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7/26/2019 Calculo de Placas
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I N F O R M E S D E L A C O N S T R U C C I N
EL MTODO DEL PROFESOR JOAHNSEN PARA EL
CALCULO DE PLACAS
Por F. G. MONGE
En este artculo se exponen los principios bsicos en que se fundo lo teora del profesor Johonsen
para el clculo de placas de cualquier formo, exponindose sus ventaas sobre los mtodos clsicos de
clculo.
El hormign armado considerado como mate
rial est muy lejos de ser homogneo; por otra
par te ,
los elementos que lo constituyen, es de
cir , el acero y el hormign, no son materiales
elsticos, pues si bien para cargas pequeas
se comportan en cierto modo como tales, para
cargas ms grandes, ms all del lmite elsti
co,
aparecen fenmenos de plasticidad y f luen
cia,
no cumplindose tampoco la ley de Hooke.
Si se quiere saber el comportamiento de una
estructura dentro del lmite elstico del mate
r ial ,
pueden uti l izarse con cierta aproximacin
las teoras clsicas de la elasticidad, es decir,
suponer que el material es elstico, homogneo
y cumple la ley de Hooke, peno con esto no se
consigue gran cosa. En efecto, al analizar por
este procedimiento una estructura sometida a
cargas o efectos diversos, se pueden prever to
do lo ms las cargas de trabajo y las defor
maciones que tendrn lugar para las distintas
hiptesis de carga, pero esto no dice nada en
relacin con el concepto de seguridad real de
la estructura, ya que como pasando de cierto
lmite del valor de las tensiones el material de
ja de satisfacer la ley de Hooke, no se puede
predecir en qu proporcin habra que aumen
tar la carga exterior para producirse la rotura.
Para aclarar las ideas, supongamos (fig. 1)
una viga de material homogneo con empotra
miento perfecto en sus dos extremos, de seccin
constante y sometida a carga uniformemente re
par t ida.
ZZP
Fig. 1.
La ley de momentos es perfectamente cono
c ida, valie ndo p L en los ap oyo s y
- p L* en el centro.
Se representa en la fig. 2 el grfico tensin-
deformacin del material que constituye la viga;
en l se ve que, hasta el valor
o = o e, se
ve
rifica la ley de H ook e y que, a p artir de o = o e,
la deformacin aumenta sin que aumente la ten
sin en la misma proporcin.
Este diagrama es semejante al de los aceros
comerciales corrientes.
Volviendo al clculo de las tensiones en la
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CALCULO DE PLACAS
viga,
stas son , si w =
sistente:
es el momento re-
En el empotramiento o
max
+ 1 pL'^
12
w
pL^
En el centro ^ max = -
+ 24 w
Supongamos ahora que p aumenta de tal mo-
1 p l ^
Oe,
O sea, p' =
12wOe
do que . ,
12 w L
entonces al aumentar la carga la viga se de
forma ms en la zona de apoyo, ya que se ha
alc an za do la tensin a ; por con siguiente e l
efecto es como si girasen los empotramientos
de la viga, tendindose a igualar los momentos
en la seccin del centro y en la de apoyo.
Esto que hemos visto de un modo groseso
quiere decir que para una carg a p > p' las
ten
siones no resultan proporcionales a p ni repar
t idas en la misma forma que para valores de
p < p' , por cuya razn no puede preverse de
este modo para qu valor de p se producir la
Fig. 2.
rotura y por consiguiente, no podr saberse el
coeficiente de seguridad
real,
cuyo conocimien
to es indispensable para dimensionar la estruc
tura de un modo racional.
Entonces, para el debido dimensionamiento y
clculo de una estructura habr que estudiarla
en rotura, es decir, calcular las cargas para las
que la estructura se rompe, y la razn de estas
cargas a las reales que actan nos dar el coe
f ic iente de seguridad.
Ahora b ien, para el anlisis de una estructu
ra en el perodo de rotura no es apl icable la
teora elstica, pues el material no lo es en di
cho perodo, por cuya razn es necesario admi
tir otras teoras que resuelvan el problema.
Entre las teoras que tratan del comportamien
to de la seccin de hormign armado en el pe
rodo de rotura, se pueden citar las de Guerrin,
la de Gebauer y la de Torroja, de las que no
se habla por suponerse conocidas, en las cuales,
y siempre para secciones infracrticas en el pe
rodo de prerrotura, el acero ha l legado a su
lmite de fluencia, mantenindose la tensin cons
tante en las armaduras, aunque aumente la de
formacin a consecuencia de las cargas exterio
res.
La variacin del brazo mecnico de la seccin
en las distintas teoras citadas no es muy gran
de, pero lo que importa es que, para secciones
infracr t icas, el momento mximo que es capaz
de desarrol lar una seccin de canto dado es
proporcional nicamente a la armadura y a su
carga de f luencia, ya que el brazo mecnico
vara en muy pequea proporcin y que cuan
do en una seccin se ha alcanzado este mo
mento, ste puede suponerse que se mantiene
constante y la seccin gira sin aumentar el mo
mento, es decir, que acta como un resorte que
produzca un momento dado para cualquier de
formacin.
El profesor Johansen, basado en esto, ha des
arrol lado una teora para el clculo de placas.
En el la supone, y se ha comprobado por ensa
yos, que al cargar una placa hasta la rotura,
sta viene precedida de unas f isuras que pueden
idealizarse en lneas rectas situadas y dirigidas
en formas distintas segn la forma de la placa,
apoyo, carga, armadura, etc .
A lo largo de estas lneas actan unos mo
mentos flectores y unas tensiones tangenciales.
Los primeros, ya que se trata del comportamien-
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to en rotura, son funcin nicamente del canto,
arm adu ra y l mite d e f luencia de l ace ro (se su
pone armadura infracr t ica); por consiguiente
pueden expresarse en funcin de un momento
que se toma como incgnita, conociendo la re
lacin de las armaduras en las diferentes lneas
de rotura. Las tensiones tangenciales a lo largo
de las lneas de rotura pueden sustituirse por
dos fuerzas normales al plano de la placa, si
tuadas en los extremos de las lneas de rotura,
de acuerdo con la teora general de placas.
Johansen llama fuerzas nodales a las resultan
tes en los ngulos.
Mediante las ecuaciones que se obt ienen apl i
cando a cada parte de placa l imitada por l -
ne'as de rotura o borde las condiciones de equi
l ibrio, resulta un sistema que resuelto proporcio
na los valores de los momentos que se produ
cen en las lneas de rotura, en el supuesto de
que el estado de tensiones se mantuviera an
logo al del perodo de rotura.
Una vez obtenidos estos momentos, el dimen-
sionamiento de la placa por cualquier mtodo
anelst ico en prerrotura es inmediato.
Claro est que para la apl icacin de esta
teora es preciso conocer la forma de rotura de
la placa. La situacin de las lneas de rotura
no es arbitraria, sino que responde, como es
natural, a una serie de reglas y condiciones,
las cuales se van a exponer brevemente.
En primer lugar, al romperse la placa en par
tes limitadas por las lneas de rotura y los bor
des, se ha comprobado por ensayos que en el
perodo de rotura las deformaciones elst icas
son despreciables al lado de las plsticas, lo
que produce que las diversas partes en que se
rompe la placa sean planas y la deformacin
del conjunto se haga a base del giro en cada
una de dichas partes alrededor de un cierto
eje de rotacin. Se deduce, pues, que la l nea
de rotura entre dos partes de placa pasa por
la interseccin de sus ejes de rotacin.
Otra conclusin que puede deducirse es que
en un nudo en que concurran l neas de rotura
de distinto signo no puede haber lneas de ro
tura sino en tres direcciones diferentes. Como
aclaracin, se l laman lneas de rotura posit ivas
aquellas en que la armadura de traccin est
en la parte inferior de la placa (momentos posi
t ivos), y lneas de rotura negativas aquellas en
que dicha armadura se encuentra en la cara su
perior de la placa (momentos negativos).
Por ltimo, la posicin de las lneas de rotura
ser la que da el mximo valor para los mo
mentos de rotura.
Estos son los fundamentos de la teora del pro
fesor Johansen. Se comprende que existen otra
serie de teoremas y expresiones sobre las fuer
zas nodales, as como mtodos operat ivos apro
ximados que simpli f ican an ms el problema.
Esta teora parece ms racional que la teora
elst ica en lo que a la determinacin de la se
guridad se ref iere, obtenindose por el la estruc
turas ms econmicas y ligeras que con los m
todos clsicos, presentando una mayor faci l i
dad y senci l lez, y, sobre todo, poseyendo la fa-
B
i
\ \
\ \
1/
a
jm
TrT
\ ,
B
[
My.
Si por ejemplo la armadura en direccin del
lado menor es tr iple de la otra, se trata el pro
blema como sigue: En la teora de Johansen
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puede demostrarse que en una placa con arma
duras distintas en las dos direcciones, en la rela
cin cp = (y, por con siguiente, los momentos
s'
de rotura segn ellas en la misma relacin cp)
puede calcularse el momento como en una pla
ca armada igualmente en los dos sentidos, pero
cuyas dimensiones en la direccin de la armadu
ra s son las de la pla ca mu ltiplicadas por
Vi
Segn esto, si se supone que en la placa de
la fig. 3, a = 2b y s = 3s', o sea 'f = 3, las nue
vas dimensiones sern
b
a y ~7=i = 0,577b con lo qu e X =^ 3,4
y ^
Entonces la frmula (2) da:
m
3 X 3,4^ + 2 - 2 V 1 + 3 X 3,40^
(0,677b)^p
24
3,46^
X 3 = 0,898b2p
y el error respecto al valor 0,990 es del 9,2 %.
En el otro sentido la armadura y el momento
son la tercera parte.
Se ve, por lo tanto, de este ejemplo y de las
comparaciones hechas que la f i jacin previa de
la relacin de la cuanta de las armaduras t iene
mucha importancia en este mtodo, como poda
preverse, ya que las cuantas determinan el mo
mento de rotura en el caso de placas en que
salvo en algn caso excepcional siempre se pro
yectan con cuantas infracrticas.
Al operar en los mtodos elsticos no suele
tenerse en cuenta la diferente distribucin de
las armaduras, sino que suele operarse como si
la placa fuese de un material istropo, lo cual
dentro del perodo de elast ic idad proporc ional
y con las dbi les cuantas empleadas es admi
sible,
tanto ms cuanto que el suponer la aniso-
tropa de la placa conduce a muy complejos
desarrol los, y una vez obtenidos los momentos
se determinan las armaduras.
El concepto de clculo por el mtodo de
Johansen es totalmente distinto y en l la fi ja
cin previa deMas relaciones de cuantas es fun
damental, como se ha visto.
Ejemplo 22.- Placa rectangular em potra da.
Sea la placa representada en la fig. 4, cuyos
cuatro lados se suponen perfectamente empotra-
Rg.
4.
dos y la carga se supone que est repart ida de
modo uniforme.
Las l neas de rotura son las dibujadas; ade
ms de las que f iguraban en la placa apoyada
existen otras de signo contrario en los lados de
la placa. En este caso hay que considerar cua
tro cuantas dist intas de armadura, que son las
de las dos armaduras para resist ir momentos po
sitivos y las dos para los momentos negativos.
La armadura que se va a tomar como base
es la armadura en el sent ido de b, correspon
diente a la cara inferior, y suponemos primero
que la armadura en el sent ido de a es igual.
Si suponemos que la armadura del empotra
miento es doble de la posit iva se tendr
m' = 2 m, y estableciendo las ecuaciones como
en el caso anterior, se t iene:
_
3
X m -h
o
m' ==
i{ h^m
9
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CALCULO DE PLACAS
b X
m
+
b
m = ^
b
( ^ ^ y
P
y sustituyendo m' por su valor 2 m y resolvien-
do el sistema que da , al hacer X = :
cp = b
X 4- 1 V + 3X2
3
m
3X2 - f 2 2 V I + 3X2
3X2
b2p
24
(31
(4)
En el caso de placa cua dra da :
m = 0,0139 b^p m' = 0,0278 b^p'
que son valores notablemente inferiores a los
que proporciona la teora elst ica que para
[Ji=0,15 da mi = 0,0207 b^ p m '= 0, 05 13 b^p.
La razn de esta diferencia es el haber adop
tado un valor excesivamente alto para la rela
c i n . Tal como se plantean las ecuaciones
m
el valor de m' representa el momento medio y
no el mximo como es el de m'i ; por otra parte,
debido a la plast ic idad del material, los mo
mentos de empotramiento disminuyen hasta en
un 15 %, aparte de que existe otra reduccin
debida a que en la real idad no es posible el
hacer un empotramiento absoluto; por estas
causas no es muy acertado el haber elegido el
valor 2 para la relac in de , s iendo prefe-
m
rible elegir el valor 1 segn se deduce de los
resultados de ensayos efectuados.
Entonces la expresin del momento de rotura
es:
3 X 2 + 2 - ^ 2 V i + 3 X 2 b2p
2X2 24 ^ ^
que en el caso de placa cuadrada proporc iona:
m = 0,0209 b^p, o sea, un valo r sensiblemen
te igual al mi = 0,0207 b'p que da la teora
elst ica. En cuanto al momento de empotramien
to se obtie ne m' = 0,209 b^p en contra de l
m'i = 0,0513 b^p qu e da la teora e ls tica;
ahora b ien, este momento es el mximo y el me
dio puede tomarse adoptando un coef ic iente
de 0,7, y si adems se reduce un 15 % por el
efecto de plast ic idad y otro 15 % por la ejecu
c in real del empotramiento, queda:
rT\\
= 0 ,0513 X 0,7 X 0,85 X 0,85 b^p =
= 0,0259 b^p,
o sea, un valor algo mayor pero del mismo
orden.
Otra vez se ha puesto de manif iesto la impor
tancia que tiene en este mtodo la fi jacin pre
via de las relaciones de armadura en las dist in
tas zonas de la placa,- como es natural debe
colocarse armadura tanto mayor cuanto ms r i
gidez tenga la placa en su direccin. Si esta
relacin es escasa o demasiado grande, enton
ces los momentos se distribuirn en la relacin
de las armaduras supuestas, pero a costa de
fisuras y grietas que en algunos casos sern
inadmisibles. Una gua respecto al modo de dis-
Rg. 5.
t r ibuir las armaduras puede ser el estudio els
tico o el resultado de los ensayos.
Ejemplo 32.
- Placa rectangu lar uniformem ente
cargada con t res lados apoyados y el cuarto
libre (fig. 5).
El esquema de lneas de rotura es el indicado
en la figura, ya que los lados hacen de ejes de
giro de las partes en que se rompe la placa
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y las lneas de rotura pasan por la interseccin
de los ejes de giro.
No existen fuerzas nodales en el borde por
ser normal a l la lnea de rotura que termina
en dicho borde (si formara un ngulo ct, las fuer
zas nodales seran d- m cotg a . Estableciendo
el equilibrio se tienen las expresiones:
m X a = (b x) ap
(sobre AB)
m X b =
1 a^ , 1 a2
4 3 4
(sobre BC)
De las cuales si = X se deduce:
4 X V I2X I
m =
X + V 12) 1+ I pa2
48
Para X = m = 0,0562 p a^
El mtodo basado en la teora de elast ic i
da d propo rcion a pa ra un valor p. = 0,3 m =
= 0,0600 pa ' en el borde y 0,0390 pa ' en el
centro. Se ve, por lo tanto, que el valor obte
nido es bastante aproximado para la relacin
de lados previstos.
De los ejemplos citados puede deducirse que
el mtodo de Johansen resuelve con faci l idad
problemas de placas, obtenindose resultados
aproximados a los de la teora elstica,- por
otra parte, es un procedimiento fci l de apl icar
y nico posible en casos de placas de formas
complicadas. Tan slo requiere en el proyect is
ta cierta prct ica para prever la disposicin de
las lneas de rotura en la placa y prever las
relaciones entre las distintas armaduras para
obtener un trabajo mejor en la placa y la ma
yor economa. Una ventaja de bastante conside
racin es que, puesto que los momentos de ro
tura dependen de la distribucin de las arma
duras, se dispone de cierta elast ic idad para su
eleccin, permit iendo un mejor aprovechamien
to del acero dentro de ciertos lmites.
Para terminar vamos a estudiar este ltimo
ejemplo senci l lo.
Ejemplo 42,- Placa circular ap oy ad a con car
ga uniforme (f ig. 6).
En este caso las lneas de rotura son los ra
dios de la placa, no exist iendo fuerzas nodales
en el centro por ser las lneas de rotura del
mismo signo.
Entonces, entre dos radios o lneas de rotura
Rg.
6.
que forman un ngulo da se tendr la siguiente
ecuacin de equi l ibr io:
m a d a = I a ^ d c t l p o sea
\ 2 / 3 '
m = - 2 - ^ = 0,166 pa^
6
Segn el procedimiento elst ico el momento
vale:
m = - 2 - 5 ( 3 + i ) ( l - p ^ )
I 6
y si |x = 0,15 se tiene en el centro , o sea po ra
p = o
m '= - ^ ^ X 3,15 = 0,196 pa^
Se obtiene por el procedimiento de Johansen
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un valor del momento inferior al que proporcio
na el mtodo elst ico.
De todos los ejemplos analizados se ve que
el mtodo de Johansen proporciona valores de
los momentos de rotura inferiores en general a
los mximos que da la teora elstica, lo cual
es lgico, toda vez que aqulla da valores me
dios y sta valores mximos, siendo en def ini
t iva la distribucin de armaduras la que f i ja la
distribucin de los momentos a causa de la
plasticidad del material dentro de ciertos lmites.
Se ha visto en este artculo que el mtodo del
Profesor Johansen es perfectamente admisible
para el clculo de las placas, presentando co
mo principales ventajas su faci l idad de apl ica
cin y su coincidencia con los resultados de los
ensayos, y teniendo el inconveniente de que hay
que prever las lneas de rotura y distribucin
de armaduras ms convenientes, lo cual exige
cierta prct ica en el proyect ista.
De acue rdo con los disposiciones vigentes, de be r mencionarse el nombre de esta Revista en toda reproducc idn
de los trabajos insertos en la misma.
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