Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis

Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES

Aula 08

Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis

Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES

Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples

III.1. Introdução

III.2. Torção de Barras

III.2.1. Seção Circular

III.2.2. Seções Não Circulares

III.3. Flexão Simples de Barras

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III.1. Introdução

As seções planas permanecem planas após a deformação

Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples

Nas solicitações transversais esta hipótese somente é válida no caso de Torção de Seções Circulares.

seção circular torcida

dz

dj

T

T

TT

dzExemplos:• eixos de transmissão• seções de grelhas onde o fletor é nulo

Estado de Cisalhamento Puro

yz

yz

A zxyz dAyxT

seção não-circular torcida

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As seções planas permanecem planas após a deformação

Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples

Nas solicitações transversais esta hipótese somente é válida no caso de Torção de Seções Circulares.

Exemplos:• seções de vigas em geral

Estado Plano de Tensão

yz

yzzz

Vy Vy

dz

barra fletida com cortante (flexão simples)

A zxx dAV

A yzy dAV

dAyMA zx

A zy dAxM

III.1. Introdução

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yz

yzEstado de Cisalhamento Puro:

0cos sensen cos 0 dAdAdAF yzyzn

sen2cossen2 yzyz

dA

cosdAsendA

0sen sencos cos 0 dAdAdAF yzyzt

2cossencos 22yzyz

Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples

III.1. Introdução

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2senyz

yz 4

02cos 02cos2

yzd

d

2cosyz

yz

yzEstado de Cisalhamento Puro:

dA

cosdAsendA

Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples

III.1. Introdução

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4 em ,0

4

em ,

e 4

em ,

yzmin

yzmáx 2senyz

2cosyz

yz

yzEstado de Cisalhamento Puro:

dA

cosdAsendA

Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples

III.1. Introdução

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02sen 02sen2

yzd

d

yzyz 2

ou 0

yz

yzEstado de Cisalhamento Puro:

dA

cosdAsendA

Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples

2senyz

2cosyz

III.1. Introdução

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mente.respectiva

, 2

em e 0 em , yzmáx,min

2 em e 0 em ,0

yz

yzEstado de Cisalhamento Puro:

dA

cosdAsendA

Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples

2senyz

2cosyz

III.1. Introdução

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Estado de Cisalhamento Puro:

Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples

45º

tyz

tyz

tyz

tyz

tyz

tyz

tyz

tyz

III.1. Introdução

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zz

yz

yz

Estado Plano de Tensão (sy = 0):

dA

cosdA

sendA

Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples

0cos sensencos

coscos 0

dAdA

dAdAF

yzyz

zn

sen22cos22

cossen2cos2yz

zzyzz

III.1. Introdução

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zz

yz

yz

Estado Plano de Tensão (sy = 0):

dA

cosdA

sendA

Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples

0sen sencos cos

sen cos 0

dAdA

dAdAF

yzyz

zt

2cos2sen2

sencoscossen 22yz

zyzz

III.1. Introdução

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zz

yz

yz

Estado Plano de Tensão (sy = 0):

dA

cosdA

sendA

pz

yz

2arctan

2

1ou

02cos2sen2

yzzd

d

z

yz

2

2tan

Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples

sen22cos22 yz

zz

2cos2sen2 yz

z

III.1. Introdução

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zz

yz

yz

Estado Plano de Tensão (sy = 0):

dA

cosdA

sendA

22

, 22 yzzz

minmáx

Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples

sen22cos22 yz

zz

2cos2sen2 yz

z 0

z

yzp

2arctan

2

1 em

III.1. Introdução

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zz

yz

yz

Estado Plano de Tensão (sy = 0):

dA

cosdA

sendA

Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples

sen22cos22 yz

zz

2cos2sen2 yz

z

cyz

z

2arctan

2

1ou

02sen2cos2

yzzd

d

yz

z

2

2tan

III.1. Introdução

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zz

yz

yz

Estado Plano de Tensão (sy = 0):

dA

cosdA

sendA

Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples

sen22cos22 yz

zz

2cos2sen2 yz

z

22

, 2 yzz

minmáx

2z

yz

zc

2

arctan2

1 em

III.1. Introdução

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Estado Plano de Tensão (sy = 0):

Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples

45º

sz sz

smin

tyz

tyz

tyz

tyzqp

qc

smin

smáx

smáx

tmáx

sz /2

cp

2tan

12tan

Logo,

222

cp

4

cp

III.1. Introdução

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Relações entre Esforços, Tensões, Deslocamentos e Deformações

Estado de Cisalhamento Puro:

Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples

A zxx dAV

A yzy dAV

A zxyz dAyxT

z

v

y

wyz

x

w

z

uzx

Gyz

yz

Gzx

zx

III.1. Introdução

yz

yz

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Relações entre Esforços, Tensões, Deslocamentos e Deformações

Estado Plano de Tensão (sy = 0):

Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples

dANA z

dAyMA

zx

Azy dAxM

A zxx dAV

A yzy dAV

A zxyz dAyxT

III.1. Introdução

yz

yzzz

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x

ux

y

vy

z

wz

Relações entre Esforços, Tensões, Deslocamentos e Deformações

Estado Plano de Tensão (sy = 0):

Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples

z

v

y

wyz

x

w

z

uzx

zyx E

Ez

z

Gyz

yz

Gzx

zx

III.1. Introdução

yz

yzzz

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Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples

III.1. Introdução

III.2. Torção de Barras

III.2.1. Seção Circular

III.2.2. Seções Não Circulares

III.3. Flexão Simples de Barras

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Torção de Barras de Seção Circular

III.2. Torção de Barras

Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples

dz

dj

T

T gyz

r

R0

onde R é o raio externo da seção

222 yx

x

y

x

yr tzxdA

tyzdA

dA

A seção circular é simétrica em relação a qualquer eixo que contenha o seu cento geométrico.

Assim, qualquer sistema de eixos cartesianos ortogonais com origem no centro do círculo é um sistema de eixos centrais principais.

x

y

xyrdA

ttzdAtrzdAPortanto, as componentes de tensão

de cisalhamento podem ser representadas segundo os eixos radial e tangencial.

ou

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Torção de Barras de Seção Circular

Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples

dz

dj

T

T gtz

r

R0

onde R é o raio externo da seção

x

y

xyrdA

ttzdAtrzdA

0A zxx dAV 0 A rzdA

No ponto de coordenadas (-x,-y) deverá haver duas componentes trzdA e ttzdA em sentido contrário às que atuam no ponto de coordenada (x,y).

0A yzy dAV 0 A tzdA

r

trzdAttzdA

y

x

As componentes no sentido radial se anulam e aquelas no sentido tangencial formam um binário.

III.2. Torção de Barras

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Torção de Barras de Seção Circular

Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples

dz

dj

T

T gtz

r

R0

onde R é o raio externo da seção

x

y

xyrdA

ttzdA

dz

dGG tztz

Logo,

dzd tz dz

dtz

r

ttzdA

y

x

A tzA zxyz dAdAyxT

AdA

dz

dGT 2

dz

dGIdA

dz

dGT pA

2

ptz IT

ptz I

T p

tz GI

T

III.2. Torção de Barras

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Torção de Barras de Seção Circular

Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples

dz

dj

T

T gtz

r

R0

onde R é o raio externo da seção

x

y

xyrdA

ttzdA

r

ttzdA

y

x

ptz I

T p

tz GI

T

ppmáx W

T

I

TR

Wp é o Módulo de Resistência da Seção à Torção e

As tensões e as deformações variam linearmente com r

GIp é o Módulo de Rigidez da Seção à Torção.

p

tz

GI

T

dz

d

ttz

tmáx

tmáx

III.2. Torção de Barras

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Torção de Barras de Seção Não Circular

Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples

As seções planas NÃO permanecem planas após a deformaçãoNa superfície do contorno, não há solicitações tangenciais na direção longitudinal (z) nem direção tangencial (t) - momento atua em torno de z, isto é, no plano r-t.

tzrtzt

ztzr

z

r

t

ttrtztttz

trt

trz

plano da superfície do

contorno

plano da seção transversal

plano da seção longitudinal

0 rtrz tensões na seção

transversal

0 trzr Portanto, nessa superfície, não há também tensões tangenciais nas direções z e t..

III.2. Torção de Barras

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Torção de Barras de Seção Não Circular

Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples

As seções planas NÃO permanecem planas após a deformação

0A zxx dAV 0 0 rzA rzdA

0A yzy dAV 0 A tzdA

ttz

z

tztplano da seção

longitudinal

Na seção transversal, as tensões são auto-equilibradas e tangenciais ao contorno.

III.2. Torção de Barras

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Torção de Barras de Seção Não Circular

Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples

As seções planas NÃO permanecem planas após a deformação

A Teoria da Elasticidade, por outro lado, determina que, para todas as seções,

Tmáx W

T

TGI

T

dz

d

eObservações:

onde

WT é o Módulo de Resistência da Seção à Torção,GIT é o Módulo de Rigidez da Seção à Torção eIT é a Constante de Torção da Seção

Para as seções circulares,

pT II e pT WW

A constante de torção IT é também designada por J

III.2. Torção de Barras

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Torção de Barras de Seção Não Circular

Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples

Seção Retangular:

a >= b

b

A máxima tensão ocorre no ponto médio do maior lado do retângulo.

3abIT 2abWT e

Tmáx W

T

TGI

T

dz

d

tmáx

0 5 10 15 20 25 30 35 400

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

a

b

a/b

a = b = 1/3, a/b>10

III.2. Torção de Barras

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Torção de Barras de Seção Não Circular

Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples

Perfis Abertos:T

máx W

T

TGI

T

dz

d

a) Perfis de seção formada por retângulos

b1

b2

b3

t3

t2

t1

Cada retângulo i absorve uma parcela do momento Ti .

iTT

Em cada retângulo a máxima tensão ocorre no ponto médio do maior lado e vale

2

3

ii

i

T

imáx tb

T

W

T

i

i

III.2. Torção de Barras

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Torção de Barras de Seção Não Circular

Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples

Perfis Abertos:T

máx W

T

TGI

T

dz

d

b1

b2

b3

t3

t2

t1

O ângulo unitário de torção da seção é único.

31

1

3

1 ii

i

T

n

T

i

T

ni

tbG

T

GI

T

GI

T

GI

T

dz

d

dz

d

dz

d

dz

d

ni

a) Perfis de seção formada por retângulos

Logo, para n retângulos,

III.2. Torção de Barras

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Torção de Barras de Seção Não Circular

Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples

Perfis Abertos:T

máx W

T

TGI

T

dz

d

b1

b2

b3

t3

t2

t1

Dessa expressão se conclui que

33

33

iiii

i

T

i

tbG

T

tbG

T

GI

T

dz

d

i

T

T

ii

Ti I

TI

tb

TIT ii 3

3e

3

3 iiT

tbI

a) Perfis de seção formada por retângulos

este valor será substituído na expressão da máxima tensão

III.2. Torção de Barras

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Torção de Barras de Seção Não Circular

Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples

Perfis Abertos:T

máx W

T

TGI

T

dz

d

b1

b2

b3

t3

t2

t1

Logo,

T

iii

TiiTii

T

ii

imáx I

Tttb

Itb

T

Itb

TI

tb

Ti

i

3

333 3

222

a) Perfis de seção formada por retângulos

(máxima tensão em cada retângulo)

Assim, T

máxmáx I

Tt e

máx

TT t

IW

III.2. Torção de Barras

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Torção de Barras de Seção Não Circular

Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples

Perfis Abertos:a) Perfis de seção genérica

Esta seção pode ser considerada como formada por infinitos retângulos de largura Ds e espessura ti.

t

ds

onde S é o comprimento da Linha Média da seção do perfil.

Assim,3

1

3

i

i

T

stI

S

T dstI0

3

3

1

máx

TT t

IW

Tmáx W

T

TGI

T

dz

d

Caso t seja constante, 33StIT e 32StWT

III.2. Torção de Barras

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Torção de Barras de Seção Não Circular

Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples

Perfis Fechados (Teoremas de Bredt):T

máx W

T

TGI

T

dz

d

tyz2

tyz1

Em planos ortogonais, as tensões de cisalhamento são iguais e formam binários de sentidos opostos.

dztdAdF yzyzz 11 111

Logo, no elemento infinitesimal, as forças resultantes no sentido longitudinal são:

dztdAdF yzyzz 22 222

dz

ds t1

t2

T

T

dz

III.2. Torção de Barras

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Torção de Barras de Seção Não Circular

Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples

Tmáx W

T

TGI

T

dz

d

T

T

dz

tyz2

tyz1

Da condição de equilíbrio dessas forças longitudinais:

21 21tt yzyz

).,( etckN/cm,N/mmtf yzc

Este produto se denomina fluxo cisalhante (fc) e é constante ao longo da seção.

Daí se conclui que a máxima tensão de cisalhamento ocorre nos pontos de menor espessura.

dz

ds t1

t2

Perfis Fechados (Teoremas de Bredt):

III.2. Torção de Barras

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T

T

dz

Torção de Barras de Seção Não Circular

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Tmáx W

T

TGI

T

dz

d

tyz2

tyz1

dArrdFdT yz

onde S é o comprimento da Linha Média da seção do perfil

rdF

tdsrdT yz

dz

ds t1

t2

S

yz

S

yz rdsttdsrT00

Perfis Fechados (Teoremas de Bredt):

III.2. Torção de Barras

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Torção de Barras de Seção Não Circular

Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples

Tmáx W

T

TGI

T

dz

d

dz

ds t1

t2

x

y

r

ds

tyz2

tyz1

S

yz rdstT0

S

m rdsA02

1Am

2

rdsdAm

tAT yzm2

Perfis Fechados (Teoremas de Bredt):

tA

T

myz 2

Am: área delimitada pela LM da seção

T

T

dz

rdF

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Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples

Tmáx W

T

TGI

T

dz

d

dz

ds t1

t2

x

y

r

ds

tyz2

tyz1 Am

Perfis Fechados (Teoremas de Bredt):

tA

T

myz 2

1º Teorema de Bredt

Am: área delimitada pela LM da seção

minmmáx tA

T

2

minmT tAW 2

T

T

dz

rdF

III.2. Torção de Barras

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Torção de Barras de Seção Não Circular

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Tmáx W

T

TGI

T

dz

d

dz

ds t1

t2tyz2

tyz1

Perfis Fechados (Teoremas de Bredt):

yzyzdV

dU 2

1

A energia potencial de deformação acumulada no elemento de volume infinitesimal dV = t.ds.dz é

tdsdzdU yzyz2

1

Como ,G

yzyz

tdsdz

GdU yz

2

2

1

dzt

dst

GU

L S

yz

0 0

22

2

1 (1)

T

T

dz

rdF

III.2. Torção de Barras

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Torção de Barras de Seção Não Circular

Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples

Tmáx W

T

TGI

T

dz

d

dz

ds t1

t2tyz2

tyz1

Perfis Fechados (Teoremas de Bredt):

TddU2

1

Por outro lado, esta energia pode ser escrita como

dzdz

dTU

L

02

1 (2)

T

dj

dz

dT

dz

dU 2

1

dUT

T

dz

rdF

III.2. Torção de Barras

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Torção de Barras de Seção Não Circular

Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples

Tmáx W

T

TGI

T

dz

d

dz

ds t1

t2tyz2

tyz1

Perfis Fechados (Teoremas de Bredt):

Igualando as expressões (1) e (2)

LL S

yz dzdz

dTdz

t

dst

G 00 0

22

2

1

2

1

ou

dz

dT

t

ds

G

t Syz 0

22

T

T

dz

rdF

III.2. Torção de Barras

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Torção de Barras de Seção Não Circular

Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples

Tmáx W

T

TGI

T

dz

d

dz

ds t1

t2tyz2

tyz1

Perfis Fechados (Teoremas de Bredt):

2º Teorema de Bredt

S

mT

tds

AI

0

24

S

m t

ds

GA

T

dz

d024

dz

dT

t

ds

GA

T S

m

02

2

4Como ,

2 myz A

Tt

Logo,

Caso t seja constante,

S

tAI m

T

24

T

T

dz

rdF

III.2. Torção de Barras

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z1

Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples

TGI

T

dz

d

III.2. Torção de Barras

Cálculo dos Deslocamentos

dzGI

Td

T

dz

dj

T

T

T

S1

z2

S2

L

2

121

z

zT

dzGI

T deslocamento relativo entre as seções S1 e S2

L

T

dzGI

T0

deslocamento relativo entre as seções extremas da barra

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III.2. Torção de Barras

Projeto de Barras Torcidas

TT

R

limd

Resistência e Estabilidade: e

R

limd

onde

lim

R

d são, respectivamente, as máximas tensões de cálculo normal e de cisalhamento

são, respectivamente, as tensões limites normal e de cisalhamento (funções dos estados limites considerados) e

é o coeficiente de resistência

e d

e lim

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Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples

III.2. Torção de Barras

Projeto de Barras Torcidas

TT

R

limd

Resistência e Estabilidade: e

R

limd

R

lim

T

dd W

T

R

limTd

WT

e

R

lim

T

dd W

T

R

limTd

WT

Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis

Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES

Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples

III.2. Torção de Barras

Projeto de Barras Torcidas

TTlim

lim

L

T

dzGI

T 0

Rigidez: onde

lim

é o ângulo de torção entre duas seções

é o ângulo de torção limite

Se T for constante ao longo do comprimento, limT

L

GIT

Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis

Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES

Fim da Aula 08