CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDENΒ Β· 2020. 5. 15.Β Β· CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN (RLC En paralelo, sin...

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CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN Cuando tenemos dos elementos que almacenan energΓ­a (distintos) o

en el caso que no se pueda determinar un equivalente, entre dos inductancias o dos capacitores.

C

L1 2

R

VsR C

IsL

1

2

C2

R

C1Is

1- 2-

3- 4-R1

L2

1

2

VsL1

1

2

R2

CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN (RLC En serie ,sin Fuente)

Si derivamos y ordenamos nos queda

EcuaciΓ³n diferencial de segundo orden

𝑖 ሻ𝐿(0 = 𝐼0 𝑣 αˆ»π‘(0 = 𝑉0

𝐿𝑑2𝑖

𝑑𝑑2+ 𝑅

𝑑𝑖

𝑑𝑑+𝑖

𝐢= 0

Proponemos como

soluciΓ³n una funciΓ³n

exponencial

𝑖 = 𝐴𝑒𝑠𝑑

𝑑𝑖

𝑑𝑑= 𝑠𝐴𝑒𝑠𝑑

𝑑2𝑖

𝑑𝑑2= 𝑠2𝐴𝑒𝑠𝑑

𝐿𝑠2𝐴𝑒𝑠𝑑 + 𝑅𝑠𝐴𝑒𝑠𝑑 +1

𝑐𝐴𝑒𝑠𝑑 = 0

Para poder resolver esta ecuaciΓ³n es necesario

conocer el valor de i(0) y de su primer derivada 𝑑𝑖(0ሻ

𝑑𝑑

β†’ 𝑖 ሻ(0 = 𝐼0

de (1) tenemos

𝐿. 𝑉. 𝐾 β†’ 𝑖𝑅 + 𝐿𝑑𝑖

𝑑𝑑+1

π‘ΰΆ±βˆ’βˆž

𝑑

𝑖𝑑𝑑 = 0 (1ሻ

𝑖 ሻ(0 𝑅 + 𝐿𝑑𝑖 ሻ(0

𝑑𝑑+ 𝑉0 = 0

β†’ 𝑑𝑖 ሻ(0

𝑑𝑑= βˆ’

1

𝐿(𝑖 ሻ(0 𝑅 + 𝑉0ሻ

β€’ Para esta situaciΓ³n vamos a determinar la

corriente en el inductor.

aa

Io

-

R L1 2

i(t) CVo

aa

a

+

Figura 1

CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN (RLC En serie ,sin Fuente)

𝑠2𝐿 + 𝑠𝑅 +1

𝐢= 0

a b c

𝑆1βˆ’2 =βˆ’π‘ Β± 𝑏2 βˆ’ 4π‘Žπ‘

2π‘Žβ†’ 𝑆1βˆ’2=

βˆ’π‘… Β± 𝑅2 βˆ’ 4𝐿/𝐢

2𝐿→ 𝑆1βˆ’2=

βˆ’π‘…

2𝐿± (

𝑅

2𝐿ሻ2 βˆ’

4 𝐿

4 𝐢𝑙2

𝑆2 = βˆ’π‘…

2πΏβˆ’ (

𝑅

2𝐿ሻ2 βˆ’

1

𝐿𝐢

EcuaciΓ³n caracterΓ­stica𝐴𝑒𝑠𝑑 𝑠2𝐿 + 𝑠𝑅 +1

𝑐= 0 β†’

𝑆1 = βˆ’π‘…

2𝐿+ (

𝑅

2𝐿ሻ2 βˆ’

1

𝐿𝐢𝑆1 = βˆ’ Ξ± + 𝛼2 βˆ’ πœ”0

2

𝑆2 = βˆ’ Ξ± βˆ’ 𝛼2 βˆ’ πœ”02

Ξ± =𝑅

2𝐿; πœ”0 =

1

𝐿𝐢

CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN (RLC En serie ,sin Fuente)

Los dos valores de β€œ S ”, indican que hay dos posibles valores para la corriente.

Respuesta natural del circuito

π’Š(π’•αˆ» = π‘¨πŸπ’†π’”πŸπ’• + π‘¨πŸπ’†

π’”πŸπ’•

Discriminante

𝑆1βˆ’2 = βˆ’ Ξ± Β± 𝛼2 βˆ’ πœ”02

Ξ± =𝑅

2𝐿; πœ”0 =

1

𝐿𝐢

𝛼 𝑒𝑠 𝑒𝑙 π‘“π‘Žπ‘π‘‘π‘œπ‘Ÿ 𝑑𝑒 π‘Žπ‘šπ‘œπ‘Ÿπ‘‘π‘–π‘”π‘’π‘Žπ‘šπ‘–π‘’π‘›π‘‘π‘œ medida en (Np/s)

segundo.

πœ”0 se la conoce como frecuencia resonante o frecuencia natural

no amortiguada medida en (rad/s)

S1 y S2 se denominan frecuencias naturales en (Np/s) porque se

asocian a las respuestas naturales del circuito.

CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN (RLC En serie ,sin Fuente)

Analizando el Discriminante

RESPUESTA SOBREAMORTIGUADA

* Si el Discriminante es mayor que cero, se tiene dos raΓ­ces reales y distintas.

𝑆1βˆ’2 =βˆ’π‘…

2𝐿± 𝛼2 βˆ’ πœ”0

2

Discriminante

Ξ± > πœ”0

π’Š(π’•αˆ» = π‘¨πŸπ’†π’”πŸπ’• + π‘¨πŸπ’†

π’”πŸπ’•

CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN (RLC En serie ,sin Fuente)

RESPUESTA CRITICAMENTE AMORTIGUADA

* Si el Discriminante es igual a cero, se tienen dos raΓ­ces reales, iguales y negativas.

tetAAti βˆ’+= )()( 21

Analizando el Discriminante

𝑆1βˆ’2 =βˆ’π‘…

2𝐿± 𝛼2 βˆ’ πœ”0

2

Discriminante

Ξ± = πœ”0

Nota: determinar 𝑖(π‘‘αˆ», tener presente que para este caso, la propuesta de una funciΓ³n exponencial es incorrecta.

CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN (RLC En serie ,sin Fuente)

RESPUESTA SUBAMORTIGUADA

* Si el Discriminante es menor a cero, se obtienen dos raΓ­ces complejas conjugadas.

)()( += βˆ’ tsenAeti d

t

𝑖 𝑑 = π‘’βˆ’π›Όπ‘‘ (𝐡1 π‘π‘œπ‘  𝑀𝑑𝑑 + 𝐡2 𝑠𝑒𝑛 αˆ»π‘€π‘‘π‘‘Analizando el Discriminante

𝑆1βˆ’2 =βˆ’π‘…

2𝐿± 𝛼2 βˆ’ πœ”0

2

Discriminante

Ξ± < πœ”0

CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN (RLC En serie ,sin Fuente) Caso Subamortiguado

πœ”π‘‘ frecuencia natural amortiguada

Ξ± < πœ”0 Ξ± =𝑅

2𝐿; πœ”0 =

1

𝐿𝐢

𝑆1 = βˆ’ Ξ± + βˆ’ πœ”02 βˆ’ 𝛼2 = βˆ’ Ξ± + π‘—πœ”π‘‘

𝑆2 = βˆ’ Ξ± βˆ’ βˆ’ πœ”02 βˆ’ 𝛼2 = βˆ’ Ξ± βˆ’ π‘—πœ”π‘‘

para lo cual 𝑗 = βˆ’1 𝑦 πœ”π‘‘ = πœ”02 βˆ’ 𝛼2

𝑆1 βˆ’2 = βˆ’ Ξ± Β± π‘—πœ”π‘‘ π‘Ÿπ‘’π‘’π‘šπ‘π‘™π‘Žπ‘§π‘Žπ‘›π‘‘π‘œ 𝑒𝑛 π’Š(π’•αˆ» = π‘¨πŸπ’†π’”πŸπ’• + π‘¨πŸπ’†

π’”πŸπ’•

𝑖(π‘‘αˆ» = 𝐴1𝑒(βˆ’ Ξ± + π‘—πœ”π‘‘αˆ»π‘‘ + 𝐴2𝑒

βˆ’ Ξ± βˆ’ π‘—πœ”π‘‘ 𝑑

𝑖(π‘‘αˆ» = π‘’βˆ’ α𝑑(𝐴1𝑒(π‘—πœ”π‘‘αˆ»π‘‘ + 𝐴2𝑒

βˆ’ π‘—πœ”π‘‘ 𝑑)

Formula de Euler

π‘’βˆ’π‘—πœƒ = cos πœƒ βˆ’ 𝑗 sin πœƒ

π‘’π‘—πœƒ = cosπœƒ + 𝑗 sin πœƒ

𝑖(π‘‘αˆ» = π‘’βˆ’ α𝑑 𝐴1 cosπœ”π‘‘π‘‘ + 𝑗 sinπœ”π‘‘π‘‘ + 𝐴2 cosπœ”π‘‘π‘‘ βˆ’ 𝑗 sinπœ”π‘‘π‘‘

𝑖(π‘‘αˆ» = π‘’βˆ’ α𝑑 (𝐴1cosπœ”π‘‘π‘‘ + 𝐴2 cosπœ”π‘‘π‘‘αˆ» + (𝐴1𝑗 sinπœ”π‘‘π‘‘ βˆ’ 𝐴2𝑗 sinπœ”π‘‘π‘‘αˆ»

𝑖(π‘‘αˆ» = π‘’βˆ’ α𝑑 (𝐴1+𝐴2ሻ cosπœ”π‘‘π‘‘ + (𝐴1βˆ’π΄2αˆ»π‘— sinπœ”π‘‘π‘‘

𝐡1 𝐡2π‘‘π‘œπ‘›π‘‘π‘’ 𝐡1 y 𝐡2, π‘‘π‘œπ‘  π‘π‘œπ‘›π‘ π‘‘π‘Žπ‘›π‘‘π‘’π‘  π‘Žπ‘Ÿπ‘π‘–π‘‘π‘Ÿπ‘Žπ‘Ÿπ‘–π‘  𝑦 π‘žπ‘’π‘’ π‘Žπ‘‘π‘’π‘šπ‘Žπ‘ π‘ π‘œπ‘› π‘›π‘’π‘šπ‘’π‘Ÿπ‘œπ‘  π‘Ÿπ‘’π‘Žπ‘™π‘’π‘  π‘π‘œπ‘Ÿπ‘žπ‘’π‘’ π‘™π‘Ž π’Š 𝒕 𝑒𝑠 π‘Ÿπ‘’π‘Žπ‘™ 𝑒π‘₯𝑖𝑠𝑑𝑒, π‘π‘œπ‘‘π‘’π‘šπ‘œπ‘ escribir lo siguiente:

CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN (RLC En serie ,sin Fuente) Caso Subamortiguado

𝑖(π‘‘αˆ» = π‘’βˆ’ α𝑑 𝐡1 cosπœ”π‘‘π‘‘ + 𝐡2 sinπœ”π‘‘π‘‘

𝐴 sin ΞΈ 𝐴 co𝑠 πœƒ

Podemos expresar en una forma mas apropiada para ver mas simple la respuesta, haciendo lo siguiente:

𝑖(π‘‘αˆ» = π‘’βˆ’ α𝑑 (𝐴𝑠𝑖𝑛θ βˆ— cosπœ”π‘‘π‘‘αˆ» + (π΄π‘π‘œπ‘ ΞΈ βˆ— π‘ π‘–π‘›πœ”π‘‘π‘‘αˆ»

𝑖(π‘‘αˆ» = 𝐴 π‘’βˆ’ α𝑑 𝑠𝑖𝑛(πœ”π‘‘π‘‘ + ΞΈ )

Suma y diferencia de Γ‘ngulos

Senosin(π‘₯ + π‘¦αˆ» = sin π‘₯ βˆ— cos 𝑦 + cos π‘₯ βˆ— sin 𝑦sin(π‘₯ βˆ’ π‘¦αˆ» = sin π‘₯ βˆ— cos 𝑦 βˆ’ cos π‘₯ βˆ— sin 𝑦

Cosenoco𝑠(π‘₯ + π‘¦αˆ» = cos π‘₯ βˆ— cos 𝑦 βˆ’ sin π‘₯ βˆ— sin 𝑦co𝑠(π‘₯ βˆ’ π‘¦αˆ» = cos π‘₯ βˆ— cos 𝑦 + sin π‘₯ βˆ— sin 𝑦

Tangente

tg(π‘₯ + π‘¦αˆ» =𝑑𝑔 π‘₯ +𝑑𝑔 𝑦

1βˆ’ (𝑑𝑔 π‘₯ βˆ—π‘‘π‘” π‘¦αˆ»tg(π‘₯ βˆ’ π‘¦αˆ» =

𝑑𝑔 π‘₯ βˆ’π‘‘π‘” 𝑦

1βˆ’ (𝑑𝑔 π‘₯ βˆ—π‘‘π‘” π‘¦αˆ»

CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN (RLC En paralelo, sin Fuente)

𝑖 ሻ𝐿(0 = 𝐼0 =1

𝐿ࢱ∞

0

𝑣 𝑑 𝑑𝑑

𝑣 αˆ»π‘(0 = 𝑉0

β€’ Para esta situaciΓ³n vamos a determinar

la tensiΓ³n en el capacitor.

Para poder resolver esta ecuaciΓ³n es necesario

conocer el valor de v(0) y de su primer derivada 𝑑𝑣(0ሻ

𝑑𝑑

Derivamos y ordenamos nos queda

𝐿. C. 𝐾 →𝑣

𝑅+1

πΏΰΆ±βˆ’βˆž

𝑑

𝑣𝑑𝑑 + 𝐢𝑑𝑣

𝑑𝑑= 0 (1ሻ

EcuaciΓ³n diferencial de segundo orden

𝐢𝑑2𝑣

𝑑𝑑2+

1

𝑅

𝑑𝑣

𝑑𝑑+𝑣

𝐿= 0

Proponemos como

soluciΓ³n una funciΓ³n

exponencial

𝑣 = 𝐴𝑒𝑠𝑑

𝑑𝑣

𝑑𝑑= 𝑠𝐴𝑒𝑠𝑑

𝑑2𝑣

𝑑𝑑2= 𝑠2𝐴𝑒𝑠𝑑

𝐢𝑠2𝐴𝑒𝑠𝑑 +1

𝑅𝑠𝐴𝑒𝑠𝑑 +

1

𝐿𝐴𝑒𝑠𝑑 = 0

β†’ 𝑣 ሻ(0 = 𝑉0

de (1) tenemos𝑣 ሻ(0

𝑅+ 𝐢

𝑑𝑣 ሻ(0

𝑑𝑑+ 𝐼0 = 0

β†’ 𝑑𝑣 ሻ(0

𝑑𝑑= βˆ’

1

𝐢(𝑣 ሻ(0

𝑅+ 𝐼0ሻ

CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN (RLC En paralelo, sin Fuente)

𝑖 ሻ𝐿(0 = 𝐼0 =1

𝐿ࢱ∞

0

𝑣 𝑑 𝑑𝑑

𝑣 αˆ»π‘(0 = 𝑉0

β€’ Para esta situaciΓ³n vamos a determinar

la tensiΓ³n en el capacitor.

Para poder resolver esta ecuaciΓ³n es necesario

conocer el valor de v(0) y de su primer derivada 𝑑𝑣(0ሻ

𝑑𝑑

Derivamos y ordenamos nos queda

𝐿. C. 𝐾 →𝑣

𝑅+1

πΏΰΆ±βˆ’βˆž

𝑑

𝑣𝑑𝑑 + 𝐢𝑑𝑣

𝑑𝑑= 0 (1ሻ

EcuaciΓ³n diferencial de segundo orden

𝐢𝑑2𝑣

𝑑𝑑2+

1

𝑅

𝑑𝑣

𝑑𝑑+𝑣

𝐿= 0

Proponemos como

soluciΓ³n una funciΓ³n

exponencial

𝑣 = 𝐴𝑒𝑠𝑑

𝑑𝑣

𝑑𝑑= 𝑠𝐴𝑒𝑠𝑑

𝑑2𝑣

𝑑𝑑2= 𝑠2𝐴𝑒𝑠𝑑

𝐢𝑠2𝐴𝑒𝑠𝑑 +1

𝑅𝑠𝐴𝑒𝑠𝑑 +

1

𝐿𝐴𝑒𝑠𝑑 = 0

β†’ 𝑣 ሻ(0 = 𝑉0

de (1) tenemos𝑣 ሻ(0

𝑅+ 𝐢

𝑑𝑣 ሻ(0

𝑑𝑑+ 𝐼0 = 0

β†’ 𝑑𝑣 ሻ(0

𝑑𝑑= βˆ’

1

𝐢(𝑣 ሻ(0

𝑅+ 𝐼0ሻ

CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN (RLC En paralelo, sin Fuente)

𝑠2C + 𝑠1

𝑅+1

𝐿= 0

𝑆1βˆ’2 =βˆ’π‘ Β± 𝑏2 βˆ’ 4π‘Žπ‘

2π‘Žβ†’ 𝑆1βˆ’2=

βˆ’1/𝑅 Β± (1/π‘…αˆ»2βˆ’4𝐢/𝐿

2𝐢→ 𝑆1βˆ’2=

βˆ’1

2𝑅𝐢± (

1

2π‘…πΆαˆ»2 βˆ’

1

𝐿𝐢

EcuaciΓ³n caracterΓ­stica

𝐴𝑒𝑠𝑑 𝑠2C + 𝑠1

𝑅+1

𝐿= 0 β†’

𝑆1 = βˆ’1

2𝑅𝐢+ (

1

2π‘…πΆαˆ»2 βˆ’

1

𝐿𝐢

𝑆1 = βˆ’ Ξ± + 𝛼2 βˆ’ πœ”02

𝑆2 = βˆ’ Ξ± βˆ’ 𝛼2 βˆ’ πœ”02

Ξ± =1

2𝑅𝐢; πœ”0 =

1

𝐿𝐢

𝑆2 = βˆ’1

2π‘…πΆβˆ’ (

1

2π‘…πΆαˆ»2 βˆ’

1

𝐿𝐢

CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN (RLC En paralelo, sin Fuente)

Figura 4

β€’ Respuesta sobreamortiguada Ξ± > πœ”0

𝑣(π‘‘αˆ» = 𝐴1𝑒𝑠1𝑑 + 𝐴2𝑒

𝑠2𝑑

β€’ Respuesta crΓ­ticamente amortiguada Ξ± = πœ”0

β€’ Respuesta sobamortiguada Ξ± < πœ”0

𝑣(π‘‘αˆ» = (𝐴1 + 𝐴2π‘‘αˆ» π‘’βˆ’π›Όπ‘‘

𝑣 𝑑 = π‘’βˆ’π›Όπ‘‘ (𝐡1 π‘π‘œπ‘  𝑀𝑑𝑑 + 𝐡2 𝑠𝑖𝑛 αˆ»π‘€π‘‘π‘‘

𝑣 𝑑 = π΄π‘’βˆ’π›Όπ‘‘ 𝑠𝑖𝑛(πœ”π‘‘π‘‘ + πœƒ)

Ejemplo 8.1

Ejemplo 8.1

Interruptor cerrado mucho tiempo antes de t=0

Interruptor abierto en el tiempo t=0+

Para t > 0, t β†’ ∞

Ejemplo 8.1, Problema de prΓ‘ctica

C2

0.4

Req

10

L1

2

1

2

+

-+

-

+

-

β€’ Condiciones iniciales , Circuito 1

Circuitos de Segundo orden sin fuentes

i(t)

Circuito 1, en estado estable

para t < 0 , S1 esta cerrado

y S2 abierto.

Circuito 2, en t = 0 , S1

se abre y S2 se cierra.

Ahora analizamos para t > 0

S2

1 2

-

Io

Vo

S1

1 2R

i(t)

R= 4 Ohm

aa

a

L1 2aa

R1

1k

-

L = 1 H

1

2

++

t = 0

aa

a

V

10Vdc

CC= 1/3 F

t = 0

𝑖 ሻ𝐿(0 = 𝐼0 = 0 𝐴 𝑣 αˆ»π‘(0 = 𝑉0 = 10 𝑉

𝐿. 𝑉. 𝐾 β†’ 𝑖𝑅 + 𝐿𝑑𝑖

𝑑𝑑+1

π‘ΰΆ±βˆ’βˆž

𝑑

𝑖𝑑𝑑 = 0

β€’ Para el Circuito 2

𝐿𝑑2𝑖

𝑑𝑑2+ 𝑅

𝑑𝑖

𝑑𝑑+𝑖

𝐢= 0

𝐿𝑠2𝐴𝑒𝑠𝑑 + 𝑅𝑠𝐴𝑒𝑠𝑑 +1

𝑐𝐴𝑒𝑠𝑑 = 0

EcuaciΓ³n diferencial de segundo orden

β†’ 𝑆1βˆ’2=βˆ’π‘…

2𝐿± (

𝑅

2𝐿ሻ2 βˆ’

4 𝐿

4 𝐢𝑙2

𝑆1 = βˆ’ Ξ± + 𝛼2 βˆ’ πœ”02 = βˆ’1

𝑆2 = βˆ’ Ξ± βˆ’ 𝛼2 βˆ’ πœ”02 = βˆ’3

Ξ± =𝑅

2𝐿= 2 ; πœ”0 =

1

𝐿𝐢= 3

𝑠2𝐿 + 𝑠𝑅 +1

𝐢= 0

β€’ Determino las raΓ­ces y el tipo de respuesta

Ξ± > πœ”0 π‘…π‘’π‘π‘’π‘’π‘ π‘‘π‘Ž π‘ π‘œπ‘π‘Ÿπ‘’π‘Žπ‘šπ‘œπ‘‘π‘–π‘”π‘’π‘Žπ‘‘π‘Ž

β€’ La respuesta en este caso de corriente es

𝑖(π‘‘αˆ» = 𝐴1π‘’βˆ’π‘‘ + 𝐴2𝑒

βˆ’3𝑑 (1)

β€’ Para determinar las constante, partimos de la condiciΓ³n inicial y evaluamos la funciΓ³n en t=0

𝑖(0ሻ = 0 = 𝐴1𝑒0 + 𝐴2𝑒

0 π‘’π‘›π‘‘π‘œπ‘›π‘π‘’π‘  β†’ 0 = 𝐴1+ 𝐴2 (2)

β€’ Derivo la ecuaciΓ³n (1)𝑑𝑖

𝑑𝑑= βˆ’π΄1𝑒

βˆ’π‘‘ -3 𝐴2π‘’βˆ’3𝑑 (3)

β€’ Derivo la ecuaciΓ³n (1) 𝑑𝑖

𝑑𝑑= βˆ’π΄1𝑒

βˆ’π‘‘ -3 𝐴2π‘’βˆ’3𝑑 (3)

β†’ 𝑑𝑖 ሻ(0

𝑑𝑑= βˆ’

1

𝐿(𝑖 ሻ(0 𝑅 + 𝑉0ሻ = 10 V Reemplazo en (3) y evaluamos para t=0β€’ Determino

10 = βˆ’π΄1𝑒0 -3 𝐴2𝑒

0 β†’ 10 = βˆ’A1 - 3A2 (4)

0 = 𝐴1+ 𝐴2 (2)

10 = βˆ’A1 - 3A2 (4)

β€’ Teniendo en cuenta las ecuaciones (2) y (4), determino los valores de las constantes

𝐴1 = 5 , 𝐴2 = βˆ’5

𝑖(π‘‘αˆ» = 5π‘’βˆ’π‘‘ - 5π‘’βˆ’3𝑑‒ Respuesta

𝑖(π‘‘αˆ» = 5π‘’βˆ’π‘‘ - 5π‘’βˆ’3𝑑

β€’ Condiciones iniciales , Circuito 1

Circuitos de Segundo orden sin fuentes

𝑖 ሻ𝐿(0 = 𝐼0 = 0 𝐴 𝑣 αˆ»π‘(0 = 𝑉0 = 10 𝑉

𝐿. 𝑉. 𝐾 β†’ 𝑖𝑅 + 𝐿𝑑𝑖

𝑑𝑑+1

π‘ΰΆ±βˆ’βˆž

𝑑

𝑖𝑑𝑑 = 0

β€’ Para el Circuito 2

𝐿𝑑2𝑖

𝑑𝑑2+ 𝑅

𝑑𝑖

𝑑𝑑+𝑖

𝐢= 0

𝐿𝑠2𝐴𝑒𝑠𝑑 + 𝑅𝑠𝐴𝑒𝑠𝑑 +1

𝑐𝐴𝑒𝑠𝑑 = 0

EcuaciΓ³n diferencial de segundo orden

Circuito 2, en t = 0 , S1

se abre y S2 se cierra.

Ahora analizamos para t > 0

R

S1

1 2L

1 2

Io

Vo

i(t)i(t)

aa

a

C

-

aa

+

-

Circuito 1, en estado estable

para t < 0 , S1 esta cerrado

y S2 abierto.

+

V

10Vdc

aa

a

C= 1/17 F

R1

1k

R= 2 Ohmt = 0

L = 1 H

1

2

S2

1 2

t = 0

β†’ 𝑆1βˆ’2=βˆ’π‘…

2𝐿± (

𝑅

2𝐿ሻ2 βˆ’

4 𝐿

4 𝐢𝑙2

Ξ± =𝑅

2𝐿= 1 ; πœ”0 =

1

𝐿𝐢= 17

𝑠2𝐿 + 𝑠𝑅 +1

𝐢= 0

β€’ Determino las raΓ­ces y el tipo de respuesta

Ξ± < πœ”0 π‘…π‘’π‘π‘’π‘’π‘ π‘‘π‘Ž π‘ π‘’π‘π‘Žπ‘šπ‘œπ‘‘π‘–π‘”π‘’π‘Žπ‘‘π‘Ž

β€’ La respuesta en este caso de corriente es

β€’ Para determinar las constante, partimos de la condiciΓ³n inicial y evaluamos la funciΓ³n en t=0

𝑖 0 = 0 = 𝐴 π‘’βˆ’ 0 sin(4 βˆ— 0 + πœƒ ) π‘’π‘›π‘‘π‘œπ‘›π‘π‘’π‘  β†’ 0 = 𝐴𝑠𝑖𝑛(πœƒ ) (2)

Aβ‰  0 β†’ 𝑠𝑖𝑛(πœƒ ) = 0 β†’

𝑆1 = βˆ’ Ξ± + βˆ’ πœ”02 βˆ’ 𝛼2 = βˆ’ Ξ± + π‘—πœ”π‘‘

𝑆2 = βˆ’ Ξ± βˆ’ βˆ’ πœ”02 βˆ’ 𝛼2 = βˆ’ Ξ± βˆ’ π‘—πœ”π‘‘

para lo cual 𝑗 = βˆ’1 𝑦 πœ”π‘‘ = πœ”02 βˆ’ 𝛼2

𝑆1 βˆ’2 = βˆ’ Ξ± Β± π‘—πœ”π‘‘ = βˆ’1 Β± 𝑗4

𝑖(π‘‘αˆ» = 𝐴 π‘’βˆ’ 𝑑 𝑠𝑖𝑛(4𝑑 + ΞΈ ) (1)

πœƒ = 0

β€’ Derivo la ecuaciΓ³n (1)

𝑑𝑖

𝑑𝑑= 𝐴 π‘’βˆ’ 𝑑 𝑠𝑖𝑛(4𝑑 + ΞΈ ) = βˆ’π΄ π‘’βˆ’ 𝑑 𝑠𝑖𝑛(4𝑑 + ΞΈ ) + 𝐴 π‘’βˆ’ 𝑑 4 π‘π‘œπ‘ (4𝑑 + ΞΈ )

β†’ 𝑑𝑖 ሻ(0

𝑑𝑑= βˆ’

1

𝐿(𝑖 ሻ(0 𝑅 + 𝑉0ሻ = 10 V Reemplazo en (1) y evaluamos para t=0β€’ Determino Es - 𝑉0

10= βˆ’π΄ π‘’βˆ’ 0 𝑠𝑖𝑛(4 βˆ— 0 + 0 ) + 𝐴 π‘’βˆ’ 0 4 π‘π‘œπ‘ (4 βˆ— 0 + 0 ) = 0 + 4 𝐴 β†’ 10 = 4 𝐴 A =5

2

𝑖(π‘‘αˆ» =5

2π‘’βˆ’π‘‘π‘ π‘–π‘›(4𝑑 ) β€’ Respuesta

πœ”π‘‘ = 4 = 2πœ‹π‘“ β†’ 𝑇 =1

𝑓

𝑇 =2πœ‹

4= 1,5708 𝑠

𝑖(π‘‘αˆ» = 𝐴 π‘’βˆ’ 𝑑 𝑠𝑖𝑛(4𝑑 + ΞΈ ) (1)

πœ”π‘‘ = 4 = 2πœ‹π‘“ β†’ 𝑇 =1

𝑓

𝑇 =2πœ‹

4= 1,5708 𝑠

𝑇

𝑖(π‘‘αˆ» =5

2π‘’βˆ’π‘‘π‘ π‘–π‘›(4𝑑 )

πΏπ‘’π‘’π‘”π‘œ 𝑑𝑒 π‘™π‘œπ‘  5 𝑠 , 𝑒𝑙 π‘“π‘’π‘›π‘œπ‘šπ‘’π‘›π‘œSe lo considera extinguido.

Respuesta completa CD

β€’ La respuesta completa en un circuito, es la suma de la respuesta Forzada mΓ‘s la Natural

β€’ Respuesta Forzada : Es la que perdura en el tiempo.

i(t)

L

1

2

S1

TCLOSE = 0

1 2R

Corriente a travΓ©s del

Inductor

Circuito RL

V

aa V v(t)

R

TensiΓ³n a bornes del

capacitor

S1

TCLOSE = 0

1 2

Circuito RC

+

-

C1

𝑖𝑓 =𝑉

𝑅𝑣𝑓 = 𝑉

aaaaa

R1 =10

V1

20VdcS2

TOPEN = 0

1 2

aa

V1

20Vdc

L3

2

1

2

S1

TCLOSE = 0

1 2

aa

V3

10Vdc

Io Io

R1 =10

L3

2

1

2

i(t)

R3

5

EjemploDeterminar la respuesta completa 𝑖(π‘‘αˆ» = 𝑖𝑓 + 𝑖𝑛 )

𝐼0 =𝑉3𝑅3

=10

5= 2 𝐴

β€’ Para t = 0, S1 se cierra y S2 se abre

𝑖𝑅 + 𝐿𝑑𝑖

𝑑𝑑= 0

𝑖𝑓 =𝑉1𝑅1

=20

10= 2 𝐴

aaaaa

L3

2

1

2

i(t)

Io

aa

R1 =10

𝑖𝑛 = 𝐴𝑒 βˆ’π‘…πΏπ‘‘ = 𝐴𝑒 βˆ’5𝑑

𝑖(π‘‘αˆ» = 𝑖𝑓 + 𝑖𝑛 = 2 + 𝐴𝑒 βˆ’5𝑑 π‘π‘Žπ‘Ÿπ‘Ž π‘‘π‘’π‘‘π‘’π‘Ÿπ‘šπ‘–π‘›π‘Žπ‘Ÿ π‘™π‘Ž π‘π‘œπ‘›π‘ π‘‘π‘Žπ‘›π‘‘π‘’ "A" π‘’π‘£π‘Žπ‘™π‘’π‘Žπ‘šπ‘œπ‘  𝑒𝑛 𝑑 = 0

β€’ Completa

β€’ Forzada

β€’ Natural

𝑖(0ሻ = βˆ’2 = 2 + 𝐴 β†’ 𝐴 = βˆ’4

𝑖(π‘‘αˆ» = 2 βˆ’ 4𝑒 βˆ’5𝑑

Periodo Transitorio Estado Estable

𝜏 =1

𝑆𝐴 =

1

5= 0,2 π‘ πœ‹π‘Ÿ2𝜏

𝑖(π‘‘αˆ» = 2 βˆ’ 4𝑒 βˆ’5𝑑