Post on 03-Dec-2015
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Un paseo aleatorio discreto clsico de una lnea es un tipo
particular de proceso estocstico. El paseo aleatorio simple clsica
en una lnea se compone de una partcula (el caminante) saltando a la
izquierda o a la derecha en funcin de los resultados de un sistema
de probabilidades (la moneda) con (al menos) dos resultados
mutuamente excluyentes, es decir, los movimientos de las partculas
segn una distribucin de probabilidad.
La generalizacin de las caminatas aleatorias discretas en espacios
de dimensiones superiores (grficos) es sencillo. Un ejemplo de un
paseo aleatorio discreto en una grfica es una partcula que se mueve
en una red en la que cada nodo tiene seis vrtices, y los
movimientos de partculas de acuerdo con los resultados producidos
por lanzando un dado. De hecho, un paseo aleatorio clsica en una
lnea es tambin un paseo aleatorio en un grafo G = (V, E) con | V |
= 2. paseos aleatorios clsicos de grficos se puede ver como las
cadenas de Markov [23, 89]. Adems, si el paseo aleatorio es
aperidica y irreducible entonces tiene una distribucin estacionaria
(teorema 8).
Sin restriccin Clsica Discrete paseo aleatorio en una lnea
Sea {Zn} un proceso estocstico que consiste en la trayectoria de
una partcula que se mueve a lo largo de un eje con pasos de una
unidad a intervalos de tiempo tambin de una unidad (Fig. 4.1). En
cualquier paso, la partcula tiene una probabilidad p de ir a la
derecha y q = 1 - p de ir a la izquierda. Calcular la probabilidad
de encontrar la partcula en la posicin k despus de n pasos. {Z} n
tiene tiempo ritmo parmetro N, estado discreto espacio Z, y el
punto de partida es Z 0 = 0. Cada paso es una X drv independiente
con pr distribucin (X = 1) = p y pr (X = -1) = q. Despus de n
pasos, podemos ver que
Estamos interesados en encontrar el valor de , por lo que se define
una nueva
drv Y i
FIGURA 4.2: clsico paseo aleatorio discreto en una lnea con dos barreras absorbentes. La probabilidad de ir a la derecha es p y la probabilidad de ir a la izquierda es q = 1 - p, a excepcin de los lugares extremos en los que el caminante se absorbe con probabilidad 1.
Y es B () (Def 4.1.4.), Por lo que el pdf de Y dado que el paseo
se inicia en el estado i (Teorema 5) viene dada por h (z) Y (i) = 1
- (1 - z) i y queremos encontrar 0, es decir, que quiero pr (y = 1
| Z 0 = 0). uso
tcnicas para resolver ecuaciones en diferencias, encontramos
que
Clsica discreto paseo aleatorio en una lnea con dos barreras
absorbentes
Analizamos el caso de la trayectoria de una partcula que se mueve a
lo largo de un eje finito con pasos de una unidad a intervalos de
tiempo de una unidad. El eje ha absorbiendo lmites -A y B, es
decir, si
la partcula alcanza ya sea -a o b permanece all. Como en el caso
anterior, la partcula tiene una probabilidad p de ir a la derecha y
q = 1 - p de ir a la izquierda, y cada paso es independiente de
cualquier otra medida.
Sea {Z n} el proceso estocstico que los modelos de la trayectoria
de esta partcula, con parmetro de tiempo de espacio N y espacio de
estados {-a, -a + 1,. . . , -1, 0, 1, 2,. . . , B - 1, b}. Estamos
interesados en el clculo de la probabilidad de Z n = -a antes Z n =
b (ver Fig. 4.2).
FIGURA 4.2: clsico paseo aleatorio discreto en una lnea con dos barreras absorbentes. La probabilidad de ir a la derecha es p y la probabilidad de ir a la izquierda es q = 1 - p, a excepcin de los lugares extremos en los que el caminante se absorbe con probabilidad 1.
Este problema se conoce como problema de la ruina del jugador,
ya que uno puede pensar en l como dos jugadores A y B con capiteles
correspondientes de $ a y $ b. A y B juegan un juego en el que cada
jugador da como resultado A ganador $ 1,00 desde B con probabilidad
p o B ganar $ 1.00 de la A con probabilidad q. Queremos saber la
probabilidad de que un jugador est en la ruina.
Definamos
Se demuestra que el juego terminar eventual simplemente mostrando que A perder o ganar con probabilidad 1
Discrete Clsica paseo aleatorio en una lnea con un Barrera
Absorbente
Este problema puede ser pensado como una variacin del problema de
la ruina del jugador, con jugador B con capital ilimitado (B podra
ser, por ejemplo, un casino). Por lo tanto, se define un proceso
estocstico {Z} N que los modelos de la trayectoria de una partcula
que se mueve a lo largo de un eje. Z n tiene tiempo espacio de
parmetros N y espacio de estados {-a, -a + 1,. . . , -1, 0} N. Como
antes, la partcula tiene una probabilidad p de ir a la derecha y q
= 1 - p de ir a la izquierda, y cada paso es independiente de
cualquier otra medida (vase la figura 4.3.). Estamos interesados en
el clculo de la probabilidad Pr (Z n = -a | Z 0 = 0).
Esta probabilidad se puede encontrar mediante el clculo del
lmite
As que, si B tiene capital ilimitado y menos que A tiene una probabilidad de xito mayor que la de su oponente, lo cierto es que A ser finalmente arruinado.
FIGURA 4.3: clsico paseo aleatorio discreto en una lnea con una barrera absorbente. El andador puede ser absorbido en el nodo a. La probabilidad de ir a la derecha es p y la probabilidad de ir a la izquierda es q = 1 - p. En el nodo A, la probabilidad de ser absorbida es igual a 1.
4.2.2
Clsica aleatoria discreta Paseos en un grfico
Un grfico es una representacin simblica de una red y de su
conectividad. De particular importancia en la computacin es la
relacin entre las grficas, cadenas de Markov, y caminatas
aleatorias discretas clsicos.
Definicin 4.2.1. Grfico. Un grfico G = (V, E) es un conjunto V de
vrtices vi conectados por aristas (vk, vl) E. Definimos | V | como
el nmero total de vrtices y | E | como el nmero total de aristas de
G .
El grado de un vrtice es el nmero de aristas de ese vrtice.
Un grfico est conectado si hay un camino que conecta cada par de
vrtices. Un grafo es bipartito si su conjunto de vrtices puede ser
dividido en dos conjuntos disjuntos con dos vrtices del mismo
conjunto nunca compartir una arista, y no bipartita lo contrario.
Si (u, v) E (v, u) E G es no dirigido.
Un grfico puede ser representada por su matriz de adyacencia A =
(aij), que es una matriz con filas y columnas marcadas por vrtices
del grfico, con las entradas aij = 1 o 0 segn si vrtices i y j estn
unidos por un borde o no.
Los grficos que codifican la estructura de un grupo se denominan
grafos de Cayley. La teora de grupos es una rama de las matemticas
ampliamente utilizados en varios campos de la ciencia y la
ingeniera (la fsica cuntica y la teora de control, por ejemplo).
Por lo tanto, grafos de Cayley son un vehculo para transformar las
estructuras matemticas de problemas cientficos y de ingeniera en
formas susceptibles de desarrollo de algoritmos para la computacin
cientfica.
Definicin 4.2.2. Grafo de Cayley. Sea G un grupo finito, y dejar
que S = {s 1, s 2,. . . , Sk} un grupo electrgeno para G. El Cayley
grfico de G con respecto a S tiene un vrtice para cada elemento de
G,
con un borde de g a gs g G y s S.
Grafos de Cayley-k son regulares, es decir, cada vrtice tiene grado
k. Grafos de Cayley tienen ms estructura que los grficos de Markov
arbitrarias y sus propiedades se utilizan a menudo en el desarrollo
de algoritmos [95].
Los grficos y las cadenas de Markov se pueden poner en un marco
elegante que resulta ser muy til para el desarrollo de aplicaciones
algortmicas.
Sea G = (V, E) un comunicado, grafo no dirigido con | V | = ny |
E | = m. G induce una cadena de Markov MG si los estados de MG son
los vrtices de G, y u, v V
donde d (u) es el grado de vrtice u. Desde G est conectado, entonces MG es irreducible y aperidica [23], por lo tanto, MG tiene una distribucin estacionaria nica (teorema 8).
Teorema 9. Sea G una grfica conexa no dirigido con n nodos y m
aristas, y dej MG sea su cadena de Markov correspondiente.
Entonces, M G tiene una distribucin nica
Para todos los componentes VI de la Nota que el teorema 9 se
mantiene incluso cuando la distribucin {d (vi)} no es uniforme. En
particular, la distribucin estacionaria de un grafo no dirigido y
conectado con n nodos, m bordes, = (r / 2m), el uniforme y grado
constante d (vi) = r vi G, es decir, un grfico de Cayley, es
-
distribucin.
Hemos establecido la relacin entre las cadenas de Markov y
grficos. Ahora procedemos a definir los conceptos que hacen
caminatas aleatorias discretas en los grficos tiles en la
informtica. Comenzaremos por describir formalmente un paseo
aleatorio en un grfico: Sea G un grafo. Un paseo aleatorio, a
partir de un vrtice u V es el proceso aleatorio definido por s =
u
repetir elegir un vecino v de T de acuerdo con una cierta
distribucin de probabilidad P
u = v hasta que (condicin de parada)
As, comenzamos en un nodo v 0 y, si en t-simo paso nos encontramos
en un vt nodo, nos movemos a un vecino de vt con probabilidad dada
por la distribucin de probabilidad P. Es una prctica comn para
hacer P uv = d (v 1 t),
donde d (v t) es el grado de vrtice v t. Ejemplos de caminatas
aleatorias discretas en los grficos son un paseo aleatorio clsica
en un crculo o en una malla tridimensional.
Ahora introducimos varias medidas para cuantificar el rendimiento
de caminatas aleatorias discretas en los grficos. Estas medidas
tienen un papel importante en la teora cuantitativa de paseos
aleatorios, as como en la aplicacin de este tipo de cadenas de
Markov en la informtica.
Definicin 4.2.3. Golpear tiempo. El golpear ij tiempo H es el nmero esperado de pasos antes de nodo j es visitado, a partir del nodo i.
Definicin 4.2.4. Tasa de mezcla. La velocidad de mezcla es una
medida de la rapidez con la caminata aleatoria discreta converge a
su distribucin limitante. La velocidad de mezcla se puede definir
de muchas maneras, dependiendo del tipo de grfico que queremos
trabajar. Utilizamos la definicin dada en [41].
beamer latex
todo en espaol o todo en ingles si se citar imagen formulas con explicacinnumerar las diapositivasno poner mucho texto
Si el grafo no es bipartito entonces pitj dj / 2m como t , y la
tasa de mezcla est dada por
Como es el caso con la tasa de mezcla, el tiempo de mezclado se
puede definir de varias maneras.
Bsicamente, el concepto de tiempo de mezclado comprende el nmero de
pasos que uno debe realizar una caminata aleatoria discreta clsica
antes de su distribucin est cerca de su distribucin limitante.
Definicin 4.2.5. Tiempo [96] Mezcla. Deje MG ser una cadena de
Markov ergdica que induce una
denotan la distribucin lmite de la distribucin de probabilidad P u
(t) en los estados en el tiempo t. Adems, dejar -M G. El tiempo de
mezclado se define entonces como
donde es una medida de distancia estndar. Por ejemplo, podramos
utilizar la variacin totalPor lo tanto, el tiempo de mezcla se
define como la primera distancia, definida como || P u (t) - - en
todo momento posterior pasos t T, independientemente de la
tiempo t tal que P u (t) est a poca distancia de estado
inicial.
Clculo de los tiempos de mezcla es una tarea difcil. En
consecuencia, hay varias estrategias para calcular los tiempos de
mezcla. Entre ellos encontramos la estrategia de tiempo de
acoplamiento, que consiste en considerar dos paseos aleatorios
discretos en una cadena de Markov. Al iniciar uno de los paseos al
azar de la distribucin estacionaria y que limita el tiempo de las
dos cadenas de chocar, podemos calcular los lmites en el tiempo de
mezcla del paseo aleatorio. Qu significa hacer dos cadenas chocan?
Eso significa que ambas cadenas terminarn golpeando los mismos
nodos con la misma probabilidad. Para formalizar este concepto,
vamos presentamos el siguiente teorema.
Teorema 10. Sea P y Q dos distribuciones de probabilidad con P x
(t) y Q (t)
x las probabilidades de
golpear nodo x en el tiempo t | P - Q | 2 pr (P x Q = x).
Por lo tanto, el clculo del tiempo de mezcla de una cadena de
Markov por medio de la estrategia de acoplamiento consta de los
siguientes pasos: 1. Calcular la distribucin lmite de la cadena de
Markov. 2. Calcular el tiempo que se necesita para obtener la
siguiente igualdad: P x (t) = x, donde x es el
probabilidad de acertar nodo x de acuerdo con la cadena de Markov
limitar la distribucin -
. Este paso es usualmente equivalente a calcular el tiempo de
golpear de la cadena de Markov para un determinado nodo.
La pregunta clave es: cuntos pasos n se tarda en golpear el nodo
k?
Tiempo de un irrestricto Clsica discreto paseo aleatorio de
mezcla en una lnea
Se ha demostrado en la Ec. (4.10) que, por un camino aleatorio
irrestricto clsica discreta en una lnea con p = q = 1/2, la
probabilidad de encontrar el andador en la posicin k despus de n
pasos se da por
El uso de Stirling aproximacin
y despus de un poco de lgebra, encontramos
Sabemos que la ecuacin. (4.10) es una distribucin binomial, as
que tiene sentido para estudiar la
tiempo en dos poblaciones diferentes de vrtices de mezcla: k
n y k n (la primera poblacin est contenida principalmente bajo la
parte en forma de campana de la distribucin, mientras que el
segundo se puede encontrar a lo largo de las colas de la
distribucin). En ambos casos, encontraremos la hora prevista de
golpear mediante el clculo de la
inversa de la ecuacin. (4.16) (este es el momento esperado de la
distribucin geomtrica dada en Def. 4.1.6).
As, el tiempo para golpear un vrtice k de un n-paso sin restricciones a pie aleatoria discreta clsica en una lnea determinada depende de qu regin de vrtice k se encuentra en. Si k