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martes, 21 de abril de 2009
Hecho por M. Sc. Jorge Hernández
Investigación de Operaciones
1. Vectores. 2. Matrices.
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Hecho por M. Sc. Jorge Hernández
Investigación de Operaciones.
Vectores.
Un vector es un arreglo ordenado de números en forma lineal. Los números que forman este arreglo se denominan componentes.Generalmente se denota con una letra minúscula de esta manera:
( )1 2 3, , ,..., nv v v v v=
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Investigación de Operaciones.
Los hay lineales horizontales y lineales verticales. Los primeros se denominan vectores fila y los segundos vectores columna.
Ejemplos:
( )2,3,5, 1,0 vector filav = −
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vetor columna1
3
v
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟−⎜ ⎟⎝ ⎠
3
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Investigación de OperacionesSuma de vectores:
La suma de dos vectores v y w con el mismo número de componentes está definida por medio de
1 2 1 2
1 1 2 2
( , ,..., ) ( , ,..., ) ( , ,...., )
n n
n n
v w v v v w w wv w v w v w
+ = +
= + + +
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Investigacion de Operaciones.
Como se observó en la anterior lámina el resultado de lasuma de vectores es un vector que contiene el mismonúmero de componentes de los vectores que se suman.
También, a manera de resumen la suma de vectores serealiza sumando las componentes en forma ordenada.
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Investigación de Operaciones.Multiplicación de un escalar por un vector.
En adelante, un número cualquiera se denominará escalar. Entonces la multiplicación de un escalar α por un vector vestá definida por medio de
1 2 1 2( , ,..., ) ( , ,..., )n nv v v v v v vα α α α α= =
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Investigación de Operaciones.Producto escalar de vectores:Vamos a definir el producto escalar de dos vectores, uno fila v y otro columna w, con el mismo número de componentes, por medio de
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( )
1
2
1 2 1 1 2 2. , ,..., . . .. .n n n
n
ww
v w v v v v w v w v w
w
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= ⋅ ⋅ = + + +⎜ ⎟⋅⎜ ⎟
⎜ ⎟⎝ ⎠
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Investigación de Operaciones.
La última expresión usualmente se escribe como
En esta expresión el símbolo Σ denota la suma de las multiplicaciones de las componentes, el índice i denota las componentes que se multiplican y n denota el total de componentes que se multiplican.
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1.
n
i ii
v w v w=
=∑
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Investigación de Operaciones.Algunos vectores de interés:
Vector nulo
Vectores canónicoso base canónica
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( )0,0,0, , ,0(1 , 0 , . . . , 0 )( 0 , 1 , . . . , 0 )
. . . . .. . . . . .
( 0 , 0 , . . . , 1 )
⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
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Investigación de OperacionesMatrices.Una matriz es un arreglo tabular (rectangular o cuadrado)de números . Cada uno de los elementos que la conformanse denominan componentes de l matriz. Se denotan con unaletra mayúscula de la siguiente manera
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11 12 1
21 22 2
1 2
. .
. .. . . . .. . . . .
. .
n
n
m m mn
a a aa a a
A
a a a
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
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Investigación de Operaciones.
En esta representación tabular los elementos de la matriz ocupan una posición determinada por una fila y una columna, esto es lo que significan los subíndices, es decir el elemento
ocupa la fila i y la columna j. En ocasiones una matriz se escribe como
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ija
( ) ,
, 1
m n
ij i jA a
==
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Investigación de Operaciones.Suma de Matrices:
Al igual que los vectores, la suma de matrices se realiza componente a componente, con el cuidado de que cada matriz debe tener el mismo número de componentes.
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( ) ( ) ( ), , ,
, 1 , 1 , 1
m n m n m n
ij ij ij iji j i j i jA B a b a b
= = =+ = + = +
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Investigación de Operaciones.Multiplicación de un escalar por una matriz:
Al igual que en el caso de vectores, multiplicamos elescalar α por cada componente de la matriz, de la siguientemanera:
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( ) ( ), ,
, 1 , 1
m n m n
ij iji j i jA a aα α α
= == =
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Investigación de Operaciones.Multiplicación de Matrices:
Dos matrices A y B se pueden multiplicar solo si el número de columnas de la primera es igual al número de filas de la segunda.
Cada elemento de la matriz C es el producto escalar de la fila i de A por la columna j de B:
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( ) ( ) ( ), , ,
, 1 , 1 , 1
m n n p m p
ij ij iji j i j i jA B a b c
= = =⋅ = ⋅ =
de de ijc Fila i A Columna j B= ×
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Investigación de Operaciones.Matrices de interés:
Matriz Nula
Matriz identidad
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0 0 . . 00 0 . . 0
0 . . . . .. . . . .0 0 . . 0
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
1 0 . . 00 1 . . 0. . . . .. . . . .0 0 . . 1
Id
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
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Investigación de Operaciones.Representación matricial de un sistema de ecuaciones:
Un sistema de ecuaciones puede representarse por mediode una matriz de coeficientes, un vector de incógnitas y unvector de constantes.
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A X B⋅ =
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Investigación de Operaciones.
La matriz A es del tipo
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11 12 1
21 22 2
1 2
. .
. .. . . . .. . . . .
. .
n
n
m m mn
a a aa a a
A
a a a
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
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Investigación de Operaciones.
El vector X es un vector del tipo
Y el vector B es del tipo
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1
2
.
.
n
xx
X
x
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
1
2
.
.
n
bb
B
b
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
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Investigación de Operaciones.De tal manera que
significa
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A X B⋅ =
11 12 1 1 1
21 22 2 2 2
1 2
. .
. .. . . . . . .. . . . . . .
. .
n
n
m m mn n n
a a a x ba a a x b
a a a x b
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
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Investigación de Operaciones.Esta representación es equivalente a
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11 1 1 1
21 1 2 2
1 1
........
.
.....
n n
n n
m mn n n
a x a x ba x a x b
a x a x b
+ + =⎧⎪ + + =⎪⎪⎨⎪⎪
+ + =⎪⎩
Investigación de Operaciones.
Fin de la clase.
Gracias por su atención.
Jorge E. Hernández H.
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