Post on 25-Jul-2015
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO - 11
• CÁLCULO DE LADOS: Es el procedimiento mediante el cual se determinan los lados faltan tes de un triángulo rectángulo, en términos de un lado que sí se conoce; y de un ángulo agudo que también se conoce.
Criterio:
Casos:
1.
~ A L B
2 .
3.
C
¿jI /'\ 'B
1)
Lado desconocido Lado conocido
R.T.(~ conOCido)
BC L
Tana => BC ~
11 ) AC L
=> AC~
1) AB ~ Cota => AB = L
11) AC = => AC= L
1) BC = Sena => BC = L
11) AB = => L
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• S UPERFICIE DE UN TRIÁNGULO: La superficie de un triángulo se puede calcular como el semiproducto de las medidas de dos de sus lados, multiplicados por el Seno del ángulo que forman dichos lados.
B
S S b·h abemos: ABC = 2 pero: h = aSenC
a b aSenC
luego: S ABC = 2
b e
Análogamente
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EJERCICIOS PROPUESTOS
01. Hallar el área del triángulo, de la figura mostrada:
a
a) K2Sena.Cosa
e) (K 2 / 3)Sena.Cosa
e) (K2 / 5)5ena.Cosa
K
b) (K2 / 2)Sena.Cosa
d) (K2 / 4)Sena.Cosa
02. En un triángulo isósceles ABC (AB= BC) se sabe que los ángulos congruentes miden "a " mientras que el lado desigual mide "L". Hallar uno de los lados congruentes.
a) t Seea b) t Csca
d) tCtga e) tCosa
03. Obtener "x", en:
L e) "2 Tga
a
m
a) mSen a b) mCos a e) mSee a d) mCsea e) mTga
04. Obtener "x"
O 8
a) R(l- Sen8)
e) R(1- Cos8)
e) R(l- Tg8)
A
B
b) R(See8 - 1)
d) R(Csc8 -1)
05. En la figura, halla "x".
B
m n
A~a~ __ -{:x~ ____ ~P~C
a) mSena + nCosp
e) mCosa + nSenp
e) mSena + nSeep
06. Halla "x" en:
b) mCosa + nCosp
d) mSeea + nSeep
[Lo BI m I
a) mSecuTga
e) mCosaCtga
e) mTga
07. Halla "x":
a) m5ena.Cotp
b) mCosaCsca
d) m5enaCosa
b) mSena.Tanp
e) mSena.Senp d) mCosa.Cotp
e) mCosaTanp
08. Hallar "x":
~o. A m C H
a) mSen 28
e) mSen8Cos8
e) mSec8Csc8
b) mCos 28
d) mSen8Tg8
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09. Hallar "x", de la figura:
a) mSenO.CosO
e) mSenO
e) mTg8
b) SenO.CosO
d) mCosO
10. Del gráfico, hallar: AC .
B
m n
C=x ______ y= A
a) mSenx+nSeny e) nSenx+mCosy e) mSeny+nCosx
b) mCosx+nSeny d) mCosx+nCosy
11 . Del gráfico, hallar "x", si: ASCD es cuadrado.
12.
D,IIo::..l.lU"-------C m
a) mll- Sena) b) mll- Cosa)
e) mll - Tga) d) m(l- Ctgu)
e) mlTga- Ctgu)
Obtener "AS'":
A O
a) RICseO + CtgO) b) Rll + CtgO)
e) R(l + CseO) d) Rll + SenO) e) 2R+ 1
C
B
13. Hallar "x", siendo "O" centro del sector AOB.
a) RSenO
e) Rll - SenO)
e) Rll- 2CosO)
14 . Hallar "x".
a) mSenaSen~
e) mCosuCos~
e) mTgaCtg~
m
O
x
B
b) RCosO
d) Rll - CosO)
b) mSenuCos~
d) mCosuSen~
15. Hallar la distancia mínima del punto "pOI a la circunferencia:
p
a) RCsce b) RICseO - 1)
e) RITgO + 1) d ) RICtgO -1)
e) RICseO + 1)
16. Determine "x" en: C
m
O a A D B
x
a) mSena.CosO b) mSenu.SeeO
e) mSenu.ctgO d) mCosu.CtgO
e) mCosu.TgO
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17. Hallar "x".
B
a
A
a) SenO + aCosO
e) bSenS - aCosS
e) aSeeO+bTgS
x C
b o O
b) bSenS + CosS
d) aSenS + bCosS
18. Oelennine el perímetro del triángulo ABe.
a) mil + SenO + CosO)
b) mil + SecO + TgO)
e) mil + CseO + CIgO)
d) mil + SecO + CseSI
el mil + TgS + CtgOI
19. Hallar: "x" en:
al mCIgSCosO
el mTgOSenO
el mSenO
bl mTgO.CosO
d) mTgO
20. Del gráfico. hallar: "Ctgx".
~ 2SeeO-CosS
bl SenO + CosO
al SenO SenS
el Seco + CosS di
Csc8 + SenO SenO CosS
el SeeS-CosO
SenO
2 1. Del gráfico, determine "x".
s
m
al m·SenS bl m·CosO el m ·SeeS
dl m·CscS e l m ·TanS
22 . Oelenninar CO .
B
e a
e D
al mTana · SenS bl mCIga· CosS
el mTana ·CosO di mTana.·CseO
el mCIga.· SenO
23. Del gráfico, hallar "x".
45'
1---- m - -f-- x --l
m m al Tana-l bl Ctga-l
m m el 1-Ctga di 1- Tana.
el mil + Tanal
24. Determine "x" en :
al m ·SenS ·Sena bl m ·SenS·Cosa
el m· SenO· Seca di m CosS · Seca.
el m ·CosS·Sena
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25. Determine I1x" en: 1--- m ---l
9
x
e) m . Sen29 d) m· Cse29
e) m·Sec9·Csc9
26, Si ASCD es un cuadrado, determine "x",
B
L 1 A cx
1 D
a) L· Sen2a b) L Cos2a
e) L·(Sena +Cosa) d) L ·Sen2a·Cosa
e) L.Sena·Cos2a
27. Del gráfico, hallar "x":
f-- m---l
9
9 1---- x ---l
a) m · (See29 - 1) b) m· (Csc29 - 1)
e) m .(Tan29 - 1) d) m. (Ctg29 - 1)
e) m.(Tan29-Ctg29)
28. Del gráfico, hallar "x". si ABCD es un cuadrado.
a) nSen9
d) nCse9
A B
n T x
1
e
b) ncose
e) nCtg9
e) nTan9Cse9
29. Del gráfico, hallar: ED.
C
9
E m
9 A D B
a) mCtg9 b) mSec9 e) mSee29
d) mCtg29 e) mTan29
30, En el gráfico, hallar Mp, en términos de" a" y" 8 "; ti a"
M
a) (a+b·Cos9)·Seea
e) (a + b· TanS)· Ctga
e) (a + bSen9)· Csca
N
R---'a-'" P
b) (a + b· Cos9)· Csca
d) (a - bSee9)· Tana
31. En un triángulo BAC, recto en A; la mediana BM y el cateto AC forman un ángulo agudo x. Luego Tanx es igual a:
a)2TanC e) 2TanB e) 2(TanC + TanB)
b) TanB + TanC d) TanC + CtgC
32. En la figura el área del triángulo ACD es igual al área del triángulo ABe. El valor de a será:
D
a
C
a A B
a) AreTan(1) b) AreCtg (1)
e) AreTan (12) d) AreCtg ( 12) e) AreTan../2
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33. En la región limitada por una circunferencia de radio R y dos tangentes a ésta; se quiere inscrib ir otra
circunferencia {de radio menor que R}. Si las tangentes se intersectan en un ángulo de 2a radianes, ¿A qué distancia de la intersección de éstas, debe encontrarse el centro de la circunferencia inscrita?
al R ( 1 +Sena ) bl Sena l -Sena
R ( I - Sena ) Sena l +Sena
el Sena (I-Sena) d l ----ª--- (l+Sena) R Sena
el -R-(I -Sena) Sena
34. En la figura, expresar OB y BC, en términos de x, Y. 9
C OA= x
AC=y B
o A
al OB = xCosO + ySen9
BC = xSenO + yCos9
bl OB = xCosO - ySenO
BC = ySen8 - xCos8
el OB = xCosO + ySenO
BC = xSenO - yCosO
d l OB = xCosO + ySenO
BC = yCosO - xSenO
el OB = xCosO-ySen8
BC = xSenO-yCos9
35. En la figura: ABCD es un rectángulo inscrito en la
circunferencia de centro 0 , ARo = a; RS II AB , AB=a. Hallar el radio de la circunferencia.
al a -2Cosa
a el 2Sena
el a -lCosa 2
s
a bl --
2Cosa
dl aSena
36. Dado el cuadrado ABCD, se tiene que las áreas de los
triángulos FAE, EDC y CBF son iguales, luego SenO es:
3-15 a l -6-
l -3+15
e 6
el J3 -615
A~---,;F"--_B
E
D---_---"1.L::II
bl 3+15 6
dl J3+615
37. En la figura mostrada, son conocidos: a . 9 Y h.
Entonces los valores de x e y son dados por:
T
f o y
""'"""a'---------v-- -- 1
h2 h2Tan2a. el x Tan2S - Tan2o.
; y Tan2e- Tan2a.
h2 h2Tan2a dl x
(T anS - T ana.)2 ;y
(Tan9 - Tana)2
el x = hTana TanO ; y = h2TanaTanO
38. En la siguiente figura , hallar (x + yl si:
AS = 3y AC= 27 16
A
x B
al 5,14 dl 4,19
bl 5,19 el 5 ,29 el 3,19
C
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39. De la figura hallar:
al 3,15 di 3,00
F = 6Tanz -3Tany CtgxTanyTanz
b12,35 el 3,20
el 4,30
40. En un triángulo rectángulo BAC. se cumple que
CosBCosC = ,Jz . 4
Hallar la altura relativa a la hipotenusa sabiendo que
esta mide 6,Jzm .
al ,J2 m
di .J5 m
bl13m
el .,f7 m
el3m
41. La figura muestra un cuadrado cuya área es 64 m2 y
tal que PC = BP'.
42.
Hallar: AM Si:AP= 6m
B
P'
C:L-- - - --".JO
al 12,[5 m bl 1; 13 m el 1; 13 m
di 1;,[5 m el 1213 m
En la siguiente figura, G es el baricentro del triángulo
ABC, AD = BO y 3Sena - Cosa = 3 Hallar la tangente del ángulo OCG.
B
G
a A O C
al3 bl ~ 1 3 el 3'
di .1 1 el-
2 2
43. En la figura mostrada, calcular: E = Tanx Ctgy Si: AB = AD = 1 ; OC = 2
B
~ A O C
1 al-
2
di .1 4
1 bl -
3
el1
el2
44. En la figura mostrada, ¿a qué distancia se encuentra el globo respecto del lago?
GIO~~9 ".)~ ..... "II!
H
~~ ........ .... . ~ Lago
al HCos2a
el HSee2a
el HCtg2a
", :
bl HSen2a
di HCse2a
45. En la figura : OC = 2AB = 2. Calcular el área del triángulo EFG.
~ B F C
1 al 18 Tana
2 el 45 Tana
el i(Tana + Ctgal
bl :5 Ctga
di ..l.(Tana + Ctgal 18
46. En un sector circular, cuyo ángulo centra1 es ex , está inscrito un cuadrado de lado L. El radio de la circunferencia correspondiente es:
1
al ~[Ctg2(~) +Ctg(~l+ 5]2
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1
bl t[ Ctgt~} 2Ct9( ~ )+5]2
1
el t [ Ctg2(~ 1 +4Ctg(~)+5]2
dl t[Ct9(~) +2] 1
el t[Ct9(~) +2]2 47. Se tiene un triángulo ABe en el que se conocen el lado
AC (opuesto al vértice B, de longitud bl, y la bisectriz de longitud w relativa al vértice B. Hallar el área del triángulo ABe.
al bwC ( A-C) -- 05--3 3
bl bwC ( A- C) -- 05--2 2
el bwC ( A-C) -- 05--3 2
bwC ( A-C) d l -- 05--2 3
bwC ( A-C) el -- 05--2 4
48. Se tiene una poligonal ABCO tal que los ángulos ABC
5rr 3rr y BCD miden 6 y 4 ,respectivamente.
Hallar la longitud del radio de la circunferencia tangente a los tres segmentos de la poligonal si cumple que:
al 2n m n·m
dl--n+m
Ctg 5rr +Ctg 3rr ~ m BC = n 12 8 Y
bl -"-m
el~
n el-2m
49. En la figura, el triángulo NST es isósceles de base 6, KH es el radio de la circunferencia circunscrita a un triángulo equilátero de lado 6. Hallar el radio R.
KN H T
al 2J3Ct9( rr~a) bl 2J3Tan( rr~a )
el 2J3Tan(rr;" 1 dl 4J3Tan( rr~" 1
50. En la figura mostrada se tiene un cuadrado ABCD con uno de sus vértices en el origen de coordenadas cuyo lado tiene la longitud a unidades. Si el segmento DM divide al cuadrado en un triángulo y en un trapecio
cuyas áreas están en la relación de 1 : 4. Calcule la tangente del ángulo MOe.
AI.----~B
M
8 O C
1 bl1. 1 al - el -4 5 3
dl 1 3 el -4 5
51. Dado un polígono regular convexo de n lados, se trazan
dos circunferencias, la primera de radio r que es
tangente a todos los lados del polígono, y la segunda
de radio R que pasa por todos sus vértices.
El valor de la razón * es:
al Sen"'n
bl Sen....'!... 2n
dl lSen"'- el Cos"'-2 n n
el Sen 2rr n
52. Un cuadrado MNPQ cuyos lados miden ~2 -,f2~ ,
está inscrito en una circunferencia.
Calcular la distancia del punto Q al punto medio del
arco MN.
al O,5~
dl ,f2~
bl 1~
el ,f2 ~ 2
el 1 ,5~
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53. En la siguiente figura:
B
a
c------1y 2
La relación 4~ es equivalente a: e
al 2(1-COS~) bI2(1+Cosa)
eI2(1 - Sena) di 2(1+COS~) el 2 (1 - Cosa)(l- Senal
54 . La siguiente figura es un cuadrado, donde Q es punto medio del lado AB. Determine CscS
A,--~Q;.-- B s
'--------"D
bl ~ 4 el3 al2
dl4 el 2..[5
55. En la figura, hallar "x":
x
al kSee5S· SenS
el kCtgS.See7e el kSee5S· CosS
f-- k--j
bl kSee 6S·TanS
di kTan8·Cos6e
56 . En el cuadrado ABCO, las áreas de los triángulos OAp, PDC y CBO son iguales. Luego CscS es:
A,-_~O;(---, B
P
C: ~---,,-O.L..:""D
al ~ 3+6..[5
6 el 3-..[5
6 el 3+..[5
bl ~ 5 _613
di ~ 3_6..[5
57. En la figura hallar el valor de "h" en función de a , ~ y
- -Y. Si: y~e, A~o., B~p
C
h
A D B
al Ctgo. + Ctgp y
bl Tano. + Tanp
ySena fJ..
el Seno. + Senp di Ctgo. + Ctgp
e) Cosa + Seny
58. En un triángulo ABC, recto en B, la mediana CM y el
cateto BA forman un ángulo agudo S. Entonces, Tg6 es:
al2 TanA bl2 CtgA el2TanC di TanA + TgC el2(TanC + CtgAl
59. En la semicircunferencia mostrada, halle:
bl3
1 el '3
K ~ Sen2a Sen2p
el4
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60. Del gráfico, hallar T anS
AP PB Si: - = -
m n
m
al Jn(2m+nl
n
el Jm(2n + ml
el ~2n+m 2m+n
n
bl Jm(2m + nl
di ~2m+n 2n+m
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d
b
b
e b
e b
e b
e b
a b
b e
e b
b e
e b
d b
e d
d a
e a
d e
e e
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