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Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Calculo Financeiro
Gracinda R. Guerreiro
2014/15
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 1/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Programa
1 Conceitos Basicos
2 Regimes de Capitalizacao
3 Equivalencia de Capitais
4 Rendas
5 Reembolso de Emprestimos
6 Emprestimos por Obrigacoes
7 O Calculo Financeiro e as Aplicacoes de Capital
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 2/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Capıtulo 1
Conceitos Basicos
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 3/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Cap 1 - Conceitos Basicos
1 Conceitos Basicos
Enquadramento
Capital, Tempo, Perıodo e Juro
Capitalizacao e Actualizacao
Valor Actual e Valor Acumulado
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 4/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Enquadramento
As nocoes de Calculo Financeiro surgem-nos em inumerassituacoes do quotidiano:
Numa optica de investimento, somos confrontados comestas nocoes em Aplicacoes Financeiras tais comoDepositos Bancarios, Obrigacoes, entre outras.
Quanto receberei, daqui a um ano, se efectuar hoje umdeposito de 1000 e, a taxa de juro anual de 3%?
Quanto receberei daqui a um ano se todos os meses, nomesmo dia, depositar 100 e numa aplicacao que rende 3% aoano?
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 5/306
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Enquadramento
As nocoes de Calculo Financeiro surgem-nos em inumerassituacoes do quotidiano:
Numa optica de financiamento, estas nocoes surgem-nosem Emprestimos Bancarios, Compras a Prestacoes, entreoutras.
Quanto terei que pagar ao banco daqui a 6 meses se contrair,hoje, um emprestimo no montante de 5000 e, a taxa de juroanual de 5%?
Quanto terei que pagar mensalmente, durante 20 anos, porum emprestimo de 150.000 e para compra de habitacao, auma taxa de juro anual de 2%?
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 6/306
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Enquadramento
A essencia do Calculo Financeiro reside no que habitualmentese designa por Valor Temporal do Dinheiro - uma mesmaquantia monetaria nao tem o mesmo valor se pudermos dispordela imediatamente ou apenas apos algum tempo.
Operacao Financeira
Operacao que transforma um ou mais capitais, dedeterminado(s) montantes(s), noutras quantias, por accao dotempo e de uma taxa de juro.
Em todas as operacoes financeiras existem nocoes basicascomuns e fundamentais: o Capital, o Tempo e a Taxa de Juro.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 7/306
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Capital, Tempo, Perıodo e Juro
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 8/306
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Conceitos Basicos
Capital
Conjunto de meios lıquidos (moeda) cedidos durante umdeterminado tempo, temporaria ou definitivamente,produzindo uma determinada remuneracao (juro) ao seuproprietario.
Tempo ou Prazo
Prazo durante o qual o capital e aplicado.
Perıodo
Cada unidade de tempo onde se vence o juro. Consideram-sehabitualmente anos, semestres, trimestres, quadrimestres emeses.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 9/306
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Conceitos Basicos
Juro
Quantidade monetaria correspondente ao preco do usotemporario ou definitivo do capital alheio.
Remuneracao de determinado capital investido duranteum determinado prazo.
Corresponde ao valor do dinheiro, tendo em conta o factortempo.
Notacoes:
jk - juro obtido no perıodo k .
Jk - juro acumulado ate ao perıodo k .
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 10/306
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Conceitos Basicos
Razoes para a existencia de Juro:
1 Privacao de LiquidezQuem empresta determinado capital (o Mutuante) ficaprivado de decidir o que fazer com ele (consumo,poupanca ou ambos), dando essa possibilidade a outraparte (o Mutuario). E compreensıvel que esta cedenciadeva ser paga. Quanto maior for o prazo do emprestimo,mais este efeito se fara sentir.
2 Desvalorizacao MonetariaDevido a inflaccao, um produto que, em media, custahoje 1000 e tendera a tornar-se num produto mais carocom o decorrer do tempo. Quanto maior o prazo doemprestimo, mais se sentira este efeito.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 11/306
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Conceitos Basicos
Razoes para a existencia de Juro:
3 RiscoO Mutuante deve ter em conta que podera nao serressarcido do seu emprestimo por parte do Mutuario, pordiversas razoes.Quanto mais longo for o prazo do emprestimo, maior e aprobabilidade de incumprimento por parte do Mutuario(maior e o risco).
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 12/306
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Conceitos Basicos
Exemplo
A D. Rosa emprestou ao Sr Silva 100.000e durante 5 anos,devendo o Sr Silva pagar, no final de cada ano, 7.500e pelouso do dinheiro da D. Rosa e reembolsar a dıvida em 5fraccoes iguais, tambem no final de cada ano.Identifique o Capital, o Tempo, o Perıodo, o juro vencido emcada perıodo e o montante acumulado de juros.
Capital:Tempo:Perıodo:Juro em cada perıodo:Juro Acumulado:
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 13/306
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Conceitos Basicos
Exemplo
A D. Rosa emprestou ao Sr Silva 100.000e durante 5 anos,devendo o Sr Silva pagar, no final de cada ano, 7.500e pelouso do dinheiro da D. Rosa e reembolsar a dıvida em 5fraccoes iguais, tambem no final de cada ano.Identifique o Capital, o Tempo, o Perıodo, o juro vencido emcada perıodo e o montante acumulado de juros.
Capital: 100.000 eTempo: 5 anosPerıodo: anualJuro em cada perıodo: ji = 7.500 e , i = 1, 2, . . . , 5Juro Acumulado: J5 = 37.500 e
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 14/306
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Taxa de Juro
E importante fazer a distincao entre Juro e Taxa de Juro:
O juro e um valor absoluto (expresso em unidadesmonetarias).
A taxa de juro e um valor relativo, para determinadoperıodo de tempo.
A taxa de juro exprime-se normalmente em percentagem anual.
Exemplo
Uma taxa de juro de 5% ao ano significa que, por cada 100ede capital e por cada ano, o juro devido e de 5e.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 15/306
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Taxa de Juro
O juro, j , depende entao de 3 factores:
C - o Capital
t - o Tempo
i - a Taxa de Juro
O juro varia directamente em relacao a qualquer das variaveisC , t ou i :
Se uma das variaveis aumentar [diminuir] e as outras duas semantiverem inalteradas, o juro aumenta [diminui].
Taxa de Juro
A taxa de juro, i , representa a remuneracao associada a umaunidade de capital investida durante uma unidade de tempo.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 16/306
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Juro e Taxa de Juro
Notas relativas ao calculo de juros:
1 Para C = 0, t = 0 ou i = 0 tem-se j = 0(nao representando uma operacao financeira);
2 ji > 0 , ∀i ;
3 A contagem do tempo e essencial no calculo dos juros (podeser efectuada em anos, meses ou dias, por exemplo);
4 Deve ter-se em conta as Bases de Calculo para contagens dosprazos em cada instituicao, em cada operacao financeira,regidas por eventuais disposicoes legais e as do softwareadoptado;
5 Ao efectuar o calculo do juro, e necessario que as variaveis t ei (tempo e taxa de juro) estejam expressas na mesmaunidade de tempo.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 17/306
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Capitalizacao e Actualizacao
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 18/306
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Capitalizacao
Capitalizacao
Processo de producao (vencimento) de juros ao longo dotempo e consequente aumento de capital.
Um capital C0, investido num momento 0, sofre um acrescimode valor J1, ao fim de um perıodo, transformando-se em
C1 = C0 + J1.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 19/306
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Capitalizacao
Genericamente,
Ct = C0 + Jt
onde:Ct e o valor acumulado ou capitalizado de C0 nomomento t;Jt e o valor acumulado de juros desde o momento 0 ate t,ou seja,
Jt =t∑
i=1
ji .
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 20/306
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Capitalizacao
Taxa de Capitalizacao
A taxa de capitalizacao corresponde ao acrescimo sofrido poruma unidade de capital, investida durante uma unidade detempo.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 21/306
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Capitalizacao
Genericamente,
Ct = C0 + Jt
onde:
Ct e o valor acumulado ou capitalizado de C0 nomomento t;
Jt e o valor acumulado de juros desde o momento 0 ate t,ou seja,
Jt =t∑
i=1
ji .
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 22/306
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Actualizacao ou Desconto
Actualizacao ou Desconto
O desconto ou actualizacao e o fenomeno inverso dacapitalizacao.
A possibilidade de dispor de uma quantidade Ct de moeda,apos t perıodos de capitalizacao, corresponde a dispor, hoje,de uma quantidade C0:
C0 e o Valor Actual ou valor descontado de Ct .
D = Ct − C0 e denominado Desconto
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 23/306
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Actualizacao ou Desconto
Taxa de Desconto (d)
A taxa de desconto corresponde a reducao sofrida por umaunidade de capital, descontada durante uma unidade detempo.
A taxa de capitalizacao e a taxa de desconto medem o mesmofenomeno: o juro.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 24/306
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Capitalizacao e Actualizacao
Exemplo
A data 01/01/n foi aplicado um capital de 500 e, a uma taxa de20% ao ano, durante uma anuidade. Determine C0, j1 e C1.
C0 = 500e j1 = 0.2× 500 = 100e C1 = C0 + j1 = 600e
Em 01/01/n, o valor actual e de 500 e e o valor capitalizado e de600e.
Em 01/01/n + 1 o valor actual e de 600 e e o valor descontado ede 500e.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 25/306
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Momento de Referencia
Momento de Referencia
Para efectuar operacoes com capitais e juros, e necessariodefinir um Momento de Referencia - data em que nossituamos para efeitos de calculos de valores.
Ct e o valor acumulado ou capitalizado de C0 nomomento t.
C0 e o valor actual ou descontado de Ct no momento 0.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 26/306
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Para se calcular valores capitalizados e/ou descontados enecessario definir qual o Regime de Capitalizacao utilizado.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 27/306
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Capıtulo 2
Regimes de Capitalizacao
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 28/306
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Cap 2 - Regimes de Capitalizacao
1 Regimes de Capitalizacao
Regime de Juro Simples
Regime de Juro Composto
Regime Geral de Capitalizacao
Taxa Efectiva e Taxa Nominal
Taxas Equivalentes e Taxas Proporcionais
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 29/306
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Juro Simples e Juro Composto
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 30/306
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Juro Simples e Juro Composto
No processo de Capitalizacao, dois cenarios se podem colocarquanto ao juro:
1 Regime de Juro SimplesO juro produzido sai do processo de capitalizacao, isto e,nao gera juro no perıodo seguinte.
Nao ha lugar a capitalizacao dos juros entretanto vencidos.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 31/306
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Juro Simples e Juro Composto
No processo de Capitalizacao, dois cenarios se podem colocarquanto ao juro:
2 Regime de Juro CompostoOs juros vencidos ao longo dos perıodos de capitalizacaosao incorporados no capital gerando, eles proprios,juros nos perıodos seguintes.
Ha lugar a capitalizacao de juros vencidos (ha juro de juro).
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 32/306
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Juro Simples
O processo de capitalizacao, a uma taxa de juro i ,inicia-se com um capital C0.
No final do 1o perıodo de capitalizacao, o juro produzido(j1 = C0 × i) sai do processo.
O capital que vai produzir juros no 2o perıodo enovamente C0 e assim sucessivamente.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 33/306
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Juro Simples
O juro vencido em cada um dos perıodos e constante edado por
jk = C0 × i , k = 1, 2, . . . , t
O juro vencido apos t perıodos de capitalizacao e
Jt = C0ti
O valor acumulado do capital C0, ao fim de t perıodos decapitalizacao, e
Ct = C0 (1 + ti)
Nota: Demonstracao na aula.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 34/306
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Juro Simples
O juro vencido apos t perıodos de capitalizacao e
Jt = Ct − C0
Em cada perıodo existe uma proporcionalidade directaentre o juro e o capital inicial
jkC0
= i , k = 1, 2, . . . , t
O capital acumulado ao longo dos perıodos decapitalizacao cresce linearmente em relacao a qualquerdas variaveis C0, i ou t.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 35/306
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Juro Simples
Exemplo
Qual o montante de juro vencido por um capital de 200 u.m.durante o perıodo de 5 meses, aplicado em RJS a taxa anual de21%?
Ct = C0(1 + t i)⇔ C5/12 = 200(1 + 0, 21× 5/12)⇔
⇔ C5/12 = 217, 5
J5/12 = 217, 5− 200 = 17, 5 u.m.
ou
J5/12 = C0 t i = 200× 5
12× 0, 21 = 17, 5 u.m.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 36/306
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Juro Simples
Exemplo
Um capital de 200 u.m. foi aplicado em regime de juro simplestransformando-se, ao fim de 3 anos, num valor acumulado de260 u.m.. Determine a taxa de juro anual.
Ct = C0(1 + t.i)⇔ C3 = C0(1 + 3i)
⇔ 260 = 200(1 + 3i)⇔ i = 0.1
⇒ i = 10%/ano
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 37/306
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Juro Simples
Exercıcio 1
Durante quantos dias esteve depositado o capital de 10.000e ,a uma taxa de 5% ao ano, sabendo que produziu um capitalacumulado de 10.200e ? [Considere um ano comercial.]
Nota: Resolucao na aula.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 38/306
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Juro Composto
O processo de capitalizacao, a uma taxa de juro i , inicia-secom um capital C0.
No final do 1o perıodo de capitalizacao, o juro vencido(j1 = C0 × i) e integrado no capital, gerando juros nosperıodos subsequentes.
O capital que vai produzir juros no 2o perıodo e dado porC1 = C0 + j1 e assim sucessivamente.
Ao contrario do juro simples, o juro produzido em cadaperıodo nao sera constante (devido ao aumento de capital).
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 39/306
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Juro Composto
Juro vencido no t-esimo perıodo de capitalizacao:
jt = C0 i (1 + i)t−1
Juro acumulado durante t periodos de capitalizacao:
Jt = C0
[(1 + i)t − 1
]Valor acumulado do capital C0, ao fim de t perıodos decapitalizacao:
Ct = C0 (1 + i)t
Nota: Demonstracao na aula.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 40/306
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Juro Composto
Exemplo
Um capital de 200 u.m. foi aplicado, em regime de jurocomposto, durante 3 anos a taxa de juro de 10%. Calcule ovalor acumulado no final dos 3 anos.
Ct = C0(1 + i)t ⇔ C3 = C0(1 + i)3 ⇔
⇔ C3 = 200(1 + 0.1)3 ⇔ C3 = 266.2u.m.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 41/306
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Juro Composto
Exercıcio 2
Construa uma tabela e represente graficamente a evolucao de umcapital de 100e , aplicado em regime de juro composto, durante 5anos e a taxa de:
a) 3% ao ano
b) 4.5% ao ano
Compare com o que obteria em Regime de Juro Simples.Utilize o Excel na resolucao do Exercıcio.
i=3% ano i=4,5% anoAno RJS RJC RJS RJC
0 100,00 100,00 100,00 100,001 103,00 103,00 104,50 104,502 106,00 106,09 109,00 109,203 109,00 109,27 113,50 114,124 112,00 112,55 118,00 119,255 115,00 115,93 122,50 124,626 118,00 119,41 127,00 130,23
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 42/306
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Juro Composto
Exercıcio 3
Um capital de 2.500 u.m., aplicado a uma certa taxa de juroanual em regime de juro simples deu origem, em 5 anos deaplicacao, a um juro de 500 u.m.Qual teria sido o juro produzido durante o mesmo prazo, poresse mesmo capital, se este tivesse sido aplicado a mesma taxaanual mas em regime de juro composto?
Nota: Resolucao na aula.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 43/306
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Juro Composto
Exercıcio 4
Uma pessoa contraiu um emprestimo nas seguintes condicoes:
a. Reembolso do emprestimo e pagamento dos respectivos juros deuma so vez no final do prazo (5 anos);
b. Regime de capitalizacao: juro simples;
c. No caso de o devedor nao poder pagar no final dos 5 anos epossıvel a prorrogacao do prazo no maximo por mais 10 anos,vigorando durante a prorrogacao a mesma taxa, mas em regime dejuro composto.
Apos os 5 anos, o devedor nao efectuou o pagamento de qualquer parcelada dıvida nem dos respectivos juros, pelo que entrou em vigor o dispostona alınea c. do contrato. Sabendo que no final do 8o ano daprorrogacao, o devedor teve de entregar ao credor, para saldar a dıvida, otriplo do capital emprestado, calcule a taxa de juro do emprestimo.
Nota: Resolucao na aula.Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 44/306
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Juro Composto
Exercıcio 5
Mostre que, no Regime de Juro Composto, considerando umcapital inicial C0, uma taxa de juro anual de i% e um capitalacumulado Ct , ao fim de t perıodos, se tem:
1 C0 = Ct (1 + i)−t
2Ct
C0= (1 + i)t
3 t =log (Ct)− log (C0)
log (1 + i)
4 i = t
√Ct
C0− 1
Nota: Resolucao na aula.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 45/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Juro Composto
Exercıcio 6
Um capital de 300.000 u.m., aplicado a juro composto, a taxaquadrimestral de 2,2% produziu, ao fim de um certo tempo deaplicacao, o capital acumulado de 385.713,52 u.m.Calcule o prazo do investimento em anos, meses e dias.
Nota: Resolucao na aula.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 46/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Juro Simples vs Juro Composto
A utilizacao do Regime de Juro Simples e poucoadequada em operacoes de medio/longo prazo.
A utilizacao do Regime de Juro Simples e mais adequadaem operacoes de curto prazo.
Para prazos inferiores a um perıodo de capitalizacao, autilizacao do Regime de Juro Simples conduz a um juro(nessa fraccao do perıodo) superior ao que e obtido coma utilizacao do Regime de Juro Composto.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 47/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Juro Simples vs Juro Composto
Exercıcio 7
Determine, para ambos os regimes de capitalizacao (jurosimples e juro composto), a evolucao do capital acumuladoproduzido por um capital de um milhao de euros, a taxa dejuro anual de 14%, calculando o valor acumulado mensalmentedurante um perıodo de 2 anos.Avalie as diferencas de rentabilidades mensais e ilustregraficamente a evolucao dos capitais acumulados,representando-os num mesmo grafico.
Utilize o Excel na resolucao desta questao.
Nota: Resolucao na aula.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 48/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Juro Simples vs Juro Composto
Desta representacao pode notar-se que:
Para t = 1, o capital acumulado e o mesmo em ambos os regime decapitalizacao.
Para valores de t < 1, o capital acumulado em RJS e superior aoacumulado em RJC verificando-se a situacao inversa para perıodost > 1.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 49/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Salvo indicacao em contrario, daqui por diante consider-se-a o
Regime de Juro Composto.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 50/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Factor de Actualizacao
Como
Ct = C0 (1 + i)t ⇔
⇔ C0 = Ct (1 + i)−t ⇔ C0 = Ct
(1
1 + i
)t
e C0 e o valor actual de Ct , consideramos
Factor de Actualizacao
v =1
1 + i
e reescrevemos
C0 = Ct vt
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 51/306
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Relacao entre Taxa de Desconto e Taxa de Juro
Exercıcio 8
Mostre que a taxa de desconto, d , se pode escrever como
d = 1− v =i
1 + i
Nota: Resolucao na aula.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 52/306
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Regime Geral de Capitalizacao
Seja C (0) o capital inicial, aplicado no momento 0.
O valor de C (0), decorridos n e n + h perıodos decapitalizacao, sera C (n) e C (n + h), respectivamente.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 53/306
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Regime Geral de Capitalizacao
Considere-se o intervalo de tempo [n, n + h]:
C (n + h)− C (n) mede a variacao absoluta do capital.
C (n + h)− C (n)
C (n)mede a variacao relativa do capital.
h mede a variacao absoluta do tempo.
C (n + h)− C (n)
hmede o juro por unidade de tempo
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 54/306
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Regime Geral de Capitalizacao
C (n + h)− C (n)
hC (n)
mede o juro por unidade de tempo e
unidade de capital.
limh→0C (n + h)− C (n)
h C (n)=
C ′(n)
C (n)
Taxa Instantanea de Capitalizacao
δn =C ′(n)
C (n)
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 55/306
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Regime Geral de Capitalizacao
Exercıcio 9
Deduza que, no Regime Geral de Capitalizacao, se tem
C (n) = C (0) exp
{∫ n
0
δt dt
}
Nota: Resolucao na aula.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 56/306
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Regime Geral de Capitalizacao
C (n) = C (0) exp
{∫ n
0
δt dt
}
Os regimes de Juro Simples e Juro Composto sao casosparticulares do regime geral de capitalizacao:
Regime de Juro Simples
δt =1
1 + i t, i > 0 constante
Regime de Juro Composto
δt = log (1 + i) , i > 0 constante
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 57/306
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Taxa Efectiva e Taxa Nominal
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 58/306
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Taxa Efectiva e Taxa Nominal
Exercıcio 10
Determine o juro produzido por um capital de 1000e , apos 1 ano,aplicado a taxa anual de 5%, nas quatro situacoes seguintes:1) Regime de Juro Simples, Capitalizacao Anual2) Regime de Juro Simples, Capitalizacao Semestral3) Regime de Juro Composto, Capitalizacao Anual4) Regime de Juro Composto, Capitalizacao Semestral
Nota: Resolucao na aula.
Solucao:1)J = 50 e 2)J = 50 e 3)J = 50 e 4)J = 50, 63 e
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 59/306
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Taxa Efectiva e Taxa Nominal
Questao:Na situacao 4), a taxa de juro anual e de 5% ou de 5,063% aoano?A resposta e AMBAS !!
Quando o perıodo de conversao da taxa nao esta expresso naunidade de tempo da taxa e consideramos o RJC, deve falar-seem taxa efectiva e taxa nominal.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 60/306
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Taxa Efectiva e Taxa Nominal
Exemplo
No exemplo apresentado:
i = 5, 06% e a taxa efectiva
i = 5% e a taxa nominal
Em aplicacoes financeiras onde vigora o RJC e,simultaneamente, a taxa de juro e anual mas as capitalizacoessao efectuadas em sub-perıodos do ano, o juro total obtidoapos 1 ano dessas capitalizacoes e superior ao que seria obtidose houvesse apenas uma capitalizacao nesse ano.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 61/306
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Taxa Efectiva e Taxa Nominal
Quando o perıodo de conversao nao coincide com aunidade de tempo da taxa de juro, existe uma taxanominal e uma taxa efectiva.
Sempre que a taxa de juro esta reportada ao mesmoperıodo das capitalizacoes, a taxa de juro e uma taxaefectiva.
Em Regime de Juro Simples, nao ha distincao entre taxasnominais e taxas efectivas, uma vez que nao ha lugar ajuro de juro e e nisso que reside a diferenca entre as taxas.
Quando se indica uma taxa de juro, tem que se referir aunidade de tempo da taxa e os perıodos de conversao.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 62/306
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Taxa Efectiva e Taxa Nominal
Exemplo
Consideremos uma unidade de capital, investida a uma taxa dejuro anual de 6%, com um perıodo de conversao de 3 meses.
A periodicidade significa que6%
4= 1, 5% e creditado no
fim de cada trimestre.
O capital inicial de 1 transforma-se em
C4 = 1× (1 + i)4 = 1, 0154 = 1, 06136
ao fim do 1o ano.
A taxa nominal anual de 6%, convertıvel trimestralmente,corresponde (esta subjacente) a uma taxa efectiva de 6,136%.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 63/306
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Taxa Efectiva e Taxa Nominal
Notacao:
i (m) - taxa de juro nominal, convertıvel m vezes
Exemplos:Taxa anual i (4) = 0.15 - Taxa anual de 15%, convertıveltrimestralmente
Taxa anual i (12) = 0.1 - Taxa anual de 10%, convertıvelmensalmente
Taxa semestral i (6) = 0.05 - Taxa semestral de 5%,convertıvel mensalmente
Taxa anual i (3) = 0.02 - Taxa anual de 2%, convertıvelquadrimestralmente
Q
uando se fala apenas em taxa, considera-se taxa efectiva.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 64/306
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Taxas Proporcionais
Taxas Proporcionais
Duas taxas, referidas a perıodos de tempo distintos, dizem-seproporcionais se o quociente entre as taxas coincidir com oquociente entre os perıodos a que se referem.
Exemplos:
A taxa anual de 20% e a taxa semestral de 10% saoproporcionais ja que
0, 20
0, 10=
1 ano
0, 5 ano.
A taxa mensal de 1% e a taxa anual de 12% saoproporcionais ja que
0, 12
0, 01=
12 meses
1 mes.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 65/306
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Taxas Equivalentes
Taxas Equivalentes
Duas taxas, referidas a perıodos de tempo distintos, dizem-seequivalentes quando fazem com que um mesmo capitalproduza o mesmo juro, apos um intervalo de tempo, sendo ascapitalizacoes efectuadas de acordo com o perıodo a que cadataxa esta referida.
Exemplo:
A taxa anual de 5,063% e a taxa semestral de 5% saoequivalentes pois o juro produzido por 1000e , investidosdurante um ano a taxa anual de 5,063% ou a taxasemestral de 5% e coincidente.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 66/306
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Taxas Proporcionais e Taxas Equivalentes
Em Regime de Juro Simples nao ha distincao entre TaxasProporcionais e Taxas Equivalentes.
A distincao entre os dois tipos de taxas ocorre apenas emRegime de Juro Composto e quando, simultaneamente,o perıodo a que se reporta a taxa nao coincide com aperiodicidade das capitalizacoes.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 67/306
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Equivalencia de Taxas em RJ Simples
As taxas i e i ′ dizem-se equivalentes se
1 + i = 1 + mi ′ ⇔ i ′ =i
m
Note-se que m =perıodo da taxa i
perıodo da taxa i ′
As taxas i e i ′ dizem-se proporcionais.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 68/306
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Equivalencia de Taxas em RJ Simples
Exemplo
Determine a taxa trimestral equivalente a taxa anual de 18%.
i = 0.18/ano m = 4 i ′ =?
Em RJS, i e i ′ sao equivalentes se i ′ =i
m, logo
i ′ =0.18
4= 0.045 = 4.5%/trimestre.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 69/306
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Equivalencia de Taxas em RJ Composto
As taxas i e i ′ dizem-se equivalentes se
1 + i = (1 + i ′)m ⇔ i ′ = (1 + i)1/m − 1
Com i ′ =i (m)
m, tem-se 1 + i =
(1 +
i (m)
m
)m
, donde
i (m)
m= (1 + i)1/m − 1
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 70/306
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Equivalencia de Taxas em RJ Composto
As taxas i e i ′ =i (m)
msao taxas efectivas para os perıodos
a que cada uma corresponde.
A taxa i (m) e uma taxa nominal.
i (m) < i .
As taxas i e i ′ sao proporcionais .
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 71/306
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Equivalencia de Taxas em RJ Composto
Exercıcio 11
Justifique quei > i (m).
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 72/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Equivalencia de Taxas em RJ Composto
Exercıcio 12
Determine, em Regime de Juro Composto, a taxa semestralequivalente a taxa anual de 20%.Verifique que a taxa anual e superior ao dobro da taxasemestral.
Nota: Resolucao na aula.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 73/306
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Equivalencia de Taxas em RJ Composto
Notas:
1 Sendo i uma taxa efectiva, significa que o valor da taxa jatem em consideracao o efeito de sucessivas capitalizacoesdurante os perıodos de capitalizacao. Assim, acorrespondente taxa periodica i ′ e calculada segundo umarelacao de equivalencia .
2 Sendo i uma taxa nominal, significa que o valor da taxa naotem em consideracao as sucessivas capitalizacoes durante osperıodos de capitalizacao. A correspondente taxa periodica i ′
e calculada segundo uma relacao de proporcionalidade .
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 74/306
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Equivalencia de Taxas em RJ Composto
Notas:
3 Se partirmos de uma taxa efectiva e determinarmos acorrespondente taxa periodica atraves de uma relacao deproporcionalidade, ao capitalizarmos esta taxa, serıamosconduzidos a uma taxa efectiva superior a inicial, por efeitodas sucessivas capitalizacoes.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 75/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Relacao de Equivalencia entre Taxas - RJ Composto
(1 + i)1 = (1 + i ′)m
A expressao acima permite que encontremos a taxa i ′, que fazcom que seja indiferente efectuar uma capitalizacao anual ataxa efectiva i , ou m capitalizacoes durante um ano, a taxai ′.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 76/306
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Relacao de Equivalencia entre Taxas - RJ Composto
De uma forma mais geral, tem-se
(1 + i ′)k
= (1 + i ′′)m
com
i ′ e i ′′ taxas periodicas efectivas;
k e m: numero de perıodos de capitalizacao para umhorizonte temporal comum (por exemplo, um ano).
A compreensao desta relacao e eterna; a memorizacao daformula e efemera.
Matias, R.(2009)
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 77/306
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Equivalencia de Taxas em RJ Composto
Uma unidade de capital, descontada a taxa d durante umperıodo vale 1− d , considerando a taxa de descontoreferente a esse perıodo.
(1− d ′)m e o valor descontado de uma unidade de capital,no momento −1, a taxa de desconto d ′ (cujo perıodocorrespondente “cabe” m vezes na perıodo da taxa d ).
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 78/306
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Equivalencia de Taxas em RJ Composto
As taxas d e d ′ dizem-se equivalentes se
1− d = (1− d ′)m
Sendo d ′ =d (m)
m, tem-se 1− d =
(1− d (m)
m
)m
, pelo que
d (m)
m= 1− (1− d)1/m
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 79/306
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Equivalencia de Taxas em RJ Composto
As taxas d e d ′ =d (m)
msao taxas efectivas.
A taxa d (m) e uma taxa nominal.
d (m) > d .
As taxas d e d ′ sao proporcionais .
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 80/306
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Equivalencia de Taxas em RJ Composto
Exercıcio 13
Mostre que1
d (m)=
1
m+
1
i (m).
A resolucao fica como exercıcio - TPC.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 81/306
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Taxa Instantanea
Taxa Instantanea
A taxa instantanea, ou taxa convertıvel continuamente,corresponde a
δ = limm→+∞
i (m).
Exercıcio 14
Demonstre que δ = ln (1 + i).
Exercıcio 15
Mostre quelim
m→+∞d (m) = δ = lim
m→+∞i (m).
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 82/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Taxa Instantanea
Exemplo
Considere-se a taxa de juro anual i = 6%.
A taxa de desconto e d =i
1 + i= 5, 6604%
A taxa instantanea anual de capitalizacao e
δ = ln(1 + 0, 06) = 5, 827%
m i (m) d (m)
1 0,060000 0,0566042 0,059126 0,0574283 0,058838 0,0577074 0,058695 0,0578476 0,058553 0,057987
12 0,058411 0,058128∞ 0,058269 0,058269
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 83/306
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Taxa Instantanea
De uma forma geral, obtem-se a relacao
i (m) > δ > d (m)
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 84/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Capıtulo 3
Equivalencia de Capitais
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 85/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Cap 3 - Equivalencia de Capitais
1 Capitais Equivalentes
2 Equacao de Valor
3 Equivalencia de Capitais
Equivalencia entre dois capitais
Equivalencia entre um capital e um conjunto de capitais
Equivalencia entre dois conjuntos de capitais
4 Taxa Media de Juro
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 86/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Capitais Equivalentes
Capitais Equivalentes
Dois conjuntos de capitais, vencıveis em certos momentos,dizem-se equivalentes, num dado momento, quando forem iguaisas somas dos valores actuais dos capitais que compoem cada umdos conjuntos.
Os conjuntos de capitais Cj e C ′j sao equivalentes?
Dois ou mais capitais sao equivalentes num dado momento se, aessa data, forem iguais os seus valores actuais.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 87/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Capitais Equivalentes
Notas Importantes:
Na resolucao de qualquer problema que envolva capitaisreportados a momentos distintos e essencial, antes de tudo oresto , exprimi-los numa mesma unidade, isto e,homogeneiza-los.
A homogeneizacao dos capitais consiste em exprimi-los nummesmo momento no tempo (a data de referencia).
A expressao de equivalencia entre capitais depende do regimede capitalizacao considerado e degina-se por Equacao deValor.
A equivalencia de capitais nao depende da escolha momentode referencia. Depende exclusivamente da taxa de juro.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 88/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Capitais Equivalentes
Exercıcio 16
Considere-se um capital de 10.000 e , a vencer dentro de doisperıodos e um capital de 13.225 e , que vence dentro de tresperıodos.Discuta a equivalencia destes capitais.
Nota: Resolucao na aula.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 89/306
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Capitais Equivalentes
Regra de Ouro do Calculo Financeiro
Para comparar ou operar com capitais e necessario que estesestejam expressos (ou reportados a um) mesmo momento .
Subjacente a esta regra esta, naturalmente, a nocao de valortemporal do dinheiro.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 90/306
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Equacao de Valor
A soma dos valores actuais dos capitais Ci e C ′j , no momento dereferencia 0, sao dados por:
Capitais C : C1(1 + i)−t1 + C2(1 + i)−t2 + . . .+ Cn(1 + i)−tn
Capitais C ′: C ′1(1 + i)−t′1 + C ′2(1 + i)−t
′2 + . . .+ C ′k(1 + i)−t
′k
A Equacao de Valor e dada por:
n∑j=1
Cjvtj =
k∑j=1
C ′j vt′j
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 91/306
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Equacao de Valor
Qualquer equacao de equivalencia de capitais deve ser elaboradarespondendo as seguintes questoes:
1 O que?Entre que capital ou capitais, por um lado (1o membro daequacao) e que capital ou capitais, por outro (2o membro daequacao) se pretende estabelecer a equivalencia?
2 Quando?Para que data se pretende estabelecer a equivalencia? Poroutras palavras, qual e a data de referencia?
3 Como?Sob que regime de capitalizacao se pretende estabelecer aequivalencia? Simples ou Composto?1
1No ambito desta disciplina, considerar-se-a apenas o Regime de Juro Composto.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 92/306
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Equacao de Valor
De uma forma geral, podem ocorrer diversos cenarios quando sepretendem reportar capitais a um mesmo momento de referencia:
Actualizar todos os capitais (a data de referencia e anteriorao vencimento de todos eles).
Capitalizar todos os capitais (a data de referencia e posteriorao vencimento de todos eles).
Actualizar alguns capitais e capitalizar outros (a data dereferencia e um momento intermedio).
Note-se que, quando a data de referencia coincide com ovencimento de algum dos capitais, esse capital nao eactualizado nem capitalizado.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 93/306
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Equivalencia de Capitais
Tipos de Equacoes de Equivalencia:
1 Equivalencia entre dois capitais
2 Equivalencia entre um capital e um conjunto de capitais
3 Equivalencia entre dois conjuntos de capitais
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 94/306
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Equivalencia entre dois Capitais
Exemplo
O Sr. Joaquim contraiu uma dıvida de 100.000 e e, a estadata, faltam exactamente 3 anos para o seu vencimento.Assumindo uma taxa de juro anual de 15%, calcule o valor queo Sr. Joaquim deveria pagar hoje para liquidar a sua dıvidaimediatamente, de forma a garantir uma situacaofinanceiramente equivalente.
Nota: Resolucao na aula.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 95/306
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Equivalencia entre um Capital e um conjunto de Capitais
Exemplo
O Sr. Joaquim tem duas dıvidas para com o Sr. Ernesto:
D 1: 3.000 e , com vencimento daqui por 6 meses
D 2: 5.000 e , com vencimento daqui por 10 meses
O Sr. Joaquim pondera antecipar o pagamento destas dıvidas poispensa poder liquida-las dentro de 2 meses.
Considerando uma taxa de juro de 12%, quanto devera o Sr.Joaquim pagar daqui por 2 meses, em substituicao das duasdıvidas originais, por forma a garantir uma equivalencia financeira?
Nota: Resolucao na aula.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 96/306
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Equivalencia de Capitais - Definicoes
Capital Comum ou Capital Unico
O Capital Comum no momento t e o valor do capital vencıvel nomomento t, que e equivalente a um conjunto de capitaisC1,C2, . . . ,Cn, vencıveis nos momentos t1, t2, . . . , tn, para umadada taxa de juro i .
C =?
O momento t designa-se por vencimento comum.
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Equivalencia de Capitais
Exercıcio 17
Considerando os capitais C1,C2, . . . ,Cn, vencıveis nos momentost1, t2, . . . , tn, mostre que:
a) O Capital Unico, C , vencıvel no momento t, e dado por
C =n∑
j=1
Cjvtj−t .
b) O Vencimento Comum, t, e dado por
t =log(∑n
j=1 Cjvtj)− log(C )
log(v).
Nota: Resolucao na aula.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 98/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Equivalencia de Capitais
Exemplo
Considere uma dıvida representada por tres capitais de 30, 40 e 60e vencıveis, respectivamente, em 1/6/n, 1/12/n, e 1/6/n + 1. Adıvida vence juros a taxa semestral de 2, 5%. Se pretender saldar atotalidade da dıvida em 1/12/n, qual o capital que devera entegarnessa data?
Exemplo
Considere agora que pretende substituir uma dıvida, representadapor tres capitais de 30, 40 e 60 e vencıveis, respectivamente, em1/6/n, 1/12/n e 1/6/n + 1, pelo capital de 129,29 e . A dıvidavence juros a taxa semestral de 2, 5%. Em que data devera faze-lopara que esteja garantida a equivalencia de capitais?
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 99/306
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Equivalencia de Capitais - Definicoes
Vencimento Medio
O Vencimento Medio corresponde a data de vencimento t doCapital Cumum, no caso particular em que este corresponde asoma pura e simples dos capitais que pretende substituir, ouseja C = C1 + C2 + . . . + Cn, de forma a substituir o conjuntode capitais Cj , aplicados a uma taxa de juro i , de formafinanceiramente equivalente.
t =?
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 100/306
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Equivalencia de Capitais
Exercıcio 18
A empresa Alfa tem tres dıvidas para com um seu fornecedor:
Dıvida Montante (e) Data Vencimento
1 7.500 20 Fevereiro2 10.000 20 Maio3 5.000 20 Agosto
Considerando uma TAE de 10%, a base de calculo 30/360 e a data de 20de Junho como momento de referencia:
a. Se a empresa pretender efectuar um pagamento unico no montantede 22.200e , em substituicao das tres dıvidas originais, em que diadeve efectua-lo, por forma a obter uma situacao financeiramenteequivalente?
b. E se a empresa pretender pagar 22.924,4e?
Nota: Resolucao na aula.Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 101/306
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Equivalencia entre dois conjuntos de Capitais
Exemplo
A empresa Beta tem tres dıvidas para com a empresa Omega:
Dıvida Montante (e) Data Vencimento
1 10.000 15 Abril2 12.000 15 Junho3 20.000 15 Outubro
A empresa Beta pretende substituir as tres dıvidas por duas, de igualvalor entre si, com o seguinte plano de pagamentos:
Vencimento 1: 15 de Junho
Vencimento 2: 15 de Dezembro
Considerando uma TAE de 12%, a base de calculo 30/360 e a data de 15de Junho como momento de referencia, determine o montante de cadaum dos pagamentos, de forma a manter o equilıbrio financeiro entre asduas modalidades de pagamento.
Nota: Resolucao na aula.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 102/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Taxa Media
Taxa Media
Considere-se um conjunto de capitais C1,C2, . . . ,Cn, investidosdurante os prazos t1, t2, . . . , tn, as taxas de juro i1, i2, . . . , in.Designa-se por taxa media, a taxa de juro i , unica, que aplicada aesses capitais durante os mesmos prazos, produz o mesmorendimento.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 103/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Taxa Media
C ′j e o valor acumulado do capital Cj , aplicado a taxa ij , durante oprazo tj .
Pretende-se conhecer o valor de i que verifica
n∑j=1
C ′j(1 + ij)tj
=n∑
j=1
C ′j(1 + i)tj
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 104/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Taxa Media
n∑j=1
C ′j(1 + ij)tj
=n∑
j=1
C ′j(1 + i)tj
Como determinar a taxa i?
Tentativas - completamente desaconselhado
Interpolacao Linear
Funcao Solver do Excel
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 105/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Taxa Media
Exemplo
Suponha que em 1/4/n foram aplicados os seguintes capitais:
10 u.m. durante 3 meses a taxa mensal de 1%
20 u.m. durante 7 meses a taxa mensal de 2%
40 u.m. durante 1 ano a taxa mensal de 3%
Determine a taxa media.
Nota: Resolucao na aula.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 106/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Capıtulo 4
Rendas Certas
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 107/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Cap 4 - Rendas Certas
1 Conceitos e Definicoes
2 Classificacao das Rendas
3 Rendas Inteiras com Termos Constantes
Rendas Temporarias
Rendas Perpetuas
Rendas Diferidas
4 Rendas Inteiras com Termos Variaveis
5 Rendas Fraccionadas
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 108/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Conceitos e Definicoes
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 109/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Conceitos e Definicoes
Renda
Conjunto de Capitais, constantes ou nao, com vencimentosequidistantes no tempo.
Perıodo da Renda: Intervalo de Tempo entre cada dois termosconsecutivos.
Termo da Renda: Cada um dos capitais da renda.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 110/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Classificacao das Rendas
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 111/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Classificacao das Rendas
Quanto a aleatoriedade dos termos, as rendas podem ser:
Certas: Nos vencimentos respectivos, os termos saosempre pagos.Exemplo: Pagamento das prestacao de um credito automovel.
Incertas (Aleatorias): Os termos da renda so se verificammediante algumas condicoes.Exemplo: Uma apolice de seguro que paga uma anuidade em
caso de vida do segurado.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 112/306
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Classificacao das Rendas
Quanto ao numero de termos, as rendas podem ser:
Temporarias: O numero de termos e finito.
Perpetuas: O numero de termos e infinito.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 113/306
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Classificacao das Rendas
Consoante o a data em que os capitais ficam disponıveis, as rendaspodem ser:
Antecipadas: O primeiro termo da renda esta disponıvel nomomento de referencia.Exemplo: Na compra de um electrodomestico fixam-se 5prestacoes, sendo a primeira paga no acto da compra.
Postecipadas: O primeiro termo esta disponıvel no final doprimeiro perıodo da renda.Exemplo: No Credito a Habitacao, a 1a prestacao e devidaum mes apos o inıcio do contrato.
Imediatas: O primeiro termo esta disponıvel no proximoperıodo.
Diferidas: O primeiro termo esta disponıvel apenas apos umdeterminado numero de perıodos.Exemplo: Rendimento mensal a receber por um indivıduo de40 anos, quando atingir a idade de reforma.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 114/306
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Classificacao das Rendas
Quanto a relacao entre o perıodo da taxa de juro e o perıododa renda, as rendas podem ser:
Inteiras: O perıodo da taxa de juro coincide com operıodo da renda.Exemplo: Renda paga anualmente com uma taxa de juro
inerente de 5% ao ano.
Fraccionadas: O perıodo da taxa de juro nao coincidecom o perıodo da renda.Exemplo: No Credito a Habitacao, a taxa de juro e anual e as
prestacoes (termos da renda) sao mensais.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 115/306
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Classificacao das Rendas
Consoante os termos da renda sejam constantes ou variaveisas rendas dizem-se:
De termos constantes: Todos os termos tem o mesmovalor.
De termos variaveis em Progressao Aritmetica: Os termosvariam segundo uma progressao aritmetica crescente oudecrescente.
De termos variaveis em Progressao Geometrica: Ostermos variam segundo uma progressao geometricacrescente ou decrescente.
De termos variaveis: Os termos seguem outro tipo deevolucao ou nao sao regidos por uma lei matematica.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 116/306
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Classificacao das Rendas
Criterio de Classificacao Designacao da Renda
Quanto a aleatoriedade dos termosRendas CertasRendas Incertas
Quanto ao prazo de vigenciaRendas TemporariasRendas Perpetuas
Quanto ao vencimento dos termosRendas PostecipadasRendas Antecipadas
Quanto ao momento de referenciaRendas ImediatasRendas Diferidas
Quanto ao perıodo da rendaRendas InteirasRendas Fraccionadas
Quanto ao valor dos termosRendas ConstantesRendas Variaveis
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 117/306
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Simbologia
A simbologia utilizada para exprimir o valor actual dos termosde uma renda, pode ser representada como:
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 118/306
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Simbologia
I pode tomar os valores:
a - valor actual de uma renda unitaria
s - valor acumulado de uma renda unitaria
Ia - valor actual de uma renda crescente em progressaoaritmetica
Da - valor actual de uma renda decrescente em progressaoaritmetica
Ga - valor actual de uma renda com os termos a variar em
progressao geometricaGracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 119/306
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Simbologia
II pode tomar os valores:
n - renda com n termos certos
∞ - renda perpetua
ni - renda com n termos certos e a taxa de juro i
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 120/306
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Simbologia
III pode tomar os valores:
t| - renda diferida, com t termos de diferimento
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 121/306
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Simbologia
IV pode tomar os valores:
vazio - renda postecipada
¨(trema) - renda antecipada
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 122/306
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Simbologia
V pode tomar os valores:
(m) - renda fraccionada. (m) corresponde ao numero devezes que a renda e paga por cada perıodo da taxa de juro.
r - renda a variar em progressao (aritmetica ou geometrica)de razao r
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 123/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Simbologia
Exemplo:
4|a(12)50,03
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 124/306
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Rendas Inteiras com Termos Constantes
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 125/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Rendas Inteiras Postecipadas Constantes
Considere-se uma renda:
Inteira, Postecipada
Com n termos, todos constantes e unitarios
Taxa de juro i (constante no prazo da renda)
Momento de Referencia no instante 0
O 1o termo da renda ocorre um perıodo apos o momento dereferencia
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 126/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Rendas Inteiras Postecipadas Constantes
O valor actual da renda (valor da renda reportado aomomento de referencia) e dado por:
an = v + v 2 + v 3 + . . . + vn = v1− vn
1− v
an =1− vn
i
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 127/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Rendas Inteiras Postecipadas Constantes
O valor acumulado da renda (valor da renda reportado aofinal do ultimo perıodo) e dado por:
sn = (1 + i)n−1 + (1 + i)n−2 + . . . + (1 + i) + 1 =
= (1 + i)n(v + v 2 + v 3 + ... + vn) = (1 + i)nan
sn = (1 + i)n an
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 128/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Rendas Inteiras Postecipadas Constantes
sn = (1 + i)n an
an = vn sn
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 129/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Rendas Inteiras Postecipadas Constantes
No caso em que os termos da renda nao sao unitarios, tem-se:
Valor Actual: C an
Valor Acumulado: C sn
Esta formulacao e valida para todos os tipos de rendas queadiante se estudarao.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 130/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Rendas Inteiras Antecipadas Constantes
Considere-se uma renda:
Inteira, Antecipada
Com n termos, todos constantes e unitarios
Taxa de juro i (constante no prazo da renda)
Momento de Referencia no instante 0
O 1o termo da renda ocorre no momento de referencia
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 131/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Rendas Inteiras Antecipadas Constantes
O valor actual da renda e dado por:
an = 1 + v + v 2 + v 3 + . . . + vn−1 =1− vn
1− v
an =1− vn
1− v= (1 + i)
1− vn
i
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 132/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Rendas Inteiras Antecipadas Constantes
O valor acumulado da renda e dado por:
sn = (1 + i)n + (1 + i)n−1 + . . . + (1 + i) =
= (1 + i)n(1 + v + v 2 + . . . + vn−1) = (1 + i)nan
sn = (1 + i)n an
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 133/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Rendas Inteiras Antecipadas Constantes
sn = (1 + i)n an
an = vn sn
Exercıcio 19
Mostre que:
a) an = (1 + i)an
b) sn = (1 + i)sn
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 134/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Rendas Inteiras Perpetuas Postecipadas
Considere-se uma renda:
Inteira, Postecipada
Infinitos Termos constantes e unitarios
Taxa de juro i (constante no prazo da renda)
Momento de Referencia no instante 0
O 1o termo da renda ocorre um perıodo apos o momento dereferencia
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 135/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Rendas Inteiras Perpetuas Postecipadas
O valor actual da renda e dado por:
a∞ = v + v 2 + v 3 + ... =
=∞∑n=1
vn =v
1− v=
1
i
a∞ =1
i
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 136/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Rendas Inteiras Perpetuas Antecipadas
Considere-se uma renda:
Inteira, Antecipada
Infinitos Termos constantes e unitarios
Taxa de juro i (constante no prazo da renda)
Momento de Referencia no instante 0
O 1o termo da renda ocorre no momento de referencia
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 137/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Rendas Inteiras Perpetuas
O valor actual da renda e dado por:
a∞ = 1 + v + v 2 + . . . =
=∞∑n=0
vn =1
1− v=
1 + i
i
a∞ =1 + i
i
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 138/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Rendas Inteiras Perpetuas Antecipadas
Exercıcio 20
Mostre que:
a) limn→∞
an = a∞
b) a∞ = (1 + i)a∞
A resolucao fica como exercıcio.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 139/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Rendas Inteiras Temporarias Diferidas Postecipadas
Considere-se uma renda:
Inteira, Postecipada
n termos constantes e unitarios
Taxa de juro i (constante no prazo da renda)
Momento de Referencia no instante 0
O 1o termo da renda ocorre um perıodo apos t perıodos dediferimento
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 140/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Rendas Inteiras Temporarias Diferidas Postecipadas
O valor actual da renda e dado por:
t|an = v tan
Nota: Demonstracao na aula.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 141/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Rendas Inteiras Temporarias Diferidas Antecipadas
Considere-se uma renda:
Inteira, Antecipada
n termos constantes e unitarios
Taxa de juro i (constante no prazo da renda)
Momento de Referencia no instante 0
O 1o termo da renda ocorre t perıodos apos o momento dereferencia
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 142/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Rendas Inteiras Temporarias Diferidas Antecipadas
O valor actual da renda e dado por:
t|an = v t an
Nota: Demonstracao na aula.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 143/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Rendas Inteiras com Termos Variaveis
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 144/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Rendas Inteiras Temporarias com Termos Variaveis
Em Rendas com Termos Variaveis, os termos podem ser:
Termos Variaveis em Progressao Aritmetica
Termos CrescentesTermos Decrescentes
Termos Variaveis em Progressao Geometrica
Termos CrescentesTermos Decrescentes
Termos Variaveis segundo outras leis
Resolver caso a caso
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 145/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Rendas Int. Temporarias com Termos Crescentes em P. Aritmetica
Pode decompor-se em
O valor actual da renda sera dado por:
C (Ia)rn = (C − r)an + ran − nvn
i
Nota: Demonstracao na aula.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 146/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Rendas Int. Temporarias com Termos Crescentes em P. Aritmetica
Define-se por (Ia)n o valor actual da renda temporaria,crescente em progressao aritmetica de razao 1 e capitalinicial 1, tendo-se:
(Ia)n =an − nvn
i
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 147/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Rendas Int. Temporarias com Termos Crescentes em P. Aritmetica
Exercıcio 21
Mostre que:
a) C (I a)rn = (1 + i)C (Ia)rn
b) C (Is)rn = (1 + i)nC (Ia)rn
c) C (I s)rn = (1 + i)C (Is)rn
d) t|C (Ia)rn = v tC (Ia)rn
Nota: Resolucao na aula.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 148/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Rendas Int. Temporarias com Termos Decrescentes em P. Aritmetica
Pode decompor-se em
O valor actual da renda sera dado por:
C (Da)rn = (C − r)an + rn − an
i
Nota: Demonstracao na aula.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 149/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Rendas Int. Temporarias com Termos Decrescentes em P. Aritmetica
Define-se por (Da)n o valor actual da renda temporaria,decrescente em progressao aritmetica de razao 1 e capitalinicial n, tendo-se:
(Da)n =n − an
i
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 150/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Rendas Int. Temporarias com Termos Decrescentes em P. Aritmetica
Exercıcio 22
Mostre que:
a) C (Da)rn = (1 + i)C (Da)rn
b) C (Ds)rn = (1 + i)nC (Da)rn
c) C (Ds)rn = (1 + i)C (Ds)rn
d) C t|(Da)rn = v tC (Da)rn
A resolucao fica como exercıcio.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 151/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Rendas Int. Temporarias com Termos em P. Geometrica
Se r > 1, os termos da renda sao crescentes em progressaogeometrica.
Se 0 < r < 1, os termos da renda sao decrescentes emprogressao geometrica.
O valor actual da renda sera dado por:
C (Ga)rn = Cv − rnvn+1
1− rv
Nota: Demonstracao na aula.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 152/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Rendas Int. Temporarias com Termos em P. Geometrica
Exercıcio 23
Mostre que:
a) C (Ga)rn = (1 + i)C (Ga)rn
b) C (Gs)rn = (1 + i)nC (Ga)rn
c) C (Gs)rn = (1 + i)C (Gs)rn
d) C t|(Ga)rn = v tC (Ga)rn
A resolucao fica como exercıcio.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 153/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Rendas Int. Temporarias com Termos em P. Geometrica
Nota Importante
As deducoes anteriores sao validas apenas para RendasInteiras, isto e, quando o perıodo da renda coincide com operıodo da taxa de juro.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 154/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Rendas Fraccionadas
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 155/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Rendas Fraccionadas
Quando o perıodo da taxa de juro nao coincide com o perıododa renda, esta diz-se fraccionada.
Rendas Fraccionadas
Para operar com rendas fraccinadas, pode optar-se entre doistratamentos possıveis:
1 Adaptar as formulas anteriores ao caso em que osperıodos da renda e da taxa sao distintos.
2 Calcular a taxa de juro equivalente a periodicidade darenda e considerar que a renda e inteira, com a taxa dejuro adequada.Desta forma, todas as rendas podem ser inteiras!
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 156/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Rendas Fraccionadas Temp. Postec. com Termos Constantes
Renda Fraccionada Temporaria Postecipada
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 157/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Rendas Fraccionadas Temporarias Postecipadas
Considere-se uma renda:
Paga durante n perıodos da taxa de juro
O perıodo da renda “cabe” m vezes no da taxa de juro
O numero total de termos da renda sera m × n
A taxa de juro i e constante durante o prazo da renda
Momento de Referencia no instante 0
O 1o termo da renda ocorre um perıodo apos o momento dereferencia
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 158/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Rendas Fraccionadas Temporarias Postecipadas
O valor actual da renda sera dado por:
a(m)n =
1− vn
(1 + i)1/m − 1
Nota: Demonstracao na aula.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 159/306
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Rendas Fraccionadas Temporarias
Exercıcio 24
Mostre que:
a) a(m)n = (1 + i)
1m a
(m)n
b) s(m)n = (1 + i)n a
(m)n
c) s(m)n = (1 + i)
1m s
(m)n
d) t|a(m)n = v t a
(m)n
e) t|a(m)n = v t a
(m)n
A resolucao fica como exercıcio.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 160/306
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Capıtulo 5
Reembolso de Emprestimos
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 161/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Cap 5 - Reembolso de Emprestimos
1 Conceitos e Definicoes
2 Modalidades Basicas de Reembolso de Emprestimos
Reembolso e Juros pagos de uma so vez
Reembolso de uma so vez e Juros em Prestacoes
Reembolso em Prestacoes e Juros pagos de uma so vez
Reembolso e Juros pagos em Prestacoes
Prestacoes ConstantesAmortizacoes Constantes
3 Assincronismos entre periodicidades das Prestacoes eTaxa de Juro
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 162/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Conceitos e Definicoes
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 163/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Conceitos e Definicoes
Emprestimo
Um emprestimo (ou mutuo) e um contrato pelo qual uma daspartes (o mutuante) cede a outra (o mutuario) determinadaimportancia, sendo o ultimo obrigado a restituir essa quantia,acrescida dos juros acordados, nas condicoes previamenteestipuladas.
Reembolso ou Amortizacao de um Emprestimo
Amortizar ou Reembolsar um emprestimo consiste em extinguir(gradualmente ou de uma so vez) uma dıvida contraıda,incluindo os juros estabelecidos no contrato de emprestimo.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 164/306
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Conceitos e Definicoes
Entidades Envolvidas num Emprestimo:
Mutuante:Dever : Emprestar o capital.Direito : Receber o capital emprestado adicionado dosjuros vencidos.
Mutuario:Dever : Restituir o capital recebido como emprestimo epagar os juros relativos a utilizacao desse capital.Direito : Usufruir do capital emprestado.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 165/306
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Conceitos e Definicoes
Prestacao
Pagamento destinado a liquidacao do emprestimo. A prestacao,tipicamente, e composta por duas parcelas:
Amortizacao de Capital
Juro
Princıpio Basico do Reembolso de Emprestimos
Em qualquer momento, deve existir equivalencia financeira entre ocapital em dıvida e os pagamentos ainda nao efectuados:
Valor Actual do Capital Mutuado=
Soma dos valores actuais das prestacoes a pagar pelo mutuariopara devolucao do capital e dos juros
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 166/306
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Conceitos e Definicoes
Notas:
So a amortizacao de capital faz diminuir o capital em dıvida.O pagamento de juros nao reduz o montante da dıvida.
Em qualquer modalidade de emprestimo, a soma de todas asamortizacoes tem que igualar o montante do emprestimo.
Os juros sao devidos sobre o capital em dıvida. Se os jurosnao forem pagos, passarao eles proprios a vencer juros.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 167/306
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Conceitos e Definicoes
Notas:
A amortizacao contida na ultima prestacao do emprestimo,uma vez que amortiza completamente a dıvida, tera que serigual ao capital em dıvida no inıcio do ultimo perıodo, ouseja, imediatamente apos o pagamento da ultima prestacao.
Quando as prestacoes sao devidas numa periodicidadediferente da da taxa de juro (assincronismo entre asperiodicidades das prestacoes e da taxa de juro), ha que terem atencao a equivalencia entre taxas de juro para efeitos deequivalencia dos capitais.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 168/306
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Conceitos e Definicoes
Regime de Capitalizacao em Reembolso de Emprestimos:
Tecnicamente, nada impede que se utilize o Regime de JuroSimples nos calculos associados ao Reembolso deEmprestimos.
O Regime de Juro Simples e, por vezes, utilizado ememprestimos de curto prazo (prazos inferiores a um ano).
Nos emprestimos de medio e longo prazo e priviligiada autilizacao do Regime de Juro Composto.
A compreensao dos princıpios basicos de amortizacao deemprestimos em Regime de Juro Composto permitem aadaptacao, sem dificuldade, a outras modalidades deamortizacao que, embora menos usuais, se encontram porvezes, na pratica, em algumas aplicacoes financeiras.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 169/306
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Modalidades de Reembolso de Emprestimos
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 170/306
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Modalidades de Reembolso de Emprestimos
Existem 4 modalidades principais de liquidacao deemprestimos, baseadas nos seguintes cenarios relativos ao Juroe ao Reembolso do capital:
1 Juro:
J1 - Juro pago de uma so vez
J2 - Juro pago em prestacoes ao longo do prazo doemprestimo
2 Reembolso do Capital:
R1 - Reembolso do capital de uma so vez, no final do prazodo emprestimo
R2 - Reembolso do capital em prestacoes, ao longo do prazodo emprestimo.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 171/306
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Modalidades de Reembolso de Emprestimos
Considerando os cenarios relativos ao pagamento de juros eamortizacao de capital, as principais modalidades dereembolso de emprestimos sao definidas por:
1 - (R1, J1)Reembolso pago de uma so vez, no final do prazo doemprestimo.
Juros pagos de uma so vez.
Os juros podem ser pagos:
a. No final do prazo do emprestimo
b. No inıcio do emprestimo (“a cabeca”)
As modalidades em que o reembolso e efectuado apenasno final do prazo do emprestimo sao usualmentedesignadas como Sistema Americano .
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 172/306
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Modalidades de Reembolso de Emprestimos
2 - (R1, J2)
Reembolso pago de uma so vez, no final do prazo doemprestimo.
Juros pagos escalonadamente (em prestacoes) ao longodo prazo do emprestimo.
Os juros podem ser pagos em prestacoes:
a. Antecipadas
b. Postecipadas
Esta modalidade corresponde ao Sistema AmericanoPuro .
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 173/306
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Modalidades de Reembolso de Emprestimos
3 - (R2, J1)
Reembolso efectuado em prestacoes ao longo do prazodo emprestimo.
As amortizacoes de capital podem ser:
a. Constantes ao longo do emprestimo.
b. Variaveis ao longo do emprestimo (variando emprogressao aritmetica ou geometrica).
Juros pagos de uma so vez, podendo ser pagos:
a. No inıcio do emprestimo
b. No final do emprestimo
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 174/306
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Modalidades de Reembolso de Emprestimos
4 - (R2, J2)Reembolso efectuado em prestacoes ao longo do prazodo emprestimo.
Juros pagos em prestacoes ao longo do emprestimo.
Nesta modalidade, e usual considerar-se dois cenarios:
a. Prestacoes constantes ao longo do emprestimo -Modalidade usualmente designada como Sistema Frances
b. Amortizacoes constantes ao longo do emprestimo -Modalidade usualmente designada como Sistema deAmortizacoes Constantes (SAC) .
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 175/306
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Modalidades de Reembolso de Emprestimos
As combinacoes genericas
(R1, J1) (R1, J2) (R2, J1) (R2, J2)
constituem as 4 modalidades basicas de liquidacao deemprestimos.
Variantes a estas modalidades, como o caso do Leasing, seraofacilmente adaptadas, do ponto de vista matematico efinanceiro, a partir dos conceitos das modalidades basicas.
Em muitas situacoes, a amortizacao e emprestimos resume-seou assemelha-se ao conceito de Rendas, pelo que acompreensao deste conceito e fundamental.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 176/306
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Notacao e Terminologia
C - Montante do Emprestimo
Cn - Capital em dıvida no inıcio do perıodo n
i - Taxa anual de juro
Pn - Prestacao devida do perıodo n (n-esima Prestacao)
jn - Parcela de juro contida na prestacao n
Jn - Total de Juro pago ate a prestacao n
mn - Parcela de amortizacao contida na prestacao n
Mn - Montante total amortizado ate a prestacao n
O diagrama cronologico e construıdo na optica no devedor, peloque se representam os valores a receber com sinal positivo e osvalores a pagar com sinal negativo.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 177/306
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Modalidade (R1, J1)
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 178/306
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Modalidade 1: (R1, J1)
Pagamento de juros e reembolso do capital efectuados deuma so vez.
a. Juros pagos no final do contrato
Sob o princıpio basico do reembolso de emprestimos, verifica-se:
Jn = C [(1 + i)n − 1]
Nota: Demonstracao na aula.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 179/306
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Modalidade 1: (R1, J1)
Pagamento de juros e reembolso do capital efectuados deuma so vez.
b. Juros pagos “a cabeca”
Sob o princıpio basico do reembolso de emprestimos, verifica-se:
J0 = C (1− vn)
Nota: Demonstracao na aula.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 180/306
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Modalidade 1: (R1, J1)
Exercıcio 25
O Sr. Silva contraiu um emprestimo de 1000e por um prazode 2 anos.A taxa de juro acordada e de 15% ao ano e o reembolso docapital e efectuado no final do prazo do emprestimo.
a. Se os juros forem pagos no final do prazo do contrato,qual o montante que o Sr. Silva dispendera ao final de 2anos?
b. Se os juros forem pagos a cabeca, calcule o montantetotal do reembolso, explicitando as datas em que ospagamentos sao efectuados.
Nota: Resolucao na aula.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 181/306
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Modalidade (R1, J2)
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 182/306
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Modalidade 2: (R1, J2)
Reembolso efectuado no final do prazo.
Juros pagos em prestacoes.
Cenario A: Juros vencıveis em momentos equidistantes comperıodos coincidentes com o da taxa de juro
1o Caso: Juros iguais e postecipados
Sob o princıpio basico do reembolso de emprestimos, verifica-se:
j = C i
Nota: Demonstracao na aula.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 183/306
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Modalidade 2: (R1, J2)
Reembolso efectuado no final do prazo.
Juros pagos em prestacoes.
Cenario A: Juros vencıveis em momentos equidistantes comperıodos coincidentes com o da taxa de juro
2o Caso: Juros iguais e antecipados
Sob o princıpio basico do reembolso de emprestimos, verifica-se:
j = C (1− v)
Nota: Demonstracao na aula.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 184/306
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Modalidade 2: (R1, J2)
Exercıcio 26
O Sr. Joaquim pediu 5000e emprestados a D. Rosa, a taxa dejuro anual de 10%, por um prazo de 4 anos,comprometendo-se a devolver o capital emprestado no final doprazo e a pagar juros anualmente.Calcule os juros anuais a pagar, admitindo que sao pagos:
a. Postecipadamente.
b. Antecipadamente.
Nota: Resolucao na aula.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 185/306
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Modalidade 2: (R1, J2)
Cenario B: Juros escalonados, vencıveis em momentosequidistantes, com perıodos correspondentes a 1/m da taxa dejuro, pagos postecipadamente.
Sob o princıpio basico do reembolso de emprestimos, verifica-se:
j = C[(1 + i)1/m − 1
]Nota: Demonstracao na aula.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 186/306
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Modalidade 2: (R1, J2)
Exercıcio 27
O Sr. Augusto contraiu um emprestimo no montante de3000e, por um prazo de 2 anos, a taxa anual de 12%.O reembolso do capital e devido no final do prazo e os jurossao pagos mensalmente, com vencimento no final do perıodo.Determine o montante dos juros a pagar em cada mes.
Nota: Resolucao na aula.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 187/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Modalidade 2: (R1, J2)
Exercıcio 28
Deduza a expressao que permite calcular os juros a pagar numemprestimo em que o reembolso se efectua no final do prazo,com os juros iguais ao longo do prazo do emprestimo,fraccionados e antecipados.
Solucao:
j =C[
(1 + i)1/m − 1]
(1 + i)1/m
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 188/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Modalidade (R2, J1)
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 189/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Modalidade 3: (R2, J1)
Reembolso efectuado em prestacoes.
Juros pagos de uma so vez.
Cenario A: Amortizacoes constantes de capital, vencıveis emmomentos equidistantes, com periodicidade igual a taxa dejuro e prestacoes pagas postecipadamente
1o Caso: Juros pagos no final do prazo
Sob o princıpio basico do reembolso de emprestimos, verifica-se:
Jn = Cn − ann vn
Nota: Demonstracao na aula.Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 190/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Modalidade 3: (R2, J1)
Exercıcio 29
Considere um emprestimo contraıdo sob a Modalidade(R2, J1), Cenario A.
Mostre que se as amortizacoes forem efectuadas emmomentos equidistantes, numa periodicidade correspondente a1/m do perıodo da taxa de juro, com as prestacoes pagaspostecipadamente, se tem:
Jn = Cmn − a
(m)n
mnvn
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 191/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Modalidade 3: (R2, J1)
Cenario A: Amortizacoes constantes de capital, vencıveis emmomentos equidistantes, com periodicidade igual a taxa de juro eprestacoes pagas postecipadamente
2o Caso: Juros pagos a cabeca
Sob o princıpio basico do reembolso de emprestimos, verifica-se:
J0 = C
(1− 1
nan
)
Nota: Demonstracao na aula.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 192/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
O Quadro de Amortizacao
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 193/306
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Quadro de Amortizacao
Quadro de Amortizacao
O Quadro de Amortizacao e frequentemente utilizado naanalise de amortizacao de emprestimos com o intuito de“visualizar” a evolucao do emprestimo.
Existem diferentes formas de construcao do quadro deamortizacao. Nesta unidade curricular, opta-se pelautilizacao de um dos mais simples e mais fequentementeutilizados na pratica.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 194/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Quadro de Amortizacao
PrestacaoCapital Dıvida Juro
PrestacaoAmortizacaonaPrestacao
Valor Prestacao
no Ck jk mk Pk
1 C j1 = C i m1 P1 = j1 + m1
2 C1 = C −m1 j2 = C1 i m2 P2 = j2 + m2
3 C2 = C1 −m2 j3 = C2 i m3 P3 = j3 + m3
. . . . . . . . . . . . . . .n − 1 Cn−2 = Cn−3−mn−2 jn−1 = Cn−2 i mn−1 Pn−1 = jn−1+mn−1
n Cn−1 = Cn−2−mn−1 jn = Cn−1 i mn Pn = jn + mn
Notas:
1 A soma das amortizacoes (m1 + m2 + . . .+ mn) tem,necessariamente, que ser igual a divida inicial C , para garantir quea dıvida e completamente amortizada.
2 A ultima amortizacao (mn) tem, necessariamente, que ser igual aocapital em dıvida no inıcio do ultimo perıodo (Cn−1).
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 195/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Modalidade (R2, J2)
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 196/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Modalidade 4: (R2, J2)
Reembolso e juros pagos escalonadamente ao longo do prazodo emprestimo.
Nesta modalidade, iremos analisar com detalhe dois cenarios:
Cenario A: Prestacoes Constantes
O valor de cada prestacao (soma do capitalamortizado com o juro pago) e constante ao longodo prazo do emprestimo.
Cenario B: Amortizacoes Constantes
A parcela do montante amortizado em cadaprestacao e constante ao longo do prazo doemprestimo, sendo a totalidade da prestacao variavel.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 197/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Modalidade 4: (R2, J2)
Cenario A: Prestacoes Constantes
Sob o princıpio basico do reembolso de emprestimos, verifica-se:
P =C
an
Nota: Demonstracao na aula.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 198/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Modalidade 4: (R2, J2)
Cenario A: Prestacoes Constantes
Nesta modalidade, cada prestacao contem Capital e Juro:
Reparticao da Prestacao entre Amortizacao e Juro
Deduzir-se-ao, em aula, as expressoes de jk e mk , k = 1, . . . , n,considerando que, em cada prestacao, e pago o juro relativo ao capitalem dıvida nesse perıodo e que o restante e utilizado para amortizacao decapital. Note-se que este corresponde ao cenario mais usual na praticabancaria.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 199/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Modalidade 4: (R2, J2)
Cenario A: Prestacoes Constantes
O Quadro de Amortizacao correspondente a Modalidade (R2, J2),Cenario A, sera dado por:
PrestacaoCapital Dıvida Juro
PrestacaoValor
PrestacaoAmortizacao na
Prestacaono Ck jk Pk mk
1 C j1 = C i P = C/an m1 = P − j12 C1 = C −m1 j2 = C1 i P m2 = P − j23 C2 = C1 −m2 j3 = C2 i P m3 = P − j3. . . . . . . . . . . . . . .n − 1 Cn−2 = Cn−3−mn−2 jn−1 = Cn−2 i P mn−1 = P − jn−1
n Cn−1 = Cn−2−mn−1 jn = Cn−1 i P mn = P − jn
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 200/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Modalidade 4: (R2, J2)
Exercıcio 30
Deduza a expressao que permite quantificar o capital emdıvida no final do perıodo k , sem ter que construir o Quadrode Amortizacao e obtenha expressoes gerais para jk e mk sob oregime de amortizacao (R2, J2) com Amortizacoes Constantes.
Nota: Resolucao na aula.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 201/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Modalidade 4: (R2, J2)
Exercıcio 31
a. Mostre que, sob a Modalidade (R2, J2), Cenario A, se a prestacaotiver uma periodicidade 1/m do perıodo da taxa de juro, se tem:
P =C
a(m)n
.
b. Mostre que o capital em dıvida, quando faltam m(n− k) prestacoespara liquidacao do emprestimo, e dado por:
Ck/m = P a(m)
n−k/m.
c. Mostre que o juro devido, quando faltam m(n − k) prestacoes, edado por:
jk/m = Ck/m
[(1 + i)1/m − 1
].
d. Construa o Quadro de Amortizacao.
Nota: Resolucao na aula.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 202/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Modalidade 4: (R2, J2)
Cenario B: Amortizacoes Constantes
Nesta modalidade, cada prestacao contem Capital e Juro, mas aamortizacao e constante:
1 m =C
n
2 jk = (C − (k − 1)m) i , k = 1, . . . , n
3 Pk = m [(n − k + 1)i + 1] , k = 1, . . . , n
4 Ck = m(n − k) , k = 1, . . . , n
Nota: Demonstracao na aula.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 203/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Modalidade 4: (R2, J2)
Cenario B: Amortizacoes Constantes
O Quadro de Amortizacao correspondente a Modalidade (R2, J2),Cenario B, sera dado por:
PrestacaoCapital Dıvida Juro
PrestacaoValor
PrestacaoAmortizacao na
Prestacaono Ck jk Pk mk
1 C j1 = C i P1 = m + j1 m2 C1 = C −m j2 = C1 i P2 = m + j2 m3 C2 = C1 − 2m j3 = C2 i P3 = m + j3 m. . . . . . . . . . . . . . .n − 1 Cn−2 = Cn−3− (n−2)m jn−1 = Cn−2 i Pn−1 =
m + jn−1
m
n Cn−1 = Cn−2− (n−1)m jn = Cn−1 i Pn = m+ jn m
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 204/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Notas:
Em emprestimos sob a modalidade (R2, J2), verifica-seque:
No cenario de Prestacoes Constantes, a amortizacao decapital e crescente ao longo do prazo do emprestimo.
No cenario de Amortizacoes Constantes, as prestacoessao decrescentes ao longo do prazo do emprestimo.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 205/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Carencia e Diferimento
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 206/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Carencia e Diferimento
Embora nao sejam contemplados exemplos de emprestimoscom prazos de carencia ou prazos de diferimento, e importanteque estas nocoes sejam definidas:
Prazo de Carencia
Num emprestimo, designa-se por prazo de carencia o perıodode tempo durante o qual ha apenas lugar ao pagamento dosjuros devidos (nao existe amortizacao de capital).
Durante o prazo de carencia, o capital em dıvida e sempre omesmo ate que se inıcie a amortizacao de capital.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 207/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Carencia e Diferimento
Prazo de Diferimento
Num emprestimo, denomina-se por prazo de diferimento operıodo durante o qual nao ha lugar a amortizacao de capitalnem a pagamento de juros.
Durante o prazo de diferimento, os juros nao pagos ficamtambem a vencer juros.
A incorporacao destas nocoes nos emprestimos estudados, doponto de vista matematico e financeiro, esta ao alcance dosalunos apos a compreensao dos conceitos ate aqui abordados.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 208/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Capıtulo 6
Emprestimos por Obrigacoes
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 209/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Cap 6 - Emprestimos por Obrigacoes
1 Definicoes e Generalidades
2 Reembolso de Emprestimos Obrigacionistas
Amortizacoes Constantes
Prestacoes (aproximadamente) Constantes
Amortizacao Unica
3 Esperanca de Vida das Obrigacoes
4 Taxa Real da Obrigacao
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 210/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Definicoes e Generalidades
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 211/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Definicoes e Generalidades
Nos emprestimo ate aqui estudados, o capital eraconcedido por apenas um mutuante (uma unicaentidade).
No entanto, ha situacoes em que, devido ao elevadaquantia monetaria que o mutuario necessita, se revelanecessario (e mais prudente) recorrer a mais do que ummutuante.
Nestes cenarios, e comum o mutuario recorrer aEmprestimos Obrigacionistas.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 212/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Definicoes e Generalidades
Obrigacao
Uma obrigacao e um tıtulo representativo de um emprestimoobtido, pelo qual a entidade emitente (o mutuario) se comprometea pagar aos detentores das obrigacoes (os mutuantes):
o valor inscrito no tıtulo - o valor nominal
um rendimento periodico - o juro
outras importancias a que a entidade emissora se tenhaobrigado na emissao das obrigacoes - premios de reembolso,etc.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 213/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Definicoes e Generalidades
Os Emprestimos por Obrigacoes permitem:
A captacao de um maior volume de capital para omutuario.
Um mutuario (grande devedor) e muitos mutuantes(pequenos credores).
Emprestimos de Medios e Longos prazos.
Reembolsos efectuados em fraccoes periodicas.
O mutuario obriga-se a reembolsar o respectivo capital e pagaros juros devidos, de acordo com as condicoes previamenteestabelecidas na ficha tecnica do emprestimo.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 214/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Definicoes e Generalidades
- Ficha Tecnica do Emprestimo Obrigacionista -
A ficha tecnica fornece as informacoes relativas ao emprestimoobrigacionista:
Montante da Emissao
Valor Nominal das Obrigacoes
Taxa de Juro
Forma de Pagamento dos Juros
Base de Calculo
Preco de Subscricao
Prazo do Emprestimo
Forma de Reembolso
. . .
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 215/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Definicoes e Generalidades
Os conceitos mais relevantes nos contexto dos emprestimosobrigacionistas sao:
Emitente:
Corresponde ao mutuario, que lanca o emprestimo obrigacionista.Podem ser emitentes de Emprestimos Obrigacionistas: Empresas,Instituicoes Financeiras, o Estado ou Entidades Publicas.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 216/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Definicoes e Generalidades
Os conceitos mais relevantes nos contexto dos emprestimosobrigacionistas sao:
Emitente
Subscricao:
Consiste na aquisicao de obrigacoes emitidas.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 217/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Definicoes e Generalidades
Os conceitos mais relevantes nos contexto dos emprestimosobrigacionistas sao:
Emitente
Subscricao
Subscritores ou Obrigacionistas:
Correspondem aos mutuantes, ou seja, aos que compram obrigacoes,emprestando dinheiro a entidade emitente.Os subscritores podem ser Instituicoes Financeiras, Bancos, Governos,Fundos de Investimento, Fundos de Pensoes, Companhias de Seguros,Corretores, Particulares.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 218/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Definicoes e Generalidades
Os conceitos mais relevantes nos contexto dos emprestimosobrigacionistas sao:
Emitente
Subscricao
Subscritores ou Obrigacionistas
Vida do Emprestimo:
Corresponde a duracao do emprestimo, ou seja, o tempo que decorreentre o momento da emissao das obrigacoes e o pagamento da ultimaprestacao.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 219/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Definicoes e Generalidades
Os conceitos mais relevantes nos contexto dos emprestimosobrigacionistas sao:
Emitente
Subscricao
Subscritores ou Obrigacionistas
Vida do Emprestimo
Maturidade:
Data em que ocorre o pagamento da ultima prestacao do emprestimo.Corresponde, portanto, a data em que o emprestimo se extingue.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 220/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Definicoes e Generalidades
Os conceitos mais relevantes nos contexto dos emprestimosobrigacionistas sao:
Emitente
Subscricao
Subscritores ou Obrigacionistas
Vida do Emprestimo
Maturidade
Valor Nominal - Vn:
Valor sobre o qual e calculado o juro das obrigacoes.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 221/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Definicoes e Generalidades
Os conceitos mais relevantes nos contexto dos emprestimosobrigacionistas sao:
Emitente
Subscricao
Subscritores ou Obrigacionistas
Vida do Emprestimo
Maturidade
Valor Nominal - Vn
Taxa de Juro ou Taxa de Cupao - i :
E a taxa (regra geral, anual nominal) a qual sao calculados os jurosdevidos ao obrigacionista. Para efeitos da contagem dos dias para calculodos juros e frequente a utilizacao da Base de Calculo 30/360.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 222/306
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Definicoes e Generalidades
Os conceitos mais relevantes nos contexto dos emprestimosobrigacionistas sao:
Emitente
Subscricao
Subscritores ou Obrigacionistas
Vida do Emprestimo
Maturidade
Valor Nominal - Vn
Taxa de Juro ou Taxa de Cupao - i
Reembolso:
Consiste na restituicao do capital aos obrigacionistas. Frequentemente, oreembolso e efectuado por sorteio, que determinara quais os subscritoresa reembolsar.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 223/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Definicoes e Generalidades
Os conceitos mais relevantes nos contexto dos emp. obrigacionistas sao:
Valor de Emissao - Ve :
Corresponde ao valor que os subscritores pagam pelas obrigacoes no
momento da sua emissao. O valor de emissao pode ser igual, inferior ou
superior ao valor nominal, utilizando-se as designacoes:
� Subscricao ao par: a subscricao e efectuada pelo seu valor nominal:Ve = Vn.
� Subscricao abaixo do par: a subscricao e efectuada por um valorinferior ao valor nominal: Ve < Vn.Esta situacao ocorre em perıodos de escassez de oferta de capital oude dificuldade da emitente em colocar os seus tıtulos no mercado.
� Subscricao acima do par: a subscricao e efectuada por um valorsuperior ao valor nominal da obrigacao: Ve > Vn.Esta situacao ocorre em perıodos de excesso de oferta de capital.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 224/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Definicoes e Generalidades
Os conceitos mais relevantes nos contexto dos emp. obrigacionistas sao:
Valor de Emissao - Ve
Valor de Reembolso - Vr :
E o valor que os subscritores recebem pelas obrigacoes, quando estas sao
amortizadas. O valor de reembolso pode ser efectuado:
� Ao par: O valor de reembolso e igual ao valor nominal: Vr = Vn.
� Abaixo do par: o valor de reembolso e inferior ao valor nominal:Vr < Vn.E uma situacao pouco frequente pois desincentiva a aquisicao dasobrigacoes.
� Acima do par: o valor de reembolso e superior ao valor nominal daobrigacao: Vr > Vn.Esta situacao e frequentemente utilizada como um incentivo acompra de obrigacoes.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 225/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Definicoes e Generalidades
Os conceitos mais relevantes nos contexto dos emp. obrigacionistas sao:
Valor de Emissao - Ve
Valor de Reembolso - Vr
Premio de Reembolso - pr :
Corresponde a diferenca entre o valor de reembolso e o valor nominal dasobrigacoes, nas situacoes em que o reembolso se efectua acima do par,ou seja
pr = Vr − Vn se Vr > Vn.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 226/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Definicoes e Generalidades
Os conceitos mais relevantes nos contexto dos emp. obrigacionistas sao:
Valor de Emissao - Ve
Valor de Reembolso - Vr
Premio de Reembolso - pr
Forma de Reembolso:
Corresponde a modalidade em que a amortizacao das obrigacoes eefectuada. Existem diversas modalidades de reembolso, sendo as maiscomuns a amortizacao em amortizacoes constantes, em prestacoes(aproximadamente) constantes ou amortizacao unica no final damaturidade com pagamento periodico dos juros.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 227/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Definicoes e Generalidades
Tipos de Obrigacoes:
De Taxa Fixa - o juro pago aos subscritores e constante ao longo doprazo do emprestimo.
De Taxa Variavel - a taxa de juro e variavel ao longo do emprestimo.
Indexadas - a taxa de juro das obrigacoes e indexada a umdeterminado ındice.
Simples - as obrigacoes simples dao direito ao reembolso do seuvalor nominal e ao recebimento dos juros nos prazos previstos.
Com Premio - as obrigacoes com premio dao direito aorecebimento, na data de reembolso, de uma importancia adicional -o premio de reembolso.
Convertıveis - Sao instrumentos financeiros hıbridos, constituıdospor uma obrigacao com uma opcao de conversao em accoes. Asobrigacoes convertıveis tendem a pagar cupoes mais baixos, devidoa opcao de conversao que lhes acrescenta valor.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 228/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Definicoes e Generalidades
Notacao:
Vn - valor nominal de cada obrigacao
Ve - valor de emissao de cada obrigacao
Vr - valor de reembolso de cada obrigacao
Q - no de obrigacoes emitidas
Qk - no de obrigacoes reembolsadas no perıodo k
Qvk - no de obrigacoes “vivas” no final do perıodo k
C - valor nominal do emprestimo
n - no de perıodos de vigencia do emprestimo
i - taxa de juro (anual nominal)
jk - juro no perıodo k
mk - amortizacao efectuada no perıodo k
Mk - amortizacoes acumuladas ate ao perıodo k
pk - premio de reembolso no perıodo k
Pk - prestacao do perıodo k
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 229/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Reembolso de Emprestimos Obrigacionistas
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 230/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Quadro de Amortizacao (generico)
Quadro de Amortizacao
O Quadro de Amortizacao e semelhante ao Quadro deAmortizacao dos emprestimos classicos.
O Quadro de Amortizacao de Emprestimos Obrigacionistasdevera, adicionalmente, conter informacao relativa ao numerode obrigacoes amortizadas (“mortas”) em cada perıodo, bemcomo relativamente ao numero de obrigacoes ainda “vivas”apos cada amortizacao de capital.
O premio de reembolso, caso exista, deve tambem estarcontemplado no Quadro de Amortizacao.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 231/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Quadro de Amortizacao (generico)
Perıodo Obrig.Vivas2
V.N.Obrig.Vivas
Juro3 Amort. Obrigacoes aReembolsar4
Amort.Acum.
PremioReemb.
Prestacao
(1) (2)=(1).Vn (3)=(2).i (4) (5)=(4)/Vr (6) (7) (3)+(4)+(7)1 Q C = Q Vn j1 m1 Q1 M1 pr1 P12 Qv1
C1 j2 m2 Q2 M2 pr2 P23 Qv2
C2 j3 m3 Q3 M3 pr3 P3
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n Qvn−1Cn−1 jn mn Qn Mn prn Pn
Total - - - C Q - - -
2no inıcio do perıodo
3no final do perıodo
4arredondado ao inteiro mais proximo
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 232/306
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Reembolso de Emprestimos Obrigacionistas
Modalidade 1: Amortizacoes Constantes
1.1 - Sem Premio de Reembolso1.2 - Com Premio de Reembolso
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 233/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Reembolso de Emprestimos Obrigacionistas
Modalidade 1.1 - Amortizacoes Constantes, sem P. Reembolso
Valor do Emprestimo: C = Q · Vn
A prestacao a pagar e composta por Amortizacao e Juro:
Pk = mk + jk
O valor a amortizar em cada perıodo e dado por
m =C
n⇔ m =
Q
n· Vn
Q
ncorresponde ao no de obrigacoes a amortizar (sortear)
em cada perıodo.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 234/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Reembolso de Emprestimos Obrigacionistas
Modalidade 1.1 - Amortizacoes Constantes, sem P. Reembolso
O juro devido no final do perıodo k sera:
jk = (C − (k − 1)m) i = QVn
(n − k + 1
n
)i , k = 1, . . . , n
O valor total amortizado no final do perıodo k sera
Mk = kQ
nVn , k = 1, . . . , n
O capital em dıvida no final do perıodo k sera
Ck = Q
(n − k
n
)Vn , k = 1, . . . , n
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 235/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Modalidade 1.1 - Quadro de Amortizacao
Perıodo Obrig. Vi-vas5
V.N. Obrig.Vivas
Juro6 Amortizacao Obrigacoes aReembolsar
Amort.Acum.
Prestacao
k QvkCk jk m Qk Mk Pk
1 Q Q Vn QVn iQ
nVn
Q
nm m + j1
2 Qn − 1
nQ
n − 1
nVn QVn
n − 1
ni
Q
nVn
Q
n2m m + j2
3 Qn − 2
nQ
n − 2
nVn QVn
n − 2
ni
Q
nVn
Q
n3m m + j3
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n Q1
nQ
1
nVn QVn
1
ni
Q
nVn
Q
n(n − 1)m m + jn
Total - - - C Q - -
5no inıcio do perıodo
6no final do perıodo
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 236/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Modalidade 1.1
Exercıcio 32
A Sociedade de tintas Arco-Iris emitiu um emprestimo constituıdopor 120.000 obrigacoes com o valor nominal de 5e, vencendo jurosa taxa anual de 18%, nas seguintes condicoes:
- reembolso em 5 prestacoes anuais, sendo constante o no deobrigacoes a reembolsar
- reembolso ao par, vencendo-se o primeiro um ano apos a datada subscricao
- subscricao ao par, iniciando-se a contagem dos juros apos adata de termo da subscricao
Construa o quadro de amortizacao do emprestimo obrigacionista.
Nota: Resolucao na aula.Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 237/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Modalidade 1.1
Exercıcio 33
A empresa de informatica FreeApps emitiu um emprestimoobrigacionista com as seguintes caracterısticas e condicoes:
- Numero de obrigacoes emitidas: 1.000.0000
- Valor Nominal: 3e
- Juros pagos anualmente a taxa de juro anual nominal de 6%
- Forma de reembolso: Ao par, em 25 prestacoes anuais, sendoconstante o capital a amortizar em cada prestacao
Recorrendo ao Excel, elabore o quadro de amortizacao desteemprestimo obrigacionista.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 238/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Modalidade 1.1
Exercıcio 34
Resolva novamente o Exercıcio 32, considerando que o juro sevence semestralmente a taxa anual de 18%.
Nota:
Quando a periodicidade de vencimento dos juros nao coincidir coma periodicidade da taxa de juro, a taxa correspondente aossub-perıodos da taxa de juro e a correspondente taxa proporcional,por se considerarem taxas nominais.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 239/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Reembolso de Emprestimos Obrigacionistas
Modalidade 1.2 - Amortizacoes Constantes, com P. Reembolso
Nesta modalidade, a Entidade Emitente restitui o valornominal do capital aquando da amortizacao das obrigacoes,adicionada de um premio - o premio de reembolso -normalmente variavel de vencimento para vencimento.
Relativamente a modalidade anterior, esta forma dereembolso de emprestimos obrigacionistas requer, apenas, ainclusao de uma coluna adicional no quadro de amortizacaopor forma a reflectir o premio de reembolso (ver Quadro deAmortizacao generico).
A prestacao a pagar sera agora composta por Amortizacao,Juro e Premio: Pk = mk + jk + pk
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 240/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Modalidade 1.2
Exercıcio 35
Considere o emprestimo obrigacionista do Exercıcio 32considerando que em cada reembolso sera pago o seguintepremio adicional:
1a Amortizacao: 0.1 e
2a Amortizacao: 0.25 e
3a Amortizacao: 0.5 e
4a Amortizacao: 0.75 e
5a Amortizacao: 1 e
Construa o novo quadro de amortizacao do emprestimoobrigacionista.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 241/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Modalidade 1.2
Exercıcio 36
Considere o emprestimo obrigacionista do Exercıcio 33considerando, adicionalmente, que existe um premio dereembolso de 0.20e por obrigacao reembolsada.
Elabore o quadro de amortizacao do emprestimo obrigacionistanas novas condicoes.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 242/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Reembolso de Emprestimos Obrigacionistas
Modalidade 2: Prestacoes (aproximadamente) Constantes
2.1 - Sem Premio de Reembolso2.2 - Com Premio de Reembolso
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 243/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Modalidade 2.1 - Observacoes
Nesta modalidade, em que se pretende reembolsar oemprestimo obrigacionista atraves de prestacoes constantes, enecessario notar que o que se amortiza em cada perıodo e umnumero de obrigacoes e nao um montante de capital.
Naturalmente, o numero de obrigacoes e um numero inteiroe, como tal, podera ser necessario efectuar algunsajustamentos em cada perıodo, o que faz com que asprestacoes nao sejam exactamente constantes, mas simaproximadamente constantes.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 244/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Reembolso de Emprestimos Obrigacionistas
Modalidade 2.1 - Prestacoes ≈ Constantes, sem P. Reembolso
Valor do Emprestimo: C = Q · Vn
A prestacao a pagar e composta por Amortizacao e Juro:
Pk = mk + jk
O valor constante de cada prestacao sera
Pk =C
an=
Q
anVn , k = 1, . . . , n
O juro de cada perıodo e, como usualmente, dado por
jk = Ck−1 i , k = 1, . . . , n
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 245/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Modalidade 2.1 - Prestacoes ≈ Constantes
O valor de cada amortizacao sera:
mk = Pk − jk , k = 1, . . . , n
O numero de obrigacoes a reembolsar sera
Qk ≈mk
Vn, k = 1, . . . , n
arredondando-se Qk para o inteiro mais proximo.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 246/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Modalidade 2.1 - Prestacoes ≈ Constantes
Nota Importante:
Devido aos ajustamentos efectuados em cada perıodo podeverificar-se que, no final do emprestimo, a soma de todas asobrigacoes amortizadas seja distinto do valor das obrigacoesemitidas.
Nestas situacooes efectua-se, na ultima prestacao, osajustamentos que se revelarem necessarios.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 247/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Modalidade 2.1 - Quadro de Amortizacao
Perıodo Obrig. Vi-vas7
V.N. Obrig.Vivas
Juro8 Amortizacao Obrigacoes aReembolsar9
Amort.Acum.
Prestacao
k QvkCk jk mk Qk Mk Pk ≈ P
1 Q Q Vn QVn i P − j1m1
Vnm1 Q1Vn + j1
2 Qv1C1 C1 i P − j2
m2
VnM1 + m2 Q2Vn + j2
3 Qv2C2 C2 i P − j3
m3
VnM2 + m3 Q3Vn + j3
.
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.
.
.
.
.
.
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.
.
n Qvn Cn−1 Cn−1 i P − jnmn
Vn
10 Mn−1 +mn
QnVn + jn
Total - - - C Q - -
7no inıcio do perıodo
8no final do perıodo
9Arredondado ao inteiro mais proximo
10Pode necessitar de ajustes
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 248/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Modalidade 2.1
Exercıcio 37
A Sociedade de tintas Arco-Iris emitiu um novo emprestimoobrigacionista constituıdo por 120.000 obrigacoes com o valornominal de 5e, vencendo juros a taxa anual de 18%, nas seguintescondicoes:
- reembolso em 5 prestacoes anuais desejando, desta vez,amortizar o emprestimo em prestacoes constantes
- reembolso ao par, vencendo-se o primeiro um ano apos a datada subscricao
- subscricao ao par, iniciando-se a contagem dos juros apos adata de termo da subscricao
Construa o quadro de amortizacao do novo emprestimoobrigacionista.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 249/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Modalidade 2.1
Exercıcio 38
A Sociedade 123, Lda emitiu um emprestimo obrigacionista com asseguintes caracterısticas e condicoes:
- No de Obrigacoes emitidas e subscritas: 1.000.000
- Valor Nominal: 5e
- Juros pagos anualmente a taxa de juro anual nominal de 6%
- Forma de Reembolso: 25 prestacoes anuais constantes
- Premio de Reembolso: Nao aplicavel
Elabore o quadro de amortizacao deste emprestimo recorrendo aoMicrosoft Excel.
Nota: Resolucao na aula.Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 250/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Modalidade 2.2
Em emprestimos obrigacionistas reembolsados em prestacoes constantescom premio de reembolso, duas situacoes se podem colocar:
1 O premio de reembolso e considerado a parte, pelo que a prestacaoque se mantem constante e apenas constituıda por amortizacao ejuro: Pk = mk + jk . Esta situacao e tratada de forma semelhante aModalidade 1.2, sendo apenas necessario incorporar uma novacoluna no Quadro de Amortizacao.
2 O premio de reembolso e considerado como fazendo parte deprestacao (que se pretende constante) pelo que
Pk = mk + jk + pk .
Esta situacao implica que se efectue uma “normalizacao doemprestimo”.11
11Fora do ambito da disciplina. Para estudo deste problema ver, por exemplo, Matias (2009).
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 251/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Reembolso de Emprestimos Obrigacionistas
Modalidade 3: Amortizacao Unica
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 252/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Reembolso de Emprestimos Obrigacionistas
Modalidade 3 - Amortizacao Unica
Nesta modalidade, ao longo do prazo do emprestimo apenasse pagam os juros periodicos.
A amortizacao dos capital (das obrigacoes) e efectuada deuma so uma vez, a todos os subscritores, no final do prazo.
Esta modalidade tem como inconveniente que o mutuario, nofinal do prazo do emprestimo, tem um elevado compromissofinanceiro para satisfazer.
A formulacao desta modalidade, de um ponto de vistafinanceiro, nao apresenta qualquer dificuldade.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 253/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Modalidade 1.3 - Amortizacao Unica
Exercıcio 39
A Sociedade ABC emitiu um emprestimo obrigacionista comas seguintes caracterısticas e condicoes:
- No de Obrigacoes Emitidas: 1.000.000
- Valor Nominal: 5 e
- Juros pagos anualmente a taxa anual nominal de 4%
- Forma de Reembolso: de uma so vez, apos 5 anos
- Reembolso ao par
Elabore o quadro de amortizacao do emprestimoobrigacionista.
Nota: Resolucao na aula.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 254/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Esperanca de Vida das Obrigacoes
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 255/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Esperanca de Vida das Obrigacoes
Observacoes:
Na generalidade dos emprestimos obrigacionistas, asamortizacoes sao efectuadas periodicamente e por sorteio.
Desta forma, cada subscritor desconhece, a priori, a dataem que as suas obrigacoes irao ser reembolsadas.
E assim usual estimar-se a esperanca de vida dasobrigacoes.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 256/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Esperanca de Vida das Obrigacoes
Esperanca de Vida das Obrigacoes
Tempo que, em media, uma obrigacao se mantem “viva” ao longodo emprestimo. Corresponde ao tempo medio durante o qual osubscritor recebe juros do seu investimento.
A Esperanca de Vida das Obrigacoes “vivas” num dado momentok , ek , e obtida a partir da media aritmetica dos tempos vividos poressas obrigacoes, a partir do momento k:
ek =1× Qk+1 + 2× Qk+2 + . . .+ (n − k)× Qn
Qk+1 + Qk+1 + . . .+ Qn
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 257/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Esperanca de Vida das Obrigacoes
Em emprestimos obrigacionistas com amortizacao(reembolso) constante, tem-se:
ek =n − k + 1
2
Em emprestimos obrigacionistas com prestacoes constantes,tem-se:
ek =n − k
1− vn−k− 1
i
Nota: Demonstracao na aula.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 258/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Esperanca de Vida das Obrigacoes
Vida Media de uma Obrigacao
Denomina-se por Vida Media a esperanca de vida de cadaobrigacao acabada de emitir e representa-se por e0.
Em emprestimos obrigacionistas com amortizacoesconstantes:
e0 =n + 1
2
Em emprestimos obrigacionistas com prestacoes constantes:
e0 =n
1− vn− 1
i
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 259/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Esperanca de Vida das Obrigacoes
Exercıcio 40
Suponha que e proprietario de uma obrigacao da Sociedade deTintas Arco-Iris, cujas condicoes do emprestimo foram descritas noExercıcio 32.Considerando os cenarios de Amortizacoes Constantes e PrestacoesConstantes:
a. Determine a vida media da obrigacao.
b. Supondo que ja foi efectuado o 3o sorteio e a sua obrigacaoainda nao foi amortizada, estime a esperanca de vida da suaobrigacao.
Nota: Resolucao na aula.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 260/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Taxa Real de uma Obrigacao
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 261/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Taxa Real de uma Obrigacao
Observacoes:
Sob a perspectiva do subscritor a taxa real de juro de cadaobrigacao so e possıvel de determinar a posteriori (depois daobrigacao reembolsada), uma vez que a data em que oreembolso ocorre e desconhecida.
Uma vez ocorrido o reembolso, a taxa efectiva de umaobrigacao pode ser facilmente determinada.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 262/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Taxa Real de uma Obrigacao
Considere-se uma obrigacao adquirida no momento 0, com o valornominal Vn, emitida pelo preco de emissao Ve e que foireembolsada no momento k , sem premio de reembolso.
Esquematicamente, o emprestimo pode ser representado por:
A taxa real i∗ da obrigacao e obtida a partir de
Ve = Vn × i × ak i∗ + Vn (1 + i∗)−k
Nota: Demonstracao na aula.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 263/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Taxa Real de uma Obrigacao
Considere-se uma obrigacao adquirida no momento 0, com o valornominal Vn, emitida pelo preco de emissao Ve e que foireembolsada no momento k , com premio de reembolso pr .
Esquematicamente, o emprestimo pode ser representado por:
A taxa real i∗ da obrigacao e obtida a partir de
Ve = Vn × i × ak i∗ + (Vn + pr ) v∗k
Nota: Demonstracao na aula.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 264/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Taxa Real de uma Obrigacao
Exercıcio 41
A Sociedade XYZ emitiu, em 01/06/2008, obrigacoes no valornominal de 5e , vencendo juros a taxa anual nominal de 7.5%,com vencimentos em 01/12 de cada ano.Suponha que adquiriu uma dessas obrigacoes por 4,5e e que estafoi reembolsada, em 01/06/2010, pelo seu valor nominal.Determine a taxa real desta obrigacao:
a. Admitindo que nao houve premio de reembolso.
b. Supondo que tinha existido um premio de reembolso de0.25e.
Nota: Resolucao na aula.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 265/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Capıtulo 7
O Calculo Financeiro e as Aplicacoes de Capital
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 266/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Cap 7 - O Calculo Financeiro e as Aplicacoes de Capital
1 Nocoes Gerais
2 Fases de Avaliacao de um Projecto de Investimento
3 Indicadores de Rendibilidade
Prazo de Recuperacao do Investimento (PRI)
Valor Actualizado Lıquido (VAL)
Taxa Interna de Rendibilidade (TIR)
Indice de Rendibilidade (IR)
4 Comparacao de Investimentos
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 267/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Nocoes Gerais
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 268/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Nocoes Gerais
Neste capıtulo introduzir-se-a, de forma ligeira e breve, aaplicacao do Calculo Financeiro na avaliacao de projectos deinvestimento.
Um investimento traduz-se, no essencial, na substituicao decapitais presentes por capitais futuros.
Do ponto de vista do investidor, esta substituicao devera sercompensatoria, isto e, os capitais futuros deverao exceder oscapitais actuais.
O investimento pressupoes o acrescimo do valor dos capitaisinvestidos, caso contrario nao se trata de um investimento deinteresse.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 269/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Nocoes Gerais
A decisao de investir num projecto envolve sempre uma certadose de risco, maior ou menor consoante o tipo deinvestimento, o qual devera, pelo menos teoricamente, sercoberto pelo retorno obtido com o investimento (espera-seque investimentos com maior risco produzam maioresretornos).
Analisar-se-ao algumas medidas de rendibilidade de uminvestimento que permitam auxiliar na decisao deinvestimento num dado projecto e na comparacao entre variosinvestimentos.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 270/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Nocoes Gerais
Qualquer projecto de investimento deve ter, para efeitos deavaliacao, um horizonte temporal, correspondente a vida utiesperada do projecto.
Associados a um investimento, existem sempre fluxosfinanceiros positivos e negativos, correspondentes aosinvestimentos e receitas geradas pelo projecto.
Com base nas estimativas dos fluxos e do horizonte temporal,medir-se-a a rendibilidade do projecto de investimento,segundo varias medidas.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 271/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Fases de Avaliacao de um Projecto de Investimento
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 272/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Fases de avaliacao de um projecto de investimento
I - Fixacao de Hipoteses
Usualmente e necessario fixar certas hipoteses sobre aevolucao futura das variaveis com influencia relevante nosresultados do projecto, nomedamente:
◦ Mercado ◦ Taxas de Juro◦ Salarios ◦ Inflaccao◦ Enquadramento Fiscal◦ Outras variaveis macro-economicas
A fixacao de hipoteses e essencial na avaliacao de um projecto.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 273/306
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Fases de avaliacao de um projecto de investimento
II - Escolha de um Horizonte Temporal e Perıodo de Referenciapara o projecto
Habitualmente, e escolhido um horizonte de analise doprojecto considerando-se que, no final deste perıodo, oprojecto cessa os seus efeitos de libertacao de recursoscompensatorios do investimento inicial. Este horizontedesigna-se por Horizonte Temporal e denotar-se-a por n.
Quando nao existe um horizonte definido a priori para oprojecto, fixa-se um horizonte razoavel (variavel de acordocom o tipo de projecto) e resume-se todo o futuro para alemdesse horizonte num valor residual para o investimento inicial.
O horizonte temporal escolhido e depois dividido em perıodosiguais (usualmente anos) sendo a unidade temporal obtidadesignada por perıodo de referencia.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 274/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Fases de avaliacao de um projecto de investimento
III - Projeccao dos Cash-Flows
Com base nas hipoteses fixadas e tendo em conta o horizontetemporal e o perıodo de referencia, a avaliacao do projectoconsiste, seguidamente, na estimacao dos cash-flows, isto e,na estimacao dos capitais futuros gerados e investidos emcada um dos perıodos do projecto, bem como da estimacaodos investimentos iniciais a efectuar.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 275/306
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Fases de avaliacao de um projecto de investimento
III - Projeccao dos Cash-Flows
Os fluxos financeiros sao, regra geral, agrupados em tres tipos:
1 Fluxos originados directamente pelo investimento:Ik , k = 1, . . . , n
Sao custos do investimento propriamente dito (aquisicao deequipamentos, edifıcios, etc). Sao, naturalemnte, fluxos negativose sao usualmente designados como Custos do Investimento.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 276/306
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Fases de avaliacao de um projecto de investimento
III - Projeccao dos Cash-Flows
Os fluxos financeiros sao, regra geral, agrupados em tres tipos:
1 Fluxos originados directamente pelo investimento:Ik , k = 1, . . . , n
2 Fluxos gerados pela exploracao do investimento:CFk , k = 1, . . . , n
Representam as despesas e receitas geradas pelo investimento(venda de produtos, manutencao do equipamento, custos de maode obra, etc). A diferenca entre as receitas e as despesas eusualmente designada por Cash-Flows do investimento e podem,naturalmente, ser positivos, negativos ou nulos.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 277/306
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Fases de avaliacao de um projecto de investimento
III - Projeccao dos Cash-Flows
Os fluxos financeiros sao, regra geral, agrupados em tres tipos:
1 Fluxos originados directamente pelo investimento:Ik , k = 1, . . . , n
2 Fluxos gerados pela exploracao do investimento:CFk , k = 1, . . . , n
3 Fluxos associados ao fim de vida util do investimento: Vr
Correspondem a receitas e despesas associadas ao fim de vida utildo investimento. Sao habitualmente designados por Valor Residuale ocorrem apenas no final de vida util do investimento (no final dohorizonte temporal).
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 278/306
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Fases de avaliacao de um projecto de investimento
III - Projeccao dos Cash-Flows
em que:
Ii - Montante do investimento necessario no ano i
CFi - Cash-flows gerados no ano i
Vr - Valor Residual do investimento
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 279/306
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Rendibilidade de um Investimento
De um ponto de vista da analise de rendibilidade de uminvestimento, podem colocar-se duas situacoes:
1 Estudo da rendibilidade do projecto em si
Nesta situacao, pretende apenas avaliar-se a capacidade doprojecto multiplicar o capital investido.Nesta perspectiva, os encargos para com instituicoesfinanceiras (juros e amortizacoes de capital) nao devem serconsiderados como fluxos negativos, mesmo quando sao pagos.De facto, estes constituem tambem recursos libertados peloprojecto, embora se destinem a remunerar capitais alheios.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 280/306
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Rendibilidade de um Investimento
De um ponto de vista da analise de rendibilidade de uminvestimento, podem colocar-se duas situacoes:
1 Estudo da rendibilidade do projecto em si
2 Estudo da rendibilidade dos detentores de capital proprio
Nesta perspectiva, pretende analisar-se a rendibilidade doprojecto, lıquida dos encargos contraıdos para investimento noprojecto. Assim, os encargos financeiros devem serconsiderados como fluxos negativos.Nesta situacao, estuda-se apenas a rendibilidade dasaplicacoes efectuadas pelos detentores de capitais proprios enao a rendibilidade do projecto.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 281/306
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Rendibilidade de um Investimento
Exemplo
Considere um projecto caracterizado por:Horizonte Temporal: 2 anos Investimento Inicial: 100.000eCash-Flow no ano 1: 50.000e Cash-Flow no ano 2: 80.000eValor Residual: nao aplicavel
Analise a rendibilidade do projecto em si e dos detentores de capitais sobos seguintes cenarios:
a. Todo o capital inicial e detido pelo investidor.
b. Metade do capital inicial e detido pelo investidor e o restantecapital foi cedido por terceiros a uma taxa de juro de 10%, sendo aamortizacao de capital efectuada por amortizacoes constantes nosproximos 2 anos.
Nota: Resolucao na aula.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 282/306
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Indicadores de Rendibilidade
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 283/306
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Prazo de Recuperacao do Investimento
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 284/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Prazo de Recuperacao do Investimento
Prazo de Recuperacao do Investimento - PRI
Corresponde ao tempo mınimo necessario para que os cash-flowsacumulados ao longo desse prazo igualem o capital investido.
Nao considerando a actualizacao dos cash-flows ter-se-ia que oPRI corresponde ao prazo m tal que
m∑j=1
CFj + Vr =n−1∑j=0
Ij
Esta forma simplista do calculo do PRI ignora o valor temporal dodinheiro, o que nao deve ser descurado.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 285/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Prazo de Recuperacao do Investimento
Considerado os valores actuais dos cash-flows, o PRI correspondeao prazo m que verifica
m∑j=1
CFj (1 + i)−j + Vr (1 + i)−n =n−1∑j=0
Ij (1 + i)−j
com i a taxa correspondente ao custo do capital.
Taxa de Custo do Capital
Esta taxa deve ser estimada pelo investidor, tendo em contavarios factores: o numero de investimentos a efectuar aolongo do tempo, se o investimento e total ou parcialmenteefectuado com capitais proprios, qual a taxa de juro envolvidanos compromissos financeiros a assumir e outros factores quese revelem importantes de analisar.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 286/306
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Prazo de Recuperacao do Investimento
Considerado os valores actuais dos cash-flows, o PRI correspondeao prazo m que verifica
m∑j=1
CFj (1 + i)−j + Vr (1 + i)−n =n−1∑j=0
Ij (1 + i)−j
com i a taxa correspondente ao custo do capital.
Taxa de Custo do Capital
Esta taxa deve ainda fazer face ao risco de investimento(considerando adicionalmente um premio de risco).
A correcta estimacao desta taxa e de extrema importancia. Aadopcao de uma ou outra taxa pode revelar-se determinantena decisao de investir ou nao num determinado projecto.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 287/306
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Prazo de Recuperacao do Investimento
Observacoes:
Este indicador de rendibilidade revela-se simplista na medidaem que nao avalia a rendibilidade do investimento, pois naoconsidera os fluxos de capital ocorridos para alem da data emque se recupera o valor dispendido com o investimento.
Na realidade, este indicador apenas permite determinar operıodo a partir do qual o capital investido e recuperado.
Este indicador revela-se util para desempate entre projectosalternativos em que os restantes criterios de rendibilidadeproduzam valores semelhantes.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 288/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Valor Actual Liquido
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 289/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Valor Actual Lıquido
Valor Actual Lıquido - VAL
Consiste na actualizacao, para o momento inicial do projecto, detodos os fluxos de capital (positivos e negativos) referentes aoprojecto. E um dos criterios mais frequentemente utilizados.
VAL =n∑
j=1
CFj(1 + i)−j −n−1∑j=0
Ij(1 + i)−j + Vr (1 + i)−n
A taxa atribuıda ao custo do capital volta a revelar-se de extremaimportancia.O VAL e uma funcao decrescente de i .
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 290/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Valor Actual Lıquido
Interpretacoes do VAL:
Assumindo que os cash-flows sao libertos do projecto, a decisao atomar com base neste indicador e bastante intuitiva:
VAL > 0 - o projecto e economicamente viavel, uma vez queos cash-flows libertos pelo projecto permitem:
↪→ recuperar progressivamente o capital investido↪→ remunerar o capital investido a taxa de custo do capital
na parte que vai permanencendo afecta ao projecto↪→ originar um excedente (lucro). Note-se que o VAL e o
valor actual desse excedente.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 291/306
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Valor Actual Lıquido
Interpretacoes do VAL:
Assumindo que os cash-flows sao libertos do projecto, a decisao atomar com base neste indicador e bastante intuitiva:
VAL < 0 - o projecto e economicamente inviavel, devendo serrejeitado.Note-se que, nesta situacao, o valor actual dos fluxosnegativos excede o valor actual dos fluxos positivos.
VAL ≈ 0 - de um ponto de vista financeiro, torna-seindiferente concretizar ou nao o investimento pois as receitasigualam os custos (em valores actuais), nao resultandonenhum excedente (o projecto nao gera lucro).
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 292/306
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Valor Actual Lıquido
Observacoes Importantes:
Ao decidir em funcao do VAL deve ter-se em atencao que se estaoa admitir como validas as previsoes que foram efectuadas acerca dataxa de custo do capital.
Nalgumas situacoes, a variacao de 1 ou 2 pontos percentuais nataxa i e o suficiente para passar de VAL > 0 para VAL < 0.
Nas situacoes em que os cash-flows gerados permanecem noprojecto, sendo reinvestidos e gerando eles proprios cash-flowsadicionais, o calculo e interpretacao do VAL carecem de umaanalise mais cuidada12.
12Fora do ambito da disciplina.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 293/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Taxa Interna de Rendibilidade
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 294/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Taxa Interna de Rendibilidade
Taxa Interna de Rendibilidade - TIR
A Taxa Interna de Rendibilidade corresponde a taxa do custo docapital para a qual se tem VAL = 0.
A TIR e, portanto, a solucao da equacao
n∑j=1
CFj(1 + i)−j −n−1∑j=0
Ij(1 + i)−j + Vr (1 + i)−n = 0
A TIR corresponde, portanto, a taxa maxima de custo do capitalque pode ser considerada para nao se ter um excedente negativo.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 295/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Taxa Interna de Rendibilidade
Observacoes:
A TIR e, portanto, a taxa do custo do capital que permitereembolsar progressivamente o investimento efectuado e pagar osjuros, sem gerar excedente.
Representa, portanto, o “ponto de indiferenca” entre realizar ounao o investimento, uma vez que e obtida a partir de VAL = 0.
Uma vez determinada, deve ser comparada com a taxa derendibilidade mınima que o investidor esta disposto a aceitar parainvestir no projecto, taxa essa designada por taxa de referencia.
Novamente, o risco do investimento sera um factor a ter em contana analise da taxa de referencia.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 296/306
Capıtulo 1 Capıtulo 2 Capıtulo 3 Capıtulo 4 Capıtulo 5 Capıtulo 6 Capıtulo 7
Taxa Interna de Rendibilidade
Observacoes:
A TIR corresponde ainda a rendibilidade gerada por determinadoinvestimento ou seja, a taxa de juro que produziria a mesmarendibilidade se o montante dos investimentos fosse aplicado a essataxa.
A partir do momento em que os fluxos de capitais sejam conhecidos(estimados), o criterio de decisao consiste em aceitar os projectosque apresentam uma TIR superior ao custo de financiamento,acrescido de uma taxa de risco que esteja associada aoinvestimento.
Genericamente, a TIR representa a taxa de retorno esperada dosinvestimentos num projecto.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 297/306
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Taxa Interna de Rendibilidade
Interpretacoes da TIR:
Se TIR > Taxa de Referencia - o projecto e economicamenteviavel, relevando condicoes de ser realizado.
Se TIR < Taxa de Referencia - o projecto e economicamenteinviavel, devendo ser rejeitado.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 298/306
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Indice de Rendibilidade
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 299/306
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Indice de Rendibilidade
Indice de Rendibilidade - IR
O Indice de Rendibilidade procura fazer face a alguns dosinconvenientes do VAL, na medida em que relaciona o VAL com omontante do investimento.O Indice de Rendibilidade indica a rendibilidade gerada por cadaunidade de capital investida.
IR =VAL
Valor Actual do Investimento
Um projecto de investimento sera tanto mais atraente quantomaior o seu ındice de rendibilidade, devendo ser rejeitado uminvestimento cujo IR < 0.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 300/306
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Comparacao de Investimentos
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 301/306
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Comparacao de Investimentos
Observacoes:
Nalgumas situacoes, a questao que se coloca ultrapassa a simplesavaliacao de viabilidade do investimento que se pensa concretizar.
Por vezes, na presenca de dois ou mais projectos, o investidornecessita decidir qual o melhor projecto, ou seja, pretende efectuaruma hierarquizacao dos projectos de acordo com a sua viabilidade.
Nestes casos, as estruturas temporais dos investimentos e doscash-flows sao tambem importantes de medir e analisar de forma aaferir por qual dos investimentos se deve optar.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 302/306
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Comparacao de Investimentos
Algumas notas sobre a comparacao de investimentos:
1 No caso de projectos com investimentos iguais, a escolha pode serefectuada pelo valor mais elevado do VAL ou pelo valor maiselevado da TIR.
2 Quando os montantes dos investimetos sao substancialmentediferentes deve complementar-se a analise com o calculo do Indicede Rendibilidade - IR - e do Prazo de Recuperacao do Investimento- PRI .
3 Em projectos com vidas uteis muito distintas, o investidor deveatender ainda ao horizonte temporal do projecto.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 303/306
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Nota importante:
A terminar este capıtulo relativo a avaliacao de investimentose importante referir que, de um ponto de vista daaplicabilidade destes conceitos, a avaliacao deve ser efectuadacom bastante cautela.
Deve ter-se sempre presente que os criterios analisados sebaseiam em previsoes o que, por si so, justifica cuidado nasdecisoes a tomar.
Os cash-flows nos quais todas as medidas assentam saoprevisionais e, como tal, passıveis de nao se virem a confirmar(por defeito ou por excesso).
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 304/306
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Bibliografia
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Santos, L.L., Laureano, R. (2003) Fundamentos e Aplicacoes doCalculo Financeiro, Edicoes Sılabo.
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 305/306
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Calculo Financeiro
Gracinda R. Guerreiro
2014/15
Gracinda R. Guerreiro — Calculo Financeiro 306/306