Aspectos matemáticos en la música

Benson: ofrenda matemática

1. Acústica, ondas, armónicos2. Fourier3. Matemática de los instrumentos4. Consonancia y disonancia5 y 6. Escalas y temperamentos7. Música digital8. Síntesis del sonido musical9. Simetrías

Béla BártokMúsica para cuerdas, percusión y

celesta

Pequeña digresión

Primer movimiento

89 compases, 55 + 34 55 = 34 (con sordina) + 21 (sin sordina)

Sucesión de Fibonacci

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …

1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13 ... → 1,618...

Simetría axial temporal

Canon cangrejo

Series dodecafónicas

Número de seriesLema (Burnside): Sea G un grupo finito que actúa sobre las permutaciones de un conjunto finito X.

Para g en G, sea n(g) el número de puntos fijos de g. Entonces el número de órbitas de G en X es

Operaciones

T = trasposiciónT4(5 8 1) = 9 0 5

R = retrogradaciónR(5 8 1) = 1 8 5

I = inversiónI(5 8 1) = 7 4 11

Iannis Xenakis: Strategie (1962)

Música = conflicto

Tácticas básicas

I. Vientos (madera y metal)II. PercusiónIII. Toques con la mano en la caja de resonanciaIV. Efectos puntillistas con instr. de cuerdaV. Glissandi con instr. de cuerdaVI. Armonías continuas (cuerdas)

Compatibilidad de las “tácticas”

192 = 361 jugadas posibles en cada turno

Reglas del juego (finito de suma cero)

1. Elección arbitraria de tácticas

2. Matriz de pagos (con símbolos que permiten distinguir las cualidades sonoras de las tácticas)

Matriz del juego

Reglas del juego

3. Duración de los turnos ≥ 10 segundos.

4. Puntuación: por ejemplo, con un árbitro.

5. Ejecución de tácticas: de manera cíclica hasta que el director haga señal de parar. El director indica el número de táctica y la letra con unas

tarjetas que muestra a la orquesta.

6. Resultado: gana el que obtiene más puntos.

Versión de la Yomiuri Nippon Symphony Orchestra

A moverse con EuclidesAlgoritmo de división: D = C * d + r

Máximo común divisor

159 = 7 * 21 + 12

21 = 1 * 12 + 9

12 = 1 * 9 + 3

9 = 3 * 3 + 0

MCD(159,21) = MCD(21,12) = MCD(12,9)= MCD(9,3)= 3

Ritmos euclideanos

17 = 2 * 7 + 3

1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 1 1 1 1 1 1 0 0 00 0 0 0 0 0 0

1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 00 0 0

1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 1 1 1

0 0 0 0 0 0 01 1 10 0 0

Ritmo E(7,17): 10010100101001010

7 = 3 * 2 + 1

E(2,3) 110 → 101

cueca

E(2,5) 11000 → 1 1 0 → 10100 0 0

Tchaikovsky

E(5,11) 11111000000 → 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 → 10101010100

Mussorgsky

E(3,7) 1110000 → 1 1 1 0 0 0 0→ 1010100

Money (Pink Floyd)