CARRERA PROFESIONAL: Turismo, Hotelería y Gastronomía

ASIGNATURA: MATEMATICA

TEMA: “NUMEROS REALES”

El conjunto formado por los números racionales e irracionales es el conjunto de los números reales, se designa por R .

Con los números reales podemos realizar todas las operaciones, excepto la radicación de índice par y radicando negativo y la división por cero.

Una ecuación de segundo grado es toda expresión de la forma:

ax2 + bx + c = 0 con a ≠ 0.

Para resolver ecuaciones de segundo grado utilizamos la siguiente fórmula:

Si es a<0, multiplicamos los dos miembros por (−1):

Estudio de las soluciones de la ecuación de 2º grado:

ax2 + bx +c = 0

b2 − 4ac se llama discriminante de la ecuación y permite averiguar en cada ecuación, el número de soluciones.

Podemos distinguir tres casos:b2 − 4ac > 0

La ecuación tiene dos soluciones, que son números reales distintos.

b2 − 4ac = 0 La ecuación tiene una solución doble:

b2 − 4ac < 0 La ecuación no tiene soluciones reales:

Las ecuaciones bicuadradas son ecuaciones de cuarto grado sin términos de grado impar:

ax4 + bx2 + c = 0  Resolución de ecuaciones bicuadradas Para resolver ecuaciones bicuadradas,

efectuamos el cambio x2 = t, x4 = t2; con lo que se genera una ecuación de segundo grado con la incógnita t:

at2 + bt + c = 0

Por cada valor positivo de t habrá dos valores de x:

Consideremos la inecuación:

La resolveremos aplicando los siguientes pasos:

1º Quitar corchetes:

2º Quitar paréntesis:

3º Quitar denominadores:

4º Agrupar los términos en x a un lado de la desigualdad y los términos independientes en el otro:

5º Efectuar las operaciones: 6º Como el coeficiente de la x es negativo

multiplicamos por −1, por lo que cambiará el sentido de la desigualdad:

7º Despejamos la incógnita:

Obtenemos la solución como una desigualdad, pero ésta también podemos expresarla:

De forma gráfica:

Como un intervalo: [3, +∞)

Consideremos la inecuación: x2 − 6x + 8 > 0

La resolveremos aplicando los siguientes pasos: 1ºIgualamos el polinomio del primer miembro a cero y

obtenemos las raíces de la ecuación de segundo grado: x2 − 6x + 8 = 0

2º Representamos estos valores en la recta real. Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo:

P(0) = 02 − 6 · 0 + 8 > 0 P(3) = 32 − 6 · 3 + 8 = 17 − 18 < 0 P(5) = 52 − 6 · 5 + 8 = 33 − 30 > 0

3º La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el mismo signo que el polinomio:

S = (-∞, 2) (4, ∞) x2 + 2x +1 ≥ 0 x2 + 2x +1 = 0

(x + 1)2 ≥ 0

Como un número elevado al cuadrado es siempre positivo, la solución es R:

x2 + x +1 > 0 x2 + x +1 = 0

  Cuando no tiene raíces reales, le damos al polinomio cualquier valor si: El signo obtenido coincide con el de la desigualdad, la solución es R El signo obtenido no coincide con el de la desigualdad, no tiene solución

    Solución

x2 + 2x +1 ≥ 0 (x + 1)2 ≥ 0

x2 + 2x +1 > 0 (x + 1)2 > 0

x2 + 2x +1 ≤ 0 (x + 1)2 ≤ 0 x = − 1

x2 + 2x +1 < 0 (x + 1)2 < 0

  Solución

x2 + x +1 ≥ 0

x2 + x +1 > 0

x2 + x +1 ≤ 0

x2 + x +1 < 0

Las inecuaciones racionales se resuelven de un modo similar a las de segundo grado, pero hay que tener presente que el denominador no puede ser cero:

1º Hallamos las raíces del numerador y del denominador:

x − 2 = 0      x = 2 x − 4 = 0      x = 4 2º Representamos estos valores en la recta real,

teniendo en cuenta que las raíces del denominador, independientemente del signo de la desigualdad, tienen que ser abiertas.

3ºTomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo:

4º La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el mismo signo que la fracción polinómica.

S = (-∞, 2] (4, ∞)

Pasamos el 2 al primer miembro y ponemos a común denominador:

Hallamos las raíces del numerador y del denominador: −x + 7 = 0      x = 7 x − 2 = 0        x = 2 Evaluamos el signo:

S = (-∞, 2) (7, ∞)

Valor absoluto de un número real a, se escribe |a|, es el mismo número a cuando es positivo o cero, y opuesto de a, si a es negativo.

|5| = 5            |-5 |= 5         |0| = 0 |x| = 2           x = −2           x = 2 |x|< 2        − 2 < x < 2        x (−2, 2 ) |x|> 2            x< 2 ó x>2     (−∞, 2 ) (2, +∞) |x −2 |< 5     − 5 < x − 2 < 5     − 5 + 2 < x <  5 + 2     − 3 < x < 7

PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO 1 Los números opuestos tienen igual valor absoluto: |a| = |−a|

|5| = |−5| = 5 2El valor absoluto de un producto es igual al producto de los valores

absolutos de los factores: |a · b| = |a| ·|b| |5 · (−2)| = |5| · |(−2)|      |− 10| = |5| · |2|     10 = 10 3El valor absoluto de una suma es menor o igual que la suma de los

valores absolutos de los sumandos: |a + b| ≤ |a| + |b| |5 + (−2)| ≤ |5| + |(−2)|      |3| = |5| + |2|     3 ≤ 7

El valor absoluto o módulo[1] de un número real es su valor numérico sin tener en cuenta su signo, sea este positivo (+) o negativo (-). Así, por ejemplo, 3 es el valor absoluto de 3 y de -3.

El valor absoluto está relacionado con las nociones de magnitud, distancia y norma en diferentes contextos matemáticos y físicos. El concepto de valor absoluto de un número real puede generalizarse a muchos otros objetos matemáticos, como son los cuaterniones, anillos ordenados, cuerpos o espacios vectoriales:

 

Gráfica de la función valor absoluto. Propiedades fundamentales No negatividad Definición positiva Propiedad multiplicativa Propiedad aditiva

Otras propiedades◦ Simetría◦ Identidad de indiscernibles◦ Desigualdad triangular◦ (equivalente a la propiedad aditiva)◦ Preservación de la división

(equivalente a la propiedad multiplicativa)

Otras dos útiles inecuaciones son:

Estas últimas son de gran utilidad para la resolución de inecuaciones, como por ejemplo:

Nuestro objetivo en este capítulo es lograr que el estudiante resuelva ecuaciones e inecuaciones que involucran valor absoluto de expresiones algebraicas de la forma ,donde y son constantes reales con , y es una variable real. Para esto conviene recordar la definición de valor absoluto.

 Definición:

Para cada número real , se define su valor absoluto y se denota, de la siguiente manera:

a.     ò b. si  

 Esta definición frecuentemente se denota de la siguiente manera:

Aplicando esta definición o expresiones de la forma se tiene: 

Resuelva por la propiedad 7: o o o

ObservaciónTodas las ecuaciones que involucran valor absoluto se pueden resolver usando la definición. Para ilustrar esto resolveremos la ecuación anterior usando la definición de valor absoluto:

Por lo tantoCon esta información construimos la tabla siguiente:

Así el conjunto solución ,de {-2, 5}

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