Tema Nº 01: ESTADISTICA Tema Nº 01: ESTADISTICA DESCRIPTIVADESCRIPTIVAIng. José Manuel García Pantigozo

2010 - II

Objetivos de AprendizajeSaber que significa estadística.

Conocer las aplicaciones de la estadística.

Explicar lo que significan estadística descriptiva y estadística inferencial.

Distinguir entre niveles de medición nominal, ordinal, de intervalo y de razón.

Organizar datos en una distribución de frecuencias.

Objetivos de AprendizajeRepresentar la distribución de frecuencias en

un histograma, un polígono de frecuencias o en un polígono desde frecuencias acumuladas.

Desarrollar una representación de “tallo y hoja”

Representar datos utilizando líneas, de barras y de sectores (circulares).

¿Qué es la estadística?¿Qué es la estadística?ObjetivosQue deberían saber al terminar esta clase:

Que queremos significar por estadística

Que entendemos por estadística descriptiva e inferencial.

Que es una población y que una muestra.

Que es una variable, el dato y los datos

Cuando la información se refiere a un parámetro y cuando a una estadística

Distinguir cuando una variable es cualitativa y cuando cuantitativa.

Distinguir entre una variable discreta y continua.

Distinguir las distintas escalas de medición nominal, ordinal, de intervalo y de razón

¿Qué es la estadística?¿Qué es la estadística?

Estadística es la ciencia de:– Recolectar– Describir– Organizar– Interpretar

para transformarlos en información, para la toma mas eficiente de decisiones.

Datos

¿Cuántos peces hay en el lago?

12 peces

¿Qué es la estadística?¿Qué es la estadística?

¿Cuántos tipos o clases de peces diferentes hay?

4 clases diferentes

¿Qué es la estadística?¿Qué es la estadística?

¿Cuántos

peces hay para

cada clase?

Clases Frecuencia

4

3

2

3¿Q

ué

es la

est

adís

tica

?¿

Qu

é es

la e

stad

ísti

ca?

Clases Frecuencia

4

3

2

3

TotalTotal 12

¿Qué fracción respecto del total hay para cada clase de pez?

F. relativa

4 / 12

3 / 12

2 / 12

3 / 12

= 0,33

= 0,25

= 0,16

= 0,25

¿Qué es la estadística?¿Qué es la estadística?

44

33

22

Frecuencia

Clase de peces

Vamos a poner los mismos resultados en un gráfico de barras

3

4

33

22

33

Clases Frecuencia

33

¿Qué es la estadística?¿Qué es la estadística?

¿Quienes usan la estadística?¿Quienes usan la estadística?

• Organismos oficiales.• Diarios y revistas.• Políticos.• Deportes.• Marketing.• Control de calidad.• Administradores.• Investigadores científicos.• Médicos• etc.

Tipos de EstadísticaTipos de Estadística• ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA:ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA: Método de recolectar, organizar,

resumir, analizar e interpretar los datos. Ejemplo 1: Los datos del Censo de población de 2001. Ejemplo 2: La cantidad de robos ocurridos el último mes en

en el municipio. Ejemplo 3: La cantidad de pacientes atendidos en el Hospital

municipal el último año. Mencionamos algunos procedimientos:

Tablas de distribuciones de frecuencia Gráficos de distribución de frecuencias Diagramas de cajas Diagramas de tallos y hojas Estadísticos de posición Estadísticos de dispersión Estadísticos de asociación

• Estadística inferencial: Métodos usados para determinar algo acerca de la población, basado en una muestra.

• Población(1) es la colección, o conjunto, de individuos, objetos o eventos cuyas propiedades serán analizadas.

• Muestra es un subconjunto de la población de interés.• (1) Algunos autores utilizan Universo como sinónimo La estadística inferencial comprende dos áreas

importantes: Estimación puntual y por intervalos. Prueba de hipótesis estadística

Tipos de EstadísticaTipos de Estadística

Población y MuestraPoblación y Muestra

Población

Muestra

Conceptos Conceptos EstadísticosEstadísticos

• Unidad de Análisis: es el objeto del cual se desea obtener información. Muchas veces nos referimos a las unidades de análisis con el nombre de elementos. En estadística, un elemento o unidad de análisis puede ser algo con existencia real, como un automóvil o una casa, o algo más abstracto como la temperatura o un intervalo de tiempo. Dada esta definición, puede redefinirse población como el conjunto de unidades de análisis.

Conceptos EstadísticosConceptos Estadísticos

• Parámetro: Valor numérico que resume todos los datos de una población completa. Se utilizan letras griegas para simbolizar un parámetro como ser y .

• Ejemplos: La calificación “promedio” del secundario en el momento de admisión de todos los estudiantes que han asistido alguna vez a la Universidad de Lujan o la “proporción” de estudiantes cuyo lugar de origen era distinto del partido de Lujan.

• Estadística: Valor numérico que resume los datos de una muestra. Se utilizan letras del alfabeto español para simbolizarlas como ser x y s .

• Ejemplo: La edad “promedio” registrada en una encuesta de 150 consumidores de choripanes.

Conceptos EstadísticosConceptos Estadísticos

• Ejemplo 1: Una encuesta desarrollada por IBOPE, en marzo 2010, dice que el rating de radio en la Gran Lima esta encabezado por RPP con un 30.5% seguido por FM Oxigeno con 9.18%

• Ejemplo 2: De acuerdo con una encuesta desarrollada por Apoyo sobre telefonía residencial en el 2010, el gasto mensual promedio por cliente es de S/. 90.30. a nivel nacional.

• Ejemplo 3: El INEI informó que la Encuesta Permanente de Hogares (EPH) del mes de mayo de 2010 reporto la tasa mas alta de desempleo que ascendió al 24.3% a nivel nacional

Tipos de EstadísticaTipos de Estadística(ejemplos de estadística inferencial)

• Variable: Característica de interés sobre cada elemento individual de una población o muestra.

• Dato: Valor de la variable asociada a un elemento de la población o muestra. Este valor puede ser un número, una palabra o un símbolo.

• Ejemplo: La familia González tiene “4” miembros, sus ingresos mensuales son de “US$ 685.00”, “2” son de sexo femenino y “2” masculino.

VariableVariable

Variable (cont.)Variable (cont.)

• Datos: Conjunto de valores recolectados para la variable de cada uno de los elementos que pertenecen a la población o muestra.

• Ejemplo1: El conjunto de 54 “cantidad de miembros” recolectados de 54 familias residentes en Escobar.

• Ejemplo2: El conjunto de las “calificaciones” de los 43 estudiantes de estadística de la carrera de Sistemas

• Cualitativa o de Atributos Clasifica o describe un elemento de la población. Los valores que puede asumir no constituyen un espacio métrico, por lo tanto las operaciones aritméticas, como sumar y obtener promedios, no son significativas.

• Ejemplos: Sexo, Nacionalidad, Marcas de auto, Grado de Satisfacción con la Universidad, etc..

1-7

Tipos de VariablesTipos de Variables

Tipos de Variables (cont.)Tipos de Variables (cont.)

• Cuantitativa o Numérica Cuantifica un elemento de la población. Los valores que puede asumir constituyen un espacio métrico, por lo tanto las operaciones aritméticas, como sumar y obtener promedios, son significativas.

• Ejemplos: Cantidad de Habitaciones, Número de hijos, Kilómetros recorridos, Tiempo de vuelo, Ingreso, etc..

• Las variables cuantitativas se pueden clasificar a su vez en discretas or continuas.

• Cuantitativas Discretas: solo pueden asumir ciertos valores y normalmente hay huecos entre ellos. Son conteos normalmente.

• Ejemplo1: cantidad de materias aprobadas.(1, 2,3 ......)

• Ejemplo2: cantidad de hijos (1, 2, 3,4...)

1-9

Tipos de Variables (cont.)Tipos de Variables (cont.)

• Las variables cuantitativas se pueden clasificar a su vez en discretas o continuas.

• Cuantitativas Continuas: puede asumir cualquier valor dentro del rango de medición. Normalmente se miden magnitudes como ser longitud, superficie, volumen, peso, tiempo, dinero

• Ejemplo 1: Peso al nacer.• Ejemplo 2: Salario de un empleado• Ejemplo 3: Tiempo de viaje en ómnibus entre Lima e Ica.

1-9

Tipos de Variables (cont.)Tipos de Variables (cont.)

1-12

Escalas de MediciónEscalas de Medición

• Las variables cualitativas se miden en escala nominal o ordinal.

• Nominal: los elementos solo pueden ser clasificados en categorías pero no se da un orden o jerarquía

• Ejemplo 1: Barrio de residencia de los alumnos .

• Ejemplo 2: Color de ojos

• Ejemplo 3: Simpatizante de un club de futbol

1-12

Escalas de MediciónEscalas de Medición

• Las variables cualitativas se miden en escala nominal o ordinal.

• Ordinal: los elementos son clasificados en categorías que tienen un orden o jerarquía, la diferencia entre valores no se pueden realizar o no son significativas.

• Ejemplo 1: Grado de satisfacción en el uso de un servicio público .

• Ejemplo 2: Ocupación

Escalas de MediciónEscalas de Medición

• Las variables cuantitativas se miden en escala de intervalo o razón.

• Intervalo: los elementos son clasificados en categorías que tienen un orden o jerarquía, la diferencia entre valores se pueden realizar y son significativas.La diferencia entre dos valores consecutivos es de tamaño constante y no existe el 0 absoluto.

• Ejemplo: Temperatura en grados Celsius

Escalas de MediciónEscalas de Medición

• Las variables cuantitativas se miden en escala de intervalo o razón.

• Razon: los elementos son clasificados en categorías que tienen un orden o jerarquía, la diferencia entre valores se pueden realizar y son significativas. Existe el 0 absoluto, es decir la ausencia de la variable medida.

• Ejemplo 1: Tiempo de vuelo.

• Ejemplo 2: Ingresos familiares

Resumen de Tipos de variables y Resumen de Tipos de variables y Escalas de MediciónEscalas de Medición

Nominal

Ordinal

Escala de medición

Cualitativa o Atributo

Intervalo

Razón

Escala de medición

Discreta

Continua

TIPO DE VARIABLE

Cuantitativa o Númerica

Variables

DESCRIPCION DE DATOS: DESCRIPCION DE DATOS: TABLAS Y GRAFICOSTABLAS Y GRAFICOS

• Se denomina muestra al subconjunto de ese universo y del cual se recopilarán los datos. Es necesario que esa muestra sea debidamente representativa.

• Por ejemplo, se quiere saber el número de hijos por matrimonio de una ciudad. Para este propósito, se elige una muestra representativa de   50   matrimonios de ella. Se obtienen los siguientes datos:

2 , 2 , 4 , 1 , 3 , 5 , 3 , 2 , 1 , 6 , 3 , 4 , 1 , 2 , 0 , 2 , 3 , 1 , 7 , 4 , 2, , 3 , 0 , 5 , 1 , 4 , 3 , 2 , 4 , 1 , 5 , 2 , 1 , 2 , 4 , 0 , 3 , 3 , 2 , 6 , 1 , 5 , 4 , 2 , 0 , 3 , 2 , 4 , 3 , 1 .

• El número total de datos se representa con la letra   n.   En nuestro ejemplo   n   =   50.

1-9

MUESTRAMUESTRA

• La frecuencia absoluta es el número de veces que aparece un valor   (x i)   en los datos obtenidos.

• En nuestro ejemplo, la frecuencia absoluta indica el número de familias que tienen esa cantidad de hijos:

1-9

FRECUENCIA ABSOLUTA  ( fi ) )TABLA

x i f i

0 4

1 9

2 12

3 10

4 8

5 4

6 2

7 1

1-9

FRECUENCIA ABSOLUTA  ( fi ) )GRAFICOS

1-9

FRECUENCIA ABSOLUTA  ( fi ) )GRAFICOS

1-9

FRECUENCIA ABSOLUTA  ( fi ) )GRAFICOS

• La frecuencia absoluta acumulada indica cuantos elementos de la lista de datos son menores o iguales a un valor dado. Es la suma de las frecuencias absolutas desde la primera fila hasta la fila elegida.

• Por ejemplo, sabemos que hay 25 matrimonios de la muestra que tienen a lo más   2   hijos:

1-9

FRECUENCIA ABSOLUTAACUMULADA  ( Fi ) )

1-9

FRECUENCIA ABSOLUTAACUMULADA  ( Fi ) )

x x ii f f ii F F

ii

0 0 4 4 4 4

1 1 9 9 13 13

2 2 12 12 25 25

3 3 10 10 35 35

4 4 8 8 43 43

5 5 4 4 47 47

6 6 2 2 49 49

7 7 1 1 50 50

TABLATABLA

1-9

FRECUENCIA ABSOLUTAACUMULADA  ( Fi ) )

GRAFICAGRAFICA

1-9

FRECUENCIA ABSOLUTAACUMULADA  ( Fi ) )

GRAFICAGRAFICA

• La frecuencia relativa es el cuociente entre la frecuencia absoluta   (f i)   y el número total de datos   (n). En nuestro ejemplo n   =   50:

1-9

FRECUENCIA RELATIVA ( hi ) )

x i f i F i h i H i 0 4 4 0,08 0,08 1 9 13 0,18 0,26 2 12 25 0,24 0,50 3 10 35 0,20 0,70 4 8 43 0,16 0,86 5 4 47 0,08 0,94 6 2 49 0,04 0,98 7 1 50 0,02 1,00

TABLATABLA

1-9

FRECUENCIA RELATIVA ( hi ) )GRAFICAGRAFICA

1-9

FRECUENCIA RELATIVA ( hi ) )GRAFICAGRAFICA

• La frecuencia relativa acumulada es el cuociente entre la frecuencia absoluta acumulada   (F i)   y el número total de datos   (n). En nuestro ejemplo,   n   =   50:

1-9 FRECUENCIA RELATIVAACUMULADA  (Hi))

x x ii f f ii F F

ii h h ii H H

ii 0 0 4 4 4 4 0,08 0,08 0,08 0,08 1 1 9 9 13 13 0,18 0,18 0,26 0,26 2 2 12 12 25 25 0,24 0,24 0,50 0,50 3 3 10 10 35 35 0,20 0,20 0,70 0,70 4 4 8 8 43 43 0,16 0,16 0,86 0,86 5 5 4 4 47 47 0,08 0,08 0,94 0,94 6 6 2 2 49 49 0,04 0,04 0,98 0,98 7 7 1 1 50 50 0,02 0,02 1,00 1,00

TABLATABLA

1-9 FRECUENCIA RELATIVAACUMULADA  (Hi))GRAFICAGRAFICA

1-9 FRECUENCIA RELATIVAACUMULADA  (Hi))GRAFICAGRAFICA

• La frecuencia porcentual es la frecuencia relativa (h i) expresada en forma porcentual. En otras palabras, es la frecuencia relativa (hi) multiplicada por 100.

• En nuestro ejemplo

1-9

FRECUENCIA PORCENTUAL (fi %)%)

TABLATABLA

x i f i F i h i H i f i % 0 4 4 0,08 0,08 8 % 1 9 13 0,18 0,26 18 % 2 12 25 0,24 0,50 24 % 3 10 35 0,20 0,70 20 % 4 8 43 0,16 0,86 16 % 5 4 47 0,08 0,94 8 % 6 2 49 0,04 0,98 4 % 7 1 50 0,02 1,00 2 %

1-9

FRECUENCIA PORCENTUAL (fi %)%)GRAFICAGRAFICA

1-9

FRECUENCIA PORCENTUAL (fi %)%)GRAFICAGRAFICA

• La frecuencia porcentual acumulada es la frecuencia relativa acumulada (Hi) multiplicada por 100. En nuestro ejemplo:

1-9 FRECUENCIA PORCENTUAL ACUMULADO (Fi %)%)

TABLATABLA

x i f i F i h i H i f i % F i %

0 4 4 0,08 0,08 8 % 8 % 1 9 13 0,18 0,26 18 % 26 % 2 12 25 0,24 0,50 24 % 50 % 3 10 35 0,20 0,70 20 % 70 % 4 8 43 0,16 0,86 16 % 86 % 5 4 47 0,08 0,94 8 % 94 % 6 2 49 0,04 0,98 4 % 98 % 7 1 50 0,02 1,00 2 % 100 %

1-9 FRECUENCIA PORCENTUAL ACUMULADO (Fi %)%)

GRAFICAGRAFICA

1-9 FRECUENCIA PORCENTUAL ACUMULADO (Fi %)%)

GRAFICAGRAFICA

Diagrama de Puntos y Diagrama de Puntos y Tallo y HojasTallo y Hojas

Representación Gráfica de DatosRepresentación Gráfica de Datos

Diagrama de PuntosDiagrama de Puntos(herramienta útil para pocos datos)(herramienta útil para pocos datos)

Ejemplo: Datos de resistencia a la tensión de muestras de mortero Portland (Kg/cm2) con polímero agregado:

16.85 16.40 17.21 16.35 16.52

17.04 16.96 17.15 16.59 16.57

mortero Portland sin modificar:

17.50 17.63 18.25 18.00 17.86

17.75 18.22 17.90 17.96 18.15

Diagrama de PuntosDiagrama de PuntosPara el Ejemplo:Para el Ejemplo:

16.0 16.0 16.5 16.5 17.0 17.0 17.5 17.5 18.0 18.0 18.5 18.5

* * ** * * * * * ** * ** * * * * * * + + + + + + + + + ++ + + + + + + + + +

* = Mortero modificado* = Mortero modificado

+ = Mortero sin modificar+ = Mortero sin modificar

Representación Gráfica de DatosRepresentación Gráfica de Datos

Ejemplo: Resistencia a la Tensión de 80 muestras de aleación Aluminio-Litio

105 221 183 186 121 181 180 143 97 154 153 174 120 168 167 141 245 228 174 199 181 158 176 110 163 131 154 115 160 208 158 133 207 180 190 193

194 133 156 123 134 178 76 167 184 135 229 146

218 157 101 171 165 172 158 169 199 151 142 163 145 171 148 158 160 175 149 87 160 237 150 135 196 201 200 176 150 170 118 149

Representación Gráfica de DatosRepresentación Gráfica de Datos

Diagrama de Tallo y HojaDiagrama de Tallo y HojaTalloTallo HojaHoja FrecuenciaFrecuencia

77 66 1 1

88 77 1 1

99 77 1 1

1010 5 15 1 2 2

1111 5 8 05 8 0 3 3

1212 1 0 31 0 3 3 3

1313 4 1 3 5 3 54 1 3 5 3 5 6 6

1414 2 9 5 8 3 1 6 92 9 5 8 3 1 6 9 8 8

1515 4 7 1 3 4 0 8 8 6 8 0 84 7 1 3 4 0 8 8 6 8 0 8 12 12

1616 3 0 7 3 0 5 0 8 7 93 0 7 3 0 5 0 8 7 9 10 10

1717 8 5 4 4 1 6 2 1 0 68 5 4 4 1 6 2 1 0 6 10 10

1818 0 3 6 1 4 1 00 3 6 1 4 1 0 7 7

1919 9 6 0 9 3 49 6 0 9 3 4 6 6

2020 7 1 0 87 1 0 8 4 4

2121 88 1 1

2222 1 8 91 8 9 3 3

2323 77 1 1

2424 55 1 1

Representación Gráfica de DatosRepresentación Gráfica de Datos

El HistogramaEl HistogramaTabla de Frecuencia para el ejemplo anterior

Clase Frecuencia Frec. Relativa Frec. Rel. Acumulada

70 a 90 2 0.0250 0.0250

90 a 110 3 0.0375 0.0625

110 a 130 6 0.0750 0.1375

130 a 150 14 0.1750 0.3125

150 a 170 22 0.2750 0.5875

170 a 190 17 0.2125 0.8000

190 a 210 10 0.1250 0.9250

210 a 230 4 0.0500 0.9750

230 a 250 2 0.0250 1.0000

Representación Gráfica de DatosRepresentación Gráfica de Datos

Representación Gráfica de DatosRepresentación Gráfica de Datos

El HistogramaEl Histograma

0

5

10

15

20

25

70 90 110 130 150 170 190 210 230 250

Representación Gráfica de DatosRepresentación Gráfica de Datos

Serie de TiempoSerie de Tiempo

0

50

100

150

200

250

300Resist a la tensión

No. de muestra

ORGANIZACION Y PRESENTACION ORGANIZACION Y PRESENTACION DE DATOS UNIDIMENSIONALESDE DATOS UNIDIMENSIONALES

a) Frecuencia Absoluta (fi)

Es el número de veces que se presenta un valor o categoría de una variable. Se representa por f i.

f1 + f2 + f3 + …………….……fk = n

b) Frecuencia Absoluta Acumulada (Fi)

Es el número de datos igual o inferior (“menor o igual que”) al valor considerado de la variable o la suma de las frecuiencias absolutas menor o igual que el valor considerado de la variable. Es decir:

F1 = f1

F2 = f1 + f2

-----------------------------

Fk = f1 + f2 + ……….+ fk

 

ORGANIZACION Y PRESENTACION ORGANIZACION Y PRESENTACION DE DATOS UNIDIMENSIONALESDE DATOS UNIDIMENSIONALES

c) Frecuencia Relativa (hi)

Es igual a la frecuencia absoluta sobre el numero de observaciones.

h1 =f1/n

b) Frecuencia Relativa Acumulada (Hi)

Es el resultado de cada frecuencia absoluta acumulada dividida entre el numero total de observaciones.

H1 = F1/n

H2 = F2/n

-----------------------------

Hk = Fk/n

 

1-9 DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS PARA VARIABLES CUANTITATIVA

1. Identificar el tipo de variable cuantitativo discreto o continuo.

2.Determinar el mayor (Xmax) y el menor (Xmin).

3.Calcular R donde R = Xmax – Xmin.4.Si la variable es cuantitativa discreta

– El rango es pequeño, entonces trabajar con los valores originales ordenados de las variables.

– Si el rango es grande entonces trabajar con los datos ordenados agrupados en intervalo de clase (ver Sturges).

1-9 DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS PARA VARIABLES CUANTITATIVA5.Si la variable es cuantitativa continua:

– Determinar el numero de intervalos (entre 5 y 20).– Utilizar la regla de Sturge: m = 1 + 3,322log n – Si n = 50– m = 1 + 3,322log(50) = 6,6439 – Se redondea a m = 7 intervalos de clase.– Intervalo cerrado por la izquierda y abierto por la

derecha.– El menor del intervalo izquierdo =X`min =(Xmin) –

menor unidad/2.

– Marca de clase= (xmax 1er intervalo - X`min )/2

Problemas• Si la variable es cuantitativa continua:

– Determinar el numero de intervalos (entre 5 y 20).– Utilizar la regla de Sturge: m = 1 + 3,322log n – Si n = 50– m = 1 + 3,322log(50) = 6,6439 – Se redondea a m = 7 intervalos de clase.– Intervalo cerrado por la izquierda y abierto por la

derecha.– El menor del intervalo izquierdo =X`min =(Xmin) –

menor unidad/2. – Marca de clase= (xmax 1er intervalo - X`min )/2

Distribución de Frecuencias

Nº Nº hijos Nº Nº hijos Nº Nº hijos Nº Nº hijos Nº Nº hijos

1 1 7 1 13 2 19 1 25 2

2 1 8 0 14 1 20 4 26 2

3 0 9 5 15 5 21 1 27 1

4 2 10 2 16 4 22 2 28 1

5 2 11 1 17 5 23 1 29 2

6 2 12 2 18 2 24 4 30 1

Distribución de Frecuencias

x fi h1 Fi Hi hi% Hi%

0 2 0.067 2 0.067 6.67 6.667

1 11 0.367 13 0.433 36.67 43.333

2 11 0.367 24 0.800 36.67 80.000

3 3 0.100 27 0.900 10.00 90.000

4 3 0.100 30 1.000 10.00 100.000

Total 30 100

1-9

PROBLEMA• Problema Nº 01 : El Area de Control de Calidad de

la empresa FUNDIDOS S. A. esta llevando a cabo un seguimiento a un lote de piezas mecanizadas en su taller de metalmecánica, para esto ha tomado una muestra aleatoria y se necesita obtener el siguiente análisis estadístico descriptivo:

– Tabla de Frecuencias. – Histogramas.– Polígonos de Frecuencia.– Ojivas. – Medidas de Tendencia Central.– Medidas de Dispersión.– Medidas de Distribución

1279,51285,01280,01273,01284,01280,51275,51278,01279,51275,01267,01272,01282,01276,01269,51266,01273,51285,51275,51283,51285,01273,0

1278,01273,01280,01277,51286,01280,01281,01275,01278,51279,51273,51275,01276,51271,51284,51276,01268,51272,51284,51286,01271,01265,5

1283,01282,51272,51275,51275,01282,01271,01280,51266,01282,51284,51276,01279,01281,01276,01287,51273,51272,51279,51279,01276,01281,5

1273,01271,51275,51277,01278,01283,51274,51279,01287,51276,01279,51268,01269,01285,51268,01272,51266,51278,01267,01271,01275,51277,0

1280,51269,01284,01287,01275,51280,01280,51278,01275,51280,01274,51285,01282,01276,51268,51275,51269,01271,51280,51287,01276,51272,0

1-9 DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS PARA VARIABLES CUANTITATIVA1. Se identificó que la variable es cuantitativa continua.2. Se tiene que (Xmax) = 1287.5 y (Xmin)= 1265.53. R =(Xmax) - (Xmin)= 1287.5 – 1265.5 = 224. Como el rango es grande entonces trabajamos con

los datos ordenados agrupados en intervalo de clase (ver Sturges). Si la variable es cuantitativa continua:

– Determinar el numero de intervalos– Utilizar la regla de Sturge: m = 1 + 3,322log n – Si n = 110– m = 1 + 3,322log(110) = 7.78

1-9 DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS PARA VARIABLES CUANTITATIVA• Se redondea a m = 8 intervalos de clase.

• Intervalo cerrado por la izq. y abierto por la der.

• El menor del 1er intervalo izquierdo =X`min =(Xmin) –

menor unidad/2.

• X`min = 1265.5 – 0.1/2 = 1265.45

• Amplitud de Clase= a = R/m = 22/8 = 2.75 = 2.8

• Marca de clase= MC=(xmax 1er intervalo - X`min )/2

• MC1 = 1265.45 + 2.8 = 1268.25

• Y se empieza la tabla

INTERVALOS MC fi Fi hi Hi

[1265.45 - 1268.25 ) 1266.85 8 8 0.07 0.07

[1268.25 - 1271.05 ) 1269.65 9 17 0.08 0.15

[1271.05 - 1273.85 ) 1272.45 16 33 0.15 0.30

[1273.65 - 1276.65 ) 1275.25 23 56 0.21 0.51

[1276.65 - 1279.45 ) 1278.05 12 68 0.11 0.62

[1279.45 - 1282.25 ) 1280.85 21 89 0.19 0.81

[1282.25 - 1285.05 ) 1283.65 13 102 0.12 0.93

[1285.05 - 1287.85 ] 1286.45 8 110 0.07 1.00

    110   1.00  

1-9

PROBLEMA Problema Nº 02: Problema Nº 02: En un estudio de dos semanas

sobre la productividad de los trabajadores de una fundición, se obtuvieron los siguientes datos sobre el número total de piezas aceptables que produjeron los trabajadores:

• Elaborar la Tabla de Distribución de Frecuencias.• Dibujar el Histograma y Polígono de Frecuencia.• Aplicar los estadísticos de posición.• Aplicar los estadísticos de variación.• Aplicar los estadísticos de simetría.• Aplicar los estadísticos de apuntamiento.• ¿Que concluye Ud. después de todo eso?.

65 36 49 84 79 56 28 43 67 36

43 78 37 40 68 72 55 62 22 82

88 50 60 56 57 46 39 57 73 65

59 48 76 74 70 80 75 56 45

75 62 72 63 32 80 64 53 74 34

76 60 48 55 51 54 45 44 35 51

21 35 61 45 33 61 60 85 68

45 53 77 42 69 52 68 52 47

62 65 75 61 73 50 53 59 41 54

41 74 82 78 26 35 47 70 38 70

1-9 DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS PARA VARIABLES CUANTITATIVA1. Se identificó que la variable es cuantitativa discreta.2. Se tiene que (Xmax) = 21 y (Xmin)= 883. R =(Xmax) - (Xmin)= 21 – 88 = 674. Como el rango es grande entonces trabajamos con

los datos ordenados agrupados en intervalo de clase (ver Sturges). Si la variable es cuantitativa continua:

– Determinar el numero de intervalos– Utilizar la regla de Sturge: m = 1 + 3,322log n – Si n = 97– m = 1 + 3,322log(97) = 7.60 = 8

1-9 DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS PARA VARIABLES CUANTITATIVA• Se redondea a m = 8 intervalos de clase.

• Intervalo cerrado por la izq. y abierto por la der.

• El menor del 1er intervalo izquierdo =X`min =(Xmin) –

menor unidad/2.

• X`min = 21 – 1/2 = 20.5

• Amplitud de Clase= a = R/m = 67/8 = 8.375 = 9

• Marca de clase= MC=(xmax 1er intervalo - X`min )/2

• MC1 = 20.5 + 4.5 = 25

• Y se empieza la tabla

1-9

PROBLEMA PROPUESTO Problema Nº 03: Problema Nº 03: Elaborar la Tabla de Distribución de

Frecuencias. Dibujar el Histograma y Polígono de Frecuencia. Aplicar los estadísticos de: posición, variación, simetría. Aplicar los estadísticos de apuntamiento. ¿Que concluye Ud. después de todo eso?.

1,67

1,72

1,81

1,721,74

1,83

1,841,88

1,92

1,75

1,84

1,86

1,73

1,841,87

1,83

1,811,77

1,73

1,75

1,78

1,77

1,67

1,831,83

1,72

1,711,85

1,84

1,93

1,82

1,69

1,70

1,811,66

1,76

1,751,80

1,79

1,84

1,86

1,80

1,77

1,801,76

1,88

1,751,79

1,87

1,79

1,77

1,67

1,74

1,751,78

1,77

1,741,73

1,83

1,76

1,83

1,77

1,75

1,771,77

1,84

1,831,79

1,82

1,76

1,76

1,76

1,79

1,881,66

1,80

1,721,75

1,79

1,77

1-9

PROBLEMA PROPUESTO Problema Nº 04: Problema Nº 04: Elaborar la Tabla de Distribución de

Frecuencias. Dibujar el Histograma y Polígono de Frecuencia. Aplicar los estadísticos de: posición, variación, simetría. Aplicar los estadísticos de apuntamiento. ¿Que concluye Ud. después de todo eso?.

1,72 1,81 1,72 1,74 1,83 1,84 1,88 1,92 1,75 1,84

1,86 1,73 1,84 1,87 1,83 1,81 1,77 1,73 1,75 1,78

1,77 1,67 1,83 1,83 1,72 1,71 1,85 1,93 1,82 1,69

1,7 1,81 1,66 1,76 1,75 1,80 1,79 1,84 1,86 1,80

1,77 1,80 1,67 1,78 1,77 1,74 1,73 1,83 1,76 1,83

1,76 1,88 1,75 1,79 1,87 1,79 1,77 1,67 1,74 1,75

1,77 1,75 1,77 1,77 1,84 1,83 1,79 1,82 1,76 1,76

1,76 1,79 1,88 1,66 1,80 1,72 1,75 1,79 1,77 1,84

1-9

PROBLEMA PROPUESTO Problema Nº 05: Problema Nº 05: Tenemos los datos de la edad de los alumnos

del 5to año de una I.E. Elaborar la Tabla de Distribución de Frecuencias. Dibujar el Histograma y Polígono de Frecuencia. Aplicar los estadísticos de: posición, variación, simetría. Aplicar los estadísticos de apuntamiento. ¿Que concluye Ud. después de todo eso?.

16 17 14 15 19 17 18 16 15 18 16 2015 17 17 18 16 14 17 14 19 17 18 1616 18 18 19 17 13 17 13 20 16 14 1816 19 17 20 16 14 18 14 17 17 15 1514 25 16 18 17 15 19 16 17 17 14 1813 16 15 17 15 16 15 18 16 16 15 1316 15 14 15 17 16 15 20 17 16 17 1917 13 15 14 18 17 14 14 16 16 15 1318 14 17 15 19 17 13 15 18 17 17 1619 16 16 13 18 18 18 16 17 14 15 1817 13 17 14 15 15 19 17 17 13 16 1516 19 17 17 15 19 15 18 16 16 19 17

1-9

PROBLEMA PROPUESTO Problema Nº 06: Problema Nº 06: Tenemos las resistencias de la tensión de 80

muestras de aleación Aluminio-Litio. Elaborar la Tabla de Distribución de Frecuencias. Dibujar el Histograma y Polígono de Frecuencia. Aplicar los estadísticos de: posición, variación, simetría. Aplicar los estadísticos de apuntamiento. ¿Que concluye Ud. después de todo eso?.

105 221 183 186 121 181 180 143 97 154 153 174 120 168 167 141 245 228 174 199 181 158 176 110 163 131 154 115 160 208 158 133 207 180 190 193

194 133 156 123 134 178 76 167 184 135 229 146

218 157 101 171 165 172 158 169 199 151 142 163 145 171 148 158 160 175 149 87 160 237 150 135 196 201 200 176 150 170 118 149