∏k=5
6
( 2−32k+1 )( 4−32k+2 )( 2−42k+1 )( 4−42k+2 )
¿( 2−310+1 )( 4−310+2 )( 2−410+1 )( 4−410+2 )( 2−312+1 )( 4−312+2 )( 2−412+1 )( 4−412+1 )
(−111 )( 112 )(−211 )( 012 )(−113 )( 114 )(−213 )( 013 ) =0