Post on 04-Jul-2015
CAPÍTULO 5
Modelamiento matemático
Modelamiento matemático
Cinéticas de producción de biomasa, formación de producto y utilización de sustrato
¿Cuál es el objetivo?
Maximizar utilidades
Maximizar la eficiencia de la utilización de recursos
Optimizar la formación de producto por las células
¿Cuál es el objetivo?
Maximizar utilidades
Maximizar la eficiencia de la utilización de recursos
Optimizar la formación de producto por las células
Producir la mayor cantidad de producto en el menor
tiempo con el menor costo
¿Qué necesitamos?
Describir cuantitativamente los sistemas de cultivo de células
Obtener las cinéticas del proceso
Las cinéticas nos permiten:
Predecir rendimientos Predecir tiempos de reacción Ayudan a determinar el tamaño del
biorreactor (escalamiento)
¿Cómo se obtienen?
Generalmente se obtienen de experimentos efectuados en biorreactores de pequeña escala.
Modelos matemáticos
Un modelo matemático es una descripción matemática de un sistema físico
Un buen modelo matemático se enfoca en aspectos importantes que proporcionen resultados útiles
Los modelos matemáticos son usados ampliamente en cualquier rama de la ciencia e ingeniería
Tarea 1
Investigue cuáles son los tipos de modelos
Ejemplos:
Mecanístico Empírico
Ejemplos de modelos matemáticos
Ecuaciones de cinética química
La ecuación de Michaelis-Menten
Ecuación cinética de primer orden
nPS
SkdtSd
dtSd
ndtPd
SnkdtPd
Reacción
Velocidad de consumo de S Velocidad de formación de P
Combinando ecuaciones
Ecuación de Michaelis-Menten
SK
SVV
m max
Sk
SV
dtSd
m max
dtSd
YdtPd
Velocidad de consumo de S Velocidad de formación de P
Combinando ecuaciones
Sk
SVY
dtPd
m max
Modelos matemáticos:Parámetros, variables y restricciones
Uso de ecuaciones diferenciales con variables que cambian con el tiempo
Uso de parámetros que no cambian con el tiempo y que dependen de las condiciones del sistema
Las variables se expresan como concentraciones Pueden estar restringidos a situaciones de pH o
temperatura constantes Pueden o no considerar efectos de transferencia de
masa
¿Qué ocurre cuando realizamos una fermentación?
Las células crecen ya sea aumentando en número o en tamaño
Al crecer, toman materiales del ambiente Al crecer, liberan materiales de origen
metabólico
¿Qué determina la cinética de población celular?
Medio ambiente
Multicomponente Reacciones en solución Equilibrio ácido-base Temperatura y pH variables Cambio en propiedades
reológicas Multifase No-uniformidad espacial
Población celular
Multicomponente Heterogeneidad celular Reacciones múltiples Controles internos adaptabilidad Cambio genético
Nutrientes
Productos
Calor
Interacciónmecánica
Diferentes perspectivas para la cinética de población celular
No estructurado
La población celular se trata como un soluto de
un componente
Descripción celular promedio
multicomponente
Un solo componente, células individuales
heterogéneas
Descripción multicomponente de la
heterogeneidad de célula a célula
Estructurado
Seg
rega
doN
o se
greg
ado
Promediocelular
Promediocelular
Crecimiento balanceado
Crecimiento balanceado
Diferentes perspectivas para la cinética de población celular
No estructurado
La población celular se trata como un soluto de
un componente
Descripción celular promedio
multicomponente
Un solo componente, células individuales
heterogéneas
Descripción multicomponente de la
heterogeneidad de célula a célula
Estructurado
Seg
rega
doN
o s
egre
gad
o
Promediocelular
Promediocelular
Crecimiento balanceado
Crecimiento balanceado
Caso m
ás id
ealiz
ado
Diferentes perspectivas para la cinética de población celular
No estructurado
La población celular se trata como un soluto de
un componente
Descripción celular promedio
multicomponente
Un solo componente, células individuales
heterogéneas
Descripción multicomponente de la
heterogeneidad de célula a célula
Estructurado
Seg
reg
ado
No
segr
egad
o
Promediocelular
Promediocelular
Crecimiento balanceado
Crecimiento balanceado
Caso re
al
Tarea 2
Investigue referente a los modelos estructurados en procesos fermentativos.
Reactores ideales
El reactor por lote ideal
Aplicando un balance de masa
RiconsumeRigeneraRisaleRientrai
R VrVrVcVcdt
dcV ,,,,
0 0 0 0
Reactores ideales
El reactor continuo de tanque agitado ideal
Aplicando un balance de masa
RiconsumeRigeneraisaleientrai
R VrVrFcFcdt
dcV ,,,,
0 0
Tarea 3
Derive la ecuación del balance de masa para un reactor de lote alimentado
Aplique las ecuaciones de balances de masa para un reactor por lotes, continuo y de lote alimentado; considerando dextrosa como sustrato
¿Qué se necesita entonces?
Se necesita de ecuaciones que permitan calcular las velocidades de generación o consumo.
(?), fr igenera
(?), fr iconsume
Cinéticas de cultivo en lote
Fase exponencial
Velocidad de producción de células
Conforme se incrementa el número de células, la velocidad de biorreacción también se incrementará. Así, si otras condiciones permanecen constantes, la velocidad de incremento de las células (biomasa) depende de la concentración de células presentes en el biorreactor.
xdtdx
Eliminando la proporcionalidad
xdtdx
Donde:
es la velocidad específica de crecimiento
El modelo de crecimiento exponencial
El modelo de crecimiento exponencial
La velocidad específica de crecimiento () describe qué tan rápido se están reproduciendo las células.
Mientras mayor sea la velocidad específica de crecimiento mayor será la velocidad a la que están creciendo las células
Cuando las células no están creciendo, la velocidad específica de crecimiento es cero.
Durante la fase exponencial, la velocidad específica de crecimiento es prácticamente constante.
Resolviendo el modelo de crecimiento exponencial
xdtdx
Integrando la ecuación anterior entre los límites:
t = t0, x = x0
t = t, x = x
Y considerando constante
00
ttexx
Tarea 4
Evalúe la ecuación del crecimiento exponencial utilizando el Microsoft Excel con los siguientes valores
x0 = 2 g/l t0 = 0 = 0.01 h-1
Genere una gráfica desde 0 h hasta 240 h. ¿Qué sucede si = 0.05 h-1?
Limitaciones del modelo de crecimiento exponencial
Supone que la velocidad específica de crecimiento es constante
Esto es cierto durante el crecimiento exponencial o cuando cesa el crecimiento
Predice que la biomasa nunca deja de crecer
La disponibilidad de nutrientes no es ilimitada y conforme su disponibilidad disminuye, la velocidad de crecimiento celular disminuirá y eventualmente se detendrá.
Relación entre el tiempo de duplicación y la velocidad específica de crecimiento
El tiempo de duplicación es una expresión que describe la velocidad de crecimiento celular.
El tiempo de duplicación representa el tiempo que se requiere para que la población celular aumente al doble.
Durante el crecimiento exponencial, el tiempo de duplicación es prácticamente constante.
Relación entre el tiempo de duplicación y la velocidad específica de crecimiento
11
ttexx
Partiendo del modelo de crecimiento exponencial
Tomando logaritmos
11
ln ttx
x
Si la biomasa se incrementa al doble y se tiene que tD = t2 – t1
2lnDt
El nutriente que limita el crecimiento
La disponibilidad de nutrientes tiene una influencia principal en la velocidad específica de crecimiento.
Si un nutriente se encuentra disponible en concentraciones que limitan el crecimiento de las células, entonces se dice que este nutriente limita el crecimiento
El nutriente que limita el crecimiento
Algunas fermentaciones se diseñan para que la fuente de carbono sea la limitante
En otras, la fuente de nitrógeno es limitante En la mayoría de las fermentaciones aerobias a gran
escala, la disponibilidad de oxígeno será limitante En algunas fermentaciones se controla
intencionalmente la disponibilidad de un nutriente para disminuir o detener la velocidad de crecimiento
La cinética de crecimiento tipo Monod
El crecimiento de biomasa depende de la disponibilidad de nutriente
La cinética de crecimiento tipo Monod
En 1942, Monod propone la siguiente ecuación que describe el efecto del nutriente limitante en la velocidad específica de crecimiento
xdtdx
sK
s
s
max
sK
sx
dt
dx
s
max
Parámetros del modelo de Monod
La velocidad específica de crecimiento máxima es la máxima velocidad que se alcanza cuando el nutriente que limita el crecimiento no está limitado.
sK
sx
dt
dx
s
max
Parámetros del modelo de Monod
La constante de Monod es la concentración del nutriente limitante en la que la velocidad específica de crecimiento es la mitad de la máxima velocidad que puede ser alcanzada.
sK
sx
dt
dx
s
max
Tarea 5
Investigue cuáles son las diferencias o similitudes entre las siguientes ecuaciones:
Ecuación de Monod Ecuación de Michaelis-Menten (estándar) Ecuación de Langmuir (isoterma de adsorción)
Otras formas de cinéticas de crecimiento
Tessier
sKse 1max
1max 1 sK s
Moser
Contois
sBx
s
max
Levenspiel
sK
s
s
s
s
n
max
max
1
pi KssK
s2
max
Andrews
Modelos de crecimiento no estructurados
En este tipo de modelos se considera que la velocidad de aumento en la masa celular es una función solamente de la masa celular.
xfdt
dx
Modelos de crecimiento no estructurados
xdt
dx
Malthus
Logístico
xkxdt
dx 1
Gompertz de dos parámetros
tkxedt
dx
Gompertz detres parámetros
axkxedt
dx t
Coeficientes de rendimiento
Un rendimiento (o coeficiente de rendimiento) se define como la cantidad de producto que se produce a partir de una entrada dada.
Por ejemplo, si se producen 0.6 g de ácido cítrico a partir de 1 g de glucosa, entonces el rendimiento es de 0.6 g/g.
Los rendimientos varían durante la fermentación y por esta razón se utilizan coeficientes de rendimiento promedio.
La importancia de los coeficientes de rendimiento
Los coeficientes de rendimiento son una medida de la eficiencia de una conversión particular.
Coeficientes de rendimiento optimizados significan mayor producción con bajo consumo de materia prima.
Se utilizan para comparar alternativas de fermentación
Se utilizan junto a datos cinéticos para modelar la fermentación.
Un mayor rendimiento no implica una mayor productividad.
Tipos de coeficientes de rendimiento
Coeficiente de rendimiento de biomasa
Los coeficientes de rendimiento mayormente utilizados son:
10
01
ss
xxY sx
01
10
xx
ssY xs
1
01
ss
ppY
osp
Coeficiente de rendimiento de sustrato
Coeficiente de rendimiento de producto
Tarea 6
Investigue sobre coeficientes estequiométricos de rendimiento en procesos de fermentación y su diferencia con los coeficientes de rendimiento vistos anteriormente
Cinética de consumo de sustrato
El consumo de sustrato se clasifica en:
Asociado al crecimiento Paralelo
Consumo de sustrato asociado al crecimiento
En este tipo de cinética se considera que la velocidad de consumo de sustrato es proporcional a la velocidad de crecimiento de biomasa.
dt
dx
Ydt
ds
sx
1
Consumo de sustrato paralelo
Este tipo de cinética considera un consumo paralelo de sustrato para crecimiento y para otros requerimientos energéticos o de mantenimiento
mxdt
dx
Ydt
ds
sx
1
Consumo de sustratopara crecimiento
Consumo de sustratopara mantenimiento
Cinéticas de crecimiento y consumo de sustrato
Modelos no acoplados al consumo de sustrato
xkxdt
dx 1
mxdt
dx
Ydt
ds
sx
1
xkxdt
dx 1
mxxkxYdt
ds
sx
11
Cinéticas de crecimiento y consumo de sustrato
Modelos acoplados al consumo de sustrato
sK
sx
dt
dx
s
max
mxdt
dx
Ydt
ds
sx
1
mxsK
sx
Ydt
ds
ssx
max1
sK
sx
dt
dx
s
max
Tarea 7
Integración analítica y numérica (parámetros conocidos)
Integre analíticamente la siguiente ecuación y genere una tabla en Excel donde la evalúe desde t = 0 hasta t = 150 h, en incrementos de 1.5 h. Utilice para esto k = 0.075 y β = 0.14. ¿Qué unidades deben tener k y β? Integre considerando que en t = 0, x = 1.638 g/l.
xkxdt
dx 1
Integre numéricamente la ecuación anterior utilizando el método de Runge-Kutta y compare las dos soluciones.
Cinética de formación de producto
La formación de producto se clasifica en:
Asociada al crecimiento No asociada al crecimiento Combinada
Formación de producto asociada al crecimiento
Asociada al crecimiento significa que la velocidad de formación de producto es proporcional a la velocidad de formación de biomasa. Cuando el crecimiento cesa, la formación de producto también cesa.
dt
dxY
dt
dpxp
Formación de producto no asociada al crecimiento
No asociada al crecimiento significa que la velocidad de formación de producto no es proporcional a la velocidad de formación de biomasa. En algunos casos, la formación de producto continuará después de que haya cesado el crecimiento.
xdt
dp
La cinética de Leudecking-Piret
En 1959, Leudecking y Piret consideraron que la formación de producto era combinada y toma en cuenta la parte asociada al crecimiento y la parte no asociada al crecimiento
xdt
dxY
dt
dpxp
Cinéticas de crecimiento, consumo de sustrato y formación de producto
Modelos no acoplados al consumo de sustrato
xkxdt
dx 1
mxdt
dx
Ydt
ds
sx
1
xkxdt
dx 1
mxxkxYdt
ds
sx
11
xdt
dxY
dt
dpxp xxkxY
dt
dpxp 1
Cinéticas de crecimiento y consumo de sustrato
Modelos acoplados al consumo de sustrato
sK
sx
dt
dx
s
max
mxdt
dx
Ydt
ds
sx
1
mxsK
sx
Ydt
ds
ssx
max1
sK
sx
dt
dx
s
max
xdt
dxY
dt
dpxp x
sK
sxY
dt
dp
sxp
max
Algunos comentarios
El modelado matemático de procesos fermentativos es un aspecto de la biotecnología muy estudiado.
Los modelos nos permiten entender de mejor manera los procesos complejos ya que permiten analizar estos procesos sistemáticamente y permiten identificar parámetros y variables importantes.
¿Cómo resolvemos estas ecuaciones?
Analíticamente (si es posible)
Numéricamente (Runge-Kutta)
Independientemente de la técnica utilizada, se tienen problemas de valor inicial ya que se tienen derivadas con respecto al tiempo
0
0
0
0
ppssxx
t
Software comercial
Programación
¿Qué valor le damos a los parámetros?
Algunos valores se reportan en la literatura pero dependen de las condiciones de fermentación como el pH, la temperatura o las fuentes de carbono y nitrógeno
Entonces ¿qué podemos hacer?
Necesitamos realizar un ajuste de datos experimentales mediante una optimización (regresión)
Optimización de parámetros
Se obtienen datos experimentales Se escoge el modelo que se probará para
determinar su capacidad de ajustar tales datos
Se realiza la optimización de parámetros Se obtienen valores optimizados de los
parámetros
¿Cuáles son las opciones?
Si las ecuaciones del modelo son explícitas, se puede utilizar software comercial como el Excel o el Statistica para realizar la optimización de parámetros.
Si las ecuaciones del modelo son implícitas (ecuaciones diferenciales), se tiene que utilizar software especializado.
Tarea 8
Ajuste de datos experimentales con Excel
Los siguientes datos experimentales se obtuvieron durante la producción de un metabolito secundario en un reactor airlift. Ajuste estos datos al modelo logístico utilizando el Solver del Excel.
t, h x, g/l
0 1.638
16 3.465
24 4.773
40 6.058
48 6.596
72 6.44
96 6.681
120 7.207
142 7.48
166 7.658
xkxdt
dx 1