Capítulo 2. Representación de imágenes digitales La intensidad luminosa f(x,y) se puede...

Capítulo 2. Representación de imágenes digitales

La intensidad luminosa f(x,y) se puede caracterizar por dos componentes:

a) La cantidad de luz incidente en la escena visualizada (iluminación), que representaremos por i(x,y)[0, ). Esta componente viene determinada por la fuente luminosa. Por ejemplo, el nivel de iluminación en una oficina comercial es de unas 100 candelas-pies.

b) La cantidad de luz reflejada por los objetos de la escena (capacidad reflectora), que representaremos por r(x,y)[0,1], donde el valor 0 representa absorción total y el valor 1 reflexión total. Esta componente viene determinada por las características de los objetos de la escena. Por ejemplo, el acero tiene 0.65 y la nieve 0.93.

Las escenas dinámicas donde aparecen objetos en movimiento complican más todavía la visión por ordenador.

f(x, y) = i(x, y) r(x, y)

Matriz vinculada a una imagen

Una matriz vinculada es:

a) Una matriz cuyos elementos aij R{*}

b) Un indicador (p,q) que especifica la posición del primer elemento de la matriz en la rejilla utilizada en la digitalización de la imagen.

qprsrjr

......

...............

......

...............

......

Capítulo 2. Representación de imágenes digitales El entorno vertical y horizontal de tamaño 5 del píxel p, de coordenadas

(i,j){(i+1,j), (i-1,j), (i,j), (i,j+1), (i,j-1)} N5(p)

El entorno diagonal de tamaño 5 del píxel p, de coordenadas (i,j),

{(i+1,j+1), (i-1,j-1), (i,j), (i-l,j+1), (i+1,j-1)} ND (p)

El conjunto de pixeles N5(p)ND (p) es un entorno de tamaño 9 del píxel p N9 (p).

Para estudiar la relación entre píxeles vamos a tener en cuenta su proximidad espacial y su similitud en los niveles de gris.

Sea V el conjunto de valores de los tonos de gris utilizado para definir la conectividad

• Conectividad de tipo 5: los píxeles p y q con valores en V están conectados si qN5(p)

• Conectividad de tipo 9: los píxeles p y q con valores en V están conectados si qN9(p)

• Conectividad de tipo mixto: los píxeles p y q con valores en V están conectados si:

qN5 (p) ó

qND (p) y el conjunto N5 (p)N5 (q) no tiene pixeles con niveles de gris que pertenezcan a V.

Capítulo 2. Conectividad mixta

• Se dice que el píxel p es adyacente al píxel q, si los dos están conectados. • Dos subconjuntos de píxeles (imágenes) S1 y S2 se dice que son adyacentes si

algún píxel de S1 es adyacente con algún píxel de S2.

• Un camino desde el píxel p, con coordenadas (xo ,yo ), al píxel q, con coordenadas (xn, yn), es una sucesión de diferentes píxeles con coordenadas

(xo ,yo ), (x1 ,y1 ) ,..., (xn-1 , yn-1 ), (xn , yn),

donde (xi ,yi) es adyacente a (xi-1 ,yi-1 ).

Diremos que la longitud de este camino es n.

Si p y q son pixeles de un subconjunto S, entonces diremos que p está conectado con q en S, si existe un camino de p a q formado sólo por pixeles de S. Para cualquier píxel p de S, el conjunto de pixeles de S que están conectados con p se dice que es una componente conexa de S.

Capítulo 2. Operaciones aritméticas, geométricas, lógicas y vectoriales

Operaciones aritméticas:

* es ),( ),( *

),(),,( ),(),(),(),(

jigójifsi

RjigjifsijigjifjigfSUM

* es ),( ),( *

),(),,( ),(),(),(),(

jigójifsi

RjigjifsijigjifjigfMULT

*),( *

*),( ),(),();(

jifsijiftjiftESCALAR

),(),(,),( jviufjivufTRAS

[NOVENTA(f)](i,j) = f(-j, i) [NOVENTA(f)](i,j) = f(j, -i)

[FLIP(f )](i, j)=f (-j, -i)

Capítulo 2. Operaciones base de datos

Ventana W = { (i,j): h i h+r , k j k+s}

caso otroen *

),( para),(),(),,,;(

WjijifjikhnmfSELECT

caso otroen ),(

*),( ),(),(),(

jifsijifjigfEXTESION

caso otroen *

),(),( si),(),( kkk jijiy

jiRDCREAR

*),(si *

),(si 0

),(si 1

),();(

jitfUMBRAL

*),(si *

),(si 0

),(si ),(

),();(

tjifjif

jitfTRUNCAR

Capítulo 2. Operaciones base de datos

*),(si *

*),(y ),(si 0

),(si 1

),();(

jiftjif

jitfIGUAL

*),(si *

),(si 0

),(si 1

),();(

jitfMAYOR

jiffPIXSUM),(

fPIXSUMfMEDIA

dominio distinto el tienen gy f si*

dominio mismo el tienen gy f si),(),(),( ),( Dji

jigjifgfPRESC

Capítulo 2. Operaciones vectoriales

),(,..., ),(, ),(max),( 21 jifjifjifjif n

),(...),( ),(),( 211 jifjifjifjif n

2/1222

212 ),(...),( ),(),( jifjifjifjif n

Capítulo 2. Filtros

Entorno del píxel (i,j), de tamaño (2m+1) (2n+1):

N(2m+1)(2n+1)(i, j) = { (r, s)ZZ : i-m r i + m; j - n s j + n }

Máscara (o plantilla) g de tamaño (2m+1)(2n+1)

),(...),0(...),(

...............

)0,(...)0,0(...)0,(

...............

),(...),0(...),(

nmgngnmg

*( , ) ( , )· ( , )r s N

f i j f i r j s g r s

Filtro de promedio:

05.01.005.0

1.04.01.0

05.01.005.0Filtro de promedio:

726252423222

868675303030

867530303045

863030304545

303030454545

30x0.05+30x0.1+30x0.5+30x0.1+30x0.4+75x0.1+30x0.05+75x0.1+86x0.05 = 41

05.01.005.0

1.04.01.0

05.01.005.0

Filtro de promedio de paso baja:

• Elementos de la máscara aij 0

• Suman la unidad1

04.004.004.004.004.0

04.004.004.004.004.0Filtro de promedio de paso baja:

00002.0

0002.00

002.000

02.0000

2.00000Filtro de promedio de paso baja:

025.00

25.0125.0

025.00

Filtro de promedio de paso alta:

• Elementos de la máscara positivos y negativos

• Suelen sumar cero

025.00

25.0125.0

025.00Filtro de promedio de paso alta:

I 5·abs(E)

Los filtros de promedio móvil pueden ser:

• Invariantes en el espacio, en cuyo caso, la imagen filtrada se obtiene de la aplicación de la misma máscara a cada uno de los píxeles la imagen,

• Variables en el espacio, cuando el filtro se realiza mediante la aplicación de una colección de máscaras, de manera que a subconjuntos diferentes de píxeles se le aplican máscaras diferentes.

[MIN(f, N)](i, j) = Min { f(r, s): (r,s)N(i ,j) }.

[MAX(f, N)](i, j) = Max { f(r, s): (r,s)N(i ,j) }.

Filtros no lineales:

726252423222

868675303030

867530303045

863030304545

303030454545

Aplicación: Corrección de una iluminación no uniforme:

MIN32x32

[MEDIANA(f, N)](i, j) = Mediana { f(r, s): (r,s)N(i ,j) }.

Filtros no lineales:

726252423222

868675303030

867530303045

863030304545

30303045454575

30 52 63 72 75 75 86 86 86

Filtro MEDIANA

• Atenúa el ruido

• Preserva aristas verticales

• Atenúa el ruido

• Preserva aristas horizontales

Capítulo 2. Filtros Gradiente

Filtros Diferencia:

),1(),(),()( jifjifjifDX

)1,(),(),()( jifjifjifDY

DX ABS UMBRAL

BORDESBORDESImagenImagen

Operador Gradiente: [GRAD(f)](i,j) = ([DX(f)](i,j) , [DY(f)](i,j) )

Capítulo 2. Filtros Diferencia Simétrica

Filtros diferencia simétrica: [SIMDX(f)](i ,j) = ( [DX(f)](i, j) + [DX(f)](i+1, j) )/2

= [f(i+l, j) - f(i-l, j)] / 2

[SIMDY(f)](i ,j) = ( [DY(f)](i, j) + [DY(f)](i, j+1) )/2

= [f(i, j+1) - f(i, j-1)] / 2

Operador diferencia simétrica:

SIMGRAD(f) = (SIMDX(f), SIMDY(f)),

-½ 0 ½

Filtro de PrewittFiltro de Prewitt:

[PREWDX(f)](i,j) = ( [DX(f)](i+l,j+1) + [DX(f)](i,j+1) + [DX(f)](i+l,j) +

[DX(f)](i,j) + [DX(f)](i+l,j-1) + [DX(f)](i,j-l) )/6

= [ f(i+l,j+l) + f(i+l,j) + f(i+l,j-l) - f(i-l,j+l) - f(i-1,j) - f(i-l,j-l)) ]/6.

PREWGRAD(f) = (PREWDX(f) , PREWDY(f))

-1 0 1

-1 -1 -1

Filtro de SobelFiltro de Sobel:

SOBGRAD(f) = (SOBDX(f), SOBDY(f)).

-1 0 1

-2 0 2

-1 0 1

-1 -2 -1

Filtro de Roberts:

),1()1,(

2 , )1,1(),(

2),()( jifjifjifjifjifROBGRAD

Capítulo 2. Matrices de relación espacial

• Se pretenden analizar las relaciones espaciales entre los píxeles con tonos de gris parecidos

• Se establece una relación espacial

R(r, s) : (i, j) (i + r, j + s)

• Dada una relación R, representaremos por hR(p, q) el número de pares de píxeles (i, j) y (i´,j´) tales que:

• (i, j) R (i´, j´) , es decir, (i, j) está relacionado con (i´, j´)• f(i, j) = p y f(i´, j´) = q

)1,1(...)0,1(...)0,1(

...............

)1,(...),(...)0,(

...............

)1,0(...),0(...)0,0(

LLhLhLh

Lrhsrhrh

Matriz de relación espacial

• Búsqueda de texturas

• Relación espacial: R2,0

• Imagen binaria (textura):

• Matriz de relación espacial:

• ¿Texturas más finas?

•Relación espacial: R1,0

• ¿Texturas?

• ¿Texturas? ¿Bordes?

303040

031414

314030

140404

Examen Febrero 04:¿Cómo detectarías la textura de una imagen constituida por dos elementos de textura de tamaño 3232 que se repiten según se muestra en la figura 3?

Respuesta:

Mediante la matriz de relación espacial tomando como relación espacial la siguiente:

R0,64 : (i, j) (i , j + 64)o bien, R64,0 : (i, j) (i + 64, j)

Dicha matriz va a tener todos sus elementos nulos fuera de la diagonal principal

Capítulo 2. La transformada de Fourier

• Jean Baptiste Joseph FourierFourier presentó en 1807 sus resultados sobre la propagación y difusión del calor en el Instituto de Francia en los cuales proponía que una señal periódica se podía representar mediante series sinusoidales.

• Representación de ondas cuadradas:

1)()( xsenxsenxsenxsenxsenxf

Transformada de Fourier:

• ¿Qué es? Es una descomposición de la imagen en estructuras periódicas.

• La variables u y v se llaman frecuencias absolutas. También se pueden utilizar

las variables 1 = 2u y 2 = 2y, que se llaman frecuencias angulares.

• Su magnitud se llama espectro de Fourier:

• Ángulo de fase:

dxdyeyxfvuF yvxui )(2),(),(

)()cos( xisenxe ix

),(),(),( 22 vuIvuRvuF

),(),(

vuIarctangvu

F(u,v)

Transformada inversa de Fourier:

Interpretación de la Transformada de Fourier: Nos da los coeficientes de ponderación en las diferentes frecuencias de las funciones exponenciales complejas (patrones sinusoidales) que nos conducen al valor de la función f(x,y) como límite de estas sumas ponderadas.

Propiedades de la Transformada de Fourier:

Operador lineal

Convolución

dudvevuFyxf yvxui )(2),(),(

., )),,(()),(()),(),(( RbRayxgbTyxfaTyxbgyxafT

dsdttysxgtsfyxgf ),(),(),(

),(),(),(()),(()),(( vuGvuFyxgTyxfTyxgfT

Ejemplo:

a xMxf

dxexfuF iux2)()(

iuxdxMe 2

iuaiua

uasenM

uasenaM

)2(2 uaaMsenc

Fuente puntual: Función delta de Dirac

Cualquier imagen se puede considerar como una suma de fuentes puntuales.

La función que transforma una fuente puntual se llama función de

esparcimiento.

caso otroen 0

)2/(1 ),2/(1 si ),(

2 nynxnyxn

,...2,1 ,1),( ndxdyyxn 1/2n

nusenyxT n /

)/()),((

Capítulo 2. La transformada de Fourier discreta

u = 0,1,2,…,M-1, v = 0,1,2,…,N-1

Inversa:

m = 0,1,2,…,M-1, n = 0,1,2,…,N-1

enmfMN

)0,0(M

),(),(M

evuFnmf

Log (Magnitud) Fase

Reconstrucción a partir de la magnitud

(con fase=0)

Reconstrucción a partir de la fase (con módulo constante)

Ejemplo:

6/13/16/1

0 1 ( 1) 0 0 0 1 0 0 ( 1)2 2 2 2 2

3 3 3 3 3 3 3 3 3 31 1 1 1 1 1( , )

9 6 6 3 6 6

u v u v u v u v u vi i i i i

F u v e e e e e

2 / 3 2 / 3 2 / 3 2 / 312

54iv iv iu iue e e e

11 cos(2 / 3) cos(2 / 3)

m = -1 0 1

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