Post on 14-Feb-2016
description
Una serie de Taylor es una representación o una aproximación de una función como una suma de términos calculados de los valores de sus derivadas en un mismo punto
0
,
!
nn
n
f x
a r a r
f ax a
n
La serie de Taylor de una función real
infinitamente diferenciable, definida en unintervalo abierto , es la serie
de potencias
22
2
33
3
1
12!
1 1... ...3! !
1!
x a x a
nn
nx a x a
nn
nn x a
df d ff x f a x a x adx dx
d f d fx a x adx n dx
d ff x x an dx
1
0
00
sin : sin
1!
sinsin sin 0
sin 0 0
sin cos 1
sin
nn
nn x a
x
xx
R R y f x x
d ff x x an dx
d xx x
dx
d x xdxx x
sin x x
sin x x
sin x x
sin x x
x sin(x) x0.500 0.479 0.5000.400 0.389 0.4000.300 0.296 0.3000.200 0.199 0.2000.100 0.100 0.1000.000 0.000 0.000
1
2 2
20 0
sin : sin
1!
sin sinsin sin 02
nn
nn x a
x x
R R y f x x
d ff x x an dx
d x x d xx xdx dx
2 2
20 0
0
2 2
2 20
2
sin : sin
sin sinsin sin 02
sin sincos cos 0
sin sinsin sin 0
sin sin 0 cos0 sin 0 0 02
x x
x
x
R R y f x x
d x x d xx xdx dx
d x d xxdx dx
d x d xxdx dx
xx x x x
1
2 323
2 30 0 0
sin : sin
1!
sin sin sin1sin sin 02 6
nn
nn x a
x x x
R R y f x x
d ff x x an dx
d x d x d xxx x xdx dx dx
2 323
2 30 0 0
3 3
3 30
2 33
sin : sin
sin sin sin1sin sin 02 6
sin sincos cos 0
1sin sin 0 cos 0 sin 0 cos 02 6 6
x x x
x
R R y f x x
d x d x d xxx x xdx dx dx
d x d xx
dx dx
x xx x x x
3
in6
s xxx
3
in6
s xxx
x sin(x) x-x^3/60.500 0.479 0.4790.400 0.389 0.3890.300 0.296 0.2960.200 0.199 0.1990.100 0.100 0.1000.000 0.000 0.000
3
in6
s xxx
3 5 7 9
sin 0cos 1
sin 0cos 1
sin 0cos 1
sin 0 0 0 0 0 ...3! 5! 7! 9!
xxxx
xx
x x x xx x
3 5 7 9
sin3! 5! 7! 9!x x x xx x
2 3 41 1 3 512 8 161
10.5, 1.4142135621
1 1,1 0.25 1.25,1 0.25 0.09375 1.34375,1 0.25 0.09375 0.030518 1.37427
x x x O xx
xx
ln : ln
Hacer el desarrollo de Taylor del logaritmoalrededor del 1.
R R y x
11
2
2 211
3
3 311
1 1
11
ln : ln
Hacer el desarrollo de Taylor del logaritmoalrededor del 1.ln 1 0
ln 1 1
ln 1 1
ln 2 2
ln 1 !1 1 1 !
xx
xx
xx
nn n
n nxx
R R y x
d xdx x
d xdx x
d xdx x
d x nn
dx x
2 3 41
ln : ln
1 1 1 1ln 1 ... 1 ...
2 3 4
nn
R R y x
x x x xx x
n
ln : ln
ln 1
R R y x
x x
2
ln : ln
1ln 1
2
R R y x
xx x
2 3
ln : ln
1 1ln 1
2 3
R R y x
x xx x
2 3 4
ln : ln
1 1 1ln 1
2 3 4
R R y x
x x xx x
2 3 4
ln : ln
1 1 1ln 1
2 3 4
R R y x
x x xx x
x ln(x) x-1x-1-(x-1)^2/2
x-1-(x-1)^2/2+(x-1)^3/3
x-1-(x-1)^2/2+(x-1)^3/3-(x-1)^4/4
0.500 -0.693 -0.500 -0.625 -0.667 -0.6820.600 -0.511 -0.400 -0.480 -0.501 -0.5080.700 -0.357 -0.300 -0.345 -0.354 -0.3560.800 -0.223 -0.200 -0.220 -0.223 -0.2230.900 -0.105 -0.100 -0.105 -0.105 -0.1051.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.0001.100 0.095 0.100 0.095 0.095 0.0951.200 0.182 0.200 0.180 0.183 0.1821.300 0.262 0.300 0.255 0.264 0.2621.400 0.336 0.400 0.320 0.341 0.3351.500 0.405 0.500 0.375 0.417 0.401
1: 11
Hacer el desarrollo de Taylor alrededor del 0.
f R R y f xx
3 / 2
00
25 / 2
2 200
37 / 2
3 300
1: 11
Hacer el desarrollo de Taylor alrededor del 0.
1 1 112 21
1 1 3 1 312 2 21
1 1 3 5 1 3 512 2 2 21
1
xx
xx
xx
n
n
f R R y f xx
d xdx x
d xdx x
d xdx x
ddx
0
2 1 !!21 n
x
n
x
2 3
1: 11
Hacer el desarrollo de Taylor alrededor del 0.
2 1 !!1 1 3 51 ... ...2 8 16 !21
nn
f R R y f xx
nx x x x
nx
432
1: 11
11
11 38
516
351282
f R R
x x
x
xx
f
x
yx
exp : exp
Hacer el desarrollo de Taylor alrededor del 0.
xR R y x e
00
2
2 00
3
3 00
0
exp : exp
Hacer el desarrollo de Taylor alrededor del 0.
1
1
1
1
x
x x
xx
x x
xx
x x
xx
nx
nx
R R y x e
d e edx
d e edx
d e edx
d edx
2 3
exp : exp
Hacer el desarrollo de Taylor alrededor del 0.
1 1 11 ... ...2 6 !
x
x n
R R y x e
e x x x xn
0
00
0
00
0
0 0 0
0 0
limx x
f x f xdf xdx x x
f x f xdf xdx x x
dff x f x x x xdx
dff x x xdx
0 0dfdf x x dxdx
0
00
0
limx x
f x f xdf xdx x x
1. La geometría del espacio euclidiano2. Funciones vectoriales3. Diferenciación4. Integrales múltiples5. Integrales de línea6. Integrales de superficie7. Los teoremas integrales
V S V
Consideraremos siemprela normal hacía afuera
3 3
Sea un campo vectorial:
: ; , , , ,x y zF D R R F x y z F F F
3
La divergencia de es un campo escalar:
: ´
, , yx z
F
F D R RFF FF x y z
x y z
para todo
V S V
dV F dSF
V
para todo
SV V
F dSFd
V
V
para todo
V S V
FdV F dS
V
3 3
V
Sea : un campo vectorial.
Para todo : S V
F
V F dV F dS
R R
The Feynman Lectures notes on Physics. Richard P. Feynman. Vol II, capítulo 3, secciones 3.2 y 3.3
Volumen Superficie cerrada
VS
T
S V
F dS
1
2
1 2 T 1 2ˆ ˆn n
1n
2n
T
T 1 2 3 4
T1
N
ii
T1
N
ii
, ,x y z
, ,x dx y z
X
Y
Z
, ,x dx y dy z
, ,x y dy z
, ,x y dy z dz
, ,x dx y dy z dz
, ,x y z dz
Cubito 1 2 3 4 5 6
ˆ ˆ( , , ) ( , , ) ˆ ˆ ( , , ) ( , , ) ˆ ˆ ( , , ) ( , , )
F x y z k dxdy F x y z dz k dxdy
F x y z j dxdz F x y dy z j dxdz
F x y z i dydz F x dx y z i dydz
( , , ) ( , , )
( , , ) ( , , )
( , , ) ( , , )
z z
y y
x x
F x y z F x y z dz dxdy
F x y z F x y dy z dxdz
F x y z F x dx y z dydz
( , , )( , , ) ( , , )
( , , )( , , ) ( , , )
( , , )( , , ) ( , , )
zz z
yy y
xx x
F x y zF x y z F x y z dz dxdyz
F x y zF x y z F x y z dy dxdz
y
F x y zF x y z F x y z dx dydz
x
Cubito ( , , ) ( , , )
( , , ) ( , , )
( , , ) ( , , )
z z
y y
x x
F x y z F x y z dz dxdy
F x y z F x y dy z dxdz
F x y z F x dx y z dydz
Cubito( , , )( , , ) ( , , )
( , , ) ( , , ) ( , , )
( , , ) ( , , ) ( , , )
zz z
yy y
xx x
F x y zF x y z F x y z dz dxdyz
F x y zF x y z F x y z dy dxdz
y
F x y zF x y z F x y z dx dydzx
( , , )( , , ) ( , , )yz xF x y zF x y z F x y zdzdxdy dydxdz dxdydz
z y x
Cubito
( , , )( , , ) ( , , )yx zF x y zF x y z F x y z dxdydz
x y z
Cubito
( , , )( , , ) ( , , )yz xF x y zF x y z F x y zdzdxdy dydxdz dxdydz
z y x
Cubito 1 2 3 4 5 6
ˆ ˆ ˆ ˆ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )ˆ ˆ( , , ) ( , , )
( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )z z y y
F x y z kdxdy F x y z dz kdxdy F x y z jdxdz F x y dy z jdxdz
F x y z idydz F x dx y z idydz
F x y z F x y z dz dxdy F x y z F x y dy z dxdz
( , , ) ( , , )
( , , )( , , ) ( , , )
( , , )( , , ) ( , , )
( , , )( , , ) ( , , )
( , ,( , , )
x x
zz z
yy y
xx x
yz
F x y z F x dx y z dydz
F x y zF x y z F x y z dz dxdyz
F x y zF x y z F x y z dy dxdz
y
F x y zF x y z F x y z dx dydz
xF x y zF x y z dzdxdy
z
) ( , , )
( , , )( , , ) ( , , )
x
yx z
F x y zdydxdz dxdydzy x
F x y zF x y z F x y z dxdydzx y z
T Cubito 10
limi
N
iN idV
10
( , , )( , , ) ( , , )limi
Ny i i ix i i i z i i i
iNidV
F x y zF x y z F x y z dVx y z
( , , )( , , ) ( , , )yx z
V
F x y zF x y z F x y z dVx y z
T
S V
F dS
( , , )( , , ) ( , , )yx z
V S V
F x y zF x y z F x y z dV F dSx y z
T
( , , )( , , ) ( , , )yx z
V
F x y zF x y z F x y z dVx y z
( , , )( , , ) ( , , )yx z
V S V
F x y zF x y z F x y z dV F dSx y z
( , , )( , , ) ( , , )( , , ) yx z
F x y zF x y z F x y zF x y z
x y z
V S V
FdV F dS
( , , )( , , ) ( , , )( , , ) yx zF x y zF x y z F x y zF x y z
x y z
Cubito
Cubito
( , , )( , , ) ( , , )
( , , )
yx zF x y zF x y z F x y z dxdydz
x y z
F x y z dV
V S V
FdV F dS
0F
V S V
FdV F dS
0F
3 3
V
Sea : un campo vectorial.
Para todo :
S V
F
V
F dV F dS
R R
V S V
FdV F dS
0F
V S V
FdV F dS
0F
1
0,
:
Definición física de la divergencia:1 ˆdiv lim
donde , representa a una esfera
de radio centrada en de volumen
nn n i
i i
VS r x
FF D R R Fx
F x F ndSV
S r x
r x V
r
sin cos sin sin cos
0 0 0 2
x ryz
x r y r z r
r
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cos
ˆˆ ˆsin cos sin sin cos
ˆˆ ˆcos cos cossin sin
ˆ ˆsin sin sin cos
1 sin
P xi yj zk r i r j r k
P i j krP r i r j r k
P r i r j
P P Pr rr
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin sin cos
ˆˆ ˆsin cos sin sin cos
ˆˆ ˆcos cos cossin sin
ˆ ˆsin sin sin cos
ˆˆ ˆˆ sin cos sin sin cosˆ ˆ ˆcos cos cossin
P xi yj zk r i r j r k
P i j krP r i r j r k
P r i r j
r i j k
i j
ˆsinˆ ˆˆ sin cos
k
i j
2 2
2 2
ˆˆ ˆˆ sin cos sin sin cosˆˆ ˆ ˆcos cos cos sin sin
ˆ ˆˆ sin cos
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ sin cos sin sin cos cos cos cos sin sin
sin cos cos sin cos sin sin cos
sin cos cos sin
r i j k
i j k
i j
r i j k i j k
sin cos
sin cos sin cos 0
ˆ ˆ 0ˆ ˆ 0r
r
1
0,
:
Definición física de la divergencia:1 ˆdiv lim
donde , representa a una esfera
de radio centrada en de volumen
nn n i
i i
VS r x
FF D R R Fx
F x F ndSV
S r x
r x V
0,
1 ˆdiv limV
S r x
F x F ndSV
s
r
r
sinr
2 sinV r r
1
2 2
ˆ ˆ, , sin
ˆ, , sin , , sin
S
r
F ndS F r n r r
F r r r F r r
2
2 2
2 2
ˆ ˆ, , sin
ˆ, , sin , , sin
, , sin , , sin
r rS
rr rr r
r r
F ndS F r n r r
F r r r F r r
F r r r F r rr
3
ˆ ˆ, , sin
ˆ, , sin , , sin
S
F ndS F r n r r
F r r r F r r r
4
ˆ ˆ, , sin
ˆ, , sin , , sin
, , sin , , sin
S
F ndS F r n r r
F r r r F r r r
F r r r F r r r
1
ˆ ˆ, ,
ˆ, , , ,
S
F ndS F r n r r
F r r r F r r r
2
ˆ ˆ, ,
ˆ, , , ,
, , , ,
S
F ndS F r n r r
F r r r F r r r
F r r r F r r r
2
2 2
, , sin
, , sin , , sin
, , sin
, , sin , , sin
, ,
, , , ,
r
r r
F r r
F r r r F r rr
F r r r
F r r r F r r r
F r r r
F r r r F r r r
2
2
, , sin
, , sin
, ,
sin sin
r
r
r F r rr
F r r r
F r r r
r r F r F rFr
0,
,
2
,
22
1 ˆdiv lim
ˆ
sin sin
1 ˆ
sin sinsin
VS r x
S r x
r
S r x
r
F x F ndSV
F ndS
r r F r F rFr
F ndSV
r r F r F rFr r r
22
,
0,
22
22
1 1ˆ sin sinsin
1 ˆdiv lim
1div sin sinsin
1 1divsin
rS r x
VS r x
r
r
F ndS r F r F rFV r r
F x F ndSV
F x r F r F rFr r
F x r Fr r r
1sinsin
F rFr
22
1 1 1div sinsin sinrF P r F F rF
r r r r
22
Coordenadas cartesianas
div
Coordenadas esféricas1 1 1div sin
sin sin
Coordenadas cilíndricas1 1div
yx z
r
z
FF FF Px y z
F P r F F rFr r r r
F P F F Fz
Cubo
Calcular el flujo , del campo vectorial
, , , ,
a través del cubo de lado 2 con centro en el origen
G dS
G x y z x y z
Cubo V cubo
Cubo V cubo V cubo V cubo
, , , ,
pero
1 1 1 3
así que
3 3 3 8 24
G dS GdV G x y z x y z
x y zGx y z
G dS GdV dV dV
Cubo
Calcular el flujo , del campo vectorial
, , , ,
a través de cualquier superficie cerrada
G dS
G x y z x y z
S V S
S V S V S V S
, , , ,
pero
1 1 1 3
así queVolumen
3 3 3 encerradopor
G dS GdV G x y z x y z
x y zGx y z
G dS GdV dV dVS
Cubo
Calcular el flujo , del campo vectorial
, , , ,
a través del cubo de lado 2 con centro en el origen
G dS
G x y z x y z
Para calcularlo, calculamos el flujo de cada una delas seis caras y sumamos
Cara 1
ˆ , , , ,G ndS G x y z x y z
La parametrización de esta superficie es
, 1, , 1 1 1 1r u v u v u v
La parametrización de esta superficie es
, 1, , 1 1 1 1r u v u v u v
La normal "hacía afuera" es, , ˆˆ ˆ0,1,0 0,0,1
r u v r u vj k i
u v
1 1
Cara 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
ˆ 1, , 1,0,0
2 2 4
G ndS u v dudv
dudv du dv
Cara 2
ˆ , , , ,G ndS G x y z x y z
La parametrización de esta superficie es
, 1, , 1 1 1 1r u v u v u v
La parametrización de esta superficie es
, 1, , 1 1 1 1r u v u v u v
La normal "hacía afuera" es, , ˆ ˆ ˆ0,0,1 0,1,0
r u v r u vk j i
v u
1 1
Cara 2 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
ˆ 1, , 1,0,0
2 2 4
G ndS u v dudv
dudv du dv
1 1 1 1
Cara 3 1 1 1 1
1 1 1 1
Cara 4 1 1 1 1
1 1 1 1
Cara 5 1 1 1 1
Cara 6
ˆ ,1, 0,1,0 4
ˆ , 1, 0, 1,0 4
ˆ , ,1 0,0,1 4
ˆ , ,
G ndS u v dudv dudv
G ndS u v dudv dudv
G ndS u v dudv dudv
G ndS u v
1 1 1 1
1 1 1 1
1 0,0, 1 4dudv dudv
Cubo
Calcular el flujo , del campo vectorial
, , , ,
a través del cubo de lado 2 con centro en el origen
G dS
G x y z x y z
Cubo
24G dS
1. La geometría del espacio euclidiano2. Funciones vectoriales3. Diferenciación4. Integrales múltiples5. Integrales de línea6. Integrales de superficie7. Los teoremas integrales
para todo
V S V
FdV F dS
V
1
0,
:
Definición física de la divergencia:1 ˆdiv lim
donde , representa a una esfera
de radio centrada en de volumen
nn n i
i i
VS r x
FF D R R Fx
F x F ndSV
S r x
r x V
22
Coordenadas cartesianas
div
Coordenadas esféricas1 1 1div sin
sin sin
Coordenadas cilíndricas1 1div
yx z
r
z
FF FF Px y z
F P r F F rFr r r r
F P F F Fz
Demuestra que el teorema de la divergenciaes cierto para el campo vectorial
usando el volumen y la superficie generadospor el cilindro
y los planos
2, , 2 , ,F x y z xy y z xy
0 y 5.z z
2 2 9x y
1
0
1
1
0
1
1
0
1
2, , 2 , ,F x y z xy y z xy
2 2 90 y 5
x yz z
para todo
V S V
FdV F dS
V
2 2 1 1F y y
2, , 2 , ,F x y z xy y z xy
V
dV
2 2 90 y 5
x yz z
V
2 2 1 1F y y
2, , 2 , ,F x y z xy y z xy
V
dV
2 90 y 5z z
V 0 3,0 2 ,0 5z
5 3 2 3
0 0 0 0
5 2
910 452
d d dz d
2, , 2 , ,F x y z xy y z xy
para todo
V S V
FdV F dS
V
3cos ,3sin , con 0, 2 0,5
3sin ,3cos ,0 y 0,0,1
3sin 3cos 0 3cos ,3sin ,00 0 1
3 cos ,sin ,0
u u v u v
u u
i j kn u u u u
u u
2
2
2
2 3
, , 2 , ,
(18sin cos , 9sin , 9sin cos )
(18sin cos , 9sin , 9sin cos ) 3 cos ,sin ,0
54sin cos 27sin
F x y z xy y z xy
u u u v u u
F n u u u v u u u u
u u u
3cos ,3sin , con 0, 2 0,5u u v u v
El flujo de campo eléctrico através de cualquier superficiecerrada es proporcional a lacarga eléctrica encerrada enel volumen.
El flujo de campo eléctrico a través de cualquier superficie cerradaes proporcional a la carga eléctrica encerrada en el volumen.
22
0
22
20 0 0
22
0 0
1 ˆ ˆ sin4
1 sin4
1 44
S V
q r rR d dR
q R d dRq qRR
20
1 ˆ, ,4
qE x y z rr
Esfera de radio R
0
0 0
0
0
La ley de Gauss: Flujo de campo electrostático
1
1
Primera ecuación de Maxwell
V
V
S V V
S V V
V V
Q
QE dS dV
E dS EdV
EdV dV
E
0
0
El campo electrostático es conservativo.Es decir,
0ó
Sustituyendo esto en
tenemos
E
E
E
2 2 2
2 2 2
22
2
El potencial electrostático satisface 4
¿Qué es eso? En coordenadas cartesianas
, ,
y luego
, , , ,
x y z
x y z x y z
y z
x
x
2 2
2 2 es el laplacianoy z
2 2 2
2 2 20
2
0
El potencial electrostático satisface la ecuación
óx y z
2
* Es una ecuación diferencia
, , 4 , ,
es la ecuac
l parcial* Es de
ión de Po
segundo orden* Es lin
iss
ea
on
l
x y z f x y z
No hay monopolos magnéticos:Flujo de campo magnético 0
0
0
0
S V
S V V
V
B dS
B dS BdV
BdV
B
3 3:
para toda
C S C
F D
F dl F dS
C
R R
The Feynman Lectures notes on Physics. Richard P. Feynman. Vol II, capítulo 3, secciones 3.5 y 3.6
C
C
C
3 3:
C S C
F D R R
F dl F dS
The Feynman Lectures notes on Physics. Richard P. Feynman. Vol II, capítulo 3, secciones 3.5 y 3.6
C
C
F dl
1C
2C
1 2C C
F dl F dl
1 2 3 4C C C C
F dl F dl F dl F dl
1i
N
i C
F dl
1i
N
i C
F dl
, ,
, ,
, ,
, ,
iC
x
y
x
y
F dl
F x y z x
F x x y z y
F x y y z x
F x y z y
x
y
, ,x y z
, , , ,
, , , ,i
x xC
y y
F dl F x y z x F x y y z x
F x x y z y F x y z y
, , , ,
, , , ,
i
xx x
C
yy y
FF dl F x y z x F x y z x y xy
FF x y z y x y F x y z y
x
, , , ,
, , , ,
xx x
yy y
FF x y y z F x y z yyF
F x x y z F x y z xx
, , , ,
, , , ,
i
xx x
C
yy y
FF dl F x y z x F x y z x y xy
FF x y z y x y F x y z y
x
i
yx
C
FFF dl y x x yy x
i
y x
C
F FF dl x yx y
3 3
3 3
Sea : un campo vectorial diferenciable,el campo vectorial
:definido como
rotacional de
ˆˆ ˆ
, ,
se llama
y yz x z x
x y z
F D R R
F R R
i j kF FF F F
F
FFx y z y z z x x y
F F F
i
y x
C
F FF dl x yx y
ˆiC
F dl F k x y
ˆiC
F dl F n S
ˆi
i iiC
F dl F n S
1 1
ˆi
N N
i iii iC C
F dl F dl F n S
1
ˆ ˆN
i iii S C
F n S F ndS
ˆC S C
F dl F ndS
3 3:
C S C
F D R R
F dl F dS
The Feynman Lectures notes on Physics. Richard P. Feynman. Vol II, capítulo 3, secciones 3.5 y 3.6
0
:
Definición física del rotacional:
1ˆrot lim
n n
SC S
F D
F n x F dlS
R R
Coordenadas cartesianas
rot , ,
Coordenadas esféricas
1 ˆrot sinsin
1 1 ˆsin
1 ˆ
y yz x z x
r
r
F FF F F FFy z z x x y
FF F rr
F rFr r
FrFr r
Coordenadas cilíndricas
1 ˆrot
ˆ
1 ˆ
z
z
F FFz
F Fz
FF k
1 2
Un campo vectorial es conservativo si la integral
de linea entre cualesquiera dos puntos y esindependiente de la trayectoria
P P
2
1
3 3
1 2
:
P b
P a
F D R R
P P
d tF r dl F t dt
dt
3 3:
Un campo vectorial es conservativosi y sólo si
0
F D
F
R R
3 3:
C S C
F D R R
F dl F dS
The Feynman Lectures notes on Physics. Richard P. Feynman. Vol II, capítulo 3, secciones 3.5 y 3.6
3 3:Un campo vectorial es conservativo
si y sólo si 0
0C S C
F D R R
F
F dl F dS
1. La geometría del espacio euclidiano2. Funciones vectoriales3. Diferenciación4. Integrales múltiples5. Integrales de línea6. Integrales de superficie7. Los teoremas integrales
3Sea : .Verificar que el rotacional delgradiente siempre es cero.
D R R
3Sea : .Verificar que el rotacional delgradiente siempre es cero.
D R R
, , , ,
, ,
0,0,0
x y z x y z
x y z
x y z
yz zy xz zx yx xy
i j k
3 3Sea : .Verificar que la divergencia delrotacional siempre es cero.
F D R R
3 3Sea : .Verificar que la divergencia delrotacional siempre es cero.
F D R R
ˆˆ ˆ
, ,
x y z
x y z
y z z y z x x z x y y x
i j kF
F F F
F F F F F F
3 3Sea : .Verificar que la divergencia delrotacional siempre es cero.
F D R R
, ,
0
y z z y z x x z x y y x
x y z z y y z x x z z x y y x
yx z zx y zy x xy z xz y yz x
zx zy x yzyx z y xz y xxy z
F F F F F F
F F F F F F
F F
F FF FF
F F
F
F F
3 3:
C S C
F D
F dl F dS
R R
4cos ,4sin ,4 0, 2
' 4sin ,4cos ,0 0, 2
t t t t
t t t t
2 2
, , , , 2
4sin ,4cos , 2
'
4sin , 4cos , 2 4sin , 4cos ,0
16sin 16cos 16
F x y z y x
F t t t
F t t
t t t t
t t
4cos , 4sin ,4
' 4sin , 4cos ,0 0, 2
t t t
t t t t
2
0
16 32dt
4cos , 4sin ,4
' 4sin , 4cos ,0 0, 2
, , , , 2
' 16
t t t
t t t t
F x y z y x
F t t
3 3:
32
C S C
C
F D
F dl F dS
F dl
R R
, cos , sin ,
0, 2 0, 4
r u v v u v u v
u v
, cos , sin ,
0,2 0, 4
r u v v u v u v
u v
2 2
sin , cos ,0
cos ,sin ,1
ˆˆ ˆ
sin cos 0cos sin 1
cos , sin , sin cos cos ,sin , 1
r v u v uur u uv
i j kr r v u v uu v
u u
v u v u v u v u v u u
, , , , 2F x y z y x
, , , , 2
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ
0,0, 2
2x y z
F x y z y x
i j k i j k
Fx y z x y z
F F F y x
, , , , 2
, , 0,0,2
F x y z y x
F x y z
, cos ,sin ,1
0,2 0, 4
cos ,sin , 1
r u v v u u
u v
n v u u
, 0,0, 2
, cos ,sin , 1
0,0,2 cos ,sin , 1
2
F r u v
F r u v v u u
v u u
v
, , , , 2
, 2
F x y z y x
F r u v n v
, cos ,sin ,1
0,2 0, 4
cos ,sin , 1
r u v v u u
u v
n v u u
2 4
42
00 0
2 2 32du v v
3 3:
C S C
F D
F dl F dS
R R
32 ; 32
C S C
F dl F dS
3
Sea
:un campo escalar.Entonces
ˆ
donde es un volumen arbitrarioy es la superficie que lo rodea
V S S
D
dV n dS
VS
R R
En el teorema de la divergencia ponemos
ˆ
donde es un campo vectorial constanteV S S
c dV c n dS
c
ˆ
V S S
dV n dS
Pero
y como es un campo vectorial constante,
c c c
cc c
ˆV S S
c dV c ndS
ˆ
V S S
dV n dS
Sustituyendo
ˆ
ˆ
V S S
V S S
cdV c n dS
c dV c n dS
ˆV S S
c dV c n dS
c c
ˆ
V S S
dV ndS
Sea una región cerrada del plano limitadapor una curva simple y cerrada Sean y dos funciones continuas de e conderivadas continuas en todo
donde se rC R C
R XYC
M N x yR
N MMdx Ndy dxdyx y
C
ecorre en el sentido positivo.
Sea una región cerrada del plano limitada por unacurva simple y cerrada . Sean y dos funcionescontinuas de e con derivadas continuas en todo
donde sC R C
R XYC M N
x y R
N MMdx Ndy dxdy Cx y
e
recorre en el sentido positivo.
R
C
X
Y
3 3:
C S C
F D
F dl F dS
R R
Ponemosˆ ˆ, , , ,
tenemos entoncesˆˆ ˆ ˆ ˆ, ,
C C
C
F x y z iM x y jN x y
F dl iM x y jN x y idx jdy kdz
Mdx Ndy
C R C
N MMdx Ndy dxdyx y
3 3: ;C S C
F D F dl F dS
R R
Ponemosˆ ˆ, , , ,
tenemos entoncesˆˆ ˆ
ˆ
, , 0
F x y z iM x y jN x y
i j kN MF k
x y z x yM x y N x y
C R C
N MMdx Ndy dxdyx y
3 3: ;C S C
F D F dl F dS
R R
ˆ ˆ ˆ
ˆS C R C
N M N MF k k kx y x y
N MF n dS dxdyx y
C R C
N MMdx Ndy dxdyx y
3 3: ;C S C
F D F dl F dS
R R
Tenemos el campo de fuerza en el planoˆ ˆ ( , ) ( 3 ) (2 )
Calcula el trabajo realizado por esta fuerzaal mover una partícula a lo largo de la elipse 4 ² ² 4en la dirección contraria a las m
F x y y x i y x j
x y
anecillas del reloj.Sugerencia: Hay una forma muy fácil, y una,la directa, difícil.
ˆ ˆTenemos el campo de fuerza en el plano ( , ) ( 3 ) (2 )Calcula el trabajo realizado por esta fuerza al mover una partícula a lolargo de la elipse 4 ² ² 4 en la dirección contraria a las
F x y y x i y x j
x y
manecillasdel reloj. Sugerencia: Hay una forma muy fácil, y una, la directa, difícil.
elipse elipse
El trabajo está dado por la integral de línea
( , ) ( 3 ) (2 )W F x y dl y x dx y x dy
elipse elipse
elipse elipse
( 3 ) (2 ) (2 ) ( 3 )
1 1 2 2 área de la elipse
2 2 1 2
4
y x dx y x dy y x y x dxdyx y
W dxdy dxdy
W ab
W
Teorema de Green: C R C
N MMdx Ndy dxdyx y
elipse elipse
El trabajo está dado por la integral de línea
( , ) ( 3 ) (2 )W F x y dl y x dx y x dy
ˆ ˆTenemos el campo de fuerza en el plano ( , ) ( 3 ) (2 )Calcula el trabajo realizado por esta fuerza al mover una partícula a lolargo de la elipse 4 ² ² 4 en la dirección contraria a las
F x y y x i y x j
x y
manecillasdel reloj. Sugerencia: Hay una forma muy fácil, y una, la directa, difícil.
El trabajo es 4
2 2
11 4x y
Elipse
A dydx
3 2 1 0 1 2 3 3
2
1
0
1
2
3
2 2
2 2
2 2
2
2
2
2
y por tanto es la región
1
;
b a xa
b a x b a xa x a ya
x y
y
a
a b
2 2 2 2
2 2
2 2
0 0 0
2
44
44
b a x b a xa a aa a
a b a xa
bdydx dydx a x dxa
b a aba
2 2 2 2
; b a x b a xa x a ya a
2
2 2
2
cos sin
sin
a x dx
x a dx a d
da
2 1 1 1 1sin cos 2 sin 2 sin cos2 2 2 4 2 2
d d
2 2
cos cos sinx a xx aa a
2 2 2
2arccos2a x x a x
a a
2 2 2
2
0
2 22
arccos2
arccos 1 arccos 02 2 4
a
a x x a xa a
a a a
2 2 2
0 4
a
a x dx a
Tenemos el campo de fuerza en el planoˆ ˆ ( , ) ( 3 ) (2 )
Calcula el trabajo realizado por esta fuerzaal mover una partícula a lo largo de la elipse 4 ² ² 4en la dirección contraria a las m
F x y y x i y x j
x y
anecillas del reloj.Sugerencia: Hay una forma muy fácil, y una,la directa, difícil.
cos ,2sin
0, 2
' sin , 2cos
t t t
t
t t t
3 2 1 0 1 2 3 3
2
1
0
1
2
3
cos , 2sin 0, 2
' sin , 2cos
t t t t
t t t
2 2
2
0
ˆ ˆ( , ) ( 3 ) (2 )
2sin 3cos ,4sin cos
' 2sin 3cos ,4sin cos sin ,2cos
2sin 3sin cos 8sin cos 2cos 2 5sin cos
2 5sin cos 4
F x y y x i y x j
F t t t t t
F t t t t t t t t
t t t t t t t t
t t dt
ˆ ˆTenemos el campo de fuerza en el plano ( , ) ( 3 ) (2 )Calcula el trabajo realizado por esta fuerza al mover una partícula a lolargo de la elipse 4 ² ² 4 en la dirección contraria a las
F x y y x i y x j
x y
manecillasdel reloj. Sugerencia: Hay una forma muy fácil, y una, la directa, difícil.
El trabajo es 4
Sea una región cerrada del plano limitadapor una curva simple y cerrada Sean y dos funciones continuas de e conderivadas continuas en todo
donde se rC R C
R XYC
M N x yR
N MMdx Ndy dxdyx y
C
ecorre en el sentido positivo.
para todo
V S V
FdV F dS
V
V S V
FdV F dS
2
2
ˆ
ˆ
V S V
V V S V
F f g
f g dV f g ndS
f g f g f g
f gdV f gdV f g ndS
0
Sea :ˆSea un vector unitario en
La derivada direccional de ˆcon respecto a es
ˆlim
ˆ
n
nu
ux u x
xu
R RR
Sea :ˆSea un vector unitario en
Si es diferenciable en , entonces
ˆˆ
n
nu
x
uu
R RR
Sea :
Si es diferenciable en , entonces
ˆ
ˆ
ˆ
n
x
ix
jy
kz
R R
ˆˆ
ˆˆS V S V
gg nn
gf g n dS f dSn
2 ˆV V S V
f gdV f gdV f g ndS
2
ˆV V S V
gf g dV f g dV f dSn
2
2
2 2
ˆ
ˆ
ˆ ˆ
V V S V
V V S V
V S V
gf g dV f g dV f dSn
fg f dV f g dV g dSn
g ff g g f dV f g dSn n
2 2
ˆ ˆV S V
g ff g g f dV f g dSn n
2
Sea un volumen y la superficie cerrada.
Consideremos la ecuación de Poisson
, , , ,
con la condición a la frontera
para toda .Suponiendo que la solución existe, demostrar que es
V S V
u x y z h x y z
Su x x
x S
única
1 2
1 2
2
Supongamos que hay dos soluciones diferentes y
La función satisface la
ecuación de Laplace
0en el volumen , junto con la condición a la frontera 0 en
u x u x
v x u x u x
vV
v x S
2
2
22
En la
ˆ
hacemos
obteniendo
primera identidad de G en
ˆ
ˆ
re
V V S V
V V S V
V V S V
gf g dV f g dV f dSn
f g v
vv vdV v vdV v dSn
vv vdV v dV v dSn
22
2
2
ˆ
pero
0y sobre es cero, así que
0
y0
V V S V
V
vv vdV v dV v dSn
v
v S
v dV
v
1 2
0implica que es una constante en todo el volumen .
Como la condición de frontera sobre es 0,entonces la solución es
0y por lo tanto, la solución es única,
vv V
S v
v
u u
3 3
Un campo vectorial
:se le llama si se satisface
0
Obviamente un campo irrotacional es uncampo conserva
I
t
RROTACION
ivo (es otro nom re)
AL
b
F
F
R R
3 3
3
Si tenemos un campo vectorial irrotacional
:satisface la propiedad
0y entonces existe un campo escalar,
:tal que
F
F
F
R R
R R
3
En otras palabras, para todo campo escalar
:se cump e
0l
R R
3 3
3
Si tenemos un campo vectorial irrotacional
: satisface la propiedad 0y entonces existe un campo escalar,
: tal que
F F
F
R R
R R
¿Cómo encontramos ?
3 3
3
Si tenemos un campo vectorial irrotacional
: satisface la propiedad 0y entonces existe un campo escalar,
: tal que
F F
F
R R
R R
2 1
1 2
donde es una curva seccionalmentesuave que va de a .
C
dl P P
CP P
0
¿Cómo encontramos ?Por uno de los teoremas fundamentalesdel cálculo vectorial
P x
P
x F dl
3 3
3
Si tenemos un campo vectorial irrotacional
: satisface la propiedad 0y entonces existe un campo escalar,
: tal que
F F
F
R R
R R
El campo electrostático de una carga puntual
1
0
1
1
01
1
0
1
2
rE rr
2
rE rr
0E
0
00 0
2 20
0
ˆ 1 1 1ˆ
Tomando el punto de referencia en el infinito,o sea, tenemos
1
P r
P
rr r
rr r
r E dl
r drr rdrr r r r r
r
rr
2
rE rr
2
2
El Campo electrostáticoˆ 1
El gradiente en coordenadas esféricas es1 1ˆ ˆˆgrad
sinasí que
ˆ
¿ ?
ˆ
rE r rr r
f f ff rr r r
f rE rr
E r
rr
3 3
A un campo vectorial
:se le llama SOLENOIDAL si satisface la propiedad
0
V
V
R R
3 3
3 3
Si un campo vectorial
:es SOLENOIDAL, entonces existe un campo vectorial
: tal que
V
A
V A
R R
R R
3 3
3 3
Si
: es un campo vectorial y
0
entonces existe : que cumple
V
V
A
V A
R R
R R
Ponemos arbitrariamente 0, y como ,ˆˆ ˆ
, ,
0
x
x y z
y z
yzy z
A V A
i j k
V V Vx y z
A A
AAV Vx x
Si div 0, entonces existe tal que V A V A
, , =
, ,
yzy z
yzy z
y z z y
z y y z
AAV Vx x
AAV dx dx V dx dxx x
V dx g y z A V dx f y z A
A V dx g y z A V dx f y z
ˆˆ ˆ
, ,
0
,
x y z
y z
y yz zx
i j k
V V Vx y z
A A
A VA VV dx h y zy z y z
, ,z y y zA V dx g y z A V dx f y z
Como div 0, podemos poner
y sustituyendo en la de arriba
,
yx z
yx z
xx
VV VVx y z
VV Vx y z
VV dx h y zx
,y yz zx
A VA VV dx h y zy z y z
Conocida una que satisface ,todas las demás son de la forma
donde es cualquier función escalar.
1) Es obvio que añadir no cambia que ,ya que 0
A V A
A uu
u V Au
1 2
1 2
1 2
Conocida una que satisface ,
todas las demás son de la forma donde es cualquier función escalar.
2) Si y entonces
0 y ya sabemos que eso
implica que
A V A
A uu
V A V A
A A
A A
u
3 3
2 2
Sea
:tal que
, , , 2 , 2
Encuentra tal que .
V
V x y z x yz yz z zx
A V A
R R
3 3 2 2Sea : tal que , , , 2 , 2 .
Encuentra tal que .
V V x y z x yz yz z zx
A V A
R R
2 2
Primero debemos cerciorarnos que es un campo solenoidal.
div 2 2
2 2 2 2 0
¡ es un campo solenoidal!
V
V x yz yz z zxx y z
x z z x
V
2 2
ˆˆ ˆ
ˆˆ ˆ 2 2
Hay muchas ´s que satisfacen esta ecuación.Encontraremos una y luego la generalizaremos.
x y z
i j k
i x yz j yz k z zxx y z
A A A
A
3 3 2 2Sea : tal que , , , 2 , 2 .
Encuentra tal que .
V V x y z x yz yz z zx
A V A
R R
2 2
2
2
1
ˆˆ ˆ
ˆˆ ˆ 2 2
Tomando , tenemos de las componente y
2 2
2
0
2
2 ,
x y z
yz
z y
x
z
i j k
i x yz j yz k z zxx y z
A A A
Y ZAA yz z zx
x xA yzdx A z zx dx
A yzx f y
A
z
2 22 ,yA z x zx f y z
3 3 2 2Sea : tal que , , , 2 , 2 .
Encuentra tal que .
V V x y z x yz yz z zx
A V A
R R
2 2
2 21 2
2
2 21 2
2 21 2
ˆˆ ˆ
ˆˆ ˆ 2 2
2 , ,
Para la componente tenemos
2 2
x y z
z y
yz
i j k
i x yz j yz k z zxx y z
A A A
A yzx f y z A z x zx f y z
XAA x yz
y zf fzx zx x x yzy z
f fx x yzy z
3 3 2 2Sea : tal que , , , 2 , 2 .
Encuentra tal que .
V V x y z x yz yz z zx
A V A
R R
2 21 2 1 2
21
2
22
Una solución particular obvia es
0 y
12
f f f fx x yz yzy z y z
ff yzz
f dz yzdzz
f yz
3 3 2 2Sea : tal que , , , 2 , 2 .
Encuentra tal que .
V V x y z x yz yz z zx
A V A
R R
2 21 2
21 2
2 2 2
0 ; 2 , ; ,
10 y 2
Por lo tanto,1 ˆˆ, , 22
x z yA A yzx f y z A z x zx f y z
f f yz
A x y z j z x zx yz k xyz
3 3 2 2Sea : tal que , , , 2 , 2 .
Encuentra tal que .
V V x y z x yz yz z zx
A V A
R R
2 2 2
2 2 2
2 2
1 ˆˆ, , 22
ˆˆ ˆ
10 22
2 2 , 2 , 2
x y z
A x y z j z x zx yz k xyz
i j kA
z x zx yz xyz
xz xz x yz yz z xz
3 3 2 2Sea : tal que , , , 2 , 2 .
Encuentra tal que .
V V x y z x yz yz z zx
A V A
R R
2 2 21 ˆˆ, , 22
A x y z j z x zx yz k xyz u
3 3 2 2Sea : tal que , , , 2 , 2 .
Encuentra tal que .
V V x y z x yz yz z zx
A V A
R R
2 2 21 ˆˆ, , 22
A x y z j z x zx yz k xyz u
2 2 21
2 2 22
1 ˆˆ ˆ, , 2 22
1 ˆˆ ˆ, , 2 cos2
A x y z j z x zx yz k xyz xi
A x y z j z x zx yz k xyz xi
3 3 2 2Sea : tal que , , , 2 , 2 .
Encuentra tal que .
V V x y z x yz yz z zx
A V A
R R
3 3
3 3
Si
: es un campo vectorial y
0
entonces existe : que cumple
También
V
V
A
V A
A A A u
R R
R R
3 3Sea : un campo vectorial constante.Sea , , y sea una superficie adecuada.Demostrar que
2
donde es la frontera de S C S
ar x y z S
a dS a r dl
C S S
R R
3 3:
C S C
F D
F dl F dS
R R
C S C
F dl F dS
C S C
F a r
a r dl a r dS
2S C S
a dS a r dl
C S C
F dl F dS
2S C S
a dS a r dl
G H H H G G G H
a r r r a a a r
ra r r a a a r
1 1 1 3
3
x y zr x y x
r
a r r r a a a r
0
0
x x y y z za a a a
a
a r r a ar a r
, , , ,
0
0
x y z
x y z
r a x y z a
x y z a
r a
a r r r a aa r
, , , , , ,
, ,
, ,
, ,
x y z x y z
x x y y z z
x x y y z z x x y y z z x x y y z z
x y z
a r a a a x y z
a a a x y z
a x a x a x a y a y a y a z a z a z
a a a a
a r a
a r r r a a a r
3 2a r a a a
C S C
C S C
F dl F dS
F a r
a r dl a r dS
2S C S
a dS a r dl
2a r a
3 3Sea : un campo vectorial constante.Sea , , y sea una superficie adecuada.Demostrar que
2
donde es la frontera de S C S
ar x y z S
a dS a r dl
C S S
R R
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1 0 1
1
0
1 1
0
1
3 2 3 7 2 5, , , ,F x y z x xz yz xyz y x z
2 2 90 8
x yz
22 2 8 9
8
x y z
z
3 2 3 7 2 5
3 7
3 7
3 7
23 7
0
3 cos ,sin ,0
' 3 sin ,cos ,0
, , , ,
27cos ,2187sin ,0
' 27 cos ,2187sin ,0 3 sin ,cos ,0
81cos sin 6561cos sin
81cos sin 6561cos sin 0
t t t
t t t
F x y z x xz yz xyz y x z
F t t t
F t t t t t t
t t t t
t t t t dt
3 3Sea :
tal que F , , , , .
Demostrar que es un campo conservativo,y en caso de ser cierto, determinar elpotencial escalar asociado.
F
x y z yz xz xy
D R R
, , , ,F x y z yz xz xy
ˆˆ ˆ
ˆˆ ˆ
, , 0
x y z
x y z
x y z
i j kF
F F F
i j kF x x y y z z
yz xz xy
, , , ,F x y z yz xz xy
0
0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
2
0,1
, , , ,
, ,
' , ,
,
,
' 3
P
P
F dl
t P t P P t
x y z t x x y y z z
x t x x y t y y z t z z
t x x y y z z
y t y y z t z z
F t x t x x z t z z
x t x x y t y y
F t tt
0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
( )( )( )
( 2 ( )( ) 2( ) ( ) 2( )( ) )( ) ( ) ( )
x x y y z z
t x y y z z x x y z z x x y y zx y z z x y y z x x y z
, , , ,F x y z yz xz xy
0 0 0 0 0 0 0 0
1
0
0 0 0 02 2 4 2 4 4 7
'
xyz x yz xy z x y z xy
F
z x yz xy z x y z
t t dt
1
0
'F t t dt xyz
2 2
2
Verificar el teorema de Green.
parabola de 1,1 a 1,1
y segmento de línea de 1,1 a 1,1 .
C
xy dx x ydy
C y x
Sea una región cerrada del plano limitada por unacurva simple y cerrada . Sean y dos funcionescontinuas de e con derivadas continuas en todo
donde sC R C
R XYC M N
x y R
N MMdx Ndy dxdy Cx y
e
recorre en el sentido positivo.
R
C
X
Y
2 2
1 15 5
1 1
1 15
1 1
2
0
C
xy dx x ydy
x dx x dx xdx
x dx xdx
2 2
2
Verificar el teorema de Green.
parabola de 1,1 a 1,1
y segemento de línea de 1,1 a 1,1 .
C
xy dx x ydy
C y x
2 2
2 2
1 1 1 1
1 1
2 ; 2
4 4 0x x
xy xy x y xyy x
dx dyxy xdx ydy
2 2
2
Verificar el teorema de Green.
parabola de 1,1 a 1,1
y segemento de línea de 1,1 a 1,1 .
C
xy dx x ydy
C y x