Arboles en Java

5/17/2018 Arboles en Java - slidepdf.com

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ARBOLES EN JAVA

INTEGRANTES:

Jorge Barreto

Jorge Crespo

Xavier Sumba

Índice2

Arboles (Definición) Arboles (Terminología) Factor de Equilibrio Tipos de Arboles

Recorrido de un Árbol Binario Árbol de Búsqueda Binaria(Búsqueda) Árbol de Búsqueda Binaria(Inserción) Árbol de Búsqueda Binaria(Eliminación) Rotaciones del árbol AVL Diferencias entre el árbol B, B+, B* Árbol Biselado (Biselación) Referencias

Arboles (Definición)3

Intuitivamente el concepto de árbol implica unaestructura donde los datos se organizan de modo quelos elementos de información estén relacionadosentre sí a través de ramas.

Definición recursiva: Árbol es un conjunto de nodosque:

• Es vacío, o bien,• Tiene un nodo raíz del que descienden0 o más sub-árboles.

Arboles (Terminología)4

• Nodos: conjunto finito de elementos.• Ramas: conjunto finito de líneas

dirigidas, que conectan nodos.• Grado del Nodo:

número deramas descendentes con un nodo.• Raíz: primer nodo de un árbol no vacío.• Camino: secuencia de nodos en los que cada

nodo es adyacente al siguiente. Solo existe 1 camino entre la Raíz y un Nodo cualquiera. La distancia de un Nodo a la Raíz determina la rapidez de Búsqueda.

Arboles (Terminología)5

• Padre: tiene Nodos sucesores.• Hijos: Nodos sucesores.• Descendientes: Hijos de los hijos• Ascendientes: los padre y abuelos de un nodo hijo.• Hermanos: 2 o mas nodos del mismo padre.• Hojas: nodo sin hijos .• Nivel de un nodo: distancia a la raíz.• Altura o profundidad de un árbol: nivel de la hoja del camino

más largo desde la raíz más uno. La altura de un árbol vacío es 0.

• Subárbol: cualquier estructura conectada por debajo del raíz. Cadanodo de un árbol es la raíz de un subárbol que se define por el nodo

y todos los descendientes del nodo.

Factor De Equilibrio6

Factor de Equilibrio: diferencia de altura entrelos 2 sub-árboles de un nodo.

Árbol Equilibrado: –1<fe<1. Ej: fe=3–2=1

Árbol Perfectamente Equilibrado: fe=0.

Recorrido De Un Arbol Binario9

Hay dos formas básicas de recorrer un árbol: El recorridoen amplitud y el recorrido en profundidad.

Recorrido en amplitud

Es aquel recorrido que recorre el árbol por niveles.

Recorrido en profundidad

Recorre el árbol por subárboles.

Hay tres formas: en inorden, preorden y postorden.Cada una de ellas tiene una secuencia distinta para analizarel árbol.

Recorrido De Un Arbol Binario10

1. Inorden Recorrer el subarbol izquierdo en inorden.Examinar la raíz.Recorrer el subarbol derecho en inorden.

Preorden Examinar la raíz.Recorrer el subarbol izquierdo en preorden.recorrer el subarbol derecho en preorden.

Postorden Recorrer el subarbol izquierdo en postorden.Recorrer el subarbol derecho en postorden.Examinar la raíz.

Ejemplo Recorrido AB11

Amplitud:

12 - 8,17 - 5,9,15

Profundidad: Inorden: 5-8-9-12-15-17

Preorden: 12-8-5-9-17-15

Postorden: 5-9-8-15-17-12

Operaciones(BUSQUEDA)12

La búsqueda consiste acceder a la raíz del árbol, si elelemento a localizar coincide con éste la búsqueda haconcluido con éxito, si el elemento es menor se buscaen el subárbol izquierdo y si es mayor en el derecho.Si se alcanza un nodo hoja y el elemento no ha sidoencontrado se supone que no existe en el árbol.

Árbol Binario de Búsqueda (Búsqueda)13

Buscaremos el número 14

Búsqueda 14

Operaciones(INSERCIÓN)16

La inserción es similar a la búsqueda. Si tenemosinicialmente como parámetro un árbol vacío se creaun nuevo nodo como único contenido el elemento ainsertar. Si no lo está, se comprueba si el elementodado es menor que la raíz del árbol inicial con lo quese inserta en el subárbol izquierdo y si es mayor seinserta en el subárbol derecho. De esta forma las

inserciones se hacen en las hojas.

Árbol Binario de Búsqueda (Inserción)17

Insertaremos los números 5, 9, 14, 3, 1

5, 9, 14, 3, 1

Operaciones(ELIMINACIÓN)22

Existen varios casos a tener en consideración: Borrar un nodo hoja: simplemente se borra y se

establece a nulo el apuntador de su padre.

Borrar un nodo con un subárbol hijo: se borrael nodo y se asigna su subárbol hijo como subárbolde su padre.

Operaciones(ELIMINACIÓN)23

Borrar un nodo con dos subárboles hijo: lasolución está en reemplazar el valor del nodo por elde su predecesor o por el de su sucesor en inorden y posteriormente borrar este nodo. Su predecesor eninorden será el nodo más a la derecha de su subárbolizquierdo (mayor nodo del subarbol izquierdo), y susucesor el nodo más a la izquierda de su subárbol

derecho (menor nodo del subarbol derecho).

Árbol Binario de Búsqueda (Eliminación)24

Eliminación del número 3

Rotaciones del Árbol AVL

Rotaciones Simples: De un árbol de raíz (r) y de hijosizquierdo (i) y derecho (d), lo que haremos será formar unnuevo árbol cuya raíz sea la raíz del hijo izquierdo, como hijoizquierdo colocamos el hijo izquierdo de i (nuestro i’) y comohijo derecho construimos un nuevo árbol que tendrá como

raíz, la raíz del árbol (r), el hijo derecho de i (d’) será el hijoizquierdo y el hijo derecho será el hijo derecho del árbol (d)

Rotaciones del Árbol AVL

Rotaciones Dobles: La rotación doble a laderecha son dos rotaciones simples, primerorotación simple izquierda y luego rotación simplederecha.

Diferencia entre Árbol B, B+ y B*30

La familia de árboles B son árboles multicamino,esto significa que tienen más de una llave en susnodos. Los árboles binarios tienen solamente unallave en sus nodos. El número de llaves que tienemás uno se dice que es el orden de un árbol B, B* oB+.

En estos árboles las principales operaciones son

inserción, eliminación y búsqueda.

En los árboles B las llaves se almacenan en el árbol y cada nodo debe tener al menos la mitad de suselementos ocupados, esto quiere decir que enalgunos nodos hay huecos. El único nodo que nonecesita tener la mitad de sus localidades ocupadases el nodo raíz, que puede tener solamente una llave.

En los árboles B* los nodos deben ocuparse al menosen 2/3 en vez de 1/2 (la mitad) esa es la diferencia,en lo demás se parecen a los árboles B.

La diferencia entre el árbol B y B+, consiste en quelas llaves se almacenan en los nodos del último niveldel árbol y esos nodos se enlazan unos con otrosformando una lista ligada que puede ser ligada en

forma sencilla o doblemente ligada. Las llaves serepiten en los nodos intermedios y en el nodo raízpara facilitar la búsqueda. Puede haber llaves en losnodos intermedios que no existan en los nodos hoja

porque alguna vez se insertaron y luego se borraronpero se conservan para propósitos de localizaralgunas llaves.

Árbol Biselado (Biselación)34

Esta operación traslada un nodo x, que es el nodo alque se accede, a la raíz . Para realizar esta operacióndebemos rotar el árbol de forma que en cadarotación el nodo x está más cerca de la raíz.

Podríamos distinguir 3 casos generales:

Si x es hijo izquierdo de p entonces realizaremos unarotación simple derecha. En caso de que x sea elderecho la rotación que deberemos realizar es simpleizquierda.

Caso 135

Si x es hijo y nieto izquierdo de p y q ,respectivamente. Entonces debemos realizarrotación doble a la derecha, en caso de que x seahijo y nieto derecho de p y q la rotación será doble

izquierda.

Caso 236

En caso de que x sea hijo izquierdo de p y nietoderecho de q realizaremos una rotación simplederecha en el borde entre x y p y otra simpleizquierda entre x y q . En caso contrario, x sea hijo

derecho y nieto izquierdo de q , la rotacionessimples será izquierda y después derecha.

Caso 337

Referencias

http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81rbol_%28inform%C3%A1tica%29 http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81rbol_binario http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81rbol_binario_de_b%C3%BAs

http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81rbol_AVL http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81rbol_biselado http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81rbol-B http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81rbol-B%2B http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81rbol-B*

http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81rbol_AVL#Rotaciones http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81rbol_biselado#Operaci.C3.B3n_de_Biselaci.C3.B3n

http://mx.answers.yahoo.com/question/index?qid=20111129190121AAp8yZn

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