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5/7/2018 Cap.I- Polinomios y Curvas de Bézier - slidepdf.com
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Prof. Marco PalusznyProf. Marco Paluszny
Computación GráficaComputación Gráficay Geometría Aplicaday Geometría Aplicada
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PolinomiosPolinomios p(t) = a0 + a1t + a2t
2 + . . . + antn
an { 0, grado (p(t) ) = n
Polinomios de
grado e n
base = 1, t, . . . , tn
EjemplosEjemplos
espacio vectorial
dim = n+1, P n
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Polinomios y basesPolinomios y bases
P 2, 1, t, t2 base
B0(t) = (1-t)2, B1(t) = 2t(1-t), B2(t) = t2
también es una base:1.- .(1-t)2 + .2t(1-t) + .t2 º 0
= 0
-2 + 2 = 0 - 2 + = 0
son linealmente independientes
= = = 0
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2.- 1 = (1-t)2 + 2t(1-t) + t2
t = [ 2t(1-t) + 2t2 ]/2
t2 = t2
Por lo tanto p(t) = a+bt+ct2 se puede expresar de
la forma:
a.[B0(t)+B1(t)+B2(t)]+b.[1/2.B1(t)+B2(t)]+c.B2(t) =
a.B0(t)+b.B1(t)+c.B2(t)
B0(t), B1(t), B2(t) base de Bernstein de P 2.
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Polinomios de grado superiorPolinomios de grado superior� n = 3, P 3, a0 + a1t + a2t
2 + a3t3
base monomial: 1, t, t2, t3
base de Bernstein: B30(t)=(1-t)3, B31(t)=3(1-t)2t,B3
2(t) = 3(1-t)t2, B33(t) = t3
� n > 3, P n, a0 + a1t + . . . + antn
base monomial: 1, t, t2, t3, . . . , tn
base de Bernstein: Bni(t) , i= 0, . . . ,n
Bni(t) = ( )ti (1-t)n-in
i
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Curvas PolinomialesCurvas PolinomialesCurva en 2D:
t p(t) =
Curva polinomial en 2D:
x(t) = x0 + x1t + . . . + xntn
y(t) = y0 + y1t + . . . + ymtm
xn { 0, ym { 0
grado p(t) = max {n, m}
EjemplosEjemplos
x(t)
y(t)
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t p(t) =
x(t), y(t), z(t) polinomios
grado p(t) = max de los grados de x(t), y(t), z(t)
Curvas polinomiales en 3DCurvas polinomiales en 3D
EjemplosEjemplos
x(t)
y(t)z(t)
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BernsteinBernstein--Bézier: CónicasBézier: Cónicascurva polinomial en 2D, n = 2
p(t) = =
x2 { 0 ó y2 { 0
p(t) =
ó respecto a la base de Bernstein B0(t), B1(t), B2(t):
x(t)
y(t)
x0 + x1t + x2t2
y0 + y1t + y2t2
x0 x1 x2y0 y1 y2
.1 + .t + .t2
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BernsteinBernstein--Bezier: CónicasBezier: Cónicas1 = B0(t) + B1(t) + B2(t)
t = B1(t) + B2(t)
t2 = B2(t)
y0 y0+ y1 y0 + y1 + y2
= b0.B0(t) + b1.B1(t) + b2.B2(t)
b0, b1, b2 = puntos de Bézier de b(t)
x0 x0+ x1 x0 + x1 + x2B0(t) + B1(t) + B2(t)
1
2
1
2
b(t)=
1
2
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Cónica de BézierCónica de Béziert b0 B0(t) + b1 B1(t) + b2 B2(t)
= b0 (1-t)2 + b1 2t(1-t) + b2 t2 = b(t)
curva de Bézier de grado 2 = cónica de Bézier t = 0 , b(0) = b0
t = 1 , b(1) = b2
b¶(0) = 2(b1-b0)
b¶(1) = 2(b2-b1)
Tópico 3. Rockwood & Chambers.
b0
b1
b2
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Cónica de BézierCónica de Bézierb0, b1, b2 polígono de Bézier, controla la cónica:
Tópico 3. Rockwood & Chambers.
b1
b2
b0
b1
b1
b(t)
b2= b2
b0=b0
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Cónicas de Bezier en 3DCónicas de Bezier en 3Dt b(t) = b0B0(t) + b1B1(t) + b2B2(t)
b0, b1, b2 � �3 generan un plano
b(t) yace en ese plano.
b0 b1
b2
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Cónicas de Bézier en 3DCónicas de Bézier en 3DMás aún:
1.- B0(t)+B
1(t)+B
2(t) = (1-t)2 + 2(1-t)t + t2
= ( )(1-t)2 t0 + ( )(1-t)1t1+( )(1-t)0t2
= [(1-t) +t]2 = 1
i.e. suma 1 para todo t.
2.- B0(t) = (1-t)2u 0, B1(t) = 2t(1-t) u 0,
B2(t) = t2u 0, t � [0,1]
20
21
22
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Cónicas de Bézier en 3DCónicas de Bézier en 3D
Entonces b(t) = combinación convexa de b0, b1, b2,
para cualquier t � [0,1].
El segmento de cónica b(t), t � [0,1] yace en el
triángulo de vértices b0, b1, b2.
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Curvas de Bézier de grado 3Curvas de Bézier de grado 3
n = 3, b0, b1, b2 , b3, cúbica de Bézier
b(t) = b0B30(t) + b1B
31(t) + b2B
32(t) + b3B
33(t)
B3i(t) = ( )ti (1-t)n-i, i= 0,1,2,3
7 B3i(t) | 1, t
B3i(t) u 0, t � [0,1]
3
i=0
3i
b0
b1
b2
b3
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Curvas de Bézier de grado 3Curvas de Bézier de grado 3
b0
b1
b3
b2
E.M.R/R.ME.M.R/R.M
Los bi, pueden no ser coplanares.
b(t) yace en la cá psula convexa de b0, b1, b2 , b3.
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Curvas de Bézier de grado nCurvas de Bézier de grado nb0, b1, . . . ,bn , n+1 puntos de control
Bni(t) = ( )ti (1-t)n-i,i= 0,. . .,n , polinomios de Bernstein
b(t) =7
biBn
i(t) , curva de Bézier b(0) = b0, b(1) = bn
b¶(0) = n(b1- b0), b¶(1) = n(bn-bn-1)
n
i
n
i=0
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Curvas de Bézier de grado nCurvas de Bézier de grado nToda curva polinomial
x(t) = x0 + x1t +«+ xntn
se puede escribir como
una curva de Bézier.
EjerciciosEjercicios
b1
b n -1
bn
b¶(1) b0
b¶(0)
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b(t) = 7 bnBni(t)
� tangente en t=0 a la recta que pasa por b0 y b1.
� tangente en t=1 a la recta que pasa por bn-1
y bn
.
n
i=0
b1
b0 bn
Dependencia de los puntos deDependencia de los puntos decontrolcontrol
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Dependencia de los puntos deDependencia de los puntos decontrolcontrol
n = 4
Si b3 b3 y los demás se mantienen iguales
b(t) = 7 biBi = (b3 - b3) + 7 biBi
b(t) = (t) (b3 - b3) + b(t)
(t) � [0,1]; cambio b3 por b3 estira b(t) en la
dirección b3 - b3
b1
= b1
b2= b2
b3
b4= b4
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b3
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Puntos de controlPuntos de controlEn general, bk bk , bi = bi, i {k
b(t) = 7 biBi b(t) = 7 biBi = Bk (t) (bk - bk ) + b(t)
La situación en que se mueva más de un punto:
n
i=1
En general:
el polígono de control
arrastra la curva
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Puntos de controlPuntos de controlSi b0, b1, b1
se mantienen
colineales
b(t) se mantiene tangente
a b1- b0, i.e. es tangente
a b(t) en t=0
b1
b1
b0
E.M.R/R.ME.M.R/R.M
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Fin de NotasFin de Notas
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PolinomiosPolinomiosEjemplo:Ejemplo:
n = 2, polinomios cuadr áticos
a + bt +ct2
1, t, t2 es una base de P 2:
y son linealmente independientes:
.1 + .t + .t2 = 0 p = = = 0
y cualquier p(t)� P 2, se expresa:
p(t) = a.1 + b.t + c.t2
ContinuarContinuarE.M.R/R.ME.M.R/R.M
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Curvas PolinomialesCurvas PolinomialesEjemplos:Ejemplos:
y
x
t2
t3p(t) =
Haga click para otro ejemplo
p(t) =
y
x
t2
t3 - t
ContinuarContinuarE.M.R/R.ME.M.R/R.M
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Curvas polinomiales en 3DCurvas polinomiales en 3Dt
t t2
t3
[ Boehm: On cubics: a survey.
Computer Graphics and Image
Proccessing 19 pag. 201-226 (1982) ]
cúbica alabeada
Ejemplo:Ejemplo:
t=0
t=1
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Curvas polinomiales en 3DCurvas polinomiales en 3DProyeccionesProyecciones
Ejemplo:Ejemplo:
t2
t3x(t)
y(t) =
y
x
x(t)y(t) = tt2
y
x
ContinuarContinuarE.M.R/R.ME.M.R/R.M
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EjercicioEjercicio::
Escriba una curva polinomial de grado tres
como una cúbica de Bézier.
Curvas de Bézier de grado nCurvas de Bézier de grado n
NotaNota::
Observe que esto es válido para curvas en el plano o en 3D.
ContinuarContinuarE.M.R/R.ME.M.R/R.M